平面向量知识点

平面向量基础知识复习

1平面向量知识点小结

一、向量的基本概念

1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.

注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.

举例1已知

(1,2)A，

(4,2)B，则把向量

AB

按向量

(1,3)a

平移后得到的向量是_____.结果：

(3,0)

2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：

0

，规定：零向量的方向是任意的；

3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与

AB共线的单位向量是

||AB

AB

）；

4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量

a

、

b

叫做平行向量，记作：

a

∥

b

，

规定：零向量和任何向量平行.

注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有

0

)；

④三点

ABC、、共线

ABAC

、共线.

6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.

a

的相反向量记作

a

.

举例2如下列命题：（1）若

||||ab



，则

ab



.

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.

（3）若

ABDC

，则

ABCD是平行四边形.

（4）若

ABCD是平行四边形，则

ABDC

.

（5）若

ab



，bc



，则

ac

.

（6）若//ab



，

//bc



则

//ac.其中正确的是.结果：（4）（5）

二、向量的表示方法

1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如

AB

，注意起点在前，终点在后；

2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如

a

，

b

，

c

等；平面向量基础知识复习

23.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与

平面向量与空间向量知识点对比（五）

内容 平面向量 空间向量

坐标运算 设2211,,,yxbyxa，则：

(1)ab ),(2121yyxx，

(2)ab ),(2121yyxx，

(3)a (,)xy

(4)ab 1212xxyy

（5）//ab(b0)x1＝λx2，y1＝λy2

（6）ab 02121yyxx

（7）||a2211xy

1122(,),(,)AxyBxy,AB),(1212yyxx

222121||()()ABdABxxyy

（8）cos,ab112222221212xyxyxxyy

平面向量

1、 向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量

2、 向量的表示方法

（1）几何表示：以A为起点，以B为终点的有向线段记作AB，如果有向线段AB表示一个向量，通常我们就说向量AB.

（2）字母表示：印刷时 粗黑体字母 a， b， c…向量

手写时 带箭头的小写字母 a，b…

3、向量点的长度（模）

向量的大小叫做向量的长或模，记作|AB|、｜a｜

4、零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行

a＝0｜a｜＝0

单位向量：模为1个单位长度的向量

向量0a为单位向量｜0a｜＝1

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量称为平行向量，也叫共线向量

记作a∥b

5、相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记为ba

即大小相等，方向相同),(),(2211yxyx2121yyxx

6、

对于任意非零向量的单位向量是 .

7、向量的加法

（1）三角形法则

设,ABaBCb，则a+b=ABBC=AC

对于零向量与任意向量a的和有aaa00

（2）平行四边形法则

已知两个不共线的向量a，b，做,ABaBCb，则A、B、D三点不共线，以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量AC=a+b.

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

ABBCCDPQQRAR，但这时必须“首尾相连”．

8、向量加法的运算律

（1）交换律 a+b=b+a

（2）结合律 (a+b)+c=a+(b+c)

9、向量的减法

)(baba 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量

1 平面向量

一．向量有关概念：

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；

3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是||ABAB)；

4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。

提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有0)；

④三点ABC、、共线 ABAC、共线；

6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。如

下列命题：（1）若ab，则ab。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。（5）若,abbc，则ac。（6）若//,//abbc，则//ac。其中正确的是_______（答：（4）（5））

二．向量的表示方法：

1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；

2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；

3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为,axiyjxy，称,xy为向量a的坐标，a＝,xy叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1＋2e2。如