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Vx
2ay2(x)dx
0
a
2a
2 a 2 (1 cto )2a s (1 cto )dst 0
a 32 ( 1 3 cto 3 c s2 o t c s3 o t) dst 0
52a3.
xa(t sint) ya(1cost)
(a0)
y 2a
xx2(y)
绕 y 轴旋转而成的体积为
d
r()
d
面积元素 dA1[()]2d
2
o
x
曲边扇形的面积 A 1[()2]d. 2
例5. 计算阿基米德螺线 ra (a0 )对应 从 0 变
到 2 所围图形面积 .
解:
A
2π
dA
2π1 ( a
)2 d
0
02
a2 2
1 3
3
2π 0
2πa
x
d
4 π3 a2 3
例 6求 心 形 线 ra(1co )所 s围 平 面 图 形 的
0
0
1
1x3 1x5 2 .
3
5 0 15
3.求由y曲 lnx 线 与直 x线 e,y0所围成平x轴 面 旋转一周所体 得 .积 旋转体的
解:V 1e[lnx]2dx(xln 2x)1 e1exldn 2x
e2 1elnxdxe2 (xln x)1 e1 exldn x
e2e1edx
O
πa 2π a x
Vy
02aπx22(y)dy
xx1(y)
02aπx12(y)dy
π πa2(tsint)2 asintdt
2π
π
π a2(tsint)2asintdt
0
πa3 2π(tsitn )2sitn dt 6π3a3 0
注
2.平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立 体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算.
圆柱
圆锥
圆台
一 般 地 ， 如 果 旋 转 体 是 由 连 续 曲 线 yf(x)、 直 线 xa、 xb及 x轴 所 围 成 的 曲 边 梯 形 绕 x轴 旋 转 一 周 而 成 的 立 体 ， 体 积 为 多 少 ？
取积分变量为x，x[a,b]y yf(x)
在[a, b]上任取小区间
[ x, x dx]，
e2.
4.求由椭 ax22圆 by22 1所围成平面 y轴图 旋形 转绕 一 所得旋转体 . 的体积
解V ： y
b[x(y)]2dy
b
bba2(1by22 )dy
a2(
y
y3 3b2
b
)
b
4 a2b.
3
谢谢！
dV[(y)]2dy
V d π[(y)]2d y c
y
d
y x(y)
c
O
x
第六章 单元自测题（定积分应用）
一、计算下列平面图形的面积
1.求由曲 yx线 2与y1及直x线 2所围成平面图 。形 x
解 ：y
1 x
交点(为 1,1)
yx2
A 2(x21)dx
1
x
(
x3
ln |
x
2
|)
3
1
7 ln 2. 3
例4
求椭圆 x2 a2
y2 b2
1的面积.
解
椭圆的参数方程
x y
a cost bsint
dA ydx
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
A4
a 0
yd
x40bsin td(acot)s
2
4ab2sin2tdt 0
a.b
2、极坐标系情形
设 由 曲 线 r ( ) 及 射 线 、 围成一曲边扇 形 ， 求 其 面 积 ． 这 里 ， ( ) 在 [ , ]上 连 续 ， 且 ( ) 0 ．
1.直角坐标情形
y yf(x)
y
yf2(x)
yf1(x)
o a xxxb x
o a xx b x
d A f(x ) xf(x )dxd A [f2 (x )f1 (x )d ] x
曲边梯形的面积
Aabf(x)dx
曲边梯形的面积
b
Aa[f2(x)f1(x)d ] x
2、极坐标系情形
dA1[()]2d
x y2 y x2
dA( xx2)dx
例 2 计算由两条抛物线 y 1 x2和 y x2 1所围成
的图形的面积.
d A [1 (x2)(x21)d ] x
解:两曲线的交点 (1,0) (1,0)
1
A dA 1
( 1 ,0 )
(1 ,0 )
1[1 (x2)(x21)d ] x 1
21(1x2)d x41(1x2)dx
A if(i) x i i xi
n
（3） 求和,得A的近似值 A f(i)xi. i1
（4） 求极限，得A的精确值
n
Alim
0i1
f(i)xi
b
f(x)dx
a
面 积 元
提示 若用A 表示任一小区间 [x, x x]上的窄曲边梯形的面积，y
素
dA
yf(x)
则A A，并取A f (x)dx，
x d x 11 2
1 d (1 x 2)
120 1 x 2 12 20 1 x 2
1
121x2 2 31.
122
0 12 2
3.求由曲 y2线 x与直y线 x2所围成平面图形
解： y2由 x 交(1 点 ,1)(,4,2) yx2
A 2[(y2)y2]dy 1
y2 2
2y
y3 3
A(x)表 示 过 点 o a x且垂直于 x 轴
x xdx b
x
的 截 面 面 积 ， A ( x ) 为 x 的 已 知 连 续 函 数
dV A (x)d,x
立体体积
V
b
A(x)dx.
a
例 5 一 平 面 经 过 半 径 为 R的 圆 柱 体 的 底 圆 中 心 ，
并 与 底 面 交 成 角 ， 计 算 这 平 面 截 圆 柱 体 所 得 立 体
的 体 积 .
解 取坐标系如图
R
底圆方程为
x2y2R2
o
y
x
R
垂 直 于 x 轴 的 截 面 为 直 角 三 角 形 x
截面面积 A(x)1(R2x2)tan ,
2
立体体积 V1R(R2x2)tan dx 2R3tan.
2R
3
例 6 求 以 半 径 为 R的 圆 为 底 、 平 行 且 等 于 底 圆
o
取以dx 为底的窄边梯形绕
x xdx
x
x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，
dV [f(x)2 ]dx
旋转体的体积为 V b[f(x)]2dx a
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x (y)、直线y c、y d 及y 轴所围
成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，
体积为V d [(y)]2dy c
解 V ： 0 [sx ] i2 d n x 0 1 c 22 o xd sx
20 d x21 20 co 2xs2 dx
sin2x
24
0
2 .
2
2.求由曲 yx线 2与直y线 x所围成平面 x轴图
旋转一周所得 体旋 积 . 转体的
解： y由 x2 交(点 0,0)(,1,1) yx
V1[x]2d x1[x2]2d.x
y
其d中 V [(y)2 ]dy
d
x(y)
c
o
x
例 1 连接坐标原点O 及点 P(h, r )的直线、直线
x h及 x轴围成一个直角三角形．将它绕 x轴旋
转构成一个底半径为 r 、高为h的圆锥体，计算
圆锥体的体积．
解:直线 OP方程为 y r x y h
取积分变量为x，x[0,h] o
以dx为底的窄边梯形绕 x轴
a
则
V
a
dV
2
a π y2 dx
a
0
b2
2πa2
a(a2x2)dx
0
O x ax
(利用对称性)
2πab22
a2x13x3
a 0
4 π ab 2 3
例3 求摆线xa(tsin t)，ya(1cot)s
的一拱与y0所围成的图形分别绕x轴、y轴
旋 转 构 成 旋 转 体 的 体 积 .
y(x)
解 绕 x 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积
曲边梯形的面积
Aabf(x)dx
曲边梯形的面积
b
Aa[f2(x)f1(x)d ] x
例 1计 算 由 两 条 抛 物 线 y2x和 yx2所 围 成 的
图 形 的 面 积 .
解 两曲线的交点 (0,0) (1,1)
选 x为积分变量 x[0,1]
1
A0(
xx2)dx
2 3
3
x2
x3 3
1 0
1. 3
2 1
9. 2
4.求 由r曲 4c线 os()所 围 成
22 平 面 图 形 . 的 面 积
解A ： 2 21(4cos)2d
02
8
2
cos2
d
2
8
2
2
1cos2
2
d
二、计算下列立体的体积
1．求由正y弦 s曲 in在 x[线 0,]上与 x轴所围成的
绕x轴旋转一周的 所体 得积 旋。 转体
直 径 的 线 段 为 顶 、 高 为 h的 正 劈 锥 体 的 体 积 .