5-隐函数的导数由参数方程确定的函数的导数

隐函数及由参数方程所确定的导数

一、隐函数的导数

1、隐函数的求导法

函数

xfy表示两个变量

y与

x之间的对应关系，这种对

应关系可以用各种不同的方式表达.前面我们遇到的函数，

例如2lncosyxx，

3523xxyxe等，这种函数表达式的特点是：

等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当

自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值.

用这种方式表达的函数叫做显函数.但是有些函数的表达式

却不是这样，例如方程310xy表示一个函数，因为当自变

量

x在

,内取值时，变量

y有唯一确定的值与之对应，这

样的函数称为隐函数.

一般地，如果变量

x，

y之间的函数关系是由某一个方

程

0,yxF所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐

函数.

把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化.例如由

方程310xy解出

31xy，就把隐函数化成了显函数.但是，

隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的.例如，方

程

0yexy所确定的隐函数就不能用显式表示出来.因此，我

们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程

算出它所确定的隐函数的导数来.我们知道，把方程

0,yxF所确定的隐函数

xyy代入原

方程，便得恒等式

0,xyxF，把这个恒等式的两端对

x求导，

所得的结果也必然相等.但应注意，左端

,Fxyx是将

xyy

代入

,Fxy后所得的结果，所以，当方程

0,yxF的两端对

x求

导时，要记住

y是

x的函数，然后利用复合函数求导法则求

导.这样，便可得到欲求的导数.下面举例说明这种方法.

例1求由方程221xy所确定的隐函数

y的导数.

解把方程两端分别对

x求导，记住

y是

x的函数，得

220xyy，由此得x

y

y（

0y）.

例2求由方程

0yexye所确定的隐函数

y的导数.

解把方程两端分别对

x求导，得

0yxyyey，由此得

0,

隐函数与参数方程的求导法则

在微积分中，求导是求函数在某一点的变化率的操作。当我们面对的函数是显式函数时，也就是可以通过直接表示成y=f(x)的形式，求导问题相对较为简单。但在一些情况下，我们会遇到隐式函数或参数方程，这就需要用到隐函数与参数方程的求导法则。

一、隐函数的求导法则

隐函数是指通过x和y之间的关系式来定义的函数，其中y不能用x的表达式直接表示出来。在求解隐函数的导数时，我们需要运用到隐函数的求导法则，具体步骤如下：

1.对于隐函数关系式进行求导，将dy/dx表示为f(x, y)。

2.将dx移到方程的一侧，得到f(x, y)dx+(-1)dy=0。

3.根据链式法则，乘得dy/dx=-(f(x, y)dx/dy)。

4.将方程中的dy/dx替换成-dy/dx，便可得到所求的导数。

举个例子来进行说明。假设我们有一个方程x^2+y^2=R^2表示一个圆的形状，其中R是一个常数。如果我们想要求解这个圆的切线斜率，就需要使用隐函数的求导法则。

首先对方程两边求导，得到2xdx+2ydy=0。将dy/dx替换成-dy/dx，得到2xdx-2ydy=0。然后将式子整理为dy/dx的形式，即dy/dx=-(2x/2y)=-x/y。这就是所求的切线斜率。

二、参数方程的求导法则 参数方程是指通过t来表示x和y，即x=f(t)，y=g(t)，其中t是一个独立变量。求解参数方程的导数时，我们同样需要运用到参数方程的求导法则，具体步骤如下：

1.对于参数方程中的每一个方程分别求导，得到dx/dt和dy/dt。

2.将两个式子相除，得到dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。

接下来，让我们通过一个例子来进一步说明参数方程的求导法则。假设我们有一个参数方程x=cos(t)，y=sin(t)，其中0≤t≤2π。我们想求解在该参数方程下的切线斜率。

首先对参数方程x=cos(t)和y=sin(t)分别求导，得到dx/dt=-sin(t)和dy/dt=cos(t)。然后将式子相除，得到dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=cos(t)/(-sin(t))=-cot(t)。这就是所求的切线斜率。

1 章节题目 第六节 隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率

内容提要 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导

对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导

参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则

相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率

重点分析 隐函数求导法则

参数方程求导

难点分析 利用对数求导法求导

由参数方程确定的函数的高阶导数求法

习题布置 138P：1（单）、2、4（1）（3）、5（1）（3）、7、10、12

备注 2 教 学 内 容

一、隐函数的导数

定义: .)(称为隐函数由方程所确定的函数xyy

.)(形式称为显函数xfy

0),(yxF)(xfy隐函数的显化

问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?

隐函数求导法则:

用复合函数求导法则直接对方程两边求导.

例1.,00xyxdxdydxdyyeexy的导数所确定的隐函数求由方程

解：,求导方程两边对x

0dxdyeedxdyxyyx

解得,yxexyedxdy,0,0yx由原方程知

000yxyxxexyedxdy=1

例2：.,)23,23(,333在该点的法线通过原点并证明曲线的切线方程上点求过的方程为设曲线CCxyyxC

解：,求导方程两边对xyxyyyx333322

)23,23(22)23,23(xyxyy.1

所求切线方程为)23(23xy.03yx即

2323xy法线方程为,xy即显然通过原点.

例3.)1,0(,144处的值在点求设yyxyx

解：求导得方程两边对x

)1(04433yyyxyx 3 得代入1,0yx;4110yxy

求导得两边再对将方程x)1(

04)(122123222yyyyyxyx

43 隐函数及由参数方程所确定的函数的微分法

一、基本内容

1. 隐函数的微分法：

方法一：利用微分法则和微分形式不变性。

方法二：假设由方程0),(yxF所确定的函数为)(xyy，则把它代回方程0),(yxF中，得到恒等式0))(,(xyxF

然后利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x求导，再解出所求导数dxdy即可。

2. 对数微分法：先在函数两边取自然对数，然后在等式两边同时对自变量x求导，最后解出所求导数。

3. 由参数方程所确定的函数的微分法：先分别求出dx和dy，由“微商”的概念，可得dxdyy，若求二阶导数，再计算yd，而dxydy。

二、学习要求

1. 会求隐函数和由参数方程所确定函数的一阶、二阶导数；

2. 掌握对数微分法。

三、基本题型及解题方法

题型1 求隐函数的导数

解题方法：导数又称“微商”，所以可以通过dxdyy，dxydy求导数，即通过微分来求导数。

【例1】求由方程yxey1 所确定的隐函数y的导数。

解： 方程两边同时微分，得 )(yxeddy

)(dxedyxedyyy

即 dxedyxeyy)1( 44 当01yxe时， yyxeedxdy1。

【例2】设方程144yxyx确定了隐函数)(xyy，求y在点)1,0(处的值。

解： 方程两边微分，得 04433dyyydxxdydxx

即 )4(3xydxxydy)4(3

当)4(3xy0时，xyxydxdyy3344， 41)1,0(y，

又 yd23323233)4()488()488(xydxyyxxdyyxyx