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二、椭圆的对称性 2 2 x y 在 2 2 1(a b 0)之中， a b
把(X)换成(-X),方程不变,说明椭圆关于( Y )轴对称； 把(Y)换成(-Y),方程不变,说明椭圆关于( X )轴对称； 把(X)换成(-X), (Y)换成(-Y),方程还是不变,说明椭圆关 y 于( 原点 )对称；
四、椭圆的离心率
c e a
a b b 1 a a
2 2 2
2
2
练习5
下面两个椭圆中，哪个 更接近于圆？
x y x 3y 9 与 1 16 12
2 2
2
2
小结一：基本元素
{1}基本量：a、b、c、e、（共四个量） {2}基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） {3}基本线：对称轴（共两条线） 请考虑：基本量之间、 基本点之间、基本线之 间以及它们相互之间的 关系（位置、数量之间 的关系） y B1(0,b)
椭圆的长轴长是: 2a=10 椭圆的短轴长是: 2b=8 焦点坐标是:
2
2
c 3 离心率: e 0.6 a 5
四个顶点坐标是:
F 1 (3,0), F 2 (3,0)
A1 (5,0), A2 (5,0), B1 (0,4), B2 (0,4)
巩固练习：
x2 y2 1. 若点P（x，y）在椭圆 25 9 1
0, ±b）， ±a, 0）
y B1(0,b) o
A2(a,0) x
B2(0,-b)
轴长和短半轴长。
练习3
口答下列椭圆的顶点坐 标及长轴和短轴长。 x y 1 9 4
2 2
顶点是： (3,0)、 (3,0)、 (0,2)、 (0,2) 长轴长是6，短轴长是4.
根据前面所学有关知识画出下列图形
o c
B1
A2
练习1. 口答下列椭圆的范围。 x y 1 25 16
5 ≤ x ≤ 5, 4 ≤ y ≤ 4
2 2
椭圆对称性
x y 2 1(a b 0) 2 a b
2 2
关于y轴对称
P2（-x，y） P（x，y）
Y
O
X
关于原点对称
P3（-x，-y）
P1（x，-y）
关于x轴对称
4 6
。
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置
0 为长轴端点时，a 解：（1）当 A2，
2， b 1 ，
2 2 x y 椭圆的标准方程为： 1； 4 1 0 为短轴端点时， b 2 , a 4 ， （2）当 A2， 2 2 x y 1； 椭圆的标准方程为： 4 16 2 2 2 2 x y x y 1或 1 综上所述，椭圆的标准方程是 4 1 4 16
所以，坐标轴是 椭圆的对称轴，原点 是椭圆的对称中心。
o
x
中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
三、椭圆的顶点
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点（
x y 在 2 2 1(a b 0)中， a b
2
2
令 y=0，得 x=？, 说明椭圆与 x轴的交点（
*顶点：椭圆与它的对称轴 的四个交点，叫做椭圆的顶 点。 *长轴、短轴： 线段 A1 A1A2、B1B2分别叫做椭圆的 长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半
(4)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直， 2 2 且焦距为6 x y
18
9
1
求椭圆的标准方程时, 应: 先定位(焦点), 再定量（a、b） 当焦点位置不确定时，要讨论，此时有两个解！
求椭圆的离心率：
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率 为
2 2
。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形， 则其离心率为
x y 1 （1 ） 25 16
4 B2 3 2 1 A2 A1 0 12 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
2 2
x y 1 （2） 25 4
y
4 3 B 2 2 1 A2 A1 0 12 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 B1 -4
x y 2 1(a b 0) 2 a 2 b 2 y x 2 1(a b 0) 2 a b
观察:椭圆
2 x y 一、范围： 1, 1得： 2 2 a b -a≤x≤a, -b≤y≤b 知
2
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2 A1
b F1
a F2
1 3 1 2
。
3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其
离心率为 。
求椭圆的离心率：
例 3 ： 椭 圆
b 7
x2 y 2 2 1 2 a b
的 左 焦 点 为
F1 (c,0), A(a,0), B(0, b) 是两的顶点，如果 F1 到直
线 AB 的距离为
，求椭圆的离心率
变式训练：
A1
o B2(0,-b)
A2 x
|MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|) 定 义 一个框，四个点，注意光滑和圆扁，莫忘对称要体现 y
y M F2 x
2 2
F1 O F2M x图 形源自F12 2O
方 程 范 围 对称性 焦 点 顶 点
x y 2 1 2 a b
x y a b 0 2 2 1 a b 0 b a |x| a |y| b |x| b |y| a
高二数学组
复习：
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的 动点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是： 2 2
当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时
3.椭圆中a,b,c的关系是:
2 2 2 a =b +c
关于x轴、y轴、原点对称 (c,0)、(c,0) (a,0)、(0,b) (0,c)、(0,c) (b,0)、(0,a)
离心率
c e a
2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心 求椭圆 16 x 例1 率、焦点和顶点坐标。
x y 1 解：把已知方程化成标准方程 2 2 5 4 a 5, b 4, c 25 16 3
练习6.已知椭圆方程为 6x y 6 则
它的长轴长是： 短轴长是： 焦距是： 离心率等于： 焦点坐标是：
2
2
2 6
; ;
2
2 5
30 6
(0, 5)
; ;
＿＿＿ (0, － 5) ;
(1, 0)(－ 1, 0); 顶点坐标是：(0, 6) (0,－ 6) ＿＿＿＿＿＿＿
外切矩形的面积等于：
2
2
y
B1
c 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比： e a 叫做椭圆的离心率。 [1]离心率的取值范围：0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响： 1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭 圆就越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭 圆就越圆 [3]e与a,b的关系:
4.说出椭圆 和焦点坐标
4x y 16的长轴长，短轴长，顶点
2 2
1 x2 y2 已知椭圆 1的离心率 e ，求 k 的值 2 k 8 9
解：当椭圆的焦点在
2
2
思考：
x 轴上时，
2
a k 8 ，b 9 ，得 c k 1．
1 由 e ，得：k 2
2
4
2
当椭圆的焦点在
2
y 轴上时，
a 9 ， b k 8 ，得 c 1 k ． 1 5 1 k 1 ，即 k ． 由e ，得 9 4 2 4 5 ∴满足条件的 k 4 或 k ． 4
0 ,其长轴长是短轴长 例2 椭圆的一个顶点为 A2， 的2倍，求椭圆的标准方程．
变式训练：求适合下列条件的椭圆的标准方程
1 (1) a=6, e= , 焦点在x轴上 3
2
x y 1 36 32
2 2 2
2
2
x y y x (2) 离心率 e=0.8, 焦距为8 1或 1 25 9 25 9 2 2 2 2 x y y x (3) 长轴是短轴的2倍, 且过点P(2,-6) 1或 1 148 37 52 13
x2 y 2 2 1 2 1.椭圆 a b 的左焦点 F1 作
x 轴的垂线交椭圆于
F PF 60 P 点， F2 为右焦点，若 1 2 ，求椭圆的离心
率。
小结：
1.知识小结： （1） 学习了椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离 心率等概念及其几何意义。 （2） 研究了椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系 2.数学思想方法： （1）数与形的结合，用代数的方法解决几何问题。 （2）分类讨论的数学思想
上，则点P（x，y）横坐标x的取值范围 上的点有 （1）P（-2，4） （2）P（-4，2） （3） P（-2，-4） （4）P（2，-4）
？
x2 y2 2.若点P（2，4）在椭圆 2 2 1(a b 0)上，下列是椭圆 a b
3. 中心在原点，焦点在x轴上，长轴、短轴的长分别为8和6 的椭圆方程为 ？
