隐函数求导

隐函数求导

1、隐函数求导

隐函数求导是指求解含有未知变量的函数的导数。主要分为四类：隐函数求导

的定义、隐函数求导的基本方法、隐函数求导的解法、隐函数求导的应用。

隐函数求导的定义就是求解含有未知变量的函数的导数的过程，比如函数的一

阶导数、二阶导数，以及更高位的导数等。与函数的求导不同的是，隐函数求导指

的是对含有未知变量的函数求导，包括一阶导数、未定系数型函数和未知数函数等。

隐函数求导的基本方法主要有三种，分别是链式法则、暂称法则和零点法则。

1、链式法则：链式法则是指针对含有未知变量的函数进行求导，要先求出未

知变量对各变量的偏导，然后明确影响的变量的表达式，接着再由链式法则求出函

数的导数。

2、暂称法则：暂称法则是指用若干变量暂称其余变量，变化时有一个变量保

持恒定，当变化后，仍在某一点上有极值时，其中含有的暂称变量就可以用来求导

了。

3、零点法则：零点法则是指用若干变量的零点可以计算链式法则和暂称法则

的结果，可以用求零点的方法来求函数的导数和偏导数。

隐函数求导的解法包括有直接解法和逆函数求导法两部分。

1、直接解法：直接解法是指直接用链式法则、暂称法则和零点法则求解含有

未知变量的函数的导数，以及求解未知变量时，以及求解未知变量的偏导数等。

2、逆函数求导法：逆函数求导法是指用逆函数求导来求函数的导数，也就是

用逆函数将函数映射到原始空间，然后再求原始函数的导数。 （四）隐函数求导的应用 隐函数求导技术的应用非常广泛，主要用在未知参数系统中，如未知函数的拟

合、控制问题等，未知函数的求导是解决这些问题所必需的。另外，隐函数求导的

应用还包括在机器学习、深度学习等技术方面，用于有效的模型学习和参数求解，

解决复杂的未知参数问题。

隐函数的求导

欢迎光临我的专栏，一起学习，共同提高。

到目前为止，我们遇到的函数都具有这样的特点：一个变量可以用另一个变量明确地表达出来。即y=f(x)的形式。但是有些函数并不具有这样明确地形式，而是以自变量和因变量的关系呈现出来的，不具有y=f(x)的形式，比如。

\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=25} \\ {x^{3}+y^{3}=6 x

y}\end{array}\\

比如第二个方程，由它描绘的曲线很特别，我们称之为笛卡儿叶形线（folium of Descartes）,如下左图所示，它其实是 y 的三个函数图像的连接。

的我们把这样的方程称之为隐函数。

那么，对隐函数求导，我们该怎么做呢？

第一步，对方程两边求关于x的微分，这样就可以得到一个关于y'的方程；

第二步，在微分后的方程中求解y'既可。

例1：若 x^{2}+y^{2}=25 ，求 \frac{d y}{d x} .

解： 首先对方程两边微分\frac{d}{d

x}\left(x^{2}+y^{2}\right)=\frac{d}{d x}(25)\\

即有\frac{d}{d x}\left(x^{2}\right)+\frac{d}{d

x}\left(y^{2}\right)=0\\ 然后，记住y是关于x的函数，那么对方程左边的第二项，有链式法则有

\frac{d}{d x}\left(y^{2}\right)=\frac{d}{d

y}\left(y^{2}\right) \frac{d y}{d x}=2 y \frac{d y}{d x}\\。

即有 2 x+2 y \frac{d y}{d x}=0\\

然后求解 \frac{d y}{d x} ，即有

\frac{d y}{d x}=-\frac{x}{y}\\

注意：这里的导数\frac{d y}{d x}，是同时使用x和y来表达的，这是正确的。比如，通过对原方程求解，我们有 y=f(x)=\pm\sqrt{25-x^{2}} ，那么导数的结果，就有

文　化　教　育　隐函数的求导法则　科　——黑燕江——　技信息　张俊丽　（西安欧亚学院，陕西西安７１００６５）　摘　要：隐函数的导数是高数中比较麻烦的一部分，探讨了隐函数的概念，并就教学过程中隐函数的导数问题做了简单的研究，举例说明了隐　函数一阶导数及高阶导数的计算方法　关键词：隐函数；导数；复合函数；求导法则　通常我们遇到的函数郜是闪变精Ｊ｛】ｆ１变　量的一个解析式（或分段函数拜ｌ不同的解析式）　表示的，如Ｙ＝Ｘ　＋３ｘ，：　一３ｘ３，ｙ：，　ｖ　｛　＋Ｉ，当　．≥。时　，这种形式的函数我们称　·　ｆ２　１ｘ＜ｏ时’　’　…　。　之为显甬数。但在许多实际问题ｌｆ】，变量之间的　函数关系往往不是井】显式彤式表示的，而是通　过一个（或多个）Ｊｙ程，　Ｊ＝　喊Ｆ（ｘ，）’，：）＝０来　确定的，这时我们称由Ｆ（ｘ，ｙ）＝０或Ｆ（ｘ，Ｙ，￡）＝０　确定的函数为隐函数。对于隐函数的导数相对　比较麻烦，就一无隐函数以及二兀隐函数的导　数问题做个简　的研究．　１　．元隐甬数的导数　设方程ｆ’（　，））一０在某　繁什下确定的　隐函数为　’一．，（　），则订　Ｆ（ｘ’、’（　））三０　两边对ｘ求导，ｆ＝ｌ１ｊ多元复合函数求导法　则，可得　Ｆ　（　、）＿＿　（ｒ．、，）　０　所以　（　（　ｏ）　例ｌ计　１　、　Ｉ一０所确定的隐函数　Ｙ—ｙ（　）的导数　解：设Ｆ（ｘ．ｙ）＝ｒ一十　一１，则Ｆ＝２ｘ，　＝２　所以、．１　、　、　例２没疗程式ａｒｃｔａｎ　￣　ｉｎ（ｘ　一　）确定　变量ｖ为ｘ的　数．求导数　’　解：先计算·阶导数　没　¨）　ａｒｃｔａｎ　ｌｎ｛Ｙ¨　｝，则　ｌ　ｖ　２　一ｆ　＋ｖｌ，，　卜　～　。。＿　’　ｌ　２　一　（～）＝■ｉ　一　一２　Ｉ十（　，　２（　Ｙ　，　’　、所以　Ｆ　—Ｙ　Ｆ—　ｘ　Ｙ　＝　阶导数即为一阶导数再求导　（注：计算二阶导数时也要应用复合函数　求导法则，并最后要把一阶导数Ｙ’的结果代　）２ｘｖ～　ｒ　，　２ｌ　ｖ　：ｔ　。｛　｝　故　一　—二　一　２－Ｕｆｉ隐函数的偏导数　没　程Ｆ（ｘ，Ｙ，２）＝Ｏ　某些条件下确定　的隐函数为：＝ｆ（ｘ，Ｙ），则有　Ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ（ｘ，ｖ））三０　运用多元复合函数求导法则，两边分别埘　求偏导数，得　Ｆ。＋Ｆ：　一０讯Ｆ　ＦＡ　０　笋，＝，＝一　ｃ　Ｆ　洲２汁算由方程＝　３ｗ：ａ３：０确定的　隐甬数：＝ｆ（ｘ，）’）的偏导数　解：设Ｆ（ｘ，　＝：　３ｘｙｚ　ａ３，Ｆ＝３．ｖｚ，Ｆ＝　３ｘｚ，　＝３：一３．Ｄ．所以　Ｆ　３ｙｚ　ｙｚ　３ｚ：一３ｗ　：　Ｄ＇　Ｆ　３ｘｚ　：　—　—　—一＝—＿一　３：　３ｗ　ｚ　例４设ｘ　＋ｙ　＋ｚ　－４ｚ＝Ｏ，求出ｏｚ　解：　设Ｆ（ｘ，ｖ　ｘ　ｙ　＋ｚ　＿４ｚ．　二２ｘ，　＝２ｙ，　２ｚ４，所以　２ｘ　Ｘ　２ｚ　４　２一ｚ　（２　ｚ）＋墨．　２。斗　—二　（２　ｚ）‘十　一—（２＿　一一—　二　一　参考文献　【ｌ】章学诚．高等数学（一）【Ｍ】．武汉：武汉大学出　版社．２００７．　ｆ２】周誓达．微积分【Ｍ】．北京：中国人民出版社，　２Ｏ０３　

1 第 五 节 隐函数的求导公式

教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。

教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。

教学难点：隐函数的高阶导函数的计算。

教学内容：

一、一个方程的情形

在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程

),(yxf=0 (1)

求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.

隐函数存在定理1 设函数),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00yxF，, 0),(00yxFy，则方程),(yxF=0在点),(00yx的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(xfy，它满足条件)(00xfy，并有

yxFFdxdy (2)

公式（2）就是隐函数的求导公式

这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。

将方程(1)所确定的函数)(xfy代入，得恒等式

0))(,(xfxF,

其左端可以看作是x的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得

,0dxdyyFxF

由于yF连续，且0),(00yxFy，所以存在(x0,y0)的一个邻域，在这个邻域内0yF，于是得 2 .yxFFdxdy

如果),(yxF的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x的复合函数而再一次求导，即得