平面向量知识点及典型例题

1 第06讲 平面向量

1.向量：既有大小又有方向的量（也称为矢量），向量的大小也称为向量的模 简记为𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时，向量的模用|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |表示.

2.零向量，表示为：0⃗ ，|0⃗ |=0；3.模长等于1的向量称为单位向量，表示为：𝑒 ，|𝑒 |=1

3.把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量，向量𝑎 等于向量𝑏⃗ ，记作，𝑎 =𝑏⃗

把大小相等、方向相反的向量称为相反的向量，向量𝑎 的相反向量记作−𝑎 ，且𝑎 +(−𝑎 )=0⃗

4.两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行，记作，𝑎 ∥𝑏⃗ ，

两个向量平行也称为两个向量共线。零向量与任何向量都平行。

5.三角形法则

6.对任意向量𝑎 ，有𝑎 +0⃗ =0⃗ +𝑎 =𝑎

7.对任意向量𝑎 ,𝑏⃗ ，满足不等式

||𝑎 |−|𝑏⃗ ||≤|𝑎 −𝑏⃗ |≤|𝑎 |+|𝑏⃗ |

||𝑎 |+|𝑏⃗ ||≤|𝑎 +𝑏⃗ |≤|𝑎 |+|𝑏⃗ |

8．向量加法的平行四边形法则

9. 𝑎 +𝑏⃗ =𝑏⃗ +𝑎 ； (𝑎 +𝑏⃗ )+𝑐 =𝑎 +(𝑏⃗ +𝑐 )； 𝑎 −𝑏⃗ =𝑎 +(−𝑏⃗ )

10.给定一个实数𝜆与任意一个向量𝑎 ,规定它们的乘积是一个向量，记作𝜆𝑎 ,其中：

（1)当𝜆≠0且𝑎 ≠0时，𝜆𝑎 的模为|𝜆||𝑎 |,而且𝜆𝑎 的方向如下：

①当𝜆>0时，与𝑎 的方向相同； ②当𝜆<0时，与𝑎 的方向相反．

（2)当𝜆=0 或 𝑎 =0时，𝜆𝑎 =0.

数乘向量的结果是一个向量，而且这个向量与原来的向量共线（平行），即𝜆𝑎 ∥𝑎 ；

数乘向量的几何意义：把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小。 2 11.𝜆(𝜇𝑎 )=(𝜆𝜇)𝑎 ； 𝜆𝑎 +𝜇𝑎 =(𝜆+𝜇)𝑎 . ； 𝜆(𝑎 +𝑏⃗ )=𝜆𝑎 +𝜆𝑏⃗ .

12.向量平行：如果存在实数𝜆，使得𝑏⃗ =𝜆𝑎 ，则𝑎 ∥𝑏⃗ 。

13.三点共线：如果存在实数𝜆，使得𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 与𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且有公共点A，所以，𝐴,𝐵,𝐶三点共线。

14.共线向量基本定理：如果𝑎 ≠0且𝑏⃗ ∥𝑎 ,则存在唯一的实数入，使得𝑏⃗ =𝜆𝑎 .

平面向量基本定理：如果平面内两个向量𝑎 与𝑏⃗ 不共线，则对该平面内任意一个向量𝑐 ,

存在唯一的实数对(𝑥,𝑦),使得 𝑐 =𝑥𝑎 +𝑦𝑏⃗ .

15．设𝐴=(𝑥1,𝑦1),𝐵=(𝑥2,𝑦2)为平面直角坐标系中的两点，则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝑥2−𝑥1,𝑦2−𝑦1)

16. 设θ为a·与b的夹角，则θ的取值范围是0≤θ≤π

17.

数量积：a·b=|a||b|cos θ；因此cos θ=𝒂·𝒃|𝒂||𝒃|。

投影：|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影

几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积

18． 向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a.

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

19.向量𝒂,𝒃满足𝒂=(𝑥1,𝑦1),𝒃=(𝑥2,𝑦2)，则

（1）𝒂+𝒃=(𝑥1+𝑥2,𝑦1+𝑦2)；𝒂−𝒃=(𝑥1−𝑥2,𝑦1−𝑦2)；

（2）𝜆𝒂=(𝜆𝑥1,𝜆𝑦1)，𝜆𝒃=(𝜆𝑥2,𝜆𝑦2)；

（3）|𝒂|2=𝒂2； |𝒂|=√𝑥12+𝑦12，|𝒃|=√𝑥22+𝑦22；

（4）𝒂//𝒃⇔𝒂=𝜆𝒃⇔𝑥1𝑦2=𝑥2𝑦1；

（5）a·b=𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2；a⊥b ↔ a·b=0 ↔ 𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2=0

（6）cos θ=𝒂·𝒃|𝒂||𝒃|=𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2√𝑥12+𝑦12√𝑥22+𝑦22

3 【考点剖析】

考点一：向量的概念与表示

例1．下列物理量：①质量；②路程；③位移；④重力；⑤加速度.其中，不能称为向量的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】

根据物理量的定义及性质判断是否为向量即可.

【详解】

根据物理量的定义、性质知：质量、路程是标量，位移、重力、加速度为矢量即向量，

∴③④⑤是向量，①②是标量.

故选：C

变1．以下选项中，都是向量的是（ ）

A．正弦线、海拔 B．质量、摩擦力

C．△ABC的三边、体积 D．余弦线、速度

【答案】D

【分析】

根据向量的定义判断．

【详解】

表示三角函数值的正切线、余弦线、正弦线既有大小，又有方向，都是向量．海拔、质量、△ABC的三边和体积均只有大小，没有方向，不是向量．速度既有大小又有方向，是向量，

故选：D．

考点二：向量的模、零向量与单位向量

例2．下列说法： 4 ①零向量是没有方向的向量；

②零向量的方向是任意的；

③零向量与任意一个向量共线.

其中，正确说法的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】

根据零向量的定义、性质判断各项的正误即可.

【详解】

由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确；

故选：C

变2．下列说法正确的是（ ）

A．向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等

B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同

C．零向量没有方向

D．向量的模是一个正实数

【答案】A

【分析】

根据向量的概念、零向量的定义及向量模的性质，即可判断各选项的正误.

【详解】

A：𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 与𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等，方向相反，正确；

B：两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；

C：零向量的方向任意，故错误；

D：向量的模是一个非负实数，故错误.

故选：A

考点三：向量相等与向量平行（共线） 5 例3．下列说法正确的是（ ）

A．向量𝑎 与𝑏⃗ 共线，𝑏⃗ 与𝑐 共线，则𝑎 与𝑐 也共线

B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点

C．向量𝑎 与𝑏⃗ 不共线，则𝑎 与𝑏⃗ 都是非零向量

D．有相同起点的两个非零向量不平行

【答案】C

【分析】

根据共线向量（即平行向量）的定义即可求解.

【详解】

解：对于A： 𝑏⃗ 可能是零向量，故选项A错误；

对于B：两个向量可能在同一条直线上，故选项B错误；

对于C：因为0⃗ 与任何向量都是共线向量，所以选项C正确；

对于D：平行向量可能在同一条直线上，故选项D错误．

故选：C.

变3．已知向量𝑎 //𝑏⃗ ，且|𝑎 |>|𝑏⃗ |>0，则向量𝑎 +𝑏⃗ 的方向（ ）

A．与向量𝑎 的方向相同 B．与向量𝑎 的方向相反

C．与向量𝑏⃗ 的方向相同 D．不确定

【答案】A

【分析】

分别在𝑎 和𝑏⃗ 方向相同和相反两种情况下，结合模长大小关系可得结论.

【详解】

若𝑎 和𝑏⃗ 方向相同，则它们的和的方向应该与𝑎 的方向相同；

若𝑎 和𝑏⃗ 方向相反，而𝑎 的模大于𝑏⃗ 的模，则它们的和的方向与𝑎 的方向相同.

综上所述：向量𝑎 +𝑏⃗ 的方向与向量𝑎 的方向相同. 6 故选：A.

考点四：向量加法的三角形法则

例4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）

A．𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ B．𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ C．𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D．𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗

【答案】A

【分析】

根据向量加法的三角形法则计算可得；

【详解】

解： 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

故选：A

变4．在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中， 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝑎 ，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =3𝑏⃗ ，则𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 等于（ ）

A．𝑎 +𝑏⃗ B．𝑎 −𝑏⃗

C．2𝑎 +3𝑏⃗ D．2𝑎 −3𝑏⃗

【答案】C

【分析】

根据向量的运算法则，得到𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可求得.

【详解】

根据向量的运算法则，可得𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝑎 +3𝑏⃗

故选：C.

7 考点五：向量加法的平行四边形法则

例5．已知点O是▱𝐴𝐵𝐶𝐷的两条对角线的交点，则下面结论中正确的是（ ）．

A．𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ B．𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

C．𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ≠𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D．𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐶𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0⃗

【答案】B

【分析】

根据平面向量线性运算法则计算可得；

【详解】

对于A：𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故A错误；

对于B：𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，故B正确；

对于C：𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故C错误；

对于D：𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐶𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，故D错误；

故选：B

变5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝𝜋2，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D.设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑎 ，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑏⃗ ，则向量𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（ ）

A．𝑎 +𝑏⃗ B．12𝑎 +𝑏⃗

C．𝑎 +12𝑏⃗ D．𝑎 +23𝑏⃗

【答案】C

【分析】

设△ABC的外接圆圆心为O，如图，连接OD，BD，由题意可得AC为△ABC的外接圆的直径，从而可得AB＝OA＝OD，结合已知条件可得四边形ABDO是平行四边形，再利用向量的加法法则可得结论