高中数学 第二章 解析几何初步 2.2 圆与圆的方程 2.2.1 圆的标准方程课件 北师大版必修2

第二章解析几何初步（二）—圆

第1页共8页知识点部分：

1.圆的定义：

平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆．定点就是圆心，定长就是半径．

2.圆的标准方程：

圆的标准方程（x﹣a）2

+（y﹣b）2

＝r2

，圆心为（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），

半径为r时，圆的标准方程为x2

+y2

＝r2

．

3.圆的一般方程：

（1）圆的一般方程x2

+y2

+Dx+Ey+F＝0．

①当D2

+E2

﹣4F＞0

时，表示圆心（﹣

，﹣）

，半径为的圆；

②当D2

+E2

﹣4F＝0

时，表示点（﹣

，﹣）；

③当D2

+E2

﹣4F＜0时，不表示任何图形．

（2）形如Ax2

+Bxy+Cy2

+Dx+Ey+F＝0的方程表示圆的条件：

①A＝C≠0；②B＝0；③D2

+E2

﹣4F＞0．

4．直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系

（2）判断直线与圆的位置关系的方法

直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2

+（y﹣b）2

＝r2

（r＞0）的位置关系的判断方法：

①几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离

d＝

相交：d＜r；相切：d＝r；相离：d＞r

②代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．

由消元，得到一元二次方程的判别式△

相交：△＞0；相切：△＝0；相离：△＜0．第二章解析几何初步（二）—圆

第2页共8页5．圆与圆的位置关系及其判定（1）圆与圆的位置关系

（2）圆与圆的位置关系的判定

设两圆圆心分别为O

1，O

2，半径分别为r

1，r

2，|O

1O

2|＝d

利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断

①外离（4条公切线）：d＞r

1+r

2

②外切（3条公切线）：d＝r

1+r

2

③相交（2条公切线）：|r

1﹣r

2|＜d＜r

1+r

2

④内切（1条公切线）：d＝|r

1﹣r

2|

⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r

1﹣r

2|

练习题部分：

1．圆（x+1）2

+y2

＝4的圆心坐标和半径分别是（）

A．（1，0），2B．（﹣1，0），2C．（1，0），4D．（﹣1，0），4

1 2.2 圆与圆的方程

一、知识清单

（一）圆的定义及方程

定义 平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹

标准

方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)，半径：r

一般

方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

(D2＋E2－4F>0) 圆心：－D2，－E2，

半径：12D2＋E2－4F

1、圆的标准方程与一般方程的互化

（1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

（2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：

(x＋D2)2＋(y＋E2)2＝D2＋E2－4F4

①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以(－D2，－E2)为圆心，12D2＋E2－4F为半径的圆；

②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－D2，y＝－E2，即只表示一个点(－D2，－E2)；③当D2＋E2－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

2、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数 都为1 ，没有 xy 的二次项.

3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

（二）点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：

（1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.

（2）若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.

（3）若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2

（三）温馨提示 1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：

（1）B＝0； （2）A＝C≠0； （3）D2＋E2－4AF＞0.

2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．

- 1 - 第四章 圆 与 方 程

4.1 圆 的 方 程

4.1.1 圆的标准方程

圆的标准方程

圆心为C(x0，y0)，半径为r的圆的标准方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，特别地，圆心在原点时，圆的标准方程为x2＋y2＝r2．

(1)如果圆的标准方程为(x＋x0)2＋(y＋y0)2＝a2(a≠0)，那么圆的圆心、半径分别是什么？

提示：圆心为(－x0，－y0)，半径为|a|.

(2)如果点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，那么x20 ＋y20 ＝r2，若点P在圆内呢？圆外呢？

提示：若点P在圆内，则x20 ＋y20 ＜r2；若点P在圆外，则x20 ＋y20 ＞r2.

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)

(1)圆的标准方程由圆心、半径确定．( √ )

(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( × )

(3)原点在圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2上，则x20 ＋y20 ＝r2.( √ )

提示：(1)如果圆的圆心位置、半径确定，圆的标准方程是确定的．

(2)当m＝0时，表示点(a，b). - 2 - (3)原点在圆上，则(0－x0)2＋(0－y0)2＝r2，即x20 ＋y20 ＝r2.

2．圆(x－1)2＋y2＝3的圆心坐标和半径分别是( )

A．(－1，0)，3 B．(1，0)，3

C．()－1，0，3

D．()1，0 ，3

【解析】选D.根据圆的标准方程可得，(x－1)2＋y2＝3的圆心坐标为(1，0)，半径为3 .

3．到原点的距离等于3 的点的坐标所满足的方程是________．

【解析】设点的坐标为(x，y)，根据到原点的距离等于3 以及两点间的距离公式，得（x－0）2＋（y－0）2 ＝3 ，两边平方得x2＋y2＝3，是半径为3

的圆．

答案：x2＋y2＝3

类型一 圆的标准方程的定义及求法(数学抽象、数学运算)

1 2.2 圆与圆的方程

一、知识清单

（一）圆的定义及方程

定义 平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹

标准

方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)，半径：r

一般

方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

(D2＋E2－4F>0) 圆心：－D2，－E2，

半径：12D2＋E2－4F

1、圆的标准方程与一般方程的互化

（1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

（2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：

(x＋D2)2＋(y＋E2)2＝D2＋E2－4F4

①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以(－D2，－E2)为圆心，12D2＋E2－4F为半径的圆；

②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－D2，y＝－E2，即只表示一个点(－D2，－E2)；③当D2＋E2－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

2、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数 都为1 ，没有 xy 的二次项.

3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

（二）点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：

（1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.

（2）若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.

（3）若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2

（三）温馨提示 1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：

（1）B＝0； （2）A＝C≠0； （3）D2＋E2－4AF＞0.

2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．