2017-2018学年高中数学 第二章 解析几何初步 2.2 圆与圆的方程 2.2.2 圆的一般方程

2.2 圆的一般方程

1.掌握圆的一般方程.(重点)

2.了解二元二次方程表示圆的条件.(难点)

3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.(难点)

[基础·初探]

教材整理 圆的一般方程

阅读教材P81“练习”以下至P82“例3”以上部分，完成下列问题.

1.圆的一般方程的定义：当D2＋E2－4F＞0时，称二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0为圆的一般方程.

2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形：

方程 条件 方程的解的情况 图形

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F<0 没有实数解 不表示任何图形

D2＋E2－4F＝0 只有一个实数解 表示一个点－D2，－E2

D2＋E2－4F>0 无数个解 表示以－D2，－E2为圆心，以12D2＋E2－4F为半径的圆

将圆的一般方程x2＋y2＋2x－4y－4＝0化为标准方程为______.

【解析】 x2＋y2＋2x－4y－4＝0可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝9.

【答案】 (x＋1)2＋(y－2)2＝32

[小组合作型]

二元二次方程与圆的关系

判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆.若能表示圆，求出圆心

2 和半径；若不能，请说明理由.

【精彩点拨】 解答本题可直接利用D2＋E2－4F>0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数.

【自主解答】 法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，

可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，

∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，

因此，当m＝2时，它表示一个点；

当m≠2时，原方程表示圆的方程，

此时，圆的圆心为(2m，－m)，

半径为r＝12D2＋E2－4F＝5|m－2|.

法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，

因此，当m＝2时，它表示一个点；

当m≠2时，表示圆的方程，

此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝5|m－2|.

解决这种类型的题目，一般要看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即(1)x2与y2的系数是否相等；(2)不含xy项.当它具有圆的一般方程的特征时，再看D2＋E2－4F>0是否成立，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察等号右边是否为正数.

[再练一题]

1.如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的范围是________.

【解析】 由题意可知(－2)2＋12－4k>0，即k<54.

【答案】 －∞，54

求圆的一般方程

求圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程.

【精彩点拨】 设圆的一般式方程→代入点的坐标→得到圆的方程

【自主解答】 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心是－D2，－E2，由题意知， 3  －D2＝－E2，2－D＋E＋F＝0，10＋3D－E＋F＝0，

解得D＝E＝－4，F＝－2，

即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0.

【答案】 x2＋y2－4x－4y－2＝0

用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择：

(1)如果由已知条件容易求圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.

(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D，E，F.

[再练一题]

2.已知A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)，求△ABC外接圆的方程.

【解】 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.

把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D，E，F的三元一次方程组：

即 F＝0，D＋E＋F＋2＝0，4D＋2E＋F＋20＝0，

解此方程组，可得D＝－8，E＝6，F＝0，

∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.

[探究共研型]

与圆有关的轨迹问题

探究1 已知⊙O的方程为x2＋y2＝25，动弦AB的长为8，请求出弦AB的中点P的轨迹方程.

【提示】 ∵|OP|＝52－12×82＝3，

∴点P的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，

∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝9.

探究2 已知Rt△ABC的两个顶点A(－1,0)和B(3,0)，求直角顶点C的轨迹方程.

4 【提示】 法一：设顶点C(x，y)，

因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，

所以x≠3且x≠－1.又kAC＝yx＋1，kBC＝yx－3，

且kAC·kBC＝－1，所以yx＋1·yx－3＝－1，

化简得x2＋y2－2x－3＝0.

因此，直角顶点C的轨迹方程为

x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1).

法二：取线段AB中点D，则|CD|＝12|AB|＝2，又D(1,0)，所以点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4.(x≠3，且x≠－1).

已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.

【导学号：39292103】

【精彩点拨】 点M随点A运动而运动，将A点坐标用B，M两点坐标表示，再将A点坐标代入圆的方程，即得M点的轨迹方程.

【自主解答】 设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点B的坐标是(4,3)且点M是线段AB的中点，所以x＝x0＋42，y＝y0＋32，

于是有x0＝2x－4，y0＝2y－3. ①

因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，

所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，

即(x0＋1)2＋y20＝4， ②

把①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，

整理，得x2＋y2－3x－3y＋72＝0.

所以点M的轨迹方程是x2＋y2－3x－3y＋72＝0.

用代入法求轨迹方程的一般步骤： 5

[再练一题]

3.过原点O作圆x2＋y2－8x＝0的弦OA，求弦OA中点M的轨迹方程.

【解】 设M(x，y)，A(x0，y0)，依题意得x＝x02，y＝y02，所以x0＝2x，y0＝2y.

又A在圆x2＋y2－8x＝0上，

所以4x2＋4y2－16x＝0，即x2＋y2－4x＝0.

故弦OA中点M的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0.

1.圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为( )

A.(1,2) B.(1，－2)

C.(－1,2) D.(－1，－2)

【解析】 将圆的方程化为标准方程(x－1)2＋(y＋2)2＝5，可知其圆心坐标是(1，－2).

【答案】 B

2.方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( )

A.m≤2 B.m<12

C.m<2 D.m≤12

【解析】 由r＝12D2＋E2－4F>0，得(－1)2＋12－4m>0，即m<12.

【答案】 B

3.圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.

【解析】 圆心(1,2)到直线3x＋4y＋4＝0的距离为|3×1＋4×2＋4|32＋42＝3.

【答案】 3

6 4.圆x2＋y2－2x－4y－11＝0关于点P(－2,1)对称的圆的方程是________.

【导学号：39292104】

【解析】 由x2＋y2－2x－4y－11＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝16.

圆心(1,2)关于P(－2,1)的对称点为(－5,0)，

所求圆的方程为(x＋5)2＋y2＝16，化为一般式为x2＋y2＋10x＋9＝0.

【答案】 x2＋y2＋10x＋9＝0

5.已知圆x2＋y2＝4上一点为A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求PQ中点的轨迹方程.

【解】 (1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y).

∵P点在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.

(2)设PQ的中点N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，

所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.

故PQ中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.