微积分B(2)第5次习题课题目(三重积分概念、性质、计算,重积分应用)_900309870

重积分知识点总结例题1. 重积分的定义在介绍重积分的定义之前，首先需要了解多元函数的概念。

多元函数是指自变量有多个的函数，通常表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n)$。

在平面上，一元函数是自变量只有一个的函数，并且可以表示为$y = f(x)$。

而在空间中，两元函数是自变量有两个的函数，并且可以表示为$z = f(x, y)$，三元函数是自变量有三个的函数，并且可以表示为$w = f(x, y, z)$。

在多元函数的情况下，我们需要对其在一个区域上进行积分。

这就引出了重积分的概念。

重积分可以看作是对一个区域上的函数值在该区域上的加权平均。

重积分的定义如下：设$f(x, y)$是定义在闭区域$D$上的有界函数，$D$的面积记为$A(D)$，取$D$上的任意一组分割$P = \{R_i\}$和抽样点$Q = \{(\xi_i, \eta_i)\}$，$M_{ij}$是$f(x, y)$在$R_{ij}$上任意一点的函数值。

作Riemann和$$S(P, Q, f) = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} M_{ij} \Delta \sigma_{ij}$$如果极限$L$存在，不依赖于分割$P$和点$Q$的取法，即$L = \lim_{\lambda(P) \to0,\delta(Q) \to 0} S(P, Q, f)$存在，则称$f(x, y)$在闭区域$D$上可积，这个极限$L$称为$f(x, y)$在$D$上的重积分，记作$$\iint_D f(x, y) d\sigma = L$$其中，$d\sigma$表示对$D$内的面积元素进行积分。

如果$f(x, y)$在$D$上可积，则称$f(x, y)$在$D$上可积，否则称为不可积。

2. 重积分的性质重积分具有一些重要的性质，这些性质有助于我们进行重积分的计算和应用。

下面我们将介绍一些重要的性质。

（1）可加性设$f(x, y)$在闭区域$D$上可积，$D_1$和$D_2$是$D$的两个互不相交的子区域，其并集为$D = D_1 \cup D_2$，则有$$\iint_D f(x, y) d\sigma = \iint_{D_1} f(x, y) d\sigma + \iint_{D_2} f(x, y) d\sigma$$这就是重积分的可加性。

三重积分的计算及重积分的应用三重积分是在三维空间中计算一些函数在一个有界区域内的体积的方法。

它是对二重积分的一种扩展，可以应用于多种问题中，包括物理、工程和数学等领域。

本文将从三重积分的计算方法开始，然后介绍一些三重积分的应用，以及如何解决这些应用问题。

一、三重积分的计算方法要计算三重积分，首先需要定义积分的坐标系和被积函数。

常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。

选择合适的坐标系可以简化计算过程。

被积函数通常是一个连续函数或分段连续函数，也可以是具有一些特殊性质的函数，如奇函数或偶函数。

在直角坐标系中，三重积分的一般形式为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是被积函数，dV表示元体积元素。

元体积元素可以表示为dx dy dz，也可以写成其他坐标系对应的形式。

根据积分的定义，三重积分可以分解为对三个变量的依次积分。

具体方法为，先对z进行积分，然后再对y进行积分，最后对x进行积分。

以直角坐标系为例，三重积分可以表示为∭f(x,y,z)dxdydz。

其中，积分范围为对每个变量的积分范围进行限定。

对被积函数的积分范围的限定可以通过对空间区域的几何性质进行分析得到。

常见的限定方式有矩形区域和曲线边界。

根据具体问题，可以采用不同的方法来确定积分限定条件。

计算三重积分时，可以选择适当的计算工具，如数值积分、符号计算软件或计算机程序，并利用计算机进行数值计算。

三重积分在许多领域都有广泛的应用。

以下将介绍几个常见的应用以及解决这些应用问题的方法。

1.计算物体体积三重积分可以用于计算复杂形状的物体的体积。

通过将物体分解为无穷小的体积元素，然后对每个体积元素进行积分，最后将所有体积元素的积分结果相加，就可以得到整个物体的体积。

例如，计算一个以球面为上下界的圆锥体的体积。

首先可以选择球坐标系，然后确定积分限定条件，如半径和角度范围。

然后将球坐标系下的体积元素转换为直角坐标系下的体积元素进行积分。

最后将所有体积元素的积分结果相加，即可得到圆锥体的体积。

三重积分的计算及重积分的应用三重积分是多元函数积分中的一种，用于计算三维空间内的体积、质量、重心、转动惯量等物理量。

在实际应用中，三重积分可以用于求解物体的质心、转动惯量、力矩等问题，对于解决工程问题具有重要的应用价值。

一、三重积分的计算方法1.直接计算法直接计算法是指直接根据题目给出的积分区域及被积函数的表达式，逐步求解三个方向上的单重积分，然后相乘求和得到最终结果。

以计算空间区域内的体积为例，设被积函数为f(x,y,z)，积分区域为D。

则三重积分的计算公式为：V=∬∬∬_Df(x,y,z)dV其中dV表示体积元素，其表达式为：dV = dx dy dz通过逐步计算对应方向上的单重积分，并依次相乘求和，即可得到最终结果。

2.换元积分法换元积分法是指通过变换坐标系，使得原三重积分的积分区域变得简单，从而通过较简单的计算求解三重积分。

例如，对于柱坐标系下的三重积分计算，可以通过将空间直角坐标系(x,y,z)转换为柱坐标系(ρ,θ,z)，从而简化积分区域的描述。

然后，利用变量替换求解对应的柱坐标系下的三重积分。

1.质心的求解质心是物体在三维空间中的一个特殊点，对于均匀物体而言，质心位于其几何中心。

通过三重积分，可以求解复杂物体的质心位置。

设物体的质量密度函数为ρ(x,y,z)，则质心的坐标(x₀,y₀,z₀)可以通过以下公式计算得到：x₀=∬∬∬_Dxρ(x,y,z)dV/my₀=∬∬∬_Dyρ(x,y,z)dV/mz₀=∬∬∬_Dzρ(x,y,z)dV/m其中m表示物体的总质量，D表示物体的几何形状。

2.转动惯量的求解转动惯量是刻画物体对转动运动的惯性特征，通过三重积分可以求解物体的转动惯量。

设物体的质量密度函数为ρ(x,y,z)，则绕一些轴旋转的转动惯量I 可以通过以下公式计算得到：I=∬∬∬_D(y²+z²)ρ(x,y,z)dV3.力矩的求解力矩是物体受力后产生的力矩矩阵，通过三重积分可以计算物体受力后的力矩。

习 题 课 三 重 积 分一、 三重积分的概念（ⅰ）定义：设),,(z y x f 是空间有界闭区域Ω上的有界函数。

函数),,(z y x f 在闭区域Ω上的三重积分=⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(iiiini v f ∆∑=),,(1ζηξ.其中Ω成为积分区域，dv 称为体积元素（ⅱ）当在),,(z y x f 有界闭区域Ω上连续时，三重积分⎰⎰⎰Ωdvz y x f ),,(一定存在。

（ⅲ）三重积分的物理意义：设物体占有空间有界闭区域Ω，它在点()z y x ,,处的体密度为()z y x ,,μ，并假定()z y x ,,μ在Ω上连续。

则物体质量为()dv z y x M ⎰⎰⎰Ω=,,μ。

（2）三重积分的性质：二重积分的性质可推广到三重积分，如： （ⅰ）VV dv ,=⎰⎰⎰Ω为Ω的体积；（ⅱ）（三重积分的中值定理） 设函数),,(z y x f 在闭区域Ω上连续，V 是Ω的面积，则在Ω上至少存在一点),,(ξηζ使得 Vf dv z y x f ),,(),,(ξηζ=⎰⎰⎰Ω二、 三重积分的计算法（ⅰ）利用直角坐标计算二重积分： ①先单后重计算法：若空间闭区域()()()(){}xy D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω,,,,,,21， 若()()(){}b x a x y y x y y x D xy ≤≤≤≤=,,21，则三重积分可化为如下三次积分：()()()()()()dz z y x f dy dx dz z y x f dxdy dv z y x f y x z y x z x y x y baD y x z y x z xy⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Ω,,),(),(212121,,),,(,,。

②先重后单计算法：设空间闭区域()(){}21,,,,c z c D y x z y x z ≤≤∈=Ω， 其中z D 是竖标为z 的平面截闭区域Ω所得到的一个平面闭区域，则有：()()dxdy z y x f dz dv z y x f zD c c ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω,,,,21（ⅱ）利用柱面坐标计算三重积分：若空间闭区域Ω可以表示为： },)()(,),(),(|),,{(2121βθαθρρθρθρθρθρ≤≤≤≤≤≤=Ωz z z z ，则()()dz d d z f dxdydz z y x f θρρθρθρ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=,sin ,cos ,,⎰⎰⎰=βαθρθρθρθρθρθρρρθ)()(),(),(2121),sin ,cos (z z dz z f d d（ⅲ）利用球面坐标计算三重积分：若空间闭区域Ω可以表示为： },)()(,),(),(|),,{(2121βθαθϕϕθϕθϕθϕθϕ≤≤≤≤≤≤=Ωr r r r ，则()()θϕϕϕθϕθϕd drd r r r r f dxdydz z y x f sin cos ,sin sin ,cos sin ,,2⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=⎰⎰⎰=βαθϕθϕθϕρθϕρϕθϕθϕϕϕθ)()(),(),(22121)cos ,sin sin ,cos sin (sin dr r r r r f d d举例如下：教科书 P164习题10-3、1，（1）直角坐标、（2），直角坐标（先单后重。

三重积分的计算方法例题摘要：一、三重积分的概念及应用场景二、三重积分的计算方法1.重积分的计算2.重积分的换元法3.重积分的性质4.重积分的几何意义三、实例解析四、总结与拓展正文：一、三重积分的概念及应用场景三重积分是一种多元函数的积分形式，通常表示为对空间中一个几何体内部的属性进行积分。

它在物理学、工程学、经济学等领域具有广泛的应用。

三重积分的计算方法有多种，包括重积分、换元法等。

二、三重积分的计算方法1.重积分的计算重积分是指对一个空间函数在某个区域内的值进行积分。

求解重积分的过程通常包括以下步骤：确定被积函数、确定积分区域、选择积分顺序、进行积分计算。

2.重积分的换元法重积分的换元法是一种求解重积分的高效方法。

通过引入一个新的变量，将复杂的重积分问题转化为简单的一重积分问题。

换元法的关键在于选择合适的换元函数，使得积分过程变得简洁。

3.重积分的性质重积分具有线性、可交换、满足乘法公式等性质。

这些性质使得重积分在实际计算中具有很好的灵活性，可以简化计算过程。

4.重积分的几何意义重积分在几何上的意义是对一个立体图形的质量进行求解。

具体来说，重积分可以表示为空间曲线长度、曲面面积或体积的函数。

这为求解空间几何问题提供了理论依据。

三、实例解析以一个球体的体积为例，介绍三重积分的计算过程。

设球体的半径为R，球体的密度为ρ。

我们需要求解球体内部某一区域内质量的分布。

1.确定被积函数：球体内部的密度函数，即ρ(x, y, z)。

2.确定积分区域：球体内部，用球坐标系表示为x^2 + y^2 + z^2 <R^2。

3.选择积分顺序：先对z积分，再对y积分，最后对x积分。

4.进行积分计算：利用重积分公式，计算出球体内部的质量分布。

四、总结与拓展本文详细介绍了三重积分的计算方法，包括重积分、换元法等。

通过实际应用场景和实例解析，加深了对三重积分的理解。

在实际问题中，三重积分有着广泛的应用，掌握其计算方法有助于解决诸多实际问题。

三重积分计算详解例题当我们进行三重积分计算时，通常会遇到一个三维空间中的函数，我们希望求解该函数在某个特定区域上的体积、质量、质心等物理量。

下面我将以一个具体的例题来详细解释三重积分的计算过程。

假设我们要计算函数f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2在球体x^2 + y^2 + z^2 <= 1上的体积。

首先，我们需要确定积分的顺序，由于球体的形状对称性较好，我们选择球坐标系进行积分。

球坐标系下，积分区域为0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π。

接下来，我们可以按照r、θ、φ的顺序进行积分。

首先对r进行积分，然后是θ，最后是φ。

具体的计算过程如下：∫∫∫(球体内部) x^2 + y^2 + z^2 dV = ∫[0, 2π] ∫[0, π] ∫[0, 1] (r^2) r^2 sin(θ) dr dθ dφ。

其中，dV = r^2 sin(θ) dr dθ dφ是球坐标系下的体积元素。

对r进行积分后得到，∫[0, 2π] ∫[0, π] ∫[0, 1] r^4sin(θ) dr dθ dφ = 2π ∫[0, π] sin(θ) dθ ∫[0, 1]r^4 dr.继续计算可得，2π (-cos(π) + cos(0)) (1/5) = 2π (2) (1/5) = 4π/5。

因此，函数f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2在球体x^2 + y^2+ z^2 <= 1上的体积为4π/5。

这就是对三重积分计算的详细解释。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的坐标系和积分顺序，通过逐步积分来求解体积、质心等物理量。

希望这个例题能够帮助你更好地理解三重积分的计算过程。

三重积分练习题第六讲三重积分、重积分应用习题课教学目的使学生能更清楚进行三重积分计算时．在何种情况下用何种坐标计算，以便灵活的进行三重积分的计算．使学生能方便地运用重积分进行曲面的面积，质心，转动恒量以及引力的计算教学重点通过三重积分计算的强化使学生明确在三重积分计算时如何确定用何种坐标以及各是如何化为三次积分．教学难点柱面坐标与球面坐标所适用情况的区分与判定. 教学时数学时教学过程一、知识回顾1．三重积分的意义及物理模型．在直角坐标，柱面坐标，球面坐标下计算三重积分柱面坐标与球面坐标.柱面坐标，球面坐标分别与直角坐标之关系. 直角坐标化柱面坐标，球面坐标的公式. 何时用何种坐标计算. 3．曲面的面积，物体的质心，转动惯量及引力的计算曲面的面积：关键在找曲面在坐标面的投影，这里问题是往何坐标面上投如何找投影区域物理应用，注意利用密度为常数以及物体所占区域在坐标面上的对称性.二、练习1．将I=zdv?分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下的三次积分，并选择其中一种计算出结果．其中?是由曲面z=2?x?y22及z=x+y所围成的闭区域.22分析为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标平面上，由于是由两张曲面z?2?x?y22及z?x?y，而由这两个方程所组成的方22?z??z??程组极易消去z，我们把它投影到xoy面上．然后，为在指定的坐标系下计算之，还应该先把?的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换?z??22222z??解将?投影到xoy平面上，由消去z得 =2-，或=0，于是有 x+y=1．即知，?在xoy平面上的投影为圆域D：22x+y?1 ．222222为此在D内任取一点Q，过Q作平行于z轴的直线自下而上穿过?．穿入时碰22到的曲面为z?x?y，离开时碰到的曲面为z?2?x?y22，这是因为x2+y2?1)22直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z的变化范围从而化为三重积2222分．因此再由D：x+y?1，有z?x?y?z?2?x?y，于是在直角坐标下，?可表示为?，y?x2?y2?z???:于是有1?x22?x?y22I=?1柱面坐标下?dxdy?1?x2x?y2?zdz2.首先把?的表面方程用柱面坐标表示，这时z=x+y表示为z= ?，z=222?x?y22表示为z=2??表示为22．再由投影区域D为x+y?1．故01，0?θ?2?．于是?可?02?,???01,?22??z?2??.??：?将所给三重积分中的体积元素d?用d?=?d?d?dz去替换，有2?12??2I=球面坐标下zd??=z?d?d?dz?=?d??d????22dz.cos?用球面坐标代换两曲面的方程，得曲面z=xz=2?x?y 2222变为?=sin?；曲面2变为?=2．22由?在xoy平面上的投影为x+y?1知02?，下边找?的变化范围．??22正z轴在?内，即?内有点P，使op与oz夹角为零，即?的下界为零．又曲面z=x+y??与xoy平面相切，故?的上界为2，于是02再找?的变化范围．原点在?的表面上，故?取到最小值为零．为找?的上界，从原点出发作射线穿过?，由于?的表面由两张曲面所组成，因而?22??z?x?y，?22z?2?x?y的上界随相应的的不同而不同．为此在两曲面的交线上取一点A，故A所对应的???4．?cos?2当42时，r的上界由曲面r=sin?所给，故这时r ?cos?sin?2?cot?csc?．即r的变化范围为??2,当0时，??4?r???cot?，当时。

三重积分的概念及其计算三重积分是对于具有三个独立变量的函数在三维空间内的积分。

它对于解决和分析各种物理、几何和工程问题起着重要的作用。

在本文中，我们将讨论三重积分的概念、计算方法以及一些应用。

首先，让我们来讨论三重积分的定义和概念。

三重积分是对于一个三维实值函数，在一个三维有界区域内的体积进行积分。

三重积分的符号表示为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是被积函数，表示在(x,y,z)处函数的值；dV表示积分元素，用于表示积分的区域体积。

为了计算三重积分，我们需要确定被积函数的积分区域。

这个区域可以是一个有界的立体，也可以是由不同的条件限定的多个区域的并集。

一旦确定了积分区域，我们可以通过将该区域划分成较小的体积元素，并对每个体积元素进行积分来逼近整个区域的积分值。

接下来，我们将讨论三种常用的计算三重积分的方法。

第一种方法是直角坐标系下的三重积分计算。

在直角坐标系下，我们可以将积分区域划分为一系列的长方体或平行六面体，每个体积元素的体积可以表示为ΔV=ΔxΔyΔz，其中Δx、Δy和Δz分别是划分的长方体或平行六面体边长的增量。

然后，我们可以对每个体积元素进行积分，并将所有体积元素的积分值相加，得到最终的三重积分值。

第二种方法是柱面坐标系下的三重积分计算。

在柱面坐标系下，我们可以通过引入新的变量，如极角θ和距离原点的距离ρ来简化积分计算。

积分区域可以通过极坐标变换转换为适合柱面坐标的形式。

然后，我们可以对每个体积元素进行积分，并将所有体积元素的积分值相加，得到最终的三重积分值。

第三种方法是球面坐标系下的三重积分计算。

在球面坐标系下，我们可以通过引入新的变量，如极角θ、方位角φ和距离原点的距离r来简化积分计算。

积分区域可以通过球坐标变换转换为适合球面坐标的形式。

然后，我们可以对每个体积元素进行积分，并将所有体积元素的积分值相加，得到最终的三重积分值。

除了上述的计算方法，我们也可以使用数值方法来计算三重积分。

三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。

其实质是计算一个定积分〔一重积分〕和一个二重积分。

从顺序看：如果先做定积分⎰21),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰Dd y x F σ),(，就是“投影法〞，也即“先一后二〞。

步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。

多D 上一点〔x,y 〕“穿线〞确定z 的积分限，完成了“先一〞这一步〔定积分〕；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二〞这一步。

σd dz z y x f dv z y x f Dz z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=21]),,([),,(如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是“截面法〞，也即“先二后一〞。

步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。

区域z D 的边界曲面都是z 的函数。

计算区域z D 上的二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(，完成了“先二〞这一步〔二重积分〕；进而计算定积分⎰21)(c c dz z F ，完成“后一〞这一步。

dz d z y x f dv z y x f c c D z]),,([),,(21σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=当被积函数f 〔z 〕仅为z 的函数〔与x,y 无关〕，且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法〞尤为方便。

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。

可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)（1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算〔当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算〕（2） D 是圆域〔或其局部〕，且被积函数形如)(),(22xyf y x f +时，可选择柱面坐标系计算〔当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算〕〔3〕Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。