上海市金山中学高二数学下学期期中试题
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- 1 - 金山中学2017学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷
（时间120分钟 满分150分）
一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．
1. 已知集合{2,3}A，{1,2,}Ba，若AB，则实数a________.
2. 若函数()2xfx的反函数为1()fx，则1(1)f________.
3. 函数cossinsincosxxyxx的最小正周期T________.
4. 已知抛物线24yx的焦点与圆2240xymx的圆心重合，则m的值是________.
5. 若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是________.
6. 已知一个正四棱锥的底面正方形边长为2，侧棱长为2，则该棱锥的侧棱与底面所成角的大小为________.
7. 若一个圆锥的母线长为2，母线与旋转轴的夹角大小为30，则这个圆锥的侧面积为______.
8. 已知长方体的三条棱长分别为1，1，2，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为________.
9. 从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是________.
10. 在ABC中，D为边BC的中点，动点E在线段AD上移动时，若BEABCB，则s的最大值为________.
11. 已知椭圆22154xy的左、右顶点分别为A、B，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为、，则cos()cos()________.
12. 设正方体1111ABCDABCD的棱长为2，为过直线1BD的平面，则截该正方体的截面面积的取值范围是________.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的- 2 - 相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13.已知1l、2l、3l是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是…………………………（ ）
(A) 若12ll，23//ll，则13ll (B) 若12//ll，23//ll，则1l、2l、3l共面
(C) 若12ll，23ll，则13ll (D) 若1l、2l、3l共点，则1l、2l、3l共面
14.设6656510(31)xaxaxaxa，则0126||||||||aaaa的值为…（ ）
(A) 62 (B) 64 (C) 65 (D) 6624
15.已知数列{}na和{}nb对任意的*nN都有nnab，当n时，数列{}na和{}nb的极限分别是A和B，则………………………………………………………………………（ ）
(A) AB (B) AB
(C) AB (D) A和B的大小关系不确定
16.已知ABC的一边BC在平面内，A，点A在平面内的射影为点P，则BAC与BPC的大小关系为………………………………………………………………………（ ）
(A) BACBPC (B) BACBPC
(C) BACBPC (D) 以上情况都有可能
三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17. (本题满分14分)
设复数22(4sin)2(1cos)zai，其中aR，(0,)，i为虚数单位. 若z是方程2220xx的一个根，且z在复平面内对应的点在第一象限，求与a的值.
18. (本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．
已知椭圆2222:1(0)xyabab的右焦点为(1,0)F，且过点3(1,)2. 过焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆交于A、B两点(点A在x轴上方)，点- 3 - A关于坐标原点的对称点为P，直线PA、PB分别交直线:4lx于M、N两点.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 当直线AB的斜率为3时，求OMON的值.
第18题 图
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分.
如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA平面ABCD，且四棱锥的体积为83，M是PD的中点.
(1) 求异面直线PB与CM所成角的大小；
(2) 求点B到平面PCD的距离.
第19题 图
20. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题6分.
设常数aR，函数()()||fxaxx.
(1) 若1a，求()fx的单调递减区间；
(2) 若()fx为奇函数，且关于x的不等式()1mxfx对所有的[1,2]x恒成立，求实数m的取值范围；
(3) 当0a时，若方程()fxa有三个不相等的实数根1x、2x、3x，且1235xxx，求实数a的值. - 4 -
21. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第(1)小题4分，第(2)小题10分，第(3)小题4分.
若存在常数(01)pp，使得数列{}na满足1||nnnaap对一切*nN恒成立，则称{}na为“可控数列”.
(1) 若数列{}na的通项公式为1*()12nnaNn，试判断数列{}na是否为“可控数列”？并说明理由；
(2) 若{}na是首项为5的“可控数列”，且单调递减，问是否存在常数p，使lim4nna？若存在，求出p的值；若不存在，请说明理由；
(3) 若“可控数列”{}na的首项为2，1p，求2018a不同取值的个数及最大值.(直接写出结果)
- 5 - 金山中学2017学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷
参考答案
一、填空题：
1. 3； 2. 0； 3.；
4. 2； 5. 2； 6. 45；
7. 2； 8. 6； 9. 12；
10. 18； 11. 19； 12.22,26.
二、选择题：
13. A； 14. B； 15. B； 16. D.
三、简答题：
17．解：方程2220xx的根为1xi. ……………………………………………(4分)
又z在复平面内对应的点在第一象限，1zi. ……………………………(6分)
2212(1co4ss1n)ia, ………………………………………………………………(8分)
解得1cos2.
又(0,)，23. …………………………………………………………(11分)
从而2a. ……………………………………………………………………… (13分)
所以3,2a. ……………………………………………………………(14分)
18．(1) 解：由222211914abab, ………………………………………………………………(2分)
解得2243ab.
所以椭圆的方程为22143xy. ……………………………………………(4分)
(2) 解：直线AB的方程为3(1)yx. …………………………………………………(5分) - 6 - 由223(1)143yxxy ，得03xy或85335xy.
所以833(,)55A，(0,3)B，从而833(,)55P. …………………………(8分)
因而，直线PA的方程为338yx，33(4,)2M. …………………………(10分)
直线PB的方程为334yx，(4,23)N. …………………………(12分)
1697OMON. …………………………………………………………(14分)
19．(1) 解：PA平面ABCD，由13VSPA，得2PA. ………………………(1分)
连结AC、BD交于点O,连结OM,则//OMPB.
故OMC是异面直线PB与CM所成的角. ………………………………(3分)
又122OMPB，122OCAC，
226CMCDMD. …………………………………………………(6分)
在OMC中，222cos322OMCMOCOMCOMCM,6OMC.
故异面直线PB与CM所成角的大小为6. …………………………………(8分)
- 7 - (2) 解： 设点B到平面PCD的距离为h，则12233CBPDDCPVShh.…………(10分)
又1433BCDPBCDVSPA. …………………………………………………(12分)
由BPCDPBCDVV，得2h.
即点B到平面PCD的距离为2. ………………………………………………(14分)
20．(1) 解： 当1a时，
(1),()(1)||0(1),0xxxfxxxxxx.
如图知，()fx的单调递减区间为(,0]和1[,2). …………………(4分)
(2) 解：由()fx为奇函数，得()()fxfx，解得0a. …………………………(5分)
当[1,2]x时，2()fxx.
从而21mxx，1()maxmxx. ………………………………………………(8分)
又1yxx在[1,2]x上递增，故当2x时，)521(maxxx.
故52m. ……………(10分)
(3) 解：当0a时，0(),,(0)()axxxfxxxax.
如图，()fxa要有三个不相等的实根，
则204aa，解得4a. ………………………………………………………………(12分)
不妨设123xxx，
