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运筹学 02 线性规划续

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管理运筹学第二章 线性规划的图解法

管理运筹学第二章 线性规划的图解法

B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）

-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0

运筹学线性规划图解法

运筹学线性规划图解法
j =1
证明：线性规划 max z =CX s.t. AX=b X≥0 设x(1)≠x(2)为D内任取两点，则Ax(1)=b,Ax(2)=b,x(1) ≥ 0, x(2) ≥ 0,令x为线段x(1) ,x(2)上任一点,既有 x=μx(1)+(1-μ)x(2) (0≤μ≤1) 则 Ax=A[μx(1) + (1-μ) x(2)] (0≤μ≤1) =μAx(1)+Ax(2)-μAx(2) =μb+b–μb=b 又因为 x(1) ≥ 0, x(2) ≥ 0, 0≤μ≤1 所以 x ≥ 0 即 x∈D 证毕
x2 x1+2x2=8
4x2=12
线段Q1Q2上的任意点都是最优解
Q1
Q2 x1
3x1=12
x2 •无可行解 例3：
maxz = 3x1 + 2x2 2x1 + x2 ≤ 2 s.t 3x1 + 4x2 ≥ 12 x , x ≥ 0 1 2
约束条件围不成区域 (又称矛盾方程) x1
•无有限最优解(无界解) 例4：
图解法得出线性规划问题解的几种情况
解的几种情况约束条件图形特点 唯一解 一般围成有限区域,最优值 只在一个顶点达到 无穷多解 在围成的区域边界上,至少 有两个顶点处达到最优值 无可行解 (无 围不成区域 解) 无界解(无解) 围成无界区域 , 且无有限 最优值 方程特点
目标和某一约束 方程成比例 有矛盾方程 缺少一必要条件 的方程
•有唯一解 例1： max z=2x1+ 3x2 s.t. x1+2x2≤8 4x1≤16 x1,x2≥0 画图步骤： 画图步骤 1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值 x2

运筹学 第二章 线性规划课件

运筹学 第二章 线性规划课件

ij m n
1
m
则模型可表示为
Maxz CX
s .t
.
AX X
0
b
2020/11/9
运筹学 第二章 线性规划
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 428.0000
VARIABLE VALUE X1 20.000000 X2 24.000000
A
B
CD
0.1
0
0.1 0.2
0
0.1
0.2 0.1
0.4
0.6
2.0 1.7
试决定买M与N二种饲料各多少公斤而使支出的总费用为 最少？
运筹学 第二章 线性规划
2020/11/9
解：设购买M、N饲料各为 x , x ，则
1
2
M 1 i x 1 n 0 4 x 2 z
0.1x1 0 x 2 0.4
第二章 线性规划（Linear Programming）
第一节 线性规划的模型与图解法 第二节 单纯形法 第三节 对偶问题与灵敏度分析 第四节 运输问题 第五节 线性整数规划
2020/11/9
运筹学 第二章 线性规划
第一节 线性规划的模型与图解法
一、线性规划问题及其数学模型
在生产管理和经营活动中经常需要解决：如何 合理地利用有限的资源，以得到最大的效益。
2020/11/9
运筹学 第二章 线性规划
2020/11/9
例1 某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗 煤、电、油三种资源。现将有关数据列表如下：
资源单耗 产 品
资源 煤 电 油
单位产品价格
甲乙

管理运筹学_第二章_线性规划的图解法

管理运筹学_第二章_线性规划的图解法

线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的

运筹学课件 第二章线性规划

运筹学课件 第二章线性规划

2020/11/23
广东工业大学管理学院
10
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
投资问题：如何从不同的投资项目中选出一个投资方案， 使得投资的回报达到最大。
甲
乙
丙
A B C 加工费
x11 60%以上 x12 20%以下 x13 0.50
x21 15%以上 x22 60%以下 x23 0.40
x31 x32 50%以下 x33 0.30
售价
3.40
2.85
2.25
原料成本 2.00 1.50 1.00
限制用量 2000 2500 1200
设该厂每月生产甲品牌糖果(x11 x12 x13)千克，其中用原料A x11千克，用原料B x12千克，用原料C x13千克; 生产乙品牌糖果(x21 x22 x23)千克，其中用原料A x21千克，用原料B x22千克，用原料C x23千克; 生产丙品牌糖果(x31 x32 x33)千克，其中用原料A x31千克，用原料B x32千克，用原料C x33千克。
设一共植了y棵树，男生中有x1人挖坑, x2人栽树, x3人浇水； 女生中有x4人挖坑, x5人栽树, x6人浇水.
max z y
20x1 10x4 y 0 30x2 20x5 y 0
s.t.
25x3
x1
x2
15x6 x3
y 30
0
x4
x5
x6
20
x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , y 0
松弛变量
xs 2 (2x1 3x2 x3)

运筹学—线性规划第2章

运筹学—线性规划第2章

• 解：此问题的可行域如上图，是一个无界的 多边形。但 极大化目标函数却以1为上界。因此这个线性规划问题没有无 界解，而且事实上，此问题目标函数最优值max f=1在可行域 射线 x1 x2 1 上均可达到。
三. 基、基本可行解
定义6：对于约束条件Ax=b，设A是秩m的mｘn矩阵，用(Pj, j=1 ~n) 表示A的第j列向量。即A=( p1.... pn )。由A的m个列向量构成 的m阶方阵 B=( p j1 , p j2 ... p jm )
定义13：如果 x=(x1…xn)T,y=(y1…yn)T是Rn中任意两点，定义
z x (1 ) y,( 0,1)
z (z1, z2 ,...zn )T 的点
所构成的集合为以x,y为端点的线段，对应 0, 1 的
点 x, y叫做这线段的端点，而对应 0 1 的点叫做这线
段的内点。
• 若B是非奇异的，即detB‡0，则称B为一个基或称为一个基矩阵。
• 因为SLP问题中含有约束条件Ax=b，因此也通常称B为线性规划SLP 的一个基。
•由上面定义可知，B中m个列向量是线性无关的，并且它是 A的列向量组的一个最大无关组。
•按定义，A中m个列向量，只要是线性无关的就可以构成一
个基。
p2
1 2
不在这个基中，所以x1,
x2为非基变量。
•定义8 ：设Ax=b, x 0一个基B p j 1...p jm ，其对应的基变
量构成的m维列向量记为xB (x j1...x jm )T
这时若取非基
• 变量等于0，则 Ax=bBxB=b,得唯一解xB=B-1b.记为
于是得到方程组BAx1b=b的(b一1 ..个.bm解)T： 非基变量 x j 0,( j 1,2....n,i j1, jm

运筹学 第二章线性规划 第三讲 单纯形法

1 -2 4 2
[1] 1 2 -1↑
1 0 0 0
1 0 0 0
1 -1 -2 1
0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
5→ 6 21
5 1 11
5 6 21/2
表中λj≥0( j=1,2,…,5), 所以最优解为X=(0,5,0,1,11 )T , 最 优值 Z=2x1－2x2－x4=－2×5－1=－11。
大值，因此原问题只要有可行解，新的线性规划问
题的最优解中人工变量的取值一定为0， 这种方
法称为大M单纯形法（简称大M法）。
2.5 单纯形法 Simplex Method
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
大M法中加入人工变量后新的线性规划问题为
max Z’=c1x1+c2x2+…+cnxn –Mxn+1 – … –Mxn+m
【解】首先将数学模型化为标准形式
2.5 单纯形法 Simplex Method
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
max Z 3x1 2 x 2 x3
式中x4，x5为松弛变量，x5可 4 x1 3x 2 x3 x 4 4 作为一个基变量，第一、三 x x 2 x x 10 约束中分别加入人工变量x6 、 1 2 3 5 x7 ， 目 标 函 数 中 加 入 2 x1 2 x 2 x3 1 ―Mx6―Mx7一项，得到人工 x j 0, j 1,2,,5 变量单纯形法数学模型
0 0 1
Z＝2 x1 2 x2 (6 x1 x2 ) 6 x1 x2

《管理运筹学》02-1线性规划的数学模型及相关概念


03 线性规划的求解方法
单纯形法
1
单纯形法是一种求解线性规划问题的经典算法， 其基本思想是通过不断迭代来寻找最优解。
2
单纯形法的基本步骤包括：建立初始单纯形表格、 确定主元、进行基变换、更新单纯形表格和判断 是否达到最优解。
3
单纯形法在处理大规模线性规划问题时，由于其 迭代次数与问题规模呈指数关系，因此计算量较 大。
06 线性规划的案例分析
生产计划问题
总结词
生产计划问题是一个常见的线性规划应用场景，通过合理安排生产计划，企业可以优化资源利用，降低成本并提 高利润。
详细描述
生产计划问题通常涉及确定不同产品组合、生产数量、生产批次等，以满足市场需求、资源限制和利润目标。线 性规划模型可以帮助企业找到最优的生产计划，使得总成本最低或总利润最大。
最优性条件由单纯形法推导得出，是判断线性规划问题是否达到最优解的 重要依据。
解的稳定性
解的稳定性是指最优解在参数变化时保持相对稳定的能力。
在实际应用中，由于数据的不确定性或误差，参数可能会发生变化。因此，解的稳 定性对于线性规划问题的实际应用非常重要。
解的稳定性取决于目标函数和约束条件的性质，以及求解算法的鲁棒性。在某些情 况下，可以通过敏感性分析来评估解对参数变化的敏感性。
输标02入题
决策变量是问题中需要求解的未知数，通常表示为 $x_1, x_2, ldots, x_n$。
01
03
目标函数是需要最大或最小化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是问题中给定的限制条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$ 或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。

运筹学--第2节(线性规划-标准型)

一、问题的提出 二、线性规划数学模型的一般形式 三、线性规划数学模型的标准形式
分析和表述问题
目 例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造标一件时
分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工
序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利：情况如 表 的I利—润l所为示最。大问。该公司应制造A、B两种家电各多少件，利使获取
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
x11 +x12+x13 50 x21+x22+x23 30 x31+x32+x33 10
x11 +x21+x31 = 40 x12 +x22+x32 = 15 x13 +x23+x33 = 35
假设：利润——Z
家电I的数量——x1
家电II的数量——x2
分析和表述问题
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造一件时 分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工 序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况如 表I—l所示。问该公司每天应制造I、II两种家电各多少件，使 获取的利润为最大。
x1 , x2 , x4 , … , x7 0
练习
补充作业、运输问题
从仓库到工厂运送单位原材料的成本，工厂对原
材料的需求量，仓库目前库存分别如表所示，求成本 最低的运输方案。
工厂 仓库
1 2 3 需求
1 2 3 库存
213
50
224

运筹学基础-线性规划(2)


四、线性规划问题的标准形式
线性规划问题的数学； 约束条件有“≤”、“≥”和“＝”三种情况； 决策变量一般有非负性要求，有的则没有。
为了求解方便，特规定一种线性规划的标准形式，非标
准型可以转化为标准型计算
（一）线性规划的标准形式
线性规划的标准形式为： 目标函数最大化 maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn a 约束条件为等式， 11x1+a12x2+…+a1nxn ＝b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ＝b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn＝bm 右端常数项 决策变量非负 bi≥0 x1,x2,…,xn ≥0
S.t.
（2）maxZ’= - 6 x1 -7 x2 + x’3－ x’’3 +0 x4 + 0 x5 + 0 x6+ 0 x7
S.t.
五、线性规划解的概念
在讨论线性规划问题的求解之前,先要了解线性规划问 题的解的概念。由前面讨论可知线性规划问题的标准型为：
Max Z
j 1 n a ij x j b j (i 1,2, , m) j 1 x j 0 ( j 1,2, , n)
=- x1 + 8 求解 x4 = -2x2 + 12 x5= -3x1 -4 x2+ 36 令非基变量x1=x2=0，得到x3=8，x4=12，x5=36。 得基解 X=(0,0,8,12,36)T
（二）标准型的表达方式
线性规划标准型的表达方式有代数式、矩阵式两种：
1. 代数式 maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn ＝b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ＝b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn＝bm x1,x2,…,xn ≥0 maxZ=
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2.
构造数学模型
我们进行检验，先假设存在其他的决策单元组合的产出不 j0 j0 低于 而且投入尽可能的比 小，构造数学模型如下：
min
n j y rj y rj 0 (r 1,2, , s ) j 1 n s.t. j xij xij 0 (i 1,2, , m) j 1 n j 1, j 0( j 1,2, , n) j 1
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修正单纯形法简介
修正单纯形法要点：
寻求初始可行解，方法与单纯形法相同。 其迭代过程如下：


确定换入变量，方法与单纯形法相同。 确定换出变量，方法与单纯形法相同。 确定新的基可行解： 首先导出B-1 然后计算XB= B-1 b 迭代终止原则与单纯形法相同。
第二节
第一节
单纯形法的矩阵描述 及改进单纯形法介绍
单纯形法的矩阵描述
继续
改进单纯形法介绍
返回
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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单纯形法的矩阵描述
设线性规划问题
不妨设基为
max z CX s.t AX b X 0
则
返回
B P1 P2 Pm A ( P1 P2 Pn ) ( B N ) X (XB XN ) C (CB CN )
令
XN 0
得当前的目标函数值为：
~ 1 z0 CBb CB B b
当前目标值
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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单纯形法的矩阵描述
检验数 ~ N C N CB N
~ ~ (Cm1 Cn ) (C1 Cm )( Pm1 Pn ) ~ n 1 Cm1 C B Pm1 当前检验数 ~ n Cn C B Pn
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3、计算步骤
例、解下列线性规划问题：
min 2 x1 3x2 - x3 s.t. x1 x2 x3 10 2 x1 x2 2 x3 8 0 x1 4 0 x2 4 1 x3 2
第三节
可分解的 大规模线性规划
学生讨论报告
返回
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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线性规划应用 －－－数据包络分析法
数据包络分析法（Data Envelopment Analysis, 简称 DEA），是著名运筹学家 A.Charnes和W.W.Copper等 学者以“相对效率”概念为基础，以凸分析和线 性规划为工具，根据多指标投入和多指标产出对 相同类型的单位（部门）进行相对有效性或效益 评价的一种新的系统分析方法。它是处理多目标 决策问题的好方法。
矩阵单纯形法计算的描述
当基变量为 X B 时，新的单纯形表
基变量 非基变量
CB
X B B 1b cj zj
当前基解
XB I 0
XN Xs B 1 N B C N CB B 1 N CB B 1
当前检验数
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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变量有界的 大规模线性规划
返回
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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1、基本可行解概念的推广
考虑线性规划问题：
min s.t
z CX AX b l X u
A为m*n,秩为m
基本解X(0) ：X(0)为AX=b的一个解，其中m个分量对应A 的列线性无关，其余n-m个分量取上界或下界值。 基本可行解X(0) ：基本解X(0) 中m个基变量的值介于上下 界之间。
j
x j ( x1 j , x2 j ,, xmj )T 0, y j ( y1 j , y2 j ,, ysj )T 0,
j 1,2,, n
而且 xij 0, yrj 0, i 1,2,, m; r 1,2,, s 即每个决策单元都有m种类型的输入以及s种类型的输出
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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讨论最优性条件
设x是线性规划（LP）的一个基本可行解，若
对每个取下界值的非基变量，有
zj cj 0
对每个取上界值的非基变量，有
zj cj 0
则x是最优解。
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
非基变量
基变量
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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单纯形法的矩阵描述
约束方程组 XB AX b ( B N ) X N BX B NX N b
1
~ ~ X B B (b NX N ) b NX N ~ ~ 1 其中 b B b, N B1N
令
XN 0
~ 1 XB b B b
得当前的基解为： 当前基解
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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单纯形法的矩阵描述
目标函数 XB z (C B C N ) C B X B C N X N X N 1 1 C B B b (C N C B B N ) X N ~ ~ C B b (C N C B N ) X N
因此，我们假设该决策单元的第i项投入为

j 1 n j 1
n
j
xij (i 1,2,, m)
返回
产出为 j y rj (r 1,2,, s)
且 j
j 1
n
1( j 0)
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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修正单纯形法简介
有关公式：
确定新的换入变量
1
j c j CB B Pj c j Pj
其中 C B B 1 单纯形乘子（行向量） ~ ~ 1 1 Pk B Pk , b B b i
确定新的换出变量
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
xij 为第j个决策单元对第i种类型输入的投入量；
y rj 为第j个决策单元对第r种类型输出的产出量。
这些都是已知的数据。
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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DEA步骤
1.
假设
现在，我们是要最优化这些决策单元，那么我们假设 一个假想决策单元 j0 满足产出最大，同时投入最小。在此 基础上，我们来判断 j0 是否真的满足该条件。
推广基本可行解集与可行域凸集K的极点集等价
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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2、基本可行解的改进
设X(0)是一个基本可行解
xB ( 0) B 1b B 1 N l B 1 N u 1 N1 2 N2 (0) （0） X x N1 l N1 (0) uN2 xN 2 令c c B , cN1 , c N 2 ) （
特点：
1. 2.
具有一定的输入和输出 在将输入转换成输出的过程中，努力实现自身的决策 目标。
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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重要概念
决策单元的相对有效性
评价的依据是决策单元的“输入”和“ 输出”数据，根据输入和输出数据来评价决 策单元的优劣。 决策单元的相对有效性（即决策单元的 优劣）被称为DEA有效，它用数学规划模型 计算比较决策单元之间的相对效率，为评价 对象作出评价。
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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DEA步骤
1.
假设
设某个DMU的输入向量为 x ( x , x ,x )T , 1 2 m T。 输出向量为 y ( y , y , y ) 1 2 s 则n个 DMU （ 1 j n ）对应的输入、输出向量分别为：
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修正单纯形法简介
修正单纯形法的优点：
能够从问题的原来参数（A，b，C），
计算出单纯形表中所有的数据，只要导 B 1即可。 出 单纯形表中的任一数字，只要作部分的 矩阵乘法即可获得。
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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换入变量？
max max z j c j , max ( z j c j ) 0 xk jR jR2 1
换出变量？
若k R1 , 令xk lk k， k 非负，且要保证解的可行性， 即 k 必须满足下列条件： （1）保持xB不越下界； （2）保持xB不越上界； （3）保持xk 不越上界。
修正单纯形法简介
原因：
单纯形法的目的是要求问题的最优解， 而在迭代过程中，单纯形表中的某些列与 求最优解关系不大。因此，对单纯形法进 行修正。
思路：
~ ~ 每次迭代关键求出 B , Pk b , Pk , j ,i
1
需要换入的变量对应的列
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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