直线与方程参考答案

直线与方程参考答案

直线的倾斜角与斜率

二、典例分析：

1、直线的倾斜角和斜率：

例1、解析:直线的斜率3333cos33kk,,656,0

例2、解析:解法一：设PA与PB的倾斜角分别为,，直线PA的斜率是15k，直线PB的斜率是212k，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由增至90，斜率的取值范围为5,。当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90增至，斜率的取值范围为1,2。故直线l的斜率的取值范围为1,5,2。

解法二：设直线l与线段AB的相交于点M，且M不同于,AB两点。设(0)AMMB。由向量相等可得323(,)11M，又∵直线l过点(1,2)P，∴直线l的斜率是325213214(1)1k，整理得542kk。

∵0 ∴5042kk，解之得5k或12k。

当M与A重合时，2(3)51(2)PAk；当M与B重合时，201132PBk。

综上所述，直线l的斜率的取值范围为1,5,2。

解法三：设直线l的斜率是k，则直线l的方程是2(1)ykx，即20kxyk。

∵,AB两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，

∴(232)(302)0kkkk，即(5)(42)0kk，解之得5k或12k。

故直线l的斜率的取值范围为1,5,2。

说明：求直线斜率取值范围的方法：

解法一：直线l过点(1,2)P，与线段AB的相交于点在AB上，用运动变化的观点，可求出符合条件的所有直线的斜率。

解法二：从整体上考虑本题中点M在线段AB上的数学模型，联想向量AM与MB共线且同向，可考虑用向量的知识求解。 解法三：因为直线l与线段AB的相交，所以,AB两点分别在直线l的两侧或其中一点在直线l上，故可考虑用不等式表示的平面区域求解。

例3、解析:解法一：直线l：0xmym恒过点(0,1)。

11201APk，123022AQk，则132m或12m，∴2132m且0m，

又0m时，直线0xmym与与线段PQ有交点，∴所求实数m的范围是2132m。

解法二：过,AB两点的直线方程是211(1)21yx，即1433yx，代入0xmym，整理得73mxm，由已知7123mm，解之得2132m，

∴所求实数m的范围是2132m。

2、两直线平行与垂直：

例4、解法一：（1）当sin0时，1l的斜率不存在，2l的斜率为0，显然1l不平行于2l。

当sin0时，121,2sinsinkk，欲使12ll，只要12sinsin，

即2sin2，∴,4kkZ，此时两条直线截距不相等。

∴当,4kkZ时，12ll。

（2）当sin0，即,kkZ时，1l的斜率不存在，2l的斜率为0，显然12ll。

当sin0时，121,2sinsinkk，而121()(2sin)sinkk21，∴不满足12ll。故当,kkZ时，12ll。

解法二：（1）由12210ABAB，即22sin10，得2sin2，

由12210BCBC，得sin1。所以2sin2，即,4kkZ，

∴当,4kkZ时，12ll。

（2）由12120AABB，得2sinsin0，即sin0，∴,kkZ，

故当,kkZ时，12ll。

说明：两直线平行与垂直的判定方法：

① 解法一：将直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，利用直线的斜率来判定。 ② 解法二：将直线方程化为一般式，利用12ll12120AABB；12ll12210ABAB且12210ACAC（或12210BCBC）。

例5、［思路分析］

1）若令11ytx，代入线段AB所在的直线方程消去y可得到()(231)tfxxx且可求出t的范围，但计算较繁。

2）变换角度，由数入形，联想直线斜率公式可使问题轻松解决。

解：令 11ytx，不难发现t就是线段AB一动点M与定点P（-1，1）连线的的斜率如图。易求出12,4PAPBkk，由图知，满足题意的直线PM的斜率为1,24kk，即11yx的取值范围为1(,2][,)4。

说明：① 形如“11yytxx”的最值范围问题，可联想直线斜率公式，数形结合解决。

② 对于曲线y=f(x)上任一动点P（x,y），探求00yytxx的范围问题都可联想直线斜率公式，数形结合解决。

三、巩固训练：

1. 解：设直线y＝xcosα＋m的倾斜角为，则tancos(1,0)k，∴倾斜角为3(,)4。

答案：D。

2. 解：∵a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对的边长，， ∴由正弦定理得sinsinabAB，即sinsinaBbA，而1212sin(sin)0AABBbAaB，所以两条直线垂直。

答案：B。

3. 解：直线ax+y+1=0过定点C(0,－1),当直线处在AC与BC之间时,必与线段AB相交,应满足213a或312a即2a或1a.

答案：D。

【思维点拨】斜率与倾斜角的范围之间不能想当然,要根据具体情况而定

4. 解：①当a＝1时，2②当a≠1时，∵k＝11a∈(－，－3)∪[33，＋)∴∈2,6∪32,2

综合①②知直线l的倾斜角∈32,6

5. 错解：（1）直线x+2ay－1=0与直线（3a－1）·x－ay－1=0的方程可变形为

y=－a21x+a21与y=aa13x－a1.

∴ 当－a21=aa13且a21≠－a1时，即a=61时，两直线平行. （2）当－a2（－2a）=－1时，两直线垂直，此方程无解.

故无论a为何值时，两直线都不垂直.

剖析：两直线平行的条件为k1=k2，b1≠b2，垂直的条件k1·k2=－1，都是在两直线都有斜率，即方程中y的系数均不为0的条件下才成立，若方程中y的系数中含字母参数时，则应就等于0和不等于0两种情况去讨论，否则就会遗漏特殊情况。在错解中都是a0的情况，而当a=0时：（1）中的两直线分别为x－1=0和x+1=0，此时是平行直线；（2）中的两直线分别为x=1和y=21，此时是垂直直线，故（1）的答案是a=0或a=61，两直线平行；（2）的答案是a=0，两直线垂直.

评注：此题（2）中若用两直线垂直的充要条件A1A2+B1B2=0求解，更简便.

直线的方程

二、典例分析：

1、求直线的方程：

例1、解: 当在x轴上、在y轴上的的截距都是零时，设所求直线方程为ykx，将(5,2)代入ykx中，得25k，此时，直线方程为25yx，即250xy。

当在x轴上、在y轴上的的截距都不是零时，设所求直线方程为12xyaa，将(5,2)代入12xyaa中，得12a，此时，直线方程为1112()22xy，即210xy。

综上所述，所求直线方程为250xy或210xy。

说明：用直线截距式方程时，一定注意截距是否等于零。

例2、解法一：∵ 直线被两直线1l：4x+y+6=0,2l：3x－5y－6=0截得的线段的中点恰好为坐标原点，∴所求直线一定过坐标原点，于是可设所求直线方程为y=kx, 且所求直线与1l,2l的交点分别为A ，B两点。解方程组460ykxxy，得66,44kxykk，即66(,)44kAkk；同理由3560ykxxy得66(,)5353kBkk。∵ 截得的线段的中点恰好为坐标标原点, ∴46k+k536=0得61k，从而所求直线方程为x+6y=0。

解法二：设所求直线与1l ，2l的交点分别为A ，B两点。设),(00yxA，∵AB关于原点对称，∴),(00yxB，又∵A ，B分别在直线1l ，2l上，∴4x0+y0+6=0且－3x0+5y0－6=0，两式相加得x0+6y0=0，即点A在直线x+6y=0上，又直线x+6y=0过原点，故所求的直线方程为x+6y=0。

说明：“设点而不求”是简化计算的一种十分重要的方法。 例3、解：Q点在l1: y＝4x上，可设Q(x0，4x0)，则PQ的方程为：6644400xxxy,

令y＝0，得：x＝1500xx(x0>1)，∴ M(1500xx，0)，∴ S△OQM＝21·1500xx·4x0＝10·1020xx＝10·[(x0－1)＋110x＋2]≥40。

当且仅当x0－1＝110x即x0＝2取等号，∴Q(2，8)，PQ的方程为：626484xy，

∴x＋y－10＝0。

2、求直线的方程：

例4、解：在线段AB上任取一点P，作垂线CD、DE，则AB的方程为

12030yx，设P(x ，20-x32)，则S=(100-x)[80-(20-x32)] (0≤x≤30)

得222202180506000(5)3333sxxx

(0≤x≤30)

所以x=5，y=350时，S取最大值1805060173平方米。

例5、解：⑴. 证明：由(31)1ayax，得(3)(1)0axyx，由3010xyx，得13xy，所以直线l恒过定点(1,3)，因此无论a为何值，直线l总过第三象限。

⑵.要直线l不过第二象限，需且只需31010akaa，解得13a，

所以13a时，直线l不过第二象限。

三、巩固训练：

1. 解：化成斜截式，方程为(0)ACyxBBB，∵直线0AxByC通过第二、三、四象限，，∴00ABCB，即00ABCB，故A、B、C同号。

答案：A。

2. 解：A不能表示垂直于x轴的直线，故正确；而B本身正确；C不能表示过原点的直线，即截距为0的直线，故正确；不能表示斜率不存在的直线，故不正确。

答案：D。

3. 解：(1)设所求的直线l方程为1byax(a>0,b>0),由已知112ba。