函数的原函数与不定积分共25页文档

不定积分是原函数的全体，与定积分（积分区间确定）不同，它表示的是一类函数，而非具体数值。原函数存在定理指出，连续函数必有原函数，且原函数有无穷多个，彼此相差一个常数。不定积分的几何意义体现在它代表了一族积分曲线，这些曲线在相同自变量处的切线平行。不定积分具有线性性质，即和的积分等于积分的和，常数倍可提出积分号外。此外表达式，并通过例题展示了如何运用这些公式求解不定积分。需要注意的是，求解不定积分时，结果需加上任意常数c，表示原函数族中的任意一个。通过对比不定积分与定积分的定义、性质和求解方法，可以更深入地理解二者的区别与联系。

证明：因为 z f (z)dz 也是 f (z)的原函数, z0
所以
z
f (z)dz G(z) c,
z0
当 z z0 时, 根据柯西-古萨基本定理, 得 c G(z0 ),
所以
z z0
f (z)dz G(z) G(z0 ),
或
z1 z0
f
(
z
)dz

G(
z1

z02 ).
例2 求 i z cos z2dz 的值. 0
解：
i 0
z cos z2dz

1 2
i
cos
z 2dz 2

1
0
2
2
cos zdz
0

1 2
sin
z
2

0
1 sin( 2
2 )


1 sin 2
2 .
(本例使用了微积分学中的“凑微分”法)
11
解: 因为函数 2z2 8z 1 在复平面内处处解析,
所以积分与路线无关,根据牛顿—莱布尼兹公式:
(2z2 8z 1)dz 2a (2z2 8z 1)dz
C
0

2 3
z3

4z2

2a
z

0
16 3a3 162a2 2a. 3
19
z
F (z) f ( )d . z
2
0
§ 3.4 原函数与不定积分
定理二 如果函数 f (z)在单连通域B内处处解析,那么函数
必为B内的一个解析函数,且 证明：利用导数的定义来证.设z为B内任一点，以z为中心作一含于B内的

原函数和不定积分不定积分是微积分中的重要概念之一，与原函数密切相关。

在本文中，我们将深入探讨原函数和不定积分的概念、性质以及它们之间的关系。

一、原函数的定义和性质原函数是函数微积分中的一个概念，也被称为反导函数。

设函数F(x)在区间[a, b]上是连续函数，如果对于区间[a, b]上的任意点x，有F'(x) = f(x)，则函数F(x)是函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数。

原函数具有以下性质：1. 若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x) + C也是f(x)的原函数，其中C为常数。

2. 若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)在[a, b]上的任意两点A、B，有F(B) - F(A) = ∫[A, B]f(x)dx，即F(x)的值在[a, b]上的任意两点之差等于f(x)在[a, b]上的定积分。

二、不定积分的定义和性质不定积分是原函数的一种记法，用符号∫f(x)dx表示。

具体地说，如果F(x)是函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数，那么f(x)在区间[a, b]上的不定积分记作∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。

不定积分具有以下性质：1. 若F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。

2. 若f(x)和g(x)都是连续函数且具有原函数F(x)和G(x)，则∫[a,b](f(x) + g(x))dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[a, b]g(x)dx，即不定积分有线性性质。

3. 若F(x)是f(x)的一个原函数，则：a) 若a > b，则∫[a, b]f(x)dx = -(∫[b, a]f(x)dx)；b) 若a = b，则∫[a, b]f(x)dx = 0。

三、原函数与不定积分的关系原函数与不定积分密切相关，它们可以互相转换。

具体地说：1. 如果f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]上的不定积分∫f(x)dx存在。

不定积分一 原函数与不定积分的概念1 原函数的定义： 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x , 即对x I ∀∈, 都有()()F x f x '=或()()dF x f x dx '=则函数()F x 称为()f x 在区间I 上的一个原函数。

注 如果函数()f x 有原函数()F x ，则有无数多个原函数，且其中任意两个原函数相差一个常数，因而()f x 全部原函数可表示为：()F x c + （其中c 为任意常数）2 原函数存在的充分条件：设()f x 是区间I 上连续函数，则()f x 在区间I 上存在原函数。

3 不定积分定义在区间I 上, 函数()f x 的原函数的全体称为()f x 在区间I 上的不定积分, 记作()f x dx ⎰，即有()()f x dx F x c =+⎰ （其中()()F x f x '=）注：1不定积分与原函数是两个不同概念．不定积分是全体原函数集合，原函数是一个函数。

2函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线。

3不定积分定义给出求不定积分基本方法：求出()f x 的一个原函数()F x ，则()()f x dx F x c =+⎰【例】 若()f x 的导函数是sin x ，则()f x 的一个原函数为 （A ）1+sin x （B ）1sin x - （C ）1+cos x （D ）1cos x -解: 方法1 已知()sin f x x '=，而sin cos xdx x C =-+⎰，所以()0cos f x x C =-+又()()0cos sin f x dx x C dx x C x C =-+=-++⎰⎰，取00C=，1C =。

方法2 对（A ）（B ）（C ）（D ）中每一个函数求二阶导。

3．不定积分的基本运算性质设函数()f x 及()g x 的原函数都存在，则()()()()f x g x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰，其中,αβ是实常数。