平面向量典型例题
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专业知识整理分享 平面向量经典例题：
1. 已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，则实数λ等于( )
A．－2 B．－13
C．－1 D．－23
[答案] C
[解析] λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa＋b与c共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.
2. (文)已知向量a＝(3，1)，b＝(0,1)，c＝(k，3)，若a＋2b与c垂直，则k＝( )
A．－1 B．－3
C．－3 D．1
[答案] C
[解析] a＋2b＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)，
∵a＋2b与c垂直，∴(a＋2b)·c＝3k＋33＝0，∴k＝－3.
(理)已知a＝(1,2)，b＝(3，－1)，且a＋b与a－λb互相垂直，则实数λ的值为( )
A．－611 B．－116
C.611 D.116
[答案] C
[解析] a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)，
∵a＋b与a－λb垂直，
∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝611.
3. 设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b间的夹角为( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
[答案] B
[解析] 如图，在▱ABCD中，
∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形，∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B.
(理)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝32，a与b的夹角为60°，则|b|＝( )
A.12 B.13
C.14 D.15
[答案] A WORD格式 可编辑
专业知识整理分享 [解析] ∵|a－b|＝32，∴|a|2＋|b|2－2a·b＝34，∵|a|＝1，〈a，b〉＝60°，
设|b|＝x，则1＋x2－x＝34，∵x>0，∴x＝12.
4. 若AB→·BC→＋AB→2＝0，则△ABC必定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
[答案] B
[解析] AB→·BC→＋AB→2＝AB→·(BC→＋AB→)＝AB→·AC→＝0，∴AB→⊥AC→，
∴AB⊥AC，∴△ABC为直角三角形．
5. 若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－2,4)，则用a，b表示c为( )
A．－a＋3b B．a－3b
C．3a－b D．－3a＋b
[答案] B
[解析] 设c＝λa＋μb，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，
∴ λ＋μ＝－2λ－μ＝4，∴ λ＝1μ＝－3，∴c＝a－3b，故选B.
在平行四边形ABCD中，AC与BD交于O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC→＝a，BD→＝b，则AF→等于( )
A.14a＋12b B.23a＋13b
C.12a＋14b D.13a＋23b
[答案] B
[解析] ∵E为OD的中点，∴BE→＝3ED→，
∵DF∥AB，∴|AB||DF|＝|EB||DE|，
∴|DF|＝13|AB|，∴|CF|＝23|AB|＝23|CD|，
∴AF→＝AC→＋CF→＝AC→＋23CD→＝a＋23(OD→－OC→)＝a＋23(12b－12a)＝23a＋13b.
6. 若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则AB→·BC→的值为( )
A．19 B．14
C．－18 D．－19
[答案] D
[解析] 据已知得cosB＝72＋52－622×7×5＝1935，故AB→·BC→＝|AB→|×|BC→|×(－cosB)＝7×5×()－1935＝－19. WORD格式 可编辑
专业知识整理分享 7. 若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为( )
A．12 B．23
C．32 D．6
[答案] D
[解析] a·b＝4(x－1)＋2y＝0，∴2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥232x＋y＝6，等号在x＝12，y＝1时成立．
8. 若A，B，C是直线l上不同的三个点，若O不在l上，存在实数x使得x2OA→＋xOB→＋BC→＝0，实数x为( )
A．－1 B．0
C.－1＋52 D.1＋52
[答案] A
[解析] x2OA→＋xOB→＋OC→－OB→＝0，∴x2OA→＋(x－1)OB→＋OC→＝0，由向量共线的充要条件及A、B、C共线知，1－x－x2＝1，∴x＝0或－1，当x＝0时，BC→＝0，与条件矛盾，∴x＝－1.
9. (文)已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则AP→·(AB→＋AC→)( )
A．最大值为8 B．最小值为2
C．是定值6 D．与P的位置有关
[答案] C
[解析] 以BC的中点O为原点，直线BC为x轴建立如图坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)，A(0，3)，AB→＋AC→＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，
设P(x,0)，－1≤x≤1，则AP→＝(x，－3)，
∴AP→·(AB→＋AC→)＝(x，－3)·(0，－23)＝6，故选C.
(理)在△ABC中，D为BC边中点，若∠A＝120°，AB→·AC→＝－1，则|AD→|的最小值是( )
A.12
B.32
C.2 D.22
[答案] D
[解析] ∵∠A＝120°，AB→·AC→＝－1，∴|AB→|·|AC→|·cos120°＝－1，
∴|AB→|·|AC→|＝2，∴|AB→|2＋|AC→|2≥2|AB→|·|AC→|＝4，∵D为BC边的中点，
∴AD→＝12(AB→＋AC→)，∴|AD→|2＝14(|AB→|2＋|AC→|2＋2AB→·AC→)＝14(|AB→|2＋|AC→|2－2)≥14(4－2)＝12，
∴|AD→|≥22. WORD格式 可编辑
专业知识整理分享 10. 如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E、F两点，且交其对角线于K，其中AE→＝13AB→，AF→＝12AD→，AK→＝λAC→，则λ的值为( )
A.15 B.14
C.13 D.12
[答案] A
[解析] 如图，取CD的三等分点M、N，BC的中点Q，则EF∥DG∥BM∥NQ，易知AK→＝15AC→，∴λ＝15.
11. 已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为( )
A.12 B．2
C．－2 D．－12
[答案] C
[解析] ma＋4b＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，
由条件知(2m－4)·(－1)－(3m＋8)×4＝0，∴m＝－2，故选C.
12. 在△ABC中，C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足BM→＝2MA→，则CM→·CB→等于( )
A．2 B．3
C．4 D．6
[答案] B
[解析] CM→·CB→＝(CA→＋AM→)·CB→
＝(CA→＋13AB→)·CB→＝CA→·CB→＋13AB→·CB→
＝13|AB→|·|CB→|·cos45°＝13×32×3×22＝3.
13. 在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则AB→·AD→＝________.
[答案] 152
[解析] 由条件知，|AB→|＝|AC→|＝|BC→|＝3，〈AB→，AC→〉＝60°，
〈AB→，CB→〉＝60°，CD→＝23CB→，
∴AB→·AD→＝AB→·(AC→＋CD→)＝AB→·AC→＋AB→·23CB→＝3×3×cos60°＋23×3×3×cos60°＝152. WORD格式 可编辑
专业知识整理分享 14. 已知向量a＝(3,4)，b＝(－2,1)，则a在b方向上的投影等于________．
[答案] －255。[解析] a在b方向上的投影为a·b|b|＝－25＝－255.
15. 已知向量a与b的夹角为2π3，且|a|＝1，|b|＝4，若(2a＋λb)⊥a，则实数λ＝________.
[答案] 1
[解析] ∵〈a，b〉＝2π3，|a|＝1，|b|＝4，∴a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1×4×cos2π3＝－2，∵(2a＋λb)⊥a，∴a·(2a＋λb)＝2|a|2＋λa·b＝2－2λ＝0，∴λ＝1.
16. 已知：|OA→|＝1，|OB→|＝3，OA→·OB→＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R＋)，则mn＝________.
[答案] 3
[解析] 设mOA→＝OF→，nOB→＝OE→，则OC→＝OF→＋OE→，
∵∠AOC＝30°，∴|OC→|·cos30°＝|OF→|＝m|OA→|＝m，
|OC→|·sin30°＝|OE→|＝n|OB→|＝3n，
两式相除得：m3n＝|OC→|cos30°|OC→|sin30°＝1tan30°＝3，∴mn＝3.
17. (文)设i、j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且OA→＝－2i＋j，OB→＝4i＋3j，则△OAB的面积等于________．
[答案] 5
[解析] 由条件知，i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴OA→·OB→＝(－2i＋j)·(4i＋3j)＝－8＋3＝－5，又OA→·OB→＝|OA→|·|OB→|·cos〈OA→，OB→〉＝55cos〈OA→，OB→〉，
∴cos〈OA→，OB→〉＝－55，∴sin〈OA→，OB→〉＝255，
∴S△OAB＝12|OA→|·|OB→|·sin〈OA→，OB→〉＝12×5×5×255＝5.
(理)三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，能得出三角形ABC一定是锐角三角形的条件是________(只写序号)
