隐函数所确定的函数的导数

隐函数及由参数方程所确定的导数

一、隐函数的导数

1、隐函数的求导法

函数

xfy表示两个变量

y与

x之间的对应关系，这种对

应关系可以用各种不同的方式表达.前面我们遇到的函数，

例如2lncosyxx，

3523xxyxe等，这种函数表达式的特点是：

等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当

自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值.

用这种方式表达的函数叫做显函数.但是有些函数的表达式

却不是这样，例如方程310xy表示一个函数，因为当自变

量

x在

,内取值时，变量

y有唯一确定的值与之对应，这

样的函数称为隐函数.

一般地，如果变量

x，

y之间的函数关系是由某一个方

程

0,yxF所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐

函数.

把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化.例如由

方程310xy解出

31xy，就把隐函数化成了显函数.但是，

隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的.例如，方

程

0yexy所确定的隐函数就不能用显式表示出来.因此，我

们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程

算出它所确定的隐函数的导数来.我们知道，把方程

0,yxF所确定的隐函数

xyy代入原

方程，便得恒等式

0,xyxF，把这个恒等式的两端对

x求导，

所得的结果也必然相等.但应注意，左端

,Fxyx是将

xyy

代入

,Fxy后所得的结果，所以，当方程

0,yxF的两端对

x求

导时，要记住

y是

x的函数，然后利用复合函数求导法则求

导.这样，便可得到欲求的导数.下面举例说明这种方法.

例1求由方程221xy所确定的隐函数

y的导数.

解把方程两端分别对

x求导，记住

y是

x的函数，得

220xyy，由此得x

y

y（

0y）.

例2求由方程

0yexye所确定的隐函数

y的导数.

解把方程两端分别对

x求导，得

0yxyyey，由此得

0,

36 第五节 隐函数的求导公式

在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程0,yxF（1）求它所确定的隐函数的导数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。

隐函数存在定理1 设函数yxF,在点00,yxP的某一邻域内具有连续偏导数，且0,00yxF , 0,00'yxFy。则方程0,yxF在点00,yx的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数xfy，它满足条件00xfy， 并有

''yxFFdxdy (2)

公式(2)就是隐含数的求导公式

这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。

将方程(1)所确定的函数xfy代入(1)，得恒等式

0,xfxF

其左边可以看作是x的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有

0dxdyyFxF

由于'yF连续，且 0,00'yxFy,所以存在00,yx的一个邻域，在这个邻域内 0'yF

于是得

''yxFFdxdy

隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程0,,zyxF就有可能确定一个二元隐函数。 37 与定理1相仿，我们同样可以由三元函数zyxF,,的性质来断定由方程0,,zyxF 所确定的二元函数yxfz,的存在性及这个函数的性质，这就是下面的定理。

隐函数存在定理2 设函数0,,zyxF在点000,,zyxP的某一邻域内具有连续偏导数，且0,,000zyxF，0,,000'zyxFz。则方程0,,zyxF在点000,,zyx的某个邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数yxfz,，它满足条件000,yxfz，并有

1 （十） 隐函数求导法则

由方程0,yxF所确定的y是x的函数称为隐函数。从方程0,yxF中有时可解出y是x的显函数 ,如从方程0153yx可解出显函数5153xy；有时，从方程0,yxF中可以解出不止一个显函数，如从方程00222RRyx中可以解出22xRy。它包含两个显函数，其中22xRy代表上半圆周，22xRy代表下半圆周。但也有时隐函数并不能表示为显函数的形式，如方程100sinyxy就不能解出来)(xfy的形式。

现在讨论当y是由方程0,yxF所确定的x的函数，并且y对x可导（即xy存在），那么在不解出y的情况下，如何求导数y呢？其办法是在方程0,yxF中，把y看成x的函数xyy，于是方程可看成关于x的恒等式:0,xyxF.在等式两端同时对x求导（左端要用到复合函数的求导法则），然后解出 y 即可。

例2.14 求方程0222RRyx所确定的隐函数的导数y.

解 当我们对方程222Ryx的两端同时对x求导时，则应有(xyy是中间变量) 022yyx. 解出 0yyxy.

思考题 证明：圆0222RRyx在其上一点000,yxM处的切线方程为200Ryyxx.问：法线方程是什么？

例2.15 求曲线1lnyxy在点1,1处的切线方程。

解 将曲线方程两边对x求导，得 0)'(ln)'(xxyxy，即

01yyyxy.

于是 12yxyy. 过点1,1处的切线斜率

2 ky1,1=12yxy1,1=21.

故所求切线方程为 1211xy， 即 032yx.

例2.16 已知,0sin2yyx 求1,0y.

隐函数的求导方法

隐函数是指由两个或多个变量的函数方程所确定的函数。在一些情况下，我们无法直接通过解方程得到显式函数表达式，而只能得到一个隐函数方程。对于这种情况，我们需要使用隐函数求导的方法来求隐函数的导数。

一、隐函数偏导数法

隐函数偏导数法是根据隐函数方程的特定条件和偏导数的定义，通过求偏导数的方式计算隐函数的导数。

假设有一个由x和y两个变量确定的方程F(x,y)=0，表示为F(x,y)=0。其中F(x,y)是一个关于x和y的函数。

步骤如下：

1. 对方程两边同时对 x 求偏导数，记为 ∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx =

0。

2. 解上述方程，将 dy/dx 表达成 ∂F/∂x 和 ∂F/∂y 的比值。

3. dy/dx 就是所求的隐函数的导数。

这种方法对于求解常见的一阶隐函数方程非常有效，但不能用于求解二阶或高阶隐函数方程。

二、全导数法

全导数法是通过定义全导数的方式，将隐函数导数表示成全导数的形式。 假设有一个由x和y两个变量确定的方程F(x,y)=0，表示为F(x,y)=0。其中F(x,y)是一个关于x和y的函数。

步骤如下：

1. 对方程两边同时对 x 求导，得到 ∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。

2. 对方程两边同时对 y 求导，得到 ∂F/∂x * dx/dy + ∂F/∂y = 0。

3.将上述两个方程组成一个方程组，可以用矩阵的形式表示，即：

∂F/∂x ∂F/∂y， * ，dx/dy， = ，-∂F/∂y ∂F/∂

这个方程组表示了偏导数的关系。

4. 解方程组求出 dx/dy，其值就是所求的隐函数的导数。

全导数法可以用于求解一阶、二阶甚至高阶的隐函数方程，比较灵活和通用。

总结：

隐函数的求导方法主要有隐函数偏导数法和全导数法。隐函数偏导数法适用于求解一阶隐函数方程，而全导数法对一阶、二阶以及高阶隐函数方程均可使用。在实际应用中，根据具体的问题和情况选择适合的求导方法，能够更加方便地求得隐函数的导数。