《建筑力学》8章组合变形

max M y max 6 M z max 6 M y max max 2 Wz Wy bh bh2
3)危险点位置 最大拉应力位于固定端截面上 边缘和后边缘的交点d，即梁的危 险截面是固定端截面，危险点为 截面的d角点。
6 1.5 106 6 1.2 106 MPa MPa 8.8 MPa 2 2 100 150 150 100
max max
2
△
最大切应力和最大正应力为
max T
Wp
max
M max Wz
A
3、强度准则 d A截面上、下边缘点有最大正应力和 B 切应力，是危险点。其应力状态如图。 D 塑性材料在弯、扭组合变形的二向应 l F 力状态下，应用第三、第四强度理论的强 M'=FD/2度准则进行强度计算。其强度准则为：
2.斜弯曲强度准则：
max
本课节小结
三、拉 (压)与弯曲组合变形 1.拉弯组合 外力不沿梁的横向（斜交于轴线），但力作用线 仍在纵向对称平面内，梁将发生拉 (压)与弯曲组合变形。
2.拉弯组合强度设计准则为：
max
M z max M y max [ ] Wz Wy
FN M max [ ] A Wz
F‘=F
xd 3 2 4 2 [ ]
xd 4 2 3 2 [ ]
T
M
M'
Fl
x
x
将弯曲正应力 max = Ｍ max/ Ｗ z 和扭转 切应力 max =T/ＷP代入上式，用圆截面 Wz 代替 WP ， WP=2Wz ，即得到圆轴的弯 、扭组合时的强度准则为
Mz y M y z k z y Iz Iy 2.斜弯曲的强度计算

2ｍ
1ｍ
12kN .m
24kN
例6.2图
按弯曲强度条件可得： M 12103 3 W 120 cm 100106
查型钢表，可选用16号钢， W 141 cm3 , A 26.1cm2 ， 按弯压组合强度条件，可知C点左侧截面下边缘各点压 应力最大：
c max
FN M max 94.3MPa A W
（2）此σt是截面削弱前的σt值的几倍？
解：
N M c A W
t

8P a2 4P 2 a
Pa P 4 2 a a a 2 2 6
2
例8-2-2 已知： P 15kN , e 300mm, 许用拉应力
1 32MPa, 试设计立柱直径d。
z
k
z Fz

F
k
My

M y zk Iy
Fy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
正应力的分布——
y
在 Mz 作用下：
y
在 My 作用下：
y
k
z Fz
Fy
Mz
z z
F
My
（3）叠加：
k k
Mz
k
My
M z yk M y z k Iz Iy
y b
y
b
y
a
a
x
x
z
d
c
z
d
c
中性轴的确定：
令 0,
拉 z
z sin y cos 0 Iy Iz
则
Iz tg tg Iy

F y 压 中性轴
（1）中性轴只与外力F的倾角及截面的几何形状与

l/2 l/2
D
A P
C
d
B
Q
l/2
D
l/2
解：
B
A P
mA
C
Q Q 1 mC QD 2 A M C
Ql/4
B
（1）受力分析与计算简 图：将载荷Q向轮心平移 （2）内力分析，画出弯 矩图和扭矩图；找出危险 面和危险点：危险面在中 点C处 （3）代公式：求最大安 全载荷Q
d
T
QD/2
r3
设计中常采用的简便方法：
因为偏心距较大，弯曲应力 是主要的，故先考虑按弯曲强 度条件 设计截面尺寸
M Wz 6000 6 35 10 d 3 32
解得立柱的近似直径 取d=12.5cm,再代 入偏心拉伸的强 度条件校核
d 0.12 m
15000 6000 3.14 0.1252 3.14 0.1253 4 32 32.4 106 32.4MPa 35MPa
M 2 T2 [ ] Wz
l/2
D
l/2
Ql Q M 0.8 0.2Q 4 4
B
A P
mA
C
d
T
Q Q 1 mC QD 2 A M C
Ql/4
QD Q 0.36 0.18Q 2 2
r3
B
M 2 T2 [ ] Wz
Wz
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3
32
T
QD/2
（1）计算内力
将立柱假想地截开，取上段为 研究对象，由平衡条件，求出 立柱的轴力和弯矩分别为
F
N
FN P 15000 N M Pe 15000 0.4 6000N m

作用在横梁上的力有载荷F，拉杆的 拉力FB，支座C的反力FCx、FCy，将 B点的作用力分解为FBx、FBy。可以 将作用在BC梁上的力分为两组：F、
14
FBy、FCy使梁发生弯曲变形。FBx、F
第8章 组合变形
由静平衡方程可求得
FB 40kN FCx FBx FBcos30 34.6kN
略不计。将以上两项正应力叠加后
就得到横截面上任意点的总应力为
' " FN (x) M z (x) y
（8－1）
A
Iz
式中A为横截面面积，Iz为截面对z轴的惯性矩。叠加后的正
应力分布如图8－4(d)所示。
11
第8章梁组发合变生形弯曲变形时固定端处弯
矩最大，固定端处为弯曲的危险截
面；由于轴力是常量，每个横截面
M
Wz
32M
d 3
31.29MPa
30
第8章 组合变形 应力叠加后，最大拉应力发生在立柱的右侧，其值为
t max 32.51MP a t
最大压应力发生在立柱的左侧，其值为
c max 30.07MP a c
由此例可以看出，偏心拉压中的偏心距越大，弯曲 应力所占比例就越高。因此，要提高偏心拉压杆件的强度， 就应尽可能减小偏心距或尽量避免偏心受载。
第8章(4）组合强变形度计算。由型钢表查得N
o20a号工字钢横截面面积A=35.5cm2
=35.5×10-4m2，抗弯截面系数Wz=23
7cm3=237×10-6m3。危险截面J的上
边缘各点的应力为 σcmax
FN A
M max W
3354.5.6110034
28103 237106
9.75118.14127.9MPa[σ]

斜弯曲也称为双向平面弯曲。 一、强度计算：
外力分解： Py Pcos
内力计算： Pz Psin
MzPyxPcosxMco;s MyPzxPsinxMsin;
应力计算：
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最大应力：
ma x M Izzym ax M Iyyzma x M W zzM Iyy;
强度条件：
m axM Wzz
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二、计算： 以挡土墙为例。
自重作用使任意截面产生轴向
压力N(x)；对应各点产生压应力：
N(x);
N
A
土压力作用使截面产生弯矩
M(x)；对应点产生正应力：
M(x)y;
M
Iz
X截面任意点应力：
k
N(x)M(x)y;
A
Iz
ma x N(x)M(x);
min
A
W z
挡土墙底部截面轴力和弯矩最大，
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3. 常见组合变形的类型 ： （1） 斜弯曲 （2） 拉伸（压缩）与弯曲组合 （3） 偏心拉伸（压缩） （4） 弯扭组合
二、计算方法 ： 组合变形若忽略变形过程中各基本变形间的互相影
响，则可依据叠加原理计算。
1. 叠加原理 ：弹性范围小变形情况下，各荷载分别单独 作用所产生的应力、变形等互不影响，可叠加计算。
设计 W z ： M [m ]a x12c0 m 3;
查表 1号 6选工字 W z 钢 14 c， 1 m 3,A2,6 1 cm 2;
校核 m a | xN A ： M W m z | a1 x .4 0 M 0 1 P 0 0 0 a [] 5;
因此，可选16号工字钢。

C点的正应力表达式变为
取=0 ，以y0、z0代表中性轴上任一点的坐标，则可得中性轴方程
y
O
z
中性轴
*
可见，在偏心拉伸(压缩)情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线。
求出中性轴在y、z两轴上的截距
对于周边无棱角的截面，可作两条与中性轴平行的直线与横截面的周边相切，两切点D1、D2，即为横截面上最大拉应力和最大压应力所在的危险点。相应的应力即为最大拉应力和最大压应力的值。
添加标题
01
弯矩Mz=Mez 引起的正应力
添加标题
03
A为横截面面积；Iy、Iz分别为横截面对y轴、z轴的惯性矩。
添加标题
05
弯矩My=Mey 引起的正应力
添加标题
02
按叠加法，得C点的正应力
添加标题
04
在任一横截面n-n上任一点 C(y,z) 处的正应力分别为
添加标题
06
*
利用惯性矩与惯性半径间的关系
*
*
危险点：m-m截面上
角点 B 有最大拉应力，D 有最大压应力； E、F点的正应力为零，EF线即是中性轴。 可见B、D点就是危险点，离中性轴最远
中性轴：正应力为零处，即求得中性轴方程
强度条件：B、D角点处的切应力为零，按单向应力状态来建立强度条件。设材料的抗拉和抗压强度相同，则斜弯曲时的强度条件为
边长为h和b的矩形截面，y、z两对称轴为截面的形心主惯性轴。
得
若中性轴与AB 边重合，则中兴轴在坐标轴上的截距分别为
b
6
6
h
C
z
y
b
h
B
A
D
h
6
6
b

• ■一、内力计算
• 根据前面所学的力的平移定理，可将偏心力P向截面形心简化，得到 一个轴向压力P和一个力偶矩M＝P·e的力偶［图８-７（ｂ）］。
• 在承受偏心压力的直杆中，各横截面上的内力相等，由截面法可求得 内力
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• FＮ＝P • M＝P·e • 可见，偏心压缩是轴向压缩和平面弯曲的组合。
• 将两种荷载作用下的横截面正应力进行叠加得 • σ＝FＮ/A±M·y/Iｚ • 强度条件为σｍａｘｍｉｎ＝FA±Mｍａｘ/Wｚ≤［σ］ｍａｘｍｉｎ
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• 作用在直杆上的外力作用线与杆轴平行而不重合，有一偏心距，此时 杆件就受到偏心压缩（拉伸）。如图８-７（ａ）中柱子受到上部结 构传来的荷载P，其作用线与柱轴线间的距离为e，柱子就产生了偏 心压缩变形。此处的P叫作偏心力，e叫作偏心距。
• ■二、应力计算和强度条件
• 在横截面上任取一点 • K，其应力是轴向压缩应力σＮ和弯曲应力σＭｚ的叠加。 • σＮ＝－P/A • σＭｚ＝±Mｚ·y/Iｚ
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• K点的总应力为 • σＫ＝σＮ＋σＭｚ＝－P/A±Mｚ·y/Iｚ（８-３） • 式中，σＭｚ的正负号可由K点所在的变形区域判定：当K点处于受拉
第八章 组合变形
• 第一节 组合变形的概念 • 第二节 斜弯曲 • 第三节 轴向拉（压）和弯曲 • 第四节 偏心压缩（拉伸）
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第一节 组合变形的概念
• 前面各章已经讨论了杆件在各种基本变形时的强度和刚度问题。实际 工程中杆件的受力情况较复杂，所引起的变形不是单一的基本变形， 而是几种基本变形的组合。如图８-１（ａ）所示的烟囱，在承受自 身重力发生轴向压缩变形的同时，又因承受风荷载而引起弯曲变形； 如图８-１（ｂ）所示的厂房牛腿柱，所受吊车梁的压力与柱的轴线 不重合，即受到偏心压力作用，使支柱产生压缩和弯曲两种基本变形 。

中性轴
Z y
z y
Z y
斜弯曲
3.横截面为园形或椭圆形（无棱角），则先合成弯矩后计算应力： 先用双箭头矢量表示绕两个轴的弯矩，然后按照矢量合成法则
确定合弯矩，然后确定最大拉、压正应力点，根据材料进行强
度校核。
例题：结构如图，在端部Py过形心且与沿y轴方向，在中部Pz过形 心且与沿z轴方向。尺寸如图。 求此梁的最大应力。
max
N Mz (拉，在最上沿的各点) A Wz
或者
偏心拉伸时，中性轴不再过截面形 心，甚至没有中性轴。
或者
max
N Mz (拉，在最上沿的各点) A Wz
强度条件：
注意：偏心拉伸时，无论什么材料，只有一个危险点即：最大 拉应力点。
基本工作： ①安全校核 ②பைடு நூலகம்面设计 ③确定承载力
•根据截面应力的分布规律，可以找到危险点，然 后进行强度校核。
2.两种组合变形应力计算：
•拉压与弯曲—在危险点处：
（弯曲应力） （拉、压应力）
•偏心拉压—在危险点处：
(拉、压应力) ( y向弯曲应力) ( z向弯曲应力)
3.斜弯曲变形的应力处理方法： （1）矩形或工字形截面：
x
Pz z y L H Py
解：对于园截面杆，在危险截面的形心处，分解出与基本变形对
应的载荷，将绕Y轴和Z轴的弯矩My、Mz用双箭头矢量表示， 然后按照矢量合成的方法，计算出合弯矩M，根据弯曲应力的 分布规律，可以找到危险点。 Mz=PyL
M
My=PzH
x
2 M y M z2
最大拉应力σT
（假设：各个基本变形互不影响）
③叠加。

第八章 组合变形及连接部分的计算
故有中性轴的方程：
My Iy
z0
Mz Iz
y0 0
中性轴与y轴的夹角q（图a）为
taqnz0 Mz Iy Iy tan
y0 My Iz Iz
其中 角为合成弯矩 M My2 Mz2
与y的夹角。
第八章 组合变形及连接部分的计算
tanq Iy tan
Iz
这就表明，只要 Iy≠Iz ，中性轴的方向 就不与合成弯矩M的矢量重合，亦即合 成弯矩M 所在的纵向面不与中性轴垂直， 或者说，梁的弯曲方向不与合成弯矩M 所在的纵向面重合。正因为这样，通常 把这类弯曲称为斜弯曲。
强度条件为 r3 [] 或 r4 []
第八章 组合变形及连接部分的计算
注意到发生扭－弯变形的圆截面杆，其危险截面上危险点处：
M W
T T
Wp 2W
为便于工程应用，将上式代入式（a），（b）可得：
r3
M24T2 W 2W
M2T2 W
r4W M 232T W 2
M 20.7T 52 W
式中，M和T分别为危险截面上的弯矩和扭矩，W为圆截面的 弯曲截面系数。
在具体计算中，究竟先按内力叠加（按矢量法则叠加） 再计算应力和位移，还是先计算各基本形式变形下的应力 或位移然后叠加，须视情况而定。
Ⅱ.连接件的实用计算
第八章 组合变形及连接部分的计算
连接件（螺栓、铆钉、键等）以及构件在与它们连接
处实际变形情况复杂。
螺栓连接（图a）中，螺栓主要受剪切及挤压（局部压 缩）。
应该注意，挤压应力是连接件与被连接件之间的相互作 用，因而当两者的材料不同时，应校核许用挤压应力较低的 连接件或被连接件。工程上为便于维修，常采用挤压强度较 低的材料制作连接件。

m Fr 1020 Nm
(1) 连杆轴颈得强度计算
l 危险截面
连杆轴颈得中点
l 计算内力
取左半部分
M z R1 L / 2 (C C1) l / 2 1170 N m
M y H1 L / 2 553 Nm
My Qy T
Mz Qz
M
M
2 z
M
2 y
1290
Nm
T H1 r 510 Nm
Qz
B点得应力状态如图。
r4 2 3 2 96.7 MPa [ ] 安全
50
例题5 F1=0、5kN,F2=1kN,[]=160MPa、
(1)用第三强度理论计算 AB 得直径 (2)若AB杆得直径 d = 40mm,并在B端加一水平力
F3 = 20kN,校核AB杆得强度、
400
400
B
求:校核轴得强度。
解:
l 求外力
u 力偶矩
m 9549 N n
21.7 Nm
u 皮带张力
(F f ) D m 又 F f 600
2
F 465 N, f 135 N
u 齿轮作用力
Pn
cos 20
d1 2
m
Pn 925 N
l 将各力向轴线简化
P 870 N, Pr 316 N, m m, Fy f y 542 N, Fx fx 257 N
示例1 示例2
F1 产生弯曲变形 F2 产生拉伸变形 Fy 产生弯曲变形 Fx 产生拉伸变形
F2
F1
F2
Fy
F
Fx
三、内力分析
横截面上内力
1、拉(压) :轴力 FN
弯矩 Mz
2、弯曲 剪力Fs

第六章直梁弯曲弯曲变形是杆件比较常见的基本变形形式。

通常把以发生弯曲变形为主的杆件称为梁。

本章主要讨论直梁的平面弯曲问题，内容包括：弯曲概念和静定梁的力学简图；弯曲内力及内力图；弯曲应力和强度计算；弯曲变形和刚度计算。

其中，梁的内力分析和画弯矩图是本章的重点。

第一节平面弯曲的概念和力学简图一、弯曲概念和受力特点当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用(图6-1)时，杆轴由直线弯成曲线，这种在外力作用下其轴线变成了一条曲线。

这种形式的变形称为弯曲变形。

工程上通常把以弯曲变形为主的杆件称为梁。

图 6-1 弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。

例如房屋建筑中的楼面梁和阳台挑梁，受到楼面荷载和梁自重的作用，将发生弯曲变形，如图6-2所示。

一些杆件在荷载作用下不仅发生弯曲变形，还发生扭转等变形，当讨论其弯曲变形时，仍然把这些杆件看做梁。

图6-2工程实际中常见到的直梁，其横截面大多有一根纵向对称轴，如图6-3所示。

梁的无数个横截面的纵向对称轴构成了梁的纵向对称平面，如图6-4所示。

图 6-3 图6-4若梁上的所有外力（包括力偶）作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线将在其纵向对称平面内弯成一条平面曲线，梁的这种弯曲称为平面弯曲，它是最常见、最基本的弯曲变形。

本章主要讨论直梁的平面弯曲变形。

从以上工程实例中可以得出，直梁平面弯曲的受力与变形特点是：外力作用于梁的纵向对称平面内，梁的轴线在此纵向对称面内弯成一条平面曲线。

二、梁的受力简图为了便于分析和计算直梁平面弯曲时的强度和刚度，需建立梁的力学简图。

梁的力学简图（力学模型）包括梁的简化、荷载的简化和支座的简化。

1、梁的简化由前述平面弯曲的概念可知，载荷作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线弯成一条平面曲线。

因此，无论梁的外形尺寸如何复杂，用梁的轴线来代替梁可以使问题得到简化。

例如，图6-1a和图6-2a所示的火车轮轴和桥式起重机大梁，可分别用梁的轴线AB代替梁进行简化（图6-1b和图6-2b）。

最大拉应力 最大压应力
σt max
P 425×7.5P = + MPa 15 5310
P 425×12.5P = − MPa 15 5310
′ σcmax = σ′ +σc′max
由抗拉强度条件
σt max ≤ [σt ] = 30 MPa
由抗压强度条件
P ≤ 45.1 kN P ≤171.3 kN
A =15×10 m , zo = 7.5 cm , 4 I y = 5310 cm
2
−3
求内力(作用于截面形心 求内力 作用于截面形心) 作用于截面形心
10
几何参数
A =15×10 m , zo = 7.5 cm , 4 I y = 5310 cm
2
−3
求内力(作用于截面形心 求内力 作用于截面形心) 作用于截面形心 取研究对象如图
23
i
2 z
+
i
2 y
= −1
当压力作用点在直线 上移动时 当压力作用点在直线pq上移动时，C点的应力保 直线 上移动时， 点的应力保 持为零。 持为零。 中性轴通过C点，但方位不断变化。 中性轴通过 点 但方位不断变化。 截面核心的确定 截面核心的确定 设AE为中性轴 为 中性轴的截距为a 中性轴的截距为 y, az， 由：
b h 2 i = , iz = 12 12
2 y
2
2
设AB为中性轴 为中性轴
a点坐标 点坐标
h AB直线的截距为： ay = − , az = ∞ 直线的截距为： 直线的截距为 2 2 2 iy iz h 由：ya = − , z = − ya = , za = 0 a ay az 6
26

2.内力分析
x的截面上的弯矩：
M yF zxF s in x M s in M zF yxF co x sM co 式s中
MFx
3.应力分析
x截面的任意一点的应力
M yzFsin xzM sinz
Iy
Iy
Iy
M zyF co x syM co ys
Iz
Iz
Iz
M yz M zy M s in z M c oys
二向（平面）应力状态——有两个主应力不为零。
σ2
σ2
σ1 简化
σ1
特例
σ
单向应力状态
τ
纯剪应力状态
8.1.1 应 力 状 态 概 念
1、平面应力状态的一般情形
σy τy
y
x σx τx
8.1.2 平 面 应 力 状 态 分 析
2、斜截面上的应力
x a
y
yx xy
x
y
x α a
n
a
xy yx
主要因素。
8.2.1
强度条件是： σ1σ
常 用
四
2.最大拉应力理论
个 强
最大伸长线应变是引起材料发生脆性断裂
度 理
的主要因素。
论
强度条件是：1 (2 3)
的 简
介
3.最大切应力理论
最大剪应力是引起材料发生塑性屈服
的主要因素。
8.2.1
强度条件是： σ1σ3σ
常 用 四
4.形状改变比能理论
个 强
度
3
选择适当的强 度理论进行强 度计算。
8.2.2 强 度 理 论 的 应 用
平面应力状态，
1
2
2
2

2FL
材料力学
FL
3. 根据弯矩图确定可能的危险截面
竖直xy面：
结论：
FL
水平xz面：
危险截面可 能是中点或
固定端。
2FL
材料力学
FL
4. 通过叠加求危险截面的最大正应力
z
y
M xz Wz Wy
材料力学
z
y
M xy M xz
2 2
M xy
W
y
竖直xy面：
FL
水平xz面：
Z
2FL
材料力学
弯曲应力/横力弯曲时的正应力
§8.2 两个面上的弯曲组合
材料力学
两个面上的弯曲变形实例：
矩形截面悬臂梁受力如图所示，梁的弯曲许用
应力[σ]=20FL/hb2，试校核梁的强度。
材料力学
1. 分解 竖直xy面：
水平xz面：
材料力学
2. 分别求两个面内的弯矩，绘制弯矩图
竖直xy面：
FL
水平xz面：
P
拉压和弯曲
材料力学
拉压、扭转和弯曲
材料力学
组合变形/组合变形和叠加原理
二.求解组合变形的基本方法—叠加法 叠加法的概述： 将组合变形分解成若干个基本变 形，分别计算出每个基本变形下的内
力和应力，然后进行应力叠加。
材料力学
组合变形/组合变形和叠加原理
叠加法求组合变形的具体步骤：
1.判断组合变形的类型，并进行分解； 2.分别求基本变形的内力，并绘制内力图； 3.根据内力图确定危险截面，并求危险截面 上的基本变形的最大应力； 4.将危险截面的应力叠加，并进行强度校核。
F
判断危险截面，应力叠加，并进行校核（如下）