人教版八年级数学下册第01课 二次根式定义及性质.docx

八年级下册二次根式二次根式学习资料。

一、二次根式的概念。

1. 定义。

- 一般地，形如√(a)(a≥0)的式子叫做二次根式。

其中“√()”称为二次根号，a 叫做被开方数。

例如√(4)，√(9)等都是二次根式。

这里要特别注意被开方数a是非负数，因为负数在实数范围内没有平方根。

2. 判断二次根式的方法。

- 看是否形如√(a)的形式，并且a≥0。

例如√(-2)不是二次根式，因为被开方数-2<0；而√(0)是二次根式，因为0≥0。

二、二次根式的性质。

1. (√(a))^2 = a(a≥0)- 例如(√(5))^2 = 5。

这个性质表明，一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。

- 应用：在计算(√(x + 1))^2（x≥ - 1）时，根据这个性质可得(√(x + 1))^2=x + 1。

2. √(a^2)=| a|=a(a≥0) -a(a < 0)- 例如√(3^2)=|3| = 3，√((-3)^2)=| - 3|=3。

- 应用：化简√((x - 2)^2)时，当x≥2，√((x - 2)^2)=x - 2；当x<2，√((x -2)^2)=2 - x。

三、二次根式的运算。

1. 二次根式的乘法。

- 法则：√(a)·√(b)=√(ab)(a≥0,b≥0)。

- 例如√(3)×√(5)=√(3×5)=√(15)。

- 推广：√(a)·√(b)·√(c)=√(abc)(a≥0,b≥0,c≥0)。

2. 二次根式的除法。

- 法则：(√(a))/(√(b))=√(frac{a){b}}(a≥0,b > 0)。

- 例如(√(12))/(√(3))=√(frac{12){3}}=√(4) = 2。

3. 二次根式的加减。

- 先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并。

- 最简二次根式：满足被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这两个条件的二次根式。

八年级下册数学二次根式笔记
一、二次根式的定义
1. 二次根式：形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。

2. 二次根式的性质：非负性，即被开方数是非负数。

二、二次根式的性质和运算法则
1. 二次根式的乘法运算法则：√a × √b = √(a×b)（a≥0，b≥0）。

2. 二次根式的除法运算法则：√a ÷ √b = √(a÷b)（a≥0，b>0）。

3. 二次根式的乘方运算法则：√a^n = a^(n/2)（a≥0，n是正整数）。

4. 二次根式的加减运算法则：同类二次根式可以进行加减运算。

三、二次根式的化简
1. 完全平方公式：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2；a^2-2ab+b^2=(a-b)^2。

2. 平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。

3. 完全立方公式：a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3。

4. 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)。

5. 二次根式化简的一般步骤：去括号、合并同类项、化简。

四、二次根式的应用
1. 在实际问题中，经常需要求解一些与二次根式有关的数学问题，如长度、面积、体积等。

2. 在数学证明中，二次根式也经常被用来证明一些重要的数学定理，如勾股定理、毕达哥拉斯定理等。

五、练习与巩固
为了更好地掌握二次根式的知识，需要多做一些练习题，通过练习巩固所学知识。

可以参考教材上的练习题或找一些相关的练习册进行练习。

在练习过程中，要注意解题的思路和方法，掌握各种运算法则和公式的应用，提高解题的速度和准确性。

人教版八年级下学期数学复习资料（01）姓名：________ 得分：_____一、知识点梳理： 1、二次根式的定义.一般地，式子 a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。

两个非负数：（1）a ≥0 ；（2） a ≥0 2、二次根式的性质：（1）.()0≥a a 是一个________ 数 ； （2）()=2a __________（a ≥0）（3）()()()⎪⎩⎪⎨⎧〈=〉==0_______0_______0_______2a a a a a3、二次根式的乘除：积的算术平方根的性质：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ，二次根式乘法法则：__________=⋅b a （a≥0,b ≥0）商的算术平方根的性质： ba ba =).0,0(>≥b a 二次根式除法法则：)0,0(>≥=b a ba ba1．被开方数不含分母； 4、最简二次根式 2．分母中不含根号；3. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的． 二、典型例题：例1：当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴ 2-x ⑵xx -+2)1(0⑶13-+-x x ⑷12+x （5）12-+x x小结：代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。

（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 例2：化简：（1）|21|)22(2-+- （2）|3254|)3253(2-+-例3： (1)已知y=x -3+62-x +5，求xy的值． (2) 已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值．小结：（1）常见的非负数有：a a a ,,2 （2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0. 例4：化简：（1）32； （2）2b a 33； （3）48.0 （4）yx x 2 （5）2925x y例5：计算： （1） 351223⨯ （2） 21335÷ （3） ()0,02123〉〉⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷b a b a b a例6：化去下列各式分母中的二次根式： （1）323+ （2）813 （3）251+ （4）()0,03〉〉y x xy三、强化训练：1x 的取值范围是（ ）A 、x ≤1；B 、x ≤1且2x ≠-；C 、2x ≠-；D 、x <1且2x ≠-． 2、已知0<x<1时，化简()21--x x 的结果是（ ）A 2X-1B 1-2XC -1D 1 3、 已知直角三角形的一条直角边为9，斜边长为10，则别一条直角边长为（ ） A 、1； BC 、19； D4n 的最小值是（ ）A 、4；B 、5；C 、6；D 、7． 5、下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A 、a 16 B 、b 3 C 、ab D 、456、下列计算正确的是（ ）A ()()69494-=-⨯-=-⨯-B 188142712=⨯=⨯C 624416416=+=+=+D 1212414414=⨯=⨯=7、等式33-=-x x x x成立的条件是（ ） A x ≠3 B x ≥0 C x ≥0且x ≠3 D x>3 8、已知053232=--+--y x y x 则y x 8-的值为 9、23231+-与的关系是 。

二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数 x叫做的算术平方根。

2、解不等式〔组〕：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。

如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。

不等式组的解集是两个不等式解集的｛X≥-2的解集为-2≤x＜5。

公共局部。

如X＜53、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a〔a≥0〕；｜a｜=-a 〔a＜0〕一、二次根式的概念一般地，我们把形如a〔a≥0〕的式子叫做二次根式，“〞称为二次根号。

★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：〔1〕二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“〞，“〞的根指数为2，即“2〞，我们一般省略根指数2，写作“〞。

如25 可以写作 5 。

〔2〕二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

〔3〕式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，a≥0。

其中a≥0是a有意义的前提条件。

〔4〕在具体问题中，如果二次根式a，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。

〔5〕形如b a〔a≥0〕的式子也是二次根式，b与a是相乘的关系。

要注意当b是分88 22数时不能写成带分数，例如32可写成3，但不能写成232。

练习：一、判断以下各式，哪些是二次根式？〔1〕 6；〔2〕-18；〔3〕x2+1；321〔4〕-8；〔5〕x+2x+1；〔6〕3｜x｜；〔7〕1+2x〔x＜-2〕1二、当x 取什么实数时，以下各式有意义？〔1〕 2-5x ； 〔2〕 4x 2+4x+1二、二次根式的性质：a 二次根式的性质 bc 〔a ≥0〕的性质符号语言 文字语言a ≥0一个非负数的算术〔a ≥0〕平方根是 非负数。

应用与拓展注意〔1〕二次根式的非负性〔a ≥0， a 〔a ≥0〕的最 a ≥0〕应用较多，如：a+1+b-3小值为0。

=0，那么a+1=0，b-3=0，即a=-1， b=3；又如 x-a+a-x ，那么x 的取 值范围是 x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。

人教版八年级下册数学二次根式二次根式是指形如$\sqrt{a}$的式子，其中$a\geq 0$。

最简二次根式是指被开方数的因数是整数且因式是整式（分母中不含根号），同时被开方数中含能开得尽方的因数或因式的二次根式。

如果几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。

二次根式有一些性质，比如$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（其中$a\geq 0$，$b\geq 0$），以及$\sqrt{a}=\sqrt{|a|}$（其中$a$为任意实数）。

分母有理化是指将分母中的根号化去，有理化因式则是指两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。

在解题时，需要掌握二次根式的计算和化简求值，以及二次根式的运算法则，包括加减乘除四则运算和分母有理化。

在选择题中，常考查最简二次根式、同类二次根式的概念，而在中等难度的解答题中，则常考查二次根式的计算和化简求值。

在计算或化简求值时，可以使用因式的外移和内移的方法，将被开方数中的因式移到根号外面或根号里面。

11.当$x=-2$时，代数式$5x^2-3x-1$的值是多少？1.计算：$(3-2)+\frac{1}{3}+4\cos30^\circ-|-12|$。

2.在进行二次根式化简时，有时会遇到如下式子：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，其实我们还可以将其进一步化简：begin{aligned} \frac{\sqrt{5}-1}{2} &= \frac{\sqrt{5}-1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1} \\ &= \frac{5-1}{4} \\ &=\frac{3}{2}-\frac{1}{2} \end{aligned}$$以上这种化简的步骤叫做分母有理化。

还可以用以下方法化简：begin{aligned} \frac{3+1}{\sqrt{2^2\cdot 3^2}} &=\frac{3+1}{2\sqrt{3}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{2\sqrt{3}} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{6} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{6} \end{aligned}$$1) 请用不同的方法化简$\frac{2}{5+\sqrt{3}}$。

第一节：概述1.1 介绍数学第一章的主题 - 二次根式 1.2 定义二次根式第二节：二次根式的运算2.1 开方2.2 含有根号的算术式的加减乘除2.3 对一元二次方程进行求根第三节：二次根式的化简3.1 提取因数3.2 合并同类项3.3 求解含有二次根式的方程第四节：一元二次方程的复根4.1 i的引入4.2 复数解的运算第五节：二次根式在几何中的应用5.1 定理的引入5.2 二次根式的计算第六节：二次根式的实际应用6.1 实际问题6.2 解题方法6.3 实际应用案例第七节：总结7.1 本章知识点总结7.2 学习方法和技巧的总结第八节：拓展8.1 相关知识的拓展8.2 学科交叉知识的拓展第一节：概述1.1 介绍数学第一章的主题 - 二次根式数学是一门关于数量、结构、空间和变化等概念的研究。

而二次根式作为数学课程中的一个重要内容，是数学在现实生活中的一种具体应用。

八年级下册的数学教材中，第一章就是关于二次根式的学习。

在这一章节中，我们将会学习到如何对含有二次根式的算式进行运算、如何对二次根式进行化简、以及二次根式在几何和实际生活中的应用等知识。

1.2 定义二次根式在数学中，二次根式指的是形如a√b的数学表达式，其中a和b都是实数，b为大于等于0的数，且a不等于0。

其中√b表示对b开平方的结果。

2√3和-5√8都是二次根式。

在这一章节中，我们将深入学习二次根式的运算规则，化简方法以及实际应用，全面掌握二次根式的相关知识。

第二节：二次根式的运算2.1 开方在学习二次根式的运算过程中，我们首先需要了解开方的概念。

开方是指找出一个数的平方根。

对于一个非负数a，如果存在另一个非负数b，使得b的平方等于a，则称b为a的平方根，记作√a。

在实际应用中，开方是一种常见的运算方法，我们将学习如何对含有根号的算式进行加减乘除等运算。

2.2 含有根号的算术式的加减乘除含有根号的算术式在运算过程中与普通的算术式有些许不同。

二次根式详解【知识回顾】1. 二次根式：式子..a ( a > 0)叫做二次根式。

2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中 不含开方开的尽的因数或因式 ； ⑵被开方数中 不含分母；⑶分母中不含根式。

3. 同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4. 二次根式的性质：a ( a > 0)0 ( a =0)；a ( a v 0)5. 二次根式的运算：(1) 因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的 算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式， ？变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2) 二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3) 二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商) 仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.(4) 有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律, 多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.{Vab =4a •b (a >0 b >0)；?乘法对加法的分配律以及1、概念与性质例 1 下列各式 1） 5,2）兀，3） . X 2—2,4）忆5）.. （ 3）2,6） .R,7） a 2其中是二次根式的是 _________ 序号）. 例2、求下列二次根式中字母的取值范围x 51（1） 3 x ； （ 2）(2009 龙岩)已知数 a , b ，若(a b)2 =b — a ,贝V ()2、二次根式的化简与计算例1.将』｛「根号外的a 移到根号内，得（）A.: I ； B.—叮」；C. — ,；■； D. j >例2.把（a — b ） •• — a —b 化成最简二次根式斤 I-(3^2 - M)(辺 4 2间例3、计算：■'1【典型例题】2a 1 ,v(x-2)2A .y v1 8x 4、已知：8x 1x y2的值。

二次根式的定义和性质讲学：●二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数。

两个特点：二次根号，非负性（非负性包括被开方数和开方结果）判断二次根式：1.有二次根号2.被开方数可以确定非负（包括转化为非负形式）1.有意义必须满足_________2.当满足什么条件时下列式子有意义。

●二次根式的性质：1.非负性：是一个非负数．2.3.公式与区别与联系（1）表示求一个数的平方的算术根，的范围是一切实数．（2）表示一个数的算术平方根的平方，的范围是非负数．（3）和的运算结果都是非负的．4.把根号外的因式移入根号内：1判断根号外的因式的符号；2留下符号；3平方后与被开方数相乘计算：因式分解：考练：【例1】下列各式，，，，，，其中是二次根式的是?【例2】若式子有意义，则x的取值范围是．【例3】若则=【例4】若则= ．【例5】化简：的结果为（）A、B、0 C、D、4【例6】已知,则化简的结果是【例7】如果表示两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果等于（）A、B、C、D、【例8】如果，那么的取值范围是（）o b aA、B、C、或D、【例9】化简二次根式的结果是( )课后作业：二次根式的定义：1.下列各式中，一定是二次根式的是（）A、B、C、D、2.在中是二次根式的个数有______个3.使代数式有意义的的取值范围是（）A、>3B、≥3C、>4 D 、≥3且≠44.使代数式有意义的的取值范围是5.如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点（，）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限6.若，则的值为（）A、－1B、1C、2D、37.若都是实数，且，求的值8.当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。

9.二次根式的性质：10.若，则的值为。

11. 已知 为实数，且 ，则 的值为（ ）A 、3B 、– 3C 、1D 、– 112. 已知直角三角形两边 的长满足 ，则第三边长为______________.13. 若 与 互为相反数，则14. 在实数范围内分解因式: = ； =15. 化简：16. 根式 的值是( )A 、-3B 、3或-3C 、3D 、917. 已知 ，那么 可化简为（ ）A ．B ．C ．D ．18. 若 ，则 等于（ ）A 、B 、C 、D 、19. 若 ，则化简 的结果是（ ）A 、－1B 、1C 、D 、20. 化简 得（ ）A 、2B 、C 、-2D 、21. 当 且 时，化简 ＝ ．22. 已知 ，化简求值：23. 实数 在数轴上的位置如图所示： 化简： ． 24. 如果 成立，那么实数 的取值范围是________________25. 若 ，则 的取值范围是____________。