向量组线性相关的证明方法内容提要向量组的现行相关性是高等代数理论中的一块基石，在它的基础上我们可以衍生出许多其他理论，所以熟练地掌握判定向量组线性相关的方法可以更好地帮助我们理解其他理论的知识。
本文从理解向量组线性相关性的定义入手，论述了若干证明向量组线性相关的方法，例如利用线性相关的定义，行列式的值，矩阵的秩，齐次线性方程组的解等知识判定向量组线性相关性的判定，并且比较了不同种证明方法的适用范围和条件。
向量组线性相关性的证明理论在现实生活当中有着广泛的应用。
因此学好这一块的理论知识，掌握证明方法是很重要的。
第一章 绪论线性相关性的理论在数学专业许多课程中都有体现，如解析几何，高等代数和常微分方程中等等，它是线性代数理论当中的基本概念，它与向量空间和子空间的概念有着密切的联系，同时在解析几何以及常微分方程中有广泛的应用，因此掌握向量组线性相关性这个概念有着十分重要的意义，也是解决问题重要的理论依据。
向量组的线性相关和线性无关可以推广到函数组的线性相关和线性无关。
在线性代数中，向量组的线性相关性占到了举足轻重的作用。
它可以将线性代数中的矩阵，行列式，二次型的知识联系起来，如果能熟练掌握线性相关性则能更好地理解线性代数当中的其他知识，，理清线性代数的框架，做到融会贯通。
本文主要研究的是向量组的线性相关性的判定方法，从定义和性质下手，熟悉了一些重要的理论，熟悉了定义我们就能更好地把握线性相关性的本质。
而本文的第三章就并提出了几种线性相关性的证明方法，比较了不同种证明方法的适用范围和优势劣势，并给出了详细地证明过程和例题，从而更加深入地理解线性相关性的理论知识。
最后是关于这部分理论的展望和本文参考的具体文献。
第二章 向量组线性相关性的定义和性质2.1.1线性相关的概念定义1设m 21,,,ααα 是F 上向量空间V 的m 个向量.如果存在F 中一组不全为零的数,,,,21m k k k 使得0m 2211=+++αααm k k k （1）那么就称向量m 21,,,ααα 线性相关.如果不存在不全为零的数,,,,m 21k k k 使(1)式成立,或者说,只有当0m 21====k k k 时,(1)式才成立,那么就称m 21,,,ααα 线性无关.定义 2 若向量组A 中每一个向量i α(t i ,,2,1 =)都可由向量组B ={s ββ,,1 }线性表示,则称A 可由B 线性表示.若两个向量组可互相线性表示,则称这两个向量组等价.性质1 向量组的等价具有1)反射性；2)对称性；3)传递性.定义 3 设向量组{r i i i ααα,,,21 }是向量组{s ααα,,,21 }的部分组.称{r i i i ααα,,,21 }是{s ααα,,,21 }的极大无关组,如果1)向量组{r i i i ααα,,,21 }线性无关；2){s ααα,,,21 }中的任意1+r 个向量(如果有的话)构成的向量组总是线性相关的.定义 4 向量组{s ααα,,,21 }的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩. 记为秩(s ααα,,,21 ).性质2 向量组{r αα,,1 }线性无关⇔秩{r αα,,1 } =r .向量组{r αα,,1 }线性相关⇔{r αα,,1 }秩<r .2．1.2线性相关的性质性质(1) 含零向量的向量组必线性相关,即{s αα,,,01 }线性相关.性质(2) 一个向量组若有部分向量线性相关,则此向量组线性相关.性质(3) 若一个向量组线性无关,则它的每个非空部分向量组也线性无关. 性质(4) {α}线性相关0=⇔α.性质(5) {βα,}线性相关λβα=⇔)(P ∈λ.性质(6) n P 中单位向量组线性无关.性质(7) 向量组i α=),,,(21in i i a a a ),,2,1(s i =线性相(无)关⇔齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221121221111s sn n n s s s s x a x a x a x a x a x a x a x a x a（2） 有(无)非零解.性质(8) 设向量组{r ααα,,,21 }线性无关,而向量组{r ααα,,,21 ,β}线性相关,则β一定可由r ααα,,,21 唯一的线性表示.性质(9) 向量组{r ααα,,,21 }(r 2≥)线性相关的充要条件是其中某一个向量是其余向量的线性组合.性质(10) 设s ααα,,,21 是向量空间V 中的向量,A 是t s ⨯矩阵,B 是r t ⨯矩阵.则有((s ααα,,,21 )A )B =(s ααα,,,21 )AB （3）性质(11) 设向量组{p γγγ ,,21}可以由向量组{t βββ,,,21 }线性表示,向量组{t βββ,,,21 }可以由向量组{s ααα,,,21 }线性表示,则向量组{p γγγ ,,21}可以由向量组{s ααα,,,21 }线性表示.性质(12) 设向量组{r ααα,,,21 }线性无关,且可由向量组{s βββ,,,21 }线性表示.则s r ≤.必要时对向量组{s βββ,,,21 }中的元素重新排序,使得用r ααα,,,21 替换s βββ,,,21 后,所得向量组},,,,,{121s r r ββααα +与{s βββ,,,21 }等价. 性质(13) (1)若向量组{t βββ,,,21 }可由向量组{s ααα,,,21 } 线性表示,并且s t >,则向量组{t βββ,,,21 }线性相关;(2) 设向量组{t βββ,,,21 }线性无关,t s <,则向量组{t βββ,,,21 }不能由含s 个向量的向量组线性表示.性质(14) 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量.性质(15) 任意1+n 个n 维向量必线性相关.性质(16) 若{s ααα,,,21 }和{t βββ,,,21 }是两个等价的线性无关的向量组,则t s =,且存在s 阶可逆矩阵A 使得(s ααα,,,21 )=(t βββ,,,21 )A （4）性质(17) 设向量组{r i i i ααα,,,21 }是向量组{s ααα,,,21 }的一个部分组,则{r i i i ααα,,,21 }是极大线性无关组的充要条件为1)向量组{r i i i ααα,,,21 }线性无关;2)每一个j α(s j ,,2,1 =)都可由r i i i ααα,,,21 线性表示.性质(18) 向量组的任意一个极大无关组都与向量组本身等价.性质(19) 一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量.性质(20) 两个等价的向量组有相同的秩.性质(21)设向量组(s ααα,,,21 )线性无关,A 是一个t s ⨯矩阵,令(t βββ,,,21 )=(s ααα,,,21 )A ,则 A R t =),,,(21βββ .性质(22)如果向量函数)(,),(),(21t x t x t x m 在区间b t a ≤≤上线性相关,则它们的朗斯基行列式0)(=t W .性质(23) 如果向量函数)(,),(),(21t x t x t x m 在区间d t ≤≤c 上线性无关,则它们的朗斯基行列式0)(≠t W .第三章 向量组线性相关性的证明方法3.1定义法这是判定向量组线性相关的基本方法.定义法既适用于分量没有具体给出的抽象向量组,也适用于分量已经给出的具体向量组.其定义是,设m 21,,,ααα 是F 上向量空间V 的m 个向量.如果存在F 中一组不全为零的数,,,,m 21k k k 使得0m 2211=+++αααm k k k ,那么就称向量m 21,,,ααα 线性相关,否则称它是线性无关的. 例1设有两个n 维向量组,,,s 12 ααα、,,,s 12 βββ，若存在两组不全为零的数12,,,s k k k ；12,,,s λλλ ，使111111()()()()s s s s s s k k k k λλλλ+++++-++-= 0ααββ；则 ．证明111111()()()()s s s s s s k k k k λλλλ+++++-++-= ααββ0，111111()()()()s s s s s s k k λλ-++-+++++= αβαβαβαβ0，所以1111,,,,,s s s s --++ αβαβαβαβ线性相关．例2 设A 是n 阶矩阵,若存在正整数k ,使线性方程组x A k 0=有解向量α,且01≠-αk A .证明向量组ααα1,,,-k A A 线性无关.证明 设有实数,,,21k λλλ 使得0121=+++-αλαλαλk k A A (9) 则有)(1211=+++--αλαλαλk k k A A A . （10）从而011=-αλk A 由于01≠-αk A ,所以,01=λ.把01=λ代入(*)式再左乘2-k A 可得012=-αλk A ,由01≠-αk A ,得02=λ.类似可证得043====k λλλ故向量组ααα1,,,-k A A 线性无关.我们还可以利用向量组内向量之间的线性关系判定.即向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅线性相关的充要条件是向量组A 中至少有一个向量可由其余线性表示.比如例1,取1k =3k =1,2k =4k =-1,则1β=2β-3β+4β,即1β可由2β,3β,4β三个向量线性表示,所以向量组1β,2β,3β,4β线性相关.3.2根据齐次线性方程组的解进行判定在应用定义法解一个齐次线性方程组,需由该方程组是否有非零解来判定向量组的线性相关性.即应用定义法的同时也就应用了齐次线性方程组的解进行了线性相关性的判定.于是我们可以利用结论[1]进行判定.结论[1] 向量组i α=),,,(21in i i a a a ),,2,1(m i =线性相(无)关⇔齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221121221111m mn n n m m m m x a x a x a x a x a x a x a x a x a （11） 有(无)非零解.例3[7] 证明向量组1α=(2,1,0,5),2α=(7,-5,4,-1),3α=(3,-7,4,-11)线性相关.证明 以1α,2α,3α为系数向量的齐次线性方程组是1x 1α+2x 2α+3x 3α=0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+=--=++0115044075037232132321321x x x x x x x x x x x （12） 利用矩阵的行初等变换将方程组的系数矩阵转化为阶梯型矩阵,即→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----110110110751242404401717075111154403727511115440751372 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000000110751 由行阶梯型矩阵可知,()R A =32<.即齐次线性方程组有非零解,所以向量组1α,2α,3α线性相关.3.3利用矩阵的秩进行判定结论[5] 设向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅是由m 个n 维列向量所组成的向量组,则向量组A 的线性相关性可由向量组A 所构成的矩阵A =(12,,m ααα⋅⋅⋅)的秩的大小来进行判定.即(i) 当R(A )= m 时,则向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅是线性无关的.(ii) 当R(A )<m 时,则向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅是线性相关的.例4 设1α=T )1,1,1(,2(1,2,3)T α=,3(1,3,5)T α=问向量组1α,2α,3α是否线性相关.解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000210111420210111531321111A3)(<A R ,所以向量组1α,2α,3α线性相关.例5[4] 试讨论n 维单位向量组的相关性.解 因为),,,(21n e e e E =的行列式01≠=E , 即n E R =)(,所以,n 维单位向量组线性相关.利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进行判定的出发点不同,但实质上是一样的,都是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵,从而求出向量组的秩,即系数矩阵的秩,然后再作出判定.3.4利用行列式值进行判定行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解,然后再对向量组的线性相关性作出判定,所以能应用行列式值进行判定的向量组,也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判定.结论 [3] 若向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅ 是由m 个m 维列向量所组成的向量组,且向量组A 所构成的矩阵A =(12,,m ααα⋅⋅⋅),即A 为m 阶方阵,则(i) 当A =0时,则向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅是线性相关的.(ii) 当A ≠0时,则向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅是线性无关的.例6设向量组4321,,,αααα线性无关,判断向量组12,αα+23,αα+34,αα+ 41αα-是线性相关还是线性无关.解 设存在4个数4321,,,k k k k ,使得)()()()(144433322211=-++++++ααααααααk k k k ,（13）拆项重组为 0)()()()(443332221141=++++++-ααααk k k k k k k k ,（14）由4321,,,αααα线性无关知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=-000043322141k k k k k k k k (15)由于系数行列式021100011000111001≠=- （16）所以,齐次线性方程组(1)只有零解,即04321====k k k k .因此向量组14433221,,,αααααααα-+++线性无关.3.5反证法在有些题目中,直接证明结论常常比较难,但从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件相悖的结果,近而得出结论.例7[5] 设向量组12,,,m ααα 中任一向量i α不是它前面1i -个向量的线性组合,且i α≠0,证明向量组12,,,m ααα 线性无关.证明 (反证法)假设向量组12,,,m ααα 线性相关,则存在不全为零的数21,k k m k ,使得11k α+22m m k k αα++ =0 (17)由此可知,0=m k ,否则由上式可得112211------=m m m m m m k k k k k k αααα ,（18） 即m α可由它前面1m -个向量线性表示,这与提设矛盾,因此0=m k , 于是(17)式转化为1k 1α+22k α+ +11m m k α--=0.类似于上面的证明,同样可得01221=====--k k k k m m ,这与m k k k ,,,21 不全为零的假设矛盾,因此,向量组12,,,m ααα 线性无关.3.6 数学归纳法有些题中,我们还可以利用数学归纳法,如下例. 例8[9] 设线性无关的向量组r γγγ ,,21①可由向量组t βββ,,,21 ②线性表示,且t r ≤,则可从{t βββ,,,21 }中选出)(m t -个向量组)(21,,,m t j j j -βββ , 使得向量组m γγγ ,,21,)(21,,,m t j j j -βββ ③与向量组②等价.证明:用数学归纳法(1)当1=r 时,有t r ≤,由于∑==tj j j k 11βγ,且01≠γ,则t k k k ,,,21 不全为0,在②中,设01≠k t t k k k k k ββγβ12121111---= ,故t r ββ,,,11 与t βββ,,,21 等价 (2)设1-=s r 时结论成立,推证s r =时结论成立. 由于121,,-s γγγ ,t βββ,,,21 与向量组②等价,而s γ又可由向量组t βββ,,,21 线性表示故有tt s s s s s h h h h h βγγγγγ++++++=-- 112211 , （19）而题设s γγγ,,,21 线性无关,必有t s s h h h ,,,1 +不全为0,设0≠s h ,则 t s t s s s s s s s s s s h h h h h h h h h ββγγγβ-+-+--=++-- 1111111 （20） 因此,s γγγ,,,21 ,t β与121,,,-s γγγ ,t s ββ,, 等价,由上分析可知,当t s ≤,s r =时结论成立.由数学归纳法知命题成立.3.7利用线性微分方程组的相关理论判定结论[8] 一组1-n 次可微的纯量函数)(,),(),(21t x t x t x m 线性相关的充要条件是向量函数⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'---)()()(,,)()()(,)()()()1()1(222)1(111t x t x t x t x t x t x t x t x t x n mmm n n (21) 线性相关.证明：事实上,如果)(,),(),(21t x t x t x m 线性相关,则存在不全为零的常数m c c c ,,,21 使得0)()()(2211=+++t x c t x c t x c m m .将上式对t 微分一次,二次,…,1-n 次,得到,0)()()(,0)()()(,0)()()()1()1(22)1(1122112211=+++=''+''+''='+'+'---t x c t x c t x c t x c t x c t x c t x c t x c t x c n m m n n m m m m（22）即有,0)()()()()()()()()()1()1(2222)1(1111=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'---t x t x t x c t x t x t x c t x t x t x c n mm m m n n (23)这就是说,向量函数组(22)式是线性相关的.反之,如果向量函数(22)线性相关,则存在不全为零的常数使m c c c ,,,21 得(23)成立,当然有0)()()(2211=+++t x c t x c t x c m m ,这就表明)(,),(),(21t x t x t x m 线性相关.例9若函数)(,),(),(21t x t x t x m 在区间b t a ≤≤上线性相关,则它们的朗斯基行列式0)(=t W .证明 据结论[8] 和纯量函数朗斯基行列式的概念知，存在一组不全为零的常数m c c c ,,,21 ，使得,0)()()()()()()()()()1()1(2222)1(1111=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'---t x t x t x c t x t x t x c t x t x t x c n mm m m n n （24） 上式可以看成是关于m c c c ,,,21 的齐次线性代数方程组，它的系数行列式就是)](,),(),([21t x t x t x W m ，于是由线性代数理论知，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必为零，即0)(=t W .结束语以上归纳了判断向量组线性相关性的几种方法,只要我们熟练掌握并能灵活的运用,将会在研究线性方程组解之间的关系,或者说研究线性方程组解的结构问题时带来很大的方便.参考文献[1]刘仲奎等.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2005.[2]北京大学数学力学系几何和代数教研室代数小组.高等代数[M].北京:人民教育出版社,2003.[3]张禾瑞,郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出社,2005.[4]王品超.高等代数新方法[M].北京:中国矿业大学出版社,2002.[5]王萼方.高等代数题解[M].北京:北京大学出版社,2002.[6]邱森.高等代数[M].武汉:武汉大学出版社,2008.[7]西北工业大学高等代数编写组.高等代数[M].北京:科学出版社,2008.[8]王高雄等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006.[9]栾召平.证明向量组线性相关性的几种方法[J].山东电大学报，2002,(2):61-62.致谢在本次论文设计过程中,白永强老师对该论文从选题、构思到最后定稿的各个环节都给予细心指引与教导,使我得以最终完成毕业论文设计.在学习中,老师渊博的专业知识、深厚的学术素养、严谨的治学态度、精益求精的工作作风、诲人不倦的高尚师德对我影响深远,也是我永远学习的榜样,并将积极影响我今后的学习和工作,使我终身受益.在此,谨向陈老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！这四年中还得到众多老师的关心、支持和帮助.在此,向他们表示我深深的谢意！最后,向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位老师表示衷心地感谢！。
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