2019-2020学年广东省汕头市金山中学高二上学期期末考试 数学 word版

广东省汕头市金山中学09-10学年高二上学期期末考试数学理一、 选择题1、命题,:R m p ∈∃方程012=++mx x 有实根，则p ⌝是：（ ）A 、,R m ∈∃方程012=++mx x 无实根B 、,R m ∈∀方程012=++mx x 无实根C 、不存在实数m ，使方程012=++mx x 无实根D 、至多有一个实数m ，使方程012=++mx x 有实根 2、抛物线y x 42=上一点A 的纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、53、．如果10a b -<<<，则有（） （A ）2211b a b a <<<（B ）2211a b b a <<< （C ）2211b a a b <<< （D ）2211a b a b <<< 4、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知1,3,3===b a A π，则边c 的长为（ ） A 、1 B 、2 C 、13- D 、35、若条件p ：1x +≤4，条件q ：256x x <-，则p ⌝是q ⌝的( ).A 必要不充分条件.B 充分不必要条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件6、设),(y x P 是第一象限的点，且点P 在直线623=+y x 上移动，则xy 的最大值是（ ）A 、1.44B 、1.5C 、2.5D 、17、等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列。

若1a =1，则4s =（ ）A ．7B ．8C ．15D ．168、设ABC ∆是等腰三角形，︒=∠120ABC ，则以B A ,为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ） A 、221+ B 、231+ C 、21+ D 、31+9、已知)(x f ，)(x g 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①)(x f =x a ·)(x g （1,0≠>a a ）；②)(x g 0≠；③)()()()(''x g x f x g x f ⋅>⋅。

2019-2020学年广东省汕头市金山中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．设集合{}{}240,15A x x x B x x =-<=<<则A B =U （ ） A ．()0,5 B ．()1,5C ．()1,4D ．()4,5【答案】A求出集合A 、B,利用交集的运算即可得到结论． 解：解：因为{}{}24004A x x x x x =-<=<<,{}15B x x =<<,所以{05}A B x x =<<U ,即()0,5x ∈. 故选：A 点评：本题考查交集及其运算,求出集合A,B 是解决本题的关键．2．若向量()()1,2,,2a b x =-=r r ，且a b r r ⊥，则x =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C根据向量垂直的坐标公式，即可代值计算. 解：因为a b r r ⊥，故可得0a b ⋅=r r ，即40x -=，解得4x =. 故选：C. 点评：本题考查向量垂直的坐标公式，属基础题.3．若幂函数()f x 的图象过点⎛ ⎝⎭，则()f x 的解析式为（ ） A ．()1f x x -=B ．()12f x x-=C ．()9xf x =D ．()227x f x =【答案】B设出幂函数的解析式，待定系数，即可求得解析式. 解：设幂函数()f x x α=，因为其过点33,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故可得12333α-==解得12α=-，故()12f x x -=. 故选：B. 点评：本题考查幂函数解析式的求解，属基础题.4．如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1000个点，其中落入黑色部分的有498个点，据此可估计黑色部分的面积约为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8【答案】D根据几何概型的概率计算公式，即可代值求解. 解：设黑色部分的面积为S ，根据几何概型的概率计算公式可得：498441000S =⨯ 解得7.9688S =≈. 故选：D. 点评：本题考查几何概型的概率计算公式，属基础题. 5．命题“x =π”是“sinx =0”的（ ）条件． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A由x =π，得sinx =0；反之，由sinx =0，不一定有x =π，然后结合充分必要条件的判定得答案． 解：解：由x =π，得sinx =0；反之，由sinx =0，得x =k π，k ∈Z ． ∴“x =π”是“sinx =0”的充分不必要条件． 故选A ． 点评：本题考查三角函数值的求法，考查充分必要条件的判定，是基础题．6．函数1()cos 1x x e f x x e +=⋅-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C11()cos()cos ()11x x x x e e f x x x f x e e --++-=-=-=-∴--Q 去掉A,B ；π(0,)()02x f x ∈>Q 时 所以选C.7．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的体积是（ ）A ．85B 85C ．8D ．2025+【答案】B根据三视图，还原几何体，再利用棱锥的体积公式求解体积即可.解：由三视图可知，该四棱锥如下图所示：其底面是长为4，宽为2的长方形，高为边长为3,3,4的三角形的高5h =故该棱锥的体积为118524533V Sh ==⨯⨯=. 故选：B. 点评：本题考查由三视图还原几何体，以及棱锥体积的计算，属基础题.8．已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=o，则椭圆的离心率e 的取值范围为A ．2(0,2B ．2C ．3D ．32【答案】B由椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=o可得以原点为圆心，以c 为半径的圆与椭圆有公共点， ∴c b ≥，∴2222c b a c ≥=-，∴2212c a ≥∴22c e a =≥。

广东省汕头市金山中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则=( )A. B. C. D.2. 已知,,,则a,b,c的大小关系为( )A. B. C. D.3. 命题“,”的否定是( )A. ,B. ,C. ,D. ,4.已知直线,直线,且,则m的值为（）A. B. C. 或 D. 或5. 已知,l m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A.若//⊥，//⊥mα，则lαl m B.若l mlα，//mα，则//C.若l m⊥，则l mlα，mα⊥lα D.若//⊥，mα⊥，则//6. 在中,若点D满足,则( )A. B. C. D.7. 为了得到函数的图象,可以将函数的图象A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位8. 若x,,且,则的最小值是A. 5B.C.D.9. 设D为椭圆上任意一点,,,延长AD至点P,使得,则点P 的轨迹方程为( )A. B. C.D.10. 已知圆,直线l ：,若圆上恰有4个点到直线l 的距离都等于1,则b 的取值范围为( )A.B.[]11-， C. ]2,2[-D.11. 已知,分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆上一点,且为坐标原点,若,则椭圆的离心率为( ) A.B.C.D.12. 设函数()f x 的定义域为D ,若函数()f x 满足条件：存在[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域是[,]22a b，则称()f x 为“倍缩函数”，若函数2()log (2)x f x t =+为“倍缩函数”，则实数t 的范围是（ ）A.1(0,)4B.(0,1)C.1(0,)2 D.1(,)4-∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 一个骰子连续投2次,点数积大于21的概率为_________． 14. 过圆上一点作圆的切线, 则该切线的方程为_________．15. 已知A ,B ,C ,D 是同一球面上的四个点,其中是正三角形,平面ABC ,,则该球的体积为_________．16. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,E F M 分别是1,,AB AD AA 的中点，又,P Q 分别在线段1111,A B A D 上，且11(01)A P AQ x x ==<<.设平面MEF 平面MPQ l =，现有下列结论：①//l 平面ABCD ；②l AC ⊥；③l 与平面11BCC B 不垂直；④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是 .（填写所有不成立结论的编号）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）设等差数列的前n项和为,若,．求数列的通项公式；设,若的前n项和为,证明：．18.（本小题满分12分）某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间单位：分钟,并将所得数据制成频率分布直方图如图,若上学路上所需时间的范围为,样本数据分组为,．求直方图中a的值；如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿,若招收学生1200人,请估计所招学生中有多少人可以申请住宿；求该校学生上学路上所需的平均时间．19.（本小题满分12分）如图,正三棱柱中,各棱长均为4,M、N分别是的中点．求证：平面；求直线AB与平面所成角的余弦值．20. （本小题满分12分）已知以点C 为圆心的圆经过点和,且圆心在直线上． Ⅰ求圆C 的方程； Ⅱ设点P 在圆C 上,求的面积的最大值．21. （本小题满分12分）已知椭圆,四点,,,中恰有三点在椭圆C 上求C 的方程； 设直线l 不经过点，且与C 相交于两点.若直线与直线的斜率的和为,证明：l 过定点．22.（本小题满分12分）设a 为实数，函数()(2)||f x x x a a =---，x R ∈. （1）求证：()f x 不是R 上的奇函数；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的值；（3）若函数()f x 在区间[2,2]-上恰有3个不同的零点，求实数a 的取值范围.2018级高二上学期期中考试数学卷答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C C BD D D B A B D A A二、填空题13. 14. 15. 16. ④三、填空题17.解：等差数列的公差为d,由,得,又由,得,由上可得等差数列的公差,；证明：由题意得．所以．18.解：由,解得．上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿,招收学生1200人, 估计所招学生中有可以申请住宿人数为：．该校学生上学路上所需的平均时间为：．19.证明：因为且M为BC的中点,所以,又在正三棱柱中,因为平面平面ABC,平面ABC, 且平面平面,所以平面,因为平面,所以,因为M,N分别为BC,的中点,所以,又因为,,所以≌,所以,,所以,所以,又因为平面,平面,,所以平面．解：设,由可知平面,所以AO为斜线AB在平面内的射影,所以为AB与平面所成的角,由题可知,所以为等腰三角形,作于E,则E为AB的中点,所以,由等面积法可知,在中,,所以,所以直线AB与平面所成的角的余弦值为．20.解：Ⅰ依题意,所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线的交点,中点为斜率为1,垂直平分线方程为即分联立,解得,即圆心,半径分所求圆方程为分Ⅱ,分圆心到AB的距离为分到AB距离的最大值为分面积的最大值为分21.解：根据椭圆的对称性,,两点必在椭圆C上,又的横坐标为1,椭圆必不过,,,三点在椭圆C上．把,代入椭圆C,得：,解得,,椭圆C 的方程为；证明：当斜率不存在时,设l ：,,,直线与直线的斜率的和为,,解得,此时l 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足．当斜率存在时,设l ：,,,, 联立,整理,得,, ,则,,又,,此时,存在k ,使得成立,直线l 的方程为,当时,, 过定点．22．解：（1）假设()f x 是R 上的奇函数，则对任意的x R ∈，都有()()f x f x -=- （*） 取0x =，得(0)0f =，即2||0a a -=，解得0a =，此时()(2)||f x x x =-，所以(1)3f -=，(1)1f -=-，从而(1)(1)f f -≠-， 这与（*）矛盾，所以假设不成立，所以()f x 不是R 上的奇函数；（2）22(2),()(2)3,x a x a x af x x a x a x a⎧-++≤⎪=⎨-++->⎪⎩①当2a >时，对称轴22a x a +=<，所以()f x 在2(,]2a +-∞上单减，在2(,]2a a +上单增，在(,)a +∞上单减，不符；②当2a <时，对称轴22a x a +=>，所以()f x 在(,]a -∞上单减，在2(,]2a a +上单增，在2(,)2a ++∞上单减，不符； ③当2a =时，对称轴22a x a +==，所以()f x 在(,2]-∞上单调递减，在(2,)+∞上单调递减，所以()f x 是R 上的单调减函数． 综上， 2a =．（3）①当2a =时，由（2）知， ()f x 是R 上的单调减函数，至多1个零点，不符； ②当2a >时，由（2）知， 222a x a +<=<，所以()f x 在[2,2]-上单调递减， 所以()f x 在[2,2]-上至多1个零点，不符； ③当2a <时，由（2）知， 222a x a +>=>，所以()f x 在(,]a -∞上单调递减，在2(,]2a a +上单调递增，在2(,2]2a +上单调递减． 因为()f x 在区间[2,2]-上恰有3个零点，所以(2)380f a -=+>，()0f a a =-<，2212(2)()024a a a f +-+=>-，(2)0f a =-<解得04a <<-或4a >+又2a <，故04a <<-综上，实数a 的取值范围是(0,4-。

广东省汕头市2019-2020学年高二上学期期末联考数学（文）试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上•用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上.2•选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3•非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液•不按以上要求作答的答案无效.4•考生必须保持答题卡的整洁•考试结束后，答题卡交回.第I卷（选择题）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）,_ 2 21•圆x y ，2x-4y = 0的半径为（）A. 3 B . 、、3 C . , 5 D . 52•“ 2x1 x0 ”是“ x = 0 ”的（）.A.充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件3.直线X =1的倾斜角和斜率分别是（）A. 45 ,1 B . 90，不存在 C . 135 D . 180，不存在4.已知函数y =、、2 -x的定义域为M，集合N ='x|y =lg x—1 j ；，则M N =（）A. 0,2 B . 0,2 C . 1,2 D . 1,2 15.设:是两个不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，则以下结论错误..的是（）A.若:-ir- , m 二：^ ,则m// 1B.若m//〉,m/ ■ = n ，贝U m/ nC.若 m 二很，n 二很，m// 一n // 1，贝U :- H '■若 m /、工，m .1-:,，贝U J . . 1-:,A. 28 B . 14 C . 7 D . 21&将函数-的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则()1 1e(x) = sinfjrx —g(x) = sin(7E< <■ A B :JI 二■ CD R '■ ■ 9.已知函数A. 3 B . 2 C . 0 D . -1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A , B 两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是D. 10.已知 ，是椭圆上的两个焦点，过11. 一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为直角三角形),则该三棱锥的体积为(A. 4 B 8 C . 16D . 24函数y = -2x 2• 2x在［-2,2 ］的图像大致为(BD6. 7. 设为等差数列的前f x " b"0，若 f lgx,x A O=4,则b =()2 212 .设P 是椭圆X y1上一点，M , N 分别是两圆：（x 亠4）2亠y 2 = 1和（x - 4）2亠y 2= 1上的点， 259则| PM | | PN |的最小值、最大值的分别为（）A. 9, 12 B . 8, 11 C . 8, 12 D . 10, 12第II 卷（非选择题）、填空题（本大题共 4小题，每小题5分，共20分.）2 214•已知双曲线 丄_每=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的渐近线方程为 _______________ .4 b15.已知向量； = gin ）,〔 = （1厂3）,若向量；丄则间■ __________ . 16•已知函数f （x）满足f （x+2）=f （x ），且f （x ）是偶函数，当1-1,0］时，f （x ）=x 2，若在区间1-1,3 1内，函数g x = f x -log a x 2有-个零点，则实数a 的取值范围是 _____________________ 三、解答题：（共70分，解答过程要有必要文字说明与推理过程.17. （本小题满分10分）a - c = 2,b = 4T COS B =-5（1 ）求-的值; （2）求匕心的面积。

上海市金山中学2019-2020学年高二上学期期末考数学试卷一、单选题1．下列参数（t 为参数）方程中，与2214yx +=表示同一曲线的是（ ）A ．2x ty t=⎧⎨=⎩B ．||2x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩C ．cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩D ．tan 2sec x ty t=⎧⎨=⎩2．已知两条直线1l 与2l 不重合，则“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 的平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若曲线C 上所有点的坐标都满足方程0(),F x y =，则（ ） A ．方程0(),F x y =是曲线C 的方程B ．坐标满足方程0(),F x y =的点都在曲线C 上 C ．曲线C 是方程0(),F x y =所表示的曲线D ．点的坐标满足方程0(),F x y =是点在曲线C 上的必要条件4．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点A ，B 在抛物线C 上，过线段AB 的中点M 作抛物线C的准线的垂线，垂足为N ，若90AFB ∠=︒，则||||AB MN 的最小值为（ ）A ．1B ．2 C ．2 D ．6二、填空题 5．直线l ：34y x =+的倾斜角的大小为______.6．抛物线24y x =的焦点坐标是______．7．已知向量,i j r r 为相互垂直的单位向量，34a i j =+rr r ，34b i j =-r r r ，则a b⋅=r r______.8．已知线性方程组的增广矩阵为11334a --⎛⎫⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为12-⎛⎫⎪⎝⎭，则实数a =________9．已知直线30x y +=与直线10kx y -+=的夹角为60o ，则实数k = . 10．若原点到直线l ：80ax y ++=的距离为4，则a 的值是______.11．已知三点P 、1P 、2P 在一条直线上，点1(0,6)P -，2(4,0)P ，且1212PP PP =-u u u u r u u u r，则点P 的坐标为______. 12．平面内直线1l 上有两个不同点到直线2l 的距离相等，则两直线的位置关系是______.13．已知变量,x y 满足约束条件242300x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则目标函数z x y =+的最小值为__________．14．已知过点(2,1)P 有且仅有一条直线与圆C ：2222210x y ax ay a a +++++-=相切，则a =______.15．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，||||CA CB CA CB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，且点C 位于第一象限，则点C 到原点O 的距离的最大值是______.16．已知椭圆22194x y +=的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一动点，若AB 是以点P 为圆心，1为半径的圆的一条直径，则1122F A F B F A F B⋅+⋅u u u r u u u r u u u u r u u u u r的取值范围是______.三、解答题17．已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(2,1)A 、(5,3)B 、(1,5)C -. （1）求ABC ∆的边BC 上的高； （2）求ABC ∆的面积.18．已知关于x 、y 的二元一次方程组42mx y n x ny m+=+⎧⎨+=⎩.（）（1）记方程组（）的系数矩阵为A ，且矩阵41n B m --⎛⎫= ⎪-⎝⎭，若1001A B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求实数m 、n 的值.（2）若方程组（）无解或者有无穷多解，求三阶行列式4325026D n m -=的值.19．如图，某海面上有O 、A 、B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45︒方向距O 岛402千米处，B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处.以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C 经过O 、A 、B 三点.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45︒行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？20．已知向量()1,3a =r ，()1,3b =-r.（1）若a λb +r r 与a b λ-r r垂直，求实数λ的值；（2）若对任意的实数m ，都有ma nb a b +≥+r r r r，求实数n 的取值范围；（3）设非零向量(,)c xa yb x y R =+∈r r r，求x cr 的最大值.21．已知椭圆C ：2221tan y x α+=，其中04πα<<，点A 是椭圆C 的右顶点，射线l ：(0)y x x =≥与椭圆C 的交点为B . （1）求点B 的坐标；（2）设椭圆C 的长半轴、短半轴的长分别为a 、b ，当ba 的值在区间30,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭中变化时，求α的取值范围； （3）在（2）的条件下，以A 为焦点，(,0)D m 为顶点且开口方向向左的抛物线过点B ，求实数m 的取值范围.解析上海市金山中学2019-2020学年高二上学期期末考数学试卷一、单选题1．下列参数（t 为参数）方程中，与2214yx +=表示同一曲线的是（ ）A ．2x ty t=⎧⎨=⎩B ．||2x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩C ．cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩D ．tan 2sec x ty t=⎧⎨=⎩【答案】C【解析】将参数方程化为普通方程，逐一将各参数方程中的参数t 消去即可得解. 【详解】解：对于选项A ，参数方程2x ty t=⎧⎨=⎩化为普通方程为2y x =，即A 不合题意；对于选项B ，参数方程2x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩化为普通方程为22y x =，即B 不合题意；对于选项C ，参数方程cos 2sin x t y t=⎧⎨=⎩化为普通方程为2214y x +=，即C 符合题意；对于选项D ，参数方程tan 2sec x t y t =⎧⎨=⎩化为普通方程为2214y x -=，即D 不合题意，即与2214y x +=表示同一曲线的是cos 2sin x t y t=⎧⎨=⎩， 故选：C. 【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，重点考查了运算能力，属中档题.2．已知两条直线1l 与2l 不重合，则“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 的平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“1l 与2l 的平行”则有“1l 与2l 的斜率相等”或“1l 与2l 的斜率均不存在”两种情况，再判断即可得解. 【详解】解：因为两条直线1l 与2l 不重合，由“1l 与2l 的斜率相等”可得“1l 与2l 的平行”； 由“1l 与2l 的平行”则可得“1l 与2l 的斜率相等”或“1l 与2l 的斜率均不存在”，即“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 的平行”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查了两直线平行的充分必要条件，重点考查了直线的斜率，属基础题. 3．若曲线C 上所有点的坐标都满足方程0(),F x y =，则（ ） A ．方程0(),F x y =是曲线C 的方程B ．坐标满足方程0(),F x y =的点都在曲线C 上 C ．曲线C 是方程0(),F x y =所表示的曲线D ．点的坐标满足方程0(),F x y =是点在曲线C 上的必要条件 【答案】D【解析】由曲线C 上所有点的坐标都满足方程0(),F x y =，但方程0(),F x y =的解对应的点不一定在曲线C 上，逐一判断各选项即可得解. 【详解】解：由曲线C 上所有点的坐标都满足方程0(),F x y =，则可得曲线C 上所有点的坐标都满足方程0(),F x y =，但方程0(),F x y =的解对应的点不一定在曲线C 上， 即点的坐标满足方程0(),F x y =是点在曲线C 上的必要条件， 故选：D. 【点睛】本题考查了曲线与方程，重点考查了充分必要条件，属基础题.4．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点A ，B 在抛物线C 上，过线段AB 的中点M 作抛物线C的准线的垂线，垂足为N ，若90AFB ∠=︒，则||||AB MN 的最小值为（ ）A ．1B ．2 C ．2D ．6【答案】B 【解析】设AF m =，BF n =，由抛物线的定义可得112AA BB MN +=再根据勾股定理及不等式求出2||AB 数值，代入22||||AB MN 化简即得答案． 【详解】设AF m =，BF n =，过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，由抛物线的定义可得1AA m =，1BB n =，因为M 为线段AB 的中点，所以112AA BB MN +==2m n+，又90AFB ∠=︒，所以222||AB m n =+，所以()()()2222224||241||m n AB mn MN m n m n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，又()24m n mn +≥，所以()2212mnm n ≤+，当且仅当m n =时取等号，所以22||1412||2AB MN ⎛⎫≥⨯-= ⎪⎝⎭，即2AB MN ≥，所以AB MN 的最小值为2，故选B ．【点睛】本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，勾股定理的应用等知识，属于中档题．二、填空题 5．直线l ：34y x =+的倾斜角的大小为______.【答案】3π； 【解析】由直线的斜率与倾斜角的关系可得tan 3θ=，再求倾斜角即可.【详解】解：设直线的倾斜角为θ， 由直线l 的方程为：34y x =+可得tan 3θ=，又[)0,θπ∈，所以3πθ=，故答案为：3π. 【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题. 6．抛物线24y x =的焦点坐标是______． 【答案】(1,0)【解析】抛物线24y x =的焦点在x 轴上，且2,12pp =∴=，所以抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，故答案为()1,0.7．已知向量,i j r r 为相互垂直的单位向量，34a i j =+r r r ，34b i j =-r r r，则a b ⋅=r r ______.【答案】－7；【解析】由已知可得1,0i j i j ==⋅=r r r r，再结合向量的运算即可得解.【详解】解：因为向量,i j r r为相互垂直的单位向量，则1,0i j i j ==⋅=r r r r， 又34a i j =+r r r ，34b i j =-r r r ，则a b ⋅=r r 22(34)(34)9167i j i j i j +⋅-=-=-r r v v v v ，故答案为：7-. 【点睛】本题考查了向量的运算，重点考查了向量的数量积，属基础题. 8．已知线性方程组的增广矩阵为11334a --⎛⎫ ⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为12-⎛⎫⎪⎝⎭，则实数a =________【答案】2 【解析】由已知得334x y ax y -=-⎧⎨+=⎩，把x ＝﹣1，y ＝2，能求出a 的值．【详解】∵线性方程组的增广矩阵为11334a --⎛⎫ ⎪⎝⎭，该线性方程组的解为12-⎛⎫⎪⎝⎭，∵334x y ax y -=-⎧⎨+=⎩，把x ＝﹣1，y ＝2，代入得﹣a +6＝4，解得a ＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的性质的合理运用． 9．已知直线30x y +=与直线10kx y -+=的夹角为60o ，则实数k = . 【答案】0,3-【解析】直接利用夹角公式求解即可. 【详解】因为直线30x y +=与直线10kx y -+=的夹角为60o ， 且直线30x y +=与直线10kx y -+=的斜率分别为3-与k ，1212tan 13313k k k k k kθ-∴=+-∴=+解得0,3k k ==- 故答案为：0,3- 【点睛】本题主要考查直线夹角公式的应用，属于基础题.10．若原点到直线l ：80ax y ++=的距离为4，则a 的值是______. 【答案】3±；【解析】由点到直线的距离公式得22841a =+，再求解即可.【详解】解：由点到直线的距离公式可得：22841d a ==+，解得3a =±，故答案为：3±. 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属基础题.11．已知三点P 、1P 、2P 在一条直线上，点1(0,6)P -，2(4,0)P ，且1212PP PP =-u u u u r u u u r，则点P 的坐标为______. 【答案】(2,3)-；【解析】先设点(,)P x y ，再结合向量相等的坐标表示求解即可. 【详解】解：设点(,)P x y ， 由1(0,6)P -，2(4,0)P ，则12(4,6)PP =u u u u v ，1(,6)PP x y =---u u u v， 又1212PP PP =-u u u u v u u u v ， 则42()62(6)x y =-⨯-⎧⎨=-⨯--⎩ ，解得23x y =⎧⎨=-⎩，即(2,3)P -， 故答案为：(2,3)-. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，重点考查了向量相等的坐标表示，属基础题.12．平面内直线1l 上有两个不同点到直线2l 的距离相等，则两直线的位置关系是______. 【答案】平行或相交或重合；【解析】由平面内两直线的位置关系可得：平面内直线1l 上有两个不同点到直线2l 的距离相等， 则这两直线平行或相交或重合，得解. 【详解】解：平面内直线1l 上有两个不同点到直线2l 的距离相等， 由平面中两直线的位置关系可得这两直线平行或相交或重合， 故答案为：平行或相交或重合. 【点睛】本题考查了平面内两直线的位置关系，属基础题.13．已知变量,x y 满足约束条件242300x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则目标函数z x y =+的最小值为__________．【答案】73【解析】分析：作出不等式对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可求解． 详解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z x y =+，得y x z =-+表示，斜率为-1纵截距为z 的一组平行直线，平移直线y x z =-+，当直线y x z =-+经过点B 时，直线y x z =-+的截距最小，此时z 最小，由2423x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得2533B（，） ，此时257333min z =+= ． 故答案为73. 点睛：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z 的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．14．已知过点(2,1)P 有且仅有一条直线与圆C ：2222210x y ax ay a a +++++-=相切，则a =______. 【答案】－1；【解析】由2222210x y ax ay a a +++++-=为圆的方程可得222(2)4(21)0a a a a +-+->，又过点(2,1)P 有且仅有一条直线与圆C ：2222210x y ax ay a a +++++-=相切，则点(2,1)P 在圆上，联立即可得解. 【详解】解：过点(2,1)P 有且仅有一条直线与圆C ：2222210x y ax ay a a +++++-=相切， 则点(2,1)P 在圆上，则222214210a a a a +++++-=，解得2a =-或1a =-， 又2222210x y ax ay a a +++++-=为圆的方程， 则222(2)4(21)0a a a a +-+->，即223a -<<， 即1a =-， 故答案为：1-. 【点睛】本题考查了圆的方程及圆的切线问题，属基础题.15．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，||||CA CB CA CB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，且点C 位于第一象限，则点C 到原点O 的距离的最大值是______. 【答案】5；【解析】由向量数量积的运算可得0CA CB ⋅=u u u r u u u r，由点的轨迹可得点,C O 在以AB 为直径的圆周上运动，再求解即可. 【详解】解：由||||CA CB CA CB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则0CA CB ⋅=u u u r u u u r ，即2ACB π∠=,又点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，即2AOB π∠=，则点,C O 在以AB 为直径的圆周上运动，又22345AB =+=,则5CO ≤，当且仅当CO 为直径时取等号，即点C 到原点O 的距离的最大值是5， 故答案为：5 . 【点睛】本题考查了向量数量积的运算，重点考查了点的轨迹方程，属中档题.16．已知椭圆22194x y +=的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一动点，若AB 是以点P 为圆心，1为半径的圆的一条直径，则1122F A F B F A F B⋅+⋅u u u r u u u r u u u u r u u u u r的取值范围是______. 【答案】[]16,26.【解析】由向量的线性运算可得22221122121222F A F B F A F B PF PF PF PF ⋅+⋅=+-=+-u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u u v ，结合椭圆的定义可得22212122(3)16PF PF PF +-=-+，然后由椭圆的几何性质可得135,35PF ⎡⎤∈-+⎣⎦，再结合二次函数值域的求法即可得解. 【详解】解：由已知条件可得1PA PB ==u u u r u u u r 且PA PB =-u u u r u u u r ,则221111111()()()1F A F B F P PA F P PB F P FP PA PB PA PB FP ⋅=+⋅+=+⋅++⋅=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v , 同理22F A F B ⋅u u u u r u u u u r 221FP =-u u u v ， 则22221122121222F A F B F A F B PF PF PF PF ⋅+⋅=+-=+-u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u u v , 由椭圆的定义可得126PF PF +=，则22222121112(6)22(3)16PF PF PF PF PF +-=+--=-+,由椭圆的几何性质可得135,35PF ⎡⎤∈-+⎣⎦，即[]212(3)1616,26PF -+∈，即1122F A F B F A F B⋅+⋅u u u v u u u v u u u u v u u u u v的取值范围是[]16,26， 故答案为：[]16,26.【点睛】本题考查了向量的线性运算，重点考查了椭圆的定义及几何性质，属中档题.三、解答题17．已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(2,1)A 、(5,3)B 、(1,5)C -. （1）求ABC ∆的边BC 上的高； （2）求ABC ∆的面积. 【答案】（1）91010（2）9 【解析】（1）先由点斜式方程的求法，求出直线BC 的方程，再结合点到直线的距离公式求解即可； （2）由两点的距离公式求出BC ，再结合（1）及三角形面积公式即可得解.【详解】 解：（1）由3515(1)3BC k -==---，得直线BC 的方程为13(5)3y x -=--，即3140x y +-=，从而，点A 到直线BC 的距离2|23114|9910101013d +⨯-===-， 即ABC ∆的边BC 上的高为91010； （2）由22(51)(35)210BC =++-=，得1191021092210S BC d =⋅=⨯⨯=，即ABC ∆的面积为9. 【点睛】本题考查了直线的点斜式方程的求法，重点考查了两点的距离公式及三角形的面积的求法，属基础题. 18．已知关于x 、y 的二元一次方程组42mx y n x ny m +=+⎧⎨+=⎩.（）（1）记方程组（）的系数矩阵为A ，且矩阵41n B m --⎛⎫= ⎪-⎝⎭，若1001A B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求实数m 、n 的值.（2）若方程组（）无解或者有无穷多解，求三阶行列式4325026D n m -=的值.【答案】（1）1m n =⎧⎨=⎩（2）88【解析】（1）先求出方程组（）的系数矩阵41m A n ⎛⎫=⎪⎝⎭，再结合1001A B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解即可；（2）由方程组（）无解或者有无穷多解，得401m n=，则4mn =，又43250544(302)26026nD n mn m m -==⋅=-，再代入运算即可得解.【详解】解：（1）由41m A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得00m nA B m n -⎛⎫+= ⎪+⎝⎭.故11m n m n -=⎧⎨+=⎩，解得10m n =⎧⎨=⎩，即1,0==m n ；（2）由方程组（）无解或者有无穷多解，得401m n=，则4mn =，从而，43250544(302)8826026nD n mn m m -==⋅=-=.【点睛】本题考查了矩阵的运算，重点考查了运算能力，属中档题.19．如图，某海面上有O 、A 、B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45︒方向距O 岛402千米处，B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处.以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C 经过O 、A 、B 三点.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45︒行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【答案】（1）2220600x y x y +--=（2）该船有触礁的危险【解析】（1）由圆过点O 、A 、B ，设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 再将点O 、A 、B 的坐标代入运算即可得解；（2）由题意可得该船航行方向为直线l ：202030x y -+-=，再结合点到直线的距离公式可得圆心C 到直线l 的距离22|103020203|106101011d -+-==<+，得解.【详解】解：（1）如图所示，(40,40)A 、(20,0)B ，设过O 、A 、B 三点的圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，得：222040404040020200F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩，解得20D =-，60E =-，0F=，故所以圆C 的方程为2220600x y x y +--=， 圆心为(10,30)C ，半径1010r =， （2）该船初始位置为点D ，则()20,203D--，且该船航线所在直线l 的斜率为1，故该船航行方向为直线l ：202030x y -+-=，由于圆心C 到直线l 的距离22|103020203|106101011d -+-==<+，故该船有触礁的危险. 【点睛】本题考查了圆的方程的求法，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题.20．已知向量()1,3a =r ，()1,3b =-r.（1）若a λb +r r 与a b λ-r r垂直，求实数λ的值；（2）若对任意的实数m ，都有ma nb a b +≥+r r r r，求实数n 的取值范围；（3）设非零向量(,)c xa yb x y R =+∈r r r，求x cr 的最大值.【答案】（1）1λ=±（2）2n ≤-或2n ≥（3）33【解析】（1）由向量垂直的坐标运算即可得解；（2）由向量模的运算可得2230m mn m ++-≥对任意实数m 都成立，再结合判别式()22430n n ∆=--≤求解即可；（3）由向量模的运算可得2222222224442x x x c x xy y x a xya b y b ⎛⎫== ⎪ ⎪+++⋅+⎝⎭r r r r v ，再分别讨论当0x =时，当0x ≠时，求解即可.【详解】解：（1）由向量()1,3a =r ，()1,3b =-r.则2a b ==r r由a b λ+r v 与a b λ-r r 垂直，得()()0a b a b λλ+⋅-=r r v v ，即2220a b λ-=r v，从而2440λ-=，解得1λ=±；（2）由ma nb a b +≥+r r v v ，将222222m a mna b n b a b +⋅+≥+r r r v v v ，即2244412m mn n ++≥，从而2230m mn m ++-≥对任意实数m 都成立， 于是()22430n n ∆=--≤，解得2n ≤-或2n ≥；（3）当0x =时，0xc=v ； 当0x ≠时，2222222224442x x x c x xy y x a xya b y b ⎛⎫== ⎪ ⎪+++⋅+⎝⎭r r r r v 22111444432y y y x x x ==⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故当12y x =-时，||||x c r 有最大值33，综上可得||||x c r 有最大值33.【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算，重点考查了向量模的运算，属中档题.21．已知椭圆C ：2221tan y x α+=，其中04πα<<，点A 是椭圆C 的右顶点，射线l ：(0)y x x =≥与椭圆C 的交点为B . （1）求点B 的坐标；（2）设椭圆C 的长半轴、短半轴的长分别为a 、b ，当ba 的值在区间30,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭中变化时，求α的取值范围； （3）在（2）的条件下，以A 为焦点，(,0)D m 为顶点且开口方向向左的抛物线过点B ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(sin , sin )B αα（2）06πα<<（3）3214m +<<【解析】（1）联立方程组2221tan y x y x α⎧+=⎪⎨⎪=⎩，再求解即可； （2）由椭圆的几何性质可得1a =，tan b α=，再解不等式0430tan 3παα⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩即可；（3）先求出抛物线的方程为24(1)()y m x m =---，由点(sin ,sin )B αα在抛物线上可得2sin 4(1)(sin )m m αα=---，再令sin t α=，则2()4(1)4(1)f t t m t m m =--+-∵，其中102t <<，则问题可转化为抛物线∵在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上与椭圆有一个交点的充要条件是：(0)0102f f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，再求解即可.【详解】解：（1）解方程组2221tan y x y x α⎧+=⎪⎨⎪=⎩， 得sin x y α==， 所以(sin , sin )B αα； （2）因为04πα<<，0tan 1α<<，所以椭圆的焦点在x 轴上，1a =，tan b α=，由条件04303b a πα⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，得：0430tan 3παα⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，所以06πα<<；（3）由题意得：1m >，且抛物线焦点A 与顶点D 的距离为1m -，设抛物线方程为：22()y p x m =--，那么2(1)p m =-，故抛物线的方程为24(1)()y m x m =---， 因为点(sin ,sin )B αα在抛物线上，所以2sin4(1)(sin )m m αα=---，2sin 4(1)sin 4(1)0m m m αα--+-=，设sin tα=，因为06πα<<，所以102t <<， 令2()4(1)4(1)f t t m t m m =--+-∵，其中102t <<， 抛物线∵开口向上，其对称轴2(1)0t m =-<，抛物线∵在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上与椭圆有一个交点的充要条件是：(0)0102f f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，即24(1)074604m m m m -<⎧⎪⎨-+<⎪⎩，所以0? 1323244m m m ⎧⎪⎨-+<<⎪⎩或， 所以m 的取值范围是3214m +<<. 【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，重点考查了运算能力，属综合性较强的题型.。

广东省汕头市金山中学2019-2020学年高二上学期期中考试一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={x|log 2x <1},B ={x|x 2+x −2<0},则A ∪B =( )A. (−∞,2)B. (0,1)C. (−2,2)D. (−∞,1)2. 已知a =21.3,b =40.7,c =log 38,则a ,b ,c 的大小关系为( )A. a <c <bB. b <c <aC. c <a <bD. c <b <a3. 命题“∀x ∈(0,1),x 2−x <0”的否定是( )A. ∃x 0∉(0,1),x 02−x 0≥0B. ∃x 0∈(0,1),x 02−x 0≥0C. ∀x 0∉(0,1),x 02−x 0<0D. ∀x 0∈(0,1),x 02−x 0≥04. 已知直线l 1:3mx +(m +2)y +1=0,直线l 2:(m −2)x +(m +2)y +2=0,且l 1∥l 2,则m 的值为（ ）A. −1B. 12C. 12或−2D. −1或−25. 已知,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A.若//l α，//m α，则//l mB.若l m ⊥，//m α，则l α⊥C.若l m ⊥，m α⊥，则//l αD.若//l α，m α⊥，则l m ⊥ 6. 在△ABC 中,若点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 53AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 为了得到函数y =sin(2x −π3)的图象,可以将函数y =cos2x 的图象( )A. 向左平移5π12个单位B. 向右平移5π12个单位C. 向右平移π6个单位D. 向左平移π6个单位8. 若x ,y ∈R +,且x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值是( )A. 5B.245C. 2√35D.1959. 设D 为椭圆x 2+y 25=1上任意一点,A(0,−2),B(0,2),延长AD 至点P ,使得|PD|=|BD|,则点P 的轨迹方程为( )A. x 2+(y −2)2=20B. x 2+(y +2)2=20C. x 2+(y −2)2=5D. x 2+(y +2)2=510. 已知圆x 2+y 2=4,直线l ：y =x +b ,若圆x 2+y 2=4上恰有4个点到直线l 的距离都等于1,则b 的取值范围为( )A. (−1,1)B.[]11-，C. ]2,2[-D. (−√22)11. 已知F 1,F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,P 为椭圆上一点, 且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0(O 为坐标原点),若|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则椭圆的离心率为( )A. √6−√3B. √6−√32C. √6−√5D. √6−√5212. 设函数()f x 的定义域为D ,若函数()f x 满足条件：存在[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域是[,]22a b ，则称()f x 为“倍缩函数”，若函数2()log (2)x f x t =+为“倍缩函数”，则实数t 的范围是（ ）A.1(0,)4B.(0,1)C.1(0,)2D.1(,)4-∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 一个骰子连续投2次,点数积大于21的概率为_________．14. 过圆x 2+y 2=5上一点M(2,−1)作圆的切线, 则该切线的方程为_________． 15. 已知A ,B ,C ,D 是同一球面上的四个点,其中△ABC 是正三角形,AD ⊥平面ABC , AD =2AB =6,则该球的体积为_________．16. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,E F M 分别是1,,AB AD AA 的中点，又,P Q 分别在线段1111,A B A D 上，且11(01)A P AQ x x ==<<.设平面MEF 平面MPQ l =，现有下列结论：①//l 平面ABCD ；②l AC ⊥；③l 与平面11BCC B 不垂直；④当x 变化时，l 不是定直线. 其中不成立的结论是 .（填写所有不成立结论的编号）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S9=81,a3+a5=14．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n a n+1,若{b n}的前n项和为T n,证明：T n<12．18.（本小题满分12分）某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟),并将所得数据制成频率分布直方图(如图),若上学路上所需时间的范围为[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]．(1)求直方图中a的值；(2)如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿,若招收学生1200人,请估计所招学生中有多少人可以申请住宿；(3)求该校学生上学路上所需的平均时间．19.（本小题满分12分）如图,正三棱柱ABC−A1B1C1中,各棱长均为4,M、N分别是BC,CC1的中点．(1)求证：BN ⊥平面AMB 1；(2)求直线AB 与平面AMB 1所成角的余弦值．20. （本小题满分12分）已知以点C 为圆心的圆经过点A(−1,0)和B(3,4),且圆心在直线 x +3y −15=0上． (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)设点P 在圆C 上,求△PAB 的面积的最大值．21. （本小题满分12分）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(−1,√32),P 4(1,√32)中恰有三点在椭圆C 上.(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点，且与C 相交于A,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为−1, 证明：l 过定点．22.（本小题满分12分）设a 为实数，函数()(2)||f x x x a a =---，x R ∈. （1）求证：()f x 不是R 上的奇函数；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的值；（3）若函数()f x 在区间[2,2] 上恰有3个不同的零点，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题二、填空题13.1614. 2x−y−5=015. 32√3π16. ④三、填空题17.(1)解：等差数列{a n}的公差为d,由S9=9a5=81,得a5=9,又由a3+a5=14,得a3=5,由上可得等差数列{a n}的公差d=a5−a35−3=2,∴a n=a3+(n−3)d=2n−1；(2)证明：由题意得b n=1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12[1(2n−1)−1(2n+1)]．所以T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)<12．18.解：(1)由a×20+0.025×20+0.0055×20+0.003×2×20=1,解得a=0.0135．(2)∵上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿,招收学生1200人,∴估计所招学生中有可以申请住宿人数为：(0.0055+0.003×2)×20×1200=276．(3)该校学生上学路上所需的平均时间为：10×0.0135×20+30×0.025×20+50×0.0055×20+70×0.003×20+90×0.003×20=32.8．19.(1)证明：因为AB=AC且M为BC的中点,所以AM⊥BC,又在正三棱柱ABC−A1B1C1中,因为平面BCC1B1⊥平面ABC,AM⊂平面ABC,且平面BCC1B1∩平面ABC=BC,所以AM⊥平面BCC1B1,因为BN⊂平面BCC1B1,所以AM⊥BN,因为M,N分别为BC,CC1的中点,所以BM=CN=2,又因为BB1=CB=4,∠MBB1=∠NCB=90∘,所以△MBB1≌△NCB,所以∠BMB1=∠CNB,∠BB1M=∠CBN,所以∠BMB1+∠CBN=∠CNB+∠CBN=90∘,所以BN⊥B1M,又因为AM⊂平面AMB1,B1M⊂平面AMB1,AM∩B1M=M,所以BN⊥平面AMB1．(2)解：设BN∩B1M=O,由(1)可知BO⊥平面AMB1,所以AO为斜线AB在平面AMB1内的射影,所以∠BAO为AB与平面AMB1所成的角,由题可知AN=BN=√42+22=2√5,所以△ABN为等腰三角形, 作NE⊥AB于E,则E为AB的中点,所以NE=√BN2−BE2=4,由等面积法可知AO=AB×NEBN =2√5=√5,在Rt△AOB中,∠AOB=90∘,所以cos∠BAO=AOAB =8/√54=2√55,所以直线AB与平面AMB1所成的角的余弦值为2√55．20. 解：(Ⅰ)依题意,所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线x +3y −15=0的交点, ∵AB 中点为(1,2)斜率为1,∴AB 垂直平分线方程为y −2=(x −1)即y =−x +3…(2分) 联立{y =−x +3x +3y =15,解得{x =−3y =6,即圆心(−3,6), 半径r =√42+62=2√10…(6分)∴所求圆方程为(x +3)2+(y −6)2=40…(7分) (Ⅱ)|AB|=√42+42=4√2,…(8分) 圆心到AB 的距离为d =4√2…(9分)∵P 到AB 距离的最大值为d +r =4√2+2√10…(11分)∴△PAB 面积的最大值为12×4√2×(4√2+2√10)=16+8√5…(12分) 21. 解：(1)根据椭圆的对称性,P 3(−1,√32),P 4(1,√32)两点必在椭圆C 上,又P 4的横坐标为1, ∴椭圆必不过P 1(1,1),∴P 2(0,1),P 3(−1,√32),P 4(1,√32)三点在椭圆C 上．把P 2(0,1),P 3(−1,√32)代入椭圆C ,得：{1b 2=11a 2+34b 2=1,解得a 2=4,b 2=1, ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(2)证明：①当斜率不存在时,设l ：x =m ,A(m,y A ),B(m,−y A ), ∵直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为−1, ∴k P 2A +k P 2B =y A −1m+−y A −1m=−2m=−1,解得m =2,此时l 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足．②当斜率存在时,设l ：y =kx +t ,(t ≠1),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立{y =kx +tx 2+4y 2−4=0,整理,得(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−4=0, x 1+x 2=−8kt1+4k 2, x 1x 2=4t 2−41+4k 2,则k P 2A +k P 2B =y 1−1x 1+y 2−1x 2=x 2(kx 1+t)−x 2+x 1(kx 2+t)−x 1x 1x 2,=2kx 1·x 2+(t−1)(x 1+x 2)x 1·x 2=8k(t−1)4(t+1)(t−1)=−1,又t ≠1,∴t =−2k −1,此时△=−64k ,存在k ,使得△>0成立, ∴直线l 的方程为y =kx −2k −1, 当x =2时,y =−1, ∴l 过定点(2,−1)．22．解：（1）假设()f x 是R 上的奇函数，则对任意的x R ∈，都有()()f x f x -=- （*） 取0x =，得(0)0f =，即2||0a a -=，解得0a =，此时()(2)||f x x x =-，所以(1)3f -=，(1)1f -=-，从而(1)(1)f f -≠-， 这与（*）矛盾，所以假设不成立，所以()f x 不是R 上的奇函数；（2）22(2),()(2)3,x a x a x af x x a x a x a⎧-++≤⎪=⎨-++->⎪⎩①当2a >时，对称轴22a x a +=<，所以()f x 在2(,]2a +-∞上单减，在2(,]2a a +上单增，在(,)a +∞上单减，不符； ②当2a <时，对称轴22a x a +=>，所以()f x 在(,]a -∞上单减，在2(,]2a a +上单增，在2(,)2a ++∞上单减，不符； ③当2a =时，对称轴22a x a +==，所以()f x 在(,2]-∞上单调递减，在(2,)+∞上单调递减，所以()f x 是R 上的单调减函数． 综上， 2a =．（3）①当2a =时，由（2）知， ()f x 是R 上的单调减函数，至多1个零点，不符； ②当2a >时，由（2）知， 222a x a +<=<，所以()f x 在[2,2]-上单调递减， 所以()f x 在[2,2]-上至多1个零点，不符；③当2a <时，由（2）知， 222a x a +>=>，所以()f x 在(,]a -∞上单调递减，在2(,]2a a +上单调递增，在2(,2]2a +上单调递减． 因为()f x 在区间[2,2]-上恰有3个零点，所以(2)380f a -=+>，()0f a a =-<，2212(2)()024a a a f +-+=>-，(2)0f a =-<解得04a <<-4a >+又2a <，故04a <<-综上，实数a 的取值范围是(0,4-。

广东省汕头市金汕中学2019年高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若复数，则（）A. B. C. D.参考答案：D2. 已知，函数，下列四个命题：①f（x）是周期函数，其最小正周期为2π；②当时，f（x）有最小值；③是函数f（x）的一个单调递增区间；④点是函数f（x）的一个对称中心．正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D【考点】9R：平面向量数量积的运算；2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式可得：函数=+2．再利用三角函数的图象与性质即可判断出正误．【解答】解：∵函数====+2．对于①：函数f（x）的周期为，∴①为错误的；对于②：当时，f（x）取得最小值，此时，即，当k=0时，，∴②为正确的；对于③：令，解得，∴函数f（x）的增区间为，当k=﹣1时，函数f（x）的增区间为，∴③为正确的；对于④：令=kπ（k∈Z），解得，∴函数f（x）的对称中心为，当k=0时，得点是函数f（x）的一个对称中心，∴④为正确的．综上所述，②③④是正确的命题．故选：D．【点评】本题考查了数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与性质，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3. 设a, b, c是两两不共线的平面向量，则下列结论中错误的是(A)a+b=b+a (B)a⋅b=b⋅a(C)a+(b+c)=(a+b)+c (D) a(b⋅c)=(a⋅b)c参考答案：D4. 设，则（）A、 B、 C、 D、参考答案：C5. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：C考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由D1C∥A1B，知∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，由此能求出结果．解答：解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵D1C∥A1B，∴∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，∵A1D=A1B=BD，∴△A1BD是等边三角形，∴∠DA1B=60°，∴异面直线A1D与D1C所成的角是60°．故选：C．点评：本题考查异面直线所成的角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养6. 若直线的倾斜角为,则实数的值为【】.A. B. C.D.或参考答案：C略7. 奇函数在区间上单调递减,,则不等式的解集为( )A. B. C. D.参考答案：C8. 与圆都相切的直线有A、1条B、2条C、3条D、4条参考答案：A9. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2012）的值为（）A．0 B．1 C．-1 D．2参考答案：C略10. 是虚数单位，复数等于（）A.B.C.D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直线l的倾角α满足4sinα=3cosα，而且它在x轴上的截距为3，则直线l的方程是_____________________.参考答案：3x－4y－9=012. 已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍，则椭圆的方程为。

高二文科数学期末考试试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集R ，M={}R x x x ∈≤,1，N={}4,3,2,1，则N M C R⋂)(等于 ( )A ．{}4B ．{}4,3C ．{}4,3,2D ．{}4,3,2,1 2．x x f 2sin 21)(=是（ ）A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数 3. 如果命题“p 且q ”是假命题，“q ⌝”也是假命题，则( ) A ．命题“⌝p 或q ”是假命题 B ．命题“p 或q ”是假命题 C ．命题“⌝p 且q ”是真命题D ．命题“p 且q ⌝”是真命题4．用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ） A.B.C.D.5. 以抛物线24y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ） A. 22(1)1x y ++= B.22(1)1x y -+= C.2211()24x y ++= D. 2211()24x y -+=6．如图，四棱锥ABCD P -的底面是︒=∠60BAD 的菱形，且PC PA =，PD PB =， 则该四棱锥的主视图（主视方向与平面PAC 垂直）可能是（ ） A ． B ． C ． D ．7．设R a ∈，则1>a 是11<a 的 ( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，真命题为（ ）A ．若与所成角相等，则B ．若，则CABD PC ．若，则D ．若，则9．如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍，那么这个椭圆的离心率为（ ）A ．45 B. 23 C.22D.2110．已知函数1()ln f x x x =-，正实数a 、b 、c 满足()0()()f c f a f b <<<，若实数d 是函数()f x 的一个零点，那么下列四个判断：①a d <；②b d >；③c d <；④c d >．其中可能成立的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411.曲线x x y 23+-=在横坐标为1-的点处的切线为l ，则点（3,2）到l 的距离是（ ） A ．227 B ．229 C ．2211 D ．1010912．如图所示，,,A B C 是圆O 上的三个点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ,若y x +=，则 （ ）A ．01x y <+<B ．1x y +>C ．1x y +<-D ．10x y -<+<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知3=x 是函数x x x a x f 10ln )(2-+=的一个极值点，则实数a ＝________.14．在ABC ∆中, o60=∠A ，2=AB ，且ABC ∆的面积为，则BC 的长为15. 等差数列{}n a 中，已知458a a +=，则=8S .16. 设实数,x y 满足不等式组110y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩, 则2yx +的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．（本小题满分10分）某公司欲招聘员工，从1000名报名者中筛选200名参加笔试，按笔试成绩择优取50名面试，再从面试对象中聘用20名员工． （1）随机调查了24名笔试者的成绩如下表所示：人数126951请你预测面试的切线分数（即进入面试的最低分数）大约是多少？（2）公司从聘用的四男a 、b 、c 、d 和二女e 、f 中选派两人参加某项培训，则选派结果为一男一女的概率是多少？18．(本小题满分12分)已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.(1) 求函数()f x 的解析式；(2) 若4(),0253f απα=<<，求cos α的值. 19．（本题满分12分）如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，2===CA BC PB ，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且FA PF =2.（1）求证：BE ⊥平面PAC ； （2）求点E 到平面PBF 的距离.20. （本小题满分12分）设函数()()210x f x x x +=>，数列{}na 满足11=a ，11()n n a f a -=，()*,2n N n ∈≥且。

广东省汕头市金山中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，2{|10}B x x =->，则A B =（ ）A ．[2,1)-B ．(1,1)-C ．(1,2]D ．(2,1)(1,2]--2．函数()()2f x sin x ωϕ+＝（0ω＞，22ππϕ-<<）的部分图象如图所示，则ωϕ，的值分别是（ ）A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π3．如图为某几何体的三视图，则其体积为A ．4π3+B ．π43+ C ．24π33+D ．2π43+4．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A ．7B ．9C ．10D ．115．若x,y 满足约束条件13,1y x x y y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．7D ．66．已知sin cos αα-=， α∈ (0，π)，则sin2α=A ．-1 B．2-C．2D ．1 7．若从2个海滨城市和2个内陆城市中随机选2个去旅游，至少选一个海滨城市的概率是（ ） A ．23B ．13C ．56D ．168．已知双曲线E ：22221x y a b-=的渐近线与圆：22(2)3x y -+=相切，则双曲线E 的离心率为（ ） AB ．2CD ．9．已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ） A ．106(13)---B ．101(13)9-- C ．103(13)--D ．103(13)-+10．已知四面体ABCD 的外接球球心O 恰好在棱AD 上，且AB BC ==2AC =，DC= ） A ．23BCD11．若函数()(sin cos )x f x e x a x =+在(,)42ππ上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．(,1)-∞C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞二、填空题12．已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= ______ . 13．若“∀x ∈[0,]4π，tan x ≤m ”是假命题．．．，则实数m 的取值范围是________． 14．函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________.15．抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为,F M 是抛物线C 上的点，若OMF ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为36π，则p =______ ；三、解答题16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知asinB =．()1求角A 的大小； ()2若a b 2==，求ABC 的面积．17．已知等差数列{}n a 中，3265,14,a a a =+= （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足(1)nn n b a n =--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求21T .18．如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2AD BC BAD AB BC π∠==12AD a ==，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -.（Ⅰ）证明：CD ⊥平面1A OC ；（Ⅱ）当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为a 的值. 19．某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P （A ）的估计值；（Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P （B ）的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．20．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -，且离心率为2.(I )求椭圆E 的方程；(II )经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ）， 问：直线AP 与AQ 的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由．21．已知m R ∈，函数()ln 1f x mx x =-+ （1）讨论()f x 的单调区间和极值；（2）将函数()f x 的图象向下平移1个单位后得到()g x 的图象，且1x e 为自然对数的底数）和2x 是函数()g x 的两个不同的零点，求m 的值并证明：2x >参考答案1．C 【解析】集合{}2|20{|12}A x x x x x =--≤=-≤≤，{}2|10{|1B x x x x =->=<-或1}x >， 所以{}(]|121,2A B x x ⋂=<≤=. 故选C. 2．A 【分析】 利用115212122T πππ=-=，求出ω，再利用5212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求出ϕ即可 【详解】115212122T πππ=-=，∴2T wππ==，2ω∴=，则有 ()()22f x sin x ϕ+＝，代入512x π=得552221212f sin ππϕ⎛⎫⎛⎫⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，则有516sin πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，52,()62k k z ππϕπ+=+∈， 23k πϕπ=-+，又22ππϕ-<<，3ϕπ∴=-故答案选A 【点睛】本题考查三角函数的图像问题，依次求出ω和ϕ即可，属于简单题 3．A 【分析】由三视图可知：该几何体为一个圆柱的一半与一个四棱锥． 【详解】由三视图可知：该几何体为一个圆柱的一半与一个四棱锥．则体积V=21122π⨯⨯⨯+21213⨯⨯=43π+． 故选A ． 【点睛】本题考查了四棱锥与圆柱的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．B 【解析】试题分析：i =1,s =0运行第一次，s =lg 13，s <−1不成立；i =3， 运行第二次，s =lg 13+lg 35=lg 15，s <−1不成立；i =5，运行第三次，s =lg 15+lg 57=lg 17，s <−1不成立；i =7，运行第四次，s =lg 17+lg 79=lg 19，s <−1不成立； i =9，运行第五次，s =lg 19+lg911=lg 111，s <−1成立；输出i 的值9，结束 故选B.考点：1、对数的运算；2、循环结构. 5．C 【解析】作出不等式组的可行域，如图所示：作斜率为13-的直线：13y x z =-+，如图，当经过点(1,2)时z 最大. 即167max z =+=. 故选C. 6．A【解析】将sin cos αα-=两端同时平方得()2sin cos 2αα-=，整理得12sin cos 2αα-=，于是sin21α=-，故选A考点定位：本题考查三角函数问题，意在考查学生对于三角函数中齐次式的运用能力和三角方程的解题能力 视频 7．C 【解析】从2个海滨城市和2个内陆城市中随机选2个去旅游，基本事件总数246n C ==，1个海滨城市也不选包含的基本事件个数221m C ==，至少选一个海滨城市的概率是516m p n =-=. 故选：C. 8．B【解析】取双曲线的渐近线by x a=，即bx −ay =0. ∵双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的渐近线与()2223x y -+=相切，∴圆心(2,0)到渐近线的距离d =r ，=,化为2b两边平方得()2222344c b c a ==-,化为2c=42a .∴2ce a==. 故选：B. 9．C 【解析】试题分析:设由题设可知数列是公比为,首项是的等比数列.故其前项和为,应选C.考点：等比数列的定义及前项和的运用. 10．B 【解析】∵AB BC ==AC =2，∴AB 2+BC 2=AC 2， ∴AB ⊥BC ，∴△ABC 外接圆的直径为AC ,球心O ′为AC 的中点 ∵球心O 恰好在侧棱DA 上,∴OO'⊥面ABC ，又外接球球心O 恰好在棱AD 上，所以O 为AD 中点，所以AD//BC.即BC ⊥面ABC ，DC=个四面体的体积为111332ABCS DC =⨯=. 故选B. 11．A 【解析】∵f （x ）=e x （sinx+acosx ）在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， ∴f′（x ）=e x [（1-a ）sinx+（1+a ）cosx]≥0在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立， ∵e x ＞0在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立， ∴（1-a ）sinx+（1+a ）cosx≥0在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立， ∴a （sinx-cosx ）≤sinx+cosx 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立 ∴sin cos sin cos x xa x x+≤- ，设g （x ）=sin cos sin cos x xx x+-∴g′（x ）在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立， ∴g （x ）在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， ∴g （x ）＞()2g π=1，∴a≤1， 故选：A ．点睛：本题考查了导数和函数的单调性和最值得关系，利用导数研究函数的单调性，关键是分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，属于中档题，正确的构造函数和利用导数是解决问题的关键.12．【详解】∵平面向量a 与b 的夹角为060，21a b ==，∴021cos601a b ⋅=⨯⨯=.∴2222(2)4(2)444a b a b a a b b +=+=+⋅+=++=故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式． (2) a a a =⋅ 常用来求向量的模． 13．m<1； 【解析】当0⩽x <4π时，函数y =tan x 为增函数， 则0⩽tan x <tan 4π=1，若“任意x ∈[0, 4π]，tan x ≤m ”是真命题，则m ⩾1，所以若“∀x ∈0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，tan x ≤m ”是假命题．．．，则实数m 的取值范围是m<1. 故答案为：m<1. 14．1y e=- 【解析】()()(1)x x y f x xe f x x e ==⇒=+'，令()01f x x =⇒=-'，此时1(1)f e-=-函数xy xe =在其极值点处的切线方程为1y e=-考点：：导数的几何意义. 15．8； 【解析】∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切， ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径 ∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF 的垂直平分线上，2pOF =， ∴圆心到准线的距离等为：624p p+=， ∴p =8， 故答案为：8.16．（1）3π；（2. 【解析】试题分析：（1）因为正弦定理，所以sin 3cos 0a B b A -=化为sin 3cos 0sinA B sinB A -=，因为三角形内角有，所以即tan 3A =，所以3A π=；（2）由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而7,2a b ==，3A π=，得，即2230c c --=，因为三角形的边0c >，所以3c =，则133sin 22bc A =．试题解析：（1）因为sin cos 0a B A =由正弦定理，得sin cos 0sinA B A =，又sin 0B ≠，从而tan A =0A π<<所以3A π=（2）解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3A π=，得，即2230c c --=因为0c >，所以3c =，故ABC ∆面积为1sin 2bc A =2sin sin3B =从而sin 7B =又由a b >知A B >，所以cos 7B =故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin3314B B ππ=+=所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =． 考点：1．正弦定理与余弦定理；2．三角形的面积公式． 17．（Ⅰ）21n a n =- （Ⅱ）452 【详解】试题分析：（Ⅰ）由等差数列的基本量运算得11125514a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，进而可得通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得()211nn b n n =---，由()()2113541123421T =+++++-+-++求解即可. 试题解析：解：（Ⅰ）数列{}n a 是等差数列，由已知得11125514a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，11,2a d ∴== ，()11221n a n n ∴=+-⨯=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）得()211nn b n n =---， ∴()()()()21123211132534121T b b b b =++++=++-+++++()()()()2114113541123421110214522+=+++++-+-++=+-⨯+=.18．（Ⅰ） 证明见解析，详见解析；（Ⅱ）6a =. 【详解】试题分析：（1）依据直线与平面垂直的判定定理推证；（2）借助题设条件运用等积法建立方程求解. 试题解析:（1）在图1中，易得//,BE AOCOE CD CD AO CD OC ⊥∴⊥⊥所以，在图2中，1,CD OC CD AO CD ⊥⊥∴⊥平面1A OC （2）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE , 1CD A O ⊥所以1A O ⊥平面BCDE2111633BCDEAO S a a ∴⋅=== 考点：空间线面垂直的位置关系和棱锥的体积公式等有关知识的运用． 19．（I ）1120；（Ⅱ）310；（Ⅲ）1.1925a ． 【分析】（I ）求出A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数．总事件人数，即可求P （A ）的估计值；（Ⅱ）求出B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的人数．然后求P （B ）的估计值；（Ⅲ）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值． 【详解】解：（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A 的人数为：60+50＝110，该险种的200名续保， P （A ）的估计值为：1101120020=； （Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．事件B 的人数为：30+30＝60，P （B ）的估计值为：60320010=； （Ⅲ）续保人本年度的平均保费估计值为0.856050 1.2530 1.530 1.7520210200a a a a a a x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==1.1925a ．【点睛】本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力．20．(1) 2212x y += (2)2【详解】（Ⅰ）由题意知12c b a ==，综合222a b c =+，解得a =2212x y +=.（Ⅱ）由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-+≠，代入2212x y +=，得22(12)4(1)2(2)0+--+-=k x k k x k k ，由已知0∆>，设()()1122,P x y Q x y ，120x x ≠ 则1212224(1)2(2),1212k k k k x x x x k k --+==++， 从而直线AP 与AQ 的斜率之和121212111122AP AQ y y kx k kx kk k x x x x +++-+-+=+=+ 121212112(2)2(2)x xk k k k x x x x ⎛⎫+=+-+=+- ⎪⎝⎭()4(1)222(21)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-.考点：1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题.21．(1)见解析(2)见解析 【解析】试题分析：（1）求出函数f （x ）的定义域，求导数得f ′(x )＝1mx x-，进而通过导数的正负得单调区间及极值；（2）利用g （x ）=mx ﹣lnx ，且x 1g （x ）的零点，推出m 值，利用函数的零点判定定理，结合函数g （x ）在（，+∞）上单调递增，即可证得． 试题解析：解：（1）函数f (x )的定义域为（0，＋∞）.求导得f ′(x )＝m －＝1mx x-. ①若m ≤0，则f ′(x )<0，f (x )是（0，＋∞）上的减函数，无极值； ②若m ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝1m. 当x ∈（0，1m）时，f ′(x )<0，f (x )是减函数； 当x ∈（1m，＋∞）时，f ′(x )>0，f (x )是增函数.所以当x ＝1m 时，f (x )有极小值，极小值为f (1m )＝2—ln 1m＝2+ln m . 综上所述，当m ≤0时，f (x )的递减区间为（0，＋∞），无极值；当m ＞0时，f (x )的递增区间为（1m ，＋∞），递减区间为（0，1m），极小值为2+ln m （2）因为()ln g x mx x =-,且x 1＝是函数g (x )的零点，所以g )＝0，即＝0，解得m. 所以g (x )x －ln x . 因为g (e)＝e 2－<0，g (e)＝2e 2－>0， 所以g (e )g (e)＜0.由（1）知，函数g (x )在（ 所以函数g (x )在区间（e ，e ）上有唯一零点，因此x 2＞e ，即x 2＞.点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f (x )在[a ，b ]上单调且f (a )f (b )＜0，则f (x )在[a ，b ]上只有一个零点.。

…………○：___________班…………○绝密★启用前广东省汕头市濠江区金山中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知全集U ＝R ，集合{}202,{0}A x x B x x x =≤≤=->，则图中的阴影部分表示的集合为( )A ．(1](2,)-∞⋃+∞，B ．(0)(12)-∞⋃，，C ．[1)2，D ．(12]， 2．曲线220x y ++-=关于（ ） A ．直线x = B ．直线y x =-成轴对称 C ．点(-成中心对称D ．点(成中心对称3．直线1:280l ax y +-=与直线()2:140l x a y +++=平行，则实数a 的值是（ ） A ．2-B ．1C ．2-或1D ．1-或24．如图，ABC V 中，,AB a AC b ==u u u vu u uv v v ，4BC BD =u u u v u u u v，用,a b vv 表示AD uuu v，正确的是( )…线…………○………线…………○……A．1344AD a b=+u u u v vvB．5144AD a b=+u u u v vvC．3144AD a b=+u u u v vvD．5144AD a b=-u u u v vv5．在正方体1111ABCD A B C D-中，1BB与平面1ACD所成角的正弦值为（）A B C．35D．256．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若mα⊥，//nα，则m n⊥②若//αβ，//βγ，mα⊥，则mγ⊥③若//mα，//nα，则//m n④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④7．关于函数2sin314y xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭，下列叙述有误的是( ）A．其图象关于直线4πx=-对称B．其图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称C．其值域是[－1,3]D．其图象可由2sin14y xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的13得到8．已知定义在R上的函数()2xf x x=⋅，3(loga f=，31(log)2b f=-，(ln3)c f=，则a，b，c的大小关系为（）…………○………号：___________…………○………9．如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有n 个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将n 个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为()p n ，则(4)p =（ ）A ．33B ．31C ．17D ．1510．已知圆()22132x y ++=的圆心为C ，直线:540l mx y m --+=与圆交于A 、B 两点，当ABC ∆的面积最大时，则实数m 的值是（ ） A ．125或0 B ．125或125-C ．1或1+D ．1或011．已知函数f (x )={|log 2(x −1)|1<x ≤3x 2−8x +16,x >3若方程f （x ）=m 有4个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则（1x 1+1x 2）（x 3+x 4）=（ ）A ．6B ．7C ．8D ．912．在ABC ∆中，已知AB AC ==，BC =D 是边AC 上的一点，将ABC ∆沿BD 折叠，得到三棱锥A BCD -，若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，设BM x =，则x 的取值范围是（ ） A ．( B ．C ．D ．(第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．若1sin()63πα-=，则2cos ()62πα+=________.14．已知圆()()22214x y -++=，则其被直线10x y --=截得的弦长为________. 15．直线()cos 30x y R αα--=∈的倾斜角的变化范围是________.16．有一个底面半径为3，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为a 的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则a 的最大值为________.三、解答题17．已知数列{}n a 为递增的等差数列，其中35a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设()()1111n n n b a a +=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得15n T <成立的n的最大值.18．已知函数()222cos 1f x x x =--，x ∈R（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且c =()0f C =，()sin sin 2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA =//AB CD ，AB AD ⊥，1AD DC ==，2AB =，E 为侧棱P A 上一点.…装…………………○…………线…………○……____姓名：____________________…装…………………○…………线…………○……（1）若13PE PA =，求证：//PC 平面EBD ； （2）在侧棱PD 上是否存在点F ，使得AF ⊥平面PCD ？若存在，求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由.20．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是ABC ，1CC 的中点.（1）求证：面ABE ⊥面1A BD （2）求三棱锥11B A BD -的体积.21．已知圆C 过点()1,4M ，()3,2N ，且圆心在直线430x y -=上. （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 过点()0,5，与圆C 交于点Q ，S ，且满足11OQ OS ⋅=u u u r u u u r（O 是坐标原点），求直线l 的方程；22．对于定义域为D 的函数()y f x =，若同时满足下列条件： ①()f x 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ；那么把()()y f x x D =∈叫闭函数．（1）求闭函数3y x =-符合条件②的区间[],a b ；（2）判断函数()1xf x x =+是否为闭函数？并说明理由； (3)若y k =是闭函数，求实数k 的范围．参考答案1．A 【解析】B={x|x 2﹣x ＞0}={x|x ＞1或x ＜0}，由题意可知阴影部分对应的集合为∁U （A∩B）∩（A∪B）， ∴A∩B={x|1＜x≤2}，A∪B=R， 即∁U （A∩B）={x|x≤1或x ＞2}，∴∁U （A∩B）∩（A∪B）={x|x≤1或x ＞2}， 即（﹣∞，1]U （2，+∞） 故选：A 2．B 【解析】 【分析】将曲线整理为圆的标准方程的形式，可确定圆心和半径；由圆的方程知圆过原点，可知曲线关于原点与圆心连线所在直线对称，从而得到结果. 【详解】由曲线方程可得：((224x y ++-=∴曲线为以(为圆心，2为半径的圆Q 圆过原点，原点与圆心连线所在的直线方程为：y x =-∴曲线关于直线y x =-成轴对称本题正确选项：B 【点睛】本题考查圆的对称性，关键是能够根据曲线方程确定圆的圆心和圆所过的点，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】由(1)20a a +-=，解得a ，经过验证即可得出. 【详解】由(1)20a a +-=，解得2a =-或1a =，经过验证2a =-时两条直线重合，舍去.故选：B 【点睛】本题考查了直线的平行关系，考查了学生概念理解，转化与划归，数学运算的能力，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】由平面向量基本定理和三角形法则求解即可 【详解】由BC 4BD =u u u v u u u v，可得()AC AB 4AD AB -=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，则31AD AB AC 44=+u u u v u u u v u u u v ，即31AD a b 44=+u u u v v v .故选C. 【点睛】本题考查平面向量基本定理和三角形法则,熟记定理和性质是解题关键,是基础题 5．B 【解析】 【分析】证明1BB 与平面1ACD 所成角为1DD O ∠，再利用边的关系得到正弦值. 【详解】如图所示：连接BD 与AC 交于点O ，连接1D O ，过点D 作1DE D O ⊥1BB 与平面1ACD 所成角等于1DD 与平面1ACD 所成角正方体11111,ABCD A B C D AC DB AC DD AC -⇒⊥⊥⇒⊥平面1DD O AC DE ⇒⊥1DE D O DE ⊥⇒⊥平面1ACD1DD 与平面1ACD 所成角为1DD O ∠设正方体边长为1在1Rt DD O ∆中11sin 32DO DD O D O ∠=== 故答案选B【点睛】本题考查了线面夹角，判断1BB 与平面1ACD 所成角为1DD O ∠是解得的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 6．A 【解析】 【分析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确．由此可得本题的答案． 【详解】解：对于①，因为//n α，所以经过n 作平面β，使l βα⋂=，可得//n l ， 又因为m α⊥，l α⊂，所以m l ⊥，结合//n l 得m n ⊥．由此可得①是真命题； 对于②，因为//αβ且//βγ，所以//αγ，结合m α⊥，可得m γ⊥，故②是真命题； 对于③，设直线m 、n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面α是正方体下底面所在的平面，则有//m α且//n α成立，但不能推出//m n ，故③不正确； 对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面， 则有αγ⊥且βγ⊥，但是αβ⊥，推不出//αβ，故④不正确． 综上所述，其中正确命题的序号是①和② 故选：A 【点睛】本题给出关于空间线面位置关系的命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题． 7．B 【解析】 【分析】利用正弦函数的图象与性质，逐个判断各个选项是否正确，从而得出。