【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学选修2-3双基限时练11

双基限时练(二)1．终边在y 轴的非负半轴上的角的集合是( ) A ．{α|α＝k π，k ∈Z }B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π2，k ∈Z C ．{α|α＝2k π，k ∈Z }D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π2，k ∈Z 解析 A 选项表示的角的终边在x 轴上；B 选项表示的角的终边在y 轴上；C 选项表示的角的终边在x 轴非负半轴上；D 选项表示的角的终边在y 轴非负半轴上，故选D.答案 D2．在半径为5 cm 的圆中，圆心角为周角的23的角所对的圆弧长为( )A.4π3cm B.20π3cm C.10π3cm D.50π3cm 解析 记r ＝5，圆心角α＝23×2π＝4π3，∴l ＝|α|r ＝203π.答案 B3．将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( ) A ．－π4－8πB.74π－8π C.π4－10π D.7π4－10π 解析 ∵－1485°＝－5×360°＋315°， 又2π＝360°，315°＝74π，∴－1485°＝－5×2π＋74π＝7π4－10π.答案 D4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ为( )A ．－34πB.π4C.34π D ．－π4解析 ∵－11π4＝－2π－3π4，∴θ＝－34π.又－11π4＝－4π＋5π4，∴θ＝5π4.∴使|θ|最小的θ＝－3π4.答案 A5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为( )A.π3B.2π3C. 3 D ．2解析 设所在圆的半径为r ，圆内接正三角形的边长为2r sin60°＝3r ，所以弧长3r 的圆心角的弧度数为3rr＝ 3.答案 C6．用集合表示终边在阴影部分的角α的集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪π4≤α≤π3 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪π4≤α≤5π3 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋π3，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z解析 由图可知在[0,2π)内角的终边落在阴影部分时π4≤α≤5π3， ∴满足条件的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z. 答案 D7．圆的半径变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的________倍．解析 由公式θ＝l r 知，半径r 变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的2倍．答案 28．将下列弧度转化为角度： (1)π12＝________； (2)－7π8＝________；(3)13π6＝________；(4)－512π＝________.答案 (1)15° (2)－157°30′ (3)390° (4)－75°9．将下列角度化为弧度： (1)36°＝________rad ； (2)－105°＝________rad ； (3)37°30′＝________rad ； (4)－75°＝________rad. 解析 利用1°＝π180rad 计算．答案 (1)π5(2)－7π12(3)5π24(4)－5π1210．在直径为20 cm 的圆中，圆心角为150°时所对的弧长为________． 解析 150°＝150×π180＝5π6，∴l ＝5π6×10＝25π3(cm)．答案 25π3cm11．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合： (1)终边落在射线OM 上； (2)终边落在直线OM 上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2 012°是不是这个集合的元素．解 ∵150°＝5π6.∴终边在阴影区域内角的集合为S ＝{β|5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z }．∵2012°＝212°＋5×360°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53π45＋10πrad ，又5π6＜53π45＜3π2. ∴2012°＝503π45∈S .12.如图所示，动点P 、Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P 、Q 第一次相遇所用的时间及P 、Q 各自走过的弧长． 解 设P 、Q 第一次相遇时所用的时间为t 秒，则：t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4，即第一次相遇时所用的时间为4秒．P 点走过的弧长为：43π×4＝163π， Q 点走过的弧长为：8π－16π3＝8π3. 13．扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解 (1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为R ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋R θ＝8，12θ·R 2＝3，解得θ＝23或6.即圆心角的大小为23弧度或6弧度．(2)设扇形所在圆的半径为 x cm ，则扇形的圆心角θ＝8－2xx，于是扇形的面积是S ＝12x 2·8－2x x＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4.故当x ＝2 cm 时，S 取到最大值．此时圆心角θ＝8－42＝2弧度，弦长AB ＝2 ·2sin 1＝4sin1 (cm)．即扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度，弦长AB 等于4sin1 cm.。

【名师一号】2014-2015学年高中数学 第三章 统计案例单元同步测试（含解析）新人教A 版选修2-3(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)1．两个变量x 与y 的回归模型中分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1的相关指数R 2为0.98 B ．模型2的相关指数R 2为0.80 C ．模型3的相关指数R 2为0.50 D ．模型4的相关指数R 2为0.25 答案 A2．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y ^＝7.19x ＋73.93，用这个模型预测这孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )A ．身高一定是145.83 cmB ．身高在145.83 cm 以上C ．身高在145.83 cm 以下D ．身高在145.83 cm 左右 答案 D3．下列关系中：①吸烟有害健康；②粮食产量与施肥量；③名师出高徒；④乌鸦叫，没好兆．不具有相关关系的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④答案 D4．下列说法正确的个数是( )①对事件A 与B 的检验无关时，即两个事件互不影响 ②事件A 与B 关系密切，则K2就越大 ③K 2的大小是判定事件A 与B 是否相关的唯一根据 ④若判定两个事件A 与B 有关，则A 发生B 一定发生A ．1B ．2C ．3D ．4解析 两个事件检验无关，只是说明两事件的影响较小；而判断两个事件是否相关除了公式外，还可以用二维条形图等方法来判断；两个事件有关，也只是说明一个事件发生时，另一个事件发生的概率较大，但不一定必然发生．综上分析知，只有②正确．答案 A5．预报变量的值与下列哪些因素有关( ) A ．受解释变量的影响与随机误差无关 B ．受随机误差的影响与解释变量无关 C ．与总偏差平方和有关与残差无关 D ．与解释变量和随机误差的总效应有关 答案 D6．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋12xD ．y ＝176解析 由于x －＝176，y －＝176，代入选项知， C 正确． 答案 C7．在回归分析中，残差图中的纵坐标为( ) A ．残差 B ．样本编号 C.x D.e ^n答案 A8．身高与体重的关系可以用( )来分析( ) A ．残差分析 B ．回归分析 C ．二维条形图 D ．独立检验 答案 B9．想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验( ) A ．男性喜欢参加体育活动 B ．女性不喜欢参加体育活动 C ．喜欢参加体育活动与性别有关 D ．喜欢参加体育活动与性别无关 解析 依据反证法原理可知D 正确． 答案 D10．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得一组样本数据：通过计算得到回归方程为y ＝0.577x －0.448，利用这个方程，我们得到年龄37岁时体内脂肪含量为20.90%，那么数据20.90%的意义是( )A ．某人年龄37岁，他体内脂肪含量为20.90%B ．某人年龄37岁，他体内脂肪含量为20.90%的概率最大C ．某人年龄37岁，他体内脂肪含量的期望值为20.90%D ．20.90%是对年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量所作出的估计 答案 D11．变量x 、y 具有线性相关关系，当x 的取值为8,12,14和16时，通过观测知y 的值分别为5,8,9,11，若在实际问题中，y 的预报值最大是10，则x 的最大取值不能超过( )A ．16B ．15C ．17D ．12解析 因为x ＝16时，y ＝11；当x ＝14时，y ＝9，所以当y 的最大值为10时，x 的最大值应介于区间(14,16)内，所以选B.答案 B12．为考察数学成绩与物理成绩的关系，在高二随机抽取了300名学生，得到下面列联表：A ．0.5%B ．1%C ．2%D ．5%解析 由表中数据代入公式得K 2＝300× 37×143－85×352122×178×72×228≈4.514>3.84.所以有95%把握认为数学成绩与物理成绩有关，因此，判断出错率为5%. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在题中横线上)13．已知一个回归方程为y ^＝1.5x ＋45，x ∈{1,5,7,13,19}，则y ＝________. 解析 x ＝9，∴y ＝1.5×9＋45＝58.5. 答案 58.514．对有关数据的分析可知，每一立方米混凝土的水泥用量x (单位：kg)与28天后混凝土的抗压度y (单位：kg/cm 2)之间具有线性相关关系，其线性回归方程为y ^＝0.30x ＋9.99.根据建设项目的需要，28天后混凝土的抗压度不得低于89.7 kg/cm 2，每立方米混凝土的水泥用量最少应为________kg.(精确到0.1 kg)解析 由题意得89.7＝0.30x ＋9.99，解之得x ＝265.7. 答案 265.715．有甲、乙两个班级进行一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的列联表：解析 成绩与班级有无关系，就是看随机变量的值与临界值2.706的大小关系． 由公式得K 2＝90× 10×38－7×35217×73×45×45＝0.653<2.706，∴成绩与班级无关系． 答案 无关16．“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时，由高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归．根据他的理论，在儿子的身高y 与父亲的身高x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^的取值范围是________．解析 子代的身高向中心回归，父母身高越高，子女越高，因此0<b ^<1. 答案 (0,1)三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)某高校调查询问了56名男，女大学生在课余时间是否参加运动，得到下表所示的数据．从表中数据分析，有多大把握认为大学生的性别与参加运动之间有关系.a ＝20，b ＝8，c ＝12，d ＝16，a ＋b ＝28，a ＋c ＝32，b ＋d ＝24，c ＋d ＝28，n ＝56，∴K 2的观测值k ＝56× 20×16－12×8 232×24×28×28≈4.667.∵k >3.841，故有95%的把握认为性别与参加运动有关．18．(12分)抽测了10名15岁男生的身高x (单位：cm)和体重y (单位：kg)，得到如下数据：(2)你能从散点图中发现身高与体重近似成什么关系吗？(3)如果近似成线性关系，试画出一条直线来近似的表示这种关系． 解 (1)散点图如图所示：(2)从图中可知当身高增大时，体重也增加，身高与体重成线性相关关系． (3)如图，散点在某一条直线附近．19．(12分)为了调查某生产线上，某质量监督员甲对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：质量监督员甲在现场时，990件产品中合格品982件，次品8件；甲不在现场时，510件产品中合格品493件，次品17件．试分别用列联表、独立性检验的方法对数据进行分析．解 (1)2×2列联表如下：在场与产品质量有关”．(2)由2×2列联表中数据，计算K 2＝1500× 982×17－493×8 21475×25×990×510＝13.097>10.828所以，约有99.9%的把握认为“质量监督员甲在不在现场与产品质量有关”． 20．(12分)已知x ，y 之间的一组数据如表：(1)从x ，y (2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y ＝13x ＋1与y ＝12x ＋12，试判断哪条直线拟合程度更好？解 (1)从x ，y 中各取一个数组成数对(x ，y )，共有5×5＝25(对)，其中满足x ＋y ≥10的数对有(6,4)，(6,5)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(8,2)，(8,3)，(8,4)，(8,5)共9对．故所求的概率为925.(2)用y ＝13x ＋1作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为：S 1＝(43－1)2＋(2－2)2＋(3－3)2＋(103－4)2＋(113－5)2＝73；用y ＝12x ＋12作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为：S 2＝(1－1)2＋(2－2)2＋(72－3)2＋(4－4)2＋(92－5)2＝12.∵S 1>S 2，∴用y ＝12x ＋12作为拟合直线时，拟合程度更好．21．(12分)期中考试后，对某班60名学生的成绩优秀和不优秀与学生近视和不近视的情况做了调查，其中成绩优秀的36名学生中，有20人近视，另外24名成绩不优秀的学生中，有6人近视．(1)请列出列联表并画出等高条形图，并判断成绩优秀与患近视是否有关系；(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与患近视之间有关系？ 解 (1)列联表如下：由图知成绩优秀与患近视有关． (2)由列联表中的数据得到K 2的观测值 k ＝60× 20×18－6×16 236×24×26×34≈5.475>5.024.因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与患近视有关．22．(12分)研究“刹车距离”对于安全行车及分析交通事故责任都有一定的作用，所谓“刹车距离”就是指行驶中的汽车，从刹车开始到停止，由于惯性的作用而又继续向前滑行的一段距离．为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h)，对这种汽车进行测试，测得的数据如表：(1)以车速为x 轴，以刹车距离为y 轴，在给定坐标系中画出这些数据的散点图； (2)观察散点图，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式； (3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5 m ，请推测刹车时的速度为多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？解 (1)散点图如图表示：(2)由图象，设函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将(0,0)，(10,0.3)(20,1.0)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0100a ＋10b ＋c ＝0.3，400a ＋20b ＋c ＝1.0解得a ＝0.002，b ＝0.01，c ＝0. 所以，函数的表达式为y ＝0.002x 2＋0.01x (0≤x ≤140)．经检验，表中其他各值也符合此表达式．(3)当y＝46.5时，即0.002x2＋0.01x＝46.5，所以，x2＋5x－23250＝0.解得x1＝150，x2＝－155(舍去)．故，可推测刹车时的速度为150 km/h，而150>140，因此发生事故时，汽车属于超速行驶．。

双基限时练(十一)1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值为( ) A ．5 B ．8 C ．5或3D ．8或5解析 当焦点在x 轴上时，m ＝4＋1＝5；当焦点在y 轴上时，4＝m ＋1，∴m ＝3，综上知，m ＝5或3.答案 C2．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0＜k ＜9)的关系为( )A ．有相等的长轴B ．有相等的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距解析 当0<k <9时，(25－k )－(9－k )＝25－9＝16＝c 2，∴c ＝4，而焦点一个在x 轴上，一个在y 轴上，∴两椭圆的焦点不同，因此，有相同的焦距，故选D.答案 D3．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( )A.13B.33C.12D.32解析 依题意2a ＝4b ，即a ＝2b ，又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝14a 2＋c 2，即34a 2＝c 2，∴c 2a 2＝34，∴e ＝c a ＝32. 答案 D4．若椭圆x 216＋y 2m ＝1的离心率为13，则m 的值为( ) A.1289 B.1289或18 C ．18D.1283或6解析 当焦点在x 轴上时，a 2＝16，b 2＝m ，∴c 2＝a 2－b 2＝16－m ，∴e 2＝c 2a 2＝16－m 16＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132，∴m ＝1289，当焦点在y 轴上时，同理可求得m ＝18.综上知m 的值为1289或18. 答案 B5．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的线段的中点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，73 C.⎝⎛⎭⎪⎫－23，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－132，－172解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2＋2y 2＝4消去y ，得3x 2＋4x －2＝0.设直线与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－43， ∴y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2＝23.∴AB 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13.答案 C6．已知F 1，F 2是椭圆x 2k ＋2＋y 2k ＋1＝1的左、右焦点，弦AB 过点F 1，若△ABF 2的周长是8，则椭圆的渐近线方程为________________________．解析 由题意得4k ＋2＝8，∴k ＝2.∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1，其渐近线方程为y ＝±32x .答案 y ＝±32x7．人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R ，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为r 1、r 2，则卫星运行轨道的离心率是__________．解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝r 2＋R ，a －c ＝r 1＋R ，∴2a ＝2R ＋r 1＋r 2,2c ＝r 2－r 1. ∴e ＝ca ＝r 2－r 12R ＋r 1＋r 2.答案 r 2－r 12R ＋r 1＋r 28．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2c .以点O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过点P (a 2c ，0)所作圆M 的两条切线互相垂直．则该椭圆的离心率为________．解析 如图，切线P A ，PB 互相垂直，又半径OA 垂直于P A ，所以△OAP 为等腰直角三角形．∴a 2c ＝2a ，∴e ＝c a ＝22.答案 229．椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点为F 1(0，－c )，F 2(0，c )(c ＞0)，离心率e ＝32，焦点到椭圆上点的最短距离为2－3，求椭圆的方程．解 ∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短， ∴a －c ＝2－ 3. 又e ＝c a ＝32， ∴a ＝2，c ＝ 3. ∴b 2＝1.∴椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.10．直线l 过点M (1,1)，与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，若AB 的中点为M ，求直线l 的方程．解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 214＋y 213＝1，①x 224＋y 223＝1，②①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)3＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－34·x 1＋x 2y 1＋y 2. 又M (1,1)为AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2. ∴直线l 的斜率为－34.∴直线l 的方程为y －1＝－34(x －1)， 即3x ＋4y －7＝0.11．椭圆过点(3,0)点，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程． 解 当椭圆焦点在x 轴上时，则 a ＝3，c a ＝63，∴c ＝ 6. ∴b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆的方程为x 29＋y 23＝1. 当椭圆的焦点在y 轴上时，则b ＝3，又c a ＝63， ∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27， 故椭圆的方程为x 29＋y 227＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y 227＝1.12．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A ，B 两点，k 为何值时OA →⊥OB →？此时|AB |的值是多少．解 (1)设P (x ，y )，由椭圆的定义知，点P 的轨迹C 是以(－3，0)，(3，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长b ＝22－(3)2＝1.故曲线C 的方程为x2＋y2/4＝1(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋4y 2＝4.消去y ，并整理，得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.若OA →⊥OB →，则x 1x 2＋y 1y 2＝0.∵y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝－4k 2－1k 2＋4＝0，∴k ＝±12.当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－1217.∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2.而(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝42172＋4×1217＝43×13172，∴|AB |＝54×43×13172＝46517.。

双基限时练(三)1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α的值为( ) A ．－32B ．－12C.32D.12解析 利用三角函数的定义可得sin α＝－12，故选B.答案 B2．若角α的终边经过M (0,2)，则下列各式中，无意义的是( ) A ．sin α B ．cos α C ．tan αD ．sin α＋cos α解析 因为M (0,2)在y 轴上，所以α＝π2＋2k π，k ∈Z ，此时tan α无意义．答案 C3．下列命题正确的是( )A ．若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角B ．若α>β，则cos α<cos βC ．若sin α＝sin β，则α与β是终边相同的角D ．若α是第三象限角，则sin αcos α>0且cos αtan α<0解析 当θ＝π时，cos θ＝－1，此时π既不是第二象限的角，也不是第三象限的角，故A 错误；当α＝390°，β＝30°时，cos α＝cos β，故B 错误；当α＝30°，β＝150°时，sin α＝sin β，但α与β终边并不相同，故C 错误，只有D 正确．答案 D4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析 ∵α，β为三角形的内角，且sin αcos β<0， 又sin α>0，∴cos β<0，∴β为钝角． ∴三角形为钝角三角形． 答案 B5．设角α的终边过点P (3a,4a )(a ≠0)，则下列式子中正确的是( ) A ．sin α＝45B ．cos α＝35C ．tan α＝43D ．tan α＝－43解析 ∵a ≠0，∴tan α＝4a 3a ＝43.答案 C6．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ<1，则θ所在的象限为( )A ．第一或第三象限B ．第二或第四象限C ．第二或第三象限D ．第一或第四象限解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ<1，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上递减，∴sin2θ>0，∴2k π<2θ<π＋2k π，k ∈Z ， ∴k π<θ<π2＋k π，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π<θ<π2＋2n π，此时θ在第一象限内．当k ＝2n ＋1，n ∈Z时，π＋2n π<θ<3π2＋2n π，n ∈Z ，此时θ在第三象限内．综上可得θ所在的象限为第一象限或第三象限，故选A. 答案 A7．角α终边上有一点P (x ，x )(x ∈R ，且x ≠0)，则sin α的值为________． 解析 由题意知，角α终边在直线y ＝x 上，当点P 在第一象限时，x >0，r ＝x 2＋x 2＝2x ，∴sin α＝x2x＝22.当点P 在第三象限时，同理，sin α＝－22. 答案 ±228．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第________象限角．解析 要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．答案 一或二9．点P (tan2 012°，cos2 012°)位于第____________象限． 解析 ∵2 012°＝5×360°＋212°，212°是第三象限角， ∴tan2 012°＞0，cos2 012°＜0，故点P 位于第四象限． 答案 四10．若角α的终边经过P (－3，b )，且cos α＝－35，则b ＝________，sin α＝________.解析 ∵cos α＝－39＋b2，∴－39＋b 2＝－35，∴b ＝4或b ＝－4.当b ＝4时，sin α＝b9＋b2＝45，当b ＝－4时，sin α＝b 9＋b2＝－45. 答案 4或－4 45或－4511．计算sin810°＋tan765°＋tan1125°＋cos360°.解 原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋0°)＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0° ＝1＋1＋1＋1＝4.12．一只蚂蚁从坐标原点沿北偏西30°方向爬行6 cm 至点P 的位置．试问蚂蚁离x 轴的距离是多少？解 如下图所示，蚂蚁离开x 轴的距离是PA .在△OPA 中，OP ＝6，∠AOP ＝60°， ∴PA ＝OP sin60° ＝6×32＝3 3. 即蚂蚁离x 轴的距离是3 3 cm.13．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，试求α的三个三角函数值． 解 当角α的终边在第一象限时，在y ＝2x 上任取一点P (1,2)，则有r ＝5，∴sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2.当角α的终边在第三象限时，同理可求得： sin α＝－255，cos α＝－55，tan α＝2.。

双基限时练(三)1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在B ．与x 轴垂直C ．与x 轴平行D ．与x 轴平行或重合 答案 D2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )A. 2B. 1C.12 D .14解析 s ′＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →018(t ＋Δt )2－18t 2Δt＝lim Δt →014tΔt ＋18(Δt )2Δt＝lim Δt →0(14t ＋18Δt )＝14t . ∴当t ＝2时，s ′＝12. 答案 C3．若曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( )A ．h ′(a )<0B ．h ′(a )>0C ．h ′(a )＝0D ．h ′(a )的符号不定 解析 由2x ＋y ＋1＝0，得h ′(a )＝－2<0. ∴h ′(a )<0. 答案 A4．曲线y ＝9x 在点(3,3)处的切线方程的倾斜角α等于 ( ) A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°解析 k ＝y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →09x ＋Δx －9x Δx＝lim Δx →－9x (x ＋Δx )＝－9x 2.∴当x ＝3时，tan α＝－1.∴α＝135°. 答案 C5．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，116) D ．(12，14)解析 y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →02xΔx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 令2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，y ＝14. 故所求的点是(12，14)． 答案 D6．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则过点A 的切线的斜率为________．解析 k ＝f ′(2)＝lim Δx →02(2＋Δx )2－2×22Δx＝lim Δx →08Δx ＋2(Δx )2Δx＝lim Δx →0(8＋2Δx )＝8. 答案 87．若函数f (x )在x 0处的切线的斜率为k ，则极限lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝________.解析 lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝－lim Δx →f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝－k .答案 －k8．已知函数f (x )在区间[0,3]上图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f ′(3)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)解析 由f (x )的图象及导数的几何意义知，k 1>k 2>k 3. 答案 k 1>k 2>k 39．已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．解 ∵f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝4，∴过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k ，则4k ＝－1，k ＝－14.∴所求的直线方程为y －2＝－14(x －1)， 即x ＋4y －9＝0.10．已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.求：(1)曲线在点P 处、点Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P ，Q 处的切线方程．解 将P (2，－1)代入y ＝1t －x 得t ＝1，∴y ＝11－x.∴y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →011－(x ＋Δx )－11－x Δx＝lim Δx →01[1－(x ＋Δx )](1－x )＝1(1－x )2.(1)曲线在点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝1(1－2)2＝1；曲线在点Q 处的切线的斜率为y ′|x ＝－1＝1[1－(－1)]2＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为 y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0. 曲线在点Q 处的切线方程为 y －12＝14(x ＋1)，即x －4y ＋3＝0.11．已知点M (0，－1)，F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行．(1)求直线l 的方程；(2)求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程． 解 (1)∵f ′(2)＝lim Δx →013(2＋Δx )3－4(2＋Δx )＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－4×2＋4Δx＝0， ∴直线l 的斜率为0，其直线方程为y ＝－1.(2)∵抛物线以点F (0,1)为焦点，y ＝－1为准线，∴设抛物线的方程为x 2＝2py ，则－p2＝－1，p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y .12．已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 存在． 理由如下： ∵y ＝x 2＋1，∴y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋1－(x 2＋1)Δx＝ lim Δx →02xΔx ＋(Δx )2Δx＝2x . 设切点坐标为(t ，t 2＋1)，∵y ′＝2x ，∴切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t . 于是可得切线方程为y －(t 2＋1)＝2t (x －t )． 将(1，a )代入，得a －(t 2＋1)＝2t (1－t )， 即t 2－2t ＋a －1＝0.∵切线有两条，∴方程有两个不同的解．故Δ＝4－4(a －1)>0.∴a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(－∞，2)．。

双基限时练(十三)1．双曲线C 的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 解析 依题意a ＋b ＝2c ，a ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，解得b ＝2，又焦点在y 轴上，∴双曲线方程为y 24－x 24＝1.答案 B2．双曲线x 2b 2－y 2a2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2D.32解析 依题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，∴a ＝b ，∴c 2＝2a 2，∴c 2a2＝2，∴e ＝ 2.答案 C3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析 记e 1＝a 2＋b 2a ，e 2＝m 2－b 2m ，又e 1·e 2＝1，∴a 2＋b 2·m 2－b 2am＝1，化简得b 2(m 2－a 2－b 2)＝0，∵b 2>0，∴m 2－a 2－b 2＝0，即m 2＝a 2＋b 2， ∴以a ，b ，m 为边长的三角形一定是直角三角形． 答案 B4．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝－x ，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝96B ．y 2－x 2＝100C ．x 2－y 2＝80D ．y 2－x 2＝24解析 由题意知，c ＝64－16＝43，a ＝b ，∴2a 2＝c 2＝48，∴a 2＝24，故所求双曲线方程为y 2－x 2＝24.答案 D5．已知定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值是( ) A.12 B.32 C.72D ．5解析 由双曲线的定义及性质知，动点P 的轨迹是双曲线的一支，且A ，B 为焦点，c ＝2，a ＝32，∴|PA |的最小值为a ＋c ＝72.答案 C6．已知双曲线x 2n －y 212－n＝1的离心率为3，则n ＝________.解析 依题意知a 2＝n ，b 2＝12－n ，又e ＝3，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝n ＋12－nn＝3，∴n＝4.答案 47．过双曲线x 24－y 23＝1左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M ，N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝________.解析 由双曲线的定义知|MF 2|－|MF 1|＝4，|NF 2|－|NF 1|＝4，∴|MF 2|＋|NF 2|－|MF 1|－|NF 1|＝|MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝8.答案 8 8．若双曲线x 2k ＋4＋y 29＝1的离心率为2，则k 的值为__________． 解析 依题意知k ＋4<0，∴k <－4，又e ＝c a＝2，∴e 2＝c 2a 2＝－k ＋＋99＝4，∴k ＝－31.答案 －319．求与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线且过点A (23，－3)的双曲线方程．解 设与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线的双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)．∵A (23，－3)在双曲线上， ∴λ＝3216－－29＝－14.∴所求双曲线方程为x 216－y 29＝－14即4y 29－x24＝1.10．求中心在原点，焦点在坐标轴上，过点M (3,4)且虚轴长是实轴长的2倍的双曲线方程．解 当焦点在x 轴上时，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，∵点(3,4)在双曲线上，∴9a 2－16b2＝1，又b ＝2a ，∴4a 2＝9×4－16＝20，a 2＝5. ∴b 2＝20.∴双曲线方程为x 24－y 220＝1.当焦点在y 轴上时，可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1，∵点(3,4)在双曲线上，∴16a 2－9b2＝1.又∵b ＝2a ，∴4a 2＝16×4－9＝55，a 2＝554，∴b 2＝55.∴双曲线方程为4y 255－x255＝1.综上，所求双曲线方程为x 25－y 220＝1或4y 255－x255＝1.11．已知双曲线的中心在原点，顶点在y 轴上，两顶点间的距离是16，且离心率e ＝54，试求双曲线方程及顶点到渐近线的距离．解 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，由2a ＝16，得a ＝8，又e ＝c a ＝54，∴c ＝10，b 2＝c 2－a 2＝36.故所求的双曲线的方程为y 264－x 236＝1.由上可得双曲线的焦点为(0，±10)， 渐近线方程为y ＝±86x ，即4x ±3y ＝0.∴焦点到渐近线的距离为d ＝|4×0±3×10|42＋32＝6. 12．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积． 解 (1)∵e ＝ 2.∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)， ∴λ＝16－10＝6.∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6. (2)由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝2 3.∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∴MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )． ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 在双曲线上，∴9－m 2＝6，∴－3＋m 2＝0. ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43， △F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.。

双基限时练(十一)1．把函数f (x )的图象向右平移π12个单位后得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，则f (x )为( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋712πB ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋34π C ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12D ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －512π 解析 用x －π12代换选项中的x ，化简得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的就是f (x )，代入选项C ，有f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋5π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.答案 C2．下列四个函数中，同时具有：①最小正周期是π，②图象关于x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(x 2＋π6)B ．y ＝sin(2x ＋π6)C ．y ＝sin(2x －π3)D ．y ＝sin(2x －π6)解析 当x ＝π3时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1.∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象关于x ＝π3对称，且周期T ＝2π2＝π. 答案 D3．要将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象转化为某一个偶函数图象，只需将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象( )A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π8个单位D ．向右平移π8个单位解析 把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移π8个单位即得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象．因为y ＝cos2x 为偶函数，所以符合题意．答案 C4．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6的相位和初相分别是( )A ．－x ＋π6，π6B ．x －π6，－π6C ．x ＋5π6，5π6D ．x ＋5π6，π6解析 因为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6，所以相位和初相分别是x ＋5π6，5π6.答案 C5．如下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 在一个周期内的图象，那么这个函数的一个解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6－1 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1 C ．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1 D ．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1 解析 由图象知A ＝2－－2＝3，b ＝－1，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π. ∴ω＝2πT＝2，故可设解析式为y ＝3sin(2x ＋φ)－1，代入点⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－4，得－4＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ－1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－1，∴φ＋7π6＝2k π－π2(k ∈Z )．令k ＝1，解得φ＝π3，所以y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1.答案 C6．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位长度，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析 由题意可得，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω＋π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π2ω，则π2ω＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝4k ，k ∈Z ，因为6不是4的整数倍，所以ω的值不可能是6，故选B.答案 B7．使函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称的θ为________． 解析 ∵函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称， ∴f (－x )＝f (x )恒成立，∴3sin(－2x ＋5θ)＝3sin(2x ＋5θ)，∴sin(－2x ＋5θ)＝sin(2x ＋5θ)，∴－2x ＋5θ＝2x ＋5θ＋2k π(舍去)或－2x ＋5θ＋2x ＋5θ＝2k π＋π(k ∈Z )，即10θ＝2k π＋π，故θ＝k π5＋π10(k ∈Z )． 答案k π5＋π10，k ∈Z 8．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f (0)＝3，则ω＝________， φ＝________.解析 由原函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)．又由f (0)＝3且|φ|<π2得到φ＝π3.答案 2π39．函数y ＝－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3的图象与x 轴的各个交点中，离原点最近的一点是__________．解析 令－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3＝0.则4x ＋2π3＝k π，∴x ＝k π4－π6，k ∈Z .故取k ＝1时，x ＝π12.∴离原点最近的一点是⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫π12，010．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0) 的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是________． 解析 把f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得：y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.又所得图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝0. ∴sin ωπ2＝0.∴ωπ2＝k π(k ∈Z )． ∴ω＝2k (k ∈Z )．∵ω>0，∴ω的最小值为2. 答案 211．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0，且以π2为最小正周期． (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6时，求f (x )的最值．解 (1)∵f (x )的最小正周期为π2，∴ω＝2ππ2＝4.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6，得4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＝－12，即x ＝－π12时，f (x )有最小值－32，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＝1，即x ＝π12时，f (x )有最大值3.12．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π4.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)∵x ＝π4是y ＝f (x )图象的一条对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π4＋φ＝±1. ∴π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . ∵0<φ<π2，∴φ＝3π8.(2)由(1)知φ＝3π8，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π8.由题意得2k π－π2≤12x ＋3π8≤2k π＋π2，k ∈Z ，即4k π－74π≤x ≤4k π＋π4，k ∈Z .∴函数y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－74π，4k π＋π4(k ∈Z )．13．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )，在一个周期内的图象如下图所示，求直线y ＝3与函数f (x )图象的所有交点的坐标．解 由图象得A ＝2，T ＝72π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝4π.则ω＝2πT ＝12，故y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ. 又12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋φ＝0，∴φ＝π4. ∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4.由条件知3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4，得12x ＋π4＝2k π＋π3(k ∈Z )， 或12x ＋π4＝2k π＋23π(k ∈Z )． ∴x ＝4k π＋π6(k ∈Z )，或x ＝4k π＋56π(k ∈Z )．则所有交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋π6，3或⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋5π6，3(k ∈Z )．。

"【名师一号】2014-2015学年高中数学第二章推理与证明双基限时练3（含解析）新人教A版选修1-2 "1．下列关于归纳推理的说法中错误的是( )A．归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C．归纳推理得出的结论具有偶然性，不一定正确D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能答案A2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排列起来，那么第36颗珠子的颜色是( )○○○●●○○○●●○○○●●○○……A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案A3．由数列1,10,100,1000，…猜测该数列的第n项可能是( )A．10n B．10n－1C．10n＋1D．11n答案B4．n个连续自然数按规律排列如下：根据规律，从2010到2012，箭头的方向依次是( )A．↓→ B．→↑C．↑→ D．→↓解析观察特例的规律知：位置相同的数字是以4为公差的等差数列，由11↑1012可知从2010到2012为↑→.答案C5．已知数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的一个表达式为( )A．n2－1 B．n2－2n＋2C ．2n －1D ．2n －1＋1解析 ∵a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，∴a 2＝2×1＋1＝3，a 3＝2×3＋1＝7，a 4＝2×7＋1＝15，归纳猜想知a n ＝2n－1.答案 C6．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A .n n －4＋8－n8－n －4＝2 B .n ＋1 n＋1 －4＋ n＋1 ＋5n＋1 －4＝2C .n n －4＋n ＋4 n＋4 －4＝2 D .n ＋1 n＋1 －4＋n ＋5n＋5 －4＝2解析 观察等式知，左边分子之和等于8，分母之和等于0，右边都是2，只有选项A 适合．答案 A7．顺次计算数列：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，……的前4项的值，由此猜测：a n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1的结果为________． 解析 a 1＝1＝12，a 2＝1＋2＋1＝4＝22， a 3＝1＋2＋3＋2＋1＝9＝32， a 4＝1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42， …，由此可以猜想a n ＝n 2. 答案 n 28．由三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°＝2×180°，凸五边形的内角和是540°＝3×180°，归纳出结论：______________________________________________________. 答案 凸n 边形的内角和是(n －2)×180°(n≥3) 9．观察以下各等式：sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34， sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34，sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，为_________________________________________________________．答案 sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos (α＋30°)＝3410．(1)如图所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面分成了多少个区域？(2)(3)现已知某个平面图形有1006个顶点，且围成了1006个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？解 (1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为：(2)3＋2－3＝2； 8＋6－12＝2； 6＋5－9＝2； 10＋7－15＝2.通过观察发现，它们的顶点数V ，边数E ，区域数F 之间的关系为V ＋F －E ＝2.(3)由已知V ＝1006，F ＝1006，代入(2)中关系式，得E ＝2010. 故这个平面图形有2010条边．11．设a n 是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n≥1，n ↔N )，试归纳出这个数列的一个通项公式．解 当n ＝1时，a 1＝1，且2a 22－a 21＋a 2·a 1＝0， 即2a 22＋a 2－1＝0解得a 2＝12；当n ＝2时，由 3a 23－2(12)2＋12a 3＝0，即6a 23＋a 3－1＝0， 解得a 3＝13，…由此猜想：a n ＝1n.12．已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32，通过观察上述等式的规律，请写出一般性的命题：________________＝32(*)，并给出(*)式的证明．解 一般式为：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明如下：左边＝1－cos2α2＋1－cos 2α＋120° 2＋1－cos 2α＋240°2＝32－12[cos2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－12(cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°＋cos2αcos240°－sin2αsin240°)＝32－12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos2α－12cos2α－32sin2α－12cos2α＋32sin2α ＝32＝右边， 所以sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32成立．(注：将一般式写成sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32等均正确．)。

双基限时练(十一)1．定积分⎠⎛ab f(x)d x 的大小( ) A ．与f(x)和积分区间[a ，b]有关，与ξi 的取法无关B ．与f(x)有关，与区间[a ，b]及ξi 的取法无关C ．与f(x)及ξi 的取法有关，与区间[a ，b]无关D ．与f(x)、积分区间[a ，b]和ξi 的取法都有关答案 A2．积分⎠⎛01d x 的值等于( ) A ．0B ．1C .12D ．2答案 B 3．当a<b ，且f(x)>0，则⎠⎛ab f(x)d x 的值( ) A ．一定是正的B ．一定是负的C ．当0<a<b 时是正的，当a<b<0时是负的D ．正、负都有可能解析 由定积分的几何意义知，当a<b ，且f(x)>0时，⎠⎛a bf(x)d x>0. 答案 A4．直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3＋sin 3x 围成的平面图形的面积可以表示为( )A .⎠⎛1－1(x 3＋sin 3x )d xB ．|⎠⎛1－1(x 3＋sin 3x )d x | C.⎠⎛01(x 3＋sin 3x)d x D ．2⎠⎛01(x 3＋sin 3x)d x 解析 ∵y ＝x 3＋sin 3x 为奇函数，其图象关于原点对称，x 轴上方的面积为⎠⎛01(x 3＋sin 3x)d x ， ∴整个图形的面积为2⎠⎛01(x 3＋sin 3x)d x. 答案 D5．已知⎠⎛a b [f(x)＋g(x)]d x ＝18，⎠⎛ab f(x)d x ＝10，则 ⎠⎛ab g(x)d x 等于( ) A ．8B ．10C ．18D ．不确定 解析 由定积分的性质可知，⎠⎛a b g(x)d x ＝18－10＝8.答案 A6．已知⎠⎛a b f(x)d x ＝6，则⎠⎛ab 6f(x)d x 等于__________． 解析 ⎠⎛a b 6f(x)d x ＝6⎠⎛ab f(x)d x ＝6×6＝36. 答案 367．已知⎠⎛01x 2d x ＝13，⎠⎛12x 2d x ＝73，则⎠⎛02(x 2＋1)d x ＝________. 解析 ⎠⎛02x 2d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12x 2d x ＝13＋73＝83. 又⎠⎛021d x ＝2， ∴⎠⎛02(x 2＋1)d x ＝⎠⎛02x 2d x ＋⎠⎛021d x ＝83＋2＝143. 答案 1438．设f(x)在区间[a ，b]上连续，则⎠⎛a b f(x)d x －⎠⎛ab f(t)d t 的值为__________．答案 09．曲线y ＝2x 与直线y ＝2x ，x ＝2所围成图形的面积用定积分可表示为________．解析 如图所示，阴影部分面积为⎠⎛122x d x －⎠⎛122x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫2x －2x dx.答案 ⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫2x －2x d x 10．简化下列各式，并画出各题所表示的图形的面积．(1)⎠⎜⎛－3－2x 2d x ＋⎠⎛1－2x 2d x ； (2)⎠⎛01(1－x)d x ＋⎠⎛12(x －1)d x. 解 (1)原式＝⎠⎛1－3x 2d x ，如下图①.图①(2)⎠⎛01(1－x)d x ＋⎠⎛12(x －1)d x ＝⎠⎛02|1－x|d x ，如图②.图②11．已知f(x)为偶函数，且⎠⎛02f(x)d x ＝3，计算定积分 ⎠⎛2－23f(x)d x. 解 ∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y 轴对称，∴⎠⎛0－2f(x)d x ＝⎠⎛02f(x)d x ＝3. ∴⎠⎛2－23f(x)d x ＝3⎠⎛2－2f(x)d x ＝3[⎠⎛0－2f(x)d x ＋ ⎠⎛02f(x)d x]＝3×(3＋3)＝18. 12．利用定积分的性质、几何意义求⎠⎛3－3(sin x ＋12)d x. 解 ⎠⎛3－3(sin x ＋12)d x＝⎠⎛3－3sin x d x ＋⎠⎛3－312d x.∵y ＝sin x 在[－3,3]上为奇函数， ∴⎠⎛3－3sin x d x ＝0.由几何意义可得⎠⎛3－312d x ＝12×6＝3，∴⎠⎛3－3(sin x ＋12)d x ＝3.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作双基限时练(十一)1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，已知线段F 1F 2被点(b,0)分成两段，则此双曲线的离心率为( )A.32B.95C.355D.62解析 由题可知b ＋c ＝5(c －b )，∴3b ＝2c . ∴9b 2＝4c 2＝9(c 2－a 2)． ∴5c 2＝9a 2，∴e 2＝95，e ＝35 5. 答案 C2．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，＋∞)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析 设A (c ，y 0)代入双曲线方程得c 2a 2－y 20b 2＝1，∴y 20＝b4a2.∴|y 0|＝b 2a ，∴|AF |＝b 2a . ∵△ABE 是钝角三角形， ∴∠AEF >45°.则只需|AF |>|EF |，即b 2a >a ＋c ， ∴b 2>a 2＋ac ，即c 2－a 2>a 2＋ac ，c 2－ac －2a 2>0.∴e 2－e －2>0，解得e >2，或e <－1(舍去)．故选D. 答案 D3．设e 1，e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足PF 1→·PF 2→＝0，1e 21＋1e 22的值为( )A ．2 B.32 C ．4D.52解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c ，椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为m ，不妨设P 在第一象限，由题可得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，①|PF 1|－|PF 2|＝2m ，②|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，③)①2＋②2得|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 2＋2m 2， ∴a 2＋m 2＝2c 2.又1e 21＋1e 22＝(a c )2＋(m c )2＝a 2＋m2c 2＝2.故选A. 答案 A4．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析 设PF 1的中点为M ，由|PF 2|＝|F 1F 2|， 故F 2M ⊥PF 1，即|F 2M |＝2a ，在Rt △F 1F 2M 中，|F 1M |＝(2c )2－(2a )2＝2b ， 故|PF 1|＝4b ，则4b －2c ＝2a ， 即2b －a ＝c ，∴(2b －a )2＝a 2＋b 2. ∴3b 2－4ab ＝0，即3b ＝4a . 故双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ， 即y ＝±43x ，故选C. 答案 C5．与曲线x 224＋y 249＝1共焦点，而与曲线x 236－y 264＝1共渐近线的双曲线方程为( )A.y 29－x 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.y 216－x 29＝1D.x 29－y 216＝1解析 椭圆的焦点为(0，±5)，双曲线的渐近线为y ＝±43x ，验证选项知应选C.答案 C6．下列三图中的多边形均为正多边形，M ，N 是所在边上的中点，双曲线均以图中的F 1，F 2为焦点，设图①、②、③中的双曲线的离心率分别为e 1，e 2，e 3，则( )A ．e 1>e 2>e 3B ．e 1<e 2<e 3C ．e 1＝e 3<e 2D ．e 1＝e 3>e 2解析 设|F 1F 2|＝2c ，在①中2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝(3－1)c ；在②中，2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝10－22c ；在③中，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝(3－1)c .∴e 1＝e 3>e 2.答案 D7．若动点P (x ，y )到定点F (5,0)的距离是它到直线x ＝95的距离的53倍，则动点P 的轨迹方程为________．解析 设P (x ，y )，则(x －5)2＋y 2|x －95|＝53， 化简整理得16x 2－9y 2＝144. 答案 16x 2－9y 2＝1448．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝________.解析 因为渐近线方程为y ＝x ，∴b ＝ 2. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝2. ∴点P 的坐标为(3，±1)．又易知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，不妨取P (3，1)． ∴PF 1→·PF 2→＝(－2－3，－1)·(2－3，－1)＝0. 答案 09．已知P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x －y ＝0.设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF 2|＝3，则|PF 1|＝________.解析 由双曲线的一条渐近线的方程为3x －y ＝0，且b ＝3可得a ＝1，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒|PF 1|－3＝2⇒|PF 1|＝5.答案 510．已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144，F 1，F 2是其左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．解 双曲线的方程可化为x 29－y 216＝1， ∴a 2＝9，b 2＝16，∴c ＝5.由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6. ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|－4c 22|PF 1|·|PF 2|. 又|PF 1|·|PF 2|＝32，∴cos ∠F 1PF 2＝62＋2×32－4×252×32＝0.∴∠F 1PF 2的大小为90°.11．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 的中点的横坐标为－23，求此双曲线的方程．解 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 依题意c ＝7，∴方程可以化为x 2a 2－y 27－a 2＝1，由⎩⎨⎧x 2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 27－2a 2，∵x 1＋x 22＝－23，∴－a 27－2a 2＝－23，解得a 2＝2. ∴双曲线的方程为x 22－y 25＝1.12．设k ∈R ，讨论方程kx 2＋2y 2－8＝0所表示的曲线． 解 ①当k <0时，方程变形为x 28k ＋y 24＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线；②当k ＝0时，方程为y 2－4＝0，它表示两条平行于x 轴的两条直线；③当0<k <2时，曲线x 28k ＋y 24＝1表示焦点在x 轴上的椭圆；④当k ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝4，它表示一个圆； ⑤当k >2时，曲线x 2k 8＋y 24＝1为焦点在y 轴上的椭圆．。