9.2空间几何体的表面积与体积(教师版)

空间几何体的表面积与体积教案一、教学目标：1. 让学生掌握空间几何体的表面积和体积的计算公式。

2. 培养学生运用空间几何知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二、教学内容：1. 空间几何体的表面积和体积的定义。

2. 常见空间几何体的表面积和体积计算公式。

3. 空间几何体表面积和体积的求解方法。

4. 空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：空间几何体的表面积和体积的计算公式，求解方法及实际应用。

2. 教学难点：空间几何体表面积和体积的求解方法，实际问题的解决。

四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生掌握空间几何体的表面积和体积的计算公式。

2. 采用案例分析法，让学生通过实际问题，运用空间几何知识解决问题。

3. 采用讨论法，激发学生思考，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

五、教学过程：1. 导入：通过展示生活中常见空间几何体，引导学生思考空间几何体的表面积和体积的计算方法。

2. 新课导入：讲解空间几何体的表面积和体积的定义及计算公式。

3. 案例分析：分析实际问题，运用空间几何体的表面积和体积计算公式解决问4. 课堂练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

6. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固空间几何体的表面积和体积的计算方法。

7. 课后反思：教师反思教学过程，针对学生的掌握情况，调整教学策略。

六、教学评价：1. 评价学生对空间几何体表面积和体积计算公式的掌握程度。

2. 评价学生运用空间几何知识解决实际问题的能力。

3. 评价学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

七、教学拓展：1. 引导学生研究空间几何体的表面积和体积在实际工程中的应用。

2. 引导学生探索空间几何体表面积和体积的求解方法的创新。

八、教学资源：1. 教学课件：制作课件，展示空间几何体的表面积和体积的计算公式及实际问题。

2. 练习题库：整理空间几何体表面积和体积的练习题，供学生课堂练习及课后巩固。

关于空间几何体的表面积和体积一、教学目标：1. 让学生掌握常见空间几何体的表面积和体积的计算公式。

2. 培养学生运用空间几何知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学知识的兴趣，培养学生的空间想象力。

二、教学内容：1. 立方体、立方体的表面积和体积计算。

2. 圆柱体、圆柱体的表面积和体积计算。

3. 球体、球体的表面积和体积计算。

4. 锥体、锥体的表面积和体积计算。

5. 空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：重点：掌握常见空间几何体的表面积和体积计算公式。

难点：空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间几何体的表面积和体积计算方法。

2. 利用多媒体课件，展示空间几何体的形状，增强学生的空间想象力。

3. 通过实例分析，让学生学会将空间几何知识应用于实际问题。

五、教学过程：1. 导入新课：回顾平面几何知识，引出空间几何体的概念。

2. 讲解立方体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。

3. 讲解圆柱体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。

4. 讲解球体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。

5. 讲解锥体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。

6. 分析空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用，让学生尝试解决实际问题。

7. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

9. 布置课后作业，要求学生运用所学知识解决实际问题。

六、教学评价：1. 通过课堂问答、练习题和课后作业，评估学生对空间几何体表面积和体积计算公式的掌握情况。

2. 观察学生在解决实际问题时是否能灵活运用所学知识，评价其运用能力。

3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，对学生的学习态度、合作精神和创新能力进行评价。

七、教学资源：1. 多媒体课件：用于展示空间几何体的形状，增强学生的空间想象力。

2. 练习题：用于巩固学生对空间几何体表面积和体积计算公式的掌握。

数学教案立体几何中的体积与表面积教案立体几何中的体积与表面积【引言】立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的几何图形。

其中，体积和表面积是立体几何中的两个基本概念。

本教案将介绍体积和表面积的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。

【第一部分：体积的概念与计算】【小节1】体积的定义在几何学中，三维物体所占据的空间大小被称为体积。

体积可以用单位立方体的个数来度量，常用的单位有立方米、立方厘米等。

【小节2】体积的计算方法2.1 直角棱柱的体积计算直角棱柱是一种底面为矩形、侧面为矩形的立体。

其体积可以通过底面积乘以高来计算。

2.2 直角三棱柱的体积计算直角三棱柱是一种底面为直角三角形、侧面为直角三角形的立体。

其体积可以通过底面积乘以高再除以2来计算。

2.3 圆柱的体积计算圆柱是一种底面为圆的立体。

其体积可以通过底面积乘以高来计算。

球是一种由点到球心的距离都相等的立体。

其体积可以通过4/3乘以π乘以半径的立方来计算。

2.5 其他几何体的体积计算除了上述几何体，还有许多其他的几何体，如圆锥、棱台、球台等。

它们的体积计算方法略有不同，需要具体情况具体分析。

【第二部分：表面积的概念与计算】【小节1】表面积的定义除了研究体积，立体几何中还需要研究表面积。

表面积是指几何体外侧的总面积。

【小节2】表面积的计算方法2.1 直角棱柱的表面积计算直角棱柱的表面积可以通过底面积加上侧面积的和来计算。

2.2 直角三棱柱的表面积计算直角三棱柱的表面积可以通过底面积加上两个侧面积的和来计算。

2.3 圆柱的表面积计算圆柱的表面积可以通过底面积加上两个底面与高相乘的矩形的面积的和来计算。

球的表面积可以通过4乘以π乘以半径的平方来计算。

2.5 其他几何体的表面积计算类似于计算体积的情况，其他几何体的表面积计算方法也需要具体情况具体分析。

【第三部分：体积与表面积的应用】【小节1】体积与容量的关系体积在物理中有着广泛的应用，例如计算容器容量、液体体积以及物体的质量等。

空间几何体的表面积和体积预习提纲1．平面展开图2．概念：直棱柱：正棱柱：正棱锥：正棱台：3．面积公式：S直棱柱侧＝S正棱锥侧＝S正棱台侧＝S圆柱侧＝＝S圆锥侧＝＝S圆台侧＝＝S球面＝相互间的关系：4．体积公式：V长方体＝＝V柱体＝V锥体＝V台体＝V球＝相互间的关系：空间几何体的表面积和体积教案例1：已知直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16 cm，全面积为1440 cm2，求底面各边之长.例2：正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积与全面积.例3：从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？例4：假设正棱锥的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求对角面的面积和侧面积.例5：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证： （1）球的表面积等于圆柱的侧面积； （2）球的表面积等于圆柱全面积的23例6：有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比.例7：已知圆锥的全面积是它内切球表面积的2倍，求圆锥侧面积与底面积之比.练习：1.已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的体积.2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，求此球的体积.例8：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.例9：半径为R的球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？空间几何体的表面积和体积教案例1：已知直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16 cm ，全面积为1440 cm 2，求底面各边之长.分析：这是一道跟直棱柱侧面积有关的问题，从结论出发，欲求底面各边之长，而各边之比已知，可分别设为17a 、10a 、 9a ，故只须求出参数a 即可，那么如何利用已知条件去求 a 呢？［生］设底面三边长分别是17a 、10a 、9a , S 侧＝（17a ＋10a ＋9a ）·16＝576a 设17a 所对三角形内角α，则cos α＝（10a ）2＋（9a ）2－（17a ）22×10a ×9a ＝－35 ，sin α＝45S 底＝12 ·10a ·9a ·45＝36a 2∴576a ＋72a 2＝1440 解得：a ＝2 ∴三边长分别为34 cm ，20 cm ，18 cm.［师］此题中先设出参数a ，再消去参数，很有特色. 例2：正三棱锥底面边长为a ，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积与全面积. 分析：可根据正棱锥的侧面积与全面积公式求得.解：如图所示，设正三棱锥S —ABC 的高为SO ，斜高为SD ，在Rt △SAO 中，∴AO ＝SA ·cos45°∵AO ＝23 AD ＝23 32a ∴SA ＝63a在Rt △SBD 中 SD ＝a a a 615)21()36(22=- ∴S 侧＝12 ·3a ·SD ＝154a 2. ∵S 底＝34a 2∴S 全＝（154＋34）a 2 例3：从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A —BCD ，求它的体积是正方体体积的几分之几？分析：在准确识图的基础上，求出所截得的每个三棱锥的体积和正三棱锥A —BCD 的体积即可.解：设正方体体积为Sh ,则每个截去的三棱锥的体积为 13 ·12 Sh ＝16 Sh . ∵三棱锥A —BCD 的体积为 Sh －4·16 Sh ＝13Sh .∴正三棱锥A —BCD 的体积是正方体体积的13 .例4：假设正棱锥的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求对角面的面积和侧面积. 解：如图所示，在正四棱锥P —ABCD 中，AB ＝a ，PB ＝2a ， 作PO ⊥底面ABCD 于O .连结BD ，则O ∈BD ，且PO ⊥BC ， 由AB ＝a ，得BD ＝ 2 a ，在Rt △P AB 中， PO 2＝PB 2－BO 2＝（2a ）2－（22a ）2∴PO ＝142a ，S 对角面＝12 PO ·BD ＝72a 2. 又作PE ⊥BC 于E ，这时E 是BC 的中点 ∴PE 2＝PB 2－BE 2＝（2a ）2－（12 a ）2∴PE ＝152a ∴S 侧＝4×21PE ·BC ＝15 a 2 ∴对角面面积为72a 2,侧面积为 15 a 2. 例5：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证： （1）球的表面积等于圆柱的侧面积； （2）球的表面积等于圆柱全面积的23证明：（1）设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ， 高为2R ，得S 球＝4πR 2，S 圆柱侧＝2πR ·2R ＝4πR 2 ∴S 球＝S 圆柱侧（2）∵S 圆柱全＝4πR 2+2πR 2＝6πR 2 S 球＝4πR 2 ∴S 球＝23S 圆柱全例6：有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比.解：设正方体的棱长为a ，则第一个球的半径为 a 2 ，第二个球的半径是22a ，第三个球的半径为32a . ∴r 1∶r 2∶r 3＝1∶ 2 ∶ 3 ∴S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3例7：已知圆锥的全面积是它内切球表面积的2倍，求圆锥侧面积与底面积之比.解：过圆锥的轴作截面截圆锥和内切球分别得轴截面SAB 和球的大圆⊙O ，且⊙O 为 △SAB 的内切圆.设圆锥底面半径为r ,母线长为l ;内切圆半径为R ，则S 锥全＝πr 2＋πrl ，S 球＝4πR 2，∴r 2＋rl ＝8R 2① 又∵△SOE ∽△S A O 1∴r l rl rl r l r R +-=--=22 ②由②得：R 2＝r 2·r l r l +-代入①得：r 2＋rl ＝8r 2·rl rl +-，得： l ＝3r ∴32===rlr rl S S ππ底锥侧 ∴圆锥侧面积与底面积之比为3∶1. 练习：1.已知球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且AB =BC =CA =2，求球的体积.2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，求此球的体积. 例8：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.解：如图所示，等边△SAB 为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C 1CDD 1，截球面得球的大圆圆O 1.设球的半径O 1O ＝R ，则它的外切圆柱的高为2R ，底面半径为R ，则有OB ＝O 1O ·cot30°＝ 3 R SO ＝OB ·tan60°＝ 3 R ·3 ＝3R ∴V 球＝43 πR 3,V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3V 锥＝13π（ 3 R ）2·3R ＝3πR 3∴V 球∶V 柱∶V 锥＝ 4∶6∶9［师］以上题目，通过作球及外切圆柱、等边圆锥的公共截面暴露这些几何体之间的相互关系.让我们继续体会有关球的相接切问题.例9：半径为R 的球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？解：如图所示，大球O 的半径为R ；设正四面体 A —BCD 的棱长为a ，它的内切球半径为r ，依题意BO 1＝23 32a ＝33a ，AO 1＝AB 2－BO 12 ＝a 2－（33a ）2 ＝63a 又∵BO 2＝BO 12＋OO 12，∴R 2＝（22)36()33R a a -+ ∴a ＝362R 连结OA ，OB ，OC ，OD ，内切球球心到正四面体各面距离为r , V O —BCD ＝V O —ABC ＋V O —ACD ＋V O —AOB ＋V O —BCD ∴r S AO S BCD BCD ⋅⋅⋅=⋅⋅∆∆314311 ∴r ＝41AO∴r ＝R R a 31362126126=⋅= ∴V 小球∶V 大球＝34π·（31R ）3∶34π·R 3＝1∶27∴内切球与外接球的体积比为1∶27.。

高中数学教案：立体几何中的体积和表面积一、引言在高中数学教学中，立体几何是一个重要的内容模块。

其中，体积和表面积是立体几何的核心概念，也是解题的关键点。

本文将围绕立体几何中的体积和表面积展开讨论，旨在帮助教师们更好地掌握教学方法和策略。

二、体积的基本概念与计算方法2.1 体积的定义在立体几何中，体积是指三维物体所占据的空间大小。

通常用单位立方米（m³）来表示。

2.2 体积的计算方法根据不同几何形状的特点，计算其体积有不同的方法。

（1）直角棱柱：直角棱柱的底面可以是任意多边形，通过底面面积乘以高即可计算得到。

（2）圆柱：圆柱由两个平行且相等的底面及其之间的曲面组成。

通过底面面积乘以高得到侧面积，并加上两个底面的圆形部分，可以求得整个圆柱的体积。

（3）球：球是由所有与所定球心距离相等于半径r处点组成的集合。

球的体积计算公式为4/3πr³，其中π取近似值3.14即可。

（4）其他几何体：如圆锥、棱锥、棱台等均有特定的体积计算公式。

三、表面积的概念及应用3.1 表面积的定义在立体几何中，表面积指一个物体外部所包围的总面积，常用单位平方米（m²）表示。

3.2 表面积与实际问题表面积在实际生活中有广泛的应用，例如：（1）家具选购：购买家具时，我们需要考虑其空间占用和布置情况，因此了解家具的表面积是很有帮助的。

（2）建筑施工：工程项目需要测量建筑物或构件的表面积以确定所需材料和成本。

（3）图形包装：在设计礼品包装或产品包装时，需要计算其表面积以保证材料质量和成本控制。

四、教学策略与方法4.1 概念理解与示例讲解相结合针对不同几何体的体积和表面积计算方法，可以先通过简单而常见的示例进行讲解和演示，帮助学生理解概念，并引导学生运用公式进行计算练习。

4.2 多角度观察与实物操作在教学中，可以让学生多角度观察不同几何体的形状，并利用实物进行操作。

通过直观的展示，能够加深学生对体积和表面积的认知。

⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 ⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 1教学⺫标 1.知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积的求法. 2.能运⽤公式求解柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 2学情分析 通过学习空间⼏何体的结构特征，空间⼏何体的三视图和直观图，了解了空间⼏何体和平⾯图形之间的关系，从中反映出⼀个思想⽅法，即平⾯图形和空间⼏何体的互化，尤其是空间⼏何问题向平⾯问题的转化。

该部分内容中有些是学⽣已经熟悉的，在解决这些问题的过程中，⾸先要对学⽣已有的知识进⾏再认识，提炼出解决问题的⼀般思想——化归的思想，总结出⼀般的求解⽅法，在此基础上通过类⽐获得解决新问题的思路，通过化归解决问题，深化对化归、类⽐等思想⽅法的应⽤。

3重点难点 重点：知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积公式。

难点：会求柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 4教学过程 4.1 第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时　柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结： 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? 1.3　空间⼏何体的表⾯积与体积 课时设计课堂实录 1.3　空间⼏何体的表⾯积与体积 1第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时　柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结： 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? ⼩编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、 ⼩编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、。

空间几何体的表面积与体积教案一、教学目标：1. 让学生掌握空间几何体的表面积和体积的计算方法。

2. 培养学生空间想象能力和思维能力。

3. 培养学生解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 空间几何体的表面积和体积的定义。

2. 常见空间几何体的表面积和体积的计算公式。

3. 空间几何体表面积和体积的计算方法。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：空间几何体的表面积和体积的计算方法。

2. 教学难点：空间几何体的表面积和体积的计算公式的推导和应用。

四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解空间几何体的表面积和体积的定义及计算方法。

2. 采用案例分析法，分析常见空间几何体的表面积和体积的计算。

3. 采用练习法，巩固所学知识。

五、教学过程：1. 导入新课：通过生活中的实例，引入空间几何体的表面积和体积的概念。

2. 讲解新课：讲解空间几何体的表面积和体积的定义，介绍常见空间几何体的表面积和体积的计算公式，讲解计算方法。

3. 案例分析：分析常见空间几何体的表面积和体积的计算，如正方体、长方体、圆柱体等。

4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，引导学生进行拓展学习。

六、课后作业：1. 复习本节课所学内容，整理笔记。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

3. 探索空间几何体表面积和体积的计算规律，进行拓展学习。

七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 课后作业：检查学生作业完成情况，评估学生对知识的掌握程度。

3. 单元测试：进行单元测试，了解学生对本节课知识的掌握情况。

八、教学资源：1. 教案、课件、教学素材。

2. 练习题、测试题。

3. 空间几何体模型、图片等。

九、教学时间安排：1. 课时：本节课计划用2课时完成。

2. 教学时间安排：第一课时讲解空间几何体的表面积和体积的定义及计算方法，分析常见空间几何体的表面积和体积的计算；第二课时进行案例分析、课堂练习、总结与拓展。

精锐教育学科教师辅导教案学员编号：年级：高二课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：董思成课程主题：几何体的表面积、体积和球面距离授课时间：学习目标1.会计算柱体与锥体的表面积和体积2.会用球的表面积和体积公式进行有关的度量计算.教学内容1下列说法是否正确？为什么？（1）有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；（2）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；（3）斜棱柱不可能有两个相邻的侧面都是矩形；（4）底面是凸多边形的斜棱柱的侧面中，至多有两个矩形。

解：（1）×；（2）×；（3）√；（4）√。

2.判断下列命题正确与否？并说明理由。

（1）各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥；（2）底面是正多边形的棱锥是正棱锥；（3）正三棱锥的各个侧面都是正三角形；（4）各条侧棱与底面所成角都相等的棱锥是正棱锥；（5）各侧面是全等的等腰三角形，底面是各边相等的多边形，这样的棱锥是正棱锥。

解：（1）×；（2）×；（3）×；（4）×；（5）×。

一、几何体的表面积 1、棱柱的侧面积和全面积（1）棱柱的侧面展开图：把棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展开在一个平面上，就得到了棱柱的侧面展开图。

（2）侧面积：棱柱侧面展开图的面积，就是棱柱的侧面积。

全面积：侧面积加上底面积（棱柱有两个底）叫全面积。

直棱柱的侧面展开图是一个矩形，所以S c h =侧，其中h 表示直棱柱的高，c 表示直棱柱的底面周长。

2S ch S =+⨯全底。

2、圆柱的侧面积和全面积（1）圆柱的侧面展开图：将圆柱的侧面沿一条母线剪开后展开在一个平面上，就得到圆柱的侧面展开图。

圆柱的侧面展开图是一个矩形。

（2）设圆柱的高为h ，底面半径为r ，则22,22S rh S rh r πππ==+侧全。

3、正棱锥的侧面积、全面积（1）正棱锥的侧面积'12S Ch =侧，其中C 表示底面周长，'h 表示正棱锥的斜高；（2）正棱锥的全面积'12S S S Ch S =+=+侧全底底4、圆锥的侧面积、全面积将底面半径为r ，母线长为'h 的圆锥侧面展开，可得到一个扇形，扇形的半径为'h ，弧长为2r π，所以圆锥的侧面积''12S rh Ch π==侧（C 为底面周长）。

课题：空间几何体的体积
一、教学目标：
⒈知识目标：掌握棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积的推导方法，理解祖暅原理，会应用棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式。

⒉能力目标：通过学习祖暅原理，理解祖暅原理的内涵，体验空间与平面问题互相转化的方法，体会到复杂的体积问题怎样转化为简单的体积问题而得到解决，从而提高学生的数学思维能力。

⒊德育目标：学生通过学习祖暅原理，了解我国古代数学家在这方面作出的突出成就，受到爱国主义教育，提高学习数学的兴趣。

二、教学重点与难点：
重点是棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式的推导方法。

难点是对祖暅原理的理解和棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式的应用。

三、教学方法与教学手段：
教学方法：本节课的课型为“新授课”。

虽然学生初中已经学习了圆柱、圆锥的体积的公式，但用的是实验验证的方法，并没有从根本上理解圆柱、圆锥的体积公式的由来，本课采用推导的方法，以长方体的体积公式和祖暅原理为基础推导出几种几何体的体积公式，通过不同形式的探究过程，让学生积极参与到教学活动中来，并且始终处于积极的问题探究和辨析思考的学习气氛中。

教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率。

简单几何体的表面积和体积1 柱体①棱柱体积：V=sℎ(其中ℎ是棱柱的高)②圆柱(1) 侧面积：S=2πrℎ(2) 全面积：S=2πrℎ+2πr2(3) 体积：V=Sℎ=πr2ℎ(其中r为底圆的半径，ℎ为圆柱的高)2 锥体①棱锥棱锥体积：V=13Sℎ(其中ℎ为圆柱的高)；②圆锥(1) 圆锥侧面积：S=πrl(2) 圆锥全面积：S=πr(r+l)(其中r为底圆的半径，l为圆锥母线)(3) 圆锥体积：V=13Sℎ=13πr2ℎ(其中r为底圆的半径，ℎ为圆柱的高)3台体①圆台表面积S=π (r′2+r′2+r′l+rl)其中r′是上底面圆的半径，r是下底面圆的半径，l是母线的长度.②台体体积V=13(S′+√SS′ +S) ℎ其中S , S′分别为上，下底面面积，ℎ为圆台的高.4 球体面积S=4πR2，体积V=43πR3（其中R为球的半径）【题型一】几何体的表面积【典题1】已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AB=2，AA1=3，O为上底面中心．设正四棱柱ABCD－A1B1C1D1与正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积分别为S1，S2，则S2S1=．【解析】如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3，则正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧面积分别为S1=4×2×3=24；正四棱锥O－A1B1C1D1的斜高为√12+32=√10．∴正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积S2=4×12×2×√10=4√10．∴S2S1=4√1024=√106．【点拨】注意侧面积和全面积的区别．【典题2】一个底面半径为2，高为4的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为（）A．2π B．3πC．4πD．5π【解析】圆锥的底面半径为2，高为4，∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为2x因此，内接圆柱的高 ℎ=4−2x；∴圆柱的侧面积为：S=2πx(4−2x)=4 π(2x−x2)(0<x<2)令t=2x−x2，当x=1时t max=1；所以当x=1时，S max=4π．即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为4π．故选：C ．【点拨】① 圆柱的侧面积S =2πrℎ，则需要知道圆柱的高ℎ与底圆半径r ；② 在处理圆锥、圆柱问题时，要清楚母线、高、底圆的半径之间的关系，则要看轴截面(如下图),此时由相似三角形的性质可以得到每个量的关系.【典题3】 一个圆台上、下底面半径分别为r 、R ，高为ℎ，若其侧面积等于两底面面积之和，则下列关系正确的是( )A ．2ℎ=1R +1rB ．1ℎ=1R +1rC ．1r =1R +1ℎD ．2R =1r +1ℎ 【解析】设圆台的母线长为l ，根据题意可得圆台的上底面面积为S 上=πr 2，圆台的下底面面积为S 下=πR 2，∵圆台的侧面面积等于两底面面积之和，∴侧面积S 侧=π(r 2+R 2)=π(r +R)l ，解之得l =r 2+R 2r+R ∵l =√ℎ2+(R −r)2∴r 2+R 2r+R =√ℎ2+(R −r)2，∴(r 2+R 2r +R )2=ℎ2+(R －r)2 ∴2ℎ=1R +1r ．故选 A ． 【点拨】在处理圆台问题时，要清楚母线、上底圆半径、下底圆半径、高之间的关系，则要看轴截面(如下图),有 l =√ℎ2+(R −r)2.【题型二】几何体的体积【典题1】正方形ABCD被对角线BD和以A为圆心，AB为半径的圆弧DB̂分成三部分，绕AD旋转，所得旋转体的体积V1、V2、V3之比是()A．2: 1: 1B．1∶2: 1C．1∶1∶1D．2∶2: 1【解析】设正方形ABCD的边长为1，可得图1旋转所得旋转体为以AD为轴的圆锥体，高AD=1且底面半径r=1∴该圆锥的体积为V1=13π×AB2×AD=13π；图2旋转所得旋转体，是以AD为半径的一个半球，减去图1旋转所得圆锥体而形成，∴该圆锥的体积为V2=V半球−V1=12×43π×AD2－V1=13π；图3旋转所得旋转体，是以AD为轴的圆柱体，减去图2旋转所得半球而形成，∴该圆锥的体积为V3=π×AB2×AD－V半球=π－23π=13π综上所述V1=V2=V3=13π，由此可得图中1、2、3三部分旋转所得旋转体的体积之比为1∶1∶1．故选 C．【点拨】①圆锥是由直角三角形以某一直角边为轴旋转得到；圆柱是由矩形以某一边为轴旋转得到；球是由半圆以直径为轴旋转得到;②求解不规则图形可用“割补法”.【典题2】如图，圆锥形容器的高为ℎ，圆锥内水面的高为ℎ1，且ℎ1=13ℎ，若将圆锥的倒置，水面高为ℎ2，则ℎ2等于()A．23ℎB．1927ℎC．√633ℎD．√1933ℎ【解析】方法一设圆锥形容器的底面积为S，则未倒置前液面的面积为49S．∴水的体积V =13Sℎ－13×49S ×(ℎ−ℎ1)=1981Sℎ． 设倒置后液面面积为S′，则S′S =(ℎ2ℎ)2，∴S′=Sℎ22ℎ2．∴水的体积V =13S′ℎ2=Sℎ233ℎ2． ∴1981Sℎ=Sℎ233ℎ2，解得ℎ2=√193ℎ3． 故选 D ．方法二 设容器为圆锥1，高为ℎ,体积为V ;倒置前液面上的锥体为圆锥2，高为ℎ′=ℎ−ℎ1,体积为V 1;倒置后液面以下的锥体为圆锥3，高为ℎ2,体积为V 2.∵ℎ1ℎ=13 ∴ℎ′ℎ=23 ∴V−V 水V =(23)3=827⇒V 水V =1927， 在倒置后，又有V 水V =(ℎ2ℎ)3 ∴(ℎ2ℎ)3=1927⇒ℎ2=√193ℎ3【点拨】 ① 涉及圆台的表面积和体积，可把圆台补全为圆锥；② 两个相似几何体，若相似比为a ,则对应线段比为a ，对应的平面面积比为a 2,对应的几何体体积比是a 3.【典题3】 已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =2，∠ASC =∠BSC =45°，则棱锥S −ABC 的体积V = .【解析】由题可知AB 一定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过AB 的小圆交直径SC 于D ，如图所示，设SD =x ，则DC =4－x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S­ABD 和C­ABD ，在△SAD 和△SBD 中，由已知条件可得AD =BD =x ，又因为SC 为直径，所以∠SBC =∠SAC =90°，所以∠DBC =∠DAC =45°，所以在△BDC 中，BD =4－x ，所以x =4－x ，解得x =2，所以AD =BD =2，所以 ABD 为正三角形，所以V =13S △ABD ×4=4√33.【点拨】① 圆内直径所对的圆周角为90°；② 若垂直于三棱锥的某棱长的截面面积为S ，棱长长ℎ，则三棱锥的体积为13Sℎ．【题型三】与球有关的切、接问题【典题1】 已知三棱锥D −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB =AC =BC =DB =DC =1，当三棱锥D －ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为（ ）A. 5π3B. 2 πC. 5 πD. 20π3【解析】 如图，当三棱锥D −ABC 的体积取到最大值时，则平面ABC ⊥平面DBC ，取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，则AG ⊥BC ，DG ⊥BC ，分别取△ABC 与△DBC 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心，由AB =AC =BC =DB =DC =1，得正方形OEGF 的边长为√36，则OG =√66∴四面体A −BCD 的外接球的半径R =√OG 2+B G 2=√(√66)2+(12)2=√512 ∴球O 的表面积为=4 π×(√512)2=5π3，故选：A ．【典题2】 如图，在一个底面边长为2，侧棱长为√10的正四棱锥P －ABCD 中，大球O 1内切于该四棱锥，小球O 2与大球O 1及四棱锥的四个侧面相切，则小球O 2的体积为 ．【解析】设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则OM=1，PM=√PA2−AM2=√10−1=3，PO=√9−1=2√2，如图，在截面PMO中，设N为球O1与平面PAB的切点，则N在PM上，且O1N⊥PM，设球O1的半径为R，则O1N=R，因为sin∠MPO=OMPM =13，所以NO1PO1=13，则PO1=3R，PO=PO1+OO1=4R=2√2，所以R=√22，设球O1与球O2相切与点Q，则PQ=PO－2R=2R，设球O2的半径为r，同理可得PQ=4r，所以r=R2=√24，故小球O2的体积V=43πr3=√224π，故答案为√224π．巩固练习1(★)如图1所示，一只封闭的圆柱形水桶内盛了半桶水(桶的厚度忽略不计)，圆柱形水桶的底面直径与母线长相等，现将该水桶水平放置后如图2所示，设图1、图2中水所形成的几何体的表面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系是()A．S1≤S2B．S1<S2C．S1>S2D．S1≥S2【答案】Ｂ【解析】设圆柱的底面半径为r，图1水的表面积为 S1=2πr2+2πr•r=4πr2．对于图2，上面的矩形的面积的长是2r，宽是2r．则面积是4r2．曲面展开后的矩形长是πr，宽是2r．则面积是2πr2．上下底面的面积的和是π×r2．图2水的表面积S2=(4+3π)r2．显然S1<S2．故选B．2(★) 若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为()A．πB．3π2C．2π3D．π2【答案】Ａ【解析】设圆锥的底面圆半径为r，高为ℎ；由圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面积为πr•4=4πr；又圆锥的轴截面面积为12•2r•ℎ=rℎ，所以4πr=4rℎ，解得ℎ=π；所以该圆锥的高为π．故选：A．3(★★) 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的(如图)．则该几何体共有个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是cm2．【答案】14，10000【解析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是S表面积=8×12×25√2×25√2×sin60°+6×25√2×25√2=10000(cm2)．故答案为：14，10000．4(★★) 直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的长度之比为12√3，那么以垂直于底的腰所在的直线为轴，将梯形旋转一周，所得的圆台上、下底面积和侧面面积之比是.【答案】1: 4: 3√3【解析】由题意可设直角梯形上底、下底和不垂直于底的腰为x，2x，√3x；则圆台的上、下底半径和母线长分别为x，2x，√3x，如图所示；所以上底面的面积为S上底=π•x2；下底面的面积为S下底=π•(2x)2=4πx2；侧面积为S侧面=π(x+2x)•√3x=3√3πx2；所以圆台的上底、下底面积和侧面面积之比是πx2∶4πx2: 3√3πx2=1: 4: 3√3．5(★★) 如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是.【答案】2√2π3【解析】如图所示，过点P 作PE ⊥平面ABC ，E 为垂足，点E 为的等边三角形ABC 的中心．AE =23AD ，AD =√32． ∴AE =23×√32=√33．∴PE =√PA 2−AE 2=√63．设圆柱底面半径为R ，则2R =1sin60°=2√3， ∴圆柱的侧面积＝2πR •PE =√3π×√63=2√2π3，6(★★) 一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4m ，侧面展开图的圆心角为2π3，则这个圆锥的体积等于 . 【答案】128√281πm 3【解析】设圆锥的底面半径为r ，圆锥形物体的母线长l =4m ，侧面展开图的圆心角为2π3，故2πr =2π3，解得 r =43m ， 故圆锥的高ℎ=√l 2−r 2=83√2m ，故圆锥的体积V =13πr 2ℎ=128√281πm 3．7(★★) 如图①，一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为a2(如图②)，则图①中的水面高度为 .【答案】(1−√732)a【解析】 令圆锥倒置时水的体积为V ′，圆锥体积为V ，则v′v =(a 2)3÷a 3=18，∴V 空V 锥=78，倒置后 V 水=18V ， 设此时水高为ℎ，则ℎ3 a 3=78，∴ℎ=(1−√732)a ． 故原来水面的高度为(1−√732)a ．8(★★★) 半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为 .【答案】12√3【解析】如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为O 1，O 2，底面边长与高分别为x ，ℎ，则O 2A =√33x ，在Rt △OAO 2中，ℎ24+x 23=4， 化为ℎ2=16−43x 2，∵S 侧=3xℎ，∴S 侧2=9x 2ℎ2=12x 2(12−x 2)≤12(x 2+12−x 22)2=432．当且仅当x 2=12－x 2，即x =√6时取等号，此时S 侧=12√3．9(★★★) 如图所示，在边长为5+√2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M 、N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积与体积分别是 与 ．【答案】10π，2√303π【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为ℎ，由已知条件可得{l+r+√2r=(5+√2)×√22πrl=π2，解得r=√2，l=4√2，∴S=πrl+πr2=10π，又∵h=√l2−r2=√30，∴V=13πr2ℎ=2√303π．故答案为10π，2√303π10(★★★) 已知四面体ABCD的棱长满足AB=AC=BD=CD=2，BC=AD=1，现将四面体ABCD放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为．【答案】27π4【解析】因为四面体ABCD的棱长满足AB=AC=BD=CD=2，BC=AD=1，所以可以把其放到长宽高分别为a，b，c的长方体中，四面体的棱长是长方体的面对角线，∴a2+b2=22，①；b2+c2=22，②；c2+a2=12，③故四面体的外接球半径R满足：8R2=22+22+12=9；∴R2=98．∵四面体ABCD放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，要想圆锥的侧面积最小；故需满足四面体的外接球恰好是圆锥的内切球；作圆锥的轴截面，如图：设BE=r，则AB=2r，AE=√3r；可得：OB2=OE2+EB2；∴R2=(√3r－R)2+r2⇒r=√3R；故圆锥侧面积的最小值为：πrl=2πr2=2π•3R2=27π4．故答案为：27π4．11(★★★) 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC是下底面．M是BB1上的点，AB=3，BC=4，AC=5，CC1=7，过三点A、M、C1作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为.【答案】1110【解析】由AB=3，BC=4，AC=5，得AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC．将平面ABB1A1与平面BCC1B1放在一个平面内，连接AC1，与BB1的交点即为M，此时BM=3，设四棱锥A－BCC1M的体积为V1，则V1=13×12×(3+7)×4×3=20，三棱柱ABC－A1B1C1的体积V=12×4×3×7=42．∴当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为V−V1V1=1110．12(★★★) 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为．【答案】13【解析】将直三棱柱ABC－A1B1C1展开成矩形ACC1A1，如图，连结AC1，交BB1于D，此时AD+DC1最小，∵AB =1，BC =2，BB 1=3，∠ABC =90°，点D 为侧棱BB 1上的动点，∴当AD +DC 1最小时，BD =1，此时三棱锥D －ABC 1的体积V D−ABC 1=V C 1−ABD =13×S △ABD ×B 1C 1=13×12×AB ×BD ×B 1C 1=13×12×1×1×2=13．13(★★★) 已知△SAB 是边长为2的等边三角形，∠ACB =45°，当三棱锥S －ABC 体积最大时，其外接球的表面积为 .【答案】28π3【解析】由题可知，平面CAB ⊥平面SAB ，且CA =CB 时，三棱锥S －ABC 体积达到最大，如右图所示， 则点D ，点E 分别为△ASB ，△ACB 的外心，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂直交于点O ．∴点O 是此三棱锥外接球的球心，AO 即为球的半径．在△ACB 中，AB =2，∠ACB =45°⇒∠AEB =90°，由正弦定理可知，AB sin∠ACB =2AE ，∴AE =EB =EC =√2，延长CE 交AB 于点F ，延长SD 交AB 于点F ，∴四边形EFDO 是矩形，且OE ⊥平面ACB ，则有OE ⊥AE ，又∵OE =DF =13SF =13×√32AB =√33， ∴OA =√OE 2+AE 2=√73．∴S 球表面积=4πR 2=4π×( √73)2=28π3．14(★★★)如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°．若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 ．【答案】12【解析】如图，M是AC的中点．①当AD=t <AM=√3时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AE，DM=√3－t，由△ADE∽△BDM，可得ℎ1=√(√3−t)2+1，∴ℎ=√(√3−t)2+1，V=13⋅12⋅(2√3−t)⋅1⋅√(√3−t)2+1=16√3−t)2√(√3−t)2+1，t∈(0，√3)②当AD=t>AM=√3时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AH，DM=t－√3，由等面积，可得12⋅AD⋅BM=12⋅BD⋅AH，∴1 2⋅t⋅1=12√(t−√3)2+1，∴ℎ=√(√3−t)2+1，∴V=13⋅12⋅(2√3−t)⋅1√(√3−t)2+1=16⋅√3−t)2√(√3−t)2+1，t∈(√3，2√3)综上所述，V=16√3−t)2√(√3−t)2+1，t∈(0，2√3)令m=√(√3−t)2+1∈[1，2)，则V=16⋅4−m2m，∴m=1时，V max=12．故答案为12．。

初中数学教案立体几何的体积与表面积初中数学教案：立体几何的体积与表面积一、引言在初中数学中，立体几何是一个重要的章节。

了解立体的体积和表面积是解决问题的基础，本教案将围绕这一主题展开。

二、认识体积1. 学生现有知识回顾请学生回顾一下他们对体积的初步理解。

让他们分享一些例子，如一个立方体或一个圆柱体。

2. 引导学生理解体积的概念通过展示不同形状的物体，向学生解释体积是物体所占空间的量度。

强调体积是三维空间的属性，需要用立方单位来表示。

3. 学习计算体积的公式介绍常见立体图形的体积计算公式，如长方体、正方体、圆柱体等。

通过示例演示如何使用公式计算体积。

4. 练习计算体积提供一些实际问题，让学生运用所学的知识计算物体的体积。

鼓励他们在小组或个人中合作解决问题，并及时给予反馈。

三、认识表面积1. 学生现有知识回顾请学生回顾一下他们对表面积的初步认识。

让他们分享一些例子，如一个长方体或一个球体。

2. 引导学生理解表面积的概念通过展示不同形状的物体，向学生解释表面积是物体外部所占的总面积。

指出表面积是二维属性，需要用平方单位来表示。

3. 学习计算表面积的公式介绍常见立体图形的表面积计算公式，如长方体、正方体、球体等。

通过示例演示如何使用公式计算表面积。

4. 练习计算表面积提供一些实际问题，让学生运用所学的知识计算物体的表面积。

鼓励他们在小组或个人中合作解决问题，并给予适当的指导。

四、整合综合练习将体积和表面积的知识整合起来，提供一些综合性问题，让学生综合运用所学的知识解决问题。

鼓励学生思考并提供不同的解决方法。

五、拓展应用提供一些较难的挑战问题，引导学生深入思考和应用立体几何的体积和表面积知识解决问题。

鼓励学生尝试不同的方法，并分享解决思路。

六、课堂总结总结本节课学习的内容，强调体积和表面积是解决立体几何问题的重要基础。

鼓励学生加强练习，巩固所学知识。

七、作业布置为学生布置一些相关的练习题，让他们在课余时间继续巩固体积和表面积的计算方法。

第45讲空间几何体的表面积和体积
一．复习目标：
1.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.
2.会应用公式求几何体的表面积和体积。

二．知识回顾：
V
题型一、求几何体的表面积
例1［2010年高考安徽卷］一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( ) A.280 B.292 C.360 D.372
练习：（2010福建文数）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( ) A ． B ．2 C ． D ．6
题型二、求几何体的体积
例2（2010浙江文数）（8）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
练习：［2010年高考天津卷］一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
题型三、等体积问题
例3（2010湖北文数）.圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是____cm
四、课堂小结：
160322433203352
3
通过三视图求体积和表面积是高考的重点。

这节课我们对其进行了基本的讲解，怎么样看三视图确定几何体的结构，再合理的应用公式求解。

五、课后作业：
练习一张。