人教A版(2019)高中数学课时练必修第一册第三章幂函数同步练习卷

高中数学人教A版（2019）必修一第三章第三节幂函数的性质及图像一、单选题(共11题；共55分)1．（5分）幂函数y=x23的大致图像是（）A．B．C．D．2．（5分）如图是幂函数y=x n的部分图像，已知n取12,2,−2,−12这四个值，则于曲线C1,C2,C3,C4相对应的n依次为（）A．2,12,−12,−2B．−2,−12,12,2C．−12,−2,2,12D．2,12,−2,−123．（5分）若幂函数f(x)=(m2+m−5)x m2−2m−3的图像不经过原点，则m的值为（）A．2B．-3C．3D．-3或24．（5分）如图的曲线是幂函数y=x n在第一象限内的图像.已知n分别取±2，±12四个值，与曲线c1、c2、c3、c4相应的n依次为（）A．2，12，−12，−2B．2，12，−2，−12C．−12，−2，2，12D．−2，−12，12，25．（5分）下图给出4个幂函数的图象，则图像与函数的大致对应是（）A．①y=x13，②y=x2，③y=x12，④y=x−1B．①y=x3，②y=x2，③y=x12，④y=x−1C．①y=x2，②y=x3，③y=x12，④y=x−1D．①y=x13，②y=x12，③y=x2，④y=x−16．（5分）函数y=x53的图象大致是()A．B．C．D．7．（5分）在下列四个图形中，y＝x−12的图像大致是()A．B．C．D．8．（5分）幂函数y=f(x)的图象经过点(8,2√2)，则f(x)的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）函数f(x)=x−12的大致图象是()A．B．C．D．10．（5分）函数y=x23的图象是（）A．B．C．D．11．（5分）函数y＝x a，y＝x b，y＝x c的图像如图所示，则实数a、b、c的大小关系为()A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 二、多选题(共2题；共10分)12．（5分）若函数f(x)=(3m2−10m+4)x m是幂函数，则f(x)一定（）A．是偶函数B．是奇函数C．在x∈(−∞，0)上单调递减D．在x∈(−∞，0)上单调递增13．（5分）已知幂函数y=xα的图像如图所示，则a值可能为（）A．13B．12C．15D．3三、填空题(共6题；共35分)14．（5分）已知幂函数f(x)=(m2−2m−2)x m2−2在(0，+∞)为减函数，则f(2)=. 15．（5分）若幂函数y=(m2−m−1)x m为偶函数，则m= .16．（5分）已知幂函数f(x)=mx n的图像过点(14，116)，则mn=.17．（5分）函数y=(m2−m−1)x m2−2m−1是幂函数，且在x∈(0，+∞)上是减函数，则实数m=.18．（5分）已知幂函数f(x)=(m2+m−1)x m的图像如图所示，那么实数m的值是.19．（10分）已知幂函数y=x n的图像过点(3，19)，则n=，由此，请比较下列两个数的大小：(x2−2x+5)n(−3)n.四、解答题(共1题；共10分)20．（10分）已知幂函数f(x)=xα的图像过点(2,4).（1）（5分）求函数f(x)的解析式；（2）（5分）设函数ℎ(x)=2f(x)−kx−1在[−1,1]是单调函数，求实数k的取值范围.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵23>0，∴幂函数在第一象限内的图象为增函数，排除A，C，D，故答案为：B．【分析】利用幂函数的单调性进行判断，可得答案。

第三章 3.31．在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝3x 中，幂函数的个数为( B ) A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 显然，根据幂函数定义可知，只有y ＝1x2＝x －2是幂函数． 2．幂函数y ＝x α(α∈R )的图象一定不经过( A )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限 [解析] ∵α∈R ，x >0，∴y ＝x α>0，∴图象不可能经过第四象限，故选A ．3．(2019·山东金乡县高一期中测试)已知幂函数f (x )＝x α(α是常数)的图象过点(2，12)，则函数f (x )的值域为( C )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(－∞，＋∞) [解析] 由题意得12＝2α，∴α＝－1. ∴f (x )＝x －1＝1x≠0， ∴f (x )的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．4．幂函数f (x )的图象过点(2，2)，那么f (9)的值是__3__.[解析] 设f (x )＝x α，∴2＝2α，∴212 ＝2α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12 ，∴f (9)＝912 ＝3. 5．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：(1)(－1.5)3，(－1.4)3；(2)1－1.5，1－1.4. [解析] (1)设f (x )＝x 3，则f (x )在R 上为增函数．∵－1.5<－1.4，∴(－1.5)3<(－1.4)3.(2)设g (x )＝1x，则g (x )在(－∞，0)上为减函数． ∵－1.5<－1.4<0，∴1－1.5>1－1.4.由Ruize收集整理。

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3.3 幂函数作业练习一、单选题1．下面是有关幂函数3()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是 A ．()f x 的定义域和值域相等 B ．()f x 的图象关于原点中心对称 C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 是奇函数2．已知幂函数y =f (x )=xa 的图象经过点(2，4)，则f (-3)=（ ） A ．-9B ．9C ．3D ．-33．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为（ ） A ．y ＝x －4 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 134．已知函数()()2265mm m f x x -=--是幂函数，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若a ，b R ∈，且0a b +>，则()()f a f b +的值（ ） A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断5．若幂函数f （x ）的图象过点（64，2），则f （x ）＜f （x 2）的解集为（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（0，1）C ．（1，+∞）D ．（0，1）∪（1，+∞）6．已知幂函数pq y x =（*,,1p q q ∈>N 且,p q 互质）的图象如图所示，则（ ）A ．p ，q 均为奇数，且1pq> B ．q 为偶数，p 为奇数，且1p q> C ．q 为奇数，p 为偶数，且1p q> D ．q 为奇数，p 为偶数，且01p q<<二、多选题7．已知函数()f x x α=的图像经过点(9,3)，则下列结论正确的有（ ）． A ．()f x 为偶函数 B ．()f x 为增函数C ．若1x >，则()1f x >D ．若120x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭8．已知幂函数()f x 的图像经过127,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则幂函数()f x 具有的性质是（ ）A ．在其定义域上为增函数B ．在()0,∞+上单调递减C ．奇函数D ．定义域为R9．已知幂函数()f x x α=的图象经过点()2,4，则下列判断中正确的是（ ） A ．函数图象经过点(1,1)- B ．当[1,2]x ∈-时，函数()f x 的值域是[0,4] C ．函数满足()()0f x f x +-=D ．函数()f x 的单调减区间为(,0]-∞10．已知幂函数()f x 的图像经过127,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则幂函数()f x 具有的性质是（ ）A ．在其定义域上为增函数B ．在()0,∞+上单调递减C ．奇函数D ．定义域为R11．已知幂函数()f x 的图象经过点(.则（ ） A ．()f x 的定义域为[)0,+∞ B ．()f x 的值域为[)0,+∞ C ．()f x 是偶函数D ．()f x 的单调增区间为[)0,+∞三、填空题12．若幂函数()22231mm y m m x --=--在区间()0,∞+上是严格减函数，则m =______.13．已知幂函数21()m f x x +=过点(3,27)，若()23(98)0f k f k ++-<，则实数k 的取值范围是__________．14．已知幂函数1,1,,1,2,32y x αα⎧⎫=∈-⎨⎬⎩⎭，若函数()f x 为奇函数，且在(,0)-∞是减函数，则α=___________.四、解答题15．已知幂函数()223Z mm y x m +-=∈在区间()0,∞+上是严格减函数.(1)求该函数的表达式；(2)设()223m m f x x+-=（m 为奇数），()()b g x xf x =，且函数()y g x =的图像关于原点对称，写出实数a 、b 满足的条件. 16．已知函数()211mx f x x +=+是R 的偶函数． （1）求实数m 的值；（2）判断函数()f x 在(],0-∞上的单调性； （3）求函数()f x 在3,2上的最大值与最小值．17．已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在()0,∞+上单调递增，函数()2xg x k =-．(1)求m 的值：(2)当[]1,2x ∈时，记()f x ，()g x 的值域分别为A ，B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取值范围．参考答案与试题解析1．C 2．B 3．A 4．A 5．C 6．D 7．BCD 8．BC 9．ABD 10．BC 11．ABD 12．2 13．(2,6) 14．1-15．(1)4y x -=或3y x -= (2)0a =，0b ≠16．（1）0m =（2）函数()f x 在(],0-∞上单调递增．（3）最大值1，最小值110． 17．(1)0m = (2)[]0,1。

3.3幂函数 同步练习 一、选择题 1．已知幂函数()f x 的图象经过点22,⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()4f 的值等于（） A ．16 B ．116 C ．2 D ．122．若函数()21()22m f x m m x-=--是幂函数，则m =（ ） A ．3 B ．1-C ．3或1-D ．13± 3．已知幂函数12f x x （）=，若()()132f a f a +<-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[－1，3]B ．21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．[－1，0）D ．21,3⎛⎤- ⎥⎝⎦ 4．5个幂函数：①2yx ；②45y x =；③54y x =；④23y x =；⑤45y x -=.其中定义域为R 的是（ ）A ．只有①②B ．只有②③C ．只有②④D ．只有④⑤5．2323⎛⎫ ⎪⎝⎭、2325-⎛⎫ ⎪⎝⎭、1323⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系为（ ） A ．212333222 533-⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．212333222 335-⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．122333222 335-⎛⎫⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭> D ．221333222 533-⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 6．幂函数223()(1)mm f x m m x +-=--在(0)+∞，时是减函数，则实数m 的值为（ ） A ．2或1- B ．1- C ．2 D ．2-或1 7．已知幂函数n y x =在第一象限内的图象如图所示．若112,2,,22n ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭则与曲线1C ，2C ，3C ，4C 对应的n 的值依次为（ ）A ．11,2,2,22-- B ．112,,2,22-- C ．112,,,222-- D ．11,2,,222-- 8．已知函数321()(1)m f x m m x -=--是幂函数，对任意的12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，满足1212()()0f x f x x x ->-，若,,0a b R a b ∈+<，则()()f a f b +的值（ ） A ．恒大于0 B ．恒小于0 C ．等于0 D ．无法判断 9．若2()2f x x ax =-+与()a g x x =在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(1,0)(0,1)-B ．(1,0)(0,1)-⋂C ．(0,1)D ．(0,1] 10．已知幂函数()()22421m m f x m x -+=-在()0,∞+上单调递增，函数()2x g x t =-，任意[)11,6x ∈时，总存在[)21,6x ∈使得()()12f x g x =，则t 的取值范围是（ ） A ．ϕB ．28t ≥或1t ≤C ．28t >或1t <D ．128t ≤≤二、填空题11．若幂函数()y f x =的图象过点1(2,)4，则1()4f =__________.12．已知幂函数()221()33m m f x m m x --=-+在(0,)+∞上单调递增，则m 值为_____. 13．已知幂函数f （x ）的部分对应值如下表：则不等式f （|x |）≤2的解集是___________．14．已知幂函数2()m f x x +=过点(2,8)，且()26(67)0f k f k ++-<，则实数k 的取值范围是________.15．设幂函数()f x 的图象过点12,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，则：①()f x 的定义域为R ；②()f x 是奇函数；③()f x 是减函数；④当120x x <<时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭其中正确的有_________（多选、错选、漏选均不得分）．三、解答题16．已知幂函数2223(1)mm y m m x --=--⋅，求此幂函数的解析式，并指出其定义域. 17．若2233(1)(32)a a --+>-，求实数a 的取值范围．18．已知幂函数()y f x =的图象过点(2,，且()()f x F x x =． （1）试求出函数()y f x =的解析式；（2）讨论函数()F x 的单调性．19．已知幂函数21322()()pp f x x p -++=∈N 在(0,)+∞上是增函数，且在定义域上是偶函数.（1）求p 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式. （2）对于（1）中求得的函数()f x ，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(,4]-∞-上是减函数，且在区间(4,0)-上是增函数？若存在，请求出q ；若不存在，请说明理由.参考答案1．D2．C.3．B4．C5．A6．B7．C8．B9．D10．D11．1612．213．[–4，4]14．(3,4)15．②④16．解：2223(1)m m y m m x --=--为函数，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-.当2m =时，2233m m --=-，则3y x -=，且有0x ≠；当1m =-时，2230m m --=，则0y x =，且有0x ≠.故所求幂函数的解析式为3y x -=或0y x =，它们的定义域都是{|0}x x ≠. 17．解：由幂函数()23f x x -==的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且满足()()f x f x -===，所以函数()f x 为偶函数，又由幂函数的性质，可得函数()f x 在(,0)-∞单调递增，在(0,)+∞单调递减， 又由2233(1)(32)a a --+>-，则满足13210320a a a a ⎧-<-⎪+≠⎨⎪-≠⎩，解得23<a 或4a >，所以实数a 的取值范围2(,)(4,)3-∞⋃+∞．18．解：（1）设()y f x x α==，因为图象过点(2,，所以2α=32α=， 函数()y f x =的解析式为()32f x x =； （2）()()12f x F x x x===，定义域为[)0,+∞， 设120x x <<，则()()12F x F x -==． ∵12x x <，∴120x x -<0>，∴()()12F x F x <， ∴()F x 是区间[)0,+∞上的单调递增函数．19．解：（1）由于已知()f x 在(0,)+∞上是增函数，因而213022p p -++>，解得13p -<<. 又p ∈N ，因而0p =或1或2.当0p =或2p =时，32()f x x =，不是偶函数；当1p =时，2()f x x =，符合题意. （2）存在.理由如下：由（1）知2()[()](21)()1()(21)()1g x qf f x q f x qf x q f x =-+-+=-+-+.由于2()0f x x =，因而当(,4]x ∈-∞-时，2()[16,)f x x =∈+∞，此时，函数()g x 单调递减，而函数()t f x =在(,4]-∞-上单调递减， 则外层函数2(21)1y qt q t =-+-+在[16,)+∞上单调递增；当(4,0)∈-x 时，2()(0,16)f x x =∈，此时，函数()g x 单调递增，而函数()t f x =在(4,0)-上单调递减， 则外层函数2(21)1y qt q t =-+-+在(0,16)上单调递减.所以21162qqq-⎧-=⎪-⎨⎪->⎩，即130q=-.所以存在130q=-满足题设条件.。

人教A 新版必修1《3.3 幂函数》同步练习卷（二）练习1. 已知幂函数f(x)＝kx α的图象过点(12,√2)，则k −α＝（ ） A.1B.12C.32D.22. 如图曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象，已知n 取±2，±12四个值，相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为（ ）A.2，12,−12，−2B.−2，−12,12，2C.2，12，−2，−12D.−12，−2，2，123. (23)23，3−23，223的大小关系是________．4. 已知幂函数f(x)=x m 2−2m−3(m ∈Z)在(0, +∞)是单调减函数，且为偶函数．（1）求f(x)的解析式；（2）讨论F(x)＝af(x)+(a −2)x 5⋅f(x)的奇偶性，并说明理由．5. 在函数y =1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2+x ，y ＝1中，幂函数的个数是（ ）A.1B.0C.3D.26. 下列关系中正确的是（ ）A.(12)13<(12)23<(15)23B.(12)23<(15)23<(12)13C.(15)23<(12)13<(12)23D.(15)23<(12)23<(12)137. 在同一坐标系内，函数y =x a (a ≠0)和y =ax +1a 的图象可能是( ) A.B. C. D.8. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0, +∞) 上单调递减的函数是( )A.y =x −1B.y =x −2C.y =x 13D.y =x 29. 若函数f(x)=(2m +3)x m2−3是幂函数，则m 的值为________．10. 函数f(x)＝(x +3)−2的单调递增区间是________．11. 已知函数y ＝(a 2−3a +2)x a 2−5a+5（a 为常数）．问：（1）a 为何值时此函数为幂函数？（2）a 为何值时此函数为正比例函数？12. 已知(3−2m)12>(m +1)12，求实数m 的取值范围．13. 下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（ ）A.①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y =x 12，④y ＝x −1B.①y =x 13，②y ＝x 2，③y =x 12，④y ＝x −1C.①y＝x2，②y＝x3，③y=x 12，④y＝x−1D.①y=x 13，②y=x12，③y＝x2，④y＝x−114. 若幂函数y＝(m2−3m+3)x m−2的图象关于原点对称，则m的取值范围为（）A.m＝1或m＝2B.1≤m≤2C.m＝1D.m＝215. 幂函数f(x)＝x3m−5(m∈N)在(0, +∞)上是减函数，且f(−x)＝f(x)，则m等于________．16. 幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0, 1]上它们的图象是一簇美丽的曲线（如图）．设点A(1, 0)，B(0, 1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么，αβ=________．17. 如图，幂函数y=x3m−7(m∈N)的图象关于y轴对称，且与x轴，y轴均无交点，求此函数的解析式及不等式f(x+2)<16的解集．18. 若点A(2, 12)在幂函数y＝xα的图象上，则该幂函数在下列区间上单调递减的是（）A.(0, +∞)B.(−∞, 0)C.(−∞, +∞)D.(−4, 4)19. 已知f(x)＝(a2−a−1)x a（a是常数）为幂函数，且在第一象限单调递增．（1）求f(x)的表达式；（2）讨论函数g(x)=f(x)+3x+1在(−√2, +∞)上的单调性，并证之．x参考答案与试题解析人教A新版必修1《3.3 幂函数》同步练习卷（二）练习1.【答案】此题暂无答案【考点】幂函数来概念斗解析式场定找域、值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】幂函射空图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】利表不础式丁内两数大小【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】幂函都指性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】幂函数来概念斗解析式场定找域、值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数于图象视性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】幂函都特图像【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇三性的判刺函较绕肠由的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】幂函数来概念斗解析式场定找域、值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】复合函表的型调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】幂函都指性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】幂函都指性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答13.【答案】此题暂无答案【考点】幂函射空图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】此题暂无答案【考点】幂函数来概念斗解析式场定找域、值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】此题暂无答案【考点】幂函都指性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】此题暂无答案【考点】幂函都特图像指数式与表镜式的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答17.【答案】此题暂无答案【考点】其他不三式的解州幂函都指性质幂函都特图像幂函数来概念斗解析式场定找域、值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】此题暂无答案【考点】幂函都指性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】此题暂无答案【考点】函验掌够性权性质与判断幂函数来概念斗解析式场定找域、值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！§3．3 幂函数限时作业一．选择题1．给出下列函数：4．函数13y x =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图是幂函数n y x =的部分图像，已知n 取11,2,2,22--这四个值，则于曲线1234,,,C C C C 相对应的n 依次为（ ）A ．112,,,222--B ．112,,,222--C ．11,2,2,22--D ．112,,2,22--6．已知幂函数()f x x a =的图像过点(8,4),则()f x x a = 的值域是( )A ．(),0-¥B ．()(),00,-¥+¥U C ．()0,+¥D ．[)0,+¥7．函数121y x =-的图象关于x 轴对称的图象大致是( )A B C D8．若幂函数m n y x =（*,m n ÎN 且,m n 互素）的图象如下图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A ．0<1mn<B ．m 是偶数，n 是奇数C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n<D ．m 、n 是偶数，且1m n >二．填空题9．比较下列各式的大小(1) 0.525æöç÷èø 0.513æöç÷èø； (2) 123-æö-ç÷èø 135-æö-ç÷èø．10．已知幂函数()21()*()m m f x x m N Î－＋＝，经过点，试确定m 的值，则满足条件(2)(1)f a f a >－－的实数a 的取值范围 ．三．解答题11．已知幂函数()24-=m m f x x （实数m Z Î）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >．（1）求m 的值及函数()f x 的解析式；（2）若()()212+<-f a f a ，求实数a 的取值范围．12．已知函数()()2531m f x m m x --=--，m 为何值时，()f x ：(1)是幂函数；(2)是正比例函数；(3)是反比例函数；(4)是二次函数．§3．3 幂函数限时作业【参考答案】一．选择题1．给出下列函数：【答案】B　4．函数13y x=的图象是（）A．B．C．D ．【答案】B5．如图是幂函数n y x =的部分图像，已知n 取11,2,2,22--这四个值，则于曲线1234,,,C C C C 相对应的n 依次为（ ）A ．112,,,222--B ．112,,,222--C ．11,2,2,22--D ．112,,2,22--【答案】A6．已知幂函数()f x x a =的图像过点(8,4),则()f x x a = 的值域是( )A ．(),0-¥B ．()(),00,-¥+¥U C ．()0,+¥D ．[)0,+¥【答案】D 7．函数121y x =-的图象关于x 轴对称的图象大致是( )A B C D【答案】B8．若幂函数m ny x =（*,m n ÎN 且,m n 互素）的图象如下图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A ．0<1mn<B ．m 是偶数，n 是奇数C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n<D ．m 、n 是偶数，且1m n>【答案】D二．填空题9．比较下列各式的大小(1) 0.525æöç÷èø 0.513æöç÷èø； (2) 123-æö-ç÷èø 135-æö-ç÷èø．【答案】,>>10．已知幂函数()21()*()m m f x x m N Î－＋＝，经过点，试确定m 的值，则满足条件(2)(1)f a f a >－－的实数a 的取值范围 ．【答案】 ∵()f x 的图象过点21()2m m -+=，∴22m m +=，又*m N Î，∴1m =．即12()f x x =，其定义域为0x ³，且在定义域上函数为增函数，∴由(2)(1)f a f a ->-得012a a £-<-，解得312a £<．三．解答题11．已知幂函数()24-=m m f x x （实数m Z Î）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >．（1）求m 的值及函数()f x 的解析式；（2）若()()212+<-f a f a ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）由题意，函数()24-=m m f x x （实数m Z Î）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >，所以在区间(0,)+¥为单调递减函数，所以240m m -<，解得04m <<，又由m Z Î，且函数()24-=m m f x x （实数m Z Î）的图像关于y 轴对称，所以24m m -为偶数，所以2m =，所以()4f x x -=．（2）因为函数()4f x x -=图象关于y 轴对称，且在区间(0,)+¥为单调递减函数，所以不等式()()212+<-f a f a ，等价于122a a -<+且120,20a a -¹+¹，解得1132a -<<或132a <<，所以实数a 的取值范围是111(,(,3)322-U ．12．已知函数()()2531m f x m m x --=--，m 为何值时，()f x ：(1)是幂函数；(2)是正比例函数；(3)是反比例函数；(4)是二次函数．【答案】(1)m ＝2或m ＝－1．(2)m ＝－45 ．(3)m ＝－25．(4) m ＝－1． (1)∵f (x )是幂函数，故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1．(2)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得m ＝－．此时m2－m－1≠0，故m＝－．(3)若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，则m＝－，此时m2－m－1≠0，故m＝－．(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1．。

2019年新人教A 版必修一第三章函数概念与性质单元练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知()2cos f x x x =+，x ∈R ，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()()2,0,3-∞+∞ D ．(]2,0,03⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭U 2．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ） A ．(]1-∞-， B ．()0+∞， C ．()10-， D ．()0-∞，3．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A.9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B.7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦4．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )= ，则当x <0时，f (x )= A.B. C. D.5．函数3222x x x y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．6．已知函数()2,1,1,1,1x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩则()()1f f -的值为（ ） A.1- B.15 C.15- D.17．函数()2log f x x =的定义域是A.(]0,2B.[)0,2C.[0，2]D.（2，2） 8．若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │ 9．若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ） A ．[0,8)B ．(8,)+∞C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞ 10．函数[]22,0,3y x x x =-∈的值域为（ ）A.[]0,3B.[]1,3C.[]1,0-D.[]1,3-二、填空题11．函数()f x =________．12．函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则((15))f f 的值为____． 13．已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 14．已知函数()3xx 1f x =x 2x+e -e -，其中e 是自然数对数的底数，若()()2f a-1+f 2a 0≤，则实数a 的取值范围是_________。

(教师独具内容)课程标准：1.通过具体实例了解幂函数的概念.2.会画幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，并能通过图象了解幂函数的图象与性质.3.能正确应用幂函数的知识解决相关问题．教学重点：1.幂函数的概念.2.幂函数的图象与性质．教学难点：应用幂函数的知识解决相关问题．【知识导学】知识点一幂函数的概念一般地，函数□01y＝x叫做幂函数(power function)，其中□02x是自变量，□03α是常数．知识点二一些常用幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x 12的图象(如图)．知识点三一些常用幂函数的性质【新知拓展】1．幂函数的特征(1)xα的系数是1；(2)xα的底数x是自变量；(3)xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．2．幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；(3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；(4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x3＋2是幂函数．()(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．()(3)幂函数y＝xα的定义域为R，与指数无关．()(4)当x＞1时，函数y＝x2的图象总在函数y＝x3的图象的下方．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________.(2)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,8)，则f(－2)＝________.(3)若y＝ax a2－12是幂函数，则该函数的值域是________．答案(1)3(2)－8(3)[0，＋∞)题型一幂函数的定义例1已知幂函数y＝(m2－m－1)x m2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域．[解]∵y＝(m2－m－1)x m2－2m－3为幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0；当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0.故所求幂函数的解析式为y＝x－3或y＝x0，它们的定义域都是{x|x≠0}．金版点睛判断函数是幂函数的依据判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即满足：①指数α为常数；②底数x为自变量；③系数为1.[跟踪训练1](1)在函数y＝1x2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3(2)已知y＝(m2－4m＋4)x1m－1＋2n－3是幂函数，求m，n的值．答案(1)B(2)见解析解析(1)y＝1x2＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2由于系数是2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．(2)由题意得⎩⎨⎧m2－4m＋4＝1，m－1≠0，2n－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m＝3，n＝32，所以m＝3，n＝32.题型二幂函数的图象及应用例2幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x12，y＝x－12在第一象限内的图象依次是图中的曲线()A．C2，C1，C3，C4B．C4，C1，C3，C2C．C3，C2，C1，C4D．C1，C4，C2，C3[解析]由于在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，即幂函数图象在第一象限内直线x＝1右侧的“高低”关系是“指大图高”，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，y＝x－1在第一象限内的图象为C4，y＝x12在第一象限内的图象为C2，y＝x－12在第一象限内的图象为C3.[答案] D金版点睛解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x 12或y＝x3)来判断．[跟踪训练2](1)如图是幂函数y＝x m与y＝x n在第一象限内的图象，则()A．－1<n<0<m<1B．n<－1,0<m<1C．－1<n<0，m>1D．n<－1，m>1(2)已知函数y＝|x|.①求定义域；②判断奇偶性；③已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．答案(1)B(2)见解析解析(1)在(0,1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m<1，n<－1.。

《幂函数》基础训练一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.第6题为多选题，选对得5分，选错得0分，部分选对得2分） 1.下列函数为幂函数的是（ ） A.2yx B.2yx C.2x yD.22yx2.函数3()f x x 的图象（ ）A.关于直线yx 对称 B.关于x 轴对称C.关于原点对称D.关于y 轴对称 3.给出下列说法： ①当0n 时，n y x 的图象是一条直线；②幂函数n y x ，当0n 时，在第一象限内函数值y 随x 值的增大而增大； ③幂函数n yx ，当0n 时，在第一象限内函数值y 随x 值的增大而减小.其中正确说法的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知幂函数()f x x 的图象经过点(4,2)，则()f x 的增区间为（ ）A.(,) B.(,0] C.[0,) D.(1,)5.函数13()f x x x 的图象大致为（ ）A. B.C. D.6.（多选）已知幂函数*(),,,m nf x xm n m n N 互质)，下列关于()f x 的结论正确的是（ ）A.,m n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数B.m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数C.m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数D.01mn时，幂函数()f x 在(0,)上是减函数E.,m n 是奇数时，幂函数()f x 的定义域为R二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 7.若2()44m f x m m x 是幂函数，则实数m ______.8.已知 1.30.70.7 1.3mm，则实数m 的取值范围是______.三、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分） 9.比较下列各组数的大小.（1）7818与7819;（2）523与523.1；（3）2323与236.10.已知函数223()()m m f x xm Z 为偶函数，且(3)(5)f f ，求m 的值，并确定()f x 的解析式.参考答案 一、选择题 1. 答案：A解析：根据幂函数的定义知A 正确. 2. 答案：C 解析：易知3()f x x 是奇函数，()f x 的图象关于原点对称.3. 答案：C解析：0n 时，n yx 的图象是一条不包含点(0,1)的直线，故①不正确；根据幂函数的图象和性质易知②③正确. 4. 答案：C解析：因为幂函数()f x x α的图象过点(4,2)，所以24a ，所以222α，即12α，则12()f x x ，则有0x ，所以()f x 的增区间为[0,).5. 答案：A解析：易知()f x 的定义域为R ，关于原点对称，又1133()()(),f x x x x xf x 函数13()f x x x 是奇函数，可排除C ，D ；又11331111130,(1)110888828ff ，可排除B.故选A.6. 答案：AB 解析：()m nm nf x xx ，当,m n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数，A 正确；当m 是偶数，n 是奇数，幂函数()f x 是偶函数，B 正确；当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 在0x 时无意义，C 错误；01mn时，幂函数()f x 在(0,)上是增函数，D 错误；,m n 是奇数时，若0m n，幂函数()f x 在0x 时无意义，E 错误.故选AB. 二、填空题 7.答案：5或1 解析：因为2()44m f x m m x 是幂函数，所以2441m m ，解得5m 或1m .8.答案：(0,)解析：因为 1.30.700.71,1.31， 所以 1.30.70.7 1.3， 又因为 1.30.70.7 1.3mm，所以幂函数m y x 在(0,)上单调递增，所以0m .二、解答题 9.答案：见解析 解析：（1）函数78yx 在(0,)上单调递增，又1189， 77881189.（2）25yx 在(0,)上为减函数，又52253 3.1,33.1.（3）函数23yx 是偶函数，2222333322,3366ππ，又函数23y x 在(0,)上为减函数，且22332233222,,363636πππ.10.答案：见解析 解析：()f x 为偶函数，且m Z ，223m m 为偶数.222323(3)(5),35m m m m f f ，即223315m m ，2230m m ，解得312m， 又,0m m Z 或1m .当0m 时，3()f x x ，不满足()f x 为偶函数； 当1m 时，2()f x x ，满足()f x 为偶函数. m 的值为21,()f x x .。

3.3 幂函数【本节明细表】基础巩固1．已知幂函数的图象通过点，则该函数的解析式为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设幂函数的解析式为.∵幂函数的图象过点，∴，∴，∴该函数的解析式为.2．在下列幂函数中，是偶函数且在(0，＋∞)上是增函数的是( )A.y＝x－2B.C.D.【答案】D【解析】对于A，有f(－x)＝f(x)，是偶函数，但在(0，＋∞)上递减，则A不满足；对于B，定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，不具有奇偶性，则B不满足；对于C，有f(－x)＝－f(x)，为奇函数，则C不满足；对于D，定义域R关于原点对称，f(－x)＝f(x)，则为偶函数，且在(0，＋∞)上递增，则D满足. 故选:D.3．已知幂函数过点，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设幂函数，∵过点，∴，∴，故选B.4．幂函数的图象如图所示，则的值为( )A.－1B.0C.1D.2【答案】C【解析】由图象上看，图象不过原点，且在第一象限下降，故，即且；又从图象看，函数是偶函数，故为负偶数，将分别代入，可知当时，，满足要求．故选C.5．设∈，则使函数y=的定义域为R且为奇函数的所有的值为（）A．，1，3 B．，1 C．，3 D．1，3【答案】D【解析】当＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当＝1时，函数y＝的定义域为R且为奇函数，满足要求；当函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当＝3时，函数y＝的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D．6．幂函数的图象关于轴对称，则实数_______.【答案】2【解析】函数是幂函数，解得：或，当时，函数的图象不关于轴对称，舍去，当时，函数的图象关于轴对称，∴实数．7．已知幂函数的图象过，那么在上的最大值为_____________。

【答案】【解析】设，因为的图象过，，解得，在上是单调递增的在上的最大值为，故答案为。

8．比较下列各题中两个幂的值的大小：(1)2.3，2.4；(2) ，；(3)(－0.31) ，0.35.【答案】(1)2.3<2.4.(2) >；(3)(－0.31) <0.35.【解析】(1)∵y＝为R上的增函数，又2.3<2.4，∴2.3<2.4.(2)∵y＝为(0，＋∞)上的减函数，又<，∴()>().(3)∵y＝为R上的偶函数，∴＝.又函数y＝为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，∴0.31<0.35，即(－0.31) <0.35.能力提升9．已知函数的图象如图所示，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图像可知，，得，故选：A..10．对幂函数有以下结论（1）的定义域是；（2）的值域是；（3）的图象只在第一象限；（4）在上递减；（5）是奇函数．则所有正确结论的序号是______.【答案】（2）（3）（4）【解析】解：对幂函数，以下结论（1）的定义域是，因此不正确；（2）的值域是，正确；（3）的图象只在第一象限，正确；（4）在上递减，正确；（5）是非奇非偶函数，因此不正确．则所有正确结论的序号是（2）（3）（4）．故答案为：（2）（3）（4）．11．已知幂函数的图象经过点.（1）求实数的值；（2）求证：在区间（0，+∞）上是减函数.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）∵的图象经过点，∴，即，解得.（2）证明：由（1）可知，，任取，且，则，∴，即.∴在区间（0，+∞）上是减函数.素养达成12．讨论函数的定义域、奇偶性，并作出它的简图，根据图象说明它的单调性．【答案】定义域R；偶函数；图象略；在区间(-∞,0]上是减函数，[0,+∞)上是增函数．【解析】函数定义域为R，因为，所以函数为偶函数，作出函数图象可知，在单减，在[0,+∞)上单增.。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图给出四个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( )A ．①y ＝21x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝x －1B ．①y ＝x 3；②y ＝21x ；③y ＝x 2；④y ＝x －1C ．①y ＝x 2；②y ＝x 3；③y ＝21x ；④y ＝x －1D ．①y ＝x 3；②y ＝x 2；③y ＝21x ；④y ＝x －1【答案】D【解析】y ＝x 3是奇函数，且在R 上递增，对应题图①；y ＝x 2是偶函数，对应题图②；y ＝21x 的定义域为[0，＋∞)，对应题图③；y ＝x －1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，对应题图④.故选D. 2．已知幂函数f (x )＝(2n 2－n )x n ＋1，若f (x )在其定义域上为增函数，则n 等于( )A ．1或－21B ．1C ．－21 D ．－1或21 【答案】C【解析】依题意得2n 2－n ＝1，即2n 2－n －1＝0，解得n ＝1或n ＝－21. 当n ＝1时，f (x )＝x 2，在R 上不是增函数，不符合题意，舍去；当n ＝－21时，f (x )＝x x 21，在定义域[0，＋∞)上是增函数，符合题意．故选C.3.如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m和y ＝x n在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( ) A ．n <m <0 B ．m <n <0 C ．n >m >0 D ．m >n >0【答案】A【解析】由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m <0，n <0.当x ＝2时，2m＞2n，所以n ＜m ＜0.4．有四个幂函数：①f (x )＝x －1；②f (x )＝x －2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝31x .某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：(1)偶函数；(2)值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}；(3)在(－∞，0)上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④【答案】B【解析】①f (x )＝x －1只满足值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}；③f (x )＝x 3只满足在(－∞，0)上是增函数；④f (x )＝31x 只满足在(－∞，0)上是增函数，②f (x )＝x －2是偶函数，在(－∞，0)上是增函数，但其值域是{y |y >0}．故选B.5.已知幂函数y ＝f (x )的图象过点)22,2(，则下列结论正确的是( ) A ．y ＝f (x )的定义域为[0，＋∞) B ．y ＝f (x )在其定义域上为减函数 C ．y ＝f (x )是偶函数 D ．y ＝f (x )是奇函数6．已知幂函数f (x )＝x a的图象过点)2,2(，则函数g (x )＝(x －2)f (x )在区间]1,2[上的最小值是( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4【答案】C【解析】由已知得2a＝21，解得a ＝－1，∴g (x )＝x x x 212-=-在区间]1,21[上单调递增， 则g (x )min ＝g )21(＝－3.故选C.7.（多选）（2020·江苏启东高一期末）已知幂函数()y x R αα=∈的图象过点（2，8），下列说法正确的是（ ）A ．函数y x α=的图象过原点B ．函数y x α=是偶函数C ．函数y x α=是单调减函数D ．函数y x α=的值域为R 【答案】AD【解析】由于幂函数y x α=过点()2,8，所以28α=，解得3α=，所以3y x =.()0,0，满足3y x =，A 选项正确.3y x =是奇函数，所以B 选项错误.3y x =在R 上递增，所以C 选项错误.3y x =值域为R ，所以D 选项正确.故选：AD8.(多选)已知实数a ，b 满足等式a 12＝b 13，则下列关系式中可能成立的是( ) A ．0<b <a <1 B ．－1<a <b <0 C ．1<a <b D ．－1<b <a <0【答案】AC【解析】画出y ＝21x 与y ＝31x 的图象(如图)，设a 12＝b 13＝m ，作直线y ＝m .从图象知，若m ＝0或1，则a ＝b ；若0<m <1，则0<b <a <1；若m >1，则1<a <b .故其中可能成立的是A 、C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9.已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如表：则f (x )的单调递增区间是________． 【答案】[0，＋∞)【解析】因为f )21(＝22，所以)21(α＝22，即α＝21，所以f (x )＝21x 的单调递增区间是[0，＋∞)．10．设α∈}3.1,21,1{-，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值是________．【答案】－1【解析】因为f (x )＝x α为奇函数，所以α＝－1,1,3.又因为f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1.11.（2020·黑龙江高二期末（文））已知幂函数()221()33m m f x m m x --=-+在(0,)+∞上单调递增，则m 值为_____. 【答案】2【解析】由题意可知2233110m m m m ⎧-+=⎪⎨-->⎪⎩，解得2m =，故答案为：212.给出下面四个条件：①f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )；②f (m ＋n )＝f (m )·f (n )；③f (mn )＝f (m )·f (n )；④f (mn )＝f (m )＋f (n )．如果m ，n 是幂函数y ＝f (x )定义域内的任意两个值，那么幂函数y ＝f (x )一定满足的条件的序号为________． 【答案】③【解析】设f (x )＝x α，则f (m ＋n )＝(m ＋n )α，f (m )＋f (n )＝m α＋n α，f (m )·f (n )＝m α·n α＝(mn )α，f (mn )＝(mn )α，所以f (mn )＝f (m )·f (n )一定成立，其他三个不一定成立，故填③.三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.已知函数()2221()1m m f x m m x --=+-，问当m 取什么值时这个函数是：（1）正比例函数； （2）反比例函数；（3）幂函数且在(0,)+∞上为增函数． 【解析】（1）若()f x 是正比例函数，则2210211m m m m ⎧+-≠⎨--=⎩， 由2211m m --=得2220m m --=，解得1m =1m = 此时满足得210m m +-≠． （2）若()f x 是反比例函数， 则由2211m m --=-且210m m +-≠， 得220m m -=；得0m =或2m =， 此时满足得210m m +-≠；（3）若()f x 是幂函数，则211m m +-=，即220m m +-=，此时1m =或2m =-， 当1m =时2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，不符题意，舍去； 当2m =-时()7f x x =在(0,)+∞上单调递增，符号题意；即2m =-．14.已知幂函数39*()m y x m N -=∈的图象关于y 轴对称且在()0,∞+上单调递减，求满足()()33132m m a a +<-－－的a 的取值范围.【解析】因为函数39*()m y x m N -=∈在()0,∞+上单调递减，所以390m -<， 解得3m <.又因为*m N ∈，所以1m =，2； 因为函数的图象关于y 轴对称， 所以39m -为偶数，故1m =.则原不等式可化为()()1133132a a +<-－－， 因为13y x －＝在(),0-∞，()0,∞+上单调递减，所以1320a a +>->或3210a a -<+<或1032a a +<<-， 解得2332a <<或1a <-. 故a 的取值范围是1a <-或2332a <<. 16.（2020·黑龙江萨尔图�大庆实验中学高一期末）已知幂函数()()223m m f x x m --=∈Z 为偶函数，且在区间()0,∞+上单调递减. （1）求函数()f x 的解析式；（2）讨论()()b F x xf x =的奇偶性.(),a b R ∈（直接给出结论，不需证明）【解析】(1)∵幂函数()()223mm f x x m --=∈Z 在区间()0,∞+上是单调递减函数,∴2230m m --<,解得13m -<<, ∵m Z ∈,∴0m =或1m =或2m =.∵函数()()223mm f x x m --=∈Z 为偶函数,∴1m =,∴()4f x x -=;(2)()()4b b F x xf x x x-==⋅23ax bx -=-, 当0a b时,()F x 既是奇函数又是偶函数;当0a =,0b ≠时,()F x 是奇函数; 当0a ≠,0b =时,()F x 是偶函数; 当0a ≠,0b ≠时,()F x 是非偶非偶函数.。

《幂函数》提升训练一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.第6题为多选题，选对得5分，选错得0分，部分选对得2分） 1.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)上单调递减的是（ ）A.23yx B.13yx C.32yx D.23yx2.幂函数()y f x 的图象经过点(3,3)，则()f x （ ）A.是偶函数，且在(0,)上是增函数B.是偶函数，且在(0,)上是减函数C.是奇函数，且在(0,)上是减函数D.既不是奇函数，也不是偶函数，且在(0,)上是增函数3.已知函数253()1m f x m m x是幂函数且在(0,)上为增函数，则实数m的值为（ ）A.2B.1C.1或2D.0 4.已知幂函数()a f x x 的图象过点12,2，则函数()(2)()g x x f x 在区间1,12上的最小值是（ ）A.1B.2C.3D.4 5.如图是幂函数()yx ααR 的部分图象，已知α取11,2,2,22四个值，则与曲线1234,,,C C C C 相对应的α依次为（ ）A.112,,,222B.112,,,222C.11,2,2,22D.112,,2,226.（多选）已知实数a 、b 满足等式1132ab ，下列五个关系式可能成立的是（ ）A.01b aB.10a bC.1a bD.10b aE.ab二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 7.已知幂函数12()x f x ，若(1)(102)f a f a ，则实数a 的取值范围是_____.8.有以下四个幂函数：①1()f x x ；②2()f x x ；③3()f x x ；④31()f x x .某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质： （1）是偶函数；（2）值域是{|y y R ，且0}y ；（3）在(,0)上是增函数.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则该同学研究的函数是______（填序号）.三、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分） 9.已知幂函数(21)(3)()()kk f x x k Z 是偶函数且在(0,)上为增函数.（1）求()f x 的解析式； （2）当[1,1]x 时，函数()()g x f x mx 是单调函数，求实数m 的取值范围.10.已知幂函数2242()(1)m m f x m x 在(0,)上单调递增，函数()2x g x k .（1）求实数m 的值；（2）当[1,2]x 时，记(),()f x g x 的值域分别为集合,A B ，若A B A ，求实数k 的取值范围.一、选择题 1. 答案：D解析：A 选项中，函数23yx 是偶函数，因为203，所以函数23y x 在区间(0,)上单调递增，不符合题意；B ，C 选项中的函数不是偶函数，不符合题意；D 选项符合题意.故选D. 2. 答案：D解析：设()()f x x ααR ，因为函数()f x 的图象经过点3α，解得12α，即()f x x ，定义域为[0,)，所以()f x 既不是奇函数，也不是偶函数，且在(0,)上是增函数.故选D.3. 答案：B 解析：函数253()1m f x m m x是幂函数，211m m ，解得2m 或1m.又()f x 在(0,)上为增函数，3530,,15m mm .故选B.4. 答案：C解析：由已知得122a，解得1a ， 122(),()1x f x g x xx x， 且()g x 在区间1,12上单调递增， 则min 1()32g x g.故选C.5.解析：利用性质“在第一象限内，直线1x右侧部分的图象，由上到下幂函数的幂指数越来越小”，知选A.6.答案：ACE解析：画出12y x与13y x的图象（如图），设1123a b m，从图象知，若0m或1，则a b；若01m，则01b a；若1m，则1a b.故其中可能成立的是ACE.二、填空题7.答案：(3,5)解析：121(),()f x x f xx的定义域是{|0}x x ，且在(0,)上单调递减，则原不等式等价于10,1020,1102,aaa a解得35a.故实数a的取值范围为(3,5).8.答案：②解析：对于①，函数1()f x x ，是奇函数，值域是{|y y R，且0}y，在(,0)上是减函数，所以三个性质中有两个不正确，不符合条件；对于②，函数2()f x x，是偶函数，其值域是{|y y R，且0}y，在(,0)上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中的函数不符合条件.三、解答题 9.答案：见解析 解析：（1）幂函数(21)(3)()()kk f x x k Z 是(0,)上的增函数，(21)(3)0k k ，解得132k .又,1k k Z 或2k .当1k 时，2(21)(3)2,()k k f x x ，是偶函数，满足题意； 当2k时，3(21)(3)3,()k k f x x ，是奇函数，不满足题意，故1k .即2()f x x . （2）2()f x x ，2()g x x mx ，图象的对称轴方程为2m x， ()g x 在[1,1]上是单调函数， 12m 或12m， 解得2m 或2m ，m 的取值范围是(,2][2).10.答案：见解析解析：（1）依题意得2(1)1m ，解得0m 或2m ， 当0m 时，2()f x x 在(0,)上单调递增，符合题意当2m 时，2()f x x 在(0,)上单调递减，与题设矛盾，舍去，0m .（2）由（1）可知2()f x x ， 当[1,2]x 时，(),()f x g x 均单调递增，[1,4],[2,4]A B k k ，,A B A B A ，21,0144k k k .。

3.3 幂函数基础达标一、选择题1.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A.y ＝x 12 B.y ＝x －1 C.y ＝x 2D.y ＝x『解 析』 由于y ＝x －1和y ＝x 都是奇函数，故B ，D 不合题意.y ＝x 2为偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，故选C.y ＝x 12在(0，＋∞)上为增函数，但不是偶函数，故A 不满足题意. 『答 案』 C2.函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )『解 析』 y ＝x 12的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y ＝x 12－1的图象可看作由y ＝x 12的图象向下平移一个单位得到的(如选项A 中的图所示)，将y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称后即为选项B. 『答 案』 B3.如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A.n <m <0B.m <n <0C.n >m >0D.m >n >0『解 析』 由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m <0，n <0.由幂函数图象的特点知n <m ，故n <m <0. 『答 案』 A4.幂函数f (x )＝x m －2(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 可能等于( ) A.0 B.1 C.2D.0或1『解 析』 因为f (x )＝x m －2(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，所以m －2<0，故m <2.又因为m ∈N ，所以m ＝0或m ＝1，当m ＝0时，f (x )＝x －2，f (－x )＝f (x )，符合题意； 当m ＝1时，f (x )＝x －1，f (－x )≠f (x )，不符合题意. 综上知，m ＝0. 『答 案』 A5.函数f (x )＝(a －b )x a3＋b －3是幂函数，则下列结论正确的是( ) A.f (a )>f (b ) B.f (a )<f (b ) C.f (a )＝f (b )D.以上都不对『解 析』 ∵f (x )为幂函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧b －3＝0，a －b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，∴f (x )＝x 43，∴f (x )在(0，＋∞)上递增，且a >b >0，∴f (a )>f (b ).故选A. 『答 案』 A 二、填空题6.若幂函数y ＝(m 2－2m －2)x －4m －2在x ∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m 的值是________.『解 析』 因为函数y ＝(m 2－2m －2)x －4m －2既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，－4m －2<0⎩⎨⎧m ＝3或m ＝－1，m >－12，解得m ＝3. 『答 案』 37.已知幂函数f (x )＝x 12，若f (10－2a )<f (a ＋1)，则a 的取值范围是________. 『解 析』 因为f (x )＝x 12(x ≥0)，易知f (x )在(0，＋∞)上为增函数， 又f (10－2a )<f (a ＋1)，所以⎩⎨⎧a ＋1≥0，10－2a ≥0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎨⎧a ≥－1，a ≤5，a >3.所以3<a ≤5.『答 案』 (3，5』8.有四个幂函数：①f (x )＝x －1；②f (x )＝x －2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 13.某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质： (1)偶函数；(2)值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}； (3)在(－∞，0)上是增函数.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号).『解 析』 对于函数①f (x )＝x －1，这是一个奇函数，值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}，在(－∞，0)上是减函数，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②f (x )＝x －2，这是一个偶函数，其值域是{y |y ∈R ，且y >0}，在(－∞，0)上是增函数，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合条件. 『答 案』 ②三、解答题9.已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数. 解 (1)若函数f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝1. (2)若函数f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1. (3)若函数f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， ∴m ＝－1±2.10.比较下列各组数的大小. (1)3－72和3.2－72； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2323和⎝ ⎛⎭⎪⎫π623. 解 (1)函数y ＝x －72在(0，＋∞)上为减函数， 又3<3.2，所以3－72>3.2－72.(2)函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，而23>π6，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2323>⎝ ⎛⎭⎪⎫π623.能力提升11.若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12在幂函数g (x )的图象上.(1)求f (x )和g (x )的『解 析』式；(2)定义h (x )＝⎩⎨⎧f （x ），f （x ）≤g （x ），g （x ），f （x ）>g （x ），求函数h (x )的最大值及单调区间.解 (1)设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以(2)α＝2，解得α＝2，即f (x )＝x 2.设g (x )＝x β，因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12在幂函数g (x )的图象上，所以2β＝12，解得β＝－1，即g (x )＝x －1.(2)在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x －1的图象，可得函数h (x )的图象如图所示.由题意及图象可知h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x <0或x >1，x 2，0<x ≤1.根据函数h (x )的『解 析』式及图象可知，函数h (x )的最大值为1，单调递增区间为(0，1』，单调递减区间为(－∞，0)和(1，＋∞). 12.已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k .(1)求m 的值；(2)当x ∈『1，2』时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，求实数k 的取值范围.解 (1)依题意，得(m －1)2＝1，解得m ＝0或m ＝2.当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m ＝0. (2)由(1)可知f (x )＝x 2.当x ∈『1，2』时，f (x )，g (x )单调递增， ∴A ＝『1，4』，B ＝『2－k ，4－k 』. ∵A ∪B ＝A ，∴BA ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－k ≥1，4－k ≤40≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是『0，1』.。

3.3幂函数课时幂函数题组一幂函数的图象与性质1.(9分)下列幂函数在(-∞，0)上为减函数的是()A.y=x13B.y=x2C.y=x3D.y=x122.(9分)已知当x∈(1，+∞)时，函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方，则α的取值范围是()A.0<α<1B.α<0C.α<1D.α>13.(9分)为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是()A.√3B.3C.9D.274.(9分)若函数f(x)=(1-4m)√x在区间[0，+∞)上是增函数，则m的取值范围为())A.(-∞，14B.(1，+∞)4)C.(-∞，-14D.(-1，+∞)45.(9分)函数y=x a与y=ax(a∈{-1，1，2，3})的图象只可能是下面中2()6.(9分)函数f (x )=(m 2-m+1)x m2+2m -3是幂函数，且在(0，+∞)上是减函数，则实数m=( )A.0B.1C.2D.0或17.(14分)幂函数f (x )的图象经过点(√2，2)，点(-2，14)在幂函数g (x )的图象上.(1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)当x 为何值时，f (x )>g (x )?当x 为何值时，f (x )<g (x )?题组二 幂函数的图象与性质的应用8.(9分)若(a+1)13<(3-2a )13，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，23)B.(23，+∞)C.(0，23)D.(-23，23) 9.(9分)设a=0.60.6，b=0.70.6，c=1.50.6，则a 、b 、c 的大小关系是() A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a 10.(14分)已知函数f (x )=x 13-x -135，g (x )=x 13+x -135，x ≠0. (1)证明：f (x 2)-5f (x )g (x )=0.(2)讨论函数f (x )的奇偶性并求其单调区间.参考答案1.B解析：本题考查幂函数的单调性.函数y=x13，y=x3，y=x12在各自定义域上均是增函数，y=x2在(-∞，0)上是减函数.2.C解析：本题考查幂函数的图象.由幂函数的图象特征知α<1.3.C解析：本题考查幂函数的实际应用.由题目可知加密密钥y=xα(α是常数)是一个幂函数，模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值.由题意，得2=4α，解得α=12则y=x12，由x12=3，得x=9，即明文是9..4.A解析：本题考查幂函数的性质.∵f(x)=(1-4m)√x为增函数，∴1-4m>0，即m<145.C解析：本题考查幂函数的图象.直线对应函数为y=x，曲线对应函数为y=x-1，1≠-1，故A项错；直线对应函数为y=2x，曲线对应函数为y=x12，2≠1，故B项错；直线对应函数为2y=2x，曲线对应函数为y=x2，2=2，故C项对；直线对应函数为y=-x，曲线对应函数为y=x3，-1≠3，故D项错.6.A解析：本题考查幂函数的性质.由m2-m+1=1，得m=0或m=1，再把m=0和m=1分别代入m2+2m-3<0检验，得m=0符合题意.7.解析：本题考查幂函数图象与性质.(1)设f(x)=xα，则(√2)α=2，∴α=2，∴f(x)=x2，设g(x)=xβ，则(-2)β=1，4即β=-2，g(x)=x-2(x≠0).(2)从图象可知，当x>1或x<-1时，f(x)>g(x)；当-1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x).8.A解析：本题考查利用幂函数的单调性解不等式.因为函数f(x)=x13的定义域为R，且为单.调递增函数，所以由不等式可得a+1<3-2a，解得a<239.A 解析：本题考查利用幂函数的性质比较数的大小.∵0.6∈(0，1)，∴y=x 0.6是增函数， ∵0.6<0.7<1.5，∴a<b<c .10.解析：本题考查幂函数性质的应用.(1)f (x2)-5f (x )g (x )=(x 2)13-(x 2)-135-5×x 13-x -135×x 13+x -135 =x 23-x -235-x 23-x -235=0， 故f (x 2)-5f (x )g (x )=0成立.(2)∵函数f (x )的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)，∴定义域关于原点对称.又∵f (-x )=(-x )13-(-x )-135=-x 13-x -135=-f (x )， ∴函数f (x )为奇函数.在(0，+∞)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则x 113<x 213，x 2-13<x 1-13，从而f (x 1)-f (x 2)=x 113-x 1-135-x 213-x 2-135=15(x 113-x 213)+15(x 2-13-x 1-13)<0，∴函数f (x )=x 13-x -135在(0，+∞)上是增函数. 又∵f (x )是奇函数，∴函数f (x )在(-∞，0)上也是增函数.故函数f (x )的单调递增区间为(-∞，0)，(0，+∞).。

《第三章 函数的概念与性质》检测试卷一、单选题(每小题5分，共40分)1．设A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，能表示集合A 到集合B 的函数关系的是( )2．函数f (x )＝1＋x ＋1x的定义域是( )A.[－1，＋∞) B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．[－1，0)∪(0，＋∞)D ．R3．若函数f (x )满足f (x )＝x ＋3x ＋2，则f (x )在[1，＋∞)上的值域为( ) A ．(－∞，1] B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，43D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43 4．函数y ＝4xx 2＋1的图象大致为( )5．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6 D ．126．(2020·菏泽高一检测)下列函数中，既是定义在R 上的偶函数，又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．y ＝－x 2＋1 B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝x ＋1D ．y ＝－x 37．(2021·合肥高一检测)设奇函数f (x )在[－3，3]上是减函数，且f (3)＝－3，若不等式f (x )＜2t ＋1对所有的x ∈[－3，3]都成立，则t 的取值范围是( ) A.[－1，1]B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)∪(1，＋∞)8．某品种鲜花进货价5元/枝，据市场调查，当销售价格(x 元/枝)在x ∈[5，15]时，每天售出该鲜花枝数p (x )＝500x －4，若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为____元．( ) A ．9 B ．11 C ．13 D ．15二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) 9．已知f (2x －1)＝4x 2，则下列结论正确的是( ) A ．f (3)＝9 B ．f (－3)＝4 C ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝(x ＋1)210．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (3)＝0，则下列选项中属于不等式f （x ）－f （－x ）2＞0的解集的是( ) A ．(－∞，－3) B ．(－3，0) C ．(0，3)D ．(3，＋∞)11．关于函数f (x )＝xx －1，下列结论正确的是( ) A ．f (x )的图象过原点 B ．f (x )是奇函数C ．f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减D ．f (x )是定义域上的增函数12．已知狄利克雷函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 是有理数0，x 是无理数 ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的值域为[0，1]B ．f (x )定义域为RC ．f (x ＋1)＝f (x )D ．f (x )是奇函数三、填空题(每小题5分，共20分)13．幂函数f (x )＝x n的图象过点(2，8)且f (a －1)＜1，则a 的取值范围是______．14．对于每个实数x ，设f (x )取y ＝2x －1，y ＝－2x ＋3两个函数中的最小值，则f (x )的最大值是______． 15．已知函数f (x －1)＝x 2＋(2a －2)x ＋3－2a .(1)若函数f (x )在区间[－5，5]上为单调函数，则实数a 的取值范围为________； (2)若f (x )在区间[－5，5]上的最小值为－1，则a 的值为______．16.某单位计划建造的三个相同的矩形饲养场(如图所示)，现有总长为1的围墙材料，则每个矩形的长、宽之比为______时，围出的饲养场的总面积最大．四、解答题(共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2.(1)求f (f (3 ))的值；(2)若f (a )＝3，求a 的值． 18．(12分)已知函数f (x )＝2x5x ＋5.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＋f (2)的值； (2)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12 020 ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019 ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＋f (2 020)的值．19．(12分)大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km 为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 km 以上温度一定，保持在－55℃.(1)当地球表面大气的温度是a ℃时，在x km 的上空为y ℃，求a ，x ，y 间的函数关系式； (2)问当地表的温度是29℃时，3 km 上空的温度是多少？20．(12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x 2＋ax ＋3－2a . (1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围．21．(12分)已知函数f (x )的定义域为(－2，0)∪(0，2)，当x ∈(0，2)时，函数f (x )＝ax －1x －2. (1)若a ＝0，利用定义研究f (x )在区间(0，2)上的单调性； (2)若f (x )是偶函数，求f (x )的解析式．22．(12分)已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ＜0时，f (x )＝xx －1. (1)求函数f (x )的解析式； (2)画出函数f (x )在R 上的图象；(3)解关于x 的不等式f (ax 2－x )＞f (ax －1)(其中a ∈R ).答案解析一、单选题(每小题5分，共40分)1．设A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，能表示集合A 到集合B 的函数关系的是( )分析选D.A 不是函数(一个x 对应两个y )，排除；B 中y ∈[0，2]，不是集合A 到集合B 的函数关系，排除；C 不是函数(x ＝1时对应两个函数值)，排除；D 符合要求． 2．函数f (x )＝1＋x ＋1x的定义域是( )A.[－1，＋∞) B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．[－1，0)∪(0，＋∞)D ．R分析选C.要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，x ≠0， 即x ≥－1且x ≠0.3．若函数f (x )满足f (x )＝x ＋3x ＋2，则f (x )在[1，＋∞)上的值域为( ) A ．(－∞，1] B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，43D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43 分析选D.f (x )＝x ＋3x ＋2 ＝1＋1x ＋2， 因为y ＝1x ＋2在[1，＋∞)上单调递减， 所以y ＝1x ＋2 ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 . 所以1＋1x ＋2 ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43 ， 所以f (x )在[1，＋∞)上的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43 . 4．函数y ＝4xx 2＋1的图象大致为( )分析选A.函数y＝4xx2＋1的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y＝f(x)＝4xx2＋1，则f(－x)＝－4xx2＋1＝－f(x)，则函数y＝f(x)为奇函数，故排除C，D，当x＞0时，y＝f(x)＞0，故排除B.5．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于( )A．－1 B．1 C．6 D．12分析选C.由题意知当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2；当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2，又因为f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域上都为增函数，所以f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6. 6．(2020·菏泽高一检测)下列函数中，既是定义在R上的偶函数，又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A．y＝－x2＋1 B．y＝x2＋1C．y＝x＋1 D．y＝－x3分析选A.A，f(－x)＝－(－x)2＋1＝－x2＋1＝f(x)，则f(x)是偶函数，函数在(－∞，0)上是增函数，满足条件；B，f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，则f(x)是偶函数，函数在(－∞，0)上是减函数，不满足条件；C，f(－x)＝－x＋1≠x＋1＝f(x)，则f(x)不是偶函数，不满足条件；D．f(－x)＝－(－x)3＝x3＝－f(x)，则f(x)是奇函数，函数在(－∞，0)上是减函数，不满足条件．7．(2021·合肥高一检测)设奇函数f(x)在[－3，3]上是减函数，且f(3)＝－3，若不等式f(x)＜2t＋1对所有的x∈[－3，3]都成立，则t的取值范围是( )A.[－1，1] B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)分析选B.因为奇函数f(x)在[－3，3]上是减函数，且f(3)＝－3，所以f(x)max＝f(－3)＝3，若不等式f(x)＜2t＋1对所有的x∈[－3，3]都成立，则3＜2t＋1，解得t＞1.8．某品种鲜花进货价5元/枝，据市场调查，当销售价格(x元/枝)在x∈[5，15]时，每天售出该鲜花枝数p(x)＝500x－4，若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为____元．( )A ．9B ．11C ．13D ．15 分析选D.设每天的利润为y 元， 则y ＝(x －5)·500x －4 ＝500⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x －4 ，5≤x ≤15，显然此函数是增函数，故当x ＝15时，y 取得最大值．二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) 9．已知f (2x －1)＝4x 2，则下列结论正确的是( ) A ．f (3)＝9 B ．f (－3)＝4 C ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝(x ＋1)2分析选BD.令t ＝2x －1，则x ＝t ＋12.f (t )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12 2＝(t ＋1)2，故f (x )＝(x ＋1)2，故选项C 错误，选项D 正确；f (3)＝16，f (－3)＝4，故选项A 错误，选项B 正确． 10．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (3)＝0，则下列选项中属于不等式f （x ）－f （－x ）2＞0的解集的是( ) A ．(－∞，－3) B ．(－3，0) C ．(0，3)D ．(3，＋∞)分析选BD.因为f (x )为奇函数且f (3)＝0， 所以f (－3)＝－f (3)＝0，因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以f （x ）－f （－x ）2＝f (x )＞0，当x ＞0时，x ＞3；当x ＜0时，－3＜x ＜0， 故不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞). 11．关于函数f (x )＝xx －1，下列结论正确的是( )A ．f (x )的图象过原点B ．f (x )是奇函数C ．f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减D ．f (x )是定义域上的增函数 分析选AC.函数f (x )＝xx －1＝x －1＋1x －1 ＝1＋1x －1，f (0)＝0，A 正确； 图象关于(1，1)点对称，B 错误；在(－∞，1)，(1，＋∞)上是减函数，整个定义域上不是减函数，故C 正确，D 错误．12．已知狄利克雷函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 是有理数0，x 是无理数 ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的值域为[0，1]B ．f (x )定义域为RC ．f (x ＋1)＝f (x )D ．f (x )是奇函数分析选BC.根据分段函数的定义域为每段函数的并集可知，函数的定义域为全体有理数与无理数的并集即R ，故函数的定义域为R ，故B 正确；值域为{1，0}，故A 错误； 当x 为有理数时，x ＋1也为有理数， 则f (x ＋1)＝f (x )＝1，当x 为无理数时，x ＋1也为无理数，则f (x ＋1)＝f (x )＝0，从而有f (x ＋1)＝f (x )，故C 正确；当x 为有理数时，f (x )＝1，f (－x )＝1，不满足f (－x )＝－f (x )，故D 错误． 三、填空题(每小题5分，共20分)13．幂函数f (x )＝x n的图象过点(2，8)且f (a －1)＜1，则a 的取值范围是______． 分析因为幂函数f (x )＝x n的图象过点(2，8)， 所以2n ＝8，所以n ＝3，所以幂函数f (x )＝x 3，因为f (a －1)＜1，所以(a －1)3＜1，所以a －1＜1，所以a ＜2. 答案：(－∞，2)14．对于每个实数x ，设f (x )取y ＝2x －1，y ＝－2x ＋3两个函数中的最小值，则f (x )的最大值是______． 分析因为f (x )取y ＝2x －1，y ＝－2x ＋3两个函数中的最小值， 故函数f (x )的图象如图中加粗线条所示：由图易得f (x )的最大值是1. 答案：115．已知函数f (x －1)＝x 2＋(2a －2)x ＋3－2a .(1)若函数f (x )在区间[－5，5]上为单调函数，则实数a 的取值范围为________； (2)若f (x )在区间[－5，5]上的最小值为－1，则a 的值为______．分析令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，f (t )＝(t ＋1)2＋(2a －2)·(t ＋1)＋3－2a ＝t 2＋2at ＋2， 所以f (x )＝x 2＋2ax ＋2.(1)因为f (x )图象的对称轴为x ＝－a ，由题意知－a ≤－5或－a ≥5，解得a ≤－5或a ≥5. 故实数a 的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞). (2)当a >5时，f (x )最小值＝f (－5)＝27－10a ＝－1， 解得a ＝145(舍去)；当－5≤a ≤5时，f (x )最小值＝f (－a )＝－a 2＋2＝－1，解得a ＝±3 ； 当a <－5时，f (x )最小值＝f (5)＝27＋10a ＝－1， 解得a ＝－145 (舍去).综上a ＝±3 .答案：(1)(－∞，－5]∪[5，＋∞) (2)±316.某单位计划建造的三个相同的矩形饲养场(如图所示)，现有总长为1的围墙材料，则每个矩形的长、宽之比为______时，围出的饲养场的总面积最大．分析如图所示，设一个矩形饲养场的长为AB ＝x ，宽为AD ＝y ，则4x ＋6y ＝1，所以y ＝16 (1－4x )，则饲养场的总面积S ＝3xy ＝12 x (1－4x )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －18 2＋132 ， 故当x ＝18 ，y ＝112，即长、宽之比为18 ∶112＝3∶2时，饲养场的总面积最大．答案：3∶2四、解答题(共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2.(1)求f (f (3 ))的值；(2)若f (a )＝3，求a 的值． 分析(1)因为－1<3 <2，所以f (3 )＝(3 )2＝3. 又因为3≥2，所以f (f (3 ))＝f (3)＝2×3＝6. (2)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2. 又因为f (a )＝3，所以a ＝1(舍去)； 当－1<a <2时，f (a )＝a 2.又因为f (a )＝3，所以a ＝±3 ，其中负值舍去， 所以a ＝3 ； 当a ≥2时，f (a )＝2a .又因为f (a )＝3，所以a ＝32 (舍去).综上所述a ＝3 .18．(12分)已知函数f (x )＝2x5x ＋5.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＋f (2)的值； (2)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12 020 ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019 ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＋f (2 020)的值．分析(1)因为函数f (x )＝2x5x ＋5. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＋f (2)＝2×125×12＋5 ＋2×25×2＋5 ＝25 . (2)因为函数f (x )＝2x5x ＋5. 所以f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x 5x ＋5 ＋2x 5x＋5＝2x 5x ＋5 ＋25x ＋5 ＝25 ，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫12 020 ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019 ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＋f (2 020)＝2 019×25 ＋25＋5 ＝4 0395. 19．(12分)大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km 为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 km 以上温度一定，保持在－55℃.(1)当地球表面大气的温度是a ℃时，在x km 的上空为y ℃，求a ，x ，y 间的函数关系式； (2)问当地表的温度是29℃时，3 km 上空的温度是多少？分析(1)由题设知，可设y －a ＝kx (0≤x ≤12，k ＜0)，即y ＝a ＋kx .依题意，当x ＝12时，y ＝－55， 所以－55＝a ＋12k ，解得k ＝－55＋a12 .所以当0≤x ≤12时，y ＝a －x12(55＋a )(0≤x ≤12).又当x ＞12时，y ＝－55.所以所求的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x 12（55＋a ），（0≤x ≤12），－55，（x ＞12）.(2)当a ＝29，x ＝3时，y ＝29－312 (55＋29)＝8，即3 km 上空的温度为8℃.20．(12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x 2＋ax ＋3－2a . (1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围．分析(1)根据题意，因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0， 当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝(－x )2＋a (－x )＋3－2a ＝x 2－ax ＋3－2a ＝－f (x )，所以f (x )＝－x 2＋ax －3＋2a (x ＜0)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋3－2a ，x >00，x ＝0－x 2＋ax －3＋2a ，x <0.(2)若f (x )是R 上的单调函数，且f (0)＝0， 则实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ≥0－a 2≤0 ，解得0≤a ≤32 ，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 . 21．(12分)已知函数f (x )的定义域为(－2，0)∪(0，2)，当x ∈(0，2)时，函数f (x )＝ax －1x －2.(1)若a ＝0，利用定义研究f (x )在区间(0，2)上的单调性；(2)若f (x )是偶函数，求f (x )的解析式．分析(1)当a ＝0时，f (x )＝12－x， 设x 1，x 2∈(0，2)且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝12－x 1 －12－x 2 ＝x 1－x 2（2－x 1）（2－x 2）， 因为x 1，x 2∈(0，2)且x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，2－x 1＞0，2－x 2＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )＝12－x在区间(0，2)上单调递增． (2)令x ∈(－2，0)，则－x ∈(0，2)，所以f (－x )＝a －x －1－x －2 ＝1x ＋2 －a x， 因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝1x ＋2 －a x，所以函数 f (x )在(－2，0)∪(0，2)上的解析式为：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －1x －2，0＜x ＜21x ＋2－a x ，－2＜x ＜0. 22．(12分)已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ＜0时，f (x )＝x x －1 . (1)求函数f (x )的解析式；(2)画出函数f (x )在R 上的图象；(3)解关于x 的不等式f (ax 2－x )＞f (ax －1)(其中a ∈R ). 分析(1)令x ＞0，则－x ＜0，依题意得f (－x )＝－x －x －1 ＝x x ＋1， 所以f (x )＝－f (－x )＝－xx ＋1 (x >0)，又f (0)＝0， 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xx －1，x <00，x ＝0－x x ＋1，x >0. (2)图象如图所示．(3)解关于x 的不等式f (ax 2－x )＞f (ax －1)， 由图象可知，函数f (x )在R 上单调递减， 所以所求不等式等价于ax 2－x ＜ax －1，即ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0，即(ax －1)(x －1)＜0， 当a ＝0时，解得x ＞1；当0＜a ＜1时，解得1<x <1a ；当a ＝1时，解得x ∈∅；当a ＞1时，解得1a <x <1；当a ＜0时，解得x ＞1或x <1a .。

人教A版（2019）必修一3.3幂函数（共21题）一、选择题（共13题）1.下列函数是幂函数的是( )A．y=2x B．y=2x−1C．y=(x+1)2D．y=√x23 2.下列幂函数在区间(0,+∞)上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是( )A．y=x 32B．y=x23C．y=x13D．y=x−133.函数y=x k与y=kx(k∈{−1,12,2,3})的图象只可能是( ) A．B．C．D．4.下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( )A．y=x 12B．y=x4C．y=x−2D．y=x135.已知y=(m2+2m−2)x m 12−1是幂函数，则m的值为( )A．−3B．1C．−3或1D．36.若幂函数y=x n对于给定的有理数n，其定义域与值域相同．则此幂函数( )A．一定是奇函数B．一定是偶函数C．一定不是奇函数D．一定不是偶函数7.若幂函数y=f(x)的图象经过点(−2,4)，则f(x)在定义域内( )A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值8.已知函数f(x)=(3m2−2m)x m是幂函数，若f(x)为增函数，则m等于( )A．13B．−1C．1D．−13或19.已知点(13,27)在幂函数f(x)=(t−2)x a的图象上，则t+a=( ) A．−1B．0C．1D．2 10.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2)，则该函数的解析式为( )A．y=x 12，x≥0B．y=2x−12，x≥0C．y=x−12，x≥0D．y=12x−12，x≥011.函数y=x 53的图象大致是( )A．B．C．D．12.己知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2)，则函数f(x)的解析式为( )A．f(x)=x2B．f(x)=x 12C．f(x)=x−12D．f(x)=x−213.已知幂函数y=x pq（p，q∈N∗，q>1，且p，q互质）的图象如图所示，则( )A．p，q均为奇数，且pq>1B．p为奇数，q为偶数，且pq>1C．p为偶数，q为奇数，且pq>1D．p为偶数，q为奇数，且0<pq<1二、填空题（共4题）14.已知y=(2a+b)x a+b+(a−2b)是幂函数，则a=，b=．15.若幂函数f(x)=x m−1在(0,+∞)上是减函数，则实数m的取值范围是．16.当x∈(0,+∞)时，幂函数y=(m2−m−1)x m为减函数，则实数m的值为．17.若幂函数y=(m2−3m+3)x m2−m−1的图象不过原点，则m=．三、解答题（共4题）18.设点(√2,2)在幂函数y=x a的图象上，点(−2,14)在幂函数y=x b的图象上．问：当x为何值时，x a>x b？19.设函数y=(m2+2m)x m2−m−4，根据下列条件分别求出m的值：(1) 该函数为二次函数；(2) 该函数为幂函数，且在区间(0,+∞)上是严格减函数．20.已知函数f(x)=x 13−x−135，g(x)=x13+x−135．(1) 证明f(x)是奇函数，并求函数f(x)的单调区间．(2) 分别计算f(4)−5f(2)⋅g(2)和f(9)−5f(3)g(3)的值，由此概括出f(x)和g(x)对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并加以证明．21.已知幂函数f(x)=x 13(m−2)(m∈N)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，求函数f(x)的解析式，并讨论g(x)=a√f(x)−bxf(x)的奇偶性．答案一、选择题（共13题） 1. 【答案】D【解析】由幂函数的概念可知D 正确．2. 【答案】C3. 【答案】C【解析】对于A ，直线对应函数 y =x ，曲线对应函数为 y =x −1，1≠−1，故A 错； 对于B ，直线对应函数为 y =2x ，曲线对应函数为 y =x 12，2≠12，故B 错；对于C ，直线对应函数为 y =2x ，曲线对应函数为 y =x 2，2=2，故C 对； 对于D ，直线对应函数为 y =−x ，曲线对应函数为 y =x 3，−1≠3，故D 错．4. 【答案】B5. 【答案】A【解析】由题意得 {m 2+2m −2=1,m 12−1≠0, 解得 m =−3．6. 【答案】D【解析】由于偶函数的图象关于 y 轴对称，并且定义域关于原点对称，故定义域和值域不可能相同．7. 【答案】C【解析】易知 (−2)a =4，则 a =2，f (x )=x 2≥0， 所以函数有最小值．8. 【答案】C【解析】函数 f (x )=(3m 2−2m )x m 是幂函数，则 3m 2−2m =1，解得 m =1 或 m =−13，又 f (x ) 为增函数，则 m =1 满足条件，即 m 的值为 1．9. 【答案】B【解析】因为点 (13,27) 在幂函数 f (x )=(t −2)x a 的图象上，所以 f (13)=(t −2)(13)a=27，且 t −2=1， 解得 t =3，a =−3，所以 t +a =3−3=0．10. 【答案】A【解析】设幂函数 y =f (x )=x α，因为幂函数 y =f (x ) 的图象过点 (2,√2)， 所以 2α=√2，解得 α=12，所以 f (x )=x 12，x ≥0．11. 【答案】B【解析】由于 53>1，故可排除选项 A ，D ．根据幂函数的性质可知，当 k >1 时，幂函数的图象在第一象限内下凸，故排除选项 C ，只有选项 B 正确．12. 【答案】B【解析】设幂函数的解析式为 y =x a ， 因为幂函数 y =f (x ) 的图象过点 (2,√2)， 所以 √2=2a ， 解得 a =12，所以 f (x )=x 12．13. 【答案】D【解析】因为图象关于 y 轴对称， 所以函数为偶函数，所以 p 为偶数，q 为奇函数． 由图象在第一象限内缓慢递增，知 0<p q<1．故选D ．二、填空题（共4题） 14. 【答案】 25 ； 15【解析】由题意得 {2a +b =1,a −2b =0, 解得 {a =25,b =15.15. 【答案】 (−∞,1)【解析】因为幂函数 f (x )=x m−1 在 (0,+∞) 上是减函数， 所以 m −1<0，解得 m <1． 故答案为 (−∞,1)．16. 【答案】−1【解析】由幂函数的定义得 m 2−m −1=1，解得 m =2 或 m =−1， 又因为该幂函数在 x ∈(0,+∞) 时为减函数，当 m =2 时，函数化为 y =x 2 不符合题意，而 m ＝−1 时，y =x −1 符合题意，故 m =−1．17. 【答案】 1【解析】因为幂函数 y =(m 2−3m +3)x m 2−m−1的图象不过原点，所以 {m 2−m −l ≤0,m 2−3m +3=1.解得 m =1．三、解答题（共4题）18. 【答案】由题意，可解得 a =2，b =−2．又由 x 2>x −2，可解得 x >1 或 x <−1．19. 【答案】(1) 由题意，知 {m 2+2m ≠0,m 2−m −4=2, 即 {m 2+2m ≠0,m 2−m −6=0, 得 m =3．(2) 由题意，知 {m 2+2m =1,m 2−m −4<0, 即 {m 2+2m −1=0,m 2−m −4<0, 得 m =√2−1．20. 【答案】(1) 因为函数 f (x ) 的定义域是 (−∞,0)∪(0,+∞)， 所以定义域关于原点对称． 又因为 f (−x )=(−x )13−(−x )−135=−x 13−x−135=−f (x )，所以函数 f (x ) 是奇函数．在 (0,+∞) 上任取 x 1，x 2，且 x 1<x 2， 则 (x 1)13<(x 2)13，(x 2)−13<(x 1)−13，从而 f (x 1)−f (x 2)=(x 1)13−(x 1)−135−(x 2)13−(x 2)−135=15[(x 1)13−(x 2)13]+15[(x 2)−13−(x 1)−13]<0，即 f (x 1)<f (x 2)，所以 f (x )=x 13−x−135在 (0,+∞) 上单调递增．又因为 f (x ) 是奇函数，所以 f (x ) 在 (−∞,0) 上也单调递增．故函数 f (x ) 的单调递增区间为 (−∞,0)，(0,+∞)． (2) f (4)−5f (2)g (2)=413−4−135−5×213−2−135×213+2−135=0，f (9)−5f (3)g (3)=913−9−135−5×313−3−135×313+3−135=0．由此可推测出一个等式 f (x 2)−5f (x )g (x )=0（x ≠0）．证明如下： f (x 2)−5f (x )g (x )=(x 2)13−(x 2)−135−5×x 13−x−135×x 13+x−135=x 23−x−235−x 23−x−235=0．故 f (x 2)−5f (x )g (x )=0（x ≠0）成立．21. 【答案】由 f (x )=x 13(m−2)(m ∈N ) 在 (0,+∞) 上单调递减，得 13(m −2)<0，所以 m <2．因为 m ∈N ，所以 m =0 或 m =1．因为 f (x ) 是偶函数，所以只有当 m =0 时符合题意，故 f (x )=x −23． 于是 g (x )=a ∣∣∣x 13∣∣∣−bx 13，g (−x )=a ∣∣∣x 13∣∣∣+b x 13，且 g (x ) 的定义域为 (−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称． 当 a ≠0 且 b ≠0 时，g (x ) 既不是奇函数也不是偶函数； 当 a =0 且 b ≠0 时，g (x ) 是奇函数；当 a ≠0 且 b =0 时，g (x ) 是偶函数；当 a =0 且 b =0 时，g (x ) 既是奇函数又是偶函数．。

人教A 版（2019）数学必修第一册3.3幂函数同步测试共 17 题一、单选题1、在同一坐标系内，函数和 的图象可能是( )A. B.C.D.2、已知幂函数的图象经过点，则 的值为 （ ）A.B. 1C. 2D. 83、 设a=,b= ,c=它们的大小关系是（ ）A. c<a<b B. a<c<bC. b<a<cD. c<b<a 4、 下列函数为幂函数的是（ ）A.B.C.D.5、 已知幂函数f(x)＝(n 2＋2n －2)(n ∈Z)的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A. 1 B. 2C. 1或2D. 1或－36、 若幂函数f （x ）的图象过点（16，8），则f （x ）<f （x 2）的解集为（ ）A. （–∞，0）∪（1，+∞）B. （0，1）C. （–∞，0）D. （1，+∞）7、 下列结论中，正确的是( )A. 幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B. 幂函数的图象可以出现在第四象限C. 当幂指数α取1,3，时，幂函数y ＝x α是增函数 D. 当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在定义域上是减函数8、 函数y ＝x a ， y ＝x b ， y ＝x c 的图像如图所示，则实数a 、b 、c 的大小关系为( )A. c<b<aB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b二、填空题9、幂函数 y=(m2-m-1)x-5m-3在时为减函数，则m=________。

10、已知关于的函数是幂函数，则 ________．11、已知幂函数的图象过点，则此函数的解析式为________．12、幂函数y= 的图象是________（填序号）．①. ②.③. ④.13、已知幂函数f（x）的图象经过点（2，4），则f（x）为________函数．（填奇偶性）三、解答题14、已知幂函数的图象过点和．(1)求的值；(2)若函数在区间上的最大值比最小值大，求实数的值．15、已知幂函数在上单调递增.(1)求实数的值；(2)若，求实数的取值范围.16、比较下列各题中两个幂的值的大小：(1) 2.3 ，2.4 ；(2)，；(3)(－0.31) ，0.35 .17、已知幂函数f（x）=（m3﹣m+1）x （m∈Z）的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称(1)求f（x）的解析式；(2)解不等式f（x+1）＞f（x﹣2）参考答案一、单选题1、 【答案】B【解析】【解答】若 在 递增，排除 选项，递增，排除 ；纵轴上截距为正数，排除 ，即 时，不合题意；若 ， 在 递减，可排除 选项，由 递减可排除 ，故答案为：B.【分析】解决本题时，针对每一个选项进行证明，对于A 选项，由幂函数的图像，知,所以直线斜率为负，对于C选项，x 为偶数，所以直线与y 轴的截距为正，对于D 选项，x 为奇数，直线斜率为正，即可得出答案。