直线与直线方程经典例题
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精品资料 必修2 第二章 解析几何初步
第一节：直线与直线方程（王建明）
一、直线的倾斜角和斜率
（1）倾斜角定义：平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，
把__x轴(正方向)_按__逆时针__方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，
叫作直线l的倾斜角。（0°≤α<180°）
（2）斜率k=tan=1212xxyy （0°≤＜180°），当=90时，k不存在。（两种求法，注意21xx的情况）（3）函数y=tanx在)90,0[0增加的，在)180,90(00也是增加的。
例1：过点M（-2，m）,N (m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为 。
例2：过两点A（m2+2,m2-3）,B（3-m-m2,2m）的直线l的倾斜角为45°求m的值。
例3：已知直线l 经过点P（1,1），且与线段MN相交，又M（2，-3），N（-3，-2），求直线l 的斜率k的取值范围。
例4：已知a＞0,若平面内三点A（1，—a），B（2，a2）,C(3,a3)共线，则a值为
。
练习：
1经过点P(2，m)和Q(2m，5)的直线的斜率等于12，则m的值是( B )
A．4 B．3 C．1或3 D．1或4
变：的取值范围的斜率的直线求经过点 )1,cos(),sin,2( klBA
2. 已知直线l过P(－1，2)，且与以A(－2，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．
点评：要用运动的观点，研究斜率与倾斜角之间的关系！答案： －∞，－12∪[5，＋∞) ______________________________________________________________________________________________________________
精品资料 3.已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，3＋1)，若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．
答案：－∞，－12∪[5，＋∞)
二、两直线的平行与垂直
1.平行的判定： 2. 垂直的判定：
例（1）l1 经过点M（-1，0）, N (-5,-2)，l2经过点R（-4,3），S（0,5），l1与l2是否平行？
（2）l1 经过点A（m，1）, B (-3,4), ）l2 经过点C（1，m）, D (-1, m+1),确定m的值，使l1//l2。
练习：
的值平行，求实数与直线已知直线aayxalayxl01)13(:012:.121
的值平行，求实数与直线已知直线ayaxalayxal03)2()2(:013)2(:.221
例（1） l1的倾斜角为45，l2经过点P（-2,-1），Q（3,-6）.
例（2）已知点M（2,2）和N（5，-2），点P在x轴上，且∠MPN为直角，求点P的坐标。
练习：
1.求a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
答案：a=-1
2.求过点P(1，－1)，且与直线l2：2x＋3y＋1＝0垂直的直线方程．
答案：3x－2y－5＝0. ______________________________________________________________________________________________________________
精品资料 三、直线的方程
1、点斜式: y-y0=k(x－x0) (斜率存在，可为0)
1、 斜截式： y=kx+b (b 是与y轴的交点) (斜率存在，可为0)
2、 两点式:
121yyyy=121xxxx (斜率存在，不能为0)
3、 一般式：Ax+By+C=0 (任意直线)
4、 截距式：ax+by=1 (斜率存在且不过原点且不为0)
典型例题
表示b＋kx＝y的直线直线都可以用b)，A(0．经经过定D1表表byx可以用方程．不经不经过原点的直C表示)y－)(yx－(x＝)x－)(xy－(y程 的直线直线都可以)y，(xP、)y，(xP．经经过任意两个不同B表示)x－k(x＝y－y的直线直线都可以用)y，(x P．经经过定A) (四种种法中正确的1.下12112122211100000a面例
例2.求过定点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
例3.已知△ABC的顶点A(1，－1)，线段BC的中点为D(3，23)．
(1)求BC边上的中线所在直线的方程；
(2)若边BC所在直线在两坐标轴上的截距和是9，求BC所在直线的方程．
例4.方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6满足下列条件，请根据条件分别确定实数m的值．
(1)方程能够表示一条直线；（答案：m1）
(2)方程表示一条斜率为－1的直线．（答案：m2）
例5.直线l的方程为(a－2)y＝(3a－1)x－1(a∈R)．
(1)求证：直线l必过定点；（答案：(15，35)）
(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（答案：5x＋5y－4＝0）
(3)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围．（答案：分斜率存在与不存在） ______________________________________________________________________________________________________________
精品资料 练习：
1.若直线7x＋2y－m＝0在两坐标轴上的截距之差等于5，则m＝( )
A．14 B．－14 C．0 D．14或－14
2、直线过点（3,2），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。
3、经过点A（-1,8），B（4，-2）的直线方程。
4、已知A(1,2), B（3,1），求线段AB的垂直平分线方程。
5、一条光线从点P（6,4）射出，与x轴相交于点Q（2，0）经x轴反射，求入射光线和反射光线所在的直线方程。
四、直线的交点坐标与距离公式
1、求两条直线的交点（联立方程组）
例（1）若三条直线：2x+3y+8=0,x-y-1=0 和x+ky+k+21=0相交于一点，则k=
（2）已知直线l1：x+y+2=0, l2：2x-3y-3=0,求经过的交点且与已知直线3x+y-1=0平行的直线l 的方程。
2、 两点间的距离公式︱P1P2︱= 212212)()(yyxx
例（1）已知点A（a,-5）与B（0,10）间的距离是17，求a 的值。
例（2）已知点A（-1,2），B（2，7），在x轴上求一点P，使︱PA︱=︱PB ︱，并求的 ︱PA︱值。
例.直线l的方程为(a－2)y＝(3a－1)x－1(a∈R)．
(1)求证：直线l必过定点；（答案：(15，35)）
(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（答案：5x＋5y－4＝0）
(3)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围．（答案：分斜率存在与不存在）
五、点到直线的距离 ______________________________________________________________________________________________________________
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例1：求点A(-2,3)到直线 l:3x+4y+3=0的距离 d=
。
例2：已知点（a,2）到直线l: x-y+1=0的距离为2，则a= 。 (a＜0)
例3:求直线 y=2x+3关于直线l: y=x+1对称的直线方程。
练习：
1.已知△ABC中，A(－2，1)，B(3，－3)，C(2，6)，试判断△ABC的形状
2.求过点M(－2，1)且与A(－1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线方程．
3.已知点A(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A.2 B．2－2 C.2－1 D.2＋1
4.已知点A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，求△ABC的面积．
六、两平行直线间的距离
例1：求平行直线l1:2x-7y-8=0与l2:6x-21y-1=0的距离
例2：已知直线l1：（t+2）x+(1-t)y=1与 l2：（t-1）x+(2t+3)y+2=0相互垂直，求t的值。
例3：求点A（2,2）关于直线2x-4y+9=0的对称点坐标。
练习： ______________________________________________________________________________________________________________
精品资料 1. 两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d，
求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
2.求与直线l：5x－12y＋6＝0平行，且到l的距离为2的直线的方程．
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