向量的极化恒等式与等和线的应用-学生版

向量复习专题二 极化恒等式 一、极化恒等式：222214
a b AD BC AM BM ⎡⎤⋅=-=-⎣⎦
二、极化恒等式的应用
ABC D BC E F AD BA CA=4BF CF=-1BE CE ∆⋅⋅⋅ 例1.如图，在中，是的中点，，是上两个三等分点，，，则的值是
AB O M O CD AB=8CD=6.MA MB ⋅∈
例2.若是的直径，是的弦上的一个动点，，则
例 4.在中,,,已知点是内一点,则 的最
小值是_______.
()
ABCD OB OC ⋅ 例5.如图放置的边长为1的正方形顶点分别在x 轴，y 轴正半轴含原点滑动，则的最大值为
.3,2,()P ABO OA OB P AB OP OA OB ∆==⋅- 例3为所在平面内一点，线段在线段的垂直平分线上，则
的值为
例6.（2013浙江理7）在ABC ∆中，0P 是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有C P B P PC PB 00∙≥∙，则
A. 2π=
∠ABC B. 2π=∠BAC C. AC AB = D. BC AC =
例7.已知圆的半径为，是圆上的两点，且，是圆的任意一条直径，
若点满足，则的最小值为
O 1,A B 3AOB π
∠=MN O C 1(1)()2
OC OA OB R λλλ=+-∈ CM CN ⋅。

向量的极化恒等式与等和线的应用-学生版向量的极化恒等式与等和线的应用-学生版结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍?思考1:如果将上面(1) (2)两式相减，能得到什么结论呢？对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。

那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的丄.4即：；b = 4〔AC 2-DB 2】(平行四边形模式)极化恒等式引例：平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。

你能用向量方法证明：平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍? 证明：不妨设AB = a, AD = b,贝V AC 二 a b,DB =a —b, ___ , 2 AC 二 AC 二 a b (1).2 DB r 2 a ___ 2 ? ■ 2 =DB 二 a — b ? r r 2 -2a b + b(1) (2)两式相加得:ab =;_a b极化恒等式思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何表示呢？因为AC=2AM，所以ai=|AMp-1|DB|2（三角形模式）例1. （2012年浙江文15）在ABC中川是BC的中点AM =3,BC =10，则AB TAC =BMC目标检测（2012北京文 13改编）已知正方形 ABCD 的边长为 1, 点E 是AB 边上的动点，贝V DE DA 的值为_______________________________________ .例2.（自编）已知正三角形 ABC 内接于半径为2的圆O ,点P 是圆O 上的一个动点, 则PA PB 的取值范围是 _________________ .目标检测2 2（2010福建文11）若点O 和点F 分别为椭圆中上 =1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为（）A2 B.3 C.6 D.8例3. （2013浙江理7）在ABC 中,P o是边AB 上一定点，满足P°B*AB ，且对于边AB 上任一点4 7PB 卩C HRB PC 。

极化恒等式(学生版) 极化恒等式是线性代数中的一个重要恒等式，它反映了矩阵和向量之间的内在关系。

这个恒等式可以表示为：A⋅(β+γ)=Aβ+Aγ，其中A是一个矩阵，β和γ是向量，A⋅表示矩阵A和向量的乘积。

在证明极化恒等式之前，我们需要先了解一下矩阵和向量的乘法。

矩阵和向量的乘法是通过将矩阵的每一行与向量相乘，然后将这些乘积相加得到的。

例如，如果A是一个3×2的矩阵，β是一个2×1的向量，那么A⋅β可以通过以下步骤计算：1.将第一行a11a12与向量β相乘得到第一个乘积a11β1+a12β2，将第二行a21a22与向量β相乘得到第二个乘积a21β1+a22β2，将第三行a31a32与向量β相乘得到第三个乘积a31β1+a32β2。

2.将上述三个乘积相加得到A⋅β=(a11β1+a12β2)+(a21β1+a22β2)+(a31β1+a32β2)=a11β1+a12β2 +a21β1+a22β2+a31β1+a32β2=∑i=13∑j=12Aijβj。

现在我们可以证明极化恒等式。

首先，我们需要将矩阵A拆分成两个部分，即A=A−+A+，其中A−=(A−1)ij=−∑k=1nAkij(i=1,m;j=1,n)是一个(m×n)矩阵，A+=εijk(i=1,m;j=1,n;k=−m−(+j)=i)也是一个(m×n)矩阵。

其中εijk是一个排列符号，当i、j、k三个指标循环排列时，其值为1或−1。

根据矩阵拆分的定义，我们可以将极化恒等式表示为：(A−+A+)⋅(β+γ)=A−⋅β+A−⋅γ+A+⋅β+A+⋅γ对于右侧第一项A−⋅β，根据矩阵和向量的乘法计算规则可得：A−⋅β=(−∑k=1nAkij)⋅β=(−Akij)⋅βk=(−∑k=1n(Aiuj)⋅Bvkaj)⋅ɛvka)=(−∑k= 1n(Aui)⋅Bk)(ɛik⋅ɛivk)=(−∑k=1n(Aui⋅Bk))⋅ɛik=(−Aui⋅B)⋅eivi=(−Aui⋅B)⋅βi= tika⋅Mk耿 ltiZMn耿 wnow瓣towZMn耿 +yla"owe看来及。

极化恒等式的应用引言极化恒等式是数学中一条重要的关系式，它在各个领域中都有着广泛的应用。

本文将介绍极化恒等式的定义和性质，并给出一些具体的应用案例。

极化恒等式的定义极化恒等式是指在内积空间中，通过使用内积运算将双线性函数转化为一个向量上的光滑函数。

具体地，对于一个内积空间 V，其内积运算为 \< , \>，则对于任意两个向量v, w ∈ V，极化恒等式可以表示为：\< v, w \> = \frac{1}{4} \left(\|v + w\|^2 - \|v - w\|^2\right)其中，\|v\| 表示向量 v 的范数。

极化恒等式的性质极化恒等式具有以下一些重要的性质：1.对称性：对于任意的v, w ∈ V，极化恒等式成立。

2.线性性：极化恒等式中的向量 v 和 w 可以是任意的线性组合，对应的恒等式仍然成立。

3.正定性：当且仅当 V 是一个欧几里得空间时，极化恒等式成立。

极化恒等式在向量分析中的应用极化恒等式在向量分析中起着重要的作用，以下是一些常见的应用案例：1. 向量正交性证明假设有两个向量 v 和 w，在证明它们正交性时，可以利用极化恒等式。

通过计算 \< v, w \>，若等式右侧的值为 0，则可以得到 v 和 w 的正交性。

2. 向量长度计算对于一个给定的向量 v，可以利用极化恒等式计算其长度。

通过令 w = v，代入极化恒等式并求解，即可得到向量 v 的长度，即 \|v\|。

3. 向量夹角计算给定两个向量 v 和 w，可以利用极化恒等式计算它们之间的夹角。

通过令 w = v - w，代入极化恒等式并求解，即可得到向量 v 和 w 之间的夹角。

极化恒等式在物理学中的应用极化恒等式在物理学中也有广泛的应用，以下是一些常见的应用案例：1. 电场的计算对于一个给定的电场分布，利用极化恒等式可以计算电场的能量密度。

通过令v 和 w 分别为电场和电位移向量，在极化恒等式中代入并求解，即可得到电场的能量密度。

最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录题型一：三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线题型九：平行四边形大法题型十：向量对角线定理方法技巧总结技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果技巧二．极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)技巧三．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2技巧四．等和线(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB(λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；技巧五．平行四边形大法1.中线长定理2AO 2=AB 2+AD 2-12DB 22.P 为空间中任意一点，由中线长定理得：2PO 2=PA 2+PC 2-12AC 22PO 2=PD 2+PB 2-12DB 2两式相减：PA 2+PC 2-PD 2+PB 2=AC2-BD 22=2AB ⋅AD技巧六．向量对角线定理AC ⋅BD =(AD 2+BC 2)-(AB 2+CD2)2必考题型归纳题型一:三角不等式1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=1,|c -a -b |=1，若对任意c ，(c -a )2+(c-b )2≤11恒成立，则a ⋅b 的取值范围是.2(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：|a|=1,b ⋅a =-1，若对满足条件的任意向量b ，|c -b |≥|c -a |恒成立，则cos c +a ,a 的最小值是．3已知向量a ,b ,c 满足a =b =c =2，a ⋅b =0，若关于t 的方程ta +b2-c=12有解，记向量a ,c 的夹角为θ，则sin θ的取值范围是.1.已知e 1 ,e 2 ,e 3 是平面向量，且e 1 ,e 2 是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R 均有e 3 +λe 1的最小值为e 3 -e 2 ，则e 1 +3e 2 -e 3 +e 3-e 2 的最小值为．2.已知平面向量e 1 ,e 2 满足2e 2 -e 1 =2，设a =e 1 +4e 2 ,b =e 1 +e 2 ，若1≤a ⋅b ≤2，则|a|的取值范围为．3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =74，|a -b|=3，(a -c )(b -c )=-2，则c的取值范围是．1已知向量a ，b 的夹角为π3，且a ⋅b =3，向量c 满足c =λa +1-λ b 0<λ<1 ，且a ⋅c =b ⋅c ，记x =c ⋅aa ，y =c ⋅b b，则x 2+y 2-xy 的最大值为.2(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量a ，b ，c 满足a =1，b=2，a ⋅b=-1，向量c -a 与向量c -b 的夹角为π4，则c 的最大值为．3(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量a ，b 满足a =1，b=3，且a ⊥b ，若向量c 满足c -a -b =2a -b ，则c的最大值是．1.已知向量a ，b 满足a =1，b =3，且a ⋅b =-32，若向量a -c 与b -c 的夹角为30°，则|c |的最大值是. 2.已知向量a ，b ，满足a =2b =3c =6，若以向量a ，b 为基底，将向量c 表示成c =λa+μb (λ，μ为实数)，都有λ+μ ≤1，则a ⋅b的最小值为 3.已知向量a 、b 满足：a -b=4，a =2b .设a -b 与a +b 的夹角为θ，则sin θ的最大值为.1.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF=μDC ．若λ+μ=23，则AE ⋅AF 的最小值为．2.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF =μDC ，若2λ+μ=52，则AE ⋅AF 的最小值．3.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为．4.菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AB ⋅AN的最大值为．5.如图，菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为.6.平面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠A =120°，点N 是DC 边上的点，且DN =3NC，点M 是四边形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM ⋅AN的最大值为.7.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足a +b =3，a ⋅b =0．若c =λa+1-λ b ，且c ⋅a =c ⋅b，则c 的最大值为．8.已知平面向量a ，b ，c 满足a =2，b =1，a ⋅b =-1，且a -c 与b -c 的夹角为π4，则c 的最大值为．9.已知平面向量a 、b 、c 满足a=4，b =3，c =2，b ⋅c =3，则a -b 2a -c 2-a -b⋅a -c 2最大值为.10.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN =λAB +μAC，则λ2+μ2的最小值为.题型四:几何意义法1(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是平面向量，满足a -b =a +b ，a =2b =2，c +a -b=5，则向量c 在向量a上的投影的数量的最小值是.2(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，c -a与c -b 的夹角为3π4，a -b=2，c -b =1，则b ⋅c 的取值范围是.3(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b 夹角为π3，且平面向量c 满足c -a =c -b =1,c -a ⋅c -b =-12,记m 为f t =ta +1-t b (t ∈R )的最小值，则m 的最大值是． 1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =-3，a -b=4，c -a 与c -b 的夹角为π3，则c -a -b 的最大值为． 2.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π3，c -a 与c -b的夹角为2π3，a -b =23，c -b =2，则b ⋅c 的取值范围是．3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =2，且(c -a )⋅(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π6,π3，则|c |的最大值是.4.(2023·全国·高三专题练习)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b|=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c的最大值为. 5.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =4，且a -c⋅b -c =-1，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π3,π2，则c 的模取值范围是. 6.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c ，若a =b =a -b =1，且2a -c+2b +c =23，则a -c的取值范围是.7.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量a ，b 满足a =b =1，且a ⋅b=0，若向量c 满足c +a +b=1，则c 的最大值为.8.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b ，c 满足a -b +c=2b =2，b -a 与a 的夹角为3π4，则c 的最大值为．9.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a与向量b 的夹角为π3，a -c=23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为.题型五:坐标法1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足2a +b=3，b =1，则a +2a +b 的最大值为.2(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=2，|b |=4，a ，b 的夹角为π3，且(a -c )⋅(b -c )=2，则|c |的最大值是.3设平面向量a ，b ，c 满足a =b =2，a 与b 的夹角为2π3，a -c ⋅b -c =0则c 的最大值为．1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a|=1，|b |=3，a ⋅b =0，c -a 与c -b 的夹角是π6，则c ⋅b -a 的最大值为.2.(2023·河北·统考模拟预测)如图，在边长为2的正方形ABCD 中．以C 为圆心，1为半径的圆分别交CD ，BC 于点E ，F ．当点P 在劣弧EF 上运动时，BP ⋅DP的最小值为．3.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量a ，b ，c 满足a =1，b ⋅c =0，a ⋅b =1，a⋅c=-1，则b +c 的最小值为．4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图，在平面四边形ABCD 中，∠CDA =∠CBA =90°，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为CD 边上的动点，则AE ⋅BE的最小值为．5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知a=1，b +a +b -a =4，则b -14a 的最小值是.6.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b 满足a=3，且b -λa 的最小值为1(λ为实数)，记a,b =α，a ,a -b=β，则b ⋅b -a cos α+β最大值为.7.在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足2AM +AN =1，设AC =xAM +yAN ，则2x +3y 的最小值为()A.48B.49C.50D.51题型六:极化恒等式1(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是．2(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为． 3(2023·陕西榆林·三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为． 1.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且AP=λAB +(2-2λ)AC (λ∈R )，则PA ⋅PC 的最小值为()A.16B.12C.5D.42.(2023·重庆八中模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型七:矩形大法1已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．2在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,23(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16，点P 1,2 ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且PM⋅PN =0若PQ =PM +PN ，则PQ的最小值为．1.设向量a ，b ，c满足|a |=|b |=1，a ⋅b =12，(a -c )⋅(b -c )=0，则|c |的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1题型八:等和线1如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.12在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]3(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB .当x =-12时，y 的取值范围是()A.0，+∞ B.12，32C.12，+∞ D.-12，321.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB，则3x +y 的取值范围是．2.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一个动点.若OC=xOA +yOB ，则2x +y 的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.4.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)如图，OM ⎳AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OP =xOA +yOB，则实数对x ,y 可以是()A.-14,34B.-15,75C.14,-12D.-23,236.如图，B 是AC 的中点，BE =2OB ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP=xOA +yOBx ,y ∈R ，则下列结论正确的个数为()①当x =0时，y ∈2,3②当P 是线段CE 的中点时，x =-12，y =52③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段④x -y 的最大值为-1A.1B.2C.3D.47.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC=AB ⋅AC=2，点Q 在线段BC (含端点)上运动，点P 是以Q 为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若AP =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.1B.33C.3+33D.328.在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点(不包括端点A ，B ，C )，且M ，N ，G 三点共线，若AM =λAB ，AN =μAC，则λ+4μ的最小值为()A.32 B.52C.2D.949.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC 中，AC =2,AB =2,∠BAC =120°,AE =λAB ,AF=μAC ，M 为线段EF 的中点，若AM=1，则λ+μ的最大值为()A.73B.273C.2D.21310.在扇形OAB 中，∠AOB =60o ，OA =1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]11.(2023·全国·高三专题练习)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =600，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若u =x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为()A.(1,3)B.13,3C.12,1D.12,2题型九:平行四边形大法1如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⋅BC 的取值范围是.2如图，C ，D 在半径为1的⊙O 上，线段AB 是⊙O 的直径，则AC ⋅BD的取值范围是.3(2023·浙江·模拟预测)已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足|a +e |=|b -e |=1，a ⋅b的取值范围是.1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC ⋅PB的取值范围为.2.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1题型十:向量对角线定理1已知平行四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，若记a =OA⋅OB ，b =OB ⋅OC ，c =OC ⋅OD ，则()A.a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <a <c2如图，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则AO ⋅BC的值是()A.-8B ．-1C ．1D ．83如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BC 若，AB =a ，AD =b ，则AC ⋅BD 等于()A.b 2-a 2B.a 2-b 2C.a 2+b 2D.a 2⋅b 2。

极化恒等式公式向量
【极化恒等式公式向量简介】
极化恒等式公式向量，是指在向量空间中，满足极化恒等式的一类向量。

极化恒等式，是线性代数中一种非常重要的恒等式，广泛应用于各种数学问题的求解。

对于n 维向量空间，极化恒等式公式向量具有n+1 个线性无关的向量。

通过这些向量，我们可以构建出一个n 维的线性空间，进一步研究向量空间的性质和结构。

【极化恒等式公式向量的性质】
极化恒等式公式向量具有以下几个重要性质：
1.线性无关：极化恒等式公式向量是线性无关的，这意味着它们不能通过线性组合得到零向量。

2.正交：极化恒等式公式向量是正交的，即它们之间的内积为零。

正交性使得极化恒等式公式向量可以被广泛应用于求解线性方程组和构建线性变换。

3.满秩：极化恒等式公式向量组成的矩阵是满秩的，这意味着它们可以被用于表示一个可逆的线性变换。

【极化恒等式公式向量的应用】
极化恒等式公式向量在许多领域都有广泛的应用，例如：
1.求解线性方程组：极化恒等式公式向量可以被用于求解线性方程组。

通过高斯消元法或列文逊- 逆平方根法等算法，可以将线性方程组表示为极化恒等式公式向量的线性组合，从而求解方程组的解。

2.构建线性变换：极化恒等式公式向量可以被用于构建线性变换。

例如，
在量子力学中，极化恒等式公式向量被用于表示哈密顿算符，从而描述系统的动力学行为。

3.研究向量空间：极化恒等式公式向量在研究向量空间的性质和结构方面具有重要意义。

例如，通过极化恒等式公式向量，可以研究向量空间的维数、基、秩等概念。

极化恒等式与等和(高)线定理【四大题型】【题型1利用极化恒等式求值】【题型2利用极化恒等式求最值(范围)】【题型3利用等和线求基底系数和的值】【题型4利用等和线求基底系数和的最值(范围)】1.极化恒等式与等和(高)线定理极化恒等式是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系；等和(高)线定理是平面向量中的重要定理，由三点共线结论推导得出，在求基底系数和的值、最值(范围)中有着重要作用.【知识点1极化恒等式】1.极化恒等式的证明过程与几何意义(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a |2+|b |2).证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -b，AC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①，DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②，①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2.(2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b2-a -b 2 ----极化恒等式平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2 .2.几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的14，即14a +b2-a -b 2 (如图).(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M 为BC 的中点)(如图).极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.【知识点2等和(高)线定理】1.等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R )，则λ+μ=1，由△OAB 与△OA 'B '相似，必存在一个常数k ,k ∈R ，使得，则，又(x ,y ∈R )，∴x +y =kλ+kμ=k ；反之也成立.(2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R )，若点P '在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)；反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和(高)线.①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在O 点和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 1，k 2互为相反数；⑥定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比.【题型1利用极化恒等式求值】1.(2024·贵州毕节·三模)如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E ，F 是线段AD 的两个三等分点，若BA⋅CA =7，BE ⋅CE =2，则BF ⋅CF =()A.-2B.-1C.1D.22.(23-24高三上·福建厦门·期末)如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF =2FO ，则FD ⋅FE =()A.-34B.-89C.-14D.-493.(2024高三·江苏·专题练习)如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA =3，OC =5.若AB⋅AD =-7，则BC ⋅DC 的值是．4.(23-24高二下·湖南长沙·开学考试)如图，在平行四边形ABCD 中，AB =1，AD =2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF ⋅FG +GH ⋅HE等于．【题型2利用极化恒等式求最值(范围)】5.(2024高三·全国·专题练习)半径为2的圆O 上有三点A 、B 、C 满足OA +AB +AC =0，点P 是圆内一点，则P A ⋅PO +PB ⋅PC 的取值范围为()A.[-4，14)B.[0，4)C.[4，14]D.[4，16]6.(23-24高一下·江苏南通·期中)正三角形ABC 的边长为3，点D 在边AB 上，且BD =2DA ，三角形ABC 的外接圆的一条弦MN 过点D ，点P 为边BC 上的动点，当弦MN 的长度最短时，PM ⋅PN的取值范围是()A.[-1,5]B.[-1,7]C.[0,2]D.[1,5]7.(2024·重庆·模拟预测)已知△OAB 的面积为1,AB =2，动点P ,Q 在线段AB 上滑动，且PQ =1，则OP⋅OQ的最小值为.8.(23-24高三上·上海浦东新·阶段练习)在面积为2的平行四边形中ABCD 中，∠DAB =π6，点P 是AD 所在直线上的一个动点，则PB 2+PC 2-PB ⋅PC 的最小值为．【题型3利用等和线求基底系数和的值】9.(2024·四川成都·模拟预测)如图，在平行四边形ABCD 中，BE =23BC ，DF =34DE ，若AF =λAB +μAD，则λ+μ=()A.32B.-112C.112D.010.(2023·河北沧州·模拟预测)在△ABC 中，BE =12EC ,BF =12BA +BC，点P 为AE 与BF 的交点，AP =λAB +μAC ，则λ+μ=()A.0B.14C.12D.3411.(23-24高一上·江苏常州·期末)在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 在线段DC 上，且CF =2DF ．若AC =λAE +μAF，λ,μ均为实数，则λ+μ的值为．12.(23-24高一上·江苏苏州·期末)如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别为线段BC ，CD 的中点，若MN =λ1AM +λ2BN ，λ1,λ2∈R ，则λ1+λ2的值为.【题型4利用等和线求基底系数和的最值(范围)】13.(2024·山东烟台·三模)如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB+yAC ，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.114.(23-24高三上·河北沧州·期中)如图，△BCD 与△ABC 的面积之比为2，点P 是区域ABCD 内任意一点(含边界)，且AP =λAB +μACλ,μ∈R ，则λ+μ的取值范围是()A.0,1B.0,2C.0,3D.0,415.(23-24高一下·福建泉州·阶段练习)在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC (λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是.16.(23-24高一下·广西桂林·期末)已知O 为△ABC 内一点，且4OA +8OB +5OC =0 ，点M 在△OBC 内(不含边界)，若AM =λAB +μAC，则λ+μ的取值范围是．一、单选题1.(2024·四川绵阳·三模)如图，在△ABC 中，AF =BF =6,EF =5，则EA ⋅EB =()A.-11B.-13C.-15D.152.(2024·陕西西安·一模)在△ABC 中，点D 是线段AC 上一点，点P 是线段BD 上一点，且CD =DA ，AP=23AB+λAC ，则λ=()A.16B.13C.23D.563.(2024高三·全国·专题练习)在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AE =13AD ，AF =2AE ，AB ⋅AC=6，FB ⋅FC =-2，则EB ⋅EC =()A.-1B.2C.-12D.14.(2024·陕西榆林·三模)在△ABC 中，E 在边BC 上，且EC =3BE ,D 是边AB 上任意一点，AE 与CD 交于点P ，若CP =xCA +yCB，则3x +4y =()A.34B.-34C.3D.-35.(23-24高三下·湖南长沙·阶段练习)向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a ⋅b =14AD 2-BC 2，我们称为极化恒等式.已知在△ABC 中，M 是BC 中点，AM =3，BC =10，则AB ⋅AC=()A.-16B.16C.-8D.86.(2024·全国·模拟预测)如图，在△ABC 中，AN =tNC (t >0)，BP =λPN (λ>0)，若AP =34AC -14BC ，则λ+t 的值为()A.7B.6C.5D.47.(23-24高三上·山东潍坊·期末)已知正方形ABCD 的边长为2，MN 是它的内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是()A.[0，1]B.0,2C.[1，2]D.-1,18.(2024·河北沧州·三模)对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边△ABC 中，AB =2，以三条边为直径向外作三个半圆，M 是三个半圆弧上的一动点，若BM =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.12B.33C.1D.32二、多选题9.(23-24高一下·江苏南京·期中)在△ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，点M 是线段AD 的中点，若存在λ,μ∈R 使BM =λAB +μAC，则λ,μ的取值可能是()A.λ=-35,μ=110B.λ=1,μ=-32C.λ=-910,μ=25D.λ=-710,μ=3510.(23-24高一下·四川成都·阶段练习)如图，正方形ABCD 中，E 为AB 中点，M 为线段AD 上的动点，若BM =λBE +μBD ，则λ+μ的值可以是()A.32B.12C.1D.211.(23-24高一下·陕西西安·阶段练习)(多选)如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD =λBC λ∈R ，AD ⋅AB =-32，则()A.AB ·BC =9B.实数λ的值为16C.四边形ABCD 是梯形D.若M ，N 是线段BC 上的动点，且MN =1，则DM ⋅DN 的最小值为132三、填空题12.(2024·新疆·二模)在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC ，点E 是线段BC 的中点，若AE =λAB +μAD ，则λ+μ=.13.(23-24高一下·黑龙江大庆·期末)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点BA ⋅CA =5，BF ⋅CF =-2，则BE ⋅CE 的值是.14.(23-24高三·广东阳江·阶段练习)在面积为2的平行四边形ABCD 中，点P 为直线AD 上的动点，则PB ⋅PC +BC 2的最小值是．四、解答题15.(23-24高一下·甘肃白银·阶段练习)如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ．E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．(1)用AB ，AD 方表示AE ；(2)若AF =λAB +μAD ，求λ+μ的值．16.(23-24高一下·江苏苏州·期中)阅读一下一段文字：a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2，a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2，两式相减得(a +b )2-(a -b )2=4a ·b ⇒a ·b =14[(a +b )2-(a -b)2]我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．(1)若AD =6，BC =4，求AB ⋅AC 的值；(2)若AB ⋅AC =4，FB ⋅FC =-1，求EB ⋅EC 的值．17.(23-24高一上·辽宁大连·期末)在三角形ABC 中，AB =a ，AC =b ，BE =2EC，D 为线段AC 上任意一点，BD 交AE 于O .(1)若CD =2DA .①用a ，b表示AE ；②若AO =λAE ，求λ的值；(2)若BO =xBA +yBC ，求12x +13y +1的最小值.18.(23-24高一下·湖南邵阳·期末)如图，已知四边形ABDE 为平行四边形，点C 在AB 延长线上，点M 在线段AD 上，且AB =12BC ,AM =13AD ，设AB =a ,AE =b .(1)用向量a ，b表示CD ；(2)若线段CM 上存在一动点P ，且AP =ma +nb m ,n ∈R ，求n 2+mn 的最大值.1119.(23-24高一下·广东潮州·阶段练习)阅读以下材料，解决本题：我们知道①(a +b )2=a 2+2a ⋅b +b 2；②(a -b)2=a 2-2a ⋅b +b 2.由①-②得(a +b )2-(a -b )2=4a ⋅b ⇔a ⋅b =(a +b )2-(a -b )24，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形ABCD 中，BD =8,AB ⋅AD =48，E 为BD 中点.(1)若cos ∠BAD =1213，求△ABD 的面积；(2)若2AE =EC ，求CB ⋅CD 的值；(3)若P 为平面ABCD 内一点，求P A ⋅PB +PD 的最小值.。

第04讲 平面向量系数和（等和线、等值线）问题（高阶拓展、竞赛适用）（5类核心考点精讲精练）平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高。

平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学的一个命题热点。

近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用如图，P 为AOB ∆所在平面上一点，过O 作直线//l AB ，由平面向量基本定理知：存在,x y R ∈，使得OP xOA yOB=+下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x y +的值①若P l ∈时，则射线OP 与l 无交点，由//l AB 知，存在实数λ，使得OP AB λ=而AB OB OA =- ，所以OP OB OA λλ=-，于是=-=0x y λλ+②若P l ∉时，（i ）如图1，当P 在l 右侧时，过P 作//CD AB ，交射线OA OB ，于,C D 两点，则OCD OAB ∆~∆，不妨设OCD ∆与OAB ∆的相似比为k由,P C D ，三点共线可知：存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA k OBλλλλ=+-=+- 所以(1-)x y k k kλλ+=+=（ii ）当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1作P 关于O 的对称点P '，由（i ）的分析知：存在存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA OB λλλλ'=+-=+- 所以--(1)OP k OA OBλλ'=+- 于是--(1-)-x y k k kλλ+=+=综合上面的讨论可知：图中OP 用,OA OB线性表示时，其系数和x y +只与两三角形的相似比有关。

平面向量中极化恒等式、等和(高)线定理及最值(范围)问题)知识梳理1．极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]．(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.(2)平行四边形PMQN ，O 是对角线交点．则： ①PM →·PN→＝14[|PQ |2－|NM |2](平行四边形模式)； ②PM →·PN→＝|PO |2－14|NM |2(三角形模式)． 2．等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若OP →＝λOA→＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝1，由△OAB 与△OA ′B ′相似，必存在一个常数k ，k ∈R ，使得OP ′→＝kOP →，则OP ′→＝kOP →＝kλOA →＋kμOB →，又OP ′→＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，∴x ＋y ＝kλ＋kμ＝k ；反之也成立．(2)平面内一组基底OA→，OB →及任一向量OP ′→，OP ′→＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，若点P ′在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则λ＋μ＝k (定值)；反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线成为等和(高)线．①当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0，1)； ③当直线AB 在O 点和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； ④当等和线过O 点时，k ＝0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；⑥定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比． 3．平面向量中的最值(范围)问题(1)向量投影、数量积、向量的模、夹角的最值(或范围)． (2)向量表达式中字母参数的最值(或范围)．题型一 极化恒等式的应用【例1】 (1)已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为( )A ．－14B ．－13C ．－12 D ．－1(2)(2020·天津卷)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB→＝－32，则实数λ的值为__________；若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN→的最小值为__________．答案 (1)C (2)16 132解析 (1)P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，取OC 中点D ，由极化恒等式得，PO →·PC →＝|PD |2－14|OC |2＝|PD |2－14，又|PD |2min＝0，∴(P A →＋PB →)·PC →的最小值为－12.(2)法一 依题意得AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，由AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos ∠BAD ＝－32|AD →|＝－32，得|AD →|＝1，因此λ＝|AD →||BC→|＝16.取MN 的中点E ，连接DE ，则DM →＋DN →＝2DE →，DM →·DN →＝14[(DM →＋DN →)2－(DM →－DN →)2]＝DE →2－14NM →2＝DE →2－14.注意到线段MN 在线段BC 上运动时，DE 的最小值等于点D 到直线BC 的距离，即AB ·sin B ＝332，因此DE →2－14的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫3322－14＝132，即DM →·DN →的最小值为132.法二 因为AD →＝λBC →， 所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°， 所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32， 解得|AD→|＝1.因为AD→，BC →同向，且BC ＝6， 所以AD→＝16BC →，即λ＝16. 在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332.以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系． 如图，设M (a ，0)，不妨设点N 在点M 右侧， 则N (a ＋1，0)，且－32≤a ≤72.又D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，332，所以DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1，－332， DN→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－332， 所以DM →·DN →＝a 2－a ＋274＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋132.所以当a ＝12时，DM →·DN→取得最小值132.感悟升华 (1)极化恒等式多用于向量的数量积； (2)注意在三角形、平行四边形中的应用．【训练1】 (1)(2021·杭州二中模拟)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3 ，BC ＝10，则AB →·AC→＝________．(2)已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则P A →·PB→的取值范围是________． 答案 (1)－16 (2)[－2，6]解析 (1)因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得AB →·AC→＝|AM |2－14|BC |2＝9－14×100＝－16.(2)取AB 的中点D ，连接CD ，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝2 3. 又由极化恒等式得P A →·PB→＝PD 2－14AB 2＝PD 2－3， 因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，PD max ＝3， 当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，PD min ＝1， 所以P A →·PB →∈[－2，6]． 题型二 等和线定理的应用【例2】 (1)如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中〈OA →，OB →〉＝120°，〈OA →，OC →〉＝30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n ＝________．(2)在扇形OAB 中，∠AOB ＝60°，C 为AB ︵上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则3x ＋y 的取值范围是________． 答案 (1)6 (2)[1，3]解析 (1)法一 连接AB ，交OC 于点D ，则 ∠DOA ＝∠OAD ＝30°，∠BOD ＝90°， |OD →|＝|OB →|tan 30°＝33，|OD →|＝|DA →|＝33，|DB →|＝233，由平面向量基本定理得OD→＝23OA →＋13OB →，|OC →|＝23＝6|OD →|，∴OC →＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫23OA →＋13OB →＝4OA→＋2OB →，m ＋n ＝6.法二 根据等高线定理可得|OC ||OD |＝k ＝m ＋n ，k ＝|OC→||OD →|＝2333＝6，∴m ＋n ＝6.(2)取D 使得OD →＝13OA →，OC →＝xOA →＋yOB →＝3xOD →＋yOB →，作一系列与BD 平行的直线与圆弧相交，当点C 与点B 重合时，3x ＋y 取得最小值1，当点C 与点A 重合时，3x ＋y 取得最大值3，故3x ＋y 的取值范围是[1，3]． 感悟升华 (1)“等和线”的解题步骤 ①确定值为1的等和线；②过动点作该线平行线，结合动点的可行域，分析在何点处取得最值； ③利用长度比或该点的位置，求得最值或范围．(2)“等和线”多用于向量线性表示式中有关系数的最值、范围问题． (3)此类问题也可建系，用坐标法解决．【训练2】 如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且AD ＝1，点P 是△BCD (含边界)的动点，设OP →＝λOC →＋μOD →，则λ＋μ的最大值为________．答案 32解析 当点P 位于B 点时，过点B 作GH ∥DC ，交OC ，OD 的延长线于G ，H ，则OP →＝xOG →＋yOH →，且x ＋y ＝1， ∵△GCB ∽△COD ，∴GC CO ＝CB OD ＝12，∴OP →＝OB →＝xOG →＋yOH →＝32xOC →＋32yOD →＝λOC →＋μOD →，所以λ＝32x ，μ＝32y ⇒λ＋μ＝32x ＋32y ＝32.故答案为32. 题型三 平面向量中的最值(范围)问题 角度1 函数型【例3－1】 (1)(一题多解)(2020·浙江卷)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤ 2.设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是__________． (2)(2021·宁波十校联考)设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，记a *b ＝x 1x 2－y 1y 2，若圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0上的任意三个点A 1，A 2，A 3，且A 1A 2⊥A 2A 3，则|OA 1→*OA 2→＋OA 2→*OA 3→|(O 为坐标原点)的最大值是________． 答案 (1)2829 (2)16解析 (1)法一 设e 1＝(1，0)，e 2＝(x ，y )， 则a ＝(x ＋1，y )，b ＝(x ＋3，y )． 由2e 1－e 2＝(2－x ，－y )，故|2e 1－e 2|＝（2－x ）2＋y 2≤2，得(x －2)2＋y 2≤2. 又有x 2＋y 2＝1，得(x －2)2＋1－x 2≤2， 化简，得4x ≥3，即x ≥34，因此34≤x ≤1. cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b |a |·|b |2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫（x ＋1）（x ＋3）＋y 2（x ＋1）2＋y 2（x ＋3）2＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋42x ＋26x ＋102＝4（x ＋1）2（x ＋1）（3x ＋5）＝4（x ＋1）3x ＋5＝43（3x ＋5）－833x ＋5＝43－833x ＋5，当x ＝34时，cos 2θ有最小值，为4⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋13×34＋5＝2829.法二 单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2， 所以|2e 1－e 2|2＝5－4e 1·e 2≤2，即e 1·e 2≥34. 因为a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，a ，b 的夹角为θ，所以cos 2θ＝（a ·b ）2|a |2|b |2＝[（e 1＋e 2）·（3e 1＋e 2）]2|e 1＋e 2|2·|3e 1＋e 2|2＝（4＋4e 1·e 2）2（2＋2e ·e 2）（10＋6e 1·e 2）＝4＋4e 1·e 25＋3e 1·e 2.不妨设t ＝e 1·e 2，则t ≥34，cos 2θ＝4＋4t 5＋3t ，又y ＝4＋4t 5＋3t 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞上单调递增．所以cos 2θ≥4＋35＋94＝2829. 所以cos 2θ的最小值为2829. 法三 由题意，不妨设e 1＝(1，0)，e 2＝(cos x ，sin x )．因为|2e 1－e 2|≤2，所以（2－cos x ）2＋sin 2x ≤2，得5－4cos x ≤2，即cos x ≥34. 易知a ＝(1＋cos x ，sin x )，b ＝(3＋cos x ，sin x )，所以a ·b ＝(1＋cos x )(3＋cos x )＋sin 2x ＝4＋4cos x ，|a |2＝(1＋cos x )2＋sin 2x ＝2＋2cos x ，|b |2＝(3＋cos x )2＋sin 2x ＝10＋6cos x ，所以cos 2θ＝（a ·b ）2|a |2|b |2＝（4＋4cos x ）2（2＋2cos x ）（10＋6cos x ）＝4＋4cos x5＋3cos x.不妨设m ＝cos x ，则m ≥34，cos 2θ＝4＋4m 5＋3m ，又y ＝4＋4m 5＋3m 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞上单调递增，所以cos 2θ≥4＋35＋94＝2829，所以cos 2θ的最小值为2829. (2)由O ，A 1，A 2，A 3四点共圆，且A 1A 2⊥A 2A 3，可知A 1A 3为圆C 的直径，故OA 1→＋OA 3→＝2OC →.由圆C 的标准方程设OA 2→＝(1＋5cos θ，－2＋5sin θ)，又点C (1，－2)，则|OA 1→*OA 2→＋OA 2→*OA 3→|＝|(OA 1→＋OA 3→)*OA 2→|＝2|OC →*OA 2→|＝2|(1＋5cos θ)＋2(－2＋5sin θ)|＝2|5sin(θ＋φ)－3|≤16，其中tan φ＝12，当且仅当θ＝2k π－π2－φ，k ∈Z 时等号成立，所以所求最大值为16.感悟升华 此类问题可归结为函数、三角函数求最值、值域问题． 【训练3－1】 (1)如图，在扇形OAB 中，OA ＝2，∠AOB ＝90°，M 是OA 的中点，点P 在AB ︵上，则PM →·PB →的最小值为________．(2)(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________． 答案 (1)4－25 (2)4 2 5 解析(1)如图，以O 为坐标原点，OA→为x 轴的正半轴，OB →为y 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则M (1，0)，B (0，2)，设P (2cos θ，2sin θ)，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以PM →·PB→＝(1－2cos θ，－2sin θ)·(－2cos θ，2－2sin θ)＝4－2cos θ－4sin θ＝4－2(cos θ＋2sin θ)＝4－25sin(θ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，所以PM →·PB→的最小值为4－2 5.(2)由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))， 则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ)． 令y ＝|a ＋b |＋|a －b |＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20]． 由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25， (|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5. 角度2 解不等式型【例3－2】 (1)(2021·金丽衢十二校二联)设t ∈R ，已知平面向量a ，b 满足|a |＝2|b |＝2，且a ·b ＝1，向量c ＝x a ＋(t －x )b ，若存在两个不同的实数x ∈[0，t ]，使得c 2－2a ·c ＋3＝0，则实数t ( ) A ．有最大值为2，最小值为32 B ．无最大值，最小值为32 C ．有最大值为2，无最小值 D ．无最大值，最小值为0(2)已知不共线向量OA →，OB →夹角为α，|OA →|＝1，|OB →|＝2，OP →＝(1－t )OA →，OQ →＝tOB →(0≤t ≤1)，|PQ →|在t ＝t 0处取最小值，当0<t 0<15时，则α的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π 答案 (1)B (2)C解析 (1)设向量a ，b 的夹角为θ，∵a ·b ＝|a ||b |cos θ＝2cos θ＝1，∴cos θ＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.由题意得c ·a ＝[x a ＋(t －x )b ]·a ＝x a 2＋(t －x )b ·a ＝4x ＋t －x ＝3x ＋t ，c 2＝[x a ＋(t －x )b ]2＝x 2a 2＋2x (t －x )a ·b ＋(t －x )2·b 2＝4x 2＋2xt －2x 2＋t 2－2xt ＋x 2＝3x 2＋t 2.存在两个不同的实数x ∈[0，t ]，使得c 2－2a ·c ＋3＝0，即存在两个不同的实数x ∈[0，t ]，使得3x 2－6x ＋t 2－2t ＋3＝0，即f (x )＝3x 2－6x ＋t 2－2t＋3在[0，t ]内有两个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f （0）≥0，f （t ）≥0，Δ>0，0<－－66<t ，即⎩⎨⎧t 2－2t ＋3≥0，4t 2－8t ＋3≥0，0<t <2，t >1，解得t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2，则实数t 的最小值为32，无最大值，故选B. (2)由题意，不共线向量OA→，OB →夹角为α，|OA →|＝1，|OB →|＝2，OP →＝(1－t )OA →，OQ →＝tOB →(0≤t ≤1)，得PQ →＝OQ →－OP →＝tOB →－(1－t )OA →，所以|PQ →|2＝[tOB →－(1－t )OA →]2＝(5＋4cos α)t 2－2(1＋2cos α)t ＋1，由二次函数的图象和性质知，当t ＝t 0＝1＋2cos α5＋4cos α时，|PQ→|取最小值，即0<1＋2cos α5＋4cos α<15，解得－12<cos α<0，因为α∈[0，π]，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3，故选C.感悟升华 此类问题最后化为解不等式(组)问题解决．【训练3－2】 (1)(2021·丽水测试)已知|c |＝2，向量b 满足2|b －c |＝b ·c .当b ，c 的夹角最大时，|b |＝________．(2)(2021·金华十校调研)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |≤1，|b |≤1，|2c －(a ＋b )|≤|a －b |，则|c |的最大值为________． 答案 (1)22 (2) 2解析 (1)设〈b ，c 〉＝θ，则由2|b －c |＝b ·c 得4(b －c )2＝(b ·c )2，即4|b |2sin 2θ－16|b |cos θ＋16＝0，则4cos θ＝|b |sin 2θ＋4|b |≥2|b |sin 2θ·4|b |＝4sin θ，当且仅当|b |sin 2θ＝4|b |，即|b |＝2sin θ时，等号成立，∵4cos θ≥4sin θ，则tan θ＝sin θcos θ≤1，所以θ≤π4，当θ＝π4时，|b |＝2 2.(2)因为|2c －(a ＋b )|≤|a －b |，所以|2c |－|a ＋b |≤|a －b |，即|2c |≤|a ＋b |＋|a －b |，将a ，b 的起点移到同一点，以a ，b 为邻边构造平行四边形，则a ＋b ，a －b 为平行四边形的两条对角线．在平行四边形ABCD 中，|AC |2＝|AB |2＋|AD |2＋2|AB |·|AD |cos ∠BAD ，|BD |2＝|AB |2＋|AD |2－2|AB |·|AD |cos ∠BAD ，则|AC |2＋|BD |2＝2|AB |2＋2|AD |2，易得当|AB |，|AD |最大且|AC |＝|BD |时，|AC |＋|BD |取得最大值，所以当|a |＝1，|b |＝1且|a ＋b |＝|a －b |时，|a ＋b |＋|a －b |取得最大值22，则|2c |≤|a ＋b |＋|a －b |≤22，即|c |≤2，所以|c |的最大值为 2.角度3 重要不等式型【例3－3】 (1)(一题多解)(2021·义乌市联考)已知平面向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a ，b 的夹角为α，|a |＝1，|b |＋|c |＝2，则cos α的取值范围是________． (2)(2016·浙江卷)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________． 答案 (1)[－1，1] (2)12解析 (1)法一 由题意可知－c ＝a ＋b ，则|b |－|a |≤|c |≤|b |＋|a |，所以|b |－1≤2－|b |≤|b |＋1，则12≤|b |≤32.不妨设|b |＝t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32，则|c |＝2－t .又由－c ＝a ＋b 两边平方得1＋t 2＋2t cos α＝(2－t )2＝4－4t ＋t 2，则cos α＝3－4t 2t ∈[－1，1]． 法二 如图所示，椭圆方程为x 2＋4y 23＝1.当向量a ，b ，c 共线时，α取最大值或最小值，即cos α＝1或－1，所以cos α∈[－1，1]． (2)由已知可得6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |， 由于上式对任意单位向量e 都成立． ∴6≥|a ＋b |成立．∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b . 即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12. 感悟升华 常用不等式(1)基本不等式：a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)； (2)三角不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |； (3)数量积不等式：|a ·b |≤|a ||b |.【训练3－3】 (1)(2021·浙江新高考仿真三)设平面向量a ，b 满足1≤|a |≤2，2≤|b |≤3，则|a ＋b |＋|a －b |的取值范围是________．(2)(一题多解)(2021·浙江五校联考)已知a |＝3，|b |＝|c |＝4，若c ⊥a ，则|a －b －c |的最大值为________． 答案 (1)[6，213] (2)9解析 (1)|a ＋b |2＋|a －b |2＝2(|a |2＋|b |2)①，由基本不等式，得|a ＋b |2＋|a －b |2≥（|a ＋b |＋|a －b |）22②.又|a |∈[1，2]，|b |∈[2，3]，由①②得(|a ＋b |＋|a －b |)2≤4(|a |2＋|b |2)≤52，即|a ＋b |＋|a －b |≤213.又由三角不等式有|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )±(a －b )|，即|a ＋b |＋|a －b |≥2|a |，|a ＋b |＋|a －b |≥2|b |，故|a ＋b |＋|a －b |≥6，综上，有6≤|a ＋b |＋|a －b |≤213.(2)法一 |a －b －c |＝a 2＋b 2＋c 2－2a ·b ＋2b ·c ＝41＋2b ·（c －a ）.∵c ⊥a ，∴|c －a |＝5，则b ·(c －a )≤|b ||c －a |＝20，所以|a －b －c |≤41＋40＝9.法二 由|a |＝3，|b |＝|c |＝4知，a 在以O 为圆心，3为半径的圆上运动，b ，c 均在以O 为圆心，4为半径的圆上运动，如图，又a ⊥c ，则|a －b －c |＝|(a －c )－b |＝|CA→－OB →|≤|CA →|＋|OB →|＝5＋4＝9. 角度4 轨迹型【例3－4】 (2021·名校仿真训练四)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于两点M ，N .若c 2＝a 2＋b 2，P 为圆O 上任意一点，则PM →·PN →的取值范围是________． 答案 [－2，6] 解析 如图，取MN 的中点A ，连接OA ，则OA ⊥MN ，∵c 2＝a 2＋b 2，∴O 点到直线MN 的距离OA ＝|c |a 2＋b2＝1，圆O 的半径r ＝2，∴Rt △AON 中，设∠AON ＝θ，得cos θ＝OA ON ＝12，得θ＝π3，cos ∠MON ＝cos 2θ＝cos 2π3＝－12，由此可得OM →·ON →＝|OM →|·|ON →|cos ∠MON ＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2，则PM →·PN →＝(OM →－OP →)·(ON→－OP →)＝OM →·ON →＋OP →2－OP →·(OM →＋ON →)＝－2＋4－2OP →·OA →＝2－2|OP →|·|OA →|·cos ∠AOP ＝2－4cos ∠AOP ，当OP→，OA →同向时，取得最小值2－4＝－2，当OP →，OA →反向时，取得最大值2＋4＝6，则PM →·PN→的取值范围是[－2，6]．感悟升华 利用向量及其运算的几何意义，结合轨迹图形求解，并注意分析临界状态．【训练3－4】 (2021·湖州期末质检)正方形ABCD 的边长为2，E ，M 分别为BC ，AB 的中点，点P 是以C 为圆心，CE 为半径的圆上的动点，点N 在正方形ABCD 的边上运动，则PM →·PN →的最小值是________． 答案 1－ 5 解析 由题意得PM →·PN →＝(PC →＋CM →)·(PC →＋CN →)＝1＋PC →·CM →＋(PC →＋CM →)·CN →＝1＋PC →·CM →＋PM →·CN →.由图易得向量PM →，CN →的夹角恒为锐角，则PM →·CN →≥0，则当点N 与点C 重合，点P 为CM 与圆C 的交点时，PC →·CM →取得最小值－5，PM →·CN →取得最小值0，此时PM →·PN →取得最小值1－ 5. 角度5 投影与函数分析型【例3－5】 (1)如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A ，B ，C ，D 四点均位于图中的“晶格点”处，且A ，B 的位置如图所示，则AB →·CD→的最大值为________．(2)(2019·浙江卷)已知正方形ABCD 的边长为1，当每个λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________，最大值是________． 答案 (1)24 (2)0 2 5解析 (1)先建立平面直角坐标系如图，因为正六边形的边长均为1，所以B (0，0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，92，当CD→在AB →方向上的投影最大时，AB →·CD →最大，此时取C (0，5)，D (－3，0)，即(AB →·CD →)max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－92·(－3，－5)＝32＋452＝24. (2)如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则AB→＝(1，0)，AD →＝(0，1)． 设a ＝λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →＝λ1AB →＋λ2AD →－λ3AB →－λ4AD →＋λ5(AB →＋AD →)＋λ6(AD →－AB →) ＝(λ1－λ3＋λ5－λ6)AB →＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)AD → ＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)．故|a|＝（λ1－λ3＋λ5－λ6）2＋（λ2－λ4＋λ5＋λ6）2. ∵λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1，∴当λ1－λ3＋λ5－λ6＝0，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0(λ1＝λ3＝λ4＝λ5＝λ6＝1，λ2＝－1)时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最小值0.考虑到λ5－λ6，λ5＋λ6有相关性，要确保所求模最大，只需使|λ1－λ3＋λ5－λ6|，|λ2－λ4＋λ5＋λ6|尽可能取到最大值，即当λ1－λ3＋λ5－λ6＝2，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝4(λ1＝λ2＝λ5＝λ6＝1，λ3＝λ4＝－1)时可取到最大值，∴|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最大值为4＋16＝2 5. 感悟升华 (1)关于数量积问题常用投影分析法；(2)当向量线性表达式系数较多且给出其取值范围时，常用系数分析法． 【训练3－5】 (1)已知正三角形ABC 的边长为4，O 是平面ABC 内的动点，且∠AOB ＝π3，则OC →·AB →的最大值为________． (2)(2021·浙江名师预测一)已知等边△ABC 的边长为1，当每个λi (i ＝1，2，3)在{－1，0，1}中取值时，则|λ1AB →－λ2BC →＋λ3CA →|的最小值是________，最大值是________． 答案 (1)1633 (2)0 2解析 (1)如图，圆E 2为△ABC 的外接圆，圆E 1与圆E 2关于直线AB 对称，由题意知O 在圆E 1，E 2的优弧AB ︵上(圆E 1，E 2半径相等)，设AB 的中点为D ，OC →·AB →＝(DC →－DO →)·AB→＝BA →·DO →＝|BA →|·|DO →|·cos ∠ADO ，易知DO →在BA →方向上的射影最大时，OC →·AB →取得最大值，易知DO →在BA →方向上射影的最大值为△ABO 外接圆的半径，故所求最大值为4×42sin π3＝1633. (2)当λi (i ＝1，2，3)中三个均为0时，|λ1AB →－λ2BC →＋λ3CA →|＝0；当λi (i ＝1，2，3)中恰有2个为0时，|λ1AB →－λ2BC →＋λ3CA →|≤1；当λi (i ＝1，2，3)中恰有1个为0时，1≤|λ1AB →－λ2BC →＋λ3CA →|≤3；当λi (i ＝1，2，3)中均不为0时，0≤|λ1AB →－λ2BC →＋λ3CA →|≤2，综上所述，|λ1AB →－λ2BC →＋λ3CA →|的最小值是0，最大值是2.一、选择题1．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8 答案 C解析 如图，由已知|OF |＝1，取FO 中点E ，连接PE ，由极化恒等式得OP →·FP→＝|PE |2－14|OF |2＝|PE |2－14， ∵|PE |2max ＝254，∴OP →·FP→的最大值为6. 2.如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN→的最大值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．9 答案 D解析 由平面向量数量积的几何意义知，AM →·AN →等于|AM →|与AN →在AM →方向上的投影之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB →2＋AD →2＋32AB →·AD→＝9.3．(一题多解)(2020·新高考山东卷)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB→的取值范围是( )A ．(－2，6)B ．(－6，2)C ．(－2，4)D ．(－4，6) 答案 A解析 法一 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (3，3)，F (－1，3)．设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )， AB→＝(2，0)，且－1＜x ＜3. 所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2，0)＝2x ∈(－2，6)． 故选A.法二 AP →·AB →＝|AP →|·|AB →|·cos ∠P AB ＝2|AP →|cos ∠P AB ，又|AP →|cos ∠P AB 表示AP →在AB→方向上的投影，所以结合图形可知，当P 与C 重合时投影最大．当P 与F 重合时投影最小．又AC →·AB →＝23×2×cos 30°＝6，AF →·AB →＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P 在正六边形ABCDEF 内部运动时，AP →·AB →∈(－2，6)．故选A. 4．(2021·镇海中学检测)已知向量m ，n 满足(m ＋n )·(m －2n )＝0，(m －n )·(m ＋2n )＋1＝0，则|n |的最小值为( ) A.14 B.12 C.22 D ．1 答案 C解析 因为(m ＋n )·(m －2n )＝0，所以m 2－m ·n －2n 2＝0.因为(m －n )·(m ＋2n )＋1＝0，所以m 2＋m ·n －2n 2＋1＝0，所以m ·n ＝－12，且m 2＝2n 2－12>0.因为(m ·n )2＝14≤|m |2·|n |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2|n |2－12·|n |2，解得|n |2≥12，所以|n |≥22，即|n |的最小值为22，故选C.5.如图，△BCD 与△ABC 的面积之比为2，点P 是区域ABDC 内的任一点(含边界)．且AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的取值范围是( )A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[0，3]D ．[0，4] 答案 C解析 过点P 作GH ∥BC ，交AC 、AB 的延长线于G ，H ，则AP→＝xAG →＋yAH →，且x ＋y ＝1，当点P 位于D 点时，G ，H 分别位于C ′，B ′，∵△BCD 与△ABC 的面积之比为2，∴AC ′＝3AC ，AB ′＝3AB ，∴OP →＝xAG →＋yAH →＝xAC ′→＋yAB ′→＝x ·3·AC →＋y ·3·AB →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝3y ，μ＝3x ⇒λ＋μ＝3x ＋3y ＝3.当点P 位于A 点时，显然有λ＋μ＝0，选C.6．(一题多解)已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且∠AOB ＝120°，若OC →＝λOA→＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( ) A ．[－2，2] B ．(1，2] C ．[1，2] D ．[1，2] 答案 D解析 法一 (常规方法)设半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32；B (1，0)；C (cos θ，sin θ)(其中∠BOC ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤2π3，有OC→＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，即(cos θ，sin θ)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＋μ(1，0)，整理得－12λ＋μ＝cos θ；32λ＝sin θ，解得λ＝2sin θ3，μ＝cos θ＋sin θ3，则λ＋μ＝2sin θ3＋cos θ＋sin θ3＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，易得λ＋μ∈[1，2]．法二 (等和线定理) 设λ＋μ＝k ，当C 位于A 或B 时，A 、B 、C 三点共线， 所以k ＝λ＋μ＝1，当点运动到AB ︵的中点C 时，k ＝λ＋μ＝2，∴λ＋μ∈[1，2]．7．设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1，则( )A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定 答案 B解析 |b ＋t a |2＝b 2＋2a ·b ·t ＋t 2a 2 ＝|a |2t 2＋2|a |·|b |cos θ·t ＋|b |2. 因为|b ＋t a |min ＝1， 所以4|a |2·|b |2－4|a |2·|b |2cos 2θ4|a |2＝|b |2(1－cos 2θ)＝1.所以|b |2sin 2θ＝1，所以|b |sin θ＝1，即|b |＝1sin θ. 即θ确定，|b |唯一确定．8．(2021·龙湾中学检测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝a ·b ＝2，(a －c )·(b －2c )＝1，则|b －c |的最小值为( ) A.7－52 B.7－32 C.5－32 D.3－12答案 A解析 由|a |＝|b |＝a ·b ＝2得〈a ，b 〉＝π3，则不妨设a ＝OA →＝(1，3)，b ＝OB →＝(2，0)，c ＝OC→＝(x ，y )，则a －c ＝(1－x ，3－y )，b －2c ＝(2－2x ，－2y )．由(a －c )·(b －2c )＝1得(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝54，则点C (x ，y )的轨迹是以⎝⎛⎭⎪⎫1，32为圆心，52为半径的圆，则|b －c |＝|CB →|的最小值为（2－1）2＋⎝⎛⎭⎪⎫0－322－52＝7－52，故选A.9．(2021·武汉质检)已知等边△ABC 内接于圆Γ：x 2＋y 2＝1，且P 是圆Γ上一点，则P A →·(PB→＋PC →)的最大值是( )A. 2 B ．1 C. 3 D ．2 答案 D 解析 设BC 的中点为E ，连接AE ，向量PO→，OE →的夹角为θ.因为等边△ABC 内接于圆Γ：x 2＋y 2＝1，所以点O 在AE 上，且OA ＝2OE ＝1，所以P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·2PE →＝2(PO →＋OA →)·(PO →＋OE →)＝2[PO →2＋PO →·(OA →＋OE →)＋OA →·OE →]＝2[PO →2＋PO →·(－OE →)－2OE →2]＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1×12cos θ－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1－cos θ，所以当cos θ＝－1，∴〈PO→，OE →〉＝π，∴〈OP →，OE →〉＝0，即点P 为AE 的延长线与圆的交点时，P A ·(PB →＋PC →)取最大值2，故选D.10．(2021·名校冲刺卷三)已知|a |＝|b |＝|c |＝2，且a ·b ＝2，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b ＋c |( )A ．有最小值23－2，最大值23＋2B ．有最小值23－2，最大值27C ．有最小值27，最大值23＋2D ．有最小值23－2，最大值2 答案 C 解析 如图所示，令a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →，由a ·b ＝2，|a |＝|b |＝|c |＝2可得∠AOB ＝π3.又(a －c )·(b －c )≤0，所以点C 在以AB 为直径的圆内，|a ＋b ＋c |＝|OD →＋OC →|，所以|a ＋b ＋c |的最大值是OC→，OD →同向为23＋2，最小值是点C 与点A 或点B 重合为27，故选C. 11．已知m ，n 是两个非零向量，且|m |＝1，|m ＋2n |＝3，则|m ＋n|＋|n|的最大值为( )A. 5B.10 C ．4 D ．5答案 B解析 因为(m ＋2n )2＝4n 2＋4m ·n ＋1＝9，所以n 2＋m ·n ＝2，所以(m ＋n )2＝m 2＋2m ·n ＋n 2＝5－n 2，所以|m ＋n |＋|n |＝5－|n |2＋|n |.令|n |＝x (0<x ≤5)，f (x )＝5－x 2＋x ，则f ′(x )＝－2x 25－x2＋1.由f ′(x )＝0，得x ＝102，所以当0<x <102时，f ′(x )>0时，当102<x ≤5时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，102上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤102，5上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫102＝10，故选B. 12．(2021·北京海淀区检测)已知点M 在圆C 1：(x －1)2＋(y －1)2＝1上，点N 在圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上，则下列说法错误的是( )A.OM →·ON→的取值范围为[－3－22，0] B ．|OM→＋ON →|的取值范围为[0，22] C ．|OM→－ON →|的取值范围为[22－2，22＋2] D ．若OM→＝λON →，则实数λ的取值范围为[－3－22，－3＋22] 答案 B解析∵M 在圆C 1上，点N 在圆C 2上，∴∠MON ≥90°，∴OM →·ON →≤0，又|OM→|≤2＋1，|ON →|≤2＋1， ∴当|OM→|＝2＋1，|ON →|＝2＋1时， OM →·ON→取得最小值， (2＋1)2cos π＝－3－22，故A 正确；设M (1＋cos α，1＋sin α)，N (－1＋cos β，－1＋sin β)，则OM→＋ON →＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)， ∴|OM→＋ON →|2＝2cos αcos β＋2sin αsin β＋2 ＝2cos (α－β)＋2，∴0≤|OM→＋ON →|≤2，故B 错误； ∵两圆外离，半径为1，|C 1C 2|＝22，∴22－2≤|MN |≤22＋2，即22－2≤|OM→－ON →|≤22＋2，故C 正确； ∵2－1≤|OM→|≤2＋1，2－1≤|ON →|≤2＋1， ∴当OM →＝λON →时，2－12＋1≤－λ≤2＋12－1， 解得－3－22≤λ≤－3＋22，故D 正确．13．已知向量OA →，OB →满足|OA →|＝|OB →|＝2，OA →·OB →＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，且λ＋μ＝1，则|OC→|的最小值为( ) A ．1 B.52 C. 2 D. 3答案 D解析 |OC →|2＝(λOA →＋μOB →)2＝[λOA →＋(1－λ)OB →]2＝4λ2＋4(1－λ)2＋2λ(1－λ)OA →·OB→， 因为OA →·OB →＝2，所以|OC →|2＝4λ2＋4(1－λ)2＋2λ(1－λ)·2＝4λ2－4λ＋4＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋3，当λ＝12时，|OC →|取得最小值 3.二、填空题14．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，A ＝120°，动点P 在以C 为圆心，2为半径的圆上，则P A →·PB→的最小值为________． 答案 16解析 设AB 的中点为M ，则P A →·PB →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（P A →＋PB →）2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（P A →－PB →）2＝PM →2－MA→2＝PM →2－9， 所以要求P A →·PB→的最小值，只需求|PM →|的最小值，显然当点P 为线段MC 与圆的交点时，|PM→|取得最小值，最小值为|MC |－2.在△AMC 中，由余弦定理得|MC |2＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，所以|MC |＝7，所以|PM →|的最小值为5，则P A →·PB→的最小值为16.15．(2021·宁波适考)在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2 解析 取MN 的中点为P ，由极化恒等式得CM →·CN →＝14[(2CP →)2－MN →2]＝CP →2－12.问题转化为求|CP →|的取值范围，当P 为AB 的中点时，|CP →|取最小值为2，则CM →·CN→的最小值为32；当M 与A (或N 与B )重合时，|CP →|取最大值为102，则CM →·CN →的最大值为2，所以CM →·CN →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2. 16．(2021·浙江新高考仿真二)若非零向量a 和b 满足|a ＋b |＝|b |＝2，则|a |的取值范围是________，|a －b |的取值范围是________．答案 (0，4] [2，6]解析 因为||a ＋b |－|b ||≤|a |＝|a ＋b －b |≤|a ＋b |＋|b |＝4，又a 是非零向量，所以|a |的取值范围是(0，4]，因为|a －b |＋|a ＋b |≥2|b |＝|(a ＋b )－(a －b )|≥||a －b |－|a ＋b ||，所以－4≤|a －b |－|a ＋b |≤4，|a －b |＋|a ＋b |≥4，又|a ＋b |＝2，解得|a －b |的取值范围是[2，6]．17．(2021·稽阳联考)在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2，AB ＝1，D 为BC 的中点，E 在斜边AC 上，若AE →＝2EC →，则DE →·AC→＝________． 答案 13解析如图，以B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (0，0)，A (1，0)，C (0，2)，所以AC→＝(－1，2)． 因为D 为BC 的中点，所以D (0，1)，因为AE →＝2EC →，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43， 所以DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13， 所以DE →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13·(－1，2)＝－13＋23＝13. 18．(2021·镇海中学检测)已知向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|c |＝23，c 与a －b 所成的角为5π6，若t ∈R ，则|t a ＋(1－t )b |的最小值是________，此时|t a ＋(1－t )b －c |＝________．答案 32 372解析 因为a ＋b ＋c ＝0，且|c |＝23，所以|a ＋b |＝2 3.因为c 与a －b 所成的角为5π6，所以a ＋b 与a －b 所成的角为π6.设d ＝t a ＋(1－t )b ，则当三个向量的起点在一起时，终点在a －b 所在直线上，|d |有最小值，所以|t a ＋(1－t )b |min ＝|a ＋b |2·sin 30°＝32，此时|t a ＋(1－t )b －c |＝12＋34＋23×32＝372.。

“四大妙法”，剖析向量的秒杀体系目录一、重难点题型方法妙法一：奔驰定理与四心问题题型一：奔驰定理题型二：重心问题题型三：内心问题题型四：外心问题题型五：垂心问题妙法二：极化恒等式题型六：极化恒等式的应用妙法三：隐圆题型七：定点定长；定弦定角；对角互补；到两定点数量积(平方和)定值题型八：阿波罗尼斯圆妙法四：等和线题型九：等和线的应用二针对性巩固练习重难点题型方法妙法一：奔驰定理与四心问题题型一：奔驰定理【典例分析】例1.(2023·全国·高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ,△AOC ,△AOB 的面积分别为S A ,S B ,S C ，则有S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0 ．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ,∠ABC ,∠ACB 分别是△ABC 的三个内角，以下命题不正确的有( )A.若OA +OB +OC =0 ，则O 为△ABC 的重心B.若OA +2OB +3OC =0 ，则S A :S B :S C =1:2:3C.若OA =OB =2,∠AOB =5π6，2OA +3OB +4OC =0 ，则S △ABC =92D.若O 为△ABC 的垂心，则tan ∠BAC ⋅OA +tan ∠ABC ⋅OB +tan ∠ACB ⋅OC =0例2.(2023·全国·高三专题练习)奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，则S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0 .“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O 为三角形ABC 内一点，且满足：OA +2OB +3OC =3AB +2BC +CA ，则S △AOB S △ABC=( )A.25B.12C.16D.13【方法技巧总结】1. 奔驰定理：S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0 ，则△AOB 、△AOC 、△BOC 的面积之比等于λ3:λ2:λ1【变式训练】1.(2023春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习)如图.P 为△ABC 内任意一点，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，总有优美等式S △PBC PA +S △PAC PB +S △PAB PC =0 成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有()A.若P 是△ABC 的重心，则有PA +PB +PC =0B.若aPA +bPB +cPC =0 成立，则P 是△ABC 的内心C.若AP =25AB +15AC ，则S △ABP :S △ABC =2:5D.若P 是△ABC 的外心，A =π4，PA =mPB +nPC ，则m +n ∈-2,1 2.(2023春·浙江嘉兴·高一校考阶段练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，则S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0 .若O 是锐角△ABC 内的一点，A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且点O 满足OA ⋅OB=OB ⋅OC =OA ⋅OC .则()A.O 为△ABC 的外心B.∠BOC +A =πC.OA :OB :OC =cos A :cos B :cos CD.tan A ⋅OA +tan B ⋅OB +tan C ⋅OC =0题型二：重心问题【典例分析】例1.(四川省达州市2023届高三二模数学(理科))如图，在△ABC 中，AB =3，∠ABC =π4，BA ⋅BC =18，平面ABC 内的点D 、E 在直线AB 两侧，△ABD 与△BCE 都是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，O 1、O 2分别是△ABD 、△BCE 的重心.则O 1O 2=( )A.26B.33C.5D.6例2.(2023·全国·高三专题练习)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点，设xAB =AM ，yAC =AN ，则1x +1y的值为( )A.3B.4C.5D.6【方法技巧总结】1.O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0 ．【变式训练】1.(2022春·浙江·高二统考学业考试)在△ABC 中，设AD =2DB ，BE =2EC ，CF =λFA ，其中λ∈R .若△DEF 和△ABC 的重心重合，则λ=()A.12 B.1 C.32 D.22.(2022春·四川攀枝花·高一攀枝花七中校考阶段练习)已知△ABC 的三个内角分别为A ,B ,C ,O 为平面内任意一点，动点Р满足OP =OA +λAB AB sin B +AC AC sin C,λ∈0,+∞ 则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的()A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心题型三：内心问题【典例分析】例1.(2003·江苏·高考真题)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λAB |AB |+AC |AC |，λ∈[0,+∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心例2.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，cos A =34，O 为△ABC 的内心，若AO =xAB +yAC x ,y ∈R ，则x +y 的最大值为()A.23B.6-65C.7-76D.8-227【方法技巧总结】1.O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0 ．2.内心在向量AB AB +AC AC所在的直线上；AB ⋅PC +BC ⋅PC +CA ⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.【变式训练】1.(2022·全国·高三专题练习)平面上有△ABC 及其内一点O ，构成如图所示图形，若将△OAB ，△OBC ， △OCA 的面积分别记作S c ，S a ，S b ，则有关系式S a ⋅OA +S b ⋅OB +S c ⋅OC =0 ．因图形和奔驰车的log o 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0 ，则O 为△ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心2.(2023·全国·高一专题练习)已知在△ABC 中，AB =BC =3，AC =4，设O 是△ABC 的内心，若AO =mAB +nAC ，则m n=( )A.34 B.916 C.43 D.169题型四：外心问题【典例分析】例1.(2023·全国·高一专题练习)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OB +OC 2+λAB AB cos B +AC ACcos C ，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心例2.(2023·重庆·统考二模)已知点O 是△ABC 的外心，AB =6，BC =8，B =2π3，若BO =xBA +yBC ，则3x +4y =()A.5B.6C.7D.8【方法技巧总结】1.O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0 .2.PA =PB =PC ⇔P 为△ABC 的外心.【变式训练】1.(2022·全国·高三专题练习)如图，△ABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =π3，O 为△ABC 外心，且AO =mAB +nAC ，则m +n 的值为()A.23B.1118C.79D.13182.(2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测)已知O 是△ABC 的外心，外接圆半径为2，且满足2AO =AB +AC ，若BA 在BC 上的投影向量为34BC ，则AO ⋅BC =( )A.-4 B.-2 C.0 D.2题型五：垂心问题【典例分析】例1.(2020春·天津和平·高一耀华中学校考阶段练习)已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且OA 2+BC 2=OB 2+CA 2=OC 2+AB 2，则O 一定为△ABC 的()A.外心B.内心C.垂心D.重心例2.(2023·全国·高三专题练习)设O 是△ABC 所在平面上一点，点H 是△ABC 的垂心，满足OA +OB +OC =OH ，且3⋅OA +OB +2⋅OC =0 ，则角A 的大小是()A.3π4B.π3C.π2D.π4【方法技巧总结】1.O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0 ．2.PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ⇔P 为△ABC 的垂心.【变式训练】1.(2023春·重庆南岸·高一重庆市辅仁中学校校考阶段练习)已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λAB AB cos B +AC AC cos C，λ∈0,+∞ ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A.重心 B.外心C.内心D.垂心2.(2023·全国·高三专题练习)已知H 为△ABC 的垂心，若AH =13AB +25AC ，则sin ∠BAC =( )A.155 B.105 C.63 D.33妙法二：极化恒等式题型六：极化恒等式的应用【典例分析】例1.(2023·全国·高三专题练习)已知正方形ABCD 的边长为2,MN 是它的外接圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN 的取值范围是()A.-1,0B.0,2C.1,2D.-1,1例2.(2023春·江苏南京·高一校考期中)如图所示，矩形ABCD 的边AB =2，AD =1，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与CD 交于点E ，若点P 是圆弧EB (含端点B ､E )上的一点，则PA ⋅PB 的取值范围是()A.0,2-1B.1-2,0C.0,2-22D.2-22,0 【方法技巧总结】1.极化恒等式：14a +b 2-a -b 2 ①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)【变式训练】1.(2021春·广东东莞·高一东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习)半径为2的圆O 上有三点A 、B 、C 满足OA +AB +AC =0 ，点P 是圆内一点，则PA ⋅PO +PB ⋅PC 的取值范围为()A.[-4，14)B.[0，4)C.[4，14]D.[4，16]2.(2023·山东潍坊·校考模拟预测)如图所示，△ABC 是边长为8的等边三角形，P 为AC 边上的一个动点，EF 是以B 为圆心，3为半径的圆的直径，则PE ⋅PF 的取值范围是( )A.28,46B.32,58C.39,55D.42,60妙法三：隐圆题型七：定点定长；定弦定角；对角互补；到两定点数量积(平方和)定值【典例分析】例1.(2018秋·江西·高一统考期末)已知向量a ,b 满足a =3, b =2，且a ⊥b ，若向量m 满足a +b -m≤2，则m 的取值范围是A.13-2,13+3B.13-2,13+2C.2,13+3D.2,13+2例2.(2020春·四川成都·高三石室中学校考阶段练习)已知单位向量a ，b 满足2a -b =2，若存在向量c ，使得c -2a ⋅c -b =0，则c 的取值范围是( )A.62,62+1 B.62-1,62 C.62-1,62+1 D.6-1,6+1【方法技巧总结】1.若问题中给出两个运动着向量的夹角为定值，或者间接给出夹角为定值，或某两个向量的和(或差)的模为定值等条件，求有关向量模或夹角的范围等问题可以试着通过寻找向量终点所在的“隐藏圆”来解决问题。