人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理》优质课教案_15

第二章 推理与证明

2.1 合情推理与演绎推理

2.1.1 合情推理

A级 基础巩固

一、选择题

1．下列推理是归纳推理的是( )

A．F1，F2为定点，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|，得P的轨迹为椭圆

B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πab

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

解析：由归纳推理的定义知，B项为归纳推理．

答案：B

2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )

1×9＋2＝11

12×9＋3＝111

123×9＋4＝1 111

1 234×9＋5＝11 111

12 345×9＋6＝111 111

A．111 1110 B．1 111 111

C．1 111 112 D．1 111 113

解析：由1×9＋2＝11；

12×9＋3＝111；

123×9＋4＝1 111；

1 234×9＋5＝111 111；

…

归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同，

所以123 456×9＋7＝1 111 111.

答案：B

3．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )

解析：观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两个阴影一个空白，应为黑色矩形．

答案：A

4．设n是自然数，则18(n2－1)[1－(－1)n]的值( )

A．一定是零 B．不一定是偶数

C．一定是偶数 D．是整数但不一定是偶数

解析：当n为偶数时，18(n2－1)[1－(－1)n]＝0为偶数；

当n为奇数时(n＝2k＋1，k∈N)，18(n2－1)[1－(－1)n]＝18(4k2＋4k)·2＝k(k＋1)为偶数．

所以18(n2－1)[1－(－1)n]的值一定为偶数．

学必求其心得，业必贵于专精

第二章 推理与证明

第一课时 2.1。1 合情推理（一)

三维目标：

(1)知识与技能：掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

(2)过程与方法：通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。

（3）情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣,使其体会到数学学习的美感.

教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义,能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.

教学重点：能利用归纳进行简单的推理.

教学难点：用归纳进行推理，作出猜想.

教学过程：

一、新课引入：

1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3， 10=5+5, 12=5+7,

12=7+7, 16=13+3， 18=11+7， 20=13+7, ……， 50=13+37， ……,

100=3+97，猜测:任一偶数（除去2，它本身是一素数)可以表示成两个素数之和。 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解,成为数学史上举世闻名的猜想。 1973年,我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和,数学上把它称为“1+2”. 学必求其心得，业必贵于专精

2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F，121215F，2222117F，32321257F，4242165537F的观察,发现其结果都是素数，于是提出猜想:对所有的自然数n，任何形如221nnF的数都是素数。 后来瑞士数学家欧拉，发现5252142949672976416700417F不是素数，推翻费马猜想。

3。 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯。格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”,四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.

2.1.1合情推理

项目 内容

课题 2.1.1合情推理 修改与创新

教学目标 1 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，

2 能利用归纳进行简单的推理，

3 体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.

教学重、

难点 重点：能利用归纳和类比进行简单的推理.

难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想.

教学准备 直尺、粉笔

教学过程 一、新课引入：

1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7,

12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……,

100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.

2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F，121215F，2222117F，32321257F，4242165537F的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数n，任何形如221nnF的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现5252142949672976416700417F不是素数，推翻费马猜想.

3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用 1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.

二、讲授新课：

综合法和分析法方法总结

1．当所证结论与所给条件之间的关系不明确时，常采用分析法证明，但更多的时候是综合法与分析法结合起来使用，即先看条件能够提供什么，再看结论成立需要什么，从两头向中间靠拢，逐步接通逻辑思路．

2．用分析法证题是寻求使结论成立的充分条件，不是必要条件，因此各步的寻求用“⇐”，有些步骤也可用“⇔”，但不能用“⇒”，因为是寻求充分条件，不必每步都是“⇔”，证完之后也不能说每步都可逆，只有证明充要条件时，才可以说每步都可逆，或全部都用“⇔”表达．

3．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等．这些方法是综合法和分析法的延续与补充．

1．“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ ”的证明过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”应用了(B)

A．分析法

B．综合法

C．综合法与分析法结合使用

D．演绎法

解析：这是由已知条件入手利用有关的公式证得等式，应用了综合法，故选B.

2．要证明3＋5＜4，可选择的方法有以下几种，其中最合理的为(B)

A．综合法 B．分析法

C．比较法 D．归纳法

解析：要证明3＋5<4，只需证明(3＋5)2<16，即8＋215<16，即证明15<4，亦即只需证明15<16，而15<16显然成立，故原不等式成立．因此利用分析法证明较为合理，故选B.

3．已知a＞0，b＞0，m＝lga＋b2，n＝lga＋b2，则m与n的大小关系为________．

解析：因为a＋b22＝a＋b＋2ab4＞a＋b22， 所以a＋b2＞a＋b2.又因为y＝lg x为增函数，所以有m＞n.

答案：m＞n

4．如图，长方形ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，