山东卷(理科数学)1.(2012山东,理1)若复数z 满足z (2-i )=11+7i (i 为虚数单位),则z 为( ). A .3+5i B .3-5i C .-3+5i D .-3-5iA 设z =a +b i ,a ,b ∈R ,则z (2-i )=(a +b i )(2-i )=(2a +b )+(2b -a )i ,所以211,27,a b b a +=⎧⎨-=⎩解得3,5,a b =⎧⎨=⎩ 所以z =3+5i ,故选A .2.(2012山东,理2)已知全集U ={0,1,2,3,4},集合A ={1,2,3},B ={2,4},则(∁U A )∪B 为( ). A .{1,2,4} B .{2,3,4} C .{0,2,4} D .{0,2,3,4}C 易知∁U A ={0,4},所以(∁U A )∪B ={0,2,4},故选C .3.(2012山东,理3)设a >0,且a ≠1,则“函数f (x )=a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )=(2-a )x 3在R 上是增函数”的( ).A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件A 由函数f (x )=a x在R 上是减函数可得0<a <1,由函数g (x )=(2-a )x 3在R 上是增函数可得a <2,因为0<a <1⇒a <2,a <20<a <1,所以题干中前者为后者的充分不必要条件,故选A .4.(2012山东,理4)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查.为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A ,编号落入区间[451,750]的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷B 的人数为( ). A .7 B .9 C .10 D .15C 由题意可得,抽样间隔为30,区间[451,750]恰好为10个完整的组,所以做问卷B 的有10人,故选C .5.(2012山东,理5)设变量x ,y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数z =3x -y 的取值范围是( ).A .3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .3,-12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .[-1,6]D .36,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A 作出可行区域如图所示.目标函数z =3x -y 可变为y =3x -z ,作l 0:3x -y =0,在可行域内平移l 0,可知在A 点处z 取最小值为-32,在B 点处z 取最大值为6,故选A.6.(2012山东,理6)执行右面的程序框图,如果输入a =4,那么输出的n 的值为( ). A .2 B .3 C .4 D .5B 由程序框图知,当n =0时,P =1,Q =3;当n =1时,P =5,Q =7;当n =2时,P =21,Q =15,此时n 增加1变为3,满足P >Q ,循环结束,输出n =3,故选B .7.(2012山东,理7)若θ∈ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦,sin 28则si n θ=( ). A .35B .45C 4D .34D 由θ∈ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦,得2θ∈π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.又sin 28故cos 2θ=-18.故si n 34.8.(2012山东,理8)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +6)=f (x ).当-3≤x <-1时,f (x )=-(x +2)2;当-1≤x <3时,f (x )=x .则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 012)=( ). A .335 B .338 C .1 678 D .2 012B 由f (x +6)=f (x )得f (x )的周期为6,所以f (1)+f (2)+…+f (2 012)=335[f (1)+f (2)+…+f (6)]+f (1)+f (2),而f (1)=1,f (2)=2,f (3)=f (-3)=-1,f (4)=f (-2)=0,f (5)=f (-1)=-1,f (6)=f (0)=0,f (1)+f (2)+f (3)+…+f (6)=1,所以f (1)+f (2)+…+f (2 012)=338,故选B . 9.(2012山东,理9)函数y =cos622xxx --的图象大致为( ).D 令f (x )=cos622xxx --,则f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而f (-x )=cos(-6)22xxx --=-f (x ),所以f (x )为奇函数.又因为当x ∈10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭时,cos 6x >0,2x -2-x >0,即f (x )>0,而f (x )=0有无数个根,所以D 正确.10.(2012山东,理10)已知椭圆C :22x a+22y b=1(a >b >0)2.双曲线x 2-y 2=1的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为( ).A .28x +22y =1B .212x +26y =1C .216x +24y=1 D .220x +25y=1D 双曲线x 2-y 2=1的渐近线为y =±x ,与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形面积为16,可得四边形为正方形,其边长为4,双曲线的渐近线与椭圆C 的一个交点为(2,2),所以有24a+24b=1,又因为e =c a2a 2=b 2+c 2,联立解方程组得a 2=20,b 2=5,故选D .11.(2012山东,理11)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为( ). A .232 B .252 C .472 D .484C 完成这件事可分为两类,第一类3张卡片颜色各不相同共有31114444C C C C =256种;第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有12113434C C C C =216种,由分类加法计数原理得共有472种,故选C . 12.(2012山东,理12)设函数f (x )=1x,g (x )=ax 2+bx (a ,b ∈R ,a ≠0).若y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则下列判断正确的是( ). A .当a <0时,x 1+x 2<0,y 1+y 2>0 B .当a <0时,x 1+x 2>0,y 1+y 2<0 C .当a >0时,x 1+x 2<0,y 1+y 2<0 D .当a >0时,x 1+x 2>0,y 1+y 2>0B 解析:由题意知函数f (x )=1x,g (x )=ax 2+bx (a ,b ∈R ,a ≠0)的图象有且仅有两个公共点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),等价于方程1x=ax 2+bx (a ,b ∈R ,a ≠0)有两个不同的根x 1,x 2,即方程ax 3+bx 2-1=0有两个不同实根x 1,x 2,因而可设ax 3+bx 2-1=a (x -x 1)2(x -x 2),即ax 3+bx 2-1=a (x 3-2x 1x 2+21x x -x 2x 2+2x 1x 2x -x 221x ), ∴b =a (-2x 1-x 2),21x +2x 1x 2=0,-ax 221x =-1,x 1+2x 2=0,ax 2>0, 当a >0时,x 2>0,∴x 1+x 2=-x 2<0,x 1<0, ∴y 1+y 2=11x +21x =1212x x x x +>0.当a <0时,x 2<0,∴x 1+x 2=-x 2>0,x 1>0, ∴y 1+y 2=11x +21x =1212x x x x +<0.13.(2012山东,理13)若不等式|kx -4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3},则实数k = . 2 不等式|kx -4|≤2可化为-2≤kx -4≤2,即2≤kx ≤6,而不等式的解集为{x |1≤x ≤3},所以k =2.14.(2012山东,理14)如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E ,F 分别为线段AA 1,B 1C 上的点,则三棱锥D 1-EDF 的体积为 .16三棱锥D 1-EDF 的体积即为三棱锥F -DD 1E 的体积.因为E ,F 分别为AA 1,B 1C 上的点,所以在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中△EDD 1的面积为定值12,F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1,所以1E F D D V -=13×12×1=16.15.(2012山东,理15)设a >0.若曲线y x =a ,y =0所围成封闭图形的面积为a 2,则a = .49由题意可得曲线y x =a ,y =0所围成封闭图形的面积S =0a⎰x =3202|3ax =3223a =a 2,解得a =49.16.(2012山东,理16)如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P 的位置在(0,0),圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为 .(2-sin 2,1-cos 2)因为圆心由(0,1)平移到了(2,1),所以在此过程中P 点所经过的弧长为2,其所对圆心角为2.如图所示,过P 点作x 轴的垂线,垂足为A ,圆心为C ,与x 轴相切于点B ,过C 作PA 的垂线,垂足为D ,则∠PCD =2-π2,|PD |=sin π22⎛⎫- ⎪⎝⎭=-cos 2,|CD |=cos π22⎛⎫- ⎪⎝⎭=si n 2,所以P 点坐标为(2-si n 2,1-cos 2),即OP的坐标为(2-sin 2,1-cos 2).17.(2012山东,理17)已知向量m =(sin x ,1),n =3Acos ,cos22A x x ⎛⎫ ⎪⎭(A >0),函数f (x )=m ·n 的最大值为6.(1)求A ;(2)将函数y =f (x )的图象向左平移π12个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图象,求g (x )在5π0,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.解:(1)f (x )=m ·n =3A sin x cos x +2A cos 2x=A 31sin 2cos222x x ⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭=A sin π26x ⎛⎫+⎪⎝⎭.因为A >0,由题意知A =6. (2)由(1)f (x )=6sin π26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.将函数y =f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y =6sin ππ2126x ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=6sin π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象;再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到y =6sin π43x ⎛⎫+⎪⎝⎭的图象.因此g (x )=6si n π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.因为x ∈5π0,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦,所以4x +ππ7π,336⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故g (x )在5π0,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[-3,6].18.(2012山东,理18)在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是等腰梯形,AB ∥CD ,∠DAB =60°,FC ⊥平面ABCD ,AE ⊥BD ,CB =CD =CF . (1)求证:BD ⊥平面AED ;(2)求二面角F -BD -C 的余弦值.(1)证明:因为四边形ABCD 是等腰梯形,AB ∥CD ,∠DAB =60°,所以∠ADC =∠BCD =120°. 又CB =CD ,所以∠CDB =30°. 因此∠ADB =90°,AD ⊥BD .又AE ⊥BD ,且AE ∩AD =A ,AE ,AD ⊂平面AED , 所以BD ⊥平面AED.(2)解法一:由(1)知AD ⊥BD ,所以AC ⊥BC .又FC ⊥平面ABCD ,因此CA ,CB ,CF 两两垂直,以C 为坐标原点,分别以CA ,CB ,CF 所在的直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设CB =1,则C (0,0,0),B (0,1,0),D 1,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,F (0,0,1), 因此BD=3,022⎫⎪⎪⎝⎭,BF=(0,-1,1). 设平面BDF 的一个法向量为m =(x ,y ,z ),则m ·BD =0,m ·BF=0, 所以x, 取z =1,则m1,1).由于CF=(0,0,1)是平面BDC 的一个法向量,则cos <m ,CF>=·C F |||C F |m m=5所以二面角F -BD -C5解法二:取BD 的中点G ,连接CG ,FG ,由于CB =CD ,因此CG ⊥BD .又FC ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD , 所以FC ⊥BD .由于FC ∩CG =C ,FC ,CG ⊂平面FCG , 所以BD ⊥平面FCG .故BD ⊥FG .所以∠FGC 为二面角F -BD -C 的平面角. 在等腰三角形BCD 中,由于∠BCD =120°,因此CG =12CB .又CB =所以GF, 故cos ∠FGC 5因此二面角F -BD -C 519.(2012山东,理19)现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为34,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为23,每命中一次得2分,没有命中得0分,该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(1)求该射手恰好命中一次的概率;(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .解:(1)记:“该射手恰好命中一次”为事件A ,“该射手射击甲靶命中”为事件B ,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ,由题意知P (B )=34,P (C )=P (D )=23,由于A =B C D +BCD +B C D , 根据事件的独立性和互斥性得 P (A )=P (B C D +BCD +B C D ) =P (B C D )+P (BCD )+P (B C D )=P (B )P (C )P (D )+P (B )P (C )P (D )+P (B )P (C )P (D )=34×213⎛⎫- ⎪⎝⎭×213⎛⎫- ⎪⎝⎭+314⎛⎫- ⎪⎝⎭×23×213⎛⎫- ⎪⎝⎭+314⎛⎫- ⎪⎝⎭×213⎛⎫- ⎪⎝⎭×23=736.(2)根据题意,X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5, 根据事件的独立性和互斥性得 P (X =0)=P (B C D ) =[1-P (B )][1-P (C )][1-P (D )] =314⎛⎫- ⎪⎝⎭×213⎛⎫- ⎪⎝⎭×213⎛⎫- ⎪⎝⎭=136, P (X =1)=P (B C D )=P (B )P (C )P (D ) =34×213⎛⎫- ⎪⎝⎭×213⎛⎫- ⎪⎝⎭=112,P (X =2)=P (BCD +B C D )=P (BCD )+P (B C D ) =314⎛⎫- ⎪⎝⎭×23×213⎛⎫- ⎪⎝⎭+314⎛⎫- ⎪⎝⎭×213⎛⎫- ⎪⎝⎭×23=19,P (X =3)=P (BC D +B C D )=P (BC D )+P (B C D ) =34×23×213⎛⎫- ⎪⎝⎭+34×213⎛⎫- ⎪⎝⎭×23=13,P (X =4)=P (B CD ) =314⎛⎫-⎪⎝⎭×23×23=19,P (X =5)=P (BCD )=34×23×23=13.所以EX =0×136+1×112+2×19+3×13+4×19+5×13=4112.20.(2012山东,理20)在等差数列{a n }中,a 3+a 4+a 5=84,a 9=73. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)对任意m ∈N *,将数列{a n }中落入区间(9m ,92m )内的项的个数记为b m ,求数列{b m }的前m 项和S m . 解:(1)因为{a n }是一个等差数列,所以a 3+a 4+a 5=3a 4=84,a 4=28. 设数列{a n }的公差为d , 则5d =a 9-a 4=73-28=45, 故d =9.由a 4=a 1+3d 得28=a 1+3×9,即a 1=1.所以a n =a 1+(n -1)d =1+9(n -1)=9n -8(n ∈N *). (2)对m ∈N *,若9m <a n <92m , 则9m +8<9n <92m +8. 因此9m -1+1≤n ≤92m -1. 故得b m =92m -1-9m -1.于是S m =b 1+b 2+b 3+…+b m=(9+93+…+92m -1)-(1+9+…+9m -1)=9(181)181m ⨯---1919m--=219109180m m+-⨯+.21.(2012山东,理21)在平面直角坐标系xOy 中,F 是抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点,M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点,过M ,F ,O 三点的圆的圆心为Q ,点Q 到抛物线C 的准线的距离为34.(1)求抛物线C 的方程;(2)是否存在点M ,使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由;(3)若点M 直线l :y =kx +14与抛物线C 有两个不同的交点A ,B ,l 与圆Q 有两个不同的交点D ,E ,求当12≤k ≤2时,|AB |2+|DE |2的最小值.解:(1)依题意知F 0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,圆心Q 在线段OF 的垂直平分线y =4p 上,因为抛物线C 的准线方程为y =-2p ,所以34p =34,即p =1,因此抛物线C 的方程为x 2=2y .(2)假设存在点M 200,2x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭(x 0>0)满足条件,抛物线C 在点M 处的切线斜率为y '0|x x ==22x ⎛⎫ ⎪⎝⎭'0|x x==x 0. 所以直线MQ 的方程为y -202x =x 0(x -x 0),令y =14得x Q =02x +014x ,所以Q 0011,244x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.又|QM |=|OQ |,故200142x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+220142x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=200142x x ⎛⎫+⎪⎝⎭+116, 因此220142x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=916,又x 0>0,所以x 0此时M1).故存在点M1),使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M . (3)当x 0=,由(2)得Q 184⎫⎪⎪⎝⎭.☉Q 的半径为r8所以☉Q的方程为28x ⎛- ⎝⎭+214y ⎛⎫- ⎪⎝⎭=2732. 由21,21,4y x y kx ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩整理得2x 2-4kx -1=0. 设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 由于Δ1=16k 2+8>0,x 1+x 2=2k ,x 1x 2=-12,所以|AB |2=(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=(1+k 2)(4k 2+2).由22127,84321,4x y y kx ⎧⎛⎛⎫⎪-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩整理得(1+k 2)x 24-116=0.设D ,E 两点的坐标分别为(4). 由于Δ2=24k+278>0,x 3+x 44(1)k +x 3x 4=-2116(1)k +,所以|DE |2=(1+k 2)[(x 3+x 4)2-4x 3x 4]=2258(1)k ++14.因此|AB |2+|DE |2=(1+k 2)(4k 2+2)+2258(1)k ++14.令1+k 2=t ,由于12≤k ≤2,则54≤t ≤5.所以|AB |2+|DE |2=t (4t -2)+258t+14=4t 2-2t +258t+14,设g (t )=4t 2-2t +258t+14,t ∈5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦,因为g '(t )=8t -2-2258t,所以当t ∈5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦,g '(t )≥g '54⎛⎫ ⎪⎝⎭=6,即函数g (t )在t ∈5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦是增函数,所以当t =54时g (t )取到最小值132,因此当k =12时,|AB |2+|DE |2取到最小值132.22.(2012山东,理22)已知函数f (x )=ln exx k +(k 为常数,e =2.718 28…是自然对数的底数),曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线与x 轴平行.(1)求k 的值;(2)求f (x )的单调区间;(3)设g (x )=(x 2+x )f '(x ),其中f '(x )为f (x )的导函数,证明:对任意x >0,g (x )<1+e -2. (1)解:由f (x )=ln exx k +,得f '(x )=1ln ex kx x xx --,x ∈(0,+∞),由于曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线与x 轴平行, 所以f '(1)=0,因此k =1.(2)解:由(1)得f '(x )=1exx (1-x -x ln x ),x ∈(0,+∞),令h (x )=1-x -x ln x ,x ∈(0,+∞),当x ∈(0,1)时,h (x )>0;当x ∈(1,+∞)时,h (x )<0. 又e x >0,所以x ∈(0,1)时,f '(x )>0;x ∈(1,+∞)时,f '(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (3)证明:因为g (x )=(x 2+x )f '(x ),所以g (x )=1exx +(1-x -x ln x ),x ∈(0,+∞).因此对任意x >0,g (x )<1+e -2等价于1-x -x ln x <e 1xx +(1+e -2).由(2)h (x )=1-x -x ln x ,x ∈(0,+∞),所以h '(x )=-ln x -2=-(ln x -ln e -2),x ∈(0,+∞),因此当x ∈(0,e -2)时,h '(x )>0,h (x )单调递增;当x ∈(e -2,+∞)时,h '(x )<0,h (x )单调递减. 所以h (x )的最大值为h (e -2)=1+e -2, 故1-x -x ln x ≤1+e -2. 设φ(x )=e x -(x +1). 因为φ'(x )=e x -1=e x -e 0,所以x ∈(0,+∞)时,φ'(x )>0,φ(x )单调递增, φ(x )>φ(0)=0,故x ∈(0,+∞)时,φ(x )=e x -(x +1)>0,即e 1xx +>1.所以1-x -x ln x ≤1+e -2<e 1xx +(1+e -2).因此对任意x >0,g (x )<1+e -2.。
