隐函数的导数

- 1 - 隐函数的求导公式

隐函数的求导公式

首先，要明确的是，隐函数求导的前提是要把隐函数表达式转化成显函数表达式，然后就可以采用求导的方法来求隐函数的导数。

1、把隐函数的表达式按照给定的变量进行分离，然后求函数

f(x,y,z) = 0 中每个变量的变化对隐函数求导的影响：

f/x= 0

f/y= 0

f/z= 0

2、通过计算得出每个变量对隐函数的影响，然后把这些变量的变化量组合起来，用如下公式求得隐函数的导数：

f/y = x·f/x + y·f/y + z·f/z

3、根据变换后的隐函数的表达式，求出其导数，多元隐函数的求导公式如下：

f/x = x·f/x1 + y·f/x2 + ... + z·f/xn

上式中，x1, x2, ..., xn 分别表示各个变量，而f/x1, f/x2,…,

f/xn 表示每个变量对隐函数的影响。

4、求解一元隐函数的导数，采用如下公式：

y'= (dy/dx)·(dx/dy)

5、对于多元隐函数的导数，采用如下公式求解：

f/x=x(x1,x2,…,xn)·f/x1 + y(x1,x2,…,xn)·f/x2 +…+z(x1,x2,… - 2 -

2020高三年级 备课组

第 1 页 共 6 页 导数专题（1）隐零点问题

1.设函数2lnxfxeax.

（Ⅰ）讨论fx的导函数fx的零点的个数；

（Ⅱ）证明：当0a时22lnfxaaa.

2. 设函数2)(axexfx.

（Ⅰ）求函数)(xf的单调区间；

（Ⅱ）若1a，k为整数，且当x＞0时，1)(')(xxfkx＞0，求k的最大值。

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第 2 页 共 6 页 3. 设函数)ln()(mxexfx.

（Ⅰ）若x＝0是)(xf的极值点，求m＞0，并讨论)(xf的单调性；

（Ⅱ）当m≤2时，求证：)(xf＞0.

4. 已知函数+3()exmfxx,ln12gxx．

（Ⅰ）若曲线yfx在点00f，处的切线斜率为1，求实数m的值；

（Ⅱ）当1m时，证明：3()fxgxx.

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第 3 页 共 6 页 隐零点问题习题选：

1. 已知函数]20[sincos)(，，xxxxxf.

（Ⅰ）求证：)(xf≤0.

（Ⅱ）若a＜xxsin＜b＜对)20(，x恒成立，求实数a的最大值与b的最小值。

2. 已知函数2ln2)(xxmxf，xmexgxln2)(，Rm，693.02ln.

（Ⅰ）讨论)(xf的单调性；

（Ⅱ）若)(xf存在最大值M，)(xg存在最小值N，且M≥N，求证：m＞2e.

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第 4 页 共 6 页 3. 已知函数221ln)(aaxxxf，Ra.

（Ⅰ）求函数)(xf的单调区间；

（Ⅱ）若2)()(xxfxg，求证：当a＜e2ln时，)(xg＞a2.

4. 已知函数121ln)(2xaxxxf.

（Ⅰ）当2a时，求)(xf的极值点；

（Ⅱ）当0a时，证明：对任意的x＞0，不等式xxe≥)(xf恒成立。

隐函数的求导方法

隐函数是指由两个或多个变量的函数方程所确定的函数。在一些情况下，我们无法直接通过解方程得到显式函数表达式，而只能得到一个隐函数方程。对于这种情况，我们需要使用隐函数求导的方法来求隐函数的导数。

一、隐函数偏导数法

隐函数偏导数法是根据隐函数方程的特定条件和偏导数的定义，通过求偏导数的方式计算隐函数的导数。

假设有一个由x和y两个变量确定的方程F(x,y)=0，表示为F(x,y)=0。其中F(x,y)是一个关于x和y的函数。

步骤如下：

1. 对方程两边同时对 x 求偏导数，记为 ∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx =

0。

2. 解上述方程，将 dy/dx 表达成 ∂F/∂x 和 ∂F/∂y 的比值。

3. dy/dx 就是所求的隐函数的导数。

这种方法对于求解常见的一阶隐函数方程非常有效，但不能用于求解二阶或高阶隐函数方程。

二、全导数法

全导数法是通过定义全导数的方式，将隐函数导数表示成全导数的形式。 假设有一个由x和y两个变量确定的方程F(x,y)=0，表示为F(x,y)=0。其中F(x,y)是一个关于x和y的函数。

步骤如下：

1. 对方程两边同时对 x 求导，得到 ∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。

2. 对方程两边同时对 y 求导，得到 ∂F/∂x * dx/dy + ∂F/∂y = 0。

3.将上述两个方程组成一个方程组，可以用矩阵的形式表示，即：

∂F/∂x ∂F/∂y， * ，dx/dy， = ，-∂F/∂y ∂F/∂

这个方程组表示了偏导数的关系。

4. 解方程组求出 dx/dy，其值就是所求的隐函数的导数。

全导数法可以用于求解一阶、二阶甚至高阶的隐函数方程，比较灵活和通用。

总结：

隐函数的求导方法主要有隐函数偏导数法和全导数法。隐函数偏导数法适用于求解一阶隐函数方程，而全导数法对一阶、二阶以及高阶隐函数方程均可使用。在实际应用中，根据具体的问题和情况选择适合的求导方法，能够更加方便地求得隐函数的导数。

什么是隐函数的导数？

隐函数是指表达式中包含了一个或多个未知变量的方程。隐函数的导数是指在变量之间存在函数关系时，通过求导来确定这种关系中的变化率。

举个例子，考虑方程 x^2 + y^2 = 4，其中 x 和 y 是未知变量。这是一个典型的隐函数，因为我们不能直接将 y 表达为 x 的显式函数。为了求解隐函数的导数，我们可以使用隐函数求导的方法。

隐函数求导方法的基本思想是：假设两个未知变量 x 和 y 之间存在函数关系 F(x, y) = 0。对隐函数进行求导时，我们将其中一个未知变量视为另一个未知变量的函数，并使用链式法则来求导。

具体来说，如果我们要求解 dy/dx，即 y 对 x 的导数，可以按照以下步骤来进行计算：

1. 将方程 F(x, y) = 0 对 x 进行求导，得到关于 x 和 y 的导数表达式。 2. 对于得到的导数表达式，将其中的 dy/dx 部分移到等式的一边。

3. 将 dy/dx 看作一个整体，根据导数的定义将其他变量视为常数，进行求解。

通过这种方法，我们可以得到隐函数的导数，即使我们无法将隐函数表示为显式函数。求得的导数可以帮助我们了解隐函数中各个变量的变化率，以及它们之间的相关性。

总而言之，隐函数的导数是通过对隐含变量之间的函数关系求导得到的。通过求解导数，我们可以揭示隐函数中的变化率和相关性，进一步理解隐函数的特性和行为。

参考文献：

- 陈东升, 张凯华. (2017). 多元函数微分学. 高等教育出版社.