(完整word版)青岛版数学初三测试题

青岛版初中数学九年级上册 第2章 解直角三角形第1节 随堂测试题一、基础训练测试1.Rt △ABC 中，各边长度都扩大三倍，那么锐角A 的各三角比值（ ）A ．都扩大三倍B ．都缩小三倍C ．保持不变D ．无法确定2.(多选题)如图,在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 的高,则下列线段比等于sinA 的是( ) A. CD AC B. BD BC C. BC AB D. CD BC3.如图,若点A 的坐标为（1,3），则tan ∠1= ．4.如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为（ ）A. 33B. 55C.332D.5525.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=4，那么cosA 的值是（ B ） A.45 B. 34 C. 35 D. 436.已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=34，BC=8，则AC 等于 7.如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=33，求cosA ，tanB 的值.二、提升训练测试 1.直角三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos α的值是（ ）A ：43B ：34C ：53D ：54 2.（多选题）在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 的对边与斜边的比等于（ ） αA.sinBB.cosAC.sinAD.cosB3.△ABC 中，∠C=90°，cosB=54则AC:BC:AB=( ) A ：3:4:5 B ：4:3:5 C ：3:5:4 D ：5:3:44.在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=1，那么AB 的长为( )A.sinAB.cosAC. A cos 1D.Asin 15.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC 的三个顶点均在格点上,则tan ∠ABC 的值为（ ）A.1B.0.6C.510 D.0.756.已知：∠A+∠B ＝90°，若sinA=53，则cosB ＝________. 7.已知在△ABC 中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB=_______.8.在△ABC 中，AB=AC=5，sin ∠ABC=0.8，则BC=________.9.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝43，BC ＝8，则Rt △ABC 的面积为__ _． 10已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3． 求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．10.已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B ，cos B ，tan B ．三、拔高训练测试1. 如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,BC=3,AC=15，AB 的垂直平分线ED 交BC 的延长线于D 点，垂足为E ，则sin ∠CAD=（ ）A.41B.31C.415D.15152.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC ＝6，sin A ＝35，求DE .3.如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作cot α，即cot α＝角α的邻边角α的对边＝AC BC，根据上述角的余切定义，解下列问题：(1)cot30°＝________；(2)如图，已知tan A ＝34，其中∠A 为锐角，试求cot A 的值．青岛版初中数学九年级上册 第2章解直角三角形第1节随堂测试题答案一、基础训练测试答案1.C2.ABC3.34.D5.B6.67.解：∵sinA=33，∴设BC=3k ，AB=3k(k>0). 由勾股定理得AC=AB 2－BC 2=（3k ）2－（3k ）2=6k.∴cosA=63，tanA=22.二、提升训练测试答案1.D2.CD3.A4.D5.D6.53;7.0.75；8.6 9.24 10.解：11.解：三、拔高训练测试答案1.A2.解：∵BC ＝6，sin A ＝35，∴AB ＝10，∴AC ＝102－62＝8，∵D 是AB 的中点，∴AD ＝12AB ＝5，∵△ADE ∽△ACB ，∴DE BC ＝AD AC ，即DE 6＝58，解得：DE ＝154. 3.解：(1)3(2)∵tan A ＝BC AC ＝34，∴cot A ＝AC BC ＝43. ⋅==∠=∠=∠==∠37tan tan ,43cos cos ,47sin sin N TMR N TMR N TMR .2tan ,55cos ,552sin ===B B B。

青岛版九年级上册数学第二章《解直角三角形》测试题一、单选题（共12题；共24分）1. 如图，在坡度为1:2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6m，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是（）A.3mB.3√5mC.12mD.6m2. 如图，一架无人机航拍过程中在C处测得地面上A，B两个目标点的俯角分别为30∘和60∘.若A，B两个目标点之间的距离是100米，则此时无人机与目标点A之间的距离（即AC的长）为（）A.100米B.100√3米C.50米D.50√3米3. 如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68∘方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46∘方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68∘≈0.9272，sin46∘≈0.7193，sin22∘≈0.3746，sin44∘≈0.6947)()A.22.48海里B.41.68海里C.43.16海里D.55.63海里4. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：(1)在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE=α；(2)量得测角仪的高度CD=a；(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB=b.利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为( )A.a+b tanαB.a+b sinαC.a+btanαD.a+bsinα5. 如图，一棵珍贵的树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，现采取以下措施：在地面上选取一点C，测得∠BCA＝37∘，AC＝28米，∠BAC＝45∘，则这棵树的高AB约为（）（参考数据：sin37∘≈，tan37∘≈，≈1.4)A.14米B.15米C.17米D.18米6. 如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70∘方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50∘方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25∘方向上，则灯塔C与码头B的距离是（）A.10√2海里B.10√3海里C.10√6海里D.20√6海里7. 如图，A，B两景点相距20km，C景点位于A景点北偏东60∘方向上，位于B景点北偏西30∘方向上，则A，C两景点相距（）A.10kmB.10√3kmC.10√2kmD.203√3km8. 如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i=1:0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD=45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28∘，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为( )（参考数据：sin28∘≈0.47，cos28∘≈0.88，tan28∘≈0.53)A.76.9mB.82.1mC.94.8mD.112.6m9. 如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45∘，向前走6m到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60∘和30∘，则该电线杆PQ的高度（）A.6+2√3B.6+√3C.10−√3D.8+√310. 某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1:2，BC＝12米，CD＝8米，∠D＝36∘，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：tan36∘≈0.73，cos36∘≈0.81，sin36∘≈0.59）A.5.6B.6.9C.11.4D.13.911. 某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角45∘的传送带AB，调整为坡度i=1:√3的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4√2米，那么新传送带AC的长是（）A.8米B.4米C.6米D.3米12. 如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60∘，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30∘，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是()m．A.10B.15C.15√3D.15√3−5二、填空题（共8题；共9分）如图，航模小组用无人机来测量建筑物BC的高度，无人机从A处测得建筑物顶部B的仰角为45∘，测得底部C的俯角为60∘，若此时无人机与该建筑物的水平距离AD为30m，则该建筑物的高度BC为________m．（结果保留根号）如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE，BCFG，连接EC，EG，则tan∠CEG=________．如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．若CD=5，则BE的长是________．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15∘，B处的俯角为60∘．若斜面坡度为1:√3，则斜坡AB的长是________米．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为________．计算sin60∘tan60∘−√2cos45∘cos60∘的结果为________ 。

A．4个B．3个C．2个D．1个
2．一个铝质三角形框架三条边长分别为4c m、5c m、6c m，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为3c m、6cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（B）
3.如图，在△ABC中，P为AB上一点，则下列四个条件中，
（1）∠ACP=∠B（2）∠APC=∠ACB （3）AC2=AP•AB（4）AB•CP=AP•CB，
其中能满足△APC和△ACB相似的条件有（C）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4.如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形（阴影部分）与△EFG相似的是（B）
A B
C
D
1.若整张报纸与半张报纸相似，则整张报纸的长与宽的比是 .
2.如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2米，CD=5米，点P到CD的距离是3米，则P到AB的距离是 1.2 米．
3.Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，且AD：BD=4：9，若AC=16，则BC= 36 .
解答题：
1.如图，已知：△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点P、D分别在边BC、AC上，BP=12，∠APD=∠B，求CD的
长．
CD=4.8
2.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3DB，△ABC的面积为72．求：△ADE的面积、四边形DEBC的面积．
S△ADE=4.5，S四边形DEBC=67.5
A．0种B．1种C．2种D．3种。

东夏初中2014-2015学年第一学期第一、二单元教学质量检测九 年 级 数 学 试 题（满分：120分 时间：90分钟） 时间：2014年9月30日 等级：一、选择题1. 如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么它们的面积比是（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:2D ．2:12.若两个相似三角形的面积比为4:1，那么这两个三角形的周长比为（ ）A.4:1 B.1:4 C.2:1 D.16:13.在比例尺为1:5000的国家体育馆“鸟巢”的设计图上，长轴为6.646cm ，短轴为5.928cm ，则它们的实际长度分别为（ ） A.332.3m ，296.4m B.330m ，300m C.332.5m ，296.5m D.332.3m ，297.3m4.如图1，用两根等长的钢条AC和BD交叉构成一个卡钳，可以用来测量工作内槽的宽度.设OA OB m OC OD ==，且量得CD b =，则内槽的宽AB 等于（ ）A.mb B.m b C.b m D.1bm + 5.如图2，小华在打网球时，若使球刚好能过网（网高AB 为0.8m ），且落在对方区域离网5m 点O 点处，已知她的击球高度CD 是2.4m.如图2，如果认为球是直线运动的，则她站的地点离网的距离是（ ） A.15m B.10m C.8m D.7.5m6.某装潢公司要在如图3所示的五角星中，沿边每隔20厘米装一盏闪光灯，若BC=（5-1）米，则需要安装闪光灯（ ） A.100盏 B.101盏 C.102盏 D.103盏7.在平面直角坐标系中，已知A （6，3），B （6，0）两点，以坐标原点O 为位似中心，位似比为31，把线段AB 缩小到线段A /B /，则A /B /的长度等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.68.如图4，△ABC 中，P 为AB 上一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B ，②∠APC=∠ACB ，③AC 2=AP ·AB ，④AB ·CP=AP ·CB.其中能满足△APC 和△ACB 相似的条件是（ ）A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③9.在ABC ∆中，︒=∠90C ，AB=15，sinA=13，则BC 等于（ ）A 、45B 、5C 、15D 、14510.李红同学遇到了这样一道题：3tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是（ ）A.40°B.30°C.20°D.10°11.在△ABC 中，若tanA=1，sinB=22，你认为最确切的判断是（ ）A.△ABC 是等腰三角形B.△ABC 是等腰直角三角形C.△ABC 是直角三角形D.△ABC 是一般锐角三角二、填空题12.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝3，AB ＝5，则cosB 的值为__________。

青岛版2019年九年级数学暑假开学考试数学测试题D（附答案）1．如图，中，为边上一点，且，为中点，则A．2:1 B．1:2 C．1:3 D．2:32．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．B．C．D．3．下列二次根式中能与2合并的是（）A．B．C．D．4．如图所示，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE＝（）A．1 B．C．D．25．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，下列结论不正确的是（）A．DE∥BC B．BC=2DE C．DE=2BC D．∠ADE=∠B6．如图，数轴上点A表示的数为（）A B C D．π7．给出四个数：-1、0、23，其中为无理数的是（）A ．-1B ．0CD ．238．下列运算正确的是（ ） A ．5B ．C ．（-a-b ）2=a 2-2ab+b 2D ．9．如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG 可以看成是把菱形ABCD 以点A 为中心（ ）A ．逆时针旋转120°得到B ．逆时针旋转60°得到C ．顺时针旋转120°得到D ．顺时针旋转60°得到10．已知一次函数()20y kx k =+≠与x 轴， y 轴分别交于点A ，点B ，若2O B O A =，则k 的值是_____________．11．如图，在□ABCD 中，BE 、CF 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，BE 、CF分别与AD 相交于点E 、F ，AB=6，BC=10，则EF=_________．12．在大小为4×4的正方形方格中，三个顶点都在单位小正方形的顶点上的直角三角形共有___个．（全等三角形只算一个）13．如图①，点E 、F 分别为长方形纸带ABCD 的边AD 、BC 上的点，将纸带沿EF 折叠成图②（G 为ED 和BF 的交点），再沿BF 折叠成图③（H 为EF 和DG 的交点），若图①中∠DEF ＝21°，则图③中∠DGF ＝_____°．14．若矩形两条对角线的夹角是60°，且较短的边长为3，则这个矩形的面积为____． 15．如图，沿折痕AE 折叠矩形ABCD 的一边，使点D 落在BC 边上一点F 处．若AB=8，且△ABF 的面积为24，则EC 的长为__．16．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，若以A 、B 、C 、P 四点为顶点组成一个平行四边形，则这个平行四边形的周长为_____。

正多边形与圆A卷1．边长为a的正六边形的边心距是__________，周长是____________，面积是___________。

2．如图1，正方形的边长为a，以顶点B.D为圆心，以边长a为半径分别画弧，在正方形内两弧所围成图形的面积是___________。

(1) (2) (3)3．圆内接正方形ABCD的边长为2，弦AE平分BC边，与BC交于F，则弦AE的长为__________。

3，则它的外接圆与内切圆所围成的圆环面积为_________。

4．正六边形的面积是185．圆内接正方形的一边截成的小弓形面积是2π-4，则正方形的边长等于__________。

6．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为___________。

7．在半径为R的圆中，内接正方形与内接正六边形的边长之比为___________。

8．同圆的内接正n边形与外切正n边形边长之比是______________。

9．正三角形与它的内切圆及外接圆的三者面积之比为_____________。

10．正三角形的外接圆半径为4cm，以正三角形的一边为边作正方形，则此正方形的外接圆半径长为___________。

B卷1．正方形的内切圆半径为r，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积为_________。

2．如果正三角形的边长为a ，那么它的外接圆的周长是内切圆周长的_______倍。

3．如图2，正方形边长为2a ，那么图中阴影部分的面积是__________。

4．正多边形的一个内角等于它的一个外角的8倍，那么这个正多边形的边数是________。

5．半径为R 的圆的内接正n 边形的面积等于__________。

6．如果圆的半径为a ，它的内接正方形边长为b ，该正方形的内切圆的内接正方形的边长为c ，则a ，b ，c 间满足的关系式为___________。

7．如图3，正△ABC 内接于半径为1cm 的圆，则阴影部分的面积为___________。

数学上学期期末模拟试卷（青岛版附答案）一、选择题(每小题3分，共60分) 1．方程(2)20x x x -+-=的解是( ). A ．2 B ．-2或1 C ．－1 D ．2或－1 2. 用配方法解方程2870x x ++=,则配方正确的是（ ）A ．()249x -= B ．()249x += C ．()2816x -= D ．()2857x +=3、在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F ， 若EC=2BE ，则BFFD的值是（ ）(A) 21 (B) 31 (C) 41(D) 51(第3题） (第4题）4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）5.如图在Rt ∆ABC 中，∠C=90º，AC=BC,点D 在AC 上，∠CBD=30º，则DC的值是（ ） （A ）3 （B ）22（C ）3-1 （D ）不能确定30A BCD6.在∆ABC 中，∠B=45º，∠C=60º，BC 边上的高AD=3，则BC 的长为（ ） （A ）3+33 （B ）3+3 （C ）2+3 （D ）3+67．如图，用高为6cm ，底面直径为4cm 的圆柱A 的侧面积展开图，再围成不同于A 的另一个圆柱B ，则圆柱B 的体积为（ ）A.24πcm³B. 36πcm³C. 36cm³D. 40cm³8.如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm 的圆形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为（ ）A ．17cmB ．4cmC ．15cmD ．3cm9．如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y 和x ，则y 与x 的函数图象大致是 （ ）10.下列语句中不正确的有：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④半圆是弧．（ ）A ．1个 Ｂ．2个 C ．3个 Ｄ．4个 11．如图4，⊙O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE=OB, ∠AOC=84°,则∠E 等于（ ）A ．42 °B ．28°C ．21°D ．20°12．如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为（ ） A 、2cmBC、 D、13. 根据下表中一次函数的自变量x 与函数y 的对应值， 可得pA ．1B ．－1C ．3D ．－314.把直线y=﹣x+3向上平移m 个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m 的取值范围是（ ）A ．1＜m ＜7B ．3＜m ＜4C ．m ＞1D ．m ＜415 . 已知点A （1，y 1）、B （2，y 2）、C （﹣3，y 3）都在反比例函数xy 6=的16. 若函数y=mx 2+（m+2）x+m+1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为（ ） A ．0 B ． 0或2 C ． 2或﹣2 D ． 0，2或﹣217.有三张正面分别写有数字﹣1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a 的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b 的值，则点（a ，b ）在第二象限的概率为（ ）18．已知函数y=（x ﹣m ）（x ﹣n ）（其中m ＜n ）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n 与反比例函数xnm y +=的图象可能是（ ）A ．BCD ．19. 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A ．图象关于直线x=1对称B ．函数ax 2+bx+c （a ≠0）的最小值是﹣4C ．﹣1和3是方程ax 2+bx+c （a ≠0）的两个根D ．当x ＜1时，y 随x 的增大而增大20. 若抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴只有一个交点，且过点A （m ，n ），B （m+6，n ），则n= ．A ．3B ．﹣3C ．9D ．﹣9一．选择题答案二．填空题 （每小题3分）21．现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b=a 2﹣3a+b ， 如：3★5=32﹣3×3+5，若x ★2=6，则实数x 的值是 ． 22.函数y=1x 与y=x －2图象交点的横坐标分别为a ，b ，则11a b+的值为_______________．23.同时抛掷A 、B 两个均匀的小立方体（每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），设两立方体朝上的数字分别为x 、y ，并以此确定点P （x ，y ），那么点P落在抛物线y=﹣x 2+3x 上的概率为 。

2022-2023学年九年级数学上册期末模拟测试题（附答案）一、选择题（本题满分24分）1．|﹣2022|的相反数是（）A．2022B．C．﹣D．﹣20222．如图所示，该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（）A．众数是11B．平均数是12C．方差是D．中位数是13 5．下面计算错误的是（）A．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3B．a2+a﹣1＝aC．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2D．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b26．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再把△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°得到△A2B2C1，则点A的对应点A2的坐标是（）A．（1，0）B．（5，2）C．（3，﹣2）D．（﹣3，2）7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为6，sin B＝，则线段AC的长是（）A．3B．4C．5D．68．已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（本题满分18分）9．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为．10．计算：cos245°﹣tan60°•cos30°＝．11．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为．12．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的大小为．13．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'．则图中阴影部分的面积为．14．已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF＝2，BF＝1．当P在AB上运动时，矩形PNDM的最大面积为．三、作图题（本题满分4分）15．用圆规、直尺作图．不写作法．但要保留作图痕迹．已知：△ABC求作菱形ADEF使顶点D、E、F分别在AB、BC、AC上．四、解答题（本题满分68，共有9道小题）16．（1）．（2）解不等式组，并写出不等式组的最大整数解．17．国家“十四五”规划明确强化实施“健康中国”战略．为了引导学生积极参与体育运动，增强身体素质，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了m名学生一分钟跳绳的次数x 进行调查统计，按照以下标准划分为四档：不合格合格良好优秀100≤x＜120120≤x＜140140≤x＜160160≤x＜180并根据统计结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图：请结合上述信息完成下列问题：（1）m＝，a＝；（2）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是；（3）若该校有2400名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数．18．某中学举行“中国梦•我的梦”演讲比赛．九年级（1）班的小明和小刚都想参加．现设计了如下游戏规则：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去；否则小刚去，这个游戏规则是否公平？并说明理由．19．小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼．为了测量点P到对面办公大楼上部AD 的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD＝10米．求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）．20．在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？21．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C 到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D 的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）22．某宾馆客房部有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．设每个房间每天的定价增加x元．（1）求房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）某一天，该宾馆客房部的总收入为12000元，问这天每个房间的定价是多少元？（3）若对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．求该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？23．几何模型条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使P A+PB的值最小．方法：作点B关于直线l的对称点B’，连接AB’交l于点P，则P A+PB＝AB’的值最小（不必证明）．直接应用如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上一动点，则DN+MN 的最小值为．变式练习如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是（）的中点，P是直径MN上一动点，求P A+PB的最小值．深化拓展（1）如图4，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值．（2）如图5，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB＝∠APD．（要求：保留作图痕迹，并简述作法．）24．已知：如图，菱形ABCD中，AB＝5cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿BA方向匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，它们的运动速度均为1cm/s．过点P作PM∥BC，过点B作BM⊥PM，垂足为M，连接QP．设运动时间为t（s）（0＜t ＜5）．解答下列问题：（1）菱形ABCD的高为cm，cos∠ABC的值为；（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形MPQB为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使四边形MPQB的面积是菱形ABCD面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使点M在∠PQB的角平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本题满分24分）1．解：|﹣2022|＝2022，故|﹣2022|的相反数是：﹣2022．故选：D．2．解：从上往下看，可以看到选项C所示的图形．故选：C．3．解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；故选：A．4．解：数据11，10，11，13，11，13，15中，11出现的次数最多是3次，因此众数是11，于是A选项不符合题意；将这7个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是11，因此中位数是11，于是D 符合题意；＝（11+10+11+13+11+13+15）÷7＝12，即平均数是12，于是选项B不符合题意；S2＝[（10﹣12）2+（11﹣12）2×3+（13﹣12）2×2+（15﹣12）2]＝，因此方差为，于是选项C不符合题意；故选：D．5．解：A．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3，因此选项A不符合题意；B．a2×a﹣1＝a，因此选项B符合题意；C．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2，因此选项C不符合题意；D．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2，因此选项D不符合题意；故选：B．6．解：如图：观察图象可得：点A的对应点A2的坐标是（5，2），故选：B．7．解：连接CD，则∠DCA＝90°．Rt△ACD中，sin D＝sin B＝，AD＝12．则AC＝AD•sin D＝12×＝4．故选：B．8．解：∵函数y＝的图象经过二、四象限，∴k＜0，∴抛物线开口向下，对称轴x＝﹣＝＜0，即对称轴在y轴的左边．故选：D．二、填空题（本题满分18分）9．解：439000用科学记数法表示为：4.39×105．故答案为：4.39×105．10．解：原式＝（）2﹣×＝﹣＝﹣1．故答案为：﹣1．11．解：一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则二次函数y＝ax2+bx的图象与直线y＝﹣m有交点，由图象得，﹣m≥﹣7，解得m≤7，∴m的最大值为7，故答案为：7．12．解：连接OB．在△OAB中，OA＝OB（⊙O的半径），∴∠OAB＝∠OBA（等边对等角）；又∵∠OAB＝28°，∴∠OBA＝28°；∴∠AOB＝180°﹣2×28°＝124°；而∠C＝∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠C＝62°；故答案是：62°．13．解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，∴图中阴影部分面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′＝﹣﹣×1×＝，故答案为：；14．解：设矩形PNDM的边DN＝x，NP＝y，则矩形PNDM的面积S＝xy（2≤x≤4），易知CN＝4﹣x，EM＝4﹣y，且有＝，即＝，∴y＝﹣x+5，S＝xy＝﹣x2+5x（2≤x≤4），此二次函数的图象开口向下，对称轴为x＝5，∴当x≤5时，函数值是随x的增大而增大，对2≤x≤4来说，当x＝4，即PM＝4时，S有最大值，S最大＝﹣×42+5×4＝12，故答案为：12．三、作图题（本题满分4分）15．解：如图：四边形AEDF即为所求．四、解答题（本题满分68/分）16．解：（1）原式＝（+）•＝•＝；（2）解不等式3（x﹣2）+1≥5x+2得：x≤﹣3.5，解不等式1﹣＜得：x＜1，∴不等式组的解集是x≤﹣3.5，∴该不等式组的最大整数解为﹣4．17．解：（1）m＝10÷25%＝40，a＝40﹣4﹣12﹣10＝14；故答案为：40，14；（2）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是360°×＝108°；故答案为：108°；（3）估计该校一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数为2400×＝2160（人）．18．解：这个游戏规则不公平，理由：由题意可得，树状图如右图所示，共有12种等可能的结果数，摸出的两个球上的数字和为奇数占8种，摸出的两个球上的数字和为偶数的占4种，所以P（奇数）＝＝，P（偶数）＝＝，因为，所以这个游戏规则不公平．19．解：连接P A、PB，过点P作PM⊥AD于点M；延长BC，交PM于点N 则∠APM＝45°，∠BPM＝60°，NM＝10米设PM＝x米在Rt△PMA中，AM＝PM×tan∠APM＝x tan45°＝x（米）在Rt△PNB中，BN＝PN×tan∠BPM＝（x﹣10）tan60°＝（x﹣10）（米）由AM+BN＝46米，得x+（x﹣10）＝46解得，＝18﹣8，∴点P到AD的距离为米．20．解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：﹣＝6，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m2），答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；（2）设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，由题意得：100a+50b＝3600，则a＝＝﹣b+36，根据题意得：1.2×+0.5b≤40，解得：b≥32，答：至少应安排乙工程队绿化32天．21．解：延长DC交EA的延长线于点F，则CF⊥EF，∵山坡AC上坡度i＝1：2.4，∴令CF＝km，则AF＝2.4km，在Rt△ACF中，由勾股定理得，CF2+AF2＝AC2，∴k2+（2.4k）2＝262，解得k＝10，∴AF＝24m，CF＝10m，∴EF＝30m，在Rt△DEF中，tan E＝，∴DF＝EF•tan E＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3（m），∴CD＝DF﹣CF＝23.3m，因此，古树CD的高度约为23.3m．22．解：（1）∵宾馆客房部有50个房间供游客居住，每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，∴房间每天的入住量y关于x的函数关系式为y＝50﹣；（2）当客房部的总收入为12000元时，有（50﹣）（200+x）＝12000，解得：x1＝100，x2＝200，200+100＝300（元），200+200＝400（元），∴每个房间的定价是300元或400元；（3）根据题意，得w＝（200+x﹣20）（50﹣）＝﹣+32x+9000＝﹣+11560，∵﹣＜0，∴当x＝160时，w max＝11560，此时定价为160+200＝360（元），∴当每个房间定价为每天360元时，w有最大值，最大值是11560元．23．解：直接应用，如图2，连接BM，则BM的长就是DN+NM的最小值．在直角△BCM中，BC＝8，CM＝8﹣2＝6，则BM＝＝＝10；变式练习：如图3，作B关于MN的对称点C，则C在圆上，且∠AOC＝90°，连接AC，则AC的长就是AP+BP的最小值．△AOC是等腰直角三角形，则AC＝OA＝，即AP+BP的最小值是；深化拓展：（1）图4．作出N关于AM的对称点N′，作BH⊥AC于H．∵BM+MN＝BM+MN′，又∵BM+MN′≥BH，∴BH的长就是BM+MN的最小值，∵∠BAC＝45°，∴△ABH是等腰直角三角形，∴BH＝×4＝4．（2）作点B关于直线AC的对称点B'，连接DB'交AC于点P，即为所求．24．解：（1）如图1，连接BD交AC于点O，作AE⊥BC于点E，则∠AEB＝90°，∵四边形ABCD是菱形，AB＝5cm，AC＝6cm，∴BC＝AB＝5cm，BD⊥AC，OA＝OC＝AC＝3cm，∴∠AOB＝90°，∴OD＝OB＝＝＝4（cm），∴S菱形ABCD＝AC•OD+AC•OB＝×6×4+×6×4＝24（cm2），∴5AE＝24，∴AE＝（cm），∴菱形ABCD的高为cm；∵BE＝＝＝（cm），∴BE：AE：AB＝7：24：25，∴cos∠ABC＝＝，∴cos∠ABC的值为，故答案为：，．（2）存在，如图2，∵四边形MPQB为平行四边形，且∠M＝90°，∴四边形MPQB是矩形，∴∠PQB＝90°，∴＝cos∠ABC＝，∴BQ＝BP，∵BP＝CQ＝t，∴BQ＝5﹣t，∴5﹣t＝t，解得t＝，∴t的值为．（3）存在，如图1，∵PM∥BC，∴∠BPM＝∠ABC，∴＝cos∠BPM＝cos∠ABC＝，＝sin∠BPM＝sin∠ABC＝，∴PM＝t，BM＝t，∵S四边形MPQB＝S菱形ABCD，∴×t（t+5﹣t）＝×24，整理得18t2﹣125t+100＝0，解得t1＝，t2＝（不符合题意，舍去）．∴t的值为.（4）不存在，理由：如图3，作MR⊥QP交直线QP于点R，∵∠MBQ＝180°﹣∠PMB＝90°，∴MB⊥QB，∵＝tan∠BPM＝tan∠ABC＝，∴MP＝MB，∴MP＜MB，∵MR≤MP，∴MR＜MB，∴点M不可能在∠PQB的平分线上，∴不存在某一时刻t，使点M在∠PQB的角平分线上．。

青岛版数学九年级上册第三单元测试题
一、选择题
1.如图，在中，弦与直径垂直，垂足为，则下列结论中错误的是（）
A. B.
C.弧弧
D.弧弧
2.如图，过点作的两条割线分别交于点、和点、，已知
，，则的长是（）
A. B. C. D.
3.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径
，则中间柱的高度为（）米？
A. B. C. D.
4.已知，如图，在中，，以为直径作分别交，于，两点，过点的切线交的延长线于点．下列结论：
①；②两段劣弧；③与相切；
④．
其中一定正确的有（）个．
A. B. C. D.
5.如图，已知的两条弦、相交于点，，，则的度数为（）
A. B. C. D.
6.石英表分针的长为，经过分钟它的针尖经过的弧长是（）
A. B. C. D.
7.圆内接四边形中，平分，切圆于，若，则
A. B. C. D.
8.如图，在半径为，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点，连接，则阴影部分的面积是（）
A. B. C. D.
9.如图，在以为直径的半圆上，是的内心，，的延长线分别交半圆于点，，，则的长为（）
A. B. C. D.
10.如图，已知扇形中，，弧长为，和弧，，
分别相切于点，，，求的周长为（）
A. B.
C. D.以上都不对
二、填空题
11.设为的外心，，，则________．
12.如图，一个扇形铁皮．已知，，小华将、
合拢制成了一个圆锥形烟囱帽（接缝忽略不计），则烟囱帽的底面圆的半径是________．
13.如图，的直径过弦的中点，若，则________．
14.如图，、、、四点都在上，若，则________．。

青岛版九年级数学上册第2章测试题及答案2.1 锐角三角比1.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，若tan A = 26，则tan B 的值等于（ ） A.36 B. 23 C. 32 D. 62 2.△ABC 中，AB = AC ，AD ⊥BC 于D ，E 是AC 的中点，若DE = 5，BC = 16，则tan B 的值是（ ）. A. 43 B. 34 C. 35 D. 45 3. 正方形网格中，∠AOB 如图放置，则sin ∠AOB=（ ）第3题图A ．B ．C ．D ．24. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA 的值为（ ） A ．B ．C ．D ．5. 如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是 ，堤高BC=10m ，则坡面AB 的长度是（ ）第5题图A ．15mB ．C ．20mD ．6.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，若BC = a ，AC = b ，则tan A = ；7.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，则tan A ·tan B = ；8.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，若AB =5，BC = 2，则tan A = ，tan B = .9.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 4cm ，tan B = 23 ，求BC 、AB 的长.10.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB = 10cm ，tan A = 34 ，求AC 、BC 的长.11.如图，在△ABC中，∠C = 90°，D是BC边上的一点，DE⊥AB，垂足为E，若∠ADC = 45°，tan∠BAD = 1 5，BE = 3，求△ABD的面积.第11题图12. 如右图在某建筑物AC上，挂着“和谐广东”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为，条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角为，求宣传条幅再往BC 的长，（小明的身高不计，结果精确到0.1米）第12题图参考答案1. A2. B3.B4.D5.C6. ab7. 1 8. 2，129. BC = 6cm，AB = 213cm.10. AC = 8cm，BC = 6cm.11. S△ABD = 13.12.【解】设BC为x米，∠BEC=60°，∠BFC=30°，EF=20米，FE= ，20= x x，解得：x=10 ≈17.3（米）．图1-1CA EDB答：宣传条幅BC 的长为17.3米．2.2 30°，45°，60°角的三角比1.在△ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝12，则BC ＝( ) A. 6B. 6 2C. 6 3D. 122.在△ABC 中，若∠A ，∠B 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinA －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cosB －122＝0，则△ABC 是( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰(非等边)三角形3.若∠A 为锐角，cos A <32，则∠A 的取值范围是( ) A. 30°<∠A <90°B. 0°<∠A <30°C. 0°<∠A <60°D. 60°<∠A <90°4.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，tan A ，则cos B 的值是（ ）D.125.如图，为测量一河岸相对两电线杆A 、B 间的距离，在距A 点15米的C 处（A C A B ⊥），测得60ACB ∠=︒，则A 、B 之间的距离应为（ ）米.第5题图A.B.D.7.56.在ABC △中，A ∠、B ∠都是锐角，且1sin 2A =，cos B =，则ABC △的形状是（ ） A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定7.计算：cos30°＝ ；tan60°·sin45°＝ ； |tan60°－2|＝ ；（sin 30°－1）2＝ . 8.点A (cos60°，－tan30°)关于原点对称的点B 的坐标为 .9.如图，某山坡的坡面200AB =米，坡角30BAC ∠=︒，则该山坡的高BC 的长为____米.第9题图 第10题图10.如图，某地区发生地震，已知地震前，在距水塔30米的A 处测得60BAC ∠=︒；地震后，在A 处测得'45B AC ∠=︒，则该水塔沉陷了_________米.11.已知α为锐角，且()sin 10α+︒α=_________度. 12.如图，公园里有一块如四边形ABCD 的草地，测得10m BC CD ==，120B C ∠=∠=︒，45A ∠=︒，则这块草地的面积为________2m .第12题图13.计算：(1)3tan30°－3cos60°＋2sin45°.(2)sin 30°1＋cos 30°＋1tan 30°. (3)3tan 30°－2tan 60°sin 60°＋cos 225°＋sin 225°.14.如图，在等边三角形ABC 中，D 是BC 边上的一点，延长AD 至点E ，使AE ＝AC ，∠BAE 的平分线交△ABC 的高BF 于点O ，求tan∠AEO 的值.(第14题)15.一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)，sin(α－β)与cos(α－β)的值可以用下面的公式求DCBA得：sin(α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β；sin(α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β；cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β.例如sin 90°＝sin(60°＋30°)＝sin 60°×cos 30°＋cos 60°×sin 30°＝32×32＋12×12＝1.类似地，求：(1)sin 15°的值.(2)cos 15°的值.(3)tan 15°的值.16.对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α).(1)求sin120°，cos120°，sin150°的值.(2)若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2－m x －1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小.17.(1)如图①，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝m，延长CB至点D，使BD＝A B. ①求∠D的度数；②求tan75°的值.(2)如图②，点M的坐标为(2，0)，直线MN与y轴的正半轴交于点N，∠OMN＝75°，求直线MN的函数表达式.(第17题)18.如图，“一号龙卷风”给小岛O 造成了较大的破坏，救灾部门迅速组织力量，从仓储D 处调集救援物资，计划先用汽车运到与D 在同一直线上的C ，B ，A 三个码头中的一处，再用货船运到小岛O .已知OA ⊥AD ，∠D ＝15°，∠OCA ＝30°，∠OBA ＝45°，CD ＝20 km.若汽车行驶的速度为50 km/h ，货船航行的速度为25 km/h ，问：这批物资在哪个码头装船，能最早运抵小岛O (在物资搬运能力上每个码头工作效率相同，参考数据：2≈1.4，3≈1.7)？(第18题)参考答案1.A2.B3.A4.B5.A6.B7.32； 62； 2－3；128. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，33 .9.10010.()30 11.5012.150+13.（1）原式＝3×33－3×12＋2×22（2）原式＝121＋32＋133＝12＋3＋ 3 ＝1×（2－3）（2＋3）（2－3）＋ 3＝2－3＋3＝2.(3)原式＝3×33－2×332＋1＝－332＋1＝－2＋1＝－1.14.【解】 ∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝60°，AB ＝B C. ∵BF ⊥AC ，∴∠ABF ＝12∠ABC ＝30°.∵AB ＝AC ，AE ＝AC ， ∴AB ＝AE . ∵AO 平分∠BAE ， ∴∠BAO ＝∠EAO .在△BAO 和△EAO 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AE ，∠BAO ＝∠EAO ，AO ＝AO ，∴△BAO ≌△EAO (SAS ). ∴∠AEO ＝∠ABO ＝30°. ∴tan∠AEO ＝tan30°＝33. 15.【解】（1）sin 15°＝sin(60°－45°)＝sin 60°×cos 45°－cos 60°×sin 45° ＝32×22－12×22 ＝6－24. (2)cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°×cos 45°＋sin 60°×sin 45° ＝12×22＋32×22(3)tan 15°＝sin 15°cos 15°＝6－246＋24＝2－ 3.16.【解】 (1)由题意，得sin120°＝sin(180°－120°)＝sin60°＝32， cos120°＝－cos(180°－120°)＝－cos60°＝－12，sin150°＝sin(180°－150°)＝sin30°＝12.(2)∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4， ∴三个内角分别为30°，30°，120°.①当∠A ＝30°，∠B ＝120°时，方程的两根分别为12，－12.将x ＝12代入方程，得4×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－m·12－1＝0，解得m ＝0.经检验，x ＝－12是方程4x 2－1＝0的根，∴m＝0符合题意.②当∠A ＝120°，∠B ＝30°时，方程的两根分别为32，32，不符合题意，舍去. ③当∠A ＝30°，∠B ＝30°时，方程的两根分别为12，32.将x ＝12代入方程，得4×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－m·12－1＝0，解得m ＝0. 经检验，x ＝32不是方程4x 2－1＝0的根. 综上所述，m ＝0，∠A ＝30°，∠B ＝120°. 17.【解】 (1)①∵BD ＝AB ，∴∠D ＝∠BAD ， ∴2∠D ＝∠D ＋∠BAD ＝∠ABC ＝30°， ∴∠D ＝15°. ②∵∠C ＝90°，∴∠CAD ＝90°－∠D ＝90°－15°＝75°.∵∠ABC ＝30°，AC ＝m ， ∴BD ＝AB ＝2m ，CB ＝3m ， ∴CD ＝CB ＋BD ＝(2＋3)m ， ∴tan75°＝tan∠CAD ＝CD AC＝2＋ 3.(2)∵点M 的坐标为(2，0)，∠OMN ＝75°，∠MON ＝90°， ∴ON ＝OM ·tan∠OMN ＝OM ·tan75°＝2×(2＋3)＝4＋2 3， ∴点N 的坐标为(0，4＋2 3). 设直线MN 的函数表达式为y ＝kx ＋b .把M ，N 两点的坐标代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧2k ＋b ＝0，b ＝4＋2 3，解得⎩⎨⎧k ＝－2－3，b ＝4＋2 3.∴直线MN 的函数表达式为y ＝(－2－3)x ＋4＋2 3. 18.【解】 ∵∠OCA ＝∠D ＋∠COD ，∠D ＝15°， ∴∠COD ＝30°－15°＝15°＝∠D ， ∴CO ＝CD ＝20 km.在Rt△OCA 中，∵∠OCA ＝30°，∴OA ＝12OC ＝10 km ，∴CA ＝OAtan 30°≈17 km.在Rt△OBA 中，∵∠OBA ＝45°， ∴BA ＝OA ＝10，OB ＝2OA ≈14 km， ∴BC ＝CA －BA ＝17－10＝7(km).当这批物资在C 码头装船，运抵小岛O 时，所用时间＝2050＋2025＝1.2(h)；当这批物资在B 码头装船，运抵小岛O 时，所用时间＝20＋750＋1425＝1.1(h)；当这批物资在A 码头装船，运抵小岛O 时，所用时间＝20＋1750＋1025＝1.14(h).综上所述，这批物资在B 码头装船，能最早运抵小岛O .2.3用计算器求锐角三角比1. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5 ． 若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是（ ）第1题图A. B.C. D.2. 利用计算器求tan45°时，依次按键则计算器上显示的结果是（）A. 0.5B. 0.707C. 0.866D. 13. 用科学记算器计算锐角α的三角函数值时，不能直接计算出来的三角函数值是（）A. cotαB. tanαC. cosαD. sinα4. Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3：4，运用计算器计算，∠A的度数（精确到1°）（）A. 30°B. 37°C. 38°D. 39°5. 如果tanα=0.213，那么锐角α的度数大约为（）A. 8°B. 10°C. 12°D. 15°6. 四位学生用计算器求sin62°20′的值正确的是（）A. 0.8857B. 0.8856C. 0.8852D. 0.88517. 用计算器求sin20°+tan54°33′的结果等于（结果精确到0.01）（）A. 2.25B. 1.55C. 1.73D. 1.758. 一个直角三角形有两条边长为3，4，则较小的锐角约为（）A. 37°B. 41°C. 37°或41°D. 以上答案均不对9. 用计算器求tan26°，cos27°，sin28°的值，它们的大小关系是（）A. tan26°＜cos27°＜sin28°B. tan26°＜sin28°＜cos27°C. sin28°＜tan26°＜cos27°D. cos27°＜sin28°＜tan16°10. 按科学记算器MODE MODE 1，使显示器显示D后，求sin90°的值，以下按键顺序正确的是（）A. sin ， 9=B. 9，sin=C. sin ， 9，0=D. 9，0=11. 用计算器验证，下列等式中正确的是（）A. sin18°24′+sin35°26′=sin54°B. sin65°54′-sin35°54′=sin30°C. 2sin15°30′=sin31°D. sin70°18′-sin12°18′=sin47°42′12. 用计算器求cos15°，正确的按键顺序是（）A. cos15=B. cos15C. Shift15D. 15cos13. 已知tanα=0.3249，则α约为（）A. 17°B. 18°C. 19°D. 20°14. 按键，使科学记算器显示回后，求sin90°的值，以下按键顺序正确的是（）A. B.C. D.15. 已知sinα= ，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（）A. AC10NB. SHIETC. MODED. SHIFT16. 用计算器求tan35°的值，按键顺序是________ ．17. 已知tanβ=22.3，则β=________（精确到1″）18. 如果cosA=0.8888，则∠A≈ ________（精确到1″）19. cos35°≈________（结果保留四个有效数字）．20. 小虎同学在计算a+2cos60°时，因为粗心把“+”看成“-”，结果得2006，那么计算a+2cos60°的正确结果应为________ ．21. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角A ， B的度数．(1)sinA=0.7，sinB=0.01；(2)cosA=0.15，cosB=0.8；(3)tanA=2.4，tanB=0.5 ．22. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：(1)sinA=0.7325，sinB=0.0547；(2)cosA=0.6054，cosB=0.1659；(3)tanA=4.8425，tanB=0.8816 ．23. 已知∠A为锐角，求满足下列条件的∠A的度数（精确到1″）．(1)sinA=0.9816；(2)cosA=0.8607；(3)tanA=0.1890；(4)tanA=56.78 ．24. 等腰三角形中，两腰和底的长分别是10和13，求三角形的三个内角的度数（精确到1′）．参考答案1. D 【解析】由tan∠B= ，得AC=BC•tanB=5×tan26 ．故选D.2. D 【解析】依次按键则计算器上显示的tan45°的值，即1 ．故选D.3. A 【解析】用科学记算器计算锐角α的三角函数值时，只能计算正弦. 余弦. 正切的值，要计算余切的值，需先计算正切值，在借助倒数进行计算得出答案，故答案为A4. B 【解析】∵a：b=3：4，∴设a=3x ， b=4x ，由勾股定理知，c=5x ．∴sinA=a：c=3：5=0.6，运用计算器得，∠A=37° ．故选B.5. C 【解析】∵tanα=0.213，∴∠α≈12° ．故选C.6. A 【解析】sin62°20′≈0.8857，故选A.7. D 【解析】sin20°+tan54°33′=sin20°+tan54.55°=0.3420+1.4045=1.7465≈1.75 ．故选D.8. C 【解析】①若3. 4是直角边，∵两直角边为3，4，∴斜边长= ，∴较小的锐角所对的直角边为3，则其正弦值为；②若斜边长为4，则较小边= ≈2.65，∴较小边所对锐角正弦值约= =0.6625，利用计算器求得角约为37°或41° ．故选C.9. C 【解析】∵tan26°≈0.488，cos27°≈0.891，sin28°≈0.469 ．故sin28°＜tan26°＜cos27° ．故选C.10. C 【解析】显示器显示D后，即弧度制；求sin90°的值，需按顺序按下：sin ， 9，0= ．故选C.11. D 【解析】利用计算器分别计算出各个三角函数的数值，进行分别检验．正确的是sin70°18′-sin12°18′=sin47°42′ ．故选D.12. A 【解析】先按键“cos”，再输入角的度数15，按键“=”即可得到结果. 故选A13. B 14. A 15. D16.先按tan ，再按35，最后按= 17. 87°25′56″ 18. 27°16′38″19. 0.819220. 2008 【解析】∵a-2cos60°=2006，∴a=2007 ．∴a+2cos60°=2007+1=2008 ．故答案为：2008 ．21.【解】（1）sinA=0.7，得A=44.4°；sinB=0.01得B=0.57°；（2）cosA=0.15，得A=81.3°；cosB=0.8，得B=36.8°；（3）由tanA=2.4，得A=67.4°；由tanB=0.5，得B=26.5° ．22.【解】（1）∵sinA=0.7325，∴∠A≈47.1°，∵sinB=0.0547，∴∠B≈3.1°；（2）∵cosA=0.6054，∴∠A≈52.7°，∵cosB=0.1659，∴∠B≈80.5°；（3）∵tanA=4.8425，∴∠A≈78.3°，∵tanB=0.8816，∴∠B≈41.4° ．23. 【解】（1）∵sinA=0.9816，∴∠A≈78.991°≈78°59′28″；（2）∵cos A=0.8607，∴∠A≈30.605°=30°36′18″；（3）∵tanA=0.1890，∴∠A≈10.703°≈10°42′11″；（4）∵tanA=56.78，∴∠A≈88.991°≈88°59′28″ ．24. 【解】如图，AB=AC=10，BC=13，AD是底边上的高，∵AD是底边上的高，∴AD⊥BC ，又∵AB=AC ，∴BD=CD=6.5，∠BAD=∠CAD= ∠BAC ，在Rt△ABD中，sin∠BAD= =0.65，∴∠BAD≈40°32′，∴∠BAC≈2∠BAD≈81°4′，∠B=∠C≈49°28′ ．故△ABC的三个内角分别为81°4′，49°28′，49°28′ ．2.4 解直角三角形1.菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA=，则下列结论正确的个数有（）①DE=3cm；②BE=1cm；③菱形的面积为15cm2；④BD=2cm．第1题图A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，cosA=，则下列结论中正确的个数为（）①DE=3cm；②EB=1cm；③S菱形ABCD=15cm2第2题图A.3个B.2个C.1个D.0个3.如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离OP=3，线段OP与X轴正半轴的夹角为a，且cosα＝，则点P的坐标是（）第3题图A.（2，3）B.（2，）C.（， 2）D.（2，）4.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD的长为（）第4题图A.2B.4C.8D.85.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（）第5题图A.10米B.15米C.25米D.30米6.如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在点A1处，已知OA=8，OC=4，则点A1的坐标为（）第6题图A.（4.8，6.4）B.（4，6）C.（5.4，5.8）D.（5，6）7.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C=60°，AD=4，BC=6，则AB长为（）第7题图A.2B.C.5D.8.如图，直线y=x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M.N恰落在直线y=x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（）第8题图A. B. C. D.9.小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的破面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30º 角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（）第9题图A.9米B.28米C.（7+）米D.（14+）米10.将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是（）第10题图A.cmB.cmC.cmD.2cm11.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA=，BC＝10，则AB的值是（）第11题图A.3B.6C.8D.912.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D ， DC=4，BC=9，则AC为（）第12题图A.5B.6C.7D.813.在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=， cosB=， AC=40，则△ABC的面积是（）A.800B.800C.400D.40014.如图，AB是⊙O的直径，C.D是圆上的两点．若BC=8，cosD=，则AB的长为（）第14题图A. B. C. D.1215.一副三角板按图1所示的位置摆放．将△DEF绕点A（F）逆时针旋转60°后（图2），测得CG=10cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（）第15题图A.75cm2B.（25+25）cm2C.（25+）cm2D.（25+）cm216.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，若sinC=，则BC的长度为________17.如图所示，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，CD=8，AC⊥CD，若sin∠ACB=，则cos∠ADC=________．第17题图第18题图18.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为________．19.如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=________．第19题图第20题图20.如图，△ABC是一张直角三角形纸片，∠C=90°，两直角边AC=6cm.BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为EF，则tan∠CAE=________21.如图，矩形ABCD的对角线AC.BD相交于点O ，过点O作OE⊥AC交AD于E ，若AB=6，AD=8，求sin∠OEA的值．第21题图22.如图，AD是△ABC的中线，tanB=， cosC=， AC=．求：（1）BC的长；（2）sin∠ADC的值．第22题图23.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC=12，BC=5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE=DC时，求AD的长．第23题图24.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于E，AE=1．求梯形ABCD的高．第24题图25.已知，如图，△ABC中．AD⊥BC于D，AC=10，BC=21，△ABC面积为84，求sinBcosC+cosBsinC的值．第25题图答案部分1. C2. A3. D4. B5. B6. A7. B8. A 9. D 10. B 11. B 12. B 13. D 14. D15. C 16. 1017. 18. 2 19. 20.21.【解】连接EC ，如答图第21题答图∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC ，∠ABC=90°，利用勾股定理得：AC= =10，即OA=5，∵OE⊥AC ，∴AE=CE ，在Rt△EDC中，设EC=AE=x ，则有ED=AD-AE=8-x ， DC=AB=6，根据勾股定理得：x2=（8-x）2+62，解得：x= ，∴AE= ，在Rt△AOE中，sin∠OEA= ．22.【解】（1）过点A作AE⊥BC于点E，如答图.∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．第22题答图23.【解】（1）∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠A+∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ADE=∠B，在Rt△ABC中，∵AC=12，BC=5，∴AB=13，∴，∴；（2）由（1）得，设AD为x，则，∵AC=AD+CD=12，∴，解得，∴．24.【解】∵AD∥BC，∴∠2=∠3又AB=AD，∴∠1=∠3∠ABC=∠C=60°∴∠1=∠2=30°在Rt△ABE中，AE=1，∠1=30°，∴AB=2作AF⊥BC垂足为F，如答图.在Rt△ABF中，AF=AB•sin∠ABC=AB•sin60°=2×=∴梯形ABCD的高为．第24题答图25.【解】∵AD⊥BC，S△ABC=84，BC=21，∴BC•AD=84，即×21×AD=84，解得，AD=8∵AC=10，∴在直角△ACD 中，由勾股定理得到：CD==6∴在直角△ABD 中，BD=15，AB==17 ∴sinB==，cosB==，sinC==，cosC==∴sinBcosC+cosBsinC=×+×=．2.5 解直角三角形的应用第1课时 与仰角、俯角有关的应用问题1．如图，某地修建高速公路，要从B 地向C 地修一座隧道(B 、C 在同一水平面上)．为了测量B 、C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C 地出发，垂直上升100 m 到达A 处，在A 处观察B 地的俯角为30°，则B 、C 两地之间的距离为( )第1题图A ．100 3 mB ．50 2 mC ．50 3 mD.10033m2．如图，从热气球C 处测得地面两点A 、B 的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为80米，点A 、D 、B 在同一直线上，那么A 、B 两点的距离是( ) A ．160米 B ．803米 C ．1003米D ．80(1＋3)米第2题图 第3题图3．如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进16 m ，到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，则建筑物M 的高度等于( ) A ．8(3＋1)mB ．8(3－1)mC ．16(3＋1)mD ．16(3－1)m4．如图，为固定电线杆AC ，在离地面高度为6 m 的A 处引拉线AB ，使拉线AB 与地面上的BC 的夹角为48°，则拉线AB 的长度约为( )(结果精确到0.1 m ，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11)A．6.7 m B．7.2 m C．8.1 m D．9.0 m第4题图第5题图5．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( )A.11－sinα米 B.11＋sinα米C.11－cosα米 D.11＋cosα米6．如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B 的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度约为米．第6题图7．小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法．如图，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋房间的距离为9米．请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度．(结果保留到整数，参考数据：2≈1.4，3≈1.7)第7题图8．某兴趣小组借助无人机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人机的飞行速度为4米/秒，求这架无人机的飞行高度．(结果保留根号)第8题图9．芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型(如图)，图乙是从图甲中引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端的距离AD为20米，请求出立柱BH的长．(结果精确到0.1米，3≈1.732)第9题图10．如图是某超市地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE的长度．(结果保留小数点后两位，参考数据：sin22°≈0.374 6，cos22°≈0.927 2，tan22°≈0.404 0)第10题图11．如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27 m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52′.已知山高BE为56 m，楼的底部D与山脚在同一水平面上，求该铁塔的高AE.(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)第11题图参考答案1．A 2．D 3．A 4．C 5．A6．1007．解：过点C 作CD⊥AB 于点D ，如答图. 由题意可知CD ＝9，在Rt△ADC 中，∵tan30°＝ADCD ，∴AD＝CD·tan30°＝9×33＝3 3. 在Rt△CDB 中，∵tan45°＝BDCD ＝1，∴BD＝CD ＝9.∴AB＝AD ＋DB ＝9＋33≈14(米)． 答：楼房AB 的高度约为14米．第7题答图 第8题答图8．解：作AD⊥BC，BH⊥水平线，垂足分别为D 、H ，如答图. 则∠ADB＝∠ADC＝∠BHC＝90°，由题意知∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH， ∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°. ∵AB＝4×8＝32，∴在Rt△ABD 中， BD ＝AB·cos∠ABC＝32cos30°＝163， AD ＝AB·sin∠ABC＝32sin30°＝16. 在Rt△ACD 中，∵∠ACB＝45°， ∴CD＝AD ＝16.∴BC＝CD ＋BD ＝16＋16 3. 在Rt△BCH 中，∵∠BCH＝30°， ∴BH＝12BC ＝8＋8 3.∴这架无人机的飞行高度为(8＋83)米．9．解：设DH ＝x 米，∵∠CDH＝60°，∠H＝90°， ∴CH＝DH·tan60°＝3x 米． ∴BH＝BC ＋CH ＝(2＋3x)米． ∵∠A＝30°，∴AH＝3BH ＝(23＋3x)米．∵AH＝AD ＋DH ，∴23＋3x ＝20＋x ，解得x ＝10－ 3.∴BH＝2＋3×(10－3)＝103－1≈16.3(米)． 答：立柱BH 的长约为16.3米．10．解：∵∠BAE＝22°，∠ABC＝90°，∠CED＝∠AEC＝90°， ∴∠BCE＝158°. ∴∠DCE＝22°. 又∵tan∠BAE＝BDAB ，∴BD＝AB·tan∠BAE.又∵cos∠BAE＝cos∠DCE＝CECD ，∴CE＝CD·cos∠BAE ＝(BD －BC)·cos∠BAE＝(AB·tan∠BAE－BC)·cos∠BAE ＝(10×0.404 0－0.5)×0.927 2 ≈3.28(m)．答：CE 的长度为3.28 m.11．解：过点C 作CF⊥AB，垂足为F ，如答图. 则∠AFC＝90°. 在Rt△ABD 中，tan45°＝ABBD ，∴AB＝BD. 设AE ＝x m ，则AF ＝x ＋56－27＝(x ＋29)m ， CF ＝BD ＝AB ＝(x ＋56)m.∵在Rt△ACF 中，tan36°52′＝AFCF ，∴tan36°52′＝x ＋29x ＋56.∵tan36°52′≈0.75， ∴x ＋29x ＋56＝0.75.解得x ＝52. 经检验x ＝52是原方程的根，且符合题意． 答：该铁塔的高AE 为52 m ．第11题答图 2.5 解直角三角形的应用第2课时 与坡度、坡角有关的应用问题1．某堤的横断面如图，堤高BC 是5米，迎水斜坡AB 的长是13米，那么斜坡AB 的坡度是( ) A ．1∶3 B ．1∶2.6 C ．1∶2.4 D ．1∶2第1题图 第2题图2．如图，修建抽水站时，沿着坡度为i ＝1∶6的斜坡铺设管道，下列等式成立的是( ) A ．sin α＝16 B ．cos α＝16C ．tan α＝16D ．以上都不对3．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i ＝1∶3，坝外斜坡的坡度i ＝1∶1，则两个坡角的和为 ．4．如图，一山坡的坡度为i ＝1∶3，小辰从山脚A 出发，沿山坡向上走了200米到达点B ，小辰上升了 米．第4题图 第5题图5．如图，小明爬一土坡，他从A 处爬到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他离地面的高度h ＝2米，则这个土坡的坡角为 ．6．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6 m ，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是 m.第6题图7．某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图)．如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长．第7题图8．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改成斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起点为C(如图所示)，现将斜坡的坡角∠BCA设计为12°，那么斜坡起点C应离A点多远？(精确到1 cm，sin12°≈0.208，cos12°≈0.978，tan12°≈0.213)第8题图9．某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1.为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．第9题图10．如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋3)米，小军和小明同学分别从A处和B处向山顶匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为22米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？第10题图11．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°，已知OA ＝200米，山坡坡度为13(即tan∠PAB＝13)，且O 、A 、B 在同一条直线上，求电视塔OC 的高度以及此人所在位置点P 的垂直高度．(测倾器的高度忽略不计，结果保留根号)第11题图 参考答案1．C 2．C 3． 75° 4． 100 5． 30° 6． 3 5 7．解：在Rt△ADC 中， ∵AD∶DC＝1∶2.4，AC ＝13，由AD 2＋DC 2＝AC 2，得AD 2＋(2.4AD)2＝132. ∴AD＝±5(负值不合题意，舍去)． ∴DC＝12.在Rt△ABD 中，∵AD∶BD＝1∶1.8， ∴BD＝5×1.8＝9. ∴BC＝DC －BD ＝12－9＝3.答：改动后电梯水平宽度增加部分BC 的长为3米． 8．解：过点B 作BD⊥AC 于点D ，如答图.由题意，得BD ＝20×3＝60(cm)，AD ＝30×2＝60(cm)，∠C＝12°， 在Rt△BCD 中，CD ＝BD tan12°＝600.213≈282(cm)．∴AC＝CD －AD ＝222(cm)．答：斜坡起点C 应离A 点约222 cm.第8题答图9．解：(1)∵tan α＝13＝33，∴α＝30°.∴新坡面的坡角α为30°.(2)文化墙PM 不需要拆除．理由如下： 作CD⊥AB 于点D ，则∠CDB＝90°，CD ＝6. ∵坡面BC 坡度为CD∶BD＝1∶1， ∴BD＝CD ＝6.同理可得AD ＝3CD ＝6 3. ∴AB＝AD －BD ＝63－6.又∵PB＝8，∴PB－AB ＝8－(63－6)＝(14－63)＝196－108＞0. ∴文化墙PM 不需要拆除．第9题答图10．解：过点C 作CD⊥AB 于D ，设CD ＝x 米，则AC ＝CD sin45°＝2x ，BC ＝CDsin30°＝2x ，AD ＝x ，BD ＝3x.∵A 处与东端B 处相距800(1＋3)米， ∴AD＋BD ＝x ＋3x ＝(3＋1)x ＝800(1＋3)， 解得x ＝800，AC ＝2x ＝8002，BC ＝2x ＝1 600. 小军从点A 到点C 用的时间是8002÷22＝1 600(秒)． 小明从点B 到点C 的速度是1 600÷1 600＝1(米/秒)． 答：小明的行走速度是1米/秒．第10题答图11．解：过点P 作PE⊥OB 于点E ，PF⊥CO 于点F ， 在Rt△AOC 中，OA ＝200，∠CAO＝60°，∴OC＝OA·tan∠CAO＝200×tan60°＝2003(米)． 设PE ＝x 米， ∵tan∠PAB＝PE AE ＝13，∴AE＝3x 米．在Rt△PCF 中，∠CPF＝45°，CF ＝(2003－x)米，PF ＝OA ＋AE ＝(200＋3x)米．∵tan∠CPF＝CFPF ，∴CFPF＝tan45°＝1，则PF ＝CF. ∴200＋3x ＝2003－x ，解得x ＝503－50. ∴PE＝(503－50)米．答：电视塔OC 的高度为2003米，此人所在位置点P 的垂直高度为(503－50)米．第11题答图2.5 解直角三角形的应用 第3课时 与方位角有关的应用问题1．如图，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A 处)在距离北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是( ) A ．250米 B ．2503米 C.50033米D ．5002米第1题图 第2题图2．如图，某人从O 点沿北偏东30°的方向走了20米到达A 点，B 在O 点的正东方，且在A 的正南方，则此时AB 间的距离是 米．(结果保留根号)3．如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为 海里．(结果取整数)(参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)第3题图 第4题图4．某人从A 处出发沿北偏东30°方向走了100米到达B 处，再沿北偏西60°方向走了100米到达C 处，则他从C处回到A处至少要走米．5．如图，海面上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°.求A、B两岛之间的距离．(结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93)第5题图6．钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短．(1)请在图中作出该船在点B处的位置；(2)求钓鱼岛C到B处的距离．(结果保留根号)第6题图7．一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处？(参考数据：3≈1.732，结果精确到0.1)第7题图8．南海是我国的南大门．如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有—艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只．问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里？(最后结果保留整数，参考数据：cos75°≈0.258 8，sin75°≈0.965 9，tan75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414)第8题图9．如图，在东西方向的海岸线MN上有A、B两艘船均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A 的北偏东58°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距离为30海里．(参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57)(1)求船P到海岸线MN的距离；(精确到0.1海里)(2)若船A、船B分别以20海里/时、15海里/时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处．第9题图10．如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5 km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N 有20 km.一轮船以36 km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12 km.(1)若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线l?(2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．(参考数据：2≈1.4，3≈1.7)第10题图参考答案1．A 2． 10 3 3．11 4． 100 25．解：由题意，得AC ＝18×2＝36(海里)，∠ACB＝43°. 在Rt△ABC 中，∵∠A＝90°，∴AB＝AC·tan∠ACB＝36×0.93≈33.5(海里)， 故A 、B 两岛之间的距离约为33.5海里． 6．解：(1)如答图． (2)AB ＝30×0.5＝15(海里)， 由题意知CB⊥AB，在Rt△ABC 中，∠BAC＝30°， tan∠BAC＝BCAB，∴BC＝AB·tan∠BAC＝AB·tan30°＝15×33＝53(海里)． 答：钓鱼岛C 到B 处的距离为53海里．第6题答图7．解：作PC⊥AB，交AB 的延长线于点C ，如答图. 在Rt△APC 中，∵AP＝20海里，∠APC＝60°， ∴PC＝AP·cos60°＝20×12＝10(海里)，AC ＝AP·sin60°＝20×32＝103＝10×1.732≈17.3(海里)． 在Rt△BPC 中，∵∠BPC＝45°， ∴BC＝PC ＝10海里．∴AB＝AC －BC ＝17.3－10＝7.3(海里)．答：它向东航行7.3海里到达灯塔P 南偏西45°方向上的B 处．第7题答图8．解：过点B 作BD⊥AC，垂足为点D ，如答图. 由题意知∠BAD＝45°.在△ABD 中，AD ＝cos45°AB＝22×20＝102(海里)， ∴BD＝AD ＝102海里．在△BCD 中，DC ＝BD·tan75°≈53(海里)． ∴AC＝AD ＋CD ＝67海里．答：海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了约67海里．第8题答图9．解：(1)过点P 作PD⊥AB 于点D ，如答图.由题意，得∠PAB＝90°－58°＝32°，∠PBD＝90°－35°＝55°，AP ＝30， 在Rt△ADP 中，sin∠PAD＝PDAP ，得PD ＝AP·sin∠PAD＝30×sin32°≈15.9. 答：船P 到海岸线MN 的距离约为15.9海里． (2)在Rt△BDP 中，sin∠PBD＝PDBP ，∴BP＝PD sin∠PBD ＝15.9sin55°≈19.4，A 船需要的时间为3020＝1.5(小时)，B 船需要的时间为19.415≈1.3(小时)．∵1.5＞1.3，∴B 船先到达P 处． 答：B 船先到达P 处．第9题答图10．解：(1)延长AB 交直线l 于点F ，过A ，B 分别作AD⊥l，BE⊥l，如答图. ∵∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°. ∵∠DAC＝30°，∴∠DCA＝60°. ∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC 中，BC ＝12 km ， AB ＝36×4060＝24(km)，∴AB＝2BC.∴∠BAC＝30°. AC ＝242－122＝123(km)．在Rt△ACD 中，AD ＝AC·cos30°＝123×32＝18(km)． 在Rt△ADF 中，AF ＝2AD ＝36 km. 36÷36＝1小时．答：轮船在11：00到达海岸线l. (2)能，理由：在Rt△ADF 中，DF ＝AF·sin60°＝36×32＝18 3. 在Rt△ADC 中，DC ＝12AC ＝63，∴CF＝12 3.∵CN＝20，CM ＝21.5，123≈20.4， ∴20＜20.4＜21.5.∴轮船能够停靠在码头．第10题答图。