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上海市金山中学高二数学下学期期中试题

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1 上海市金山中学高二数学下学期期中试题

（考试时间：120分钟 满分：150分）

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．双曲线1322yx的两条渐近线的方程为 30xy ．

2．若点8,2M在抛物线pxy22的准线上，则实数p的值为 4 .

3．在棱长为2的正方体1111DCBAABCD中，异面直线AB和1CC的距离为 2 ．

4．过点(3,4)P的圆2225xy的切线方程为 34250xy ．

5．椭圆221259xy上的点M到左焦点1F的距离为2，N是1MF中点，则||ON 4 .

6．已知三棱锥ABCP满足PCPBPA，则点P在平面ABC上的射影是三角形ABC 的

外 心.

7．如图，已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如下图所示，则该凸多面体的体积V 216 ．

8．在北纬60圈上有,AB两地，他们在纬度圈上的弧长等于2R(R是地球的半径)，则,AB 两地的球面距离是 3R .

9．将一个半径为2的半圆面围成一个圆锥，所得圆锥的轴截面面积等于

3 .

10．已知抛物线xy342的准线过椭圆22221(0,0)xyabab的一个焦点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍, 则该椭圆的方程为 1422yx .

11．已知长方体1111ABCDABCD中，12,1,1ABADAA，点E在棱AB上移动，当AE

2 时，直线1DE与平面11AADD所成角为45.

12．空间四边形,8,ABCDABCDMNP、、分别为BDACBC、、的中点，若异面直线AB和CD成60的角，则MN 4或43 ．

13．如图，在正方体1111DCBAABCD中，1AB，1DD中点为Q，过A、Q、1B三点的截面面积为 98 ． 第7题

A1A1B1C1DC

B

第13题 Q

D

2 14．面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为4,3,2,1iai ，此四边形内任一点P到第i条边的距离为4,3,2,1ihi，若kaaaa43214321，则12342234Shhhhk；根据以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积为4321,,,iSi，此三棱锥内任一点Q到i个面的距离为1,2,3,4iHi，若kSSSS43214321，则4321432HHHH

3Vk .

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．“方程22121xymm表示双曲线”的一个充要条件是 （ C ）

A．21m B． 0m C．2m或1m D．0m

16．已知A，B，C，D是空间四点．命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的 （ A ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

17．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出ABCDEF、、、、、这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母ABC、、对面的字母依次分别为

（ C ）

第18题 C

第17题 A E B D B

C C A

3

A．DEF、、 B． FDE、、 C．EDF、、 D．EFD、、

18．如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，ABCD、是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点．已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为 （ D ）

A．2 B．3 C．6 D．102

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）

如图，在体积为16的正四棱柱1111ABCDABCD中，点M是1DD的中点，12DDAD．

（1）求棱BC的长；

（2）求异面直线1AD与1CM所成角的大小．

解：（1）2BC …………………………4分

（2）连1BC，则11//BCAD

1MCB或其补角为直线1AD与1CM所成的角 …………6分

在1MCB中，1122,25,23MCBCMB，

110cos5MCB

直线1AD与1CM所成角的大小为10arccos5 …………12分

20．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

如图，已知PA平面ABCD，112PAABADCD，90BADADC．

（1）求直线PD与平面PAB所成角的大小；

（2）求点B到平面PCD的距离．

解：（1）PA平面ABCD，PAAD，

又090BADAD平面PAB

DPA是直线PD与平面PAB所成的角 …………3分 A C D

B A1 B1 C1 D1

M

第19题

P

B

C D A

第20题

4 4DPA，所以直线PD与平面PAB所成的角为4 …………6分

（2） BPCDPBCDVV ………………8分

而111211323PBCDV ………………………10分

2PD，2PCDS， ………………………12分

13BPCDPCDVSd，所以22d，即点B到平面PCD的距离为22 ……14分

21．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

如图，在四棱锥CD中，底面CD为矩形，平面CD，点在线段C上，C平面D．

（1）求证：D平面C；

（2）若1，2D，求二面角C的大小．

解：（1）

证明：∵PAABCD平面，BDABCD平面

∴PABD．

同理由PCBDE平面，可证得PCBD．

又PAPCP，∴BDPAC平面． …………………………………6分

（2）解法一：设,ACBD的交点为O，过点O作OFPC于点F，连BF

易证BFO为二面角C的平面角 …………………………………9分

由（1）知BOACABCD为正方形2AB，

在RtBFO中，22,,tan33BOOFBFO，

二面角BPCA的大小为arctan3…………………………………14分

解法二：

分别以射线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Axyz．

由(1)知BDPAC平面，又ACPAC平面， ∴BDAC．

故矩形ABCD为正方形，∴2ABBCCDAD＝＝＝＝．

∴00020022()()00(20001)()()ABCDP，，，，，，，，，，，，，，．

∴ 2,0,1,0,2,0,2,2,0PBBCBD． A D

C P

第21题 B E

5 设平面PBC的一个法向量为(,,)nxyz，则00nPBnBC，即2000200xyzxyz，

∴20zxy，取1x，得(1,0,2)n．

∵BDPAC平面，∴(2,2,0)BD为平面PAC的一个法向量．

所以10cos,10nBDnBDnBD．

设二面角BPCA的平面角为，由图知02，则10coscos,D10n

二面角BPCA的大小为10arccos10 …………………………………14分

22．（本题满分16分，第（1）小题7分，第（2）小题9分）

如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等. 铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm，加工中不计损失）.

（1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；

（2）若每块钢板的厚度为12mm，求钉身的长度（结果精确到1mm）.

19

38 20

图1 第22题 38

12 12

19 20

图2

6

解：设钉身的高为h，钉身的底面半径为r，钉帽的底面半径为R，由题意可知：……1分

（1） 圆柱的高382Rh ………………………………………2分

圆柱的侧面积rhS21760……………………………………………3分

半球的表面积1083421222RRS……………………………5分

所以铆钉的表面积21SSS18431083760(2mm)……7分

（2）240024100121hrV …………………………9分

31371819323421332RV …………………11分

设钉身长度为l，则lrV23l100 …………………12分

由于213VVV,所以l1003137182400， …………………14分

解得70lmm ………………15分

答：钉身的表面积为21843mm，钉身的长度约为mm70． ………16分

23 ．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是22440xyy，双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点．

（1）试求双曲线的标准方程；

（2）记双曲线的左、右焦点为1F、2F，试在“8”字形

曲线上求点P，使得12FPF是直角．

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上海市金山中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案

上海市金山中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案

金山中学2019学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷

（考试时间：120分钟 满分：150分 命题人： 审核人：）

一、填空题：（第1-6题，每题4分；第7-12题，每题5分）

1．半径为32的球的表面积为__________．

2．若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为___________．

3．有一山坡倾斜角为30°，若在斜坡平面内沿着一条与斜坡线成45°角的直路前进了100米，则升高了________米．

4．正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为_________．

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________．

6．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有_________．

7．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为__________．

8．某批种子，如果每粒种子的发芽概率是89，则播下5粒种子恰有3粒发芽的概率为_________．

9．从总体中随机抽取的样本为11，3，1，1，1，3，2，2，0，0，则该总体的标准差的点估计值是______．

10．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AMMP，则点P形成的轨迹长度为________．

11．边长为1的正方体1111ABCDABCD中，P在线段1BC上，Q在线段BC上，则1DPPQ的最小值为________．

12．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，M为线段1AB上的动点，则（1）三棱锥1MDCC的体积为定值；（2）11DCDM；（3）1AMD的最大值为90°；（4）1AMMD的最小值为2．其中正确的序号是_________．

2020-2021学年上海市金山区亭林中学高二(下)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年上海市金山区亭林中学高二(下)期中数学试卷(附答案详解)

第1页，共16页

2020-2021学年上海市金山区亭林中学高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）

1. 已知𝑧∈𝐶，“𝑧+𝑧=0”是“z为纯虚数”的( )

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

2. 设直线a，b与平面𝛼所成的角相等，则直线a，b的位置关系为( )

A. 平行 B. 平行或异面

C. 平行或相交 D. 平行、相交或异面

3. 请将如表格填写完整，从表格中你猜想对一切复数z可以成立的一个结论是( )

复数𝑧=𝑎+𝑏𝑖(𝑎,𝑏∈𝑅) 𝑎+𝑏 |𝑧|

𝑧1=1+𝑖 2 √2

𝑧2=3−𝑖

𝑧3=−4+2𝑖

𝑧4=−3+5𝑖

𝑧5=−1−𝑖

A. |𝑎+𝑏|≥|𝑧| B. |𝑎+𝑏|≤|𝑧|

C. 若|𝑎+𝑏|=2，那么|𝑧|≥2 D. 表格中没有任何规律

4. 一个正方体的展开图如图所示，𝐵,𝐶,𝐷为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点。在原来的正方体中， CD与AB所成角的余弦值为( )

A. √510

B. √105

C. √55

D. √1010

二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）

5. 已知a、b、c为不重合的三条直线，且𝑎//𝑐，𝑏//𝑐，则a与b的位置关系是______．

6. 半径为1的球的表面积是______． 第2页，共16页 7. 若复数𝑧=21+𝑖，其中i为虚数单位，则𝑧=______．

8. 若复数𝑧=2𝑖1−𝑖，其中i为虚数单位，则|𝑧|=______．

9. 如图所示，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，P是棱𝐷1𝐶1的中点，则异面直线PA与𝐵𝐵1所成的角的大小为______.(用反三角函数值表示)

10. 已知(2𝑥−𝑦)+𝑖=2−(3−𝑦)𝑖，其中x、𝑦∈𝑅，则𝑥=______．

上海市金山中学高二数学下学期期中试题

上海市金山中学高二数学下学期期中试题

1 上海市金山中学高二数学下学期期中试题

（考试时间：120分钟 满分：150分）

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．双曲线1322yx的两条渐近线的方程为 30xy ．

2．若点8,2M在抛物线pxy22的准线上，则实数p的值为 4 .

3．在棱长为2的正方体1111DCBAABCD中，异面直线AB和1CC的距离为 2 ．

4．过点(3,4)P的圆2225xy的切线方程为 34250xy ．

5．椭圆221259xy上的点M到左焦点1F的距离为2，N是1MF中点，则||ON 4 .

6．已知三棱锥ABCP满足PCPBPA，则点P在平面ABC上的射影是三角形ABC 的

外 心.

7．如图，已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如下图所示，则该凸多面体的体积V 216 ．

8．在北纬60圈上有,AB两地，他们在纬度圈上的弧长等于2R(R是地球的半径)，则,AB 两地的球面距离是 3R .

9．将一个半径为2的半圆面围成一个圆锥，所得圆锥的轴截面面积等于

3 .

10．已知抛物线xy342的准线过椭圆22221(0,0)xyabab的一个焦点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍, 则该椭圆的方程为 1422yx .

11．已知长方体1111ABCDABCD中，12,1,1ABADAA，点E在棱AB上移动，当AE

2 时，直线1DE与平面11AADD所成角为45.

12．空间四边形,8,ABCDABCDMNP、、分别为BDACBC、、的中点，若异面直线AB和CD成60的角，则MN 4或43 ．

上海市金山中学高二数学下学期期中试题 2

上海市金山中学高二数学下学期期中试题 2

- 1 - 上海市金山中学2016-2017学年高二数学下学期期中试题

一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分）

1、在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是 ▲ 。

2、直线1:330lxy与2:10lxy的夹角的大小为 ▲ 。 (结果用反三角函数表示)

3、已知m为实数，i为虚数单位，若240mmi，则2222mii= ▲ 。

4、复数z满足=1zi（i为虚数单位），则+2zi的最大值为 ▲ 。

5、在正四棱锥PABCD中，所有棱长都为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为 ▲ 。(结果用反三角函数表示)

6、已知抛物线E：24xy，直线l：1yx，则直线l被抛物线E截得的弦长为 ▲ 。

7、已知复数z满足33zi（其中i为虚数单位），则对应点位于第三象限的z的值为 ▲ 。

8、在水平放置的平面上画一个边长为2的正三角形，在“斜二测”画法中线段AB的长度为

▲ 。

9、如图，已知圆锥的底面半径为10r，点Q为半圆弧AB的中点，点P为母线SA的中点．若PQ与SO所成角为4，则此圆锥的侧面积为 ▲ 。

10、过定点2,3的直线与双曲线224xy的右半支只有一个交点，则该直线的倾斜角的取值范围是 ▲ 。

11、在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，M为线段1AB上的动点，写出所有正确结论的代号 ▲ 。

①三棱锥M﹣DCC1的体积为定值；②DC1⊥D1M；③∠AMD1的最大值为90°；④AM+MD1的最小值为2。

- 2 - 12、《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（左右、前后对称如图），下底面宽3AD丈，长4AB丈，上棱2EF丈，EF∥平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是 ▲ （立方丈）。