广东省汕头市金山中学2015-2016学年高二上学期12月月考数学试卷(理科)

2015-2016学年广东汕头金山中学高二上学期12月考数学（理）试题一、选择题1．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则（ ） A ．¬p：∃x0∈R ，sin x0≥1 B ．¬p：∀x ∈R ，sin x ≥1 C ．¬p：∃x0∈R ，sin x0>1 D ．¬p：∀x ∈R ，sin x>1 【答案】C【解析】试题分析：含有量词的命题的否定，量词要改变（任意变存在，存在变任意），再对结论进行否定．即R x ∈∃0，1sin 0>x ．故选C ． 【考点】命题的否定．2．如果方程13422=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．43<<m B ．m <27C ．273<<mD ．427<<m【答案】D【解析】试题分析：根据椭圆标准方程的性质，只需要满足⎪⎩⎪⎨⎧->->->-m m m m 430304，解得427<<m ，故选D ． 【考点】椭圆方程的简单性质．3．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）A ．41 B ．55 C ．21D ．25-【答案】B【解析】试题分析：根据椭圆性质知c a AF -=||1，c F F 2||21=，c a BF +=||1，则222))(()2(c a c a c a c -=-+=，解得5551)(5222==⇒=⇒=a c e a c c a ． 【考点】1、椭圆的简单性质；2、椭圆离心率．4．有下列四个命题：①“若0x y += ，则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；试卷第2页，总13页③“若1q ≤ ，则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题； 其中真命题为（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④ 【答案】C【解析】试题分析：①的逆命题为“若,x y 互为相反数 ，则0x y +=”，正确；②的否命题是“全等三角形的面积不相等”，错误；③的逆否命题是“若220x x q ++=无实根 ，则1q >”，正确；④的逆命题是“有两个角是锐角的三角形是直角三角形”，错误．故选C ．【考点】四种命题之间的关系．5．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（ ）A．．4 D ．8 【答案】C【解析】试题分析：等轴双曲线焦点在x 轴上，设其方程为12222=-by a x ，且b a =．抛物线的准线方程为4-=x ，代入双曲线方程，解得216a y -±=．34162||221=-=-=a y y AB ，解得2=a ．双曲线实轴42=a ，故选C ．【考点】1、等轴双曲线的简单性质；2、抛物线准线方程．6．设圆()22125x y ++=的圆心为C ，A （1，0）是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为 （ ）A ．224412521x y +=B ．224412125x y += C ．224412521x y -= D ．224412125x y -= 【答案】A【解析】试题分析：如图所示，根据线段中垂线的性质可知||||MA MQ =，所以5||||||||=+=+MQ MC MA MC ，且2||||||=>+AC MA MC ，可以看出点M 满足椭圆的定义，即M 的轨迹是椭圆．根据椭圆的定义，得出⎪⎩⎪⎨⎧==125c a ，解得椭圆方程为224412521x y +=，故选A ．【考点】1、椭圆的定义；2、线段中垂线的性质．7．点P 在椭圆227x +4y 28=上，则点P 到直线3x-2y-16=0的距离的最大值为（ ）A 【答案】C【解析】试题分析：如图所示，对直线进行平移，当直线与椭圆相切时，此时距离最大的切点就是点P ．设平移后的直线为023=+-m y x ，联立椭圆方程⎩⎨⎧=+=+-284702322y x m y x ，解得8±=m ，根据图象知在8-=m 是取得最大值．由平行直线间的距离公式得13132423|816|22=+--=d ，故选C ．【考点】直线与椭圆的位置关系．【一题多解】因为点P 在椭圆上，根据椭圆的参数方程可以设点P 的坐标为)sin 7,cos 2(αα)20(πα<≤，则点P 到直线01623=--y x 的距离|16)sin(8|131323|16sin 72cos 6|22-+=+--=θαααd ，其中773tan =θ，)20(πθ<≤，由三角函数性质得131324max =d ． 8．已知斜率为1=k 的直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>交于B A ,两点，若BA ,试卷第4页，总13页的中点为)3,1(M ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．03=±y xB ．03=±y xC ．02=±y xD ．02=±y x 【答案】B【解析】试题分析：已知直线斜率1=k ，且点)3,1(M 在直线上，所以直线方程为2+=x y ．设A 、B 的坐标为),(11y x ，),(22y x ，联立直线方程与双曲线方程⎪⎩⎪⎨⎧=-+=122222b y a x x y ，化简得04422222222=+---b b x b x b a a b ，根据韦达定理得：222214a b b x x -=+．因为M 是A 、B 的中点，所以221=+x x ，即24222=-a b b ，解得3=ab，所以双曲线的渐近线方程为03=±y x ，故选B ． 【考点】1、中点坐标公式；2、双曲线的渐近线方程．9．已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，一条长度为4p 的线段AB 的两个端点A 、B 在抛物线C 上运动，则线段AB 的中点D 到y 轴距离的最小值为 （ ）A 、2pB 、52pC 、32p D 、3p 【答案】C【解析】试题分析：设A 、B 的坐标为),(11y x ，),(22y x ，抛物线准线方程为2px -=．如图所示，在直角梯形ABNM中，DE 是其中位线，则22||||222||2||2||||||p BF AF p pBN p AM BN AM DE -+=-+++=+=，由根据三角形两边之和大于第三边的性质得：p p AB p BF AF DE 2322||22||||||=-≥-+=，当且仅当线段AB 过点F 时等号成立．故选C ．【考点】1、抛物线的简单性质；2、不等式；3、三角形的性质．10．双曲线C ：22153x y -=的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[-4，-2]，那么直线1PA 斜率的取值范围是 （ ） A ．3[1,]10--B ．33[,]84C ．33[,]1020-- D ．33[,]2010【答案】C【解析】试题分析：根据双曲线的方程可知1A ，2A 的坐标分别为)0,5(-，)0,5(，设点P 的坐标为),(00y x ，则55000002-=--=x y x y k PA ，55000001+=+-=x y x y k PA ．不难发现520221-=⋅x y k k PA PA ，且因为点P 在双曲线上，所以2200153x y -=，再结合]2,4[2--∈PA k ，解得]203,103[1--∈PA k ，故选C ． 【考点】双曲线的简单性质．【思路点睛】本题中我们可以看到给出的两条直线具有相关性，即具有公共点P ，且它们各自所经过的定点1A ，2A 是关于原点对称的，此时不难想到两条直线的斜率之间必然会有某种关系．那么解题的关键是找出两条直线斜率之间的等式关系，再根据已知直线的斜率的取值范围，求解未知直线的斜率．11．已知C 为抛物线x y =2的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2=⋅（其中O 为坐标原点），则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是（ ） A ．2 B ．3 CD【答案】B【解析】试题分析：不妨设A ，B 所在的直线方程为n my x +=，点A ，B 的坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，直线AB 与x 轴的交点为N )0,(n ．联立方程试卷第6页，总13页022=--⇒⎩⎨⎧=+=n my y xy nmy x ，由韦达定理知n y y -=⋅21．因为22121=⋅+⋅=⋅→→y y x x OB OA ，121x y =及222x y =，所以02)(21221=-⋅+⋅y y y y ，由因为A ，B 在x 轴的两侧，解得221-=⋅y y ，故2=n ．不妨假设点A 在x 轴上方，则1>y ．抛物线焦点F 坐标为)0,41(．121||21)(||21y OF y y ON S S AFO ABO ⨯⨯+-⨯⨯=+∆∆，其中2||=ON ，41||=OF ，代入上式化简后得：328922891111=⨯≥+=+∆∆y y y y S S AFO ABO ，当且仅当11289y y =，即341=y 时，取等．故选B ．【考点】1、直线与抛物线的关系；2、三角形面积公式；3、基本不等式．【思路点睛】在解题的思路中要注意一下几点：①设直线方程是时，直线的斜率肯定不为0，故可设为n my x +=，联立方程时要根据所求考虑消x 或y ，这是处理这类问题的常规思路；②求三角形面积时，为了使表达式简洁，要学会根据图像的特征选择适当的底与高；③使用基本不等式，要注意“一正，二定，三相等”的使用要求．12．设条件p ：|x －2|<3，条件q ：0<x<a ，其中a 为正常数．若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是（ ）A ．]5,0(B ．)5,0(C ．),5[+∞D ．),5(+∞ 【答案】A【解析】试题分析：由题意知51:<<-x p ，因为p 是q 的必要不充分条件，所以a x <<0是51<<-x 的子集，即50≤<a ，故选A ．【考点】1、充分条件和必要条件；2、集合的关系．二、填空题13．命题“存在R x ∈0，使得052x x 020=++”的否定是 _______________． 【答案】052,2≠++∈∀x x R x【解析】试题分析：对含有量词的命题的进行否定，量词改变（存在变任意，任意变存在），结论否定即可．【考点】含有量词的命题的否定．14．与椭圆224936x y +=有相同的焦点，且过点（-3，2）的椭圆方程为___________．【答案】2215011x y +=【解析】试题分析：已知椭圆的焦点为)0,5(±，不妨设椭圆方程为2251k k x y +=+，代入点)2,3(-，解得10=k ，故椭圆方程为2215011x y +=． 【考点】椭圆的简单性质．15．已知点F 是双曲线221412x y -=的左焦点，定点A 的坐标为（1，4），P 是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________． 【答案】9【解析】试题分析：不妨设双曲线的右焦点为M ，则根据双曲线的定义知a PM PA PF PA 2||||||||++=+，如图所示，根据三角形性质得92||2||||||||=+≥++=+a AM a PM PA PF PA ，当点P 在AM 于双曲线的交点上时等号成立．【考点】1、双曲线的定义；2、三角形性质．【思路点睛】对于本题的解题思路，关键是要灵活的理解和运用双曲线的定义及性质，把点P 到点A 及点F 的距离之和||||PF PA +转化成点P 到点M 及点A 的距离之和的形式，即a PM PA PF PA 2||||||||++=+，这样就把问题转化成了三角形两边之和最小值的问题，在根据三角形的性质就能够解题．16．命题p ：关于x 的不等式2240x ax ++>，对一切x R ∈恒成立；命题q ：函数()(32)x f x a =-在R 上是增函数．若p 或q 为真，p 且q 为假，则实数a 的取值范围为_______．【答案】)2,1[]2,( --∞【解析】试题分析：根据“若p 或q 为真，p 且q 为假”，p 和q 中必然为一真一假．①p 为真且q 为假，则⎩⎨⎧≤-<⨯-=∆123044)2(2a a ，解得21<≤a ；②p 为假且q 为真，则⎩⎨⎧>-≥⨯-=∆123044)2(2a a ，解得2-≤a ．综合可知)2,1[]2,( --∞∈a ． 【考点】1、命题真值表；2、命题的否定．试卷第8页，总13页【易错点睛】在①中求解q 为假时，许多同学会这样计算：2311230<<⇒<-<a a ．其实这样做是错误的，我们要注意到在题目中“函数x a x f )23()(-=在R 上是增函数”这一条件，它并没有说明函数)(x f 是指数函数，故而不能当做指数函数进行求解．我们只需找“函数x a x f )23()(-=在R 上是增函数”的反面即可，即123>-a 的反面123≤-a ．三、解答题17．已知数列{}n a 满足12a =，1142n n n a a ++=+()n N *∈． （1）令12nn na b =+，求证：数列{}n b 为等比数列； （2）求满足240n a ≥的最小正整数n 【答案】（1）证明见解析；（2）4=n ．【解析】试题分析：（1）根据已知的递推式构造出12+=n nn a b 的形式，对1124+++=n n n a a 进行变形得到：)12(21212222242222421111111+=+⇒+⋅=⇒+⋅=⋅⇒+⋅=+++++++n nn n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a ，即n n b b 21=+，数列}{n b 是等比数列．（2）可以根据（1）中的}{n b 来求出}{n a 的通项公式，解得n n b 2=，所以n n n a 24-=．由24024≥-=n n n a ，解得4≥n ，所以n 的最小正整数值为4．试题解析：（1）1142n n n a a ++=+1111111422422222224222212122n n n nn n n n n nn nn n n n a a a a a a a a +++++++=+∴⨯=+∴⨯+=++⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭即12n n b b +=，∴数列{}n b 是以2为首项以2为公比的等比数列； （2）由（1）得2n n b =，∴42n n n a =-；由42240n n n a =-≥，得216n ≥（215n ≤-舍），解得4n ≥，∴满足240n a ≥的最小正整数n 为4．【考点】1、等比数列的判定；2、指数不等式．18．如图，在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 长为3，且c o sB =1cos 4ADC ∠=-．（1）求sin BAD ∠的值； （2）求AC 边的长． 【答案】（1）46sin =∠BAD ；（2）4=AC ． 【解析】试题分析：（1）根据三角形性质知：B ADC BAD ∠-∠=∠，所以)sin(sin B ADC BAD ∠-∠=∠，因为810cos =B ，41cos -=∠ADC ，所以863sin =B ，415sin =∠ADC ，根据两角差的正弦公式，得46)sin(sin =∠-∠=∠B ADC BAD ；（2）在ADC ∆中，已知ADC ∠和3=AD ，只需求出DC 即可求出的长．在ABD ∆中，已知46sin =∠BAD ，863sin =B 和3=AD ，由正弦定理BADBAD BD sin sin =∠，求出2=BD ，则2==BD DC ．在AD C ∆中，由余弦定理ADC DC AD DC AD AC ∠⋅⨯-+=cos 2222，解得4=AC ．试题解析：（11,sin 44ADC ADC ∠=-∴∠=sin sin()BAD ADC B ∴∠=∠-∠=（2）在ABD ∆中，由正弦定理，得sin sin AD BD B BAD =∠，=，解得2BD =，故2DC =，从而在ADC ∆中，由余弦定理，得2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠22132232()164=+-⨯⨯⨯-=；故AC=4．【考点】1、解三角形；2、正、余弦定理．19．如图，在四面体ABCD 中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，试卷第10页，总13页（1）求证：AC ⊥BD ；（2）若平面ABD ⊥平面CBD ，且BD=，求二面角C ﹣AD ﹣B 的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）1030． 【解析】试题分析：（1）证明异面直线垂直一般的思路是先证线面垂直，再根据线面垂直的性质得到线线垂直．根据已知条件CBD ABD ∠=∠，BC AB =，可以得到CBD ABD ∆=∆，所以CD AD =．再取AC 的中点E ，连接BE ，DE ，可以得到AC BE ⊥，AC DE ⊥，且E DE BE = ，所以BDE AC ⊥，根据线面垂直的性质BD AC ⊥；（2）求解二面角的关键是找出二面角．如图，作CH 垂直BD 于H ，因为CBD ABD ⊥，所以ABD CH ⊥；再作CK 垂直AD 于K ，连接HK ，根据ABD CH ⊥得HK CH ⊥，又根据三垂线定理知AD HK ⊥，所以HKC ∠为二面角B AD C --的平面角，在CHK ∆中求解CKH ∠即可．试题解析：（1）证明：∵∠ABD=∠CBD ，AB=BC ，BD=BD ．∴△ABD ≌△CBD ，∴AD=CD ． 取AC 的中点E ，连结BE ，DE ，则BE ⊥AC ，DE ⊥AC ．又∵BE ∩DE=E ，BE ⊂平面BED ，BD ⊂平面BED ，∴AC ⊥平面BED ，∴AC ⊥BD ． （2）解：过C 作CH ⊥BD 于点H ．则CH ⊂平面BCD ， 又∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD=BD ， ∴CH ⊥平面ABD ．过H 做HK ⊥AD 于点K ，连接CK ．∵CH ⊥平面ABD ，∴CH ⊥AD ，又HK ∩CH=H ， ∴AD ⊥平面CHK ，∴CK ⊥AD ．∴∠CKH 为二面角C ﹣AD ﹣B 的平面角． 连接AH ．∵△ABD ≌△CBD ，∴AH ⊥BD ． ∵∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2， ∴AH=CH=，BH=1．∵BD=，∴DH=． ∴AD=，∴HK==．∴tan =，∴cos，∴二面角C ﹣AD ﹣B 的余弦值为．【考点】1、异面直线垂直的判断；2、二面角．20．已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上任一点到点F （2，0）的距离减去它到y 轴的距离的差都是2（1）求曲线C 的方程；（2）一直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|AF|+|BF|=8，证：AB 的垂直平分线恒过定点．【答案】（1）x y 82=；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）根据条件可知曲线C 上的点都满足到点)0,2(F 的距离与到直线2-=x 的距离相等，符合抛物线的定义，根据抛物线定义得知)0,2(F 为焦点，2-=x 为准线，故曲线方程为x y 82=．；（2）直线l 与曲线C 交于两点，可知直线的斜率不会为0，不妨设直线方程为n my x +=，弦AB 中点坐标为),(00y x ．因为8||||21=++=+p x x BF AF ，所以22482210=-=+=x x x ．联立⎩⎨⎧+==n my x x y 82，化简得0882=--n my y ，根据韦达定理m y y 821=+，则m y y y 42210=+=，从而得出中点坐标为)4,2(m ．又因为直线方程为n my x +=，则中垂线的斜率为m -．点斜式写出中垂线方程为)2(4--=-x m m y ，化简提参得)6(--=x m y ，故中垂线恒过定点)0,6(．试题解析：（1）由条件，P 到F （2，0）的距离等于到直线x=-2的距离，∴曲线C 是以F 为焦点、直线x=-2为准线的抛物线，其方程为28y x =（1）（2）设直线为：:l x my n =+（2）则中垂线斜率为m -联立（1）（2）：28()y m y n =+即2880y my n --= 中点横坐标12x +x 22= 横坐标12+42y y m = ()y 4m m x 2-=-- ∴方程为()y 4m m x 2-=--即6y mx m =-+试卷第12页，总13页∴AB 的垂直平分线恒过定点（6，0）【考点】1、抛物线的简单性质；2、直线与抛物线的关系；3、直线过定点问题．【方法点睛】对于直线恒过定点问题，所给的直线必是含有参数的直线，也就是动直线，而直线方程里的参数对直线的位置有着至关重要的影响，参数取不同的值也就代表了不同的直线．要想证明直线恒过定点，必然要消除参数的影响，我们的一般思路是提参，即把参数有提取到一起，再令参数所乘的式子的值为0，此时参数的取值就对直线没有影响，也就是直线恒过定点．21．如图，椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8．（1）求椭圆M 的标准方程；（2）设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆M 有两个不同的交点,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T ．求||||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值． 【答案】（1）1422=+y x ；（2）552||||max =ST PQ ，35±=m 和0． 【解析】试题分析：（1）根据题目条件⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=-==82223222b a a b a a c e ，解得⎩⎨⎧==12b a ，所以椭圆方程为1422=+y x ；（2）通过⎪⎩⎪⎨⎧=-++⇒+==+04485142222m m x x m x y y x ，利用韦达定理求出||PQ 的表达式，通过判别式推出m 的范围，①当15-<<-m 时，求出||||ST PQ 取得最大值为552；②利用对称性，得出51<<m 时，求出||||ST PQ 取得最大值为552；③当11≤≤-m 时，出||||ST PQ 取得最大值为552．再根据||||ST PQ 最大值求出相应的m 的值即可．试题解析：（1）22234c a b e a a -==⇒=……① 矩形ABCD 面积为8，即228a b ⋅=……②由①②解得：2,1a b ==，∴椭圆M 的标准方程是2214x y +=．（2）222244,58440,x y x mx m y x m ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则21212844,55m x x m x x -+=-=，由226420(44)0m m ∆=-->得 m <||PQ 当l 过A 点时，1m =，当l 过C 点时，1m =-．当1m <-时，有(1,1),(2,2),||)S m T m ST m ---+=+，||||PQ ST =3t m =+，由此知当134t =，即45,(1)33t m ==-∈-时，||||PQ ST ．②由对称性，可知若1m <53m =时，||||PQ ST③当11m -≤≤时，||ST =||||PQ ST =由此知，当0m =时，||||PQ ST ．综上可知，当53m =±和0时，||||PQ ST 【思路点睛】在本题（2）中，给出的直线m x y +=是一条动直线，但斜率是固定的，也就是说，直线方程m 中取不同的值，那么直线与椭圆及矩形ABCD 就会有不同的交点，从而得到的||||ST PQ 的值就不同．所以我们再解题时，必须要仔细的讨论直线m x y +=与椭圆的位置关系，对m 进行分类讨论，进而研究||||ST PQ 的取值情况，再求解相应的||||ST PQ 最大值以及此时m 的值．。

2014-2015年高二第二次月考数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分150分．考试时间120分钟． 一．选择题（每小题5分，共60分）1. 已知集合2{|230}A x x x =--≥，{|22}B x x =-≤<，则A B ⋂=（ ）A ．[1,2)B ．[1,1]-C ．[1,2)-D ． [2,1]--2. 已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则( )． A ．¬p：∃x 0∈R ，sin x 0≥1 B ．¬p：∀x ∈R ，sin x ≥1 C ．¬p：∃x 0∈R ，sin x 0>1 D ．¬p：∀x ∈R ，sin x >13．已知向量a r ＝（1，1，0），b r ＝（－1，0，2），且ka b +r r 与b r互相垂直，则k 的值是（ ）A ．5-B ． 51C ． 53D ．54.“0,,22=+∈y x R y x ”是“0=xy ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22(xf x x b b =++为常数），则(1)f -=（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．36.已知直线m 、l 与平面α、β、γ满足l βγ=I ,//l α,m α⊂,m γ⊥,则下列命题一定正确的是（ ）A ．αγ⊥且 l m ⊥B ．αγ⊥且//m βC ．//m β且l m ⊥D ．//αβ且αγ⊥7.等差数列}{n a 中，3,121==a a ，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为3115，则n 的值为（ ） A ．15 B ．16C ．17D ．188. 如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最大值为( )． A. 5 B.1234+ C ．22+1 D.2－1 9.已知斜率为1=k 的直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>交于B A ,两点，若B A ,的中点为)3,1(M ，则双曲线的渐近线方程为( )A. 03=±y xB. 03=±y xC. 02=±y xD. 02=±y x10. 已知函数()xf x e mx =-的图像为曲线C ，若曲线C 不存在与直线12y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是（ ） A. 12m ≤-B. 12m >- C. 2m ≤ D. 2m >11. 对称中心均为原点O ，对称轴均为坐标轴的双曲线与椭圆有公共焦点，,M N 是双曲线的两顶点，若,,M O N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（ ） A. 3 B. 2 C. 3 D. 212. 已知函数*()21,f x x x =+∈N ，若*0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++=L 成立，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”，函数()f x 的“生成点”共有（ ） A ．2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个二．填空题（每小题5分，共20分）13.抛物线22x y =的焦点坐标为14.右图，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为15. 已知点F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，定点A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．16. 定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α，β，γ， 那么α，β，γ的大小关系是三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题共10分）已知ABC △中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且552cos =A ，10103cos =B ． （1）求()B A +cos 的值；（2）设10=a ，求ABC △的面积．18．（本小题共12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）．频率分布直方图 茎叶图（1）求样本容量n 和频率分布直方图中x 与y 的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率．19．（本小题共12分）已知函数322()4361,f x x tx t x t x R =+-+-∈，其中t R ∈. (1)当1t =时，求曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程． (2)当0t ≠，求()f x 的单调区间．20. （本小题共12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB DC ，︒=∠=∠90CAD ABC ，且PA AB BC ==，点E 是棱PB 上的动点.（1）当PD ∥平面EAC 时，确定点E 在棱PB 上的位置； （2）在（1）的条件下，求二面角A CE P --的余弦值.21.(本小题共12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，13n S +是6与2n S 的等差中项（*n N ∈）. (1) 求数列{}n a 的通项公式；(2)是否存在正整数k ，使不等式2*(1)()n n n k a S n N -<∈恒成立，若存在，求出k 的最大值；若不存在，请说明理由.22．（本小题共12分）如图，椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为3，直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD的面积为8.(1)求椭圆M 的标准方程；(2) 设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆M 有两个不同的交点,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求||||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值.高二数学第二次月考（理科）答案1~12 DCDAA AAABC BA 13. ⎪⎭⎫ ⎝⎛81,0 14. 9 3 15. 9 16. γαβ<<17.解：（1）∵C B A ,,为ABC ∆的内角，且，552cos =A ，10103cos =B ∴555521cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A 1010101031cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=B B ………………………………………4分 ∴()B A +cos B A B A sin sin -cos cos =10105510103552⨯-⨯=22= ………6分 （2）由（I ）知，ο45=+B A ∴ο135=C ………7分∵10=a ，由正弦定理B bA a sin sin =得 555101010sin sin =⨯=⨯=A B a b ……9分 ∴ABC S ∆252251021sin 21=⨯⨯⨯==C ab ……………………………………10分 18. 解：（1）由题意可知，样本容量8500.01610n ==⨯……………………2分20.0045010y ==⨯……………………………………………………4分0.10.0040.0100.0160.040.030x =----=．………………6分（2）由题意可知，分数在[80，90)有5人，分别记为a ，b ，c ，d ，e ，分数在[90，100)有2人，分别记为F ，G ．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有如下种情形：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，F )，(a ，G )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，F )，(b ，G )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，F )，(c ，G )，(d ，e )，(d ，F )，(d ，G )，(e ，F )，(e ，G )，(F ，G )，共有21个基本事件；…………9分其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有(a ，F )，(a ，G )，(b ，F )，(b ，G )，(c ，F )，(c ，G )，(d ，F )，(d ，G )，(e ，F )，(e ，G )，共10个，…………………………11分所以抽取的2名同学来自不同组的概率1021P =． …………12分 19. 解：(1)当t ＝1时，f (x )＝4x 3＋3x 2－6x ， f (0)＝0f ′(x )＝12x 2＋6x －6， f ′(0)＝－6所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－6x . …………………4分 (2) f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t2 …………6分因为t ≠0，以下分两种情况讨论：①若t <0，则t2<－t ，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，t 2，(－t ，＋∞)；f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫t2，－t .………………………………………………………………………………………9分 ②若t >0，则－t <t2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，＋∞：f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ，2，………………………………………………………………………………………12分20. 解： （1）在梯形ABCD 中，由AB BC ⊥，AB BC =，得4BAC π∠=，∴4DCA BAC π∠=∠=．又AC AD ⊥，故DAC ∆为等腰直角三角形.∴()2222DC AC AB AB ===. 连接BD ，交AC 于点M ，则2.DM DCMB AB== Q PD ∥平面EAC ,又平面EAC PDB ME =I 平面,∴//PD EM .在BPD ∆中，2PE DMEB MB==，即2PE EB =时，PD ∥平面EAC . 6分（2）方法一：在等腰直角PAB ∆中，取PB 中点N ，连结AN ，则AN PB ⊥． ∵平面PAB ⊥平面PCB ，且平面PAB I 平面PCB =PB ，∴AN ⊥平面PBC ． 在平面PBC 内，过N 作NH ⊥直线CE 于H ，连结AH ，由AN CE ⊥、NH CE ⊥，得CE ⊥平面ANH ，故AH CE ⊥．∴AHN ∠就是二面角A CE P --的平面角． 8分 在Rt PBC ∆中，设CB a =，则222PB PA AB a =+=，1233BE PB a ==，1266NE PB a ==，22113CE CB BE a =+=， 由NH CE ⊥，EB CB ⊥ 可知：NEH ∆∽CEB ∆ ∴NH CBNE CE =，代入解得：22NH =． 10分 在Rt AHN ∆中，22AN a =，∴tan 11ANAHN NH ∠==3cos 111AHN ∠==+． ∴二面角A CE P --的余弦值为36． 12分 方法二：以A 为原点，,AB AP 所在直线分别为y 轴、z 轴， 如图建立空间直角坐标系．设PA AB BC a ===，则()0,0,0A ，()0,,0B a ，(),,0C a a ，()0,0,P a ，20,,33a a E ⎛⎫⎪⎝⎭． 7分 设)1,,(1y x n =为平面EAC 的一个法向量，则⊥1n AC ，⊥1n AE ，MEACDPHN∴0,20.33ax ay ay a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得11,22x y ==-，∴)1,21,21(1-=n ． 9分设2(',',1)n x y =u u r 为平面PBC 的一个法向量，则⊥2n ，⊥2n ，又(),0,0BC a =u u u r ，(0,,)BP a a =-u u u r，∴''0,0,ax ay a =⎧⎨-+=⎩，解得'0,'1x y == ∴)1,1,0(2=n ． 11分121212cos ,||||n n n n n n ⋅∴<>==⋅u r u u ru r u u r u r u u r ∴二面角A CE P --12分21. 解（1）解法一：因为13n S +是6与2n S 的等差中项， 所以1626n n S S ++=（*N n ∈），即1311+=+n n S S ，（*N n ∈） 当2n ≥时有1113n n S S -=+ 得111()3n n n n S S S S +--=-，即113n n a a +=对2n ≥都成立又21113S S =+即121113a a a +=+，所以211133a a == 所以)(31*1N n a n n ∈=-. …6分解法二： 因为13n S +是6与2n S 的等差中项，所以1626n n S S ++=（*N n ∈），即1311+=+n n S S ，（*N n ∈）由此得)23(31213123)131(231-=-=-+=-+n n n n S S S S （*N n ∈），又21232311-=-=-a S ，所以 3123231=--+n n S S （*N n ∈）， 所以数列}23{-n S 是以21-为首项，31为公比的等比数列. 得1)31(2123-⨯-=-n n S ，即1)31(2123--=n n S （*N n ∈），所以，当2≥n 时，121131])31(2123[])31(2123[----=---=-=n n n n n n S S a ，又1=n 时，11=a 也适合上式， 所以)(31*1N n a n n ∈=-. …………………6分（2）原问题等价于()()21111113323n n nk --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（*N n ∈）恒成立. ………………7分 当n 为奇数时，对任意正整数k 不等式恒成立； ………8分当n 为偶数时，等价于()2111123033n n k --⎛⎫⎛⎫+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，令113n t -⎛⎫= ⎪⎝⎭，310≤<t ，则等价于2230kt t +-<恒成立， ………………10分 因为k 为正整数，故只须21123033k ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，解得012k <<，*k N ∈，所以存在符合要求的正整数k ，且其最大值为11. ………………12分22. 解：(1)22234c a b e a a -==⇒=……① 矩形ABCD 面积为8，即228a b ⋅=……② 由①②解得：2,1a b ==，∴椭圆M 的标准方程是2214x y +=. …………………4分(2)222244,58440,x y x mx m y x m ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩， 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则21212844,55m x x m x x -+=-=， …………………5分由226420(44)0m m ∆=-->得 m <.||PQ =.当l 过A 点时，1m =，当l 过C 点时，1m =-. …………………7分① 当1m <<-时，有(1,1),(2,2),||)S m T m ST m ---+=+，||||PQ ST =3t m =+，由此知当134t =，即45,(1)33t m ==-∈-时，||||PQ ST . …………9分②由对称性，可知若1m <53m =时，||||PQ ST . ………10分③当11m -≤≤时，||ST =||||PQ ST =，由此知，当0m =时，||||PQ ST ………11分综上可知，当53m =±和0时，||||PQ ST . ………12分。

汕头市金山中学2015-2016学年度第一学期第一次月考数学命题人：张海兵一、选择题（12个小题，每题5分，共60分）1、若直线l的倾斜角为，则直线的斜率是（）ABC. D.2、已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )A．平行B．相交C．垂直D．异面3、已知直线1l经过不同两点(3,)A a、(2,3)B a-，直线2l经过不同两点(3,)A a、(6,5)C，且12l l⊥，则实数a的值是（）A. 0B. 5C. 5-D. 0或54、甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则56是（）A．乙胜的概率 B．乙不输的概率 C．甲胜的概率 D．甲不输的概率5、入射光线l从P（2，1）出发，经x轴反射后，通过点Q（4，3）,则入射光线l所在直线的方程为（）A．0y=B．1(5)2y x=+C．25y x=+D．25y x=-+6、设D为ABC∆所在平面内一点，CDBC3=，则A.1433AD AC AB=-+uuu r uuu r uu u rB.1433AD AB AC=-uuu r uu u r uuu rC.4133AD AB AC=+uuu r uu u r uuu rD.4133AD AC AB=-uuu r uuu r uu u r7、已知函数()f x是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数12,x x，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x+<+恒成立，则不等式()10f x-<的解集为（）A．)0,(-∞ B．()+∞,0 C．)1,(-∞ D．()+∞,18、如图，在侧棱与底面边长均相等的正四棱锥P-ABCD中，点E是PC中点，则下列结论正确的是（）A、BE∥平面P AD，且BE到平面P ADB、BE与平面P AD不平行，且BE与平面P AD30°；C、BE∥平面P AD，且BE到平面P AD；D、BE与平面P AD不平行，且BE与平面P AD所成角大于30°.9、如果直线12:220,:840l x y l x y-+=--=与x轴正半轴,y闭区域（含边界）中的点,使函数()0,0z abx y a b=+>>的最大值为8, 求a b+的最小A C值（ ）A 、4B 、3C 、2D 、0 10、ABC ∆中三边上的高依次为111,,13511，则ABC ∆为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不存在这样的三角形11、下列各图是正方体，A ，B ，C ，D 分别是所在棱的中点，这四个点中共面的图有（ ）A 、①②③B 、①③④C 、①③D 、①②④12、下面四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB //平面MNP 的图形是（ ）A ．①②；B ．①④；C ．②③；D ．③④二、填空题（4个小题，每题5分，共20分）13、在长方体1111111,ABCD A B C D AB BC A C -==中，过、、B 三点的平面 截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -， 且这个几何体的体积为53．则长方体外接球的表面积是 ．14、如图1-3，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，若AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P - ABD 的体积V ＝34，则A 到平面PBC 的距离是 ．15、已知正三棱锥V －ABC 的正视图和俯视图如右上图所示，ABCD 1A1C1D （15题）① ② ③ ④DBCP则该正三棱锥侧视图的面积是 ．16、如图为函数2()1xf x x =+的部分图像，A 、B 在图像上，将此矩形（AB 绕x三、解答题（5个小题，每题14分，共7017、设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫==⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.18、如图，三棱锥-P ABC 的三条侧棱两两垂直，即：PA PB ⊥、PB PC ⊥、PC PA ⊥，且PO ⊥平面ABC 并交平面ABC于点O ，请问点O 是ABC ∆的什么心（内心、外心、垂心、 重心、中心等）？ 并证明你的结论.19、已知的顶点(5,1)A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --= ，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --= . (1)求顶点C 的坐标； (2)求直线BC 的一般方程.ACP20、已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，其中11a =，且2462a a a +、、成等比数列；数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足21n n S b +=． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）如果n n n c a b =，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：14n n T S <+．21、如图①正方形ABCD 沿着对角线BD 对折，并使平面ABD ⊥平面CBD ，从而构成如图②三棱锥A BCD -，点E 、F 分别是线段BC 、DA 的中点. 请在图②的三棱锥中解答如下问题：（1）求二面角A BC D --的正切值；（2）求异面直线DE 与CF 所成角的余弦值.月考参考答案CCDBD DCBAC AA6π, 31313 6 4π17、设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.ABDBD解：（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=- sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 4分 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦8分（Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-=⎪⎝⎭得1sin 2A = 由题意知A为锐角，所以cos A =由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-可得：2212b c bc =+≥即：2bc ≤+ 当且仅当b c =时等号成立.因此1sin 2bc A ≤所以ABC ∆14分 〖注〗来自暑假作业18、如图，三棱锥-P ABC 的三条侧棱两两垂直，即：PA PB ⊥、PB PC ⊥、PC PA ⊥，且PO ⊥平面ABC 并交平面ABC 于点O ，请问点O 是ABC ∆的什么心（内心、外心、垂心、 重心、中心等）？ 并证明你的结论. 解：垂心， 2分 证明如下：连接AO 交BC 于点E ，连接PE ，连接CO 交AB 于点FPA PB ⊥、PC PA ⊥，PB PC P =，故PA ⊥平面PBCBC ⊂平面PBC ，故PA ⊥BC ① 6分由PO ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故PO ⊥BC ② 由①②及PA PO P =，故有BC ⊥平面PAE 11分 AE ⊂平面PAE ，故BC AE ⊥ 12分同理：AB CF ⊥BA CPBACP因而点O 是ABC ∆的垂心 14分 〖注〗来自课本19、已知ABC ∆的顶点(5,1)A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --= ，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --= . (1)求顶点C 的坐标；(2)求直线BC 的一般方程.解：（1）由BH ：250x y --=，则12BH k =，又AC ⊥BH ，故AC 2k =- 2分 又(5,1)A ，因此AC 所在直线方程为：12(5)y x -=--，即： 2110x y +-=联立：2110250x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得：(4,3)C 6分（2）设(,)B x y ，则线段AB 中点51(,)22x y M ++ 因而有：5125022x y ++⨯--=，即：210x y --= 联立：210250x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得：(2,3)B - 11分由(2,3)B -，(4,3)C ，故BC 所在直线方程为：343324y x --=--- 即直线BC 的一般方程为：390x y --= 14分〖注〗来自课本20、已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，其中11a =，且2462a a a +、、成等比数列；数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足21n n S b +=． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）如果n n n c a b =，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：14n n T S <+． 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，依条件有2426(2)a a a =+， 即2111(3)()(52)a d a d a d +=+++，解得12d =-（舍）或1d =， 所以1(1)1(1)n a a n d n n =+-=+-=． 由21n n S b +=，得1(1)2n n S b =-，ABD 当1n =时，1121S b +=，解得113b =， 当2n ≥时，1111111(1)(1)2222n n n n n n n b S S b b b b ---=-=---=-+， 所以113n n b b -=， 所以数列{}n b 是首项为13，公比为13的等比数列， 故13n n b =． 6分 （2）由（1）知，3n n n n nc a b ==，所以2311111233333n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯ ①23411111112333333n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ ② 得3311323144323443n n n n n n T +=-⨯-⨯=-⨯．又11(1)1133122313n n n S -==-⨯-． 所以121114434n n n n T S +-=-⨯<，所以14n n T S <+． 14分〖注〗来自暑假作业21、如图①正方形ABCD 沿着对角线BD 对折，并使平面ABD ⊥平面CBD ，从而构成如图②三棱锥A BCD -，点E 、F 分别是线段BC 、DA 的中点. 请在图②的三棱锥中解答如下问题：（1）求二面角A BC D --的正切值；（2）求异面直线DE 与CF 所成角的余弦值.解：（1）取线段BD 中点O ，连接OE ，AE 由AB=AD ，故AO ⊥BD ，平面ABD ⊥平面CBD 并交于BD ，故AO ⊥平面CBD 又OE ∥CD ，CD ⊥BC ，故OE ⊥BC而OE 是AE 在平面CBD 内的射影， 由三垂线定理：AE ⊥BC所以∠AEO 是二面角A BC D --的平面角 4分 设2AB=，因此1AO=2，1OE=CD 12=， tan AOAEO OE∠== 6分 （2）连接BF ，取BF 中点P ，连接PE 、PD ， 由P 、E 分别是BF 、BC 的中点，故PE ∥F C ，ABD异面直线DE 与CF 所成角为∠PED 8分 设2AB =，因此CE=12CB=1 DE ===在（1）中，O A OC ==，且O A OC ⊥，故2AC ===，2AC CD AD ===因此CF ===，12PE CF ==在PFD ∆中，112FD AD ==，1122PF BF DE ===cos cos AF PFD PFA BF ∠=-∠=-= 故：2222cos PD PF FD PF FD PFD =+-⋅⋅∠2213121(4=+-⋅=222cos 2DE PE PD PED DE PE +-∠==⋅⋅ 14分BDPB。

2015—2016学年广东省汕头市金山中学高二(上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．若p：∀x∈R,sin x≤1,则（）A．¬p:∃x0∈R，sin x0＞1 B．¬p:∀x∈R,sin x＞1C．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1 D．¬p:∀x∈R，sin x≥12．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是(）A．3＜m＜4 B．C．D．3．椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，｜F1F2｜，|F1B｜成等比数列，则此椭圆的离心率为（)A．B．C．D．4．有下列四个命题：①“若x+y=0,则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角相等"逆命题；其中真命题为(）A．①②B．①③C．②③D．③④5．等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点，,则C的实轴长为（）A．B． C．4 D．86．设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C,A（1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为(）A．B．C．D．7．设条件p:|x﹣2|＜3，条件q:0＜x＜a，其中a为正常数，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是（）A．（0，5]B．（0,5）C．［5，+∞）D．(5,+∞）8．点P在椭圆7x2+4y2=28上，则点P到直线3x﹣2y﹣16=0的距离的最大值为（) A． B．C．D．9．已知斜率为k=1的直线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0)交于A、B两点，若A、B的中点为M（1,3），则双曲线的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=010．已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），一条长度为4p的线段AB的两个端点A、B 在抛物线C上运动，则线段AB的中点D到y轴距离的最小值为(）A．2p B．C．D．3p11．双曲线C:﹣=1的左、右顶点分别为A1,A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣4，﹣2］，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．[﹣1，﹣］ B．[，］C．［﹣，﹣］D．［，]12．已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2(其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2 B．3 C．D．二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．命题：∃x0∈R，使得x02+2x0+5=0的否定是．14．与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点,且过点(﹣3，2）的椭圆方程为．15．已知F是双曲线的左焦点,A(1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+｜PA｜的最小值为．16．命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立；命题q：函数f（x)=（3﹣2a)x在R上是增函数．若p或q为真，p且q为假,则实数a的取值范围为．三、解答题：（本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知数列｛a n｝满足a1=2,a n+1=4a n+2n+1（n∈N*）．（1）令b n=+1，求证：数列{b n}为等比数列；（2）求数列｛a n｝的通项公式；（3）求满足a n≥240的最小正整数n．18．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB=，cos∠ADC=﹣．（Ⅰ）求sin∠BAD的值；（Ⅱ）求AC边的长．19．如图，在四面体ABCD中,已知∠ABD=∠CBD=60°,AB=BC=2，(1）求证：AC⊥BD；（2)若平面ABD⊥平面CBD，且BD=,求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．20．已知一条曲线C在y轴右边，C上任一点到点F（2，0）的距离减去它到y轴的距离的差都是2(1）求曲线C的方程;（2）一直线l与曲线C交于A，B两点，且|AF|+｜BF｜=8，求证：AB的垂直平分线恒过定点．21．如图，椭圆的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；(Ⅱ）设直线l:y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T．求的最大值及取得最大值时m的值．2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分,共60分。