2018版高中数学第二章平面解析几何初步2_3_2圆的一般方程学案新人教B版必修2
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1 2．3.2 圆的一般方程
学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．
知识点 圆的一般方程
思考1 方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？
思考2 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆？
梳理
方程 条件 图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点(－D2，－E2)
D2＋E2－4F>0 表示以(－D2，－E2)为圆心，以12D2＋E2－4F为半径的圆
类型一 圆的一般方程的概念
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径．
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反思与感悟 形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法
(1)由圆的一般方程的定义，D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．
应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．
跟踪训练1 (1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________．
(2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．
类型二 求圆的一般方程
例2 已知点A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．
(1)求△ABC的外接圆的一般方程；
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．
引申探究
若本例中将点“C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？
反思与感悟 应用待定系数法求圆的方程时应注意
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
跟踪训练2 已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程．
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类型三 求轨迹方程
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
反思与感悟 求轨迹方程的三种常用方法
(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明．
(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程．
特别提醒：在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，即应排除不合适的点．
跟踪训练3 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为( )
A．8π B．4π
C．2π D．π
2．若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0
C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0
3．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( ) 百度文库
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4 A．m≤2 B．m＜12
C．m＜2 D．m≤12
4．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为( )
A．－2,4,4 B．－2，－4,4
C．2，－4,4 D．2，－4，－4
5.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程．
1．判断二元二次方程表示圆要“两看”：
一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆．此时判断D2＋E2－4F是否大于0或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数．
2．待定系数法求圆的方程
如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D、E、F.
3．求轨迹方程的一般步骤：
(1)建立适当坐标系，设动点M的坐标(x，y)．
(2)列出点M满足条件的集合．
(3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)＝0.
(4)将上述方程化简．
(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．
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5 答案精析
问题导学
知识点
思考1 对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆；
对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形．
思考2 对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方并移项，得
(x＋D2)2＋(y＋E2)2＝D2＋E2－4F4.
①当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以(－D2，－E2)为圆心，12D2＋E2－4F为半径的圆；
②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－D2，y＝－E2，它表示一个点(－D2，－E2)；
③当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解，它不表示任何图形．
题型探究
例1 解 由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得m<15，
即实数m的取值范围为(－∞，15)．
圆心坐标为(－m,1)，半径为1－5m.
跟踪训练1 (1)(－2，－4) 5 (2)9π
解析 (1)由圆的一般方程知，a＋2＝a2，得a＝2或－1.
当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋52＝0，
∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×52＜0，
∴a＝2不符合题意；
当a＝－1时，
方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.
(2)圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标为(－k2，－1)， 百度文库
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6 由圆的性质知，直线x－y＋1＝0经过圆心，
∴－k2＋1＋1＝0，得k＝4，
∴圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为
1242＋22＋16＝3，
∴该圆的面积为9π.
例2 解 (1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意，
得 22＋22＋2D＋2E＋F＝0，52＋32＋5D＋3E＋F＝0，32＋－12＋3D－E＋F＝0，
解得 D＝－8，E＝－2，F＝12.
即△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
(2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，
∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，
∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6.
引申探究
解 ∵kAB＝3－25－2＝13，AB的中点坐标为(72，52)，
∴AB的垂直平分线方程为
y－52＝－3(x－72)．
联立方程
y＝－x，y－52＝－3x－72，
得 x＝132，y＝－132，
即圆心C的坐标为(132，－132)， 百度文库
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7 r＝ 132－22＋－132－22＝ 3702，
∴圆C的方程为(x－132)2＋(y＋132)2＝1852.
跟踪训练2 解 方法一 (待定系数法)
设圆的一般方程方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P，Q点的坐标分别代入上式，得
4D－2E＋F＋20＝0， ①D－3E－F－10＝0. ②
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，③
由已知，得|y1－y2|＝43，其中y1，y2是方程③的根，
∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.
联立①②④，解得
D＝－2，E＝0，F＝－12或 D＝－10，E＝－8，F＝4.
故圆的一般方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
方法二 (几何法)
由题意，得线段PQ的垂直平分线方程为x－y－1＝0，
∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，
设其坐标为(a，a－1)．
又圆C的半径
r＝|CP|＝a－42＋a＋12.①
由已知得圆C截y轴所得的线段长为43，而圆心C到y轴的距离为|a|，
∴r2＝a2＋(432)2，代入①整理得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，
∴r＝13或r＝37.
故圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
例3 解 (1)设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则
D(32，－12)．
又kAB＝－3，所以km＝13，
所以直线m的方程为x－3y－3＝0.
