浙教版八年级数学上册二章：特殊三角形培优训练

浙教版八上数学第二章：特殊三角形1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )A. 3.5B. 4.2C. 5.8D. 7（第1 题图）（第2 题图）（第3 题图）（第4 题图）2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC，交BC于点D，E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为( )A. 20B. 12C. 14D. 133．已知一足够长的钢架MAN，∠A＝15°，现要在其内部焊上等长的钢条(相邻钢条首尾相接)来加固钢架，如图是已焊上的两根钢条B C 和B C ，且B C ＝B C ＝AC .照此焊接下去，在该钢架内部最多能焊接钢条( )1 1 12 1 1 1 2 1A. 7根B. 6根C. 5根D. 4根4．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E，交BC 于点D，CD＝3，则BC 的长为( )A. 6B. 6 3C. 95．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠A＝30°，则AD 等于（）D. 3 3A． 4BD B．3BD C． 2BD D． BD（第5 题图）（第6 题图）（第7 题图）（第8 题图）6.如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为21，则BC的长为（）A．6 B．9 C．10 D．127.如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，则△AEF的周长为()A. 98.如图，若AB=AC，BG=BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（）A．30°B．32°C．36°D．40°B. 11C. 12D. 139.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O 作EF∥BC交AB 于E，交AC 于F，过点O 作OD ⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BOC=90°+∠A；③点O 到△ABC各边的距离相等；④设OD=m，AE+AF=n，则S=mn．其中正确的结论是（△AEF ）A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④10．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为( )A. 1B. 1.5C. 2D. 2.511.在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为( )A. 49 cm2B. 98 cm2C. 147 cm2D. 无法确定（第9 题图）（第10 题图）（第11 题图）（第12 题图）12．如图所示，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE等于( )A．1 B. 2 C. 3 D．213．图中，不能用来证明勾股定理的是( )14.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，E是垂足，连结CD.若BD＝1，则AC的长是( )A. 2 3B. 2C. 4 315．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC.若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E，则下列结论一定正D. 4确的是( A．AE＝EC )B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE（第14 题图）（第15 题图）（第16 题图）（第17 题图）16．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为b，若(a＋b) ＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( 2 )A．3 B．4 C．5 D．617．如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为( )A．2 B. 3 C. 2 D．118．已知△ABC的三边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )．A．3 条B．4 条C．5 条D．6 条19．如图所示，直线l 上摆有三个正方形a，b，c，若a，c 的面积分别为8 和10，则b 的面积是( )A．24 B．20 C．18 D．1620．将一个斜边长为2的等腰直角三角形纸片[如图(1)]沿它的对称轴折叠 1 次后得到另一个等腰直角三角形[如图(2)]，再将图(2)的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后又得到一个等腰直角三角形[如图(3)]，则连续将图(1)的等腰直角三角形折叠n 次后所得到的等腰直角三角形[如图]的斜边长为( )n n－1 n1 12 2222A.n B. C. D.21．如图，已知∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的边AB，BC，CA为一边向△ABC外作正方形ABDE，正方形BCMN，正方形CAFG，连结EF，GM.设△AEF，△CGM的面积分别为S，S，则下列结论正确的是( )1 2A.S＝S B．S＜S C．S＞S D．S≤S1 2 1 2 1 222.如图△ABC中，PM，QN 分别是AB，AC 的垂直平分线，∠BAC＝110°，则∠PAQ＝_______．1 2（第21 题图）（第22 题图）（第24 题图）23.等腰三角形的周长为16，一腰上的中线把周长分成5∶3两部分，则三角形的底边长___．24.如图，在△ABC中， AB＝AC，∠BAC＝36°，DE 是线段AC 的垂直平分线．若BE＝a，AE＝b，则用含a，b 的代数式表示△ABC的周长为________．25．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD 的边长为14，正方形IJKL 的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH 的边长为________．（第25 题图）（第26 题图）（第27 题图）26．如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两动点，且总使AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD FG于点G，则＝____．AF27.如图，两块完全一样的含30°角的直角三角尺重叠在一起，若绕长直角边AC的中点M转动，使上面一块直角三角尺的斜边A′B′刚好过下面一块直角三角尺的直角顶点C.若∠A＝30°，AC＝10，则此时两直角顶点C，C′间的距离是____．28．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，连结DE，M是AB的中点，N是DE的中点．求证：MN是DE的中垂线．29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(不与点A，B重合)，连结CD，将线段CD绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连结BE.(1)求证：△ACD≌△BCE.(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．30.如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，分别以AB，AC为边作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连结ED交AB于点F.1求证：（1）BC＝AB.（2）EF＝DF.231.已知，如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CG＝EG（1）求证：CD＝AE；（2）若AD＝BD，CD＝2，则求△ABD的面积．32.在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．(1)如图所示，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF.求证：△DEF为等腰直角三角形；(2)如果E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．33．如图①，A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．(1)连结BE，DC，求证：BE＝DC.(2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′.①当旋转角为____度时，边AD′落在AE上．②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连结BD′，CD′.当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．34.已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°.探究并解决下列问题：(1)如图①，若点P在线段AB上，且AC＝1＋3，PA＝2，则：①线段PB＝____，PC＝____．②猜想：PA，PB，PQ三者之间的数量关系为__．222(2)如图②，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程．PA1(3)若动点P满足＝，求的值．PB3ACPC29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(不与点A，B重合)，连结CD，将线段CD绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连结BE.(1)求证：△ACD≌△BCE.(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．30.如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，分别以AB，AC为边作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连结ED交AB于点F.1求证：（1）BC＝AB.（2）EF＝DF.231.已知，如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CG＝EG（1）求证：CD＝AE；（2）若AD＝BD，CD＝2，则求△ABD的面积．32.在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．(1)如图所示，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF.求证：△DEF为等腰直角三角形；(2)如果E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．33．如图①，A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．(1)连结BE，DC，求证：BE＝DC.(2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′.①当旋转角为____度时，边AD′落在AE上．②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连结BD′，CD′.当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．34.已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°.探究并解决下列问题：(1)如图①，若点P在线段AB上，且AC＝1＋3，PA＝2，则：①线段PB＝____，PC＝____．②猜想：PA，PB，PQ三者之间的数量关系为__．222(2)如图②，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程．PA1PC(3)若动点P满足＝，求的值．PB3AC29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(不与点A，B重合)，连结CD，将线段CD绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连结BE.(1)求证：△ACD≌△BCE.(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．30.如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，分别以AB，AC为边作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连结ED交AB于点F.1求证：（1）BC＝AB.（2）EF＝DF.231.已知，如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CG＝EG（1）求证：CD＝AE；（2）若AD＝BD，CD＝2，则求△ABD的面积．32.在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．(1)如图所示，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF.求证：△DEF为等腰直角三角形；(2)如果E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．33．如图①，A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．(1)连结BE，DC，求证：BE＝DC.(2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′.①当旋转角为____度时，边AD′落在AE上．②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连结BD′，CD′.当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．34.已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°.探究并解决下列问题：(1)如图①，若点P在线段AB上，且AC＝1＋3，PA＝2，则：①线段PB＝____，PC＝____．②猜想：PA，PB，PQ三者之间的数量关系为__．222(2)如图②，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程．PA1PC(3)若动点P满足＝，求的值．PB3AC。

浙教版八上第二章：特别三角形培优训练一．选择题：1 ．△ABC 中，∠A ：∠B：∠C=3 ： 5 ： 8 ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B．直角三角形，且∠ C=90 °C．直角三角形，且∠ B=90 ° D ．直角三角形，且∠ A=90 °2 ．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40 °，则其顶角为 ( )A．50°B．130 °C． 50 °或130 ° D ． 55 °或130 °3 ．如下图，在△ ABC 中，∠A=36 °，∠C=72 °，∠ABC 的均分线交 AC 于 D ，则图中共有等腰三角形（）A．0 个B． 1个C．2个D． 3个4 ．如图，在△ ABC 中， AB=AC ，BD 均分∠ABC 交 AC 于点 D ，AE ∥BD 交 CB 的延伸线于点E，若∠E=35 °，则∠BAC 的度数为（）A． 40°B． 45°C． 50°D． 55°5 ．等腰三角形的一边长是 8，周长是18 ，则它的腰长是 ( )A ． 8 B． 5 C． 2 D．8或56 ．如图是一个 6 ×6 的正方形网格，每个小正方形的极点都是格点，Rt △ABC 的极点都是图中的格点，此中点 A 、点 B 的地点如下图，则点 C 可能的地点共有 ( )A．9 个B．8 个C．7 个D．6 个7 ．如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90 °，∠A=25 °，D 是 AB 上一点．将 Rt △ABC 沿 CD 折叠，使B 点落在 AC 边上的 B′处，则∠ADB ′等于（）A． 25°B． 30°C． 35°D． 40°8 ．在等边△ ABC 所在的平面内求一点P，使△PAB ，△PBC，△PAC 都是等腰三角形，拥有这样性质的点 P有( )A ． 1 B． 4 C． 7 D．109 ．在Rt△ABC中，AC= BC，点D为AB中点．∠GDH =90 0，∠GDH绕点D旋转，DG、DH分别与边 AC、BC 交于 E， F 两点．以下结论:① AE+ BF= 2 2 2 2 ，③S CEDF= 1 ④△DEF 一直为等腰直角三AB ，②AE + BF =EF 四边形S ABC，2 △2角形 . 此中正确的选项是（）A. ①②③④B.①②③C. ①④D. ②③10 ．如图，在△ ABC 中， AC=BC ，∠ACB=90 °，AE 均分∠ BAC 交 BC 于 E， BD ⊥ AE 于 D ，DM ⊥ AC 交 AC 的延伸线于 M ，连结 CD ．以下结论：① AC+CE=AB ；② CD= 1；③∠CDA=45 °；④AM 为定值．此中正确的结论有（）2 AC ABA． 1个B． 2个C． 3个D． 4个二．填空题：11 ．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为15 和 6 两部分，则腰长为12 ．在△ABC 中，∠A 的相邻外角是110 °，要使△ABC 为等腰三角形，则底角∠ B 的度数是 _____________13 ．如图，△ ABC 中，∠ C=90 °，AB 的中垂线DE 交 AB 于 E，交 BC 于 D ，若 AB=10 ， AC=6 ，则△ACD 的周长为14 ．如图，△ ABC 中， BC=18 ，若 BD ⊥AC 于 D ，CE⊥ AB 于 E， F、G 分别为 BC 、DE 的中点，若 ED=10 ，则 FG 的长为15 ．如图， Rt △ABC 中，∠ACB=90 °，CD 是斜边 AB 上的高，角均分线AE 交 CD 于 H ，EF⊥ AB 于 F，以下结论：①∠ ACD= ∠B；② CH=CE=EF ；③ AC=AF ；④ CH=HD ．此中正确的结论为（填序号）16 ．如图，在等腰△ ABC 中， AB=AC ，∠BAC=50 °．∠BAC 的均分线与AB 的中垂线交于点O，点C 沿 EF 折叠后与点O 重合，则∠ CEF 的度数是 _____________三．解答题：17 ．如图，△ ABC 是边长为 2 的等边三角形，将△ ABC 沿直线 BC 向右平移，使点 B 与点 C 重合，获得△DCE，连结 BD ，交 AC 于点 F．（ 1 ）猜想 AC 与 BD 的地点关系，并证明你的结论；（2）求线段BD 的长．18. 如图 1 ，△ABC 中， AG ⊥ BC 于点 G，以 A 为直角极点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ ABC 作等腰 Rt △ABE 和等腰 Rt △ACF ，过点 E、 F 作射线 GA 的垂线，垂足分别为P、 Q ．（ 1 ）尝试究EP 与 FQ 之间的数目关系，并证明你的结论；（ 2 ）如图 2，若连结 EF 交 GA 的延伸线于H ，由（ 1 ）中的结论你能判断EH 与 FH 的大小关系吗？并说明原因．（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，若BC=AG=24，请直接写出S△AEF=．19 ．如图，在△ ABC 中， AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，E为AC的中点，DF⊥AB，垂足为点F，求 DE、 DF 的长．20 ．如图， AB ⊥ BC，射线 CM ⊥ BC，且 BC=4 ，AB=1 ，点 P 是线段 BC （不与点B、C 重合）上的动点，过点P 作 DP ⊥ AP 交射线 CM 于点 D ，连结 AD ．（1 ）如图 1，若 BP=3 ，求△ABP 的周长．（2 ）如图 2，若 DP 均分∠ADC ，试猜想 PB 和 PC 的数目关系，并说明原因．（3 ）若△PDC 是等腰三角形，作点 B 对于 AP 的对称点 B′，连结B′D ，则 B′D=_____ ．（请直接写出答案）21 ．如图，在△ ABC 中，∠C=90 °，△BAP 中，∠BAP=90 °，已知∠CBO= ∠ABP ，BP 交 AC 于点 O ，E 为 AC 上一点，且AE=OC ．（ 1 ）求证：△ AOP 是等腰三角形；（ 2）求证： PE⊥ AO ．初中数学试卷。

第2章特殊三角形培优提高卷一、选择题。

（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．如图，等腰直角△ABC中AB=AC，将其按下图所示的方式折叠两次，若DA’=1，给出下列说法：①DC’平分∠BDA’；②BA’长为；③△BC’D是等腰三角形；④△CA’D的周长等于BC的长．其中正确的有﹙﹚A.1个B.2个C.3个D.4个2．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点成为格点．已知A，B是两个格点，如果点C 也是图中的格点，且使△ABC为等腰直角三角形，则点C的个数是﹙﹚A．6个B．7个C．8个D．9个(第2题) (第3题) (第4题)3．如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，下列结论：①∠CDF=α；②A1E=CF；③DF=FC；④BE=BF．其中正确的有﹙﹚A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③4．如图，△ABC中，AB=20㎝，AC=12㎝，点P从点B出发以3㎝/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2㎝/s的速度想点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（）A.2.5s；B.3s;C.3.5s;D.4s请你帮他找来﹙ ﹚ A ．13，12，12B ．12，12，8C ．13，10，12D ．5，8，46．如图，△ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB ，过D 作直线平行于BC ，交AB 、AC 于E 、F ，当∠A 的位置及大小变化时，线段EF 和BE +CF 的大小关系﹙ ﹚ A ．EF =BE +CF B ．EF ＞BE +CF C ．EF ＜BE +CF D ．不能确定(第6题) (第7题) (第8题)7．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =3，AC =4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为﹙ ﹚ A ．67 B ．65 C ．35 D ．348．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =22，CD =2，点P 在四边形ABCD 的边上．若点P 到BD 的距离为23，则点P 的个数为﹙ ﹚ A ．2 B ．3 C ．4 D ．59．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1，AC 在直线l 上．将△ABC 绕点A 顺时针旋转到位置①，可得到点P 1，此时AP 1=2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2=23；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3=33；…，按此规律继续旋转，直到得到点P 2014为止，则P 1P 2014=﹙ ﹚A ．2012＋3B ．2013＋3C ．2014＋3D ．2015＋3(第9题) (第10题)10．如图，已知△ABC 中，∠ABC =45°，AC =4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（ ）A.6 B .23 C .5 D .4 二、填空题。

浙教版⼋年级上册数学第2章《特殊三⾓形》培优测试卷及答案浙教版⼋年级上册数学第2章《特殊三⾓形》培优测试卷考试时间：120分钟满分：120分⼀、选择题（本⼤题有12⼩题，每⼩题3分，共36分）下⾯每⼩题给出的四个选项中，只有⼀个是正确的.1.将⼀根长24cm的筷⼦置于底⾯直径为5cm，⾼为12cm的圆柱⽔杯中，设筷⼦露在杯⼦外⾯的长度为h，则h的取值范围是（）A. 12cm≤h≤19cmB. 12cm≤h≤13cmC. 11cm≤h≤12cmD. 5cm≤h≤12cm2.勾股定理是⼈类最伟⼤的科学发现之⼀，在我国古算书《周醉算经》中早有记载。

如图1，以直⾓三⾓形的各边为边分别向外作正⽅形，再把较⼩的两张正⽅形纸⽚按图2的⽅式放置在最⼤正⽅形内.若知道图中阴影部分的⾯积，则⼀定能求出（）A. 直⾓三⾓形的⾯积B. 最⼤正⽅形的⾯积C. 较⼩两个正⽅形重叠部分的⾯积D. 最⼤正⽅形与直⾓三⾓形的⾯积和（第1题）（第2题）（第3题）3.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE=1，连接DE，将△AED 沿直线沿直线AE翻折⾄△ABC所在的平⾯内，得到△AEF，连接DF，过点D作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为（）A. 8B.C.D. .4.如图，BM是△ABC的⾓平分线，D是BC边上的⼀点，连接AD，使AD=DC，且∠BAD=120°，则∠AMB=（）A. 30°B. 25°C. 22.5°D. 20°（第4题）（第5题）（第6题）5.如图，C为线段AE上⼀动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD 与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③CP=CQ；④BO=OE；⑤∠AOB=60°，恒成⽴的结论有（）A. ①③⑤B. ①③④⑤C. ①②③⑤D. ①②③④⑤6.如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n﹣1A n B n﹣1（n＞2）的度数为（）A. B. C. D.7.如图，⼩正⽅形边长为1，连接⼩正⽅形的三个顶点得△ABC，则AC边上的⾼是（）．A. B. C. D.8.如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的⾓平分线AP和∠ACB外⾓的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB 的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG．其中正确的有（）A.①②④B. ①②③C. ①②④⑤D. ①②③⑤（第8题）（第9题）（第10题）9.如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连，则线段的长等于（）A. B. C. D.10.如图，△ABC和△ADE都是等腰直⾓三⾓形，∠BAC=∠DAE=90°，连结CE交AD于点F，连结BD 交CE于点G，连结BE．下列结论中，正确的结论有（）①CE=BD；②△ADC是等腰直⾓三⾓形；③∠ADB=∠AEB；④S四边形BCDE= BD?CE；⑤BC2+DE2=BE2+CD2．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11.如图，在边长为1正⽅形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE=EB，有⼀只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回点E点，则蚂蚁所⾛的最⼩路程是（）A. 2B. 4C.D.12.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则线段B′F的长为( )A. B. C. D.（第11题）（第12题）（第13题）（第14题）⼆、填空题（本⼤题有6⼩题，每⼩题3分，共18分）要注意认真看清题⽬的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.13.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内⼀点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针⽅向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________cm.14.如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝6，点D是AC边的中点，点P是BC边上⼀点，若△BDP 为等腰三⾓形，则线段BP的长度等于________．15.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的⾯积为________．（第15题）（第16题）（第17题）（第18题）16.如图，等边三⾓形ABC内有⼀点P，分別连结AP、BP、CP，若，，．则＝________．17.如图是⼩章为学校举办的数学⽂化节没计的标志，在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边作三个正⽅形，点G落在HI上，若AC+BC=6，空⽩部分⾯积为10.5，则阴影部分⾯积为________.18.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，D为AC中点，过点A作AE∥BC，连结BE，∠EBD=∠CBD，BD=5，则BE的长为________.三、解答题（本⼤题有7⼩题，共66分）解答应写出⽂字说明，证明过程或推演步骤.19.（8分）如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，求证：AB+BD=AC．20.（8分）如图，等边三⾓形ABC中，D为AC上⼀点，E为AB延长线上⼀点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF．（1）求证：CD＝BE；（2）若AB＝12，试求BF的长．21.（10分）如图，△ABC和△AOD是等腰直⾓三⾓形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O 是△ABC内的⼀点，∠BOC=130°．（1）求证：OB=DC；（2）求∠DCO的⼤⼩；（3）设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三⾓形．22.（10分）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.点D为直线BC上⼀动点（点D不与点B、C重合），以AD为直⾓边在AD右侧作等腰直⾓三⾓形ADE，使∠DAE=90°，连结CE.（1）探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD.（2）应⽤：在探究的条件下，若AB= ，CD=1，则△DCE的周长为________.（3）拓展：①如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为________.②如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为________.23.（10分）如图：（1）在图1中，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN．∠ABC＝∠ADC＝90°，则能得如下两个结论：①DC=BC；②AD+AB=AC.请你证明结论②。

浙教版2020八年级数学上册第二章特殊三角形自主学习优生提升训练题1（附答案详解）1．下列说法正确的是（）A．三角形可以分为等边三角形、直角三角形、钝角三角形B．如果一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形为锐角三角形C．各边都相等的多边形是正多边形D．五边形有五条对角线2．如图，在四边形ABCD中，∠A=120°，∠C=80°．将△BMN沿着MN翻折，得到△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠F的度数为（）A．70°B．80°C．90°D．100°3．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形．点C 也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（）个．A．3 B．5 C．8 D．104．下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．5，12，14 B．6，8，10 C．3，4，6 D．1，2，3 5．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=60°，AD平分∠BAC，则AD等于（）A．1 B．2C．3D．1.56．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）7．下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是轴对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ．9．下列图形都是由两个全等三角形组合而成，其中是轴对称图形的是 （ ） A ． B ． C ． D ． 10．等腰三角形的两边长为4、9，则它的周长是( )A ．17B ．17或22C ．20D ．2211．已知△ABC 中，AB=AC=4，∠A=60°，则△ABC 的周长为______.12．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于E ．如果AC=6，BC=8，那么DE= ，CD= ．13．如图，AD 为ABC ∆的BC 边上的中线，沿AD 将ACD ∆折叠，点C 的对应点为1C ，已知456ADC BC ∠=︒=，，则点B 与点1C 之间的距离是____________14．如图，将长方形ABCD 折叠，折痕为EF ，且∠1=70°，则∠AEF 的度数是_____．15．如图，AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点D ，若40A ∠=︒，则DBC ∠=______°．16．如图，将一张圆形纸片对折后再对折，将阴影部分剪下，空白部分完全展开得到的图形对称轴有_____条．17．如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、F 在同一直线上，CD ＝CE ，DF ＝DG ，则∠F ＝___度．18．如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边对折所形成的，CD 与AE 交于点P 若∠1：∠2：∠3=13：3：2，则∠α的度数为_____．19．如图，已知A 1A 2=1，∠OA 1A 2=90°，∠A 1OA 2=30°，以斜边OA 2为直角边作直角三角形，使得∠A 2OA 3=30°，依次以前一个直角三角形的斜边为直角边一直作含30°角的直角三角形，则Rt △A 2014OA 2015的面积为_____．20．如图，已知AD 平分∠EAC ，且AD ∥BC ，则△ABC 一定是 三角形．21．如图1，已知△ABC 中，AB=AC ，点D 是△ABC 外一点(与点A 分别在直线BC 两侧).且DB=DC ，过点D 作DE//AC ，交射线AB 于E ，连接AD 交BC 于F.(1)求证：AD 垂直BC ；(2)如图1，点E 在线段AB 上且不与B 重合时，求证：DE=AE ；(3)如图2，当点E 在线段AB 的延长线上时，请直接写出线段DE ，AC ，BE 的数量关系.22．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC 的周长；（2）求证：∠ABC ＝90°；（3）若点P 为直线AC 上任意一点，则线段BP 的最小值为 ．23．（1）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15 cm 和6 cm 两部分．求等腰三角形的底边长．(2)已知等腰三角形中，有一个角比另一个角的2倍少20°，求顶角的度数24．如图，在直角ABC 中，90C ∠=︒，CAB ∠的平分线AD 交BC 于D ，若DE 垂直平分AB ，求B 的度数．25．如图，平面直角坐标系中，已知点()()A a 1a b B a 0-+，，，且()2a b 3a 2b 0C +-+-=，为x 轴上点B 右侧的动点，以AC 为腰作等腰ACD ，使AD AC CAD OAB ∠∠==，，直线DB 交y 轴于点P ．（1）求证：AO AB =；（2）求证：OC BD =；（3）当点C 运动时，点P 在y 轴上的位置是否发生改变，为什么？26．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 边上，且BE=CF ，AD+EC=AB ． （1）求证：△DEF 是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF 的度数；（3）△DEF 可能是等腰直角三角形吗？为什么？（4）请你猜想：当∠A 为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．27．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ＝AD ，请你添加一个边或角的条件，使得AC ⊥BD ．（1）添加的条件是 ；（2）根据已知及添加的条件证明：AC⊥BD．28．如图，，为中点，点在线段上(不与点，重合)，将绕点逆时针旋转后得到扇形，，分别切优弧于点，，且点，在异侧，连接．(1)求证：；(2)当时，求的长(结果保留)；(3)若的外心在扇形的内部，求的取值范围．29．如图，在下列10×10的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，例如A（2，1）、B（5，4）、C（1，8）都是格点．（1）直接写出△ABC的形状．（2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC绕点A顺时针旋转角度α得到△AB1C1，α＝∠BAC，其中B，C的对应点分别为B1，C1，操作如下：第一步：找一个格点D，连接AD，使∠DAB＝∠CAB．第二步：找两个格点C1，E，连接C1E交AD于B1．第三步：连接AC1，则△AB1C1即为所作出的图形．请你按步骤完成作图，并直接写出D、C1、E三点的坐标．30．如图，在ABC △中，AB AC =，70ABC ∠=︒，(1)用直尺和圆规作ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D (保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，求BDC ∠的度数．参考答案1．D【解析】【分析】根据三角形的分类、三角形内外角的关系以及正多边形的定义即可作出判断．【详解】A、三角形可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，故选项错误；B、任何一个三角形的一定至少有两个外角大于与它相邻的内角，故选项错误；C、各边都相等、各角相等的多边形是正多边形，故选项错误；D、五边形有五条对角线，正确．故选D．【点睛】本题考查了正多边形的定义，三角形的性质以及分类，理解三角形的内角和外角的关系是关键．2．B【解析】【分析】首先利用平行线的性质得出∠BMF=120°，∠FNB=80°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN=∠BMN=60°，∠FNM=∠MNB=40°，进而求出∠B的度数以及得出∠F的度数．【详解】∵MF∥AD，FN∥DC，∠A=120°，∠C=80°，∴∠BMF=120°，∠FNB=80°，∵将△BMN沿MN翻折得△FMN，∴∠FMN=∠BMN=60°，∠FNM=∠MNB=40°，∴∠F=∠B=180°-60°-40°=80°，故选B．【点睛】主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出∠FMN=∠BMN，∠FNM=∠MNB是解题关键．3．C【解析】试题分析：根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边．解：如图所示：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有0个；②点C以点B为标准，AB为底边，符合点C的有0个；③点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有C1、C3、C7，共3个；④点C以点A为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有C2、C4、C5，C6、C8共5个；综上所述，所有符合条件的点C共有8个．故选C．点评：此题考查了等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解．注意数形结合的解题思想．4．B【解析】【分析】利用勾股定理逆定理即可证明.【详解】解：52+122≠142,A错误,62+82=102,B正确,32+42≠62,C错误,12+22≠32,D错误,故选B.【点睛】本题考查了用勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形，属于简单题,熟悉概念是解题关键. 5．C【解析】∵在△ABC中，AB=AC=2，∠B=60°，AD平分∠BAC，∴△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BC=AB=2，BD=DC=1，∠ADB=90°，∴=故选C.6．B【解析】因为AB＝AC，∠A＝20°，所以∠ABC=80°.因为DE是线段AB的垂直平分线，所以EB=EA，所以∠EAB=∠EBA=20°，所以∠CBE=∠ABC-∠ABE=80°-20°=60°.故选B.7．C【解析】试题分析：根据轴对称图形的概念分别找出各选项中对称轴的条数，然后选择答案即可．解：A、共有6条对称轴；B、共有2条对称轴；C、共有1条对称轴；D、共有3条对称轴；所以对称轴条数最少的是C选项．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．8．C【解析】【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断即可得答案．【详解】A.不是轴对称图形，故该选项不符合题意，B.不是轴对称图形，故该选项不符合题意，C.是轴对称图形，故该选项符合题意，D.不是轴对称图形，故该选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．9．B【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选B．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，关键是正确找出对称轴的位置．10．D【解析】解：根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9∵4+4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去4+9＞9，故4，9，9能构成三角形∴它的周长是4+9+9=22故选D．11．12【解析】【分析】 【详解】 解：∵AB=AC=4，∠A=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴BC="AB=AC=4，"∴△ABC 的周长为12．故答案为12.【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，难度不大．12．4；5【解析】试题分析：在直角△ABC 中，AB=222286+=+BC AC =10，∵D 是AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于E ，∴DE 是△ABC 的中位线，D 是AB 的中点．∴DE=21BC=4，CD=21AB=5． 考点：1、勾股定理三；2、角形中位线定理；3、直角三角形斜边上的中线13．32【解析】【分析】连接BC 1，根据三角形中线的定义可得BD=CD=12BC =3，然后根据折叠的性质可得C 1D=CD=3，∠C 1DA=∠ADC=45°，最后利用勾股定理即可求出结论．【详解】解：连接BC 1∵AD 为ABC ∆的BC 边上的中线，BC=6∴BD=CD=12BC=3由折叠的性质可得C1D=CD=3，∠C1DA=∠ADC=45°∴∠C1DB=180°－∠C1DA－∠ADC=90°在Rt△C1DB中，BC1故答案为：【点睛】此题考查的是勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理与折叠的性质是解决此题的关键．14．125°【解析】【分析】根据∠1=70°，可得∠BFB'=110°，由折叠可得，∠BFE=12∠BFB'=55°，再根据AD∥BC，即可得到∠AEF=180°﹣∠BFE=125°．【详解】∵∠1=70°，∴∠BFB'=110°，由折叠可得，∠BFE=12∠BFB'=55°，又∵AD∥BC，∴∠AEF=180°﹣∠BFE=125°．故答案为：125°.【点睛】本题考查了折叠问题以及平行线的性质的运用，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．15．30【解析】【分析】根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出∠ABC,然后根据垂直平分线的性质可得DA=DB,从而得出∠A=∠DBA=40°,即可求出DBC∠．解:∵AB AC =,40A ∠=︒∴∠ABC=∠ACB=()1180702A ︒-∠=︒ ∵DE 垂直平分AB∴DA=DB∴∠A=∠DBA=40°∴∠DBC=∠ABC －∠DBA=30°故答案为:30．【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，掌握等边对等角和线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是解决此题的关键．16．两．【解析】【分析】根据阴影部分是有4个全等的直角三角形组成，于是得到阴影部分展开得到的图形得到的图形是菱形，然后根据轴对称图形的性质即可得到结论．【详解】∵将阴影部分剪下，展开后得到的平面图形是一个四边形，其四条边相等，且对角线互相垂直．故其是一个菱形，∴空白部分完全展开得到的图形对称轴有两条，故答案为：两．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的判定，轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．17．15．【解析】【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠F 的【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝30°，∠FDG＝150°，∵DF＝DG，∴∠F＝15°．故答案为：15．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质．解题的关键是利用外角的性质得出结论．18．100°【解析】【分析】由∠1：∠2：∠3=13：3：2和三角形内角和定理求出∠1=130°，∠3=20°，根据折叠的性质即可求解．【详解】解：∵∠1：∠2：∠3=13：3：2，∴∠1=130°，∠3=20°，∴∠DCA=20°，∠EAB=130°，∵∠PAC=360°﹣2∠1=100°，∴∠EPD=∠APC=180°﹣∠PAC﹣∠DCA=60°，由翻折的性质可知：∠E=∠3=20°，∴∠α=180°﹣60°﹣20°=100°．故答案为：100°．【点睛】本题考查了折叠变换的性质、三角形内角和定理；熟练掌握翻折变换的性质和三角形内角和定理是解题的关键．19．×（）4026【解析】试题分析：在Rt△OA1A2中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，得到OA2=2A1A2，由A1A2的长求出OA2的长，在Rt△OA2A3中，利用锐角三角函数定义得到tan∠A2OA3等于A2A3与OA2的比值，求出A2A3的长，再利用30°所对的直角边等于斜边的一半，求出OA3的长，同理求出A3A4的长，以此类推得到直角三角形△A2014OA2015的两条直角边的长，求出面积．试题解析：在Rt△OA1A2中，A1A2=1，∠OA1A2=90°，∠A1OA2=30°，∴OA1=1÷tan30°=, OA2=÷cos30°=2在Rt△OA2A3中，OA2="2," ∠OA2A3=90°，∠A2OA3=30°，∴A2A3= OA2×tan∠A2OA3=2×=, OA3= OA2÷cos∠A2OA3=由此可知：OA2=OA1×, OA3=OA1×（）2则OA2014=OA1×（）2013则Rt△OA2014A2015的面积为：××（）2013×（）2013×=×（）4026．考点：1．含30度角的直角三角形；2．勾股定理．20．等腰【解析】试题分析：先根据平行线性质得到∠EAD=∠B，∠DAC=∠C，再根据角平分线的性质得到∠EAD=∠DAC，从而推出∠B=∠C，等角对等边所以AB=AC．从而判定△ABC的形状．解：∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B，∠DAC=∠C．∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC．∴∠B=∠C．∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形．故答案为：等腰．点评：此题主要考查了等腰三角形的判定及平行线的性质，重点考查学生对等腰三角形的判定的理解及运用，属于基础证明，难度不算很大．21．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE=AC+BE【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定定理即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAF=∠CAF，根据平行线的性质得到∠CAF=∠ADE，等量代换得到∠BAF=∠ADE，于是得到DE=AE；（3）由（1）得AF⊥BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAF=∠CAE，根据平行线的性质得到∠EDA=∠CAF，等量代换得到∠BAF=∠EDA于是得到结论．【详解】(1)∵AB=AC∴点A在线段BC的垂直平分线上，∵DB=DC∴点D在线段BC的垂直平分线上，∴直线AD是BC的垂直平分线，∴AD垂直BC；(2)∵AB=AC，AD⊥BC∴∠BAD=∠CAD∵DE∥AC∴∠EDA=∠CAD∴∠BAD=∠EDA∴DE=AE(3) DE=BE+AC，由（1）得AF⊥BC，∵AB=AC，∴∠BAF=∠CAF，∵DE∥AC，∴∠EDA=∠CAF，∴∠BAF=∠EDA，∴EA=ED，∵EA=EB+BA=EB+AC ， ∴DE=BE+AC ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．22．(1)35+5;(2)见解析;(3)2.【解析】【分析】 （1）运用勾股定理求得AB ，BC 及AC 的长，即可求出△ABC 的周长．（2）运用勾股定理的逆定理求得AC 2=AB 2+BC 2，得出∠ABC=90°．（3）过B 作BP ⊥AC ，根据面积法计算即可．【详解】解：(1)2222224225,215,345AB BC AC =+==+==+=，△ABC 的周长2555355=++=+，(2)∵22225,20,5AC AB BC ===，∴222AC AB BC =+，∴90.ABC ∠=(3)过B 作BP ⊥AC ,∵△ABC 的面积1122AB BC AC BP =⋅=⋅， 即11255522BP ⨯=⨯⋅， 解得BP =2，故答案为2【点睛】考查勾股定理的逆定理，勾股定理，注意等面积法在解题中的应用.23．(1)1cm;(2) 44°或80°或140°.【解析】【分析】（1）设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具休是哪部分的长为15，故应该列两个方程组求解．（2）设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，然后分①x是顶角，2x-20°是底角，②x是底角，2x-20°是顶角，③x 与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．【详解】∵等腰三角形的周长是15cm+6cm=21cm，设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm,ycm,由题意得1152162x xx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩或1621152x xx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得101xy=⎧⎨=⎩或413xy=⎧⎨=⎩(不符舍去)，∴等腰三角形的底边长为1cm..(2) 设另一个角是x，表示出一个角是2x−20°，①x是顶角，2x−20∘是底角时，x+2(2x−20°)=180°，解得x=44°，所以，顶角是44°；②x是底角，2x−20°是顶角时，2x+(2x−20°)=180°，解得x=50°，所以，顶角是2×50°−20°=80°；③x与2x−20∘都是底角时，x=2x−20°，解得x=20°，所以，顶角是180°−20°×2=140°；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°.【点睛】本题考查了等腰三角形的概念和性质以及分类的数学思想，掌握基本知识是关键.24．30【解析】【分析】通过DE 垂直平分AB ,可得B BAD ∠=∠，再根据AD 平分CAB ∠可得CAD BAD B ==∠∠∠，通过三角形内角和定理即可求出B 的度数．【详解】∵DE 垂直平分AB∴DA DB =∴B BAD ∠=∠∵AD 平分CAB ∠∴CAD BAD B ==∠∠∠∵90C ∠=︒∴90CAB B ∠+∠=︒∴390B =︒∠∴30B ∠=︒．【点睛】本题考查了三角形内角的度数问题，掌握垂直平分线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理是解题的关键．25．（1）见解析（2）见解析（3）点P 在y 轴上的位置不发生改变，理由见解析【解析】【分析】（1）根据算术平方根和平方数的非负性质即可求得a 、b 的值，即可求得A ，B 点坐标，即可求得OA ，AB 长度，即可解题；（2）易证∠OAC ＝∠BAD ，即可证明△OAC ≌△BAD ，可得OC ＝BD ，即可解题；（3）点P 在y 轴上的位置不发生改变．理由：设∠AOB ＝∠ABO ＝α，易证∠OBP 是定值，根据OB 长度固定和∠POB ＝90︒，即可解题．【详解】（1()220a b -=，0，()22a b -≥0，∴a ＋b−3＝0，a−2b ＝0，解得：a ＝2，b ＝1，∴A （1，3），B （2，0），∴OA=AB=∴OA ＝AB ；（2）∵∠CAD ＝∠OAB ，∴∠CAD ＋∠BAC ＝∠OAB ＋∠BAC ，即∠OAC ＝∠BAD ，在△OAC 和△BAD 中，OA AB OAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OAC ≌△BAD （SAS ），∴OC ＝BD ；（3）点P 在y 轴上的位置不发生改变．理由：设∠AOB ＝∠ABO ＝α，∵由（2）知△AOC ≌△ABD ，∴∠ABD ＝∠AOB ＝α，∵OB ＝2，∠OBP ＝180°−∠ABO−∠ABD ＝180°−2α为定值，∵∠POB ＝90︒，∴OP 长度不变，∴点P 在y 轴上的位置不发生改变．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△OAC ≌△BAD 是解题的关键．26．（1）证明见解析；（2）∠DEF=70°； （3）△DEF 不可能是等腰直角三角形，理由见解析；（4）当∠A=60°时，∠EDF+∠EFD=120°，理由见解析.【解析】【分析】（1）首先根据条件证明△DBE ≌△ECF ，根据全等三角形的性质可得DE=FE ，进而可得到△DEF 是等腰三角形；（2）由（1）中的全等得出∠BDE=∠CEF ，再由角之间的转化，从而可求解∠DEF 的大小；（3）由于AB=AC ，可得∠B=∠C ≠90°=∠DEF ，从而可确定其不可能是等腰直角三角形；（4）先猜想出∠A 的度数，则可得∠EDF+∠EFD=120°，根据前面的推导过程知∠EDF+∠EFD=120°时，∠DEF=60°，再由∠B=∠DEF 以及等腰三角形的性质继而推得猜想的正确性.【详解】（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵AD+EC=AB ，AB=AD+BD ，∴BD=CE ，在△BDE 和△CEF 中，BD CE B C BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CEF （SAS ）∴DE=EF ，∴△DEF 是等腰三角形；（2）∵∠DEC=∠B+∠BDE ，即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE ，由（1）知△BDE ≌△CEF ，则∠BDE=∠CEF ，∴∠DEF=∠B ，∵∠A=40°，∴∠B=∠C=()1180402⨯︒-︒=70°， ∴∠DEF=70°；（3）△DEF 不可能是等腰直角三角形，∵AB=AC，∴∠B=∠C≠90°，由（2）知∠DEF=∠B，∴∠DEF=∠B≠90°，∴△DEF不可能是等腰直角三角形；（4）当∠A=60°时，∠EDF+∠EFD=120°，理由是：当∠EDF+∠EFD=120°时，则∠DEF=180°-120°=60°，∴∠B=∠DEF=60°，∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60°，∴当∠A=60°时，∠EDF+∠EFD=120°.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定和性质问题，能够熟练掌握和灵活运用相关质是解题的关键.27．（1）CB＝CD；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，分析题意，即可添加条件；（2）根据线段垂直平分线的判定和性质定理即可得到结论．【详解】（1）添加的条件是CB＝CD，故答案为：CB＝CD；（2）∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC垂直平分BD，∴AC⊥BD．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的判定和性质定理.28．(1)见解析；(2)；(3)4＜OC＜8.【解析】(1)连接OQ，证明AP，BQ所在两个三角形全等；(2)在Rt△BOQ中，由OB，BQ的长求出∠BOQ的度数，得到所对圆心角的度数，再根据弧长公式求解；(3)△APO的外心是OA的中点，试题分析：试题解析：(1)证明：连接OQ.∵AP，BQ分别与相切，∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，即∠P=∠Q=90°.∵OA=OB，OP=OQ，∴Rt△APO≌Rt△BQO.∴AP=BQ.(2)∵BQ=，OB==8，∠Q=90°，∴sin∠BOQ=，∴∠BOQ=60°.∵OQ=8×cos60°=4，∴的长为=.(3)设点M为Rt△APO的外心，则M为OA的中点，∴OM=4.当点M在扇形的内部时，OM＜OC，∴4＜OC＜8.考点：全等三角形的判定与性质，切线的性质，解直角三角形，外心.29．（1）△ABC是直角三角形；（2）图详见解析，D（9，0），C1（7，6），E（6，﹣1）．【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判断即可；（2）延长CB使得BD＝BC即可，在AB的延长线上取一点C′，使得AC1＝5，取一点E，使得C1E⊥AD即可．【详解】（1）由题意：AC＝5，BC＝4，AB＝3，∵AC2＝BC2+AB2，∴△ABC是直角三角形；（2）如图，△AB 1C 1即为所作出的图形．D （9，0），C 1（7，6），E （6，﹣1）．【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握和灵活运用所学知识解决问题.30．(1)见解析；(2)75BDC ∠=︒.【解析】【分析】（1）以B 为圆心，任意长为半径画弧交AB ，BC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心、以大于12EF 长为半径画弧，两弧交于点G ，作射线BG 交AC 于点D ， （2）根据等腰三角形的性质求出∠C ，根据角平分线的定义求出∠CBD ，再根据三角形内角和定理即可解决问题．【详解】(1)如图所示，BD 即为所求；(2)在ABC 中，AB AC =，70ABC ∠=︒，180218014040A ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，BD 是ABC ∠的平分线，11703522ABD ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒，BDC∠是ABD的外角，∴∠=∠+∠=︒+︒=︒ .BDC A ABD403575【点睛】本题考查基本作图、角平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用知识解决问题，属于中考常考题型．。

【章节训练】第2章特殊三角形一、选择题（共25小题）1．（3.1分）用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设（）A．至少有一个内角是直角B．至少有两个内角是直角C．至多有一个内角是直角D．至多有两个内角是直角2．（3.1分）如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）A．B．2.41 C．D．1+3．（3.1分）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．斜边和一直角边对应相等B．两个锐角对应相等C．一锐角和斜边对应相等D．两条直角边对应相等4．（3.1分）平面内点A（﹣2，2）和点B（﹣2，6）的对称轴是（）A．x轴B．y轴C．直线y=4 D．直线x=﹣25．（3.1分）用反证法证明命题：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是（）A．假设CD∥EF B．假设AB∥EFC．假设CD和EF不平行D．假设AB和EF不平行6．（3.1分）已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC 关于y轴对称，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣3，2）B．（3，2） C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）7．（3.1分）如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（﹣1，4）．将△ABC沿y轴翻折到第一象限，则点C的对应点C′的坐标是（）A．（3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（1，﹣3）D．（3，﹣1）8．（3.1分）如图，从边长为（a+4）的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠、无缝隙），若拼成的长方形一边的长为3，则另一边的长为（）A．2a+5 B．2a+8 C．2a+3 D．2a+29．（3.1分）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A﹣∠B=∠CC．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C10．（3.1分）已知等腰三角形的两边长分别为6cm、3cm，则该等腰三角形的周长是（）A．9cm B．12cm C．12cm或15cm D．15cm11．（3.1分）如图，将矩形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′=30°，则∠ABE为（）A．90°B．60°C．45°D．30°12．（3.1分）如图，有一直角三角形纸片ABC，∠C=90°，∠B=30°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点B与点A重合，DE=1，则BC的长度为（）A．2 B．+2 C．3 D．213．（3.1分）用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（）A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°14．（3.1分）如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，设a=1，则b=（）A．B．C．D．15．（3.1分）如图，若将如图（1）所示的正方形剪成四块，恰能拼成如图（2）所示的长方形，设a=1，则b的值为（）A．B．C．D．+116．（3.1分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个角不大于60度”时，首先应假设这个三角形中（）A．三个角都不大于60度B．三个角至多有一个大于60度C．三内角都大于60度D．三内角至多有两个大于60度17．（3.1分）如图，若△A′B′C′与△ABC关于直线AB对称，则点C的对称点C′的坐标是（）A．（0，1） B．（0，﹣3）C．（3，0） D．（2，1）18．（3.1分）用反证法证明“a＞b”时，应假设（）A．a＜b B．a≤b C．a≥b D．a≠b19．（3.1分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值是（）A．B．1 C．D．20．（3.1分）用反证法证明命题“四边形四个内角中至少有一个角大于等于90°”，我们应该假设（）A．四个角都小于90°B．最多有一个角大于或等于90°C．有两个角小于90°D．四个角都大于或等于90°21．（3.1分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N．若△AMN的周长为18，BC=6，则△ABC的周长为（）A．21 B．22 C．24 D．2622．（3.1分）如图，在单位长度为1的甲、乙两个网格图中，分别画有相同的六边形ABCDEF，若将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）A．甲、乙都可以B．甲可以，乙不可以C．甲不可以，乙可以D．甲、乙都不可以23．（3.1分）如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，点D在AC上，BC=BD，DE∥BC交AB于点E，则图中等腰三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个24．（3.1分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．25．（3.1分）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则折痕MN的长是（）A．5cm B．5cm C．4cm D．4cm二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）26．（3.1分）如图，在凸四边形ABCD中，AB=BC=BD，∠ABC=80°，则∠ADC等于°．27．（3.1分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，E为边AB的中点，点D是BC边上的动点，把△ACD沿AD翻折，点C落在C′处，若△AC′E是直角三角形，则CD的长为．28．（3.1分）如图，∠C=∠D=90°，添加一个条件：（写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．29．（3.1分）如图，已知点A（2，2）关于直线y=kx（k＞0）的对称点恰好落在x轴的正半轴上，则k的值是．30．（3.1分）已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，若用反证法证这个结论，应首先假设．三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）31．（3.1分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D是AC上一点，E 在BC的延长线上，且AE=BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．32．（3.9分）如图，已知在平面直角坐标系中，点P从原点O以每秒1个单位速度沿x轴正方向运动，运动时间为t秒，作点P关于直线y=tx的对称点Q，过点Q作x轴的垂线，垂足为点A．（1）当t=2时，求AO的长．（2）当t=3时，求AQ的长．（3）在点P的运动过程中，用含t的代数式表示线段AP的长．【章节训练】第2章特殊三角形参考答案与试题解析一、选择题（共25小题）1．（3.1分）用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设（）A．至少有一个内角是直角B．至少有两个内角是直角C．至多有一个内角是直角D．至多有两个内角是直角【分析】反证法即假设结论的反面成立，“最多有一个”的反面为“至少有两个”．【解答】解：∵“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的逆命题正确∴应假设：至少有两个内角是直角．故选：B．【点评】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，不需要一一否定，只需否定其一即可．2．（3.1分）如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）A．B．2.41 C．D．1+【分析】图中正方形的边长为1，则可根据勾股定理求出正方形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴交于点A，则点A表示的数即为1加上对角线的长度．【解答】解：应用勾股定理得，正方形的对角线的长度==，以正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，所以数轴上的点A表示的数为：1+．故选：D．【点评】本题主要考查勾股定理的知识，还要了解数轴上的点表示数的方法．解题关键是利用勾股定理求出正方形的对角线长度，同时要掌握圆上各点到圆点的距离相等都为半径．3．（3.1分）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．斜边和一直角边对应相等B．两个锐角对应相等C．一锐角和斜边对应相等D．两条直角边对应相等【分析】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．【解答】解：A、符合判定HL，故本选项正确，不符合题意；B、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误，符合题意；C、符合判定AAS，故本选项正确，不符合题意；D、符合判定SAS，故本选项正确，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．（3.1分）平面内点A（﹣2，2）和点B（﹣2，6）的对称轴是（）A．x轴 B．y轴 C．直线y=4 D．直线x=﹣2【分析】根据A，B点位置进而得出两点的对称轴．【解答】解：如图所示：平面内点A（﹣2，2）和点B（﹣2，6）的对称轴是：直线y=4．故选：C．【点评】此题主要考查了坐标与图形变换，正确结合坐标系得出是解题关键．5．（3.1分）用反证法证明命题：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是（）A．假设CD∥EF B．假设AB∥EFC．假设CD和EF不平行D．假设AB和EF不平行【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断．【解答】解：用反证法证明CD∥EF时，应先设CD与EF不平行．故选C．【点评】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．6．（3.1分）已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC 关于y轴对称，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣3，2）B．（3，2） C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）【分析】让点A的横坐标为原来横坐标的相反数，纵坐标不变可得所求点的坐标．【解答】解：∵A的坐标为（﹣3，2），∴A关于y轴的对应点的坐标为（3，2）．故选：B．【点评】考查图形的对称变换；用到的知识点为：两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数．7．（3.1分）如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（﹣1，4）．将△ABC沿y轴翻折到第一象限，则点C的对应点C′的坐标是（）A．（3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（1，﹣3）D．（3，﹣1）【分析】根据A点坐标，可得C点坐标，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案．【解答】解：由A点坐标，得C（﹣3，1）．由翻折，得C′与C关于y轴对称，C′（3，1）．故选：A．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，关于y轴对称的点的坐标：横坐标互为相反数，纵坐标相等．8．（3.1分）如图，从边长为（a+4）的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠、无缝隙），若拼成的长方形一边的长为3，则另一边的长为（）A．2a+5 B．2a+8 C．2a+3 D．2a+2【分析】利用已知得出矩形的长分为两段，即AB+AC，即可求出．【解答】解：如图所示：由题意可得：拼成的长方形一边的长为3，另一边的长为：AB+AC=a+4+a+1=2a+5．故选：A．【点评】此题主要考查了图形的剪拼，正确理解题意分割矩形成两部分是解题关键．9．（3.1分）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A﹣∠B=∠CC．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C【分析】由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状．【解答】解：A中∠A+∠B=∠C，即2∠C=180°，∠C=90°，为直角三角形，同理，B，C均为直角三角形，D选项中∠A=∠B=3∠C，即7∠C=180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，故选：D．【点评】注意直角三角形中有一个内角为90°．10．（3.1分）已知等腰三角形的两边长分别为6cm、3cm，则该等腰三角形的周长是（）A．9cm B．12cm C．12cm或15cm D．15cm【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当腰为3cm时，3+3=6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为6cm时，6﹣3＜6＜6+3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为6+6+3=15cm．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．11．（3.1分）如图，将矩形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′=30°，则∠ABE为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】由折叠的性质知，折叠后形成的图形全等，找出对应的边角关系即可．【解答】解：根据题意，∠A′=∠A=90°，∠ABE=∠A′BE，又∠CBA′=30°，∴∠ABE=∠ABA'=30°，故选：D．【点评】本题考查折叠问题．解题关键是找出由轴对称所得的相等的边或者相等的角．12．（3.1分）如图，有一直角三角形纸片ABC，∠C=90°，∠B=30°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点B与点A重合，DE=1，则BC的长度为（）A．2 B．+2 C．3 D．2【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB，根据翻转变换的性质得到DA=DB，∠DAB=∠B=30°，根据直角三角形的性质计算．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，由折叠的性质可知，DA=DB，∠DAB=∠B=30°，∴DA=DB=2DE=2，∠CAD=30°，∴CD=AD=1，∴BC=CD+BD=3，故选：C．【点评】本题考查的是翻转变换、直角三角形的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．13．（3.1分）用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（）A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立矩形解答即可．【解答】解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，第一步应先假设每一个内角都小于60°，故选：B．【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．14．（3.1分）如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，设a=1，则b=（）A．B．C．D．【分析】根据图1可以知道图形是一个正方形，边长为（a+b），图2是一个长方形，长宽分别为（b+a+b）、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式（a+b）2=b（b+a+b），而a=1，代入即可得到关于b的方程，解方程即可求出b．【解答】解：依题意得（a+b）2=b（b+a+b），而a=1，∴b2﹣b﹣1=0，∴b=，而b不能为负，∴b=．故选：D．【点评】此题主要考查了图形的剪拼，是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．15．（3.1分）如图，若将如图（1）所示的正方形剪成四块，恰能拼成如图（2）所示的长方形，设a=1，则b的值为（）A．B．C．D．+1【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为（a+b），右图是一个长方形，长宽分别为（b+a+b）、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式（a+b）2=b（b+a+b），解方程即可求出．【解答】解：依题意得（a+b）2=b（b+a+b），整理得：a2+b2+2ab=2b2+ab则a2﹣b2+ab=0，方程两边同时除以b2，则（）2﹣1+=0，解得：=，∵不能为负，∴=，∵a=1，∴b=，故选：B．【点评】此题主要考查了图形的剪拼，此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．16．（3.1分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个角不大于60度”时，首先应假设这个三角形中（）A．三个角都不大于60度B．三个角至多有一个大于60度C．三内角都大于60度D．三内角至多有两个大于60度【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．【解答】解：反证法证明命题“三角形中至少有一个角不大于60°”时，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60°，故选：C．【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．17．（3.1分）如图，若△A′B′C′与△ABC关于直线AB对称，则点C的对称点C′的坐标是（）A．（0，1） B．（0，﹣3）C．（3，0） D．（2，1）【分析】根据对称的性质可知点C和对称点C′到直线AB的距离是相等的则易解．【解答】解：∵△A′B′C'与△ABC关于直线AB对称，∴通过网格上作图或计算可知，C’的坐标是（2，1）．故选：D．【点评】主要考查了坐标的对称特点．解此类问题的关键是要掌握轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点的连线．利用此性质可在坐标系中得到对应点的坐标．18．（3.1分）用反证法证明“a＞b”时，应假设（）A．a＜b B．a≤b C．a≥b D．a≠b【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．要注意的是a＞b的反面有多种情况，需一一否定．【解答】解：用反证法证明“a＞b”时，应先假设a≤b．故选：B．【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．19．（3.1分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值是（）A．B．1 C．D．【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF=FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：如图所示：当PE∥AB．由翻折的性质可知：PF=FC=2，∠FPE=∠C=90°．∵PE∥AB，∴∠PDB=90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又∵FP为定值，∴PD有最小值．又∵∠A=∠A，∠ACB=∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴，即=，解得：DF=3.2．∴PD=DF﹣FP=3.2﹣2=1.2．故选：D．【点评】本题主要考查的是翻折的性质，熟练掌握翻折的性质、垂线段的性质是解的关键．20．（3.1分）用反证法证明命题“四边形四个内角中至少有一个角大于等于90°”，我们应该假设（）A．四个角都小于90°B．最多有一个角大于或等于90°C．有两个角小于90°D．四个角都大于或等于90°【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立即可．【解答】解：用反证法证明“四边形的四个内角中至少有一个不小于90°”时第一步应假设：四个角都小于90度．故选：A．【点评】本题考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．21．（3.1分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N．若△AMN的周长为18，BC=6，则△ABC的周长为（）A．21 B．22 C．24 D．26【分析】根据等腰三角形的性质与判定即可求出答案．【解答】解：∵MN∥BC，∴∠MEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠MBE=∠EBC，∴∠MEB=∠MBE，∴△MBE是等腰三角形，∴ME=MB，同理，EN=CN，∵AM+AN+MN=18，MN=ME+EN=BM+CN∴AM+AN+BM+CN=18，∴AB+AC=18，∴AB+AC+BC=24故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键是证明△MEB与△ENC 是等腰三角形，本题属于中等题型．22．（3.1分）如图，在单位长度为1的甲、乙两个网格图中，分别画有相同的六边形ABCDEF，若将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）A．甲、乙都可以B．甲可以，乙不可以C．甲不可以，乙可以D．甲、乙都不可以【分析】依据平移变换以及旋转变换，即可将两个图形拼成边长为4的正方形．【解答】解：如图甲，将四边形BCGH沿着GE的方向平移GE的长，将△DEG沿着DA的方向，平移DA的长，即可得到一个正方形；如图乙，将△EFG绕点G旋转180°，即可与四边形CDGF拼成一个腰为4的等腰直角三角形，将△AFH绕点H旋转180°，即可与四边形BCFH拼成一个腰为4的等腰直角三角形，将两个等腰直角三角形可拼成一个正方形．故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的面积以及图形的剪拼，解决问题的关键是利用图形的基本变换进行拼图．23．（3.1分）如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，点D在AC上，BC=BD，DE∥BC交AB于点E，则图中等腰三角形共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】由在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，可求得∠ABD=∠EDB=∠DBC=∠A=36°，∠BDC=∠ABC=∠C=72°，∠AED=∠ADE，即可得△ABC，△ABD，△EBD，△BCD，△AED是等腰三角形．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C==72°，△ABC是等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC=36°，∴∠ABD=∠EDB=∠A，∴AD=BD，EB=ED，即△ABD和△EBD是等腰三角形，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，即△BCD是等腰三角形，∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC，∠ADE=∠C，∴∠AED=∠ADE，∴AE=AD，即△AED是等腰三角形．∴图中共有5个等腰三角形．故选：C．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定、平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．24．（3.1分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．【解答】解：A、∵+c2+ab=（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×+c2=（a+b）2，∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×+（b﹣a）2=c2，∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．25．（3.1分）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则折痕MN的长是（）A．5cm B．5cm C．4cm D．4cm【分析】如图，连接DE，过点M作MG⊥CD于点G，证明△MNG≌△DEC，则有MN=DE．【解答】解：如图，连接DE．由题意，在Rt△DCE中，CE=4cm，CD=8cm，由勾股定理得：DE===cm．过点M作MG⊥CD于点G，则由题意可知MG=BC=CD．连接DE，交MG于点I．由折叠可知，DE⊥MN，∴∠NMG+MIE=90°，∵∠DIG+∠EDC=90°，∠MIE=∠DIG（对顶角相等），∴∠NMG=∠EDC．在△MNG与△DEC中，∴△MNG≌△DEC（ASA）．∴MN=DE=cm．故选：D．【点评】考查了翻折问题，翻折问题关键是找准对应重合的量，哪些边、角是相等的．本题中DN=EN是解题关键，再利用勾股定理、全等三角形的知识就迎刃而解．二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）26．（3.1分）如图，在凸四边形ABCD中，AB=BC=BD，∠ABC=80°，则∠ADC等于140°．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠ADB=90°﹣∠ABD，∠CDB=90°﹣∠CBD，由于∠ADC=∠ADB+∠CDB，∠ABC=80°，依此即可求解．【解答】解：∵AB=BC=BD，∴∠ADB=90°﹣∠ABD，∠CDB=90°﹣∠CBD，∴∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°﹣∠ABD+90°﹣∠CBD=180°﹣（∠ABD+∠CBD）=180°﹣×80°=180°﹣40°=140°．故答案为：140．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，注意整体思想的运用．本题难度适中．27．（3.1分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，E为边AB的中点，点D是BC边上的动点，把△ACD沿AD翻折，点C落在C′处，若△AC′E是直角三角形，则CD的长为或4．．【分析】分两种情况进行讨论，依据折叠的性质可设CD=C'D=x，过E作EF⊥BC 于F，在Rt△DEF中运用勾股定理列方程求解，即可得到CD的长．【解答】解：由题可得，AB==4，分两种情况：①如图，当∠AC'E=90°=∠AC'D时，点D，C'，E在同一直线上，由折叠可得，AC'=AC=4，而AE=AB=2，∴C'E==2，设CD=C'D=x，则DE=x+2，过E作EF⊥BC于F，则BF=CF=4，EF==2，∴DF=4﹣x，∵Rt△DEF中，EF2+DF2=DE2，∴22+（4﹣x）2=（x+2）2，解得x=；②当∠AC'E=90°=∠AC'D时，点D，C'，E在同一直线上，同理可得，C'E==2，设CD=C'D=x，则DE=x﹣2，过E作EF⊥BC于F，则BF=CF=4，EF==2，∴DF=4﹣x，∵Rt△DEF中，EF2+DF2=DE2，∴22+（4﹣x）2=（x﹣2）2，解得x=4；综上所述，△AC′E是直角三角形，则CD的长为或4．故答案为：或4．【点评】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理等知识的综合运用，构造直角三角形是解决这个题目的关键．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．28．（3.1分）如图，∠C=∠D=90°，添加一个条件：AC=AD（写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．【分析】由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即BC=BD或AC=AD．【解答】解：条件是AC=AD，∵∠C=∠D=90°，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故答案为：AC=AD．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，能熟记定理是解此题的关键，注意：直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．29．（3.1分）如图，已知点A（2，2）关于直线y=kx（k＞0）的对称点恰好落在x轴的正半轴上，则k的值是．【分析】作辅助线，构建点与x轴和y轴的垂线，先根据点A的坐标得出OA′的长，再根据中位线定理和推论得：CF是△AA′E的中位线，所以CF=AE=1，也可以求OF的长，表示出点C的坐标，代入直线y=kx中求出k的值．【解答】解：设A关于直线y=kx的对称点为A′，连接AA′，交直线y=kx于C，分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F，则AE∥CF，∵A（2，2），∴AE=OE=2，∴OA=2，∵A和A′关于直线y=kx对称，∴OC是AA′的中垂线，∴OA′=OA=2，∵AE∥CF，AC=A′C，∴EF=A′F=，∴CF=AE=1，∴OF=OA′﹣A′F=，∴C（，1），把C（，1）代入y=kx中得：1=（）k，k=，故答案为：，【点评】本题考查了一次函数及轴对称的性质，要熟知对称轴是对称点连线的垂直平分线，本题还利用了中位线的性质及推论，这此知识点要熟练掌握：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．求正比例函数的解析式，就是求直线上一点的坐标即可．30．（3.1分）已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，若用反证法证这个结论，应首先假设∠B≥90°．【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．【解答】解：用反证法证明：第一步是：假设∠B≥90°．故答案是：∠B≥90°．【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）31．（3.1分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D是AC上一点，E 在BC的延长线上，且AE=BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．【分析】猜想：BF⊥AE先证明△BDC≌△AEC得出∠CBD=∠CAE，从而得出∠BFE=90°，即BF⊥AE．【解答】解：猜想：BF⊥AE．理由：∵∠ACB=90°，∴∠ACE=∠BCD=90°．又BC=AC，BD=AE，∴△BDC≌△AEC（HL）．∴∠CBD=∠CAE．又∴∠CAE+∠E=90°．∴∠EBF+∠E=90°．∴∠BFE=90°，即BF⊥AE．【点评】主要考查全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质．猜想问题一定要认真观察图形，根据图形先猜后证．32．（3.9分）如图，已知在平面直角坐标系中，点P从原点O以每秒1个单位速度沿x轴正方向运动，运动时间为t秒，作点P关于直线y=tx的对称点Q，过点Q作x轴的垂线，垂足为点A．（1）当t=2时，求AO的长．（2）当t=3时，求AQ的长．（3）在点P的运动过程中，用含t的代数式表示线段AP的长．【分析】（1）作辅助线，构建点D，根据正比例函数y=2x，可得D的坐标（2，4），证明△OPD∽△QAP，得AQ与AP的关系，设AO=a，最后利用勾股定理列方程可得结论；（2）（3）同理可得AQ和AP的长．【解答】解：过P作PD⊥x轴，交直线y=tx于D，连接OQ，（1）当t=2时，y=PD=2x=4，∵∠BDP+∠DPB=∠DPB+∠APQ=90°，∴∠BDP=∠APQ，∴△OPD∽△QAP，。

浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形 培优测试卷（答案解析）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．如图，以 Rt △ABC 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若 AB =√3 ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3B ．92C ．3√2D ．3√5【答案】A【解析】∵ Rt △ABC ∴AC 2+BC 2=AB 2=3∴S 阴影= 12 AC 2+ 12 BC 2+ 12 AB 2= 12 （AC 2+BC 2）+ 12 AB 2= 12 AB 2+ 12AB 2=AB 2=3.故答案为：A.2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＞AB ，点P 为△ABC 所在平面内一点，且点P 与△ABC 的任意两个顶点构成△PAB ，△PBC ，△PAC 均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P 的个数为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．7【答案】C【解析】如图所示，作AB 的垂直平分线，①作AC 的垂直平分线交AB 的垂直平分线于一点P ，得到△ABC 的外心P ，为满足条件的一个点；②以点C 为圆心，以AC 长为半径画圆，交AB 的垂直平分线于两点，P 2，P 3为满足条件的点； ③分别以点A 、B 为圆心，以AC 长为半径画圆，P 4为满足条件的点；④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，得到P5、P6为满足条件的点；综上所述，满足条件的所有点P的个数有6个.故答案为：C.3．如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC 于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC ＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正确的结论有（）个A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE=DF，在Rt△CDE和Rt△BDF中，{BD=CDDE=DF，∴Rt△CDE≅Rt△BDF，故①正确；∴CE=AF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，{AD=ADDE=DF，∴Rt△ADE≅Rt△ADF，∴AE=AF，∴CE=AB+AF=AB+AE，故②正确；∵Rt△CDE≅Rt△BDF，∴∠DBF=∠DCE，又∵∠AOB=∠DOC，∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；∵AD平分∠CAF，∴∠DAF=∠DAE，∵BD=CD，∴∠DBC=∠DCB，∵∠BAC+∠DAF+∠DAE=180°，∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°，∠BDC＝∠BAC，∴∠DAF+∠DAE=∠DBC+∠DCB，∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；综上所述，正确的有①②③④；故答案为：D.4．如图，∠AOB=20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ= α，∠PQN= β，当MP+PQ+QN最小时，则β−α的值为( )A．10°B．20°C．40°D．60°【答案】C【解析】【解答】如图，作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，交OA 于点Q，交OB于点P，则MP+PQ+QN最小，∵∠MPM′+∠MPQ=180°，∠OPM=∠OPM′，∠OPM+∠OPM′=∠MPM，∠MPQ=α，∴∠OPM= 12(180°-α)，∵∠1=∠O+∠OPM，∴∠1=20°+ 12(180°-α)=110°-12α，∵∠2=∠3，∠2+∠3+∠MQN=180°，∠PQN=β，∴∠3= 12(180°-β)，∴∠MQP=∠3= 12(180°-β)，在△PMQ中，∠1+∠MPQ+∠MQP=180°，即110°- 12α+α+12(180°-β)=180°，∴β-α=40°，故答案为：C.5．如图，在Rt△ABC中，点D，E分别是边AC、AB上的两点，连接BD，CE，CD＝AE，已知BC ＝6，AB＝8，则BD+CE的最小值是（）A．√136B．10C．9.6D．5+ √45【答案】A【解析】过点A作AF⊥AC，并使得AF＝BC，连接EF，则∠FAC＝90°，∴∠FAE+∠EAC＝90°，∵在Rt△ABC中，∠BAC+∠BCD＝90°，∴∠FAE＝∠BCD，∵AF＝CB，AE＝CD，∴△BCD≌△FAE（SAS），∴EF＝BD，∴BD+CE＝EF+CE，连接CF，即可得知CF的长度即为EF+CE的最小值，也就是BD+CE的最小值，∵AB＝8，BC＝6，∠ABC＝90°，∴AF＝BC＝6，AC＝10，∴CF＝√AF2+AC2=√62+102＝√136，∴BD+CE的最小值是√136.故答案为：A.【分析】过点A作AF⊥AC，并使得AF＝BC，连接EF，则∠FAC＝90°，由同角的余角相等可得∠FAE ＝∠BCD，证明△BCD≌△FAE，得到EF＝BD，连接CF，可得CF的长度即为EF+CE的最小值，也就是BD+CE的最小值，据此求解.6．如图，边长为9的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM 绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN.则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．3B．94C．92D．9√32【答案】B【解析】如图，取BC的中点G，连接MG，∵旋转角为60°，∴∠MBH+∠HBN＝60°，又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，∴∠HBN＝∠GBM，∵CH是等边△ABC的对称轴，∴HB ＝ 12AB ，∴HB ＝BG ，又∵MB 旋转到BN ， ∴BM ＝BN ，在△MBG 和△NBH 中，{BG =BH∠MBG =∠NBH MB =NB，∴△MBG ≌△NBH （SAS ）， ∴MG ＝NH ，根据垂线段最短，当MG ⊥CH 时，MG 最短，即HN 最短，此时∠BCH ＝ 12 ×60°＝30°，CG ＝ 12 AB ＝ 12 ×9＝ 92 ， ∴MG ＝ 12 CG ＝ 12 × 92 ＝ 94， ∴HN ＝ 94，故答案为：B.7．如图△ABC 中，∠A ＝60°，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 交于点H ，若CE ＝4，BD ＝5，则 DH HB的值（ ）A ．12B ．25C ．14D ．27【答案】C【解析】∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ， ∴∠ADB=∠AEC=90°， 在Rt △BDA 中，∠A=60°，BD=5， ∴∠ABD=30°， ∴AB=2AD ，∵AB 2=AD 2+BD 2，即4AD 2=AD 2+52，∴AD= 5√33，在Rt △ACE 中，∠A=60°，CE=4， ∴∠ACE=30°， ∴AC=2AE ，∵AC 2=AE 2+CE 2，即4AE 2=AE 2+42，∴AE= 4√33 ，AC= 8√33，∴CD= AC- AD= 8√33−5√33= √3 ，在Rt △CDH 中，∠DCH=30°，CD= √3 ， ∴CH=2DH ，∵CH 2=DH 2+CD 2，即4DH 2=DH 2+( √3 )2， ∴DH=1，∴BH=BD-DH=5-1=4，∴DHHB=14，故答案为：C.8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=4，点D是斜边AB的中点，以CD为底边在其右侧作等腰三角形CDE，使∠CDE=∠A，DE交BC于点F，则EF的长为（）A．3B．√15C．√152D．3.5【答案】D【解析】过点E作EH⊥CD于点H，∵∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点∴CD=AD=BD=2，∴∠A=∠ACD=∠CDE，∴AC∥DE，∴点F为BC的中点，∴DF=12AC=0.5；∵CE=DE∴DH=12CD=1=AC，∴△EHD≌△ACB（ASA），∴DE=BA=4，∴EF=DE-DF=4-0.5=3.5.故答案为：D.9．如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（）A．5B．6C．8D．10【答案】A【解析】设BD＝x，则CD＝10﹣x，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BDE＝30°，∠CDF＝30°，∴BE＝12BD＝x2同理可得，CF＝10−x 2，∴BE+CF＝x2+10−x2＝5.故答案为：A.10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是AB的中点，点E在AC上，点F 在BC上，且AE=CF，给出以下四个结论：（1）DE=DF；（2）△DEF是等腰直角三角形；（3）四边形CEDF面积=12S△ABC；（4）EF2的最小值为2.其中正确的有（）.A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【解析】∵∠ACB=90°，AC=BC=2∴AB=√22+22=2√2∴∠A=∠B=45°∵点D是AB的中点∴CD⊥AB，且AD=BD=CD=12AB=√2∴∠DCB=45°∴∠A=∠DCF，在△ADE和△CDF中{AD=CD∠A=∠DCFAE=CF∴△ADE≌△CDF(SAS)∴DE=DF，∠ADE=∠CDF∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°∴△DEF是等腰直角三角形∵△ADE≌△CDF∴△ADE和△CDF的面积相等∵D为AB中点∴△ADC的面积=12△ABC的面积∴四边形CEDF面积=S△EDC+S△CDF=S△EDC+S△ADE=S△ADC=12S△ABC；当DE⊥AC，DF⊥BC时，EF2值最小根据勾股定理得：EF2=DE2+DF2此时四边形CEDF是正方形即EF=CD=√2∴EF 2=(√2)2=2 ∴正确的个数是4个 故答案为：A.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．在△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为42°，则∠B = ． 【答案】66°或24°【解析】如图，由题意得：AB =AC ，∠ADE =42°，DH 是AB 的垂直平分线，∴∠B =∠C ，∠DHA =90°，∴∠DAH =90°−42°=48°=∠B +∠C ，∴∠B =12∠DAH =24°，如图，由题意得：AB =AC ，∠ADE =42°，DH 是AB 的垂直平分线，∴∠ABC =∠ACB ，∠ADH =42°，∴∠A =90°−42°=48°，∠B =12(180°−48°)=66°， 综上：∠B =24°或∠B =66°. 故答案为：24°或66°.12．已知在 Rt △ABC 中， AB =AC =2 ， ∠BAC =90° ，以 AC 为一边在 Rt △ABC 外部作等腰直角三角形 ACD ，线段 BD 的长为 ． 【答案】2√5 或 √10 或4． 【解析】分三种情况讨论：如解图，以 A 为直角顶点，向外作等腰直角三角形 DAC ，∵∠DAC =90° ，且 AD =AC ， ∴BD =BA +AD =2+2=4 ；如解图，以 C 为直角顶点，向外作等腰直角三角形 ACD ，连接 BD ，过点 D 作 DE ⊥BC ，交 BC 的延长线于点 E ，∵△ACD 是等腰直角三角形， ∠ACD =90° ， ∴∠DCE =45° ， CD =AC =2 ， 又 ∵DE ⊥CE ， ∴∠DEC =90° ， ∴∠CDE =45° ，∴CE =DE =√2=2√22=√2 ，在 Rt △BAC 中， BC =√AB 2+AC 2=2√2 ， ∴BE =BC +CE =3√2 ， ∴BD =√BE 2+DE 2=2√5 ；如解图，以 AC 为斜边，向外作等腰直角三角形 ADC ，∵∠ADC =90° ， AD =DC ，且 AC =2 ，∴AD =DC =√2=2√22=√2 ，又 ∵△ABC ， △ADC 是等腰直角三角形， ∴∠ACB =∠ACD =45° ， ∴∠BCD =90° ，在 Rt △ABC 中， BC =√AB 2+AC 2=2√2， ∴BD =√BC 2+CD 2=√10 ． 综上所述， BD 的长为4或 2√5 或 √10 ． 故答案为：4或 2√5 或 √10 ．13．如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝1，D 是斜边AB 上一点（与点A ，B 不重合），将△BCD 绕着点C 旋转90°到△ACE ，连结DE 交AC 于点F ，若△AFD 是等腰三角形，则AF 的长为 .【答案】12或√2−1【解析】∵Rt △ABC 中，AC=BC=1， ∴∠CAB=∠B=45°，∵△BCD 绕着点C 旋转90°到△ACE ， ∴∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°， ①AF=FD 时，∠FDA=∠FAD=45°， ∴∠AFD=90°， ∠CDA=45°+45°=90°=∠ECD=∠DAE ， ∵EC=CD ，∴四边形ADCE 是正方形， ∴AD=DC ，∴AF= 12AC= 12×1= 12；②AF=AD 时，∠ADF=∠AFD=67.5°，∴∠CDB=180°-∠ADE-∠EDC=180°-67.5°-45°=67.5°， ∴∠DCB=180°-67.5°-45°=67.5°，∴∠DCB=∠CDB ， ∴BD=CB=1，∴AD=AB-BD= √2−1， ∴AF=AD= √2−1， 故答案为： 12或 √2−1.14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 、点E 在直线BC 上，点F 为AE 上一点，连接BF ，分别交AD 、AC 于点G 、点H ，若∠BAD ＝∠CAE ，∠AGH ＝∠E ，AF+AD ＝BF ，AC ＝3√6，则AE 的长为 ．【答案】6√3【解析】如图所示，过点C 作CI ⊥BE 交AE 于I ， ∴∠ICD=90°，∵AB=AC ，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ACI=45°， ∴∠ABD=∠ACI ，在△ABD 和△ACI 中， {∠BAD =∠CAI AB =AC ∠ABD =∠ACI， ∴△ABD ≌△ACI （ASA ），∴AI=AD ，∠ADB=∠AIC ，BD=CI ，延长FA 到K 使得AK=AD=AI ，连接KB ，KD ，DI ，∴∠AKD=∠ADK ，∠ADI=∠AID ， ∵∠AKD+∠KDI+∠AID=180°， ∴∠ADK+∠ADI=90°，即∠KDI=90°， ∵∠BAD=∠CAE ，∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD=90°，即∠DAI=90°， ∴△ADK 和△ADI 都是等腰直角三角形， ∴∠DKI=∠DIK=∠ADK=45°，∴KD=ID ，∠BDK+∠ADK=∠DIK+∠DIC ， ∴∠DIC=∠KDB ，在△KDB 和△DIC 中，{BD =CI∠KDB =∠DIC KD =DI，∴△KDB ≌△DIC （SAS ）， ∴∠KBD=∠DCI=90°， ∴∠BKE+∠E=90°，∠KBF+∠EBF=90°， ∵BF=AF+AD ， ∴BF=AF+AK=KF ， ∴∠BKF=∠KBF ， ∴∠E=∠EBF ，∴∠BFA=∠E+∠EBF=2∠E ， ∵∠AGH=∠E ，∠GAF=90°， ∴3∠E=90°， ∴∠E=30°，过点A 作AM ⊥BE 于M ， ∵∠ACM=45°， ∴∠MAC=45°， ∴∠ACM=∠MAC ， ∴AM=CM ，∵AC 2=AM 2+CM 2， ∴2AM =AC 2=54， ∴AM =3√3，∴AE =2AM =6√3， 故答案为：6√3．15．如图，线段AB ＝4，E 为AB 中点，点C 、D 为直线AB 同侧不重合的两点，且∠ACB ＝∠ADB ＝90°，连接CE 、DE 、CD ，设△CDE 的面积为S ，则S 的范围是 .【答案】0<S ≤2【解析】由题意知：S △CDE >0，即S>0， ∵∠ACB ＝∠ADB ＝90°，E 为AB 中点，AB ＝4， ∴CE=12AB=2，DE=BE=12AB=2，当△CDE 为直角三角形，且∠CED ＝90°时，S 有最大值， ∴S △CDE =12CE ×ED =2，即S 的最大值为2，∴0<S ≤2.故答案为：0<S ≤2.16．如图，等腰直角三角形ABC 中， ∠ACB =90° ，AC ＝BC ，点M 为△ABC 外一点，BM ＝13，MA ＝5， ∠AMC =45° ，则MC 的长为 .【答案】6√2【解析】过点 C 作 CD ⊥CM ，且 CD =CM ， 连接 AD ，MD ，如下图：∴∠MCD =90° ， ∵∠ACB =90° ， ∴∠MCD =∠ACB ，∴∠MCD +∠ACM =∠ACB +∠ACM ， ∴∠BCM =∠ACD ，∵AC =BC ，CD =CM ， ∴△BCM ≌△ACD(SAS) ， ∴BM =AD =13 ，∵CM =CD ，∠MCD =90° ， ∴∠CMD =∠CDM =45° ，∵∠AMC =45° ， ∴∠AMD =90° ，∴DM =√132−52=12 ， ∵CM 2+CD 2=DM 2 ， ∵CM =CD ， ∴2CM 2=144 ， 解得： CM =6√2 . 故答案为： 6√2 .三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．如图，已知AB ＝12，AB ⊥BC 于B ，AB ⊥AD 于A ，AD ＝5，BC ＝10点E 是CD 的中点，求AE 的长．【答案】解：如图，延长AE 交BC 于F ．∵AB ⊥BC ，AB ⊥AD ， ∴AD ∥BC∴∠D=∠C ，∠DAE=∠CFE ， 又∵点E 是CD 的中点， ∴DE=CE ．∵在△AED 与△FEC 中，{∠D =∠C∠DAE =∠CFE DE =CE，∴△AED ≌△FEC （AAS ）， ∴AE=FE ，AD=FC ． ∵AD=5，BC=10． ∴BF=5在Rt △ABF 中，AF ＝ √AB 2+BF 2=√122+52=13 ， ∴AE= 12AF=6.5．18．如图，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与BD 交于点O ，AC ＝BD ．（1）求证：△OAB 是等腰三角形； （2）若∠CBA ＝60°，求证AC ＝3OC ． 【答案】（1）证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ， ∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°，在Rt△ABC和Rt△BAD中，{AB=BAAC=BD，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴∠CAB＝∠DBA，∴AO＝BO，即△OAB是等腰三角形；（2）解：由（1）得：∠CAB＝∠DBA，∴AO＝BO，∵∠CBA＝60°，∠ACB＝90°，∴∠DBA＝∠CAB＝90°﹣∠ACB＝30°，∴∠OBC＝∠CBA﹣∠DBA＝30°，∴AO＝BO＝2OC，∵AC＝AO+OC，∴AC＝3OC．19．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF ＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数.【答案】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠CAF+∠CAE＝∠BAE+∠CAE，即∠EAF=∠BAC，∵AE＝AB，AC=AF，∴△EAF≌△BAC，∴EF＝BC；（2）解：∵△EAF≌△BAC，∴∠AEF=∠ABC＝65°，∵AB=AE，∴∠AEB=∠ABC＝65°，∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF＝50°，∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=78°.20．如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE 相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．（1）求证：BD=CE．（2）求证：AP平分∠BPE．（3）若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=α， ∴∠BAD=∠CAE ，又∵AB=AC ，AD=AE ， ∴△BAD ≌△CAE （SAS ）， ∴BD=CE ；（2）证明：如图，过点A 作AH ⊥BD ，AF ⊥CE ，∵△BAD ≌△CAE ，∴S △BAD=S △CAE ，BD=CE ， ∴12BD×AH=12CE×AF ， ∴AH=AF ，又∵AH ⊥BD ，AF ⊥CE ， ∴AP 平分∠BPE ；（3）解：PE=AP+PD ，理由如下：如图，在线段PE 上截取OE=PD ，连接AO ，∵△BAD ≌△CAE ， ∴∠BDA=∠CEA ， 又∵OE=PD ，AE=AD ， ∴△AOE ≌△APD （SAS ）， ∴AP=AO ，∵∠BDA=∠CEA ，∠PND=∠ANE ， ∴∠NPD=∠DAE=α=60°，∴∠BPE=180°-∠NPD=180°-60°=120°，又∵AP 平分∠BPE ， ∴∠APO=60°， 又∵AP=AO ，∴△APO 是等边三角形， ∴AP=PO ， ∵PE=PO+OE ， ∴PE=AP+PD ．21．如图，△ABC 是等边三角形，DE ∥BC ，分别交AB ，AC 于点D ，E.（1）求证：△ADE 是等边三角形；（2）点F 在线段DE 上，点G 在△ABC 外，BF =CG ，∠ABF =∠ACG ，求证：AF =FG . 【答案】（1）解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC =∠ACB =∠BAC =60°， ∵DE ∥BC ，∴∠ADE =∠ABC =60°，∠AED =∠ACB =60°， ∴∠ADE =∠AED =60°， ∴△ADE 是等边三角形；（2）证明：连接AG ，如图所示：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC =60°，AB=AC ， ∵BF =CG ，∠ABF =∠ACG ， ∴△ABF ≌△ACG （SAS ）， ∴AF =AG ，∠BAF =∠CAG ， ∵∠BAF +∠FAC =∠BAC =60°， ∴∠CAG +∠FAC =∠FAG =60°， ∴△AFG 是等边三角形， ∴AF =FG .22．如图，△ABC 是等边三角形，延长BC 到点E ，使CE=12BC ，若D 是AC 的中点，连接ED 并延长交AB 于点F ．（1）若AF=3，求AD 的长； （2）求证：DE=2DF ． 【答案】（1）解：∵△ABC 为等边三角形， ∴AC=BC ，∠A=∠ACB=60°， ∵D 为AC 中点， ∴CD=AD=12AC ，∵CE=12BC ，∴CD=CE ，∴∠E=∠CDE ，∵∠ACB=∠E+∠CDE ， ∴∠E=∠CDE=30°， ∴∠ADF=∠CDE=30°， ∵∠A=60°，∴∠AFD=180°-∠A-∠ADF=90°，∵AF=3，∴AD=2AF=6，（2）解：连接BD ，∵△ABC 为等边三角形，D 为AC 中点， ∴BD 平分∠ABC ，∠ABC=60°， ∴∠DBC=∠ABD=12∠ABC=30°，∵∠BFD=90°， ∴BD=2DF ，∵∠DBC=∠E=30°， ∴BD=DE ， ∴DE=2DF ， 23．问题发现：（1）如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ，①求证：△ACD ≌△BCE ； ②求∠AEB 的度数. （2）拓展探究：如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高交AE 于M ，连接BE.请求∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由. 【答案】（1）解：①证明：∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形， ∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°， ∴∠ACD ＝60°﹣∠DCB ＝∠BCE.在△ACD 和△BCE 中，{AC =BC∠ACD =∠BCE CD =CE，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）. ②解：∵△ACD ≌△BCE ， ∴∠ADC ＝∠BEC.∵△DCE 为等边三角形，∴∠CDE ＝∠CED ＝60°. ∵点A ，D ，E 在同一直线上， ∴∠ADC ＝120°，∴∠BEC ＝120°. ∴∠AEB ＝∠BEC ﹣∠CED ＝60°. （2）解：∠AEB ＝90°，AE ＝BE+2CM.理由如下： 如图2所示：由题意得：CM ⊥DE ，∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°. ∴∠ACD ＝∠BCE.在△ACD 和△BCE 中，{CA =CB∠ACD =∠BCE CD =CE，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）. ∴AD ＝BE ，∠ADC ＝∠BEC. ∵△DCE 为等腰直角三角形，∴∠CDE ＝∠CED ＝45°. ∵点A ，D ，E 在同一直线上， ∴∠ADC ＝135°，∴∠BEC ＝135°.∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°.∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME.∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM.∴AE＝AD+DE＝BE+2CM.24．定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”.（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是.A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB＝√3，则该三角形的面积为；（3）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD.若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝√2，求△PDC的面积.【答案】（1）A（2）√22（3）解：由题意可知：△ABP≌△DBP，∴BA＝BD，∠ABP＝∠DBP，根据“方倍三角形”定义可知：BA2+BD2＝2AD2＝2BA2，∴AD＝AB＝BD，∴△ABD为等边三角形，∠BAD＝60°，∴∠ABP＝∠DBP＝30°，∴∠PBC＝90°，∵∠CPB＝45°，∴∠APB＝180°﹣45°＝135°，∴∠DPC＝90°，∵∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，∴∠BAC＝15°，∴∠CAD＝45°，∴△APD为等腰直角三角形，∴AP＝DP＝√2，∴AD＝2，延长BP交AD于点E，如图，∵∠ABP＝∠PBD，∴BE⊥AD，PE＝12AD＝AE＝1，∴BE＝√AB2−AE2=√4−1＝√3，∴PB＝BE﹣PE＝√3﹣1，∵∠CPB＝∠PCB＝45°，∴△PBC为等腰直角三角形，∴PC＝√2PB＝√6﹣√2，∴S△PDC＝12×PC•PD＝12×（√6﹣√2）×√2＝√3﹣1.【解析】（1）对于①等边三角形，三边相等，设边长为a，则a2+a2＝2a2，根据“方倍三角形”定义可知：等边三角形一定是“方倍三角形”；对于②直角三角形，三边满足关系式：a2+b2＝c2，根据“方倍三角形”定义可知：直角三角形不一定是“方倍三角形”；故答案为：A；（2）设Rt△ABC其余两条边为a，b，则满足a2+b2＝3，根据“方倍三角形”定义，还满足：a2+3＝2b2，联立解得{a=1b=√2，则Rt△ABC的面积为：√22；故答案为：√22；。

浙教版数学八上第2章特殊三角形优生综合题特训一、综合题1.如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．（1）实验与探究：由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B(5，3)、C(-2，5)关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标:B′、C′；（2）归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a，b)关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P′的坐标为（不必证明）；（3）运用与发现：已知两点D(1，-3)、E(-1，-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小.2.如图，正方形中，点E在边上（不与端点A，D重合），点A关于直线的对称点为点F，连接，设.（1）求的大小（用含的式子表示）；（2）过点C作，垂足为G，连接.判断与的位置关系，并说明理由；（3）将绕点B顺时针旋转得到，点E的对应点为点H，连接，.当为等腰三角形时，求的值.3.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B=50°，点D在线段BC上运动（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC于点E.（1）当∠BDA＝100°时，∠BAD＝ °，∠DEC＝ °；（2）当DC＝AB时，△ABD和△DCE是否全等？请说明理由；（3）在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形的情形？若存在，请直接写出此时∠BDA的度数，若不存在，请说明理由.4.如图1，中，，，，点D为斜边上动点.（1）如图2，过点D作交CB于点E，连接AE，当AE平分时，求CE；（2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若为等腰三角形，直接写出AD的值.5.在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）.（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.6.如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C=36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB=FE．7.如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，D，G分别是AB，BC上的点，连接GD，且GD＝GB.以点D为顶点作等边△DEF，使点E，F分别在AC，GC上.（1）求∠DGF的大小；（2）求证：△FDG≌△EFC；（3）如图2，当DE//BC时，若△DEF的面积为2，请直接写出△ABC的面积.8.如图1，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将Rt△ABC绕C点顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到Rt△DCE（1）当α＝15°，则∠ACE＝ °；（2）如图2，过点C作CM⊥BF于M，作CN⊥EF于N，证明：CF平分∠BFE（3）求Rt△ABC绕C点顺时针旋转，当旋转角α（0°＜α＜90°）为多少度时，△CFG为等腰三角形9.如图1，点P为等腰Rt△ABC斜边AB下侧一个动点，连AP、BP，且∠APB＝45°，过C作CE⊥AP于点E，AB＝12.（1）若∠ACE＝15°，求△ABP的面积；（2）求的值；（3）如图2，当△APC为等腰三角形时，则其面积为 .10.在中，若最大内角是最小内角的倍（为大于1的整数），则称为倍角三角形.例如：在中，，，，则称为6倍角三角形.（1）在中，，，则为倍角三角形；（2）若一个等腰三角形是4倍角三角形，求最小内角的度数；（3）如图，点在上，交于点，，，，.找出图中所有的倍角三角形，并写出它是几倍角三角形.11.如图，已知.（1）与全等吗？请说明理由；（2）若，垂足为F，请说明线段；（3）在（2）的基础上，猜想线段存在的数量关系，并直接写出结论.12.阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法.例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C＞∠B 呢？分析：把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C'处，即AC=AC'，据以上操作，易证明△ACD≌△AC'D，所以∠AC'D=∠C，又因为∠AC'D＞∠B，所以∠C＞∠B.感悟与应用：（1）如图（a），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB，试判断AC和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC=16，AD=8，DC=BC=12，①求证：∠B+∠D=180°；②求AB的长.13.问题探究（1）如图①，已知，，，则的大小为；（2）如图②，在四边形中，，，对角线，求四边形的面积；小明这样来计算，延长，使得，连接，通过证明，从而可以计算四边形的面积，请你将小明的方法完善，并计算四边形的面积；（3）如图③，四边形是正在建设的城市花园，其中，，，米，米，请计算出对角线的长度.14.在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD.（1）（探究发现）如图①，若∠BAD＝，∠ABC＝∠ADC＝.求证：AD＋AB＝AC；（2）（拓展迁移）如图②，若∠BAD＝，∠ABC＋∠ADC＝.①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；②若AC＝10，求四边形ABCD的面积.15.我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.（1）如图1，四边形的顶点，，在网格格点上，请你在的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上.（2）如图2，，，平分，求证：四边形为“等邻边四边形”.（3）如图3，在（2）的条件下，，，是的中点，点是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，求的长.16.将一副直角三角尺按如图方式叠放，与交于点，，，，.（1）如图1，点在上，过点作直线，求的度数；（2）图中含的三角尺固定不动，将含三角尺绕顶点顺时针转动.①如图2，当时，求的度数；②若将含的三角尺绕顶点顺时针继续转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，直接写出符合条件的（）的度数为°.17.如图，铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，若，，于A，于B，现要在上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等.（1）求E应建在距A多远处？（2）和垂直吗？试说明理由.18.如图，已知△OMN为等腰直角三角形，∠MON＝90°，点B为NM延长线上一点，OC⊥OB，且OC＝OB，连接CN．（1）如图1，求证：CN＝BM；（2）如图2，作∠BOC的平分线交MN于点A，求证：AN2＋BM2＝AB2；（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作AE⊥ON于点E，过点B作BF⊥OM于点F，EA，BF的延长线交于点P，请探究：以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是何种三角形？并说明理由．19.如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．20.如图，中，，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为秒.（1）若点在上，且满足时，求此时的值；（2）若点恰好在的平分线上，求的值.21.如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：求证：（1）△ABE是等边三角形；（2）△ABC≌△EAD；（3）．22.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形．（1）若三边长分别是2，和4，则此三角形________常态三角形（填“是”或“不是”）；（2）若是常态三角形，则此三角形的三边长之比为________（请按从小到大排列）；（3）如图，中，∠ACB＝90°，BC＝6，AD=DB=DC，若是常态三角形，求的面积．23.如图，Rt△ABC中，∠C= Rt∠，BC=4 cm，∠ABC=30°。

【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：特殊三角形培优专项训练一．选择题1．（等腰直角三角形“手拉手”模型）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论：①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④【分析】只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断．【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠EAC，∵AD＝AE，AB＝AC，∴△DAB≌△EAC，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，故①正确，∴∠ABD+∠ECB＝∠ECA+∠ECB＝∠ACB＝45°，故②正确，∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°，∴∠CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确，∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．故④正确，故选：A．2．（共斜边的直角三角形＋勾股定理）如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（）A．2B．C．8D．9【分析】连接EF、DF，根据直角三角形的性质得到EF＝BC＝9，得到FE＝FD，根据等腰三角形的性质得到FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，根据勾股定理计算即可．【解答】解：连接EF、DF，∵BD⊥AC，F为BC的中点，∴DF＝BC＝9，同理，EF＝BC＝9，∴FE＝FD，又G为DE的中点，∴FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，由勾股定理得，FG＝＝2，故选：A．3．（直角三角形勾股定理与面积）如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定【分析】如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，根据△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，求得S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，根据勾股定理得到c2＝a2+b2，于是得到结论．【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，∵c2＝a2+b2，∴S1+S3＝S2+S4，故选：C．4．（轴对称与勾股定理综合）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上，AD＝AC，AE ⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（）A．3B．5C．D．6【分析】连接DE，由勾股定理求出AB＝5，由等腰三角形的性质得出CF＝DF，由线段垂直平分线的性质得出CE＝DE，由SSS证明△ADE≌△ACE，得出∠ADE＝∠ACE＝∠BDE＝90°，设CE＝DE＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：连接DE，如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD＝AC＝6，AF⊥CD，∴DF＝CF，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝4，在△ADE和△ACE中，，∴△ADE≌△ACE（SSS），∴∠ADE＝∠ACE＝90°，∴∠BDE＝90°，设CE＝DE＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2＝BE2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3；∴CE＝3；∴BE＝8﹣3＝5．故选：B．5．（勾股定理＋中点）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．已知∠ACB＝90°，BE＝5，AD＝，则AB的长为（）A．10B．4C．D．8【分析】设EC＝x，DC＝y，则直角△BCE中，x2+4y2＝BE2＝25，在直角△ADC中，4x2+y2＝AD2＝55，解方程组可求得x、y，在直角△ABC中，根据勾股定理求得AB．【解答】解：设EC＝x，DC＝y，∠ACB＝90°，∴在直角△BCE中，CE2+BC2＝x2+4y2＝BE2＝25．在直角△ADC中，AC2+CD2＝4x2+y2＝AD2＝55，解得x＝，y＝．在直角△ABC中，AB＝＝＝8．故选：D．6．（勾股定理与面积规律）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1﹣S2+S3+S4等于（）A．4B．6C．8D．12【分析】过F作AM的垂线交AM于D，通过证明S2＝S Rt△ABC；S3＝S△FPT；S4＝S Rt△ABC，进而即可求解．【解答】解：过F作AM的垂线交AM于D，可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，所以S2＝S Rt△ABC．由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，∴S3＝S△FPT，又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，∴S1+S3＝S Rt△AQF＝S Rt△ABC．易证Rt△ABC≌Rt△EBN，∴S4＝S Rt△ABC，∴S1﹣S2+S3+S4＝（S1+S3）﹣S2+S4＝S Rt△ABC﹣S Rt△ABC+S Rt△ABC＝6﹣6+6＝6，故选：B．7．（勾股定理与整体思想）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高线，E是边AC上一点，分别作EF⊥AD于点F，EG⊥BC于点G，几何原本中曾用该图证明了BG2+CG2＝2（BD2+DG2），若△ABD与△AEF的面积和为8.5，BG＝5，则CG的长为（）A．2B．2.5C．3D．3.5【分析】由S△AEF+S△ABD＝8.5，得BD2+DG2＝17，从而有BG2+CG2＝34，即可得出答案．【解答】解：由题意知：△ABD，△AEF都是等腰直角三角形，∴S△AEF＝，S，∵S△AEF+S△ABD＝8.5，∴BD2+DG2＝17，∵BG2+CG2＝2（BD2+DG2），∴BG2+CG2＝34，∵BG＝5，∴CG＝＝3，故选：C．8．（等边三角形“手拉手”模型）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列六个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤BD∥MN．⑥CP平分∠BPD其中，正确的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】①根据等边三角形的性质得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，则∠ACE＝60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD＝BE；②由△ACD≌△BCE得到∠CAD＝∠CBE，然后根据“ASA”判断△ACN≌△BCM，即可解决问题；③根据三角形内角和定理可得∠CAD+∠CDA＝60°，而∠CAD＝∠CBE，则∠CBE+∠CDA＝60°，然后再利用三角形内角和定理即可得到∠BPD＝120°，即可得到结论；④由△ACD≌△BCE得到∠CAD＝∠CBE，然后根据“ASA”判断△ACN≌△BCM，所以AN＝BM；⑤由△ACN≌△BCM得到CN＝BM，加上∠MCN＝60°，则根据等边三角形的判定即可得到△CMN为等边三角形，得到∠CMN＝60°，所以∠CMN＝∠BCM，于是根据平行线的判定即可得到MN∥BC；⑥作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图，由△ACD≌△BCE得到CQ＝CH，于是根据角平分线的判定定理即可得到CP平分∠BPD．【解答】证明：①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，∴∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE＝120°，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；故①正确；②∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，在△ACN和△BCM中，，∴△ACN≌△BCM（ASA），∴AN＝BM，∠BMC＝∠ANC；故②④正确；③∵∠CAD+∠CDA＝60°，而∠CAD＝∠CBE，∴∠CBE+∠CDA＝60°，∴∠BPD＝120°，∴∠APM＝60°；故③正确；⑤∵△ACN≌△BCM，∴CN＝BM，而∠MCN＝60°，∴△CMN为等边三角形；∴∠CMN＝60°，∴∠CMN＝∠BCM，∴MN∥BC；故⑤正确；⑥作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图，∵△ACD≌△BCE，∴CQ＝CH，∴CP平分∠BPD，故⑥正确．正确的有：①②③④⑤⑥，共6个．故选：D．9．（三角形与特殊三角形性质的综合）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．下列结论正确的有（）个．①BF＝AC；②CE＝BF；③△DGF是等腰三角形；④BD+DF＝BC；⑤；A．5B．4C．3D．2【分析】由“AAS”可证△BDF≌△CDA，可得BF＝AC，故①正确．由等腰三角形的性质可得AE＝EC＝AC ＝BF，故②正确，由角的数量关系可求∠DGF＝∠DFG＝67.5°，可得DG＝DF，即△DGF是等腰直角三角形，故③正确．由全等三角形的性质可得DF＝DA，则可得BC＝AB＝BD+DF，故④正确；由角平分线的性质可得点F到AB的距离等于点F到BC的距离，由三角形的面积公式可求＝，故⑤正确，即可求解．【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠A+∠ABE＝90°，∠ABE+∠DFB＝90°，∴∠A＝∠DFB，∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°＝∠DBC，∴BD＝DC，在△BDF和△CDA中，∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF＝AC，故①正确．∵∠ABE＝∠EBC＝22.5°，BE⊥AC，∴∠A＝∠BCA＝67.5°，∴BA＝BC，∵BE⊥AC，∴AE＝EC＝AC＝BF，故②正确，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，∵∠BDC＝90°，BH＝HC，∴∠BHG＝90°，∴∠BDF＝∠BHG＝90°，∴∠BGH＝∠BFD＝67.5°，∴∠DGF＝∠DFG＝67.5°，∴DG＝DF，∴△DGF是等腰直角三角形，故③正确．∵△BDF≌△CDA，∴DF＝AD，∴BC＝AB＝BD+AD＝BD+DF，故④正确；∵BE平分∠ABC，∴点F到AB的距离等于点F到BC的距离，∴＝，故⑤正确，故选：A．10．（折叠与勾股定理求长度）如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝2，BC＝3，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，延长EG交CD于点F处，则线段FG的长为（）A．B．C．D．1【分析】由将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，可得∠BEC＝∠GEC，GE＝BE＝2，CG＝BC＝3，CF ＝EF，设FG＝x，则CF＝EF＝x+2，根据勾股定理可得x2+32＝（x+2）2，即可解得答案．【解答】解：∵将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，∴∠BEC＝∠GEC，GE＝BE＝2，CG＝BC＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠BEC＝∠FCE，∴∠GEC＝∠FCE，∴CF＝EF，设FG＝x，则CF＝EF＝x+2，在Rt△CFG中，FG2+CG2＝CF2，∴x2+32＝（x+2）2，解得x＝，∴FG＝，故选：A．11．（三角形与特殊三角形性质的综合）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，D为斜边AB的中点，Rt∠EDF在△ABC 内绕点D转动，分别交边AC，BC点E，F（点E不与点A，C重合），下列说法正确的是（）①∠DEF＝45°；②BF2+AE2＝EF2；③CD＜EF≤CD．A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】由“ASA”可证△ADE≌△CDF，可得DE＝DF，AE＝CF，可得∠DEF＝∠DFE＝45°，EC＝BF，可判断①，在直角三角形CEF中，由勾股定理可得BF2+AE2＝EF2，可判断②，由特殊位置可求CD的范围，可判断③，即可求解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CA＝CB，D为斜边AB的中点，∴CD＝AD＝DB，∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，AB⊥CD，∵ED⊥FD，∴∠EDF＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＝△CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴DE＝DF，AE＝CF，∴∠DEF＝∠DFE＝45°，AC﹣AE＝BC﹣CF，故①正确；∴EC＝BF，∵CF2+CE2＝EF2；∴BF2+AE2＝EF2；故②正确；当点E与点A重合时，EF＝AC＝CD，当DE⊥AC时，则DF⊥BC，∴四边形DECF是矩形，∴EF＝CD，∴CD≤EF＜CD，故③错误，故选：A．二．填空题12．（中垂线性质定理与特殊角的应用）在△ABC中，∠A＝15°，∠C＝30°，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，DE＝2，则AC的长为．【分析】利用线段垂直平分线的性质，说明△BCE和△ADB是等腰三角形，再利用等腰三角形的性质求出∠BEA和∠BDC的度数，利用特殊的直角三角形的性质求出BE、DB的长，最后利用线段的和差关系得结论．【解答】解：∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴CE＝BE，BD＝AD．∴∠C＝∠CBE＝30°，∠A＝∠ABD＝15°．∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°，∠BEA＝∠C+∠CBE＝60°．∴∠EBD＝90°．在Rt△BED中，∵ED＝2，∠BDC＝30°，∴BE＝1，BD＝．∴CE＝BE，AD＝BD．∴AC＝CE+AD+ED＝1+2+＝3+．故答案为：3+．13．（特殊三角形的判定）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝度．【分析】首先根据旋转的性质得出，△EBE′是直角三角形，进而得出∠BEE′＝∠BE′E＝45°，即可得出答案．【解答】解：连接EE′∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′∴∠EBE′是直角，∴△EBE′是直角三角形，∵△ABE与△CE′B全等∴BE＝BE′＝2，∠AEB＝∠BE′C∴∠BEE′＝∠BE′E＝45°，∵EE′2＝22+22＝8，AE＝CE′＝1，EC＝3，∴EC2＝E′C2+EE′2，∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C＝90°，∴∠AEB＝135°．故答案为：135．14．（赵爽弦图）如图由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝60，则S2的值是．【分析】先设一个直角三角形的面积为x，然后结合正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积关系和S1+S2+S3＝60得到S2的值．【解答】解：设一个直角三角形的面积为x，∵图中的三角形全等，∴S1＝S2﹣4x，S3＝S2+4x，∵S1+S2+S3＝60，∴S2﹣4x+S2+S2+4x＝60，∴S2＝20．故答案为：20．15．（直角三角形的分类讨论）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝．【分析】分两种情形：∠PCB′＝90°，∠CPB′＝90°，利用勾股定理构建方程求解即可．【解答】解：如图1中，当∠PCB′＝90°时，设PB＝PB′＝x．∵AC＝3，CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝5，由翻折的性质可知，AB＝AB′＝5，在Rt△PCB′中，PC2+CB′2＝PB′2，∴（4﹣x）2+22＝x2，∴x＝，∴PB＝．如图2中，当∠CPB′＝90°，设PB＝y．过点A作AT⊥B′P交B′P的延长线于点T，则四边形ACPT是矩形，∴PT＝AC＝3，AT＝CP＝4﹣y，在Rt△ATB′中，AB′2＝AT2+B′T2，∴52＝（4﹣y）2+（y+3）2，解得y＝1或0（0舍弃），∴PB＝1，综上所述，PB的值为：1或．16．（将军饮马）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是．【分析】如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，P A，EM，FN，AE，AF．首先证明E，A，F共线，则PM+MN+PN＝EM+MN+NF≥EF，推出EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小，求出P A的最小值，可得结论．【解答】解：如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，P A，EM，FN，AE，AF．∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝＝＝5，由对称的性质可知，AE＝AP＝AF，∠BAP＝∠BAE，∠CAP＝∠CAF，∵∠P AB+∠P AC＝∠BAC＝90°，∴∠EAF＝180°，∴E，A，F共线，∵ME＝MP，NF＝NP，∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF，∵EM+MN+NF≥EF，∴EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小，∵EF＝2P A，∴当P A⊥BC时，P A的值最小，此时P A＝＝，∴PM+MN+PN≥，∴PM+MN+PN的最小值为．故答案为：．17．（角平分线与将军饮马）如图，BD是Rt△ABC的角平分线，点F是BD上的动点，已知AC＝2，AE＝2﹣2，∠ABC＝30°，则：（1）BE＝．（2）AF+EF的最小值是．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到BC＝2AC＝4，由勾股定理得到AB＝＝＝2，于是得到结论；（2）作点A关于BD的对称点A′，根据等腰三角形的性质得到点A′落在BC上，求得A′B＝AB＝2，连接A′E交BD于F，则此时AF+EF的值最小且等于A′E，过E作EH⊥BC于H，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，∴BC＝2AC＝4，∴AB＝＝＝2，∵AE＝2﹣2，∴BE＝2；故答案为：2；（2）作点A关于BD的对称点A′，∵BD是Rt△ABC的角平分线，∴点A′落在BC上，∴A′B＝AB＝2，连接A′E交BD于F，则此时AF+EF的值最小且等于A′E，过E作EH⊥BC于H，∴EH＝BE＝1，BH＝＝，∴A′H＝，∴BH＝A′H，∴A′E＝BE＝2，∴AF+EF的最小值是2，故答案为：2．18．（折叠与直角三角形分类讨论）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D在AB上，连结CD，将△ADC沿CD折叠，点A的对称点为E，CE交AB于点F，△DEF为直角三角形，则CF＝．【分析】分两种情况讨论，当∠EFD＝90°时和当∠EDF＝90°时，然后利用折叠的性质和含30°角的直角三角形三边关系求解．【解答】解：∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，AC＝2，∠B＝60°，由折叠得，∠E＝∠A＝30°，①如图1，当∠EFD＝90°时，∠BFC＝90°，∵∠B＝60°，∴∠BCF＝30°，∴BF＝BC＝×2＝1，CF＝BF＝；②如图2，当∠EDF＝90°时，∵∠E＝30°，∴∠EFD＝60°，∴∠BFC＝60°，∵∠B＝60°，∴△BFC是等边三角形，∴CF＝BC＝2，综上所述，当△BFC为直角三角形时，CF＝2或．故答案为：2或．三．解答题19．（“两定一动”型等腰三角形分类讨论）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度．（1）当t＝2时，CD＝，AD＝；（请直接写出答案）（2）当△CBD是直角三角形时，t＝；（请直接写出答案）（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．【分析】（1）根据CD＝速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD＝AC﹣CD代入数据进行计算即可得解；（2）分①∠CDB＝90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间＝路程÷速度计算；②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解；（3）分①CD＝BD时，过点D作DE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE＝BE，从而得到CD ＝AD；②CD＝BC时，CD＝6；③BD＝BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD＝2CF，再由（2）的结论解答．【解答】解：（1）t＝2时，CD＝2×1＝2，∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，AD＝AC﹣CD＝10﹣2＝8；（2）①∠CDB＝90°时，S△ABC＝AC•BD＝AB•BC，即×10•BD＝×8×6，解得BD＝4.8，∴CD＝＝＝3.6，t＝3.6÷1＝3.6秒；②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，t＝10÷1＝10秒，综上所述，t＝3.6或10秒；故答案为：（1）2，8；（2）3.6或10秒；（3）①CD＝BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于E，则CE＝BE，∴CD＝AD＝AC＝×10＝5，t＝5÷1＝5；②CD＝BC时，CD＝6，t＝6÷1＝6；③BD＝BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F，则CF＝3.6，CD＝2CF＝3.6×2＝7.2，∴t＝7.2÷1＝7.2，综上所述，t＝5秒或6秒或7.2秒时，△CBD是等腰三角形．20．（直角三角形判定与角度转化）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠HAC＝30°，∠ACD＝α，点D是线段AH 上的一个动点，连接CD，将线段CD绕C点顺时针旋转90°至点E，连接DE交BC于点F．（1）连接BE，求证：△ACD≌△BCE；（2）当α＝15°时，判断△BEF是什么三角形？并说明理由．（3）在点D运动过程中，当△BEF是锐角三角形时，求α的取值范围．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACD＝∠BCE，利用SAS定理证明△ACD≌△BCE；（2）根据三角形内角和定理求出∠ADC，根据全等三角形的性质求出∠CEB，根据等腰直角三角形的性质求出∠CED，结合图形计算，得到答案；（3）根据三角形内角和定理求出∠ADC，用α表示出∠BEF，根据锐角的概念列式计算即可．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）解：△BEF是直角三角形，理由如下：∵∠HAC＝30°，∠ACD＝15°，∴∠ADC＝180°﹣30°﹣15°＝135°，∵△ACD≌△BCE，∴∠CEB＝∠CDA＝135°，∵CE＝CD，∠DCE＝90°，∴∠CED＝∠CDE＝45°，∴∠BEF＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，∴△BEF是直角三角形；（3）解：∵∠HAC＝30°，∠ACD＝α，∴∠ADC＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α，∵△ACD≌△BCE，∴∠CEB＝∠CDA＝150°﹣α，∠CBE＝∠CAD＝30°，∴∠BEF＝∠BEC﹣∠CED＝150°﹣α﹣45°＝105°﹣α，由题意得：105°﹣α＜90°，180°﹣30°﹣（105°﹣α）＜90°，解得：15°＜α＜45°．21．（操作类等腰三角形分类讨论）我们数学八年级上册书本第64页作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画出示意图说明理由．小明在做此题时发现有多种剪法，图1为其中一种方法示意图．定义：如果我们用n条线段将一个三角形分成n+1个等腰三角形，我们把这种分法叫做这个三角形的n+1等分线图．显然，如图1所示的剪法是这个三角形的3等分线图．（1）如图2，△ABC为等腰直角三角形，请你画出一个这个△ABC的4等分线的示意图．（2）请你探究：如图3，边长为1的正三角形是否具有4等分线图．若无，请说明理由；若有，请画出所有符合条件的这个正三角形的4等分线图（若两种方法分得的三角形分别成4对全等三角形，则视为一种．）【分析】（1）取三边的中点D，E，F，并连接，即可画出一个这个△ABC的4等分线的示意图；（2）①如图，取三边的中点D，E，F，得4个等边三角形；②作CF⊥AB于点F，取CA和CB的中点D，E，连接DF，EF，得△ADF和△BEF是等边三角形，△CDF和△CEF是底角为30°的等腰三角形；③如图，在CA上取点E，在CB上取点F，使CE＝2AE，CF＝2BF，再取EF的中点D，连接DA，DB，△AEF是等边三角形，△DAB是等腰三角形，△ADE和△BDF是等腰三角形．【解答】解：（1）如图2，取三边的中点D，E，F，并连接，得4个等腰三角形；（2）①如图，取三边的中点D，E，F，得4个等边三角形；②如图，作CF⊥AB于点F，取CA和CB的中点D，E，连接DF，EF，得△ADF和△BEF是等边三角形，△CDF和△CEF是底角为30°的等腰三角形；③如图，在CA上取点E，在CB上取点F，使CE＝2AE，CF＝2BF，再取EF的中点D，连接DA，DB，所以△AEF是等边三角形，△DAB是等腰三角形，△ADE和△BDF是等腰三角形．22．（特殊三角形与方程思想）如图，在Rt△ABC中，AB＝10，BC⊥AC，P为线段AC上一点，点Q，P关于直线BC对称，QD⊥AB于点D，DQ与BC交于点E，连结DP，设AP＝m．（1）若BC＝8，求AC的长，并用含m的代数式表示PQ的长；（2）在（1）的条件下，若AP＝PD，求CP的长；（3）连结PE，若∠A＝60°，△PCE与△PDE的面积之比为1：2，求m的值．【分析】（1）利用勾股定理求出AC，再根据对称性PQ＝2PC，可得结论；（2）证明P A＝PQ，构建方程求出m即可．（3）证明DE＝EQ，设DE＝EQ＝x，根据BC＝5，构建方程求出x，再求出AQ，PQ，可得结论．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝＝6，∵P，Q关于BC对称，∴PC＝CQ＝6﹣m，∴PQ＝2PC＝12﹣2m；（2）当AP＝PD时，∠A＝∠PDA，∵QD⊥AB，∴∠ADQ＝90°，∴∠PDQ+∠ADP＝90°，∠Q+∠A＝90°，∴∠Q＝∠PDQ，∴PD＝PQ，∴P A＝PQ，∴m＝12﹣2m，∴m＝4，∴CP＝AC﹣AP＝6﹣4＝2；（3）∴CP＝CQ，∴S△PEC＝S△ECQ，∵S△PDE＝2S△PEC，∴S△PDE＝S△PEQ，∴DE＝QE，设DE＝EQ＝x，∵∠A＝60°，∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝2x，∵∠ADQ＝90°，∴∠Q＝90°﹣60°＝30°，∴EC＝EQ＝x，∵BC＝AB•＝5，∴2x+x＝5，∴x＝2，∴DQ＝2x＝4，CQ＝PC＝EQ•＝3，∵AQ＝5+3＝8，∴m＝AP＝AQ﹣PQ＝8﹣6＝2．23．（特殊三角形动点问题）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．（1）若AP＝AB，则点P到直线AB的距离是；（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，请直接写出OP的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）接BP，设点P到直线AB的距离为h，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）分P在x轴的正半轴和负半轴：①当P在x轴的正半轴时，求OP＝O'P＝AO'＝4﹣4，根据三角形面积公式可得结论；②当P在x轴的负半轴时，同理可得结论；（3）分4种情况：分别以P、B、Q三点所成的角为顶角讨论：①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，②当BP＝PQ时，如图3，③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合；④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算OP 的长．【解答】解：（1）连接BP，设点P到直线AB的距离为h，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，∴AB＝＝4，∵AP＝AB，∴AP＝AB＝4，∴S△ABP＝AB•h＝AP•OB，∴h＝OB＝4，即点P到直线AB的距离是4，故答案为：4；（2）存在两种情况：①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，∵OB＝OA＝4，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝4，∠OAB＝45°，由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，∴△OBP≌△O'BP（AAS），∴O'B＝OB＝4，∴AO'＝4﹣4，Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，∴S△BOP＝OB•OP＝＝8﹣8；②如图所示：当P在x轴的负半轴时，由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，∵∠BAO＝45°，∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，∴S△BOP＝OB•OP＝×4×（4+4）＝8+8；（3）分4种情况：①当BQ＝QP时，如图2，点P与点O重合，此时OP＝0；②当BP＝PQ时，如图3，∵∠BPC＝45°，∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，∴∠APB＝22.5°，∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB＝4，∴OP＝4+4；③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，∵∠BPC＝45°，∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，△PCA中，∠APC＝22.5°，∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP＝4，∴OP＝4﹣4；④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，∴此时OP＝4；综上，OP的长是0或4+4或4﹣4或4．24．（特殊三角形综合题）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．【分析】（1）①要证明△BDF≌△ADC，如图，在△ABD中，∠ABC＝45°，AD⊥BC，可证BD＝AD，∠BDF ＝∠ADC；在△ADC中，可证得∠AFE＝∠ACD，又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），∴∠ACD＝∠BFD；运用AAS，问题可证．②由△BDF≌△ADC可证得DF＝DC；∵AD＝AF+FD，∴AD＝AF+DC；由GF∥BD，∠ABC＝45°，可证得AF＝GF；于是问题可证．（2）∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴FG＝AF＝AD+DF；DF＝DC可通过证明△BDF≌△ADC得到，故可得：FG＝DC+AD．【解答】解：（1）①证明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD；∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC；∵∠FDB＝∠CDA＝90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）②∵△FDB≌△CDA，∴DF＝DC；∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°，∴∠AGF＝∠BAD，∴F A＝FG；∴FG+DC＝F A+DF＝AD．（2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．理由：∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF；∵∠F AE+∠DFB＝∠F AE+∠DCA＝90°，∴∠DFB＝∠DCA；又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，∴△BDF≌△ADC（AAS）；∴DF＝DC，∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．。

浙教版2020八年级数学上册第二章特殊三角形自主学习优生提升训练题 2 （附答案详 解）1 •以下列各数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A • 6, 8, 10B • 4, 5, 6C . 5, 6, 7D . 7, 8, 92 •如图，小明拿一张正方形纸片（如图①） ，沿虚线向下对折一次得到图②，再沿图②中的虚线向下对折一次得到图③， 然后用剪刀沿图③中的虚线剪去一个角， 将剩下的纸 C . 9cm, 12cm, 15cm 4 .下列定理中，没有逆定理的是（（乙）以B 为圆心，AB 长为半径画弧，交 BC 于P 点，则P 即为所求.A •两人皆正确B .两人皆错误C .甲正确，乙错误D •甲错误，乙正确7 .如图，BE=CF , AE 丄BC , DF 丄BC ,要根据“ HL 证明Rt A ABE 也Rt A DCF ，则还要添加一个条件是（） 2 cm, .6 cm, 3 cm2 cm, 3cm, 4cmA •两直线平行，同旁内角互补; 两个全等三角形的对应角相等C .直角三角形的两个锐角互余; 两内角相等的三角形是等腰三角形5 •石鼓文，秦刻石文字，因其刻石外形似鼓而得名. F 列石鼓文, 是轴对称的是（） 6.如图，在MBC 中, BC >AB >AC .甲、乙两人想在 BC 上取一点P ,使得/ APC =2 / ABC ，其作法如下:（甲）作AB 的中垂线, 交BC 于P 点，则P 即为所求;A . 1cm, 2cm, 3cmB . A . B .C . D.8.如图，△ABC中,C.Z B= / CD. AE=BF/ ACB = 90 , CD是高,/ A = 30 ,贝U AD与BD的关系是（）A . AD = 3BDB . AD = 2BD C. 2AD = 3BD D . AD = 4BD9 .如图，若A ABC与厶DEF关于直线I对称，BE交I于点0,则下列说法不一定正确的.4……」…cA . AB // EF是（）B AC= DF C. AD丄I D BO = EO10 .已知如图A ABC 中，AB=AC,AD 平分/ BAC , BC=4 贝V BDH11 .在A ABC 中，/ C = 90° AC = 8cm,BC= 6cm.动点P从点C开始按A T B T C的路径绕A ABC的边运动一周，速度为每秒3cm,运动的时间为t秒.则A BCP为等腰三角形时t的值是12 •如图，将纸片A ABC沿DE折叠，点A落在点A'处，已知/ A = 50 ° 则/ 1 + Z 2 =813 •如图，以等边 △ABC 的边AC 为腰作等腰 A CAD,使 AC=AD,连接BD,若/ DBC=41 °14. 如图，已知/ ACB=90 ° CD 丄 AB , D 是垂足，若 BC=8cm , BD=7cm , AB=10cm ,15 .如图，长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，ED 交BC 于点G ,点D 、C 分别落在点D'、C'位置上，若/ EFG=55°，/ BGE=16 .如图，在 Rt A ABC 中，/ ACB=90 ° AC=9, BC=12 ,则点 C 到 AB 的距离 CD =18. 在梯形 ABCD 中，AB // CD , AC 平分/ DAB , DC : AB=1 ： 1.5,贝U AD : AB=cm •4m 高处折断，折断处仍相连，此时在 3.9m 远处耍的身高O/ CAD = 那么点B 到AC 的距离是 危险•（填有或无）19 .如图，在4X 4方格纸中，小正方形的边长为1，点A , B , C 在格点上，若△ ABC 的面积为2,则满足条件的点 C 的个数是 ________________ . r ~ 'T — = T —■ —…r -_ N 匸 ［二二 4 —1 - ----- --fr20 .如图，在4 X4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边 长均为1.在图①，图②中已画出线段AB ,在图③中已画出点 A .按下列要求画图: (1)在图①中，以格点为顶点， AB 为一边画一个等腰三角形 ABC ; (2) 在图②中，以格点为顶点， AB 为一边画一个正方形；(3) 在图③中，以点 A 为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形，这个正方形的面积 = ____________ .21.如图所示，AB 6，BC 8，AD 24，CD 26， B 90，求阴影部分的面积• 22 .如图，直线 AB // CD ，/ ACD 的平分线 CE 交AB 于点F ，/ AFE 的平分线交 CA 延长线于点G.(1) 证明：AC=AF;⑵若/ FCD=30 °，求/ G 的大小.23 .如图，在△ ABC 中，AB= AC, / BAC = 120 ° , D 为 BC 的中点， DE 丄 AC 于点E , BSO團② 图③DAE= 8,求CE的长.24 •如图所示，ABD, ACE分别是以AB、AC为边的等边三角形，连接CD、BE ,它们相交于点0,再连接0A .求证：0A是DOE的角平分线.25 .如图，在△ABC中，/ C = 90 °, AD平分/ CAB, DE丄AB于点E,点F在AC上,BD = FD .那么BE与FC相等吗，并说明理由.26 .我们已经知道，有一个内角是直角的三角形•其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边•数学家已发现在一个直角三角形中，两条直角边边长的平方和等于斜边长的平方•如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b ,斜边长度是c,那么可以用数学语言表达为：a2 b2c2.(1)在图中，若a 3, b 4，则c等于多少；(2)观察图，利用面积与代数恒等式的关系，试说明a2 b2 c2的正确性•其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上；(3)如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB 8 , BC 10,禾U用上面的结论求的长•27 •如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE?都是等边三角形.BE交AC于F, AD交CE于H,(1) 求证：ABCE◎△ ACD ；⑵求证：FC=HC⑶求证：FH // BD .28 .如图，在矩形ABCD中，AB 4 , AD 3，点M是边CD上一点，将ADM沿直线AM对折得到ANM , MN , AB的延长线交于点Q , DM 1，求NQ的长.29 .在△ABC的边AC上取一点，使得AB=AD,若点D恰好在BC的垂直平分线上，写出/ ABC与/ C的数量关系，并证明•参考答案1. A【解析】【分析】根据勾股定理即可解答.【详解】解：能够组成三角形，必然满足勾股定理，只有A中62+82 = 102满足，即答案选A .【点睛】本题考查满足勾股定理的三角形是直角三角形的知识，掌握该知识点是解题关键.2. A【解析】【分析】利用图形的翻折，由翻折前后的图形是全等形，通过动手操作得出答案.【详解】【点睛】本题考查剪纸问题，对于此类问题，只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现出来，本题培养了学生的动手能力和空间想象能力•3. C【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理对四组数据进行逐一判断即可.【详解】A、••• 12+22工3,二不能构成直角三角形;B、：22+ 3 2工、一6 2，二不能构成直角三角形；C、：92+122=152,二能构成直角三角形；D、：22+32=工4,二不能构成直角三角形.故选C.【点睛】本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即只要三角形的三边满足X+bJc2, 则此三角形是直角三角形.4. B【解析】【分析】先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答.【详解】A •其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，正确，所以有逆定理；B •其逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，错误，所以没有逆定理；C.其逆命题是“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，正确，所以有逆定理；D •其逆命题是“等腰三角形的两个内角相等”，正确，所以有逆定理.故选B.【点睛】本题考查了命题与定理的区别，正确的命题叫定理.5. A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念判断即可.【详解】解：A中图形是轴对称图形，B、C、D中图形都不是轴对称图形，故选：A.【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.6. C【解析】【分析】根据甲乙两人作图的作法：甲：利用垂直平分线的性质得到AP=PB，得到/ PAB= / PBA，再利用三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，即可求出结果乙：根据作图的要求，AB=BP ,得到/ BAP= / APB ,进一步证明即可发现/ APO2 / ABC , 此方法不正确•【详解】贝U PA=PB,•••/ PAB= / PBA ,又/ APC= / PAB+ / PBA ,•••/ APC=2 / ABC ,故甲的作图正确；•/ AB=BP ,•••/ BAP= / APB ,•••/ APC= / BAP+ / ABC ,•••乙错误；故选：C.【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形外角的性质，正确的理解题意是解题的关键.7. A【解析】【分析】根据垂直定义求出/ CFD= / AEB=90，再根据全等三角形的判定定理推出即可.【详解】解：条件是AB=DC ,理由是：••• AE丄BC, DF丄BC ,•••/ CFD= / AEB=90 ,在RtAABE 和RtZXDCF 中，AB=CDBE=CF ，••• Rt A ABE 也Rt Z\DCF (HL ),故选：A.【点睛】本题考查全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解题的关键.8. A【解析】【分析】由直角三角形性质，以及角与边的关系，借助CD即可得出AD与BD的关系.【详解】根据题意，••• CD 是高，/ A=30 ,•••在Rt△ ACD 中，AD= CD,•/△ ABC 中，/ ACB=90 , / A=30°,•••/ B=60 , •••在Rt△ CDB 中有CD=竽BD ,:.AD=3BD ,故答案选A.【点睛】本题考查的知识点是含30度角的直角三角形，解题的关键是熟练的掌握含30度角的直角三角形•9. A【解析】【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.【详解】解：•••△ ABC与厶DEF关于直线I对称，••• AC=DF , AD 丄I, BO=EO，故B、C、D 选项正确，AB // EF不一定成立，故A选项错误，所以，不一定正确的是A .故选：A.【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等.10. 2【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，可知AD为BC的中线，继而可得出BD的长度.【详解】解：••• AB=AC ,• △ ABC是等腰三角形，••• AD平分/ BAC交BC于点D ,••• AD是厶ABC的中线,1 1••• BD= — BC — 4 2 ；2 2故答案为：2.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的三线合一定理【解析】【分析】△ BCP 为等腰三角形时，分点 P 在边AC 和边AB 上讨论计算.【详解】解：△ BCP 为等腰三角形时，当点P 在边AC 上时，CP=CB ,•/ CP=6cm ，此时 t=6 七=2 （秒）;当点P 在边AB 上时.① 如图1 ,CP=CB ,作AB 边上的高CD ,X X CD ，在Rt △ CDP 中，根据勾股定理得,「一「「；「： —••• BP=2DP=7.2 ,••• AP=2.8 ,••• t= (AC+AP ) -K3= ( 8+2.8) £=川(秒)fy ② BC=BP ,• BP=6cm , CA+AP=8+10-6=12 (cm ),• t=12 七=4 (秒);③ PB=PC ,•••点P 在BC 的垂直平分线与 AB 的交点处，即在 AB 的中点，此时 CA+AP=8+5=13 (cm ),11.t=13 -3=(秒)；综上可知，当t=2秒或秒或4秒或秒时，△ BCP为等腰三角形.故答案为：2或才或4或第.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键.12. 100【解析】【分析】连接AA',根据折叠的性质得到AD=A'D, AE=A'E，根据等边对等角和三角形外角的性质即可得到结论.【详解】连接AA',易得AD=A'D , AE=A'E，•/ DAA'=Z DA'A，/ EAA'= / EA'A.故/ 1+ / 2=2 (/ DAA'+ / EAA') =2 / DAE=100 ° .故答案为100.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质•通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系.13. 82【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得：AB=AC，/ ABC= / BAC=60 °，从而求出/ ABD的度数，然后根据已知条件可得：AB= AD，根据等边对等角即可得：/ ADB= / ABD，利用三角形的内角和即可求出/ BAD，从而求出/ CAD的度数.【详解】解：••• △ABC是等边三角形••• AB=AC，/ ABC= / BAC=60 °•/ AC=AD，/ DBC=41°•AB= AD，/ ABD= / ABC -Z DBC=19°•••/ ADB= Z ABD=19 °•Z BAD=180 °-Z ADB -Z ABD=142 °•Z CAD= Z BAD -Z BAC=82 °故答案为：82° .【点睛】此题考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握等边三角形的内角都是60°和等边对等角是解决此题的关键•14. 8【解析】【分析】因为Z ACB=90，根据点到直线的距离可知，BC就是点B到AC的距离.【详解】解：•••/ ACB=90•BC就是点B到AC的距离又BC=8cm•••点B到AC的距离为8cm,故答案为8.【点睛】本题主要考查点到直线的距离，正确理解点到直线的距离是解答本题的关键.15. 110【解析】【分析】先根据矩形的性质得AD // BC,再根据平行线的性质得/ DEF= / EFG=55 ° ,接着根据折叠的性质得到/ DEF= / MEF=55。