高中数学人教B版选修2-2 第一章1.4.1曲边梯形的面积与定积分 定积分求面积 共27张PPT

1．4 定积分与微积分基本定理1．4.1 曲边梯形面积与定积分1．了解曲边梯形及其面积的含义；了解求曲边梯形面积的“分割、近似代替、求和、取极限”的基本过程．(重点)2．掌握定积分的概念，会用定义求定积分．(难点)3．理解定积分的几何意义与性质．(易混点)[基础·初探]教材整理1 曲边梯形阅读教材P36，完成下列问题．由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线________所围成的图形称为曲边梯形(如图1-4-1)．图1-4-1【答案】y＝f(x)教材整理2 定积分的定义阅读教材P38，完成下列问题．设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上(如图1-4-2)．用分点a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n －1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi ，作和式I n ＝∑i ＝0n －1f(ξi )Δx i ，当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把________________叫做____________________上的定积分，记作∫b af(x)dx ，即∫b af(x)dx ＝lim λ→0∑i ＝0n －1f(ξi )Δx i .其中f(x)叫做________，a 叫____________，b 叫________，f(x)dx 叫做被积式．此时称函数f(x)在区间[a ，b]上________．图1-4-2【答案】 和式I n 的极限 函数f(x)在区间[a ，b] 被积函数 积分下限 积分上限 可积教材整理3 定积分的性质与几何意义 阅读教材P 39，完成下列问题． 1．定积分的性质(1)⎠⎛a b cf(x)dx ＝____________________________(c 为常数)．(2)设f(x)，g(x)可积，则⎠⎛a b [f(x)±g(x)]dx ＝⎠⎛abf(x)dx ±________________________.【答案】 1.(1)c ⎠⎛a b f(x)dx (2)⎠⎛a b g(x)dx2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有________，那么定积分⎠⎛a b f(x)dx 表示由__________________所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分⎠⎛ab f(x)dx 的几何意义．【答案】 f(x)≥0 直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f(x)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎠⎛a b f(x)dx ＝⎠⎛ab f(t)dt.( )(2)⎠⎛a b f(x)dx 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛a b (x 2＋2x )dx ＝⎠⎛a b x 2dx ＋⎠⎛a b 2x dx.( )【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 2．填空(1)由y ＝0，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π2围成的图形的面积用定积分的形式表示为__________．(2) ⎠⎛-11f(x)dx ＝⎠⎛-10f(x)dx ＋__________.(3)⎠⎛012x dx__________⎠⎛022x dx.(填“<”“＝”或“>”) 【答案】 (1) ⎠⎜⎛0π2cos xdx (2)⎠⎛01f(x)dx (3)< [质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]。

1．4.1定积分的概念一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义． 二、教学重点：1.掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）．2.定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 三、教学方法： 探析归纳，讲练结合 教学过程： （一）．创设情景复习：1．连续函数的概念；2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？（二）．新课讲授1. 曲边梯形的面积，汽车行驶的路程问题：汽车以速度v 组匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为()22v t t =-+（单位：km/h ），那么它在0≤t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S （单位：km ）是多少？分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间[]0,1分成n 个小区间，在每个小区间上，由于()v t 的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S （单位：km ）的近似值，最后让n 趋紧于无穷大就得到S （单位：km ）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）．【解析】：（1）分割在时间区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间： 10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其长度为11i i t n n n-∆=-= 把汽车在时间段10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上行驶的路程分别记作： 1S ∆，2S ∆，…，n S ∆显然，1nii S S ==∆∑（2）近似代替当n 很大，即t ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为函数()22v t t =-+的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n-处的函数值2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从物理意义上看，即使汽车在时间段1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻1i n -处的速度2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有21112i i i i S S v t n n n ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112(1,2,,)i i n n n n -⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ ①（3）求和由①，21111112nnn n i i i i i i S S v t n n n n ===⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'=∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑=221111102n n n nn n-⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()222311212n n ⎡⎤-+++-+⎣⎦=()()3121126n n n n ---+=11111232n n ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 从而得到S 的近似值 11111232n S S n n ⎛⎫⎛⎫≈=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（4）取极限当n 趋向于无穷大时，即t ∆趋向于0时，11111232n S n n ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于S ，从而有 1111115lim limlim 112323nn n n n i i S S v nn n n →∞→∞→∞=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S 与由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积有什么关系？结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程lim n n S S →∞=在数据上等于由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积．一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为()v v t =，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移S ．2、定积分的概念、几何意义、性质前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤： 分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近） 对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 1）．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121ii nax x x x x x b将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x （b axn），在每个小区间1,i i x x 上任取一点1,2,,ii n ，作和式：11()()n nni i i i b aS f xf n如果x 无限接近于0（亦即n）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

《曲边梯形的面积与定积分》教学设计一、教学内容分析：本节课选自人教B版教材选修2-2第一章《导数及其应用》，本节课是第四节《定积分与微积分基本定理》的第二课时．从知识体系上看，本章介绍了微积分中最基本的两个概念：导数与定积分，并通过微积分基本定理将这两个概念联系起来，使学生对微积分学有一个最基本的了解．从思想方法上看，本章通过对导数和定积分的概念的学习，让学生体会以直代曲，无限逼近的思想方法，感受从直观到抽象，从实例到概念的学习方式．从教材内容安排和课程标准上看，本章的教学的重点并不是让学生掌握严格标准的定义方式与定理推导，而是借助几何直观和具体实例，体会微积分学的基本思想和应用背景，因此概念形成的过程以及应用更加重要．在本章中，导数及其应用是重点，而定积分的概念是在学习了导数之后，进一步感受以直代曲，无限逼近的思想，使得学生对微积分学知识框架和思想方法有一个比较完整的了解．二、教学目标：知识与技能：了解定积分的概念，理解定积分的几何意义以及应用．会用定义与几何意义计算简单的定积分．过程与方法：通过实例，体验“分割，近似代替，求和，取极限”的过程，感受以直代曲，无限逼近的思想方法．情感态度与价值观：通过定积分概念的形成过程与定积分的应用，渗透将数学理论与实际问题相结合的思想；在无限逼近的极限思想中感受量变与质变的对立统一．三、学情分析：定积分概念的形成过程与“以直代曲，无限逼近”的思想方法是本节课的重点也是难点．本节课授课对象是高二学生，在必修三算法部分，教材中介绍过割圆术，学生对“以直代曲，无限逼近”的思想方法有过一些了解，在本章前面导数的学习过程中，学生通过对切线与导数的学习，再一次接触到以直代曲的思想方法与极限的运算，这些都为本节课的学习奠定了基础．但是，算法案例在教学中只是一般性的介绍，没有定量的计算．对于极限，本册教材中也没有给出明确的定义与计算方法，学生也只是通过对数字和函数的直观印象来确定极限．因此，学生对极限思想的理解还有很多模糊不清的地方．根据学生的基础与理解能力，结合本节课的教学目标，在教学中多利用几何直观，利用学生已有的经验，强调对思想方法的理解．另外，学生对数学符号语言的理解与使用还不是很熟练，对于定积分概念的抽象表达也会有一定的障碍，如何处理好从具体到抽象的表达，也是本节课的关键．三、重点难点：重点：定积分的概念与几何意义，“以直代曲，无限逼近”的思想方法．难点：1．定积分概念的形成，以直代曲，无限逼近的思想方法；2．使用数学符号语言表达定积分的概念．四、教学过程：1n x -<<个小区间，其长度依次为,2,,.n,}n ．在每个小区间上任取一点i ξ，作和式时，如果和式的极限存在，我们把和式的极限叫做函数上的定积分，记作描述定积分的概念，积分符号的含义，和使用数学符号语言的能力1,没有极限．．分析曲边梯形的面积和变力做功问题的共性，总结定积分的思想练习：变速运动的位移．一质点沿着一条直线做变速运动，速度为。

庖丁巧解牛知识·巧学一、曲边梯形的面积 1.曲边梯形我们把直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形. 2.曲边梯形面积的算法把区间［a,b ］分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形,每个小曲边梯形“以直代曲”,即用矩形的面积近似替代小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值.方法点拨 拆分越来越细,近似程度就会越来越好,即用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积. 3.求曲边梯形面积的步骤(1)分割:将［a,b ］等分成n 个小区间:［a,a+n a b -］,［a+n a b -,a+na b )(2-］,…,［a+n a b n ))(1(--,b ］.第i 个区间为［a+n a b i ))(1(--,a+na b i )(-］.分别过n 个小区间的端点作y 轴的平行线将曲边梯形分成n 个小曲边梯形,每个小曲边梯形的面积记作ΔS 1、ΔS 2,…,ΔS n .S=∑=∆ni iS1.(2)近似代替:当Δx 很小时,可用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i , 即ΔS i ≈ΔS i ′=f ［a+na b i ))(1(--］Δx.(3)求和:S n =∑='∆ni iS 1.(4)取极限:S=∑=∞→∞→'∆=ni i n nn S S1lim lim .深化升华 ①近似代替时,用第i 个小区间左端点对应的函数值与Δx 相乘求出的为不足近似值.用右端点对应的函数值与Δx 相乘求出的为过剩近似值;当n→∞时这两种取法求得的曲面面积是相同的,实质上只要取区间［a+n a b i ))(1(--,a+na b i )(-］内任何一点对应的函数值计算小曲面的面积,只要n→∞,求得的结果都一样. ②求和时首先可提公因式n1,再将和进行处理,算出S n . ③取极限时注意n→∞. 二、汽车行驶的路程一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为v=v(t),那么我们可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法,求出它在a≤t≤b 内所做的位移s.方法点拨 其解决的方法与求曲边梯形面积类似,我们采取“以不变代变”的方法,把求变速直线运动的路程问题,化归为求匀速直线运动的路程问题. 三、定积分的概念 1.定积分的概念如果函数f(x)在区间［a,b ］上连续,用分点a=x 0<x 1<…<x i -1<x i <…<x n =b,将区间［a,b ］等分成n 个小区间,在每个小区间［x i -1,x i ］上任取一点ξi (i=1,2,…,n),作和式x=∑∑==-=∆ni n i inab x f 11)(εf(ξi ),当n→∞时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间［a,b ］上的定积分,记作dx x f ba⎰)(,即∑⎰=-=ni i baf nab dx x f 1)()(ε.这里a 与b 分别叫做积分下限和积分上限,区间［a,b ］叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式.疑点突破 ①定积分是一种“和”的极限.在定积分的定义中,含着分割、近似代替、求和、取极限这种解决问题的思想.这种思想方法来源于“计算底在区间［a,b ］上,高为y=f(x)的曲边梯形的面积”等问题.②定积分上限和下限之间的关系.在定义中假设a<b.当a=b 或a>b 时,不难验证dx x f aa⎰)(=0,dx x f b a⎰)(=dx x f ab⎰-)(.③定积分的值仅与被积函数f(x)及积分区间［a,b ］有关,与积分变量用什么字母无关. ④定积分dx x f ba⎰)(存在的必要条件是函数f(x)在区间［a,b ］上有界.因此,当函数f(x)在区间［a,b ］上无界时,定积分dx x f ba⎰)(是不存在的.⑤定积分是一个常数.因为定积分是一种“和”的极限值,所以是一个常数,因此,(dx x f ba⎰)()′=0,d dx x f ba⎰)(=0.2.定积分的几何意义图1-5-1当函数f(x)在区间［a,b ］上恒为正时,定积分dx x f ba⎰)(的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积.一般情况下(如图1-5-1),定积分dx x f b a⎰)(的几何意义是介于x 轴、函数f(x)的图象以及直线x=a 、x=b 之间各部分面积的代数和,在x 轴上方的面积取正号;在x 轴下方的面积取负号. 3.定积分的性质由定积分的定义,可得到定积分的如下性质: (1)dx x kf ba ⎰)(=k dx x f ba⎰)((k 为常数).(2)⎰⎰⎰±=±ba b abadx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121.(3)⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(深化升华 不论a,b,c 三点的相互位置如何,恒有⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(.这一性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 知识拓展 性质4.若在区间［a,b ］上,f(x)≥0,则dx x f ba⎰)(≥0.推论1.若在区间［a,b ］上,f(x)≤g(x),则dx x f ba⎰)(≤dx x g ba⎰)(.推论2.|dx x f ba⎰)(|≤⎰badx x f |)(|.性质5.(估值定理)设函数f(x)在区间［a,b ］上的最小值与最大值分别为m 与M,则 m(b-a)≤dx x f ba⎰)(≤M(b -a).证明:因为m≤f(x)≤M,由性质4的推论1得⎰bamdx ≤dx x f ba⎰)(≤⎰baMdx ,即m⎰badx ≤dx x f b a⎰)(≤M ⎰badx .故m(b-a)≤dx x f ba⎰)(≤M(b -a).利用这个性质,由被积函数在积分区间上的最小值及最大值,可以估计出积分值的大致范围. 问题·探究问题1 火箭发射后t s 的速度为v(t),假定0≤t≤10,对函数v(t)按f(x 1)Δx+f(x 2)Δx+…+f(x n )Δx 式所作的和具有怎样的实际意义?思路:本题考查“近似代替”“无限细分”和“无穷积累”的数学思想方法. 探究:将区间［0,10］等分成n 个小区间,每个小区间的长度为Δt,在每个小区间上取一点,依次为t 1,t 2,…,t i ,…,t n ,虽然火箭的速度不是常数,但在一个小区间内其变化很小,所以可以用v(t 1)来代替火箭在第一个小区间上的速度,这样v(t 1)Δt≈火箭在第一个时段内运行的路程;同理,v(t 2)Δt≈火箭在第二个时段内运行的路程,从而S n =v(t 1)Δt+v(t 2)Δt+…+v(t n )Δt≈火箭在10 s 内运行的总路程.这就是函数v(t)在时间区间［0,10］上按f(x 1)Δx+f(x 2)Δx+…+f(x n )Δx 所作的和的实际背景. 当Δt 无限趋近于0,S n 就是无限趋近于火箭在10 s 内所运行的总路程. 问题2 定积分的几何意义是什么?思路:利用定积分的定义,先分割,再近似代替,然后作和,求出极限即得所求. 探究:从几何上看,如果在区间［a,b ］上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分dx x f ba⎰)(表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.这就是定积分dxx f ba⎰)(的几何意义. 典题·热题例n n nn nn222)1()21()11(lim ++++∞→ =_________________.思路解析: n n nn nn222)1()21()11(lim ++++∞→=∑+=∞→n i n n ni e 121)1ln(lim =∑+=∞→n i n n ni e11)1ln(2lim =⎰21ln 2xdxe答案:e ⎰21ln 2xdxe例2用定积分的定义求出由y=3x,x=0,x=1,y=0围成的图形的面积.思路分析:利用定积分的定义,先分割,再近似代替,然后作和,求出极限即得面积. 解:(1)分割:把区间［0,1］等分成n 个小区间［n i n i ,1-］(i=1,2,…n).其长度为Δx=n1,把曲边梯形分成n 个小曲边梯形,其面积记为ΔS i (i=1,2,…n).(2)近似代替:用小矩形面积代替小曲边梯形面积,ΔS i =f(n i 1-)Δx=3·n i 1-·n 1=23n(i-1),(i=1,2,…n). (3)作和:21213)1(3n i n S ni ni i =-=∆∑∑==［1+2+…+(n -1)］=n n 123-∙. (4)求极限:S=23123lim )1(3lim12=-∙=-∞→=∞→∑n n i nn ni n . 深化升华 本题考查的是用定积分的方法求面积,用定积分的定义求面积是定积分的一个应用方式,也是定积分产生的源泉.通常的做法就是将图形分成一些非常小的图形,然后求出这些小图形面积的和,最后再求极限.例3已知某运动的物体做变速直线运动,它的速度v 是时间t 的函数v(t),求物体在t=0到t=t 0这段时间内所经过的路程s.思路分析:利用定积分的定义,先分割,再近似代替,然后作和,求出极限即得路程. 解:(1)分割:将时间区间［0,t 0］分成n 等份:［nit n i ,10-t 0］(i=1,2,…,n),每个小区间所表示的时间为Δt=nt 0;各区间物体运动的距离记作Δs i (i=1,2,…,n). (2)近似代替:在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的距离.在小区间［00,1t nit n i -］上任取一时刻ξi (i=1,2,…,n).用时刻ξi 的速度v(ξi )近似代替第i 个小区间上的速度.由匀速直线运动的路程公式,每个小区间上物体运动所经过的距离可以近似地表示为Δs i ≈v(ξi )Δt(i=1,2,…,n).(3)求和:因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做匀速直线运动的路程近似代替,所以在时间［0,t 0］内物体运动的距离s,就可以用这一物体分别在n 个小区间上作n 个匀速直线运动的路程和近似代替,即s=∑∑==∆≈∆ni in i it v S 11)(ε.(4)求极限:当所分时间区间越短,即Δt=n t 0越小时,∑=∆ni i t v 1)(ε的值越接近于s.因此,当n→∞,即Δt=n t 0→0时,∑=∆ni i t v 1)(ε的极限,就是所求的物体在时间区间［0,t 0］上经过的路程.由此得到s=∑=∞→∆ni in t v 1)(limε.深化升华 s=∑=∞→∆ni in t v 1)(limε为做变速直线运动的物体在［0,t 0］这段时间内所运动的路程,其中ξi 为区间［00,1t n i t n i -］上的任意值,取ξi =n i 1-t 0时,s=∑=∞→∆-ni n t t n i v 10)1(lim ;取ξi =n i t 0时,s=∑=∞→∆ni n t t n iv 10)(lim ;取ξi =i i n t n it n t i )1()1(000-=⨯-时,s=∑=∞→∆-ni n t i i nt v 1])1([lim.当物体做匀速直线运动时,上面的结论仍成立. 例4利用定积分的几何意义,说明下列等式. (1)⎰12xdx =1;(2)21112π=-⎰-dx x .思路分析:定积分的几何意义是指曲边梯形的面积,只要理解被积函数和积分极限的意义,并作出图形,即可得到解决. 解:(1)如图1-5-2,⎰12xdx 表示由曲线y=2x,直线x=0,x=1,y=0所围成的图形(直角三角形)的面积, 由S Δ=21×2×1=1,故⎰102xdx =1.(2)如图1-5-3,⎰--1121dx x 表示圆x 2+y 2=1在第一、二象限的上半圆的面积.由S 半圆=2π,又在x 轴上方,故21112π=-⎰-dx x .图1-5-2 图1-5-3 例5利用定积分计算⎰23dx x 的值.思路分析:令f(x)=x 3,按分割、近似代替、作和、求极限四步求解.解:令f(x)=x 3.⎰23dx x ≈∑=-+ni ni a f 1)2(·n 2=∑=n i ni n 13)2(2=]321[16])2()4()2[(233334333n n n n n n n ++++=+++2222)1(4)1(4n n n n +=+∙= 取极限⎰23dx x =22)1(4lim nn n +∞→=4. 误区警示 将区间［0,2］分成n 个小区间,每个区间长为n2,并且第i 个区间是［n i n i 2,)1(2-］,习惯上按n1计算ξ. 例6估计定积分⎰+π023sin 21dx x的值. 思路分析:首先计算出被积函数在给定区间上的最大值和最小值,然后利用估值定理求解. 解:∵当x ∈［0,π］时,0≤sinx≤1,∴0≤23sin x≤1, 因此有2≤2+23sin x≤3,31≤x23sin 21+≤21, 于是由估值定理有2sin 21323πππ≤+≤⎰dx x.。

1． 曲边梯形面积与定积分 (一)明目标、知要点 1.认识“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法 .2.会求曲边梯形的面积及变力所做的功．1．曲边梯形的面积(1) 曲边梯形：曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形称为曲边梯形 (如图①所示)．(2) 求曲边梯形面积的方法把区间[a ，b]分红很多小区间，从而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似取代小曲边梯形的面积， 获得每个小曲边梯形面积的近 似值，对这些近似值乞降，就获得曲边梯形面积的近似值 (如图②所示)．求曲边梯形面积的步骤：①切割，②近似取代，③乞降，④取极限．n －1 2．曲边三角形或曲边梯形的面积：S ＝lim f(xi)x ，战胜弹簧的拉力的变力所做的功：Wn→＋∞i＝0＝lim n－1f(xi)x.n→＋∞i＝0 [情境导学]任何一个平面图形都有面积，此中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，能够利用有关公式进行计算．如下图的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，怎样计算这个曲边梯形的面积呢？研究点一求曲边梯形的面积思虑1怎样计算以下两图形的面积？答①直接利用梯形面积公式求解．②转变为三角形和梯形求解．S，图形与2我们熟习的“直边图形”有什么差别？答已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的全部边都是直线段．思虑3可否将求曲边梯形的面积问题转变为求“直边图形”的面积问题？(概括主要步骤)答(如图)能够经过把区间[0,1]分红很多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似取代小曲边梯形的面积，获得每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行乞降，就获得曲边梯形面积的近似值，跟着拆分愈来愈细，近似程度会愈来愈好．求曲梯形的面能够通切割、近似取代、乞降、取极限四个步达成．思虑4在“近似取代”中，假如函数f(x)＝x 2在区[i－1，i](i＝1,2，⋯，n)上的近n n似地等于右端点i的函数f(i)，用种方法能求出S的？若能求出，个也是1？n n3取随意ξ∈[i－1，ii n n]的函数f(ξi)作近似，状况又怎？其原理是什么？1答都能求出S＝3.我解决此的原理是“近似取代”和“以直代曲”，在极限状下，小曲梯形能够看做小矩形．例1求由直x＝0，x＝1，y＝0和曲y＝x2所成的形的面．解(1)切割将区[0,1]平分n个小区：11223i－1i]，⋯，[n－1，1]，[0，]，[，]，[，]，⋯，[，nn n n n n nni i－11每个小区的度x＝n－n＝n.各分点作x的垂，把曲梯形分红 n个小曲梯形，它的面分作S1，S2，⋯，S n.近似取代在区[i－1，i](i＝1,2，⋯，n)上，以i－1的函数i－12作高，小区的度x＝1作n n n n n底的小矩形的面作第i个小曲梯形的面，即i－121S i≈()·.n n乞降曲梯形的面近似n S i ≈ni －12 1S ＝(n)·i ＝1i ＝1n1 12 1 2 2 1n －1 2 1＝0·＋() ·＋() ·＋⋯＋(n) ·nn n n nnn13[12＋22＋⋯＋(n －1)2] 11 13(1－n )(1－2n )．取极限曲梯形的面11 11S ＝lim(1－)(1－)＝.n→∞3n 2n 3反省与感悟求曲梯形的思想及步：(1)思想：以直代曲、迫近； (2)步：切割→近似取代→乞降→取极限；(3)关：近似取代；(4)果：切割越，面越精准．追踪1求由抛物y ＝x 2与直y ＝4所成的曲梯形的面．解∵y ＝x 2偶函数，象对于 y 称，∴所求曲梯形的面抛物 y ＝x 2(x ≥0)与直x ＝0，y ＝4所形面S 暗影的2倍，下边求S 暗影．y ＝x 2x ≥0由，y ＝4得交点(2,4)，如所示，先求由直x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲y ＝x 2成的曲梯形的面．切割将区[0,2]n 平分，x ＝2，取ξ＝2i －1.nin(2)近似取代乞降n 2i －1 2 2S n ＝[n]·i ＝1n83[12＋22＋32＋⋯＋(n －1)2]n 81 1＝ 3(1－n )(1－2n )．取极限S ＝limS n ＝lim81 －18 .(1－)(12n )＝ n →∞n→∞3 n3∴ ∴所求平面形的面S 暗影＝2×4－83＝163.2S 暗影＝32，3即抛物y ＝x 2与直y ＝4所成的形面32 3.研究点二 求力做功 思虑 求速运的行程解法和曲梯形的面有什么系？ 答 求速直运的行程， 方法和步似于求曲梯形的面， 仍旧利用以直代曲 的思想，将速直运化匀速直运，求解程：切割、近似取代、求 和、取极限．例2 如，将一簧从均衡地点拉到离均衡地点 em ，求战胜力所做的功．解 在性限度内，拉伸()簧所需的力与簧拉伸()的度成正比，即F(x)＝kx(N)，此中k 比率系数．e e 2en －1e 将[0，e]n 平分，x ＝n ，分点挨次 x 0＝0，x 1＝n ，x 2＝n ，⋯，x n －1＝n，x n ＝e.当n 很大，在分段[x i ，x i ＋1]所用的力kx i ，所做的功W i ≈kx iex ＝kx i .n从0到e 所做的功W 近似地等于n －1 n －1 n －1ieeW i ＝kx i ·Δx ＝k ··i ＝0i ＝0i ＝0nnke 2n 2[0＋1＋2＋⋯＋(n －1)]ke 2nn －1ke 21＝n 2·2 ＝ 21－n .∴簧从均衡地点拉到 e 所做的功：n －12W ＝limW i ＝ke.n→＋∞i ＝02ke 2答战胜力所做的功 2 J.反省与感悟以“不代”的方法，把力做功化求常力做功．追踪2有一汽在笔挺的公路上速行，在刻 t 的速度v(t)＝3t 2＋2(位：km/h)，那么汽在 0≤t ≤2(位：h)段行家的行程S(位：km)是多少？解(1)切割在区[0,2]上等隔地插入 n －1 个分点，将它分红 n 个小区，第i 个小区[2i －1，2i](i ＝1,2，⋯，n)，其度 t ＝2i －2i －1＝2.每个段上行的行程S i (innnnnn＝1,2，⋯，n)，然有S ＝S i .i ＝1(2)近似取代 取ξ＝2iin (i ＝1,2，⋯，n)．于是S i ≈ΔS ′i ＝v(2i 2i 2＋2] 2)·Δt ＝[3() ·nnn24i 2 4n 3＋n (i ＝1,2，⋯，n)． 乞降nn24i 2 4242 ＋2 2 2S n ＝S ′i ＝(3 ＋)＝3(1＋⋯＋n)＋4i ＝1 i ＝1n nn＝ 24nn ＋1 2n ＋1 ＋43 · 6n1 18(1＋n )(1＋2n )＋4.从而获得 S 的近似 S ≈S n . 取极限S ＝limS n ＝lim11)＋4]＝8＋4＝12. [8(1＋)(1＋2n n →＋∞n →＋∞n所以段行家的行程12km.1．把区[1,3]n 平分，所得n 个小区的度均()1 231A.nB.nC.nD.2n 答案 B分析区[1,3]的度2，故n 平分后，每个小区的度均2 n.2．函数f(x)＝x 2在区i －1，i上()nnA ．f(x)的化很小B．f(x)的值变化很大C．f(x)的值不变化D．当n很大时，f(x)的值变化很小答案D分析当n很大，即x很小时，在区间[i－1，i]上，能够以为f(x)＝x2的值变化很小，近n n似地等于一个常数．3．在“近似取代”中，函数f(x)在区间[x i，x i＋1]上的近似值等于() A．只好是左端点的函数值f(x i)B．只好是右端点的函数值f(x i＋1)C．能够是该区间内任一点的函数值∈[x，x＋1]) f(ξi)(ξi i iD．以上答案均正确答案C4．求由曲线y＝1x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5平分，则2面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．答案分析将区间5平分所得的小区间为66778899，[1，]，[，]，[，]，[，]，[，2]55555555于是所求平面图形的面积近似等于136＋49＋64＋811×255＝1.02.10(1＋25252525)＝1025[呈要点、现规律]求曲边梯形面积和汽车行驶的行程的步骤：切割：n平分区间[a，b]；近似取代：取点ξi∈[x i－1，x i]；(3)n－1b－a 乞降：f(ξi)·；i＝0n(4)取极限：s＝lim n－1b－af(ξi)·n.“近似取代”也能够用较大的矩形来取代曲边梯形，为了计n→∞i＝0算方便，能够取区间上的一些特别点，如区间的端点(或中点)．学习不是一时半刻的事情，需要平常累积，需要平常的好学苦练。