直线与方程(经典例题)

共6页 第1页 直线与方程

知识点复习：

一、直线与方程

(1)直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

(2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当90,0时，0k； 当180,90时，0k; 当90时,k不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk

注意下面四点：（1）当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k与P1、P2的顺序无关；（3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程

①点斜式：)(11xxkyy直线斜率k，且过点11,yx

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

③两点式:112121yyxxyyxx(1212,xxyy）直线两点11,yx,22,yx

④截矩式：1xyab

其中直线l与x轴交于点(,0)a,与y轴交于点(0,)b，即l与x轴、y轴的截距分别为,ab.

⑤一般式：0CByAx（A，B不全为0)

注意：○，1各式的适用范围 错误!特殊的方程如：

平行于x轴的直线：by(b为常数）； 平行于y轴的直线：ax（a为常数）；

（5）直线系方程:即具有某一共同性质的直线

（一）平行直线系

平行于已知直线0000CyBxA(00,BA是不全为0的常数）的直线系：000CyBxA（C为常数)

（二）过定点的直线系

(ⅰ）斜率为k的直线系：00xxkyy，直线过定点00,yx;

（ⅱ）过两条直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl的交点的直线系方程为0222111CyBxACyBxA（为参数）,其中直线2l不在直线系中.

（6）两直线平行与垂直

当111:bxkyl，222:bxkyl时，

212121,//bbkkll；12121kkll

注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

共6页 第2页 (7）两条直线的交点

0:1111CyBxAl 0:2222CyBxAl相交

交点坐标即方程组00222111CyBxACyBxA的一组解.

方程组无解21//ll ； 方程组有无数解1l与2l重合

（8）两点间距离公式：设1122(,),AxyBxy，（）是平面直角坐标系中的两个点，

则222121||()()ABxxyy

（9)点到直线距离公式：一点00,yxP到直线0:1CByAxl的距离2200BACByAxd

（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

典型例题

例1。 已知直线过点P（—5，—4），且与两坐标轴围成三角形面积为5，求直线l的方程。

解：设直线的截距式方程为：xayb1

则有541125ababab52，或，ab524

直线方程为或8520025100xyxy

例2 已知两点A(-3,4)，B(3，2），过点P（2，－1)的直线l与线段AB有公共点．

(1）求直线l的斜率的取值范围．(2）求直线l的倾斜角的取值范围．

分析:如图1，为使直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角应介于直线PB的倾斜角与直线PA的倾斜角之间，所以，当l的倾斜角小于90°时，有PBkk；当l的倾斜角大于90°时，则有PAkk．

解：如图1，有分析知

 PAk23)1(4＝－1, PBk23)1(2＝3．

∴ （1）1k或3k．

（2)arctan343．

说明：容易错误地写成－1k3,原因是或误以为正切函数在,0上单调递增．

例3 若三点A)3,2(，B)2,3(,C),21(m共线，求m的值． O图1 AByxP

共6页 第3页 分析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在．

解答：由A、B、C三点共线，则ACABkk．

∴22132332m，解得21m．

说明：由三点共线求其中参数m的方法很多，如两点间的距离公式，定比分点坐标公式，面积公式等,但用斜率公式求m的方法最简便．

例4。 在直线上求一点，使点到两点（，），（，）的3101120xyPP

距离相等。

分析:(1)设P(x，y），则有y＝3x＋1，故点P的坐标为（x，3x＋1），由距离公式得x的方程，解得x＝0。

(2)设P（x，y），求出两点（1,-1），（2，0）的中垂线方程为x＋y－1＝0，再解方程组得P（0,1)。

解法1:设P(x，y）,则有y＝3x＋1

故点P的坐标为（x，3x＋1）

由距离公式得：xxxx1322312222

解之得：x＝0

∴所求的点为P（0,1）

解法2：设P（x，y），两点（1，—1）,(2，0）所连线段的中垂线方程为：

xy101 又3102xy

解由〈1>、<2〉组成的方程组得：P（0，1）

练习:

1。 直线axbyab10()与两坐标轴围成的三角形的面积是( ）

A。 12ab B。 12ab C. 12ab D。 12ab

2. 过点A(4，1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（ ）

A. xy5 B。 xy5

C。 xy5或xy40 D。 xy5或xy40

3。 已知直线AxByC0的横截距大于纵截距,则A、B、C应满足的条件是( ）

共6页 第4页 A。 A＞B B。 A＜B C. CACB0 D。 CACB0

4.

直线laxyblbxyaab12000：，：()的图象只可能是下图中的（ ）

5. 直线270xy在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则a、b的值是（ ）

A. ab77， B. ab772，

C。 ab727， D. ab727，

6。 若直线l的倾斜角为arctan12且过点（1,0),则直线l的方程为________。

7。 由已知条件求下列直线的斜截式方程。

（1）直线经过点PP122103，、，;

（2）直线在x轴上的截距为2,在y轴上的截距为3.

8. 设直线l的方程为mmxmmym222321620,根据下列条件分别

共6页 第5页 确定实数m的值。

（1）l在x轴上的截距是3；

（2）斜率是1。

9. 过点P（2，1）作直线l交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，当PAPB·取最小值时，求直线l的方程。

10。 已知直线与坐标轴围成的三角形面积为3，且在x轴和y轴上的截距之和为5，求这样的直线的条数。

11. 已知点P（-1,1）、Q（2,2），直线lykx：1与线段PQ相交,求实数k的范围。

12．已知ABC中，A(1， 3)，AB、AC边上的中线所在直线方程分别为xy210 和y10，求ABC各边所在直线方程．

参考解题格式：

9. 解：设直线l的方程为ykxk210()

共6页 第6页 分别令xy00，得： BkAk012120，，，

PAPBkkkk··12201224184222222

∵k＜0，∴当且仅当k1时，PAPB·取得最小值4

故所求直线的方程为xy30

11。 解:∵直线l的纵截距为1 ∴直线过点M（0,-1）

∵l与线段PQ相交 kkkkMQPM或

kkMQPM21203211102

kk322或

12．分析：B点应满足的两个条件是：①B在直线01y上;②BA的中点D在直线012yx上。由①可设1，BxB，进而由②确定Bx值.

解：设1，BxB则AB的中点221，BxD∵D在中线CD：012yx上∴012221Bx，

解得5Bx， 故B（5, 1）.

同样，因点C在直线012yx上，可以设C为CCyy，12,求出131，，CyC。

根据两点式，得ABC中AB：072yx， BC:014yx,AC：02yx.