特殊的等边三角形专题培优

中考总复习：特殊三角形—知识讲解（提高）【考纲要求】【高清课堂：等腰三角形与直角三角形考纲要求】1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定．2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题．3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2．性质：(1)具有三角形的一切性质；(2)两底角相等(等边对等角)；(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)；(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°．要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条.3．判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．要点诠释：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形．考点二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．2．性质：(1)直角三角形中两锐角互余；(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：（1）直角三角形中，S Rt△ABC=ch=ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；（2）圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形．3．判定：(1)两内角互余的三角形是直角三角形；(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形；(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边．【典型例题】类型一、等腰三角形1．（2020秋•自贡期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？【思路点拨】（1）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．【答案与解析】解：（1）∵△OCD是等边三角形，∴OC=CD，而△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∵∠ACB=∠OCD=60°，∴∠BCO=∠ACD，在△BOC与△ADC中，∵，∴△BOC≌△ADC，∴∠BOC=∠ADC，而∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=150°﹣60°=90°，∴△ADO是直角三角形；（2）∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，a+d=50°∠DAO=50°，∴b﹣d=10°，∴（60°﹣a）﹣d=10°，∴a+d=50°，即∠CAO=50°，①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，∴190°﹣α=50°，∴α=140°．所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．【总结升华】此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键．举一反三：【变式】把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是________．【答案】.2．已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．(1)求证:AE=AF．(2)若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．【思路点拨】菱形的定义和性质.【答案与解析】(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD,∠B=∠D ，又∵BE=DF，∴≌．∴AE=AF．(2)连接AC, ∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，∴AB=AC=AD，∵AB=BC=CD=DA ,∴△ABC和△ACD都是等边三角形．∴, ．∴．又∵AE=AF ∴是等边三角形．【总结升华】此题涉及到三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质.举一反三：【高清课堂：等腰三角形与直角三角形例4】【变式】如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE.求证：CE=DE.【答案】延长BD到F，使DF＝BC，连接EF，∵等边△ABC，∴AB＝BC＝AC，∠B＝60．∵BF＝BD+DF，BE＝AB+AE，AE＝BD，BC＝DF，∴BF＝BE，∴等边△BEF，∴EF＝BE，∠F＝∠B，∴△BCE≌△FDE（SAS）．∴CE＝DE．类型二、直角三角形3．（2020秋•东海县校级期中）如图，△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，E为AC上一点，且ME=MF．（1）求证：BE⊥AC；（2）若∠A=50°，求∠FME的度数．【思路点拨】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MF=BM=CM=BC，再求出ME=BM=CM=BC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明；（2）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BMF+∠CME，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．【答案与解析】（1）证明：∵CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，∴MF=BM=CM=BC，∵ME=MF，∴ME=BM=CM=BC，∴BE⊥AC；（2）解：∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵ME=MF=BM=CM，∴∠BMF+∠CME=（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）=360°﹣2（∠ABC+∠ACB）=360°﹣2×130°=100°，在△MEF中，∠FME=180°﹣100°=80°．【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，难点在于（2）中整体思想的利用．4．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE，AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．【思路点拨】△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形,为证明全等提供了等线段的条件. 【答案与解析】猜测 AE ＝BD ，AE ⊥BD. 理由如下：∵∠ACD ＝∠BCE ＝90°，∴∠ACD ＋∠DCE ＝∠BCE ＋∠DCE ，即∠ACE ＝∠DCB ． ∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形， ∴AC ＝CD ，CE ＝CB ． ∴△ACE ≌△DCB （SAS ）． ∴AE ＝BD ，∠CAE ＝∠CDB ． ∵∠AFC ＝∠DFH ，∴∠DHF ＝∠ACD ＝90°， ∴AE ⊥BD ．【总结升华】两条线段的关系包括数量关系和位置关系两种. 举一反三：【变式】 .以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n 个等腰直角三角形的面积S n =________. 【答案】.类型三、综合运用5 .（2012•牡丹江）如图①，△ABC 中．AB=AC ，P 为底边BC 上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E 、F 、H ．易证PE+PF=CH ．证明过程如下：如图①，连接AP ．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH．又∵ABP ACP ABC S S S +=△△△， ∴12AB•PE+12AC•PF=12AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH． （1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF ，当PF=3时，则AB 边上的高CH=______.点P 到AB 边的距离PE=________.【思路点拨】运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键． 【答案与解析】（1）如图②，PE=PF+CH ．证明如下： ∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH， ∵ABP S △=ACP S △+ABC S △， ∴12AB•PE=12AC•PF +12AB•CH， 又∵AB=AC， ∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵ABC S △=12AB•CH，AB=AC ， ∴12×2CH•CH=49， ∴CH=7． 分两种情况：①P 为底边BC 上一点，如图①． ∵PE+PF=CH，∴PE=CH -PF=7-3=4；②P 为BC 延长线上的点时，如图②． ∵PE=PF+CH， ∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中.6．在△ＡＢＣ中，AC=BC，，点D为AC的中点．（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．【思路点拨】根据条件判断FH=FC,要证FH=FC一般就要证三角形全等.【答案与解析】（1）FH与FC的数量关系是：．延长交于点G，由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF．∴DG∥CB．∵点D为AC的中点，∴点G为AB的中点，且．∴DG为的中位线．∴．∵AC=BC，∴DC=DG．∴DC- DE =DG- DF．即EC =FG．∵∠EDF =90°，，∴∠1+∠CFD =90°，∠2+∠CFD=90°． ∴∠1 =∠2． ∵与都是等腰直角三角形， ∴∠DEF =∠DGA = 45°． ∴∠CEF =∠FGH = 135°． ∴△CEF ≌△FGH ． ∴ FH=FC ．（2）FH 与FC 仍然相等．【总结升华】对于特殊三角形的判定及性质要记住并能灵活运用，注重积累解题思路和运用数学思想和方法解决问题的能力和培养. 举一反三：【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 例7】【变式】如图， △ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan ∠AEC=CDBC; ②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≥S ⊿ACE ; ③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D.中考总复习：全等三角形—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1． 已知等边△ABC 的边长为a ，则它的面积是（ ）MECAA ．a 2B ．a 2C ．a 2D ．a 22．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，若AC 平分∠DAB ，AB=AE ，AC=AD ．那么在下列四个结论中：（1）AC ⊥BD ；（2）BC=DE ；（3）∠DBC=12∠DAB ；（4）△ABE 是正三角形，其中正确的是（ ） A ．（1）和（2） B ．（2）和（3） C ．（3）和（4） D ．（1）和（4）3.如图，等腰三角形ABC 中，∠BAC=90°，在底边BC 上截取BD=AB ，过D 作DE ⊥BC 交AC 于E ，连接AD ，则图中等腰三角形的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.如图，三角形纸片ABC 中，∠B=2∠C ，把三角形纸片沿直线AD 折叠，点B 落在AC 边上的E 处，那么下列等式成立的是（ ）A ．AC=AD+BD B ．AC=AB+BD C ．AC=AD+CD D ．AC=AB+ CD5．（2012•镇江）边长为a 的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（ ）A.511()32a ⨯ B ．511()23a ⨯ C ．611()32a ⨯ D. 611()23a ⨯ 6.（2020•本溪校级二模）如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE⊥AC 于E ，Q 为BC延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．不能确定二、填空题7．如图，C 为线段AE 上一动点(不与点A ，E 重合)，在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.以下五个结论：① AD=BE ；② PQ ∥AE ；③ AP=BQ ；④ DE=DP ； ⑤ ∠AOB=60°. 恒成立的有______________(把你认为正确的序号都填上).8．（2020•鄂尔多斯）如图，△ABC 中，∠C=90°，CA=CB ，点M 在线段AB 上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G ，MG 与BC 相交于点H ．若MH=8cm ，则BG= cm ．9.若直角三角形两直角边的和为3，斜边上的高为255，则斜边的长为 .10.如图，已知正方形ABCD的边长为2，△BPC是等边三角形，则△CDP的面积是_________；△BPD 的面积是_________.11．如图，P是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB ，则点P与点P′之间的距离为_________，∠APB=_________.12．.以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积S n=________.三、解答题13. 已知：在△ABC中，∠ABC=90°，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM．（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．14. (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.求证：BE＝CF.图1(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,EF＝4.求GH的长.图2(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,EF＝4.直接写出下列两题的答案：①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).图3图415．①如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）②若将①中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．③若将①中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD…X”，请你做出猜想：当∠AMN=_____________°时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）16.（2020秋•江阴市期中）如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？【答案与解析】一、选择题1.【答案】D.2.【答案】B.【解析】此题采取排除法做．（1）AB=AE，所以△ABE是等腰的，等腰三角形底角∠AEB不可能90°，所以AC⊥BD不成立．排除A，D；（2）∵AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．∴△DAE≌△CAB，∴BC=DE成立，排除C．3.【答案】D．【解析】三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC=90°，所以∠B=∠C=45°，又DE⊥BC，所以∠DEC=∠C= 45°，所以△EDC是等腰三角形，BD=AB，所以△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠BDA，而∠EAD=90°-∠BAD，∠EDA=90°-∠BDA，所以∠EAD=∠EDA，所以△EAD是等腰三角形，因此图中等腰三角形共4个．4.【答案】B.【解析】根据题意证得AB=AE，BD=DE，DE=EC．据此可以对以下选项进行一一判定．选B.5.【答案】A.6.【答案】B.【解析】过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF，∵PE⊥AC，∴AE=EF，∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD，∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE=AC，∵AC=1，∴DE=．故选：B．二、填空题7．【答案】①②③⑤.【解析】提示：证△ACD≌△BCE, △ACP≌△BCQ.8．【答案】4.【解析】如图，作MD⊥BC 于D ，延长DE 交BG 的延长线于E ， ∵△ABC 中，∠C=90°，CA=CB ， ∴∠ABC=∠A=45°， ∵∠GMB=∠A， ∴∠GMB=∠A=22.5°， ∵BG⊥MG， ∴∠BGM=90°，∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°， ∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°． ∵MD∥AC，∴∠BMD=∠A=45°，∴△BDM 为等腰直角三角形 ∴BD=DM，而∠GBH=22.5°， ∴GM 平分∠BMD， 而BG⊥MG，∴BG=E G ，即BG=BE ，∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°， ∴∠MHD=∠E，∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E， ∴∠GBD=∠HMD，∴在△BED 和△MHD 中，，∴△BED≌△MHD（AAS ）， ∴BE=MH， ∴BG=MH=4． 故答案是：4．9．5【解析】设直角边为a,b,斜边为c ，则a +b =3，222a b c +=，1122ab c =⨯55，代入即可.10．【答案】1， .【解析】∵△BPC 是等边三角形，∴∠PCD=30° 做PE ⊥CD,得PE=1，即△CDP 的面积是=12×2×1=1； 根据即可推得BCDBPDBPCPCDSSSS+=+.11．【答案】6 ，150°.12．【答案】. 三、解答题13.【答案与解析】（1）结论：BM=DM ，∠BMD=2∠BCD ．理由：∵BM 、DM 分别是Rt △DEC 、Rt △EBC 的斜边上的中线， ∴BM=DM=12CE ； 又∵BM=MC ，∴∠MCB=∠MBC ，即∠BME=2∠BCM ； 同理可得∠DME=2∠DCM ；∴∠BME+∠DME=2（∠BCM+∠DCM ），即∠BMD=2∠BCD ．（2）在（1）中得到的结论仍然成立．即BM=DM ，∠BMD=2∠BCD 证法一：∵点M 是Rt △BEC 的斜边EC 的中点，∴BM=12EC=MC ，又点M 是Rt △BEC 的斜边EC 的中点， ∴DM=12EC=MC ，∴BM=DM ；∵BM=MC ，DM=MC ，∴∠CBM=∠BCM ，∠DCM=∠CDM ，∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=2∠BCM+2∠DCM=2（∠BCM+∠DCM ）=2∠BCD ， 即∠BMD=2∠BCD ．证法二：∵点M 是Rt △BEC 的斜边EC 的中点， ∴BM=12EC=ME ； 又点M 是Rt △DEC 的斜边EC 的中点， ∴DM=12EC=MC ， ∴BM=DM ；∵BM=ME ，DM=MC ，∴∠BEC=∠EBM，∠MCD=∠MDC，∴∠BEM+∠MCD=∠BAC=90°-∠BCD，∴∠BMD=180°-（∠BMC+∠DME），=180°-2（∠BEM+∠MCD）=180°-2（90°-∠BCD）=2∠BCD，即∠BMD=2∠BCD．（3）所画图形如图所示：图1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；图2中∠BCD不存在，有BM=DM；图3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．解法同（2）．14.【答案与解析】(1) 证明：如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EAB+∠AEB=90°.∵∠EOB=∠AOF＝90°,∴∠FBC+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FBC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF．(2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M，过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，∴EF=BN,GH=AM，∵∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴∠NO/A=90°,故由(1)得, △ABM≌△BCN，∴AM=BN，∴GH=EF=4．(3) ①8．②4n．15.【答案与解析】（1）∵AE=MC,∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=45°,∴∠AEM=1355°,∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°在△AEM和△MCN中：∵∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN（2）仍然成立．在边AB上截取AE=MC，连接ME∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，∴∠ACP=120°．∵AE=MC，∴BE=BM∴∠BEM=∠EMB=60°∴∠AEM=120°．∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，∴∠AEM=∠MCN=120°∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN（3）16.【答案与解析】解：（1）如图1，由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，∴AC=4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，∴出发2秒后，则CP=2，∵∠C=90°，∴PB==，∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+=7．（2）①如图2，若P在边AC上时，BC=CP=3cm，此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；②若P在AB边上时，有三种情况：i）如图3，若使BP=CB=3cm，此时AP=2cm，P运动的路程为2+4=6cm，所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；ii）如图4，若CP=BC=3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，作CD⊥AB于点D，在Rt△PCD中，PD===1.8，所以BP=2PD=3.6cm，所以P运动的路程为9﹣3.6=5.4cm，则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；ⅲ）如图5，若BP=CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5=6.5cm 则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形（3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t﹣3，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t+2t﹣3=3，∴t=2；如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t﹣4，AQ=2t﹣8，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t﹣4+2t﹣8=6，∴t=6，∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．。

2020-2021学年浙教版八年级上册等腰三角形专题培优姓名班级学号基础巩固1.如图，△ABC是等边三角形，AQ= PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS，则下列结论:①点P在∠A的平分线上；②AS= AR；③QP∥AR；④△BRP ≌△QSP.其中正确的有（）.A.1个B.2个C.3个D.4个第1题第2题第3题2.如图，∠AOB= 120°，OP平分∠AOB，且OP= 2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）.A.2个B.3个C.4个D.无数个3.如图，已知△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD= 62°，则∠AEB的度数是（）.A.124°B.122°C.120°D.118°第4题第5题4.如图，一个等边三角形、一个直角三角形以及一个等腰三角形按如图放置，已知等腰三角形的底角∠3 = 64°，则∠1 + ∠2 = _________ .5.如图，六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB = 1 cm，BC = 3 cm，CD =3 cm，DE = 2 cm，则这个六边形的周长是 _________ .6.在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，∠CAB= 30°.分别以AB，AC为边，向外作等边△ABD和邻边△ACE.（1）如图1，连结线段BE，CD.求证:BE = CD.（2）如图2，连结DE交AB于点F.求证:点F为DE中点.7.已知△ABC是等边三角形，D是直线BC上一动点，连结AD，在线段AD的右侧作射线DP且使∠ADP = 30°，作点A关于射线DP的对称点E，连结DE，CE.（1）当点D在线段BC上运动时.①依题意将图1补全.②请用等式表示线段AB，CE，CD之间的数量关系，并证明.（2）当点D在直线BC上运动时，请直接写出AB，CE，CD之间的数量关系，不需证明.拓展提优1.如图，在等边三角形ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 在线段AD 上，∠EBC = 45°，则∠ACE 等于（ ）. A .15° B .30° C .45° D .60°第1题2.如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则△ADE 的面积是（ ）.A .3B .23 C .433D .323.如图，等腰直角三角形BDC 的顶点D 在等边三角形ABC 的内部，∠BDC = 90°，连结AD ，过点D 作一条直线将△ABD 分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角的度数分别是 _________ .4.如图，∠MON = 30°，点B 1在边OM 上，且OB = 2，过点B 1作B 1A 1⊥OM 交ON 于点A 1，以A 1B 1为边在A 1B 1右侧作等边三角形A 1B 1C 1；过点C 1作OM 的垂线分别交OM ，ON 于点B 2，A 2，以A 2B 2为边在A 2B 2的右侧作等边三角形A 2B 2C 2；过点C 2作OM 的垂线分别交OM ，ON 于点B 3，A 3，以A 3B 3为边在A 3B 3的右侧作等边三角形A 3B 3C 3…按此规律进行下去，则△A n A n+1C n 的面积为 _________ （用含正整数n 的代数式表示）.5.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且AB= CD，AD与BE相交于点F，CF⊥BE.求证:（1）BE = AD.（2）BF = 2AF.6.已知△ABC，△EFG是边长相等的等边三角形，D是边BC，EF的中点.（1）如图1，连结AD，GD，则∠ADC= _________ 度；∠GDF= _________ 度；AD与GD的数量关系是 _________ ；DC与DF的数量关系是 _________ .（2）如图2，直线AG，FC相交于点M，求∠AMF的大小.冲刺重高1.如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M，N，使∠MBN= 30°.若AM = m，MN = x，CN = n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随x，m，n的值而定2.如图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2 cm时，这个六边形的周长为（）.A.30 cmB.40 cmC.50 cmD.60 cm3.在等边三角形ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（）.A.1个B.4个C.7个D.10个4.如图，等边三角形RST的顶点R，S，T分别在等腰三角形ABC的边AB，BC，CA 上，设∠ART= x°，∠RSB= y°，∠STC= z°，用含y，z的代数式表示x是_________ .5.如图，点P是等边三角形ABC内部一点，且∠APC= 117°，∠BPC= 130°.求以AP，BP，CP为边的三角形的三内角的度数.2 3 4 5 67。

2020-2021学年度苏科版八年级上学期数学2.5等边三角形的性质与判断专题培优训练卷一、选择题1、在ABC ∆中，有下列判断:①若AB BC CA ==，则ABC ∆为等边三角形;②若A B C ∠=∠=∠，则ABC ∆ 为等边三角形;③有两个角都是60°的三角形是等边三角形;④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.其中正确的有( ) A.1个 B. 2个 C.3个 D. 4个2、如图，D 为等边△ABC 内一点，DB=DA ，BF=AB ，∠1=∠2，则∠BFD 的度数为 ( )A ．15ºB ．20ºC ． 30ºD ．45º3、如图，等边，动点C 从点O 出发，沿射线OB 方向移动，以AC 为边在右侧作等边，连接BD ，则BD 所在直线与OA 所在直线的位置关系是( )A. 相交B. 平行C. 垂直D. 平行、相交4、如图，在MNP ∆中，60P ∠=︒,MN NP =,MQ PN ⊥，垂足为Q ，延长MN 至G ，使NG NQ =，若MNP ∆的周长为12，MQ a =，则MGQ ∆的周长是( )A.82a +B.8a +C.6a +D.62a +5、如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝2，D 是AB 的中点，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，过点F 作EF ⊥BC 于点E ，则BE 的长为（ ） A ．1B ．23 C ．45 D ．346、如图，C 是线段AB 上的一点，和都是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于则；；；；是等边三角形．其中，正确的有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个7、如图，点P 在边长为1的等边的边AB 上，过点P 作于点为BC 延长线上一点，当时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为( )A.31B.21 C.32 D. 不能确定8、如图，ABC ∆，ADE ∆均为等边三角形，AD 平分BAC ∠，下列结论:①AD BC ⊥,②EF FD =, ③BE BD =,④60ABE ∠=︒，其中正确的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.19、如图，已知ΔABC 和ΔCDE 都是等边三角形，且 A 、C 、E 三点共线．AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：①AD=BE ； ②∠AOB=60º； ③AP=BQ ；④ΔPCQ 是等边三角形；⑤PQ ⫽AE ．其中正确结论的有（ ）个 A ．5B ．4C ．3D ．210、如图，△ABM 与△CDM 是两个全等的等边三角形，MA ⊥MD ．有下列四个结论：（1）∠MBC=25°；（2）∠ADC+∠ABC=180°；（3）直线MB 垂直平分线段CD ；（4）四边形ABCD 是轴对称图形． 其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11、如图所示，已知△ABC 和△BDE 均为等边三角形，连接AD 、CE ，若∠BAD =39°，那么∠BCE =________12、如图，等边三角形ABC 的边长为1cm ，DE 分别是AB 、AC 上的点，将△ABC 沿直线DE 折叠，点A落在点A ′处，在△ABC 外部，则阴影部分的周长为________．13、如图，在等边中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且，则________．14、如图，已知ABC ∆是等边三角形，点,,,B C D E 在同一直线上，且,CG CD DF DE ==，则E ∠= ° .15、如图，直线l 1∥l 2，等边△ABC 的顶点C 在直线l 2上，若边AB 与直线l 1的夹角∠1＝40°，则边AC 与直线l 2的夹角∠2＝ °．16、如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N，若AB＝12cm，求CM的长为．17、已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的序号是__________18、如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°，其中正确结论有（填序号）．19、如图，等边△中，于，，点、分别为、上的两个定点且BP=AQ=2cm，在上有一动点使最短，则的最小值为________ .20、如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是__________．三、解答题 21、如图，，都是等边三角形，BE ，CD 相交于点O ．(1)求证：BE=DC ； (2)求∠BOC 的度数．22、如图，Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，∠ACB ＝30°，D 是AB 上一点（不与A 、B 重合），DE ⊥BC 于E ，若P 是CD 的中点，请判断△PAE 的形状，并说明理由．23、已知点C 为线段AB 上一点，ACM ∆与CBN ∆都是等边三角形.(1)如图1，连接,AN BM ，则AN 与BM 是否相等?请说明理由;(2)如图2,AN 与MC 交于点,E BM 与CN 交于点F ，试择究CEF ∆的形状.24、在等边△ABC中，（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②求证：PA＝PM．25、如图，在中，，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且，．(1)求证：ΔDEF是等腰三角形；(2)当∠A=50º时，求∠DEF的度数；(3)若，，求的周长．26、如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120度．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN．（1）求证：MN＝BM+NC；（2）求△AMN的周长为多少？27、如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．28、如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2，若点D 在边BC 的延长线上，请探究线段CE ，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系？并说明理由．2020-2021学年度苏科版八年级上学期数学2.5等边三角形的性质与判断专题培优训练卷（答案）一、选择题1、在ABC ∆中，有下列判断:①若AB BC CA ==，则ABC ∆为等边三角形;②若A B C ∠=∠=∠，则ABC ∆ 为等边三角形;③有两个角都是60°的三角形是等边三角形;④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.其中正确的有( D )A.1个B. 2个C.3个D. 4个2、如图，D 为等边△ABC 内一点，DB=DA ，BF=AB ，∠1=∠2，则∠BFD 的度数为 ( C )A ．15ºB ．20ºC ． 30ºD ．45º3、如图，等边，动点C 从点O 出发，沿射线OB 方向移动，以AC 为边在右侧作等边，连接BD ，则BD 所在直线与OA 所在直线的位置关系是( )A. 相交B. 平行C. 垂直D. 平行、相交解：，，是等边三角形，，当点C 在线段OB 上时，如图1，是等边三角形，，，，在和中， ≌，，，； 当点C 在OB 的延长线上时，如图2，同的方法得出， 是等边三角形，，，，在和中， ≌，，，．4、如图，在MNP ∆中，60P ∠=︒,MN NP =,MQ PN ⊥，垂足为Q ，延长MN 至G ，使NG NQ =，若MNP ∆的周长为12，MQ a =，则MGQ ∆的周长是( D )A.82a +B.8a +C.6a +D.62a +5、如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝2，D 是AB 的中点，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，过点F 作EF ⊥BC 于点E ，则BE 的长为（ ） A ．1B ．23 C ．45 D ．34【解答】解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠C ＝60°，AB ＝AC ＝BC ＝2， ∵DF ⊥AC ，FE ⊥BC ，∴∠AFD ＝∠CEF ＝90°，∴∠ADF ＝∠CFE ＝30°，∴AF AD ，CE CF ，∵点D 是AB 的中点，∴AD ＝1，∴AF ，CF ，CE ，∴BE ＝BC ﹣CE ＝2，故选：C ．6、如图，C 是线段AB 上的一点，和都是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于则；；；；是等边三角形．其中，正确的有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个解：，，在和中，≌，，，正确； ，，，错误；在和中，≌，，正确；，正确； ，，是等边三角形，正确；故有正确．7、如图，点P 在边长为1的等边的边AB 上，过点P 作于点为BC 延长线上一点，当时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为( )A.31B.21 C.32 D. 不能确定解：过P 作交AC 于F ， ，是等边三角形，，是等边三角形，， ，，，，．在和中，≌，，，，，，．8、如图，ABC ∆，ADE ∆均为等边三角形，AD 平分BAC ∠，下列结论:①AD BC ⊥,②EF FD =, ③BE BD =,④60ABE ∠=︒，其中正确的个数为( A ) A.4 B.3 C.2 D.19、如图，已知ΔABC 和ΔCDE 都是等边三角形，且 A 、C 、E 三点共线．AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：①AD=BE ； ②∠AOB=60º； ③AP=BQ ；④ΔPCQ 是等边三角形；⑤PQ ⫽AE ．其中正确结论的有（ ）个 A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A【分析】根据等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质对各结论逐项分析即可判定．【解析】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形。

【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：特殊三角形培优专项训练一．选择题1．（等腰直角三角形“手拉手”模型）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论：①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④【分析】只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断．【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠EAC，∵AD＝AE，AB＝AC，∴△DAB≌△EAC，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，故①正确，∴∠ABD+∠ECB＝∠ECA+∠ECB＝∠ACB＝45°，故②正确，∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°，∴∠CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确，∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．故④正确，故选：A．2．（共斜边的直角三角形＋勾股定理）如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（）A．2B．C．8D．9【分析】连接EF、DF，根据直角三角形的性质得到EF＝BC＝9，得到FE＝FD，根据等腰三角形的性质得到FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，根据勾股定理计算即可．【解答】解：连接EF、DF，∵BD⊥AC，F为BC的中点，∴DF＝BC＝9，同理，EF＝BC＝9，∴FE＝FD，又G为DE的中点，∴FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，由勾股定理得，FG＝＝2，故选：A．3．（直角三角形勾股定理与面积）如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定【分析】如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，根据△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，求得S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，根据勾股定理得到c2＝a2+b2，于是得到结论．【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，∵c2＝a2+b2，∴S1+S3＝S2+S4，故选：C．4．（轴对称与勾股定理综合）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上，AD＝AC，AE ⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（）A．3B．5C．D．6【分析】连接DE，由勾股定理求出AB＝5，由等腰三角形的性质得出CF＝DF，由线段垂直平分线的性质得出CE＝DE，由SSS证明△ADE≌△ACE，得出∠ADE＝∠ACE＝∠BDE＝90°，设CE＝DE＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：连接DE，如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD＝AC＝6，AF⊥CD，∴DF＝CF，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝4，在△ADE和△ACE中，，∴△ADE≌△ACE（SSS），∴∠ADE＝∠ACE＝90°，∴∠BDE＝90°，设CE＝DE＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2＝BE2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3；∴CE＝3；∴BE＝8﹣3＝5．故选：B．5．（勾股定理＋中点）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．已知∠ACB＝90°，BE＝5，AD＝，则AB的长为（）A．10B．4C．D．8【分析】设EC＝x，DC＝y，则直角△BCE中，x2+4y2＝BE2＝25，在直角△ADC中，4x2+y2＝AD2＝55，解方程组可求得x、y，在直角△ABC中，根据勾股定理求得AB．【解答】解：设EC＝x，DC＝y，∠ACB＝90°，∴在直角△BCE中，CE2+BC2＝x2+4y2＝BE2＝25．在直角△ADC中，AC2+CD2＝4x2+y2＝AD2＝55，解得x＝，y＝．在直角△ABC中，AB＝＝＝8．故选：D．6．（勾股定理与面积规律）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1﹣S2+S3+S4等于（）A．4B．6C．8D．12【分析】过F作AM的垂线交AM于D，通过证明S2＝S Rt△ABC；S3＝S△FPT；S4＝S Rt△ABC，进而即可求解．【解答】解：过F作AM的垂线交AM于D，可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，所以S2＝S Rt△ABC．由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，∴S3＝S△FPT，又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，∴S1+S3＝S Rt△AQF＝S Rt△ABC．易证Rt△ABC≌Rt△EBN，∴S4＝S Rt△ABC，∴S1﹣S2+S3+S4＝（S1+S3）﹣S2+S4＝S Rt△ABC﹣S Rt△ABC+S Rt△ABC＝6﹣6+6＝6，故选：B．7．（勾股定理与整体思想）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高线，E是边AC上一点，分别作EF⊥AD于点F，EG⊥BC于点G，几何原本中曾用该图证明了BG2+CG2＝2（BD2+DG2），若△ABD与△AEF的面积和为8.5，BG＝5，则CG的长为（）A．2B．2.5C．3D．3.5【分析】由S△AEF+S△ABD＝8.5，得BD2+DG2＝17，从而有BG2+CG2＝34，即可得出答案．【解答】解：由题意知：△ABD，△AEF都是等腰直角三角形，∴S△AEF＝，S，∵S△AEF+S△ABD＝8.5，∴BD2+DG2＝17，∵BG2+CG2＝2（BD2+DG2），∴BG2+CG2＝34，∵BG＝5，∴CG＝＝3，故选：C．8．（等边三角形“手拉手”模型）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列六个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤BD∥MN．⑥CP平分∠BPD其中，正确的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】①根据等边三角形的性质得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，则∠ACE＝60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD＝BE；②由△ACD≌△BCE得到∠CAD＝∠CBE，然后根据“ASA”判断△ACN≌△BCM，即可解决问题；③根据三角形内角和定理可得∠CAD+∠CDA＝60°，而∠CAD＝∠CBE，则∠CBE+∠CDA＝60°，然后再利用三角形内角和定理即可得到∠BPD＝120°，即可得到结论；④由△ACD≌△BCE得到∠CAD＝∠CBE，然后根据“ASA”判断△ACN≌△BCM，所以AN＝BM；⑤由△ACN≌△BCM得到CN＝BM，加上∠MCN＝60°，则根据等边三角形的判定即可得到△CMN为等边三角形，得到∠CMN＝60°，所以∠CMN＝∠BCM，于是根据平行线的判定即可得到MN∥BC；⑥作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图，由△ACD≌△BCE得到CQ＝CH，于是根据角平分线的判定定理即可得到CP平分∠BPD．【解答】证明：①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，∴∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE＝120°，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；故①正确；②∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，在△ACN和△BCM中，，∴△ACN≌△BCM（ASA），∴AN＝BM，∠BMC＝∠ANC；故②④正确；③∵∠CAD+∠CDA＝60°，而∠CAD＝∠CBE，∴∠CBE+∠CDA＝60°，∴∠BPD＝120°，∴∠APM＝60°；故③正确；⑤∵△ACN≌△BCM，∴CN＝BM，而∠MCN＝60°，∴△CMN为等边三角形；∴∠CMN＝60°，∴∠CMN＝∠BCM，∴MN∥BC；故⑤正确；⑥作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图，∵△ACD≌△BCE，∴CQ＝CH，∴CP平分∠BPD，故⑥正确．正确的有：①②③④⑤⑥，共6个．故选：D．9．（三角形与特殊三角形性质的综合）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．下列结论正确的有（）个．①BF＝AC；②CE＝BF；③△DGF是等腰三角形；④BD+DF＝BC；⑤；A．5B．4C．3D．2【分析】由“AAS”可证△BDF≌△CDA，可得BF＝AC，故①正确．由等腰三角形的性质可得AE＝EC＝AC ＝BF，故②正确，由角的数量关系可求∠DGF＝∠DFG＝67.5°，可得DG＝DF，即△DGF是等腰直角三角形，故③正确．由全等三角形的性质可得DF＝DA，则可得BC＝AB＝BD+DF，故④正确；由角平分线的性质可得点F到AB的距离等于点F到BC的距离，由三角形的面积公式可求＝，故⑤正确，即可求解．【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠A+∠ABE＝90°，∠ABE+∠DFB＝90°，∴∠A＝∠DFB，∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°＝∠DBC，∴BD＝DC，在△BDF和△CDA中，∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF＝AC，故①正确．∵∠ABE＝∠EBC＝22.5°，BE⊥AC，∴∠A＝∠BCA＝67.5°，∴BA＝BC，∵BE⊥AC，∴AE＝EC＝AC＝BF，故②正确，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，∵∠BDC＝90°，BH＝HC，∴∠BHG＝90°，∴∠BDF＝∠BHG＝90°，∴∠BGH＝∠BFD＝67.5°，∴∠DGF＝∠DFG＝67.5°，∴DG＝DF，∴△DGF是等腰直角三角形，故③正确．∵△BDF≌△CDA，∴DF＝AD，∴BC＝AB＝BD+AD＝BD+DF，故④正确；∵BE平分∠ABC，∴点F到AB的距离等于点F到BC的距离，∴＝，故⑤正确，故选：A．10．（折叠与勾股定理求长度）如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝2，BC＝3，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，延长EG交CD于点F处，则线段FG的长为（）A．B．C．D．1【分析】由将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，可得∠BEC＝∠GEC，GE＝BE＝2，CG＝BC＝3，CF ＝EF，设FG＝x，则CF＝EF＝x+2，根据勾股定理可得x2+32＝（x+2）2，即可解得答案．【解答】解：∵将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，∴∠BEC＝∠GEC，GE＝BE＝2，CG＝BC＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠BEC＝∠FCE，∴∠GEC＝∠FCE，∴CF＝EF，设FG＝x，则CF＝EF＝x+2，在Rt△CFG中，FG2+CG2＝CF2，∴x2+32＝（x+2）2，解得x＝，∴FG＝，故选：A．11．（三角形与特殊三角形性质的综合）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，D为斜边AB的中点，Rt∠EDF在△ABC 内绕点D转动，分别交边AC，BC点E，F（点E不与点A，C重合），下列说法正确的是（）①∠DEF＝45°；②BF2+AE2＝EF2；③CD＜EF≤CD．A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】由“ASA”可证△ADE≌△CDF，可得DE＝DF，AE＝CF，可得∠DEF＝∠DFE＝45°，EC＝BF，可判断①，在直角三角形CEF中，由勾股定理可得BF2+AE2＝EF2，可判断②，由特殊位置可求CD的范围，可判断③，即可求解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CA＝CB，D为斜边AB的中点，∴CD＝AD＝DB，∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，AB⊥CD，∵ED⊥FD，∴∠EDF＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＝△CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴DE＝DF，AE＝CF，∴∠DEF＝∠DFE＝45°，AC﹣AE＝BC﹣CF，故①正确；∴EC＝BF，∵CF2+CE2＝EF2；∴BF2+AE2＝EF2；故②正确；当点E与点A重合时，EF＝AC＝CD，当DE⊥AC时，则DF⊥BC，∴四边形DECF是矩形，∴EF＝CD，∴CD≤EF＜CD，故③错误，故选：A．二．填空题12．（中垂线性质定理与特殊角的应用）在△ABC中，∠A＝15°，∠C＝30°，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，DE＝2，则AC的长为．【分析】利用线段垂直平分线的性质，说明△BCE和△ADB是等腰三角形，再利用等腰三角形的性质求出∠BEA和∠BDC的度数，利用特殊的直角三角形的性质求出BE、DB的长，最后利用线段的和差关系得结论．【解答】解：∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴CE＝BE，BD＝AD．∴∠C＝∠CBE＝30°，∠A＝∠ABD＝15°．∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°，∠BEA＝∠C+∠CBE＝60°．∴∠EBD＝90°．在Rt△BED中，∵ED＝2，∠BDC＝30°，∴BE＝1，BD＝．∴CE＝BE，AD＝BD．∴AC＝CE+AD+ED＝1+2+＝3+．故答案为：3+．13．（特殊三角形的判定）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝度．【分析】首先根据旋转的性质得出，△EBE′是直角三角形，进而得出∠BEE′＝∠BE′E＝45°，即可得出答案．【解答】解：连接EE′∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′∴∠EBE′是直角，∴△EBE′是直角三角形，∵△ABE与△CE′B全等∴BE＝BE′＝2，∠AEB＝∠BE′C∴∠BEE′＝∠BE′E＝45°，∵EE′2＝22+22＝8，AE＝CE′＝1，EC＝3，∴EC2＝E′C2+EE′2，∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C＝90°，∴∠AEB＝135°．故答案为：135．14．（赵爽弦图）如图由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝60，则S2的值是．【分析】先设一个直角三角形的面积为x，然后结合正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积关系和S1+S2+S3＝60得到S2的值．【解答】解：设一个直角三角形的面积为x，∵图中的三角形全等，∴S1＝S2﹣4x，S3＝S2+4x，∵S1+S2+S3＝60，∴S2﹣4x+S2+S2+4x＝60，∴S2＝20．故答案为：20．15．（直角三角形的分类讨论）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝．【分析】分两种情形：∠PCB′＝90°，∠CPB′＝90°，利用勾股定理构建方程求解即可．【解答】解：如图1中，当∠PCB′＝90°时，设PB＝PB′＝x．∵AC＝3，CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝5，由翻折的性质可知，AB＝AB′＝5，在Rt△PCB′中，PC2+CB′2＝PB′2，∴（4﹣x）2+22＝x2，∴x＝，∴PB＝．如图2中，当∠CPB′＝90°，设PB＝y．过点A作AT⊥B′P交B′P的延长线于点T，则四边形ACPT是矩形，∴PT＝AC＝3，AT＝CP＝4﹣y，在Rt△ATB′中，AB′2＝AT2+B′T2，∴52＝（4﹣y）2+（y+3）2，解得y＝1或0（0舍弃），∴PB＝1，综上所述，PB的值为：1或．16．（将军饮马）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是．【分析】如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，P A，EM，FN，AE，AF．首先证明E，A，F共线，则PM+MN+PN＝EM+MN+NF≥EF，推出EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小，求出P A的最小值，可得结论．【解答】解：如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，P A，EM，FN，AE，AF．∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝＝＝5，由对称的性质可知，AE＝AP＝AF，∠BAP＝∠BAE，∠CAP＝∠CAF，∵∠P AB+∠P AC＝∠BAC＝90°，∴∠EAF＝180°，∴E，A，F共线，∵ME＝MP，NF＝NP，∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF，∵EM+MN+NF≥EF，∴EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小，∵EF＝2P A，∴当P A⊥BC时，P A的值最小，此时P A＝＝，∴PM+MN+PN≥，∴PM+MN+PN的最小值为．故答案为：．17．（角平分线与将军饮马）如图，BD是Rt△ABC的角平分线，点F是BD上的动点，已知AC＝2，AE＝2﹣2，∠ABC＝30°，则：（1）BE＝．（2）AF+EF的最小值是．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到BC＝2AC＝4，由勾股定理得到AB＝＝＝2，于是得到结论；（2）作点A关于BD的对称点A′，根据等腰三角形的性质得到点A′落在BC上，求得A′B＝AB＝2，连接A′E交BD于F，则此时AF+EF的值最小且等于A′E，过E作EH⊥BC于H，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，∴BC＝2AC＝4，∴AB＝＝＝2，∵AE＝2﹣2，∴BE＝2；故答案为：2；（2）作点A关于BD的对称点A′，∵BD是Rt△ABC的角平分线，∴点A′落在BC上，∴A′B＝AB＝2，连接A′E交BD于F，则此时AF+EF的值最小且等于A′E，过E作EH⊥BC于H，∴EH＝BE＝1，BH＝＝，∴A′H＝，∴BH＝A′H，∴A′E＝BE＝2，∴AF+EF的最小值是2，故答案为：2．18．（折叠与直角三角形分类讨论）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D在AB上，连结CD，将△ADC沿CD折叠，点A的对称点为E，CE交AB于点F，△DEF为直角三角形，则CF＝．【分析】分两种情况讨论，当∠EFD＝90°时和当∠EDF＝90°时，然后利用折叠的性质和含30°角的直角三角形三边关系求解．【解答】解：∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，AC＝2，∠B＝60°，由折叠得，∠E＝∠A＝30°，①如图1，当∠EFD＝90°时，∠BFC＝90°，∵∠B＝60°，∴∠BCF＝30°，∴BF＝BC＝×2＝1，CF＝BF＝；②如图2，当∠EDF＝90°时，∵∠E＝30°，∴∠EFD＝60°，∴∠BFC＝60°，∵∠B＝60°，∴△BFC是等边三角形，∴CF＝BC＝2，综上所述，当△BFC为直角三角形时，CF＝2或．故答案为：2或．三．解答题19．（“两定一动”型等腰三角形分类讨论）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度．（1）当t＝2时，CD＝，AD＝；（请直接写出答案）（2）当△CBD是直角三角形时，t＝；（请直接写出答案）（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．【分析】（1）根据CD＝速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD＝AC﹣CD代入数据进行计算即可得解；（2）分①∠CDB＝90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间＝路程÷速度计算；②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解；（3）分①CD＝BD时，过点D作DE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE＝BE，从而得到CD ＝AD；②CD＝BC时，CD＝6；③BD＝BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD＝2CF，再由（2）的结论解答．【解答】解：（1）t＝2时，CD＝2×1＝2，∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，AD＝AC﹣CD＝10﹣2＝8；（2）①∠CDB＝90°时，S△ABC＝AC•BD＝AB•BC，即×10•BD＝×8×6，解得BD＝4.8，∴CD＝＝＝3.6，t＝3.6÷1＝3.6秒；②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，t＝10÷1＝10秒，综上所述，t＝3.6或10秒；故答案为：（1）2，8；（2）3.6或10秒；（3）①CD＝BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于E，则CE＝BE，∴CD＝AD＝AC＝×10＝5，t＝5÷1＝5；②CD＝BC时，CD＝6，t＝6÷1＝6；③BD＝BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F，则CF＝3.6，CD＝2CF＝3.6×2＝7.2，∴t＝7.2÷1＝7.2，综上所述，t＝5秒或6秒或7.2秒时，△CBD是等腰三角形．20．（直角三角形判定与角度转化）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠HAC＝30°，∠ACD＝α，点D是线段AH 上的一个动点，连接CD，将线段CD绕C点顺时针旋转90°至点E，连接DE交BC于点F．（1）连接BE，求证：△ACD≌△BCE；（2）当α＝15°时，判断△BEF是什么三角形？并说明理由．（3）在点D运动过程中，当△BEF是锐角三角形时，求α的取值范围．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACD＝∠BCE，利用SAS定理证明△ACD≌△BCE；（2）根据三角形内角和定理求出∠ADC，根据全等三角形的性质求出∠CEB，根据等腰直角三角形的性质求出∠CED，结合图形计算，得到答案；（3）根据三角形内角和定理求出∠ADC，用α表示出∠BEF，根据锐角的概念列式计算即可．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）解：△BEF是直角三角形，理由如下：∵∠HAC＝30°，∠ACD＝15°，∴∠ADC＝180°﹣30°﹣15°＝135°，∵△ACD≌△BCE，∴∠CEB＝∠CDA＝135°，∵CE＝CD，∠DCE＝90°，∴∠CED＝∠CDE＝45°，∴∠BEF＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，∴△BEF是直角三角形；（3）解：∵∠HAC＝30°，∠ACD＝α，∴∠ADC＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α，∵△ACD≌△BCE，∴∠CEB＝∠CDA＝150°﹣α，∠CBE＝∠CAD＝30°，∴∠BEF＝∠BEC﹣∠CED＝150°﹣α﹣45°＝105°﹣α，由题意得：105°﹣α＜90°，180°﹣30°﹣（105°﹣α）＜90°，解得：15°＜α＜45°．21．（操作类等腰三角形分类讨论）我们数学八年级上册书本第64页作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画出示意图说明理由．小明在做此题时发现有多种剪法，图1为其中一种方法示意图．定义：如果我们用n条线段将一个三角形分成n+1个等腰三角形，我们把这种分法叫做这个三角形的n+1等分线图．显然，如图1所示的剪法是这个三角形的3等分线图．（1）如图2，△ABC为等腰直角三角形，请你画出一个这个△ABC的4等分线的示意图．（2）请你探究：如图3，边长为1的正三角形是否具有4等分线图．若无，请说明理由；若有，请画出所有符合条件的这个正三角形的4等分线图（若两种方法分得的三角形分别成4对全等三角形，则视为一种．）【分析】（1）取三边的中点D，E，F，并连接，即可画出一个这个△ABC的4等分线的示意图；（2）①如图，取三边的中点D，E，F，得4个等边三角形；②作CF⊥AB于点F，取CA和CB的中点D，E，连接DF，EF，得△ADF和△BEF是等边三角形，△CDF和△CEF是底角为30°的等腰三角形；③如图，在CA上取点E，在CB上取点F，使CE＝2AE，CF＝2BF，再取EF的中点D，连接DA，DB，△AEF是等边三角形，△DAB是等腰三角形，△ADE和△BDF是等腰三角形．【解答】解：（1）如图2，取三边的中点D，E，F，并连接，得4个等腰三角形；（2）①如图，取三边的中点D，E，F，得4个等边三角形；②如图，作CF⊥AB于点F，取CA和CB的中点D，E，连接DF，EF，得△ADF和△BEF是等边三角形，△CDF和△CEF是底角为30°的等腰三角形；③如图，在CA上取点E，在CB上取点F，使CE＝2AE，CF＝2BF，再取EF的中点D，连接DA，DB，所以△AEF是等边三角形，△DAB是等腰三角形，△ADE和△BDF是等腰三角形．22．（特殊三角形与方程思想）如图，在Rt△ABC中，AB＝10，BC⊥AC，P为线段AC上一点，点Q，P关于直线BC对称，QD⊥AB于点D，DQ与BC交于点E，连结DP，设AP＝m．（1）若BC＝8，求AC的长，并用含m的代数式表示PQ的长；（2）在（1）的条件下，若AP＝PD，求CP的长；（3）连结PE，若∠A＝60°，△PCE与△PDE的面积之比为1：2，求m的值．【分析】（1）利用勾股定理求出AC，再根据对称性PQ＝2PC，可得结论；（2）证明P A＝PQ，构建方程求出m即可．（3）证明DE＝EQ，设DE＝EQ＝x，根据BC＝5，构建方程求出x，再求出AQ，PQ，可得结论．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝＝6，∵P，Q关于BC对称，∴PC＝CQ＝6﹣m，∴PQ＝2PC＝12﹣2m；（2）当AP＝PD时，∠A＝∠PDA，∵QD⊥AB，∴∠ADQ＝90°，∴∠PDQ+∠ADP＝90°，∠Q+∠A＝90°，∴∠Q＝∠PDQ，∴PD＝PQ，∴P A＝PQ，∴m＝12﹣2m，∴m＝4，∴CP＝AC﹣AP＝6﹣4＝2；（3）∴CP＝CQ，∴S△PEC＝S△ECQ，∵S△PDE＝2S△PEC，∴S△PDE＝S△PEQ，∴DE＝QE，设DE＝EQ＝x，∵∠A＝60°，∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝2x，∵∠ADQ＝90°，∴∠Q＝90°﹣60°＝30°，∴EC＝EQ＝x，∵BC＝AB•＝5，∴2x+x＝5，∴x＝2，∴DQ＝2x＝4，CQ＝PC＝EQ•＝3，∵AQ＝5+3＝8，∴m＝AP＝AQ﹣PQ＝8﹣6＝2．23．（特殊三角形动点问题）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．（1）若AP＝AB，则点P到直线AB的距离是；（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，请直接写出OP的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）接BP，设点P到直线AB的距离为h，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）分P在x轴的正半轴和负半轴：①当P在x轴的正半轴时，求OP＝O'P＝AO'＝4﹣4，根据三角形面积公式可得结论；②当P在x轴的负半轴时，同理可得结论；（3）分4种情况：分别以P、B、Q三点所成的角为顶角讨论：①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，②当BP＝PQ时，如图3，③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合；④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算OP 的长．【解答】解：（1）连接BP，设点P到直线AB的距离为h，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，∴AB＝＝4，∵AP＝AB，∴AP＝AB＝4，∴S△ABP＝AB•h＝AP•OB，∴h＝OB＝4，即点P到直线AB的距离是4，故答案为：4；（2）存在两种情况：①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，∵OB＝OA＝4，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝4，∠OAB＝45°，由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，∴△OBP≌△O'BP（AAS），∴O'B＝OB＝4，∴AO'＝4﹣4，Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，∴S△BOP＝OB•OP＝＝8﹣8；②如图所示：当P在x轴的负半轴时，由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，∵∠BAO＝45°，∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，∴S△BOP＝OB•OP＝×4×（4+4）＝8+8；（3）分4种情况：①当BQ＝QP时，如图2，点P与点O重合，此时OP＝0；②当BP＝PQ时，如图3，∵∠BPC＝45°，∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，∴∠APB＝22.5°，∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB＝4，∴OP＝4+4；③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，∵∠BPC＝45°，∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，△PCA中，∠APC＝22.5°，∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP＝4，∴OP＝4﹣4；④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，∴此时OP＝4；综上，OP的长是0或4+4或4﹣4或4．24．（特殊三角形综合题）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．【分析】（1）①要证明△BDF≌△ADC，如图，在△ABD中，∠ABC＝45°，AD⊥BC，可证BD＝AD，∠BDF ＝∠ADC；在△ADC中，可证得∠AFE＝∠ACD，又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），∴∠ACD＝∠BFD；运用AAS，问题可证．②由△BDF≌△ADC可证得DF＝DC；∵AD＝AF+FD，∴AD＝AF+DC；由GF∥BD，∠ABC＝45°，可证得AF＝GF；于是问题可证．（2）∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴FG＝AF＝AD+DF；DF＝DC可通过证明△BDF≌△ADC得到，故可得：FG＝DC+AD．【解答】解：（1）①证明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD；∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC；∵∠FDB＝∠CDA＝90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）②∵△FDB≌△CDA，∴DF＝DC；∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°，∴∠AGF＝∠BAD，∴F A＝FG；∴FG+DC＝F A+DF＝AD．（2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．理由：∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF；∵∠F AE+∠DFB＝∠F AE+∠DCA＝90°，∴∠DFB＝∠DCA；又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，∴△BDF≌△ADC（AAS）；∴DF＝DC，∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．。

特殊三角形知识点及习题三角形是几何学中一个重要的概念，具有广泛的应用。

在三角形中，特殊三角形是一类具有特殊性质的三角形。

本文将介绍关于特殊三角形的知识点，并提供相关习题。

一、等边三角形等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。

特点是三个角度都相等，每个角度为60度。

等边三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都重合于同一条线段，且等边三角形的内切圆和外接圆半径相等。

求等边三角形的面积可使用海伦公式。

习题1：若等边三角形的边长为a，则该等边三角形的高、中线、角平分线的长度分别为多少？习题2：已知等边三角形的周长为18 cm，求其面积。

二、等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。

特点是两个底角（底边两侧的角）相等，顶角（顶边两侧的角）与底角不相等。

等腰三角形的高线、中线、角平分线都重合于同一条线段，且等腰三角形的内切圆与底边相切于一点。

习题3：已知等腰三角形的底边长度为a，腰边长度为b，求该等腰三角形的顶角和面积。

习题4：已知等腰三角形的面积为16 cm²，底边长度为4 cm，求腰边的长度。

三、直角三角形直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。

直角三角形的边分为三个部分：斜边、邻边和对边。

直角三角形中，邻边与对边满足勾股定理的关系，即邻边的平方加上对边的平方等于斜边的平方。

习题5：已知直角三角形的邻边长度为3 cm，对边长度为4 cm，求斜边的长度。

习题6：已知直角三角形的斜边长度为5 cm，对边长度为4 cm，求邻边的长度。

四、30-60-90三角形30-60-90三角形是指其中一个角为30度，另一个角为60度的三角形。

30-60-90三角形中，长边（斜边）的长度是中边（底边）长度的2倍，短边（高边）的长度是中边长度的根号3倍。

习题7：已知30-60-90三角形的中边长度为a，求其高边和斜边的长度。

习题8：已知30-60-90三角形的高边长度为3 cm，求斜边和中边的长度。

综上所述，特殊三角形具有一些独特的性质，包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形和30-60-90三角形等。

特殊三角形培优测试卷考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =60°，AC =6，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A 'B 'C '，此时点A '恰好在AB 边上，则点B '与点B 之间的距离为（ ）A. 12 B ． 6 C ．26 D ．36（第1题） （第3题） （第4题） 2．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )A ． 两个锐角对应相等B ． 一条直角边和一个锐角对应相C ． 两条直角边对应相等D ． 一条直角边和斜边对应相等3．如图，△ABC 中，∠B =90°，∠C =30°，AB =1，将△ABC 绕顶点A 旋转180°，点C 落在点C ′处，则CC ′的长为（ ）A ． 24B ． 4C ．32 D ． 52 4．如图，在△ABC 中，AB =AC ，△ADE 的顶点D ，E 分别在BC ，AC 上，且∠DAE =90°，AD =AE ．若∠C +∠BAC =145°，则∠EDC 的度数为（ ）A ． 17．5°B ． 12．5°C ． 12°D ． 10° 5．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是边BC 的中点，AD =ED =3，则BC 的长为（ ）A. 23 B ． 33 C ． 6 D ． 26（第5题） （第6题） （第8题） （第9题）6．如图，等边三角形ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 在线段AD 上，∠EBC =45°，则∠ACE 等于（ ） A ． 15° B ． 30° C ． 45° D ． 60°7．若△ABC 三边长a ，b ，c 满足0)5(1252=-+--+-+c a b b a ，则△ABC 是（ ）A ． 等腰三角形B ． 等边三角形C ． 直角三角形D ． 等腰直角三角形8．如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，则BE+CF=（）A． 5 B． 10 C． 15 D． 20 9．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在AC，BC上，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE 于点F．若PF＝3，则BP＝( )A． 6 B． 5 C． 4 D． 3 10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC﹣BE=AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=4AD，其中正确的个数有（）A． 1 个B． 2 个C． 3 个D． 4 个11．在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上高AD=12，则BC的长为（）A． 25 B． 7 C． 25或7 D．不能确定12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．B．C．D．（第12题）（第13题）（第14题）二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）13．如图，把三角形纸片折叠，使点B，C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，得到∠AGE＝30°，若AE＝EG＝32 cm，则BC的长为________cm．14．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是边BC、AC上一点，且AD=AE，∠BAD=74°，则∠CDE 的度数为________．15．如图，，若的顶点在射线上，且，点在射线上运动，当是锐角三角形时，的取值范围是________．（第15题）（第16题）（第17题）（第18题）16．如图，点C在AB上，△DAC、△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，则下列结论：①AE=DB；②CM=CN；③△CMN为等边三角形；④MN//BC；正确的有________（填序号）17．如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△APB绕着点B逆时针旋转60度后得到△CQB，则∠APB的度数是________．18．在锐角△ABC中，BC=8，∠ABC=30°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN 的最小值是________．三、解答题（本大题有7小题，共66分）19．（6分）如图，在钝角△ABC中，BC=9，AB=17，AC=10，AD⊥BC于D，求AD的长．20．（6分）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．21．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，BC=12，CD=AC=16，M、N分别是对角线BD、AC的中点．①求证：MN⊥AC；②求MN的长．22．（10分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，求：（1）CD的长；（2）△ABC的角平分线AE交CD于点F，交BC于E点，求证：∠CFE=∠CEF．23．（10分）阅读下列材料，解答问题：定义：线段AD把等腰三角形ABC分成△ABD与△ACD（如图1），如果△ABD与△ACD均为等腰三角形，那么线段AD叫做△ABC的完美分割线．（1）如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD为△ABC的完美分割线，且BD<CD，则∠B=________，∠ADC=________．（2）如图2，已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BE为△ABC的角平分线，求证：BE为△ABC完美分割线．（3）如图3，已知△ABC是一等腰三角形纸片，AB=AC，AD是它的一条完美分割线，将△ABD沿直线AD折叠后，点B落在点B1处，AB1交CD于点E，求证：DB1=EC．24．（12分）如图1，（）绕点顺时针旋转得，射线交射线于点．（1）与的关系是________；（2）如图2，当旋转角为60°时，点，点与线段的中点恰好在同一直线上，延长至点，使，连接．①写出与的关系，请说明理由；②如图3，连接，若，，求线段的长度．25．（12分）在中，，，于点．（1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长；（2）如图2，点，分别在，上，且，求证：；（3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：．答案：一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）1.D2. A3.B4.D5.D6.A7.C8. B9. A 10. D 11.C 12.A二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）13.解：4 ＋614.37°15.16.①②③④17.150°18. 4三、解答题（本大题有7小题，共66分）19.解：设AD=x，BD=y，在直角△ADB中，AB2=x2+y2，在直角△ADC中，AC2=x2+（y﹣BC）2，解方程得y=15，x=8，即AD=820.解：作AD⊥BC于D，如图所示：设BD = x，则．在Rt△ABD中，由勾股定理得：，在Rt△ACD中，由勾股定理得：，∴，解之得：．∴．∴.21.①证明：如图，连接AM、CM，∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中点，∴AM=CM=BM=DM= BD，∵N是AC的中点，∴MN⊥AC；②解：∵∠BCD=90°，BC=12，CD=16，∴BD= =20，∴AM= ×20=10，∵AC=16，N是AC的中点，∴AN= ×16=8，∴MN= =8．22.（1）解：由题意得，S△ABC= ×AB×CD= ×AC×BC，∴×CD×10= ×6×8，解得CD= .（2）解：∵∠ACB=90°，∴∠CAE+∠CEF=90°，∵CD是AB边上的高，∴∠FAD+∠AFD=90°，∵AE是∠CAB的平分线，∴∠CAE=∠FAD，∴∠CEF=∠AFD，又∵∠AFD=∠CFE，∴∠CFE=∠CEF.23.（1）36º；72º（2）证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠C=∵BE为△ABC的角平分线∴∴∠ABE=∠A∴AE=BE∵∠BEC=180º–∠C–∠CBE=72º∴∠BEC=∠C∴BE=BC∴△ABE、△BEC均为等腰三角形∴BE为△ABC的完美分割线．（3）证明：∵AD是△ABC的一条完美分割线∴AD=BD，AC=CD∴∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA∵∠B+∠BAD+∠ADB=180º，∠ADB+∠CDA=180º∴∠CDA=∠B+∠BAD=2∠BAD∴∠CAD=2∠BAD∵∠BAD=∠B1AD∴∠CAD=2∠B1AD∵∠CAD=∠B1AD+∠CAE∴∠B1AD=∠CAE∵AB=AC∴∠B=∠C∵∠B=∠B1∴∠B1=∠C∵AB=AB1∴AB1= AC∴△AB1D≌△ACE∴DB1=CE24. （1）（2）解：①或，理由：如图2，连接，由旋转知，，，，∴是等边三角形，∴，∵，∴∽，∴，∵是的中点，∴，∵，，∴≌（），∴，∴，∴，∴或，故答案为：或；②由①知，，，∴，∴，∵，，∴，由①知，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴在中，，，在中，，∴，∴.25. （1）解：，，，，，，，，，，，，由勾股定理得，，即，解得，，（2）解：，，，在和中，，（3）解：过点作交的延长线于，，则，，，，，，在和中，，，，．。

【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题13.6等边三角形的判定（限时满分培优训练）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023春•扶风县期中）在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的值为（）A．3B．4C．5D．62．（2023春•碑林区校级期末）下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（）A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60°C．∠A＝60°，∠B＝60°D．AB＝AC，且∠B＝∠C3．（2023春•漳州期中）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（）A．钝角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．正三角形4．（2022秋•邹城市校级期末）已知：在△ABC中，∠A＝60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．上述说法中，正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个5．（2022春•海州区校级期中）下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④6．（2022秋•鄱阳县月考）下列对△ABC的判断，错误的是（）A．若AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC是直角三角形C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40°7．（易错题）（2023春•淄博期末）如图，D是等边△ABC的边AC上的一点，E是等边△ABC外一点，若BD＝CE，∠1＝∠2，则对△ADE的形状最准确的是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不等边三角形8．（易错题）（2023春•高州市期末）如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，连接FH．给出下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AGB＝60°；③BF＝AH；④△CFH是等边三角形．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．49．（培优题）（2021•西陵区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，BC 长为半径作弧，两弧交于点D；（2）作射线AD，连接BD，CD．则下列结论中错误的是（）A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD⋅BC10．（压轴题）（2021秋•霍林郭勒市期末）如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP ≌△QSP．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2023春•尤溪县期中）若△ABC，∠B＝∠C，请添加一个条件使△ABC是等边三角形，则添加的条件可以是．（写出一个即可）12．（2021秋•绥滨县期末）如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B 两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为．13．（培优题）（2022秋•灌阳县期中）如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上的一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝s时，△POQ是等边三角形．14．（易错题）（2020秋•遂宁期末）如图，将含有30°角的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE 的位置，使B点的对应点D落在BC边上，连接EB，EC，则下列结论：①∠DAC＝∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；③EB平分∠AED；④△ABD为等边三角形．其中正确的是．（填序号）15．（易错题）（2008秋•江岸区期中）如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE 交∠C的外角平分线于E，则△ADE是三角形．16．（培优题）（2021秋•新吴区期中）如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当P A＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2023春•渠县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC 于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．18．（易错题）（2022秋•丛台区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．点D，E在BC边上，且AD⊥AC，AE⊥AB．（1）求∠C的度数；（2）求证：△ADE是等边三角形．19．（易错题）（2023春•宽甸县期末）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，AF为BC的中线，D为AF 上的一点，且BD的垂直平分线过点C并交BD于E．求证：△BCD是等边三角形．20．（易错题）（2023春•市北区期中）如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F，且CD＝CF．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当∠F＝度时，△ABC是等边三角形？请证明你的结论．21．（易错题）（2020秋•惠州期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF ⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF．求证：（1）∠B＝∠C；（2）△ABC是等边三角形．22．（培优题）（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．（1）求∠CAE的度数；（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．23．（压轴题）（2023春•宣汉县校级期末）在边长为9的等边三角形ABC中，点P是AB上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，设运动时间为t秒．（1）如图1，若点Q是BC上一定点，BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？。

学生： 科目： 数 学 教师： 谭 前 富知识框架一、等腰三角形1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。

2. 等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

3. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

4. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

5. 等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

6. 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

二、直角三角形1. 认识直角三角形。

学会用符号和字母表示直角三角形。

按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。

通常用符号“Rt △”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。

如果△ABC 是直角三角形，习惯于把以C 为顶点的角当成直角。

用三角A 、B 、C 对应的小写字母a 、b 、c 分别表示三个角的对边。

如果AB ＝AC 且∠A ＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。

2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。

会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。

3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。

4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。

能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。

5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。

难点：在直角三角形中如何正确添加辅助线 通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。

等边三角形的培优在数学的世界里，等边三角形是一个既基础又重要的几何图形。

它那三条相等的边和三个相等的角，蕴含着丰富而有趣的知识。

对于想要在数学学习中更上一层楼的同学来说，深入理解和掌握等边三角形的相关知识，进行培优学习是十分必要的。

一、等边三角形的定义与性质等边三角形，顾名思义，就是三条边长度都相等的三角形。

它的三个内角也都相等，且每个角都是 60 度。

这是等边三角形最基本也是最重要的性质。

为什么等边三角形的每个角都是 60 度呢？我们可以通过三角形内角和为 180 度来证明。

因为三条边相等，所以三个角也相等，那么每个角就是 180 度除以 3，等于 60 度。

等边三角形还有很多其他的性质。

比如，它的三条高、三条中线、三条角平分线都重合且相等。

这一性质在解决很多与等边三角形相关的几何问题时非常有用。

另外，等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三条边的中垂线。

二、等边三角形的判定知道了等边三角形的定义和性质，那么如何判定一个三角形是等边三角形呢？第一种判定方法，如果一个三角形的三条边都相等，那么它就是等边三角形，这是最直接的判定方式。

第二种，若一个三角形的三个内角都相等，那么它也是等边三角形。

第三种，如果一个三角形有一个角是 60 度，且它是等腰三角形，那么这个三角形也是等边三角形。

在实际解题中，我们需要根据具体的条件，灵活选择合适的判定方法。

三、等边三角形中的常见题型与解法1、证明题在证明一个三角形是等边三角形时，我们要根据已知条件，选择合适的判定方法进行证明。

例如，已知三角形 ABC 中，AB ＝ AC，且∠A ＝ 60 度，证明三角形 ABC 是等边三角形。

因为 AB ＝ AC，所以三角形 ABC 是等腰三角形。

又因为∠A ＝ 60 度，根据“有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形”，可以得出三角形 ABC 是等边三角形。

2、计算题在计算与等边三角形相关的边长、角度、面积等问题时，要充分利用等边三角形的性质。

等边三角形的培优等边三角形，这可是数学世界里的一个“小明星”！今天咱们就来好好聊聊它的培优那些事儿。

我记得有一次在课堂上，给同学们出了一道关于等边三角形的题目。

题目是这样的：在一个等边三角形的花坛周围，每隔 2 米种一棵月季花，一共种了 30 棵，问这个花坛的周长是多少？大多数同学都能想到用间隔数乘以间隔距离来计算周长，但是有个小家伙居然别出心裁，他先画出了这个等边三角形花坛，然后数出了每条边上的月季花数量，通过计算得出了答案。

这让我深刻意识到，对于等边三角形的理解，每个孩子都有自己独特的思维方式。

咱们先来说说等边三角形的定义。

等边三角形啊，就是三条边长度都相等的三角形，这三个角也都相等，都是 60 度。

就像一个完美平衡的“三角侠”，三条边和三个角都整整齐齐，谁也不欺负谁。

那怎么判断一个三角形是不是等边三角形呢？方法有好几种呢。

比如说，如果已知三条边的长度都相等，那它肯定就是等边三角形啦。

还有，如果三个角都相等，那也跑不了，它就是等边三角形。

在解题的时候，等边三角形常常会和其他的几何图形一起出现，给咱们出难题。

比如说，它可能会和直角三角形凑在一起，让咱们求边长或者面积。

这时候可别慌，咱们就抓住等边三角形的特点，一步步来分析。

再来说说等边三角形的性质。

它的三条高、三条中线、三条角平分线都是重合的，而且长度都相等。

这就好像等边三角形自带了一套“公平法则”，任何和它相关的线段都能被平等对待。

还有啊，等边三角形的面积计算也有小窍门。

如果知道了它的边长是 a ，那面积 S 就可以用公式 S ＝√3/4 × a² 来计算。

这个公式看起来有点复杂，但是多练习几次，也就不觉得难了。

说到这，我又想起之前给学生们布置的一次作业。

有一道题是这样的：一个等边三角形的面积是16√3 平方厘米，求它的边长。

结果有个同学愣是把公式记错了，算出了一个让人哭笑不得的答案。

从那以后，每次讲到等边三角形的面积计算，我都会把这个小“事故”拿出来说一说，提醒大家别再犯同样的错误。

等边三角形的培优等边三角形是初中数学中一个非常重要的几何图形，它具有独特的性质和广泛的应用。

在数学学习中，对于等边三角形的深入理解和掌握，对于提高学生的几何思维能力和解题能力有着至关重要的作用。

接下来，让我们一起深入探讨等边三角形的培优知识。

一、等边三角形的定义和性质等边三角形，又称正三角形，是指三边长度相等的三角形。

其性质如下：1、三条边相等：这是等边三角形最基本的特征，也是其名称的由来。

2、三个角相等，且均为 60°：由于三角形内角和为 180°，等边三角形的三个角相等，所以每个角都是 180°÷3 ＝ 60°。

3、三线合一：等边三角形的高线、中线、角平分线重合，这一性质在解决很多与等边三角形相关的问题时非常有用。

4、是轴对称图形：有三条对称轴，分别是三边的垂直平分线。

二、等边三角形的判定1、三边相等的三角形是等边三角形。

2、三个角都相等的三角形是等边三角形。

3、有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。

三、等边三角形中的重要线段1、高线等边三角形的高线同时也是中线和角平分线。

假设等边三角形的边长为 a，那么高线的长度可以通过勾股定理求得：h ＝√3a ／ 22、中线中线将等边三角形的对边平分，并且长度等于边长的一半。

3、角平分线角平分线将对应角平分，每个角的角平分线长度相等。

四、等边三角形的面积等边三角形的面积公式为：S ＝√3a² ／ 4其中 a 为等边三角形的边长。

五、等边三角形在几何证明中的应用1、证明线段相等在一个几何图形中，如果已知或能证明某个三角形是等边三角形，那么其三条边必然相等，可以利用这一性质证明其他线段相等。

2、证明角相等因为等边三角形的三个角都是 60°，所以可以通过证明一个三角形是等边三角形来得出角相等的结论。

3、构造全等三角形通过构造等边三角形，可以创造出更多的相等条件，从而有助于证明两个三角形全等。

特殊三角形专项训练（四）（人教版）一、单选题(共6道，每道16分)1.如图，已知等边三角形ABC，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FE⊥BC，垂足为E．若△ABC的边长为8，则BE=( )A.4B.5C.6D.7答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形2.如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE延长线于F，则DF的长为( )A.2B.4C.5D.6答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的判定和性质3.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别在AB，BC边上，且AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于G．下列结论：①AE=CD；②∠AFC=120°；③△ADF是等边三角形；④AF=2FG．其中一定正确的是( )A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形4.如图，M是Rt△ABC斜边AB上的中点，D是边BC延长线上一点，∠B=2∠D，AB=16cm，则线段CD的长为( )A.4cmB.8cmC.10cmD.12cm答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半5.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF交AB边于点F，交AC边于点E．若点D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为( )A.6B.8C.10D.12答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称—最值问题6.如图，AD是Rt△ABC斜边上的中线，把△ADC沿AD对折，点C落在点处，连接，则图中共有等腰三角形( )个．A.3B.4C.5D.6答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半。

第四章三角形第四节特殊三角形数学核心素养提升1.如图,用一根长为a cm的铁丝,首尾相接围成一个等边三角形.若要将它沿中心向外等距扩大1 cm,得到新的等边三角形,则这根铁丝需增加（）第1题图A. 6 cmB. 6 3 cmC. （a＋6） cmD. （a＋63） cm2.（2018绍兴）数学课上,张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC中,∠A＝110°,求∠B的度数.（答案：35°）例2 等腰三角形ABC中,∠A＝40°,求∠B的度数.（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中,∠A＝80°,求∠B的度数.（1）请你解答以上的变式题；（2）解（1）后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同,如果在等腰三角形ABC 中,设∠A＝x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.数学文化专练赵爽弦图赵爽,三国吴人,是我国历史上著名的数学家之一.他在注解《周髀算经》中给出的“赵爽弦图”证明了勾股定理的准确性,如图所示,四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形,中间空的是一个小正方形.通过对这个图形的切割、拼接,巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.证明方法如下：设直角三角形的三边中较短的直角边为a,另一直角边为b,斜边为c,朱实面积＝2ab,黄实面积＝（b－a）2＝b2－2ab＋a2,朱实面积＋黄实面积＝a2＋b2＝大正方形面积＝c2.3.（2019咸宁）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是（）《数书九章》《数书九章》是中国古代数学著作,由南宋数学家秦九韶所著.书中共列算题81问,分为9类.全书采用问题集的形式,并不按数学方法来分类,题文也不只谈数学,还涉及自然现象和社会生活,成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献.该书在数学内容上颇多创新,是对《九章算术》的继承和发展,它概括了宋元时期数学的主要成就,标志着中国古代数学的高峰.4.（2018长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位,1里＝500米,则该沙田的面积为（）A. 7.5平方千米B. 15平方千米C. 75平方千米D. 750平方千米5.（2019郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等．．的三角形,如图所示,已知∠A＝90°,BD＝4,CF＝6,则正方形ADOF的边长是（）第5题图A. 2B. 2C. 3D. 4参考答案中考试题中的核心素养1．B 【解析】以原三角形的一个顶点向扩大后的三角形的对应边作垂直线,并连接对应点,如解图,则可知AC ＝1 cm,∠ABC ＝30°,∴BC ＝ 3 cm.∴各边都增加了2 3 cm,∴这根铁丝需增加3×23＝6 3 cm.第1题解图2．解：(1)∠B ＝20°或50°或80°；(2)当0<x<90且x ≠60时,∠B 有三个不同的度数．3．B4．A 【解析】∵52＋122＝132,∴该沙田为直角三角形沙田,又∵5里＝5×500米＝2500米＝2.5千米,12里＝12×500米＝6000米＝6千米,∴S △ABC ＝12×6×2.5＝7.5平方千米． 5．B 【解析】设正方形ADOF 的边长为x,则AB ＝x ＋4,AC ＝x ＋6.∵△BOD ≌△BOE,∴BE ＝BD ＝4.∵△COE ≌△COF,∴CE ＝CF ＝6.∴BC ＝BE ＋CE ＝4＋6＝10.∵∠A ＝90°,∴AB 2＋AC 2＝BC 2.∴(x ＋4)2＋(x ＋6)2＝102.解得x 1＝2,x 2＝－12(舍去)．∴正方形ADOF 的边长为2.。

特殊三角形单元培优卷一、选择题（每题3分，共30分）1．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）A．9 B．7C．12 D．9或122．如图，等边△ABC的边长为4，点E是边AB的中点，且BE=CF，则CD的长为（ ）第2题图第4题图第5题图A．4B．3C．2D．1 3．在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为4，AC边的长度可以，1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（ ）.A．3个B．4个C．5个D．6个4．如图，△ABC的面积为6，AB=5，AD平分∠BAC．若E，F分别是AC，AD上的动点，则FE+FC的最小值（ ）A．245B．125C．52D．35．如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，BP=AQ=4，QD=3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（ ）A．7B．8C．10D．12 6．如图：点C在AB上，△DAC、△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M，N，则下列结论①AE=DB，②CM=CN，③△CMN为等边三角形，④MN//BC.正确的有个．（ ）第6题图第7题图第8题图A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4.若已知AC×BC=12，则S1+S2+S3+S4的值为（ ）A．18B．24C．25D．36 8．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90∘；②∠ADE=∠CDE；③DE=BE；④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（ ）A．①②④B．①②③C．③④D．①③9．如图，已知∠AOB=120°，点D是∠AOB的平分线上的一上定点，点E，F分别在射线OA和射线OB上，且∠EDF=60°.下列结论：①△DEF是等边三角形；②四边形DEOF的面积是一个定值；①当DE⊥OA时，△DEF的周长最小；④当DE∥OB时，DF也平行于OA. 其中正确的个数是（ ）第9题图第10题图A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，任意画一个∠A=60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，以下结论：①∠BPC=120°；②AP平分∠BAC；③AP=PC；④BD+CE=BC；⑤SΔPBA：SΔPCA=AB：AC，正确的有（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题（每题4分，共24分）11．如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为 .第11题图第13题图第14题图12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为52°，则该三角形的底角的度数为 .13．如图，在△ACD中，∠ACD=90°，∠A=30°，AC=b，CD=a，以C为圆心，CD为半径画弧，交斜边AD于点B，AB=c，则下列说法正确的是 .(填序号)①△BCD是等边三角形，②a+c<b，③a=c，④b=2a14．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=55°，M，N分别是边BC，CD上的动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN= °．15．如图，在△ABC中，AH是高，AE//BC，AB=AE，在AB边上取点D，连接DE，DE=AC，若S△ABC=5S△ADE，BH=1，则BC= ．第15题图第16题图16．如图，有一直角三角形纸片ABC，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，CD⊥AB于点D．F，G分别是线段AD，BD上的点，H，Ⅰ分别是线段AC，BC上的点，沿HF，GI折叠，使点A，B恰好都落在线段CD上的点E处．当FG=EG时，AF的长是 ．三、综合题（17-19每题6分，20-21题每题8分，22题12分，共46分）17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求：（1）△ABC的周长；（2）△ABC是否是直角三角形？为什么？18．在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.（1）求证：BE=BF；（2）若∠CAE=30°，求∠ACF度数.19．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC.（1）求证：AE＝AD；（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数.20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=8，BC=6，E，F分别是直线AC，AB上的动点，连结EF.（1）求CD的长.（2）若点E在边AC上，且3AE=2CE，EF⊥AC，求证：CF平分∠ACD.（3）是否存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等?若不存在，请说明理由；若存在，求出所有符合条件的DF的长.21．在△ABC中，∠B=40°，∠ACB=110°，D为边BC延长线上一点，连接AD．（1）如图1，当∠D=∠B时，求证：AB=CD；（2）如图2，当∠D=2∠B时，求证：AB=AD+CD；、（3）如图3，当AB=CD时，求证：∠D=∠B．22．概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.（1）理解概念如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”（2）概念应用如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°.求证：CD为△ABC的等角分割线.（3）在△ABC中，∠A=42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数.答案解析部分1-5．【答案】CDCBC6-10．【答案】DAACB11．【答案】6412．【答案】71°或19°13．【答案】①③14．【答案】7015．【答案】5216．【答案】2517．【答案】（1）解：∵AD⊥BC，AD＝12，BD＝16∴AB= AD2+BD2=122+162=20同理：AC= AD2+CD2=122+52=13∴△ABC的周长为AC+BC+AB=AC+BD+DC+AB=13+16+5+20=54；（2）解：∵BC2=（BD+DC）2=212=441，AB2=202=400，AC2=132=169 ∴BC2≠AB2+ AC2∴△ABC不是直角三角形．18．【答案】（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中{AE=CFAB=BC，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)，∴BE=BF.（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，又∵∠BAE=∠CAB−∠CAE=45°−30°=15°，由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°.19．【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC即：∠BAE＝∠CAD在△ABE 和△ACD 中{∠ABD =∠ACD AB =AC ∠BAE =∠CAD，∴△ABE ≌△ACD （ASA ），∴AE ＝AD ；（2）解：∵∠ACB ＝65°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝65°，∴∠BAC ＝180°﹣∠ABC ﹣∠ACB ＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∵∠ABD ＝∠ACD ，∠AOB ＝∠COD ，∴∠BDC ＝∠BAC ＝50°.20．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB =62+82=10.∵CD ⊥AB 于点D ，∴S △ABC =12AC·BC =12AB·CD ，∴ 10CD=6×8，即CD =245.（2）解：如图1，∵3AE=2CE ，AC=8，CD =245，∴CE =35×8=245，即CE=CD.∵CD ⊥AB ，EF ⊥AC ，∴∠CDF=∠CEF=90°.∵CF=CF ，∴△CEF ≌△CDF(HL)，∴∠ECF=∠DCF ，∴CF平分∠ACD.（3）解：存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等.由题意，以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等，CF是公共边，有四种情形：①如图2，若点E，F在线段AC，AD上.当CE=CD，∠CDF=∠CEF=90°时，∵CF=CF，∴△CEF≌△CDF，∴CE=CD=245，AE=8−245=165.∵EF=FD，EF2+AE2=AF2，∴FD2+(165)2=(325−FD)2，∴FD=125.②如图3，若点E，F在射线AC，AB上.同①可得△CEF≌△CDF，∴CE=CD=245，AE=8+245=645.∵EF=FD，EF2+AE2=AF2，∴FD2+(645)2=(FD+325)2，∴FD=485.③如图4，若点E在线段AC上，点F在线段BD上.当EF=CD，∠CDF=∠CEF=90°时，∵CF=CF，∴△CEF≅△FDC，∴EF=CD=245，CE=FD.∵E F2+A E2=A F2，∴(245)2+(8−FD)2=(325+FD)2，∴FD=85.④如图5，若点E在射线CA上，点F在射线BA上.当EF=CD，∠CDF=∠CEF=90°时，∵CF=CF，∴△CEF≅△FDC，此时△ACD≅△AFE，∴FD=AF+AD=AC+AD=8+325=725.综上，所有符合条件的DF的长是85，125，485，725.21．【答案】（1）证明：∵∠ACB=110°，∴∠ACD=180°−∠ACB=70°，∵∠D=∠B=40°，∴AB=AD，∠CAD=180°−∠D−∠ACD=70°，∴∠ACD=∠CAD，∴CD=AD，∴AB=CD；（2）证明：如图所示，在AB上截取一点E使得AE=AD，连接CE，∵∠ACB=110°，∴∠ACD=180°−∠ACB=70°，∵∠D=2∠B=80°，∴∠CAD=180°−∠ACD−∠ADC=30°，∵∠BAC=180°−∠B−∠ACB=30°，∴∠CAE=∠CAD，又∵AE=AD，AC=AC，∴△CAE≌△CAD(SAS)，∴CD=CE，∠AEC=∠D，∵∠AEC=∠D=2∠B=∠B+∠BCE，∴∠B=∠BCE，∴BE=CE，∴BE=CD，∵AB=AE+BE∴AB=AD+CD；（3）证明：如图所示，在射线CD上取一点H，使得AB=AH，连接AH，∴∠B=∠AHB由（1）同理可证明AB=CH，又∵AB=CD，∴CH=CD，∴点H和点D重合，∴∠B=∠ADB．22．【答案】（1）解：△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；（2）证明：∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°∴∠ACB=180°−∠A−∠B=80°∵CD为角平分线，∠ACB=40°，∴∠ACD=∠DCB=12∴∠ACD=∠A，∠DCB=∠A，∴CD=DA，∵在△DBC中，∠DCB=40°，∠B=60°，∴∠BDC=180°−∠DCB−∠B=80°，∴∠BDC=∠ACB，∵CD=DA，∠BDC=∠ACB，∠DCB=∠A，∠B=∠B，∴CD为△ABC的等角分割线；（3）解：∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°.。

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题等边三角形大题专练〔重难点培优〕姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________考前须知：本试卷总分值试题共24题．解答24道..答卷前，考生务必用毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、解答题〔本大题共24题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕1．〔2021秋•包河区期末〕在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．〔1〕如图1，假设∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；〔2〕如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．①补全图2；②假设BN＝DN，求证：MB＝MN．2．〔2021秋•湖里区校级期中〕在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC．〔1〕如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD；〔2〕如图2，假设AB＝12，AE＝2，求CD的长．3．〔2021秋•和平区期中〕△ABC为等腰三角形，AC＝BC，△ACE为等边三角形．〔1〕如图①，假设∠ABC＝70°，那么∠CAB的大小＝70〔度〕，∠EAB的大小＝10〔度〕；〔2〕如图②，△BDC为等边三角形，AE与BD相交于点F，求证F A＝FB．4．〔2021春•广丰区期末〕在同一平面内，将两块正三角形的纸板的两个顶点重合在一起．〔1〕如图1重叠局部∠AOD＝30°，求∠COB的大小；〔2〕如图2重叠局部∠AOD＝15°，求∠COB的大小；〔3〕如图3，假设两图形除O外没有重叠，∠AOD＝10°，求∠COB的大小；〔4〕求∠AOD和∠COB的数量关系．5．〔2021春•松江区期末〕如图，在等边△ABC中，点E在直线AB上〔不与点A、B重合〕，点D在直线BC上，且ED＝EC．〔1〕假设点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；〔2〕假设△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．6．〔2021秋•永安市期末〕，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．〔1〕如图1，假设∠1＝50°，求∠2；〔2〕如图2，连接DF，假设∠1＝∠3，求证：DF∥BC．7．〔2021秋•肥东县期末〕如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点G在边BC上，EG 交AD于点F，BE＝BG＝6cm，∠BEG＝60°，EF＝2cm．〔1〕求∠DFG的度数．〔2〕求BC的长度．8．〔2021秋•中原区校级期末〕等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h．〔1〕假设点P在一边BC上[如图①]，此时h3＝0，求证：h1+h2+h3＝h；〔2〕当点P在△ABC内[如图②]，以及点P在△ABC外[如图③]这两种情况时，上述结论是否成立？假设成立，请予以证明；假设不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系，请说出你的猜测，并说明理由．9．〔2021秋•临渭区期末〕如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF ＝60°．〔1〕假设∠1＝50°，求∠2；〔2〕连接DF，假设DF∥BC，求证：∠1＝∠3．10．〔2021春•赫章县期末〕如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1．〔1〕求证：AD＝BE；〔2〕求AD的长．11．〔2021秋•越秀区校级期中〕等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝DC，∠MDN＝60°，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N，①当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系．②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜测①中的结论还成立吗？假设成立，请证明．③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系．12．〔2021秋•长汀县期中〕如图，△ABC、△ADE是等边三角形，B、C、D在同一直线上．求证：〔1〕CE＝AC+DC；〔2〕∠ECD＝60°．13．〔2021秋•巴南区期末〕如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC的延长线上，且DB⊥AB，DE⊥BE，点F是AB的中点．〔1〕求证：BC＝2CE；〔2〕假设AE＝5，求EF的长．14．〔2021秋•延平区期中〕如图，△ABC是等边三角形，点D在BC上，△ADE是等腰三角形，AD＝AE，∠DAE＝100°，当DE⊥AC时，求∠BAD和∠EDC的度数．15．〔2021春•锦江区校级期中〕如图，等边三角形ABD中，点C在BD的延长线上，DE与AC交于点F，且满足AD＝DE，连接AE．〔1〕假设∠ADF＝70°，∠EAF＝35°，判断△ADF的形状，并说明理由；〔2〕假设∠BDE＝2∠EAF．①求∠AFD的大小；②连接FB，那么F A，FB，FD满足怎样的数量关系？并说明理由．16．〔2021春•历下区期中〕〔1〕方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法〔如图2〕，①延长AD到M，使得DM＝AD；②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是2＜AD＜8；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法〞．“倍长中线法〞多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．〔2〕请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．〔3〕深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用〔2〕的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．17．〔2021春•崇州市期中〕如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6厘米，点D从点A开始以1厘米/秒的速度向点C运动，点E从点C开始以2厘米/秒的速度向点B运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒；过点E作EF∥AC交AB于点F；〔1〕当t为何值时，△DEC为等边三角形？〔2〕当t为何值时，△DEC为直角三角形？〔3〕求证：DC＝EF．18．〔2021秋•垦利区期中〕如图，点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H．〔1〕求证：△BCE≌△ACD；〔2〕求证：FH∥BD．19．〔2021秋•肥西县期末〕如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，连接AD、BE，且AD、BE相交于点P，∠AEB＝∠CDA．〔1〕求∠BPD的度数．〔2〕过点B作BQ⊥AD于Q，假设PQ＝3，PE＝1，求BE的长．20．〔2021秋•涪城区校级期末〕如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t〔s〕．〔1〕当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？〔2〕当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？假设存在，请求出此时点M，N运动的时间；假设不存在，请说明理由．21．〔2021秋•靖江市校级期中〕〔1〕如图1，在四边形ABCD中，DA＝DC，∠A＝60°，∠ADC＝150°，∠DCB＝120°，点E在AB上，点F在BC上，DC⊥DE，∠CDF＝15°．求证：EF＝AE+CF．〔2〕如图2，在四边形ABCD中，∠ADC≠90°，DA＝DC，∠A+∠C＝180°，点E在AB上，点F在BC上，∠ADC＝2∠EDF，试问〔1〕中的结论是否仍然成立，并说明理由．22．〔2021秋•盐都区期末〕在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，BC＝10，CD＝6．〔1〕连接BD，试判断△ABD的形状，并说明理由；〔2〕求∠ADC的度数．23．〔2021秋•渑池县期末〕在等边△ABC中，〔1〕如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；〔2〕点P，Q是BC边上的两个动点〔不与B，C重合〕，点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②求证：P A＝PM．24〔2021秋•洮北区期末〕在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB 于点E．〔1〕如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；〔2〕点M是线段CD上的一点〔不与点C，D重合〕，以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；〔3〕如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．。