习题1-1
1. 求下列函数的定义域： (1) 2
1
x
y x =
- ;
(2) 211
2
++-=
x x
y ；
(3) y
(4) lg(2)y x =-.
解：⑴ 要使式子有意义，x 必须满足2
10x -≠，由此解得1x ≠±，因此函数的定义域是
(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ 。
⑵ 要使式子有意义，x 必须满足210,20 ,x x ⎧-≠⎨+≥⎩ 即1,
2 ,x x ≠±⎧⎨≥-⎩
因此函数的定义域是
[2,1)(1,1)(1,)---+∞ 。
⑶ 要使式子有意义，x 必须满足2
sin 0,
160 ,
x x ≥⎧⎨-≥⎩即2(21),
4 4 ,
k x k x ππ≤≤+⎧⎨
-≤≤⎩因此函数的定义域
是[4,][0,]ππ-- 。
⑷ 要使式子有意义，x 必须满足2
20,
320 ,
x x x ->⎧⎨
+-≥⎩即2,
1 3 ,
x x <⎧⎨
-≤≤⎩因此函数的定义域是
[1,2)-
2. 判断下列各组函数是否相同?
(1) 214
2
x y x -=-，22y x =+；
(2) 2
1lg y x =，22lg y x =,
(3) ()sin 21y x =+，()sin 21u t =+； (4) ()1f x =, ()2
2
sec tan g x x x =-．
解：(1) 因为1y 的定义域是(,2)(2,)-∞+∞ ，但是2y 的定义域是R ，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。
(2) 因为1y 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，但是2y 的定义域是(0,)+∞，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。
(3) 两个函数的定义域相同，对应法则也相同，所以两个函数相同。
(4) 因为()f x 的定义域是R ，但是()g x 的定义域是,2x x k x R π
π⎧⎫
≠+
∈⎨⎬⎩
⎭
，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。
3. 若()2
32f x x x =-+，求()1f ，()1f x -. 解：()10f =，()22
1(1)3(1)256f x x x x x -=---+=-+
4. 若()2
132f x x x +=-+，求()f x , ()1f x -.
解：令1x t +=.则1x t =-,从而()()()2
2
131256f t t t t t =---+=-+，
所以()256f x x x =-+，
()21(1)5(1)6f x x x -=---+ 2712x x =-+。
5. 设1()1x
f x x
-=
+，求()0f ，()f x -，1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
。 解：(0)1f =，1()1x f x x +-=-，1
111()11
1x x f x x x
-
-==++。 6. 设1,20,
()1,02
x x f x x x --≤<⎧=⎨
+≤≤⎩，求f （-1）, f （0）, f （1）, f （x -1）.
解： (1)112f -=--=-，(0)011f =+=，(1)112f =+=
(1)1,210(1)(1)1,012x x f x x x ---≤-<⎧-=⎨
-+≤-≤⎩2,11
,13
x x x x --≤<⎧=⎨
≤≤⎩ 7．作出下列函数的图形：
(1) 242x y x -=+； （2） 1y x =-； (3) ()1,02;0,0 2.x x f x x x ⎧-≤≤⎪
=⎨<>⎪⎩
或
8. 某运输公司规定货物的吨公里运价为: 在a 公里以内,每公里k 元, 超过部分公里为
3
4
k 元. 求运价m 和里程s 之间的函数关系. 解：由题意可得,0,3(),4ks s a m ka k s a s a <≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩,0,31
,44
ks s a ks ka s a <≤⎧⎪
=⎨+>⎪⎩ 9.火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算.如从上海
到某地每千克以0.15元计算基本运费，当超过50千克时，超重部分按每千克0.25元收费.试求上海到该地的行李费y （元）与重量x （千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像. 解：由题意可得0.15,050,0.15,050,
0.15500.25(50),500.255,50x x x x y x x x x <≤<≤⎧⎧==⎨
⎨
⨯+->->⎩⎩
习题1-2
1. 指出下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？
(1) ()3
cos f x x x =； (2) 2
x x
e e y -+=；
（3）sin cos y x x =+. (4) ()sin x x f x x e e -=+- 解：(1) ()3cos f x x x =的定义域是(,)-∞+∞，
()()33()cos()cos f x x x x x f x -=--=-=- ， ()f x ∴是奇函数。
(2) 2x x
e e y -+=的定义域是(,)-∞+∞，
()22
x x x x
e e e e ----++= ， y ∴是偶函数。 ⑶ sin cos y x x =+的定义域是(,)-∞+∞，
()()y x y x -≠ ，且()()y x y x -≠-，y ∴既不是奇函数也不是偶函数。
(4) ()sin x x f x x e e -=+-的定义域是(,)-∞+∞，
()()()sin()sin x x x x f x x e e x e e f x -----=-+-=-+-=- ，()f x ∴是奇函数。 2. 设下列函数的定义域均为,(,)a a -证明：
(1) 两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；
(2) 两个奇函数的积是偶函数，一奇一偶的乘积为奇函数； (3) 任一函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和. 证明：(1)设()f x 、()g x 是奇函数，令()()()F x f x g x =+，
()f x 、()g x 是奇函数，即()(),()()f x f x g x g x -=--=-，
()()()()[()][()()]()F x f x g x f x g x f x g x F x ∴-=-+-=-+-=-+=-，因此两个奇函数的
和仍为奇函数。
设()f x 、()g x 是偶函数，令()()()F x f x g x =+，
()f x 、()g x 是偶函数，即()(),()()f x f x g x g x -=-=，
()()()()()()F x f x g x f x g x F x ∴-=-+-=+=，因此两个偶函数的和仍为偶函数。
(2) 设()f x 、()g x 是奇函数，令()()()F x f x g x =，
()f x 、()g x 是奇函数，即()(),()()f x f x g x g x -=--=-，
()()()[()][()]()()()F x f x g x f x g x f x g x F x ∴-=--=--==，因此两个奇函数的积为偶函
