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2015年高考模拟试题(一)理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。
共50分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，若21mii-+为纯虚数，则实数m 的值为 A ．2B ．2-C ．12D ．12-2．设集合{}{}22430,log 1,M x x x N x x M N =-+≤=≤⋃=则A ．[]1,2B ．[)1,2C ．[]0,3D ．(]0,33．若0a b <<，则下列结论中正确的是 A ．22a b <B ．2ab b <C ．1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2b aa b+> 4．已知()()F x f x x =-是偶函数，且()()212f f =-=，则 A ．4B ．2C ．3-D ．4-5．执行右面的程序框图，若输入7,6x y ==，则输出的有序数对为 A ．（11，12）B ．（12，13）C ．（13，14）D ．（13，12）6．已知()xf x e x =-，命题()(),0p x R f x ∀∈>：，则 A ．p 是真命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈< B ．p 是真命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈≤ C ．p 是假命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈< D ．p 是假命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈≤7．若()()sin 2f x x θ=+，则“()f x 的图象关于3x π=对称”是“6πθ=-”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．已知函数()()()()()()22,log ,ln xf x xg x x xh x x x f a g b h c =+=+=+==，若0=，则 A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．a c b <<9．设平面区域D 是由双曲线2214x y -=的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形区域（含边界），若点(),x y D ∈，则211y x x -++的取值范围是A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．若对于定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“~λ特征函数”.下列结论中正确的个数为 ①()0f x =是常数函数中唯一的“~λ特征函数”；②()21f x x =+不是“~λ特征函数”； ③“13~λ特征函数”至少有一个零点；④()x f x e =是一个“~λ特征函数”. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上. 11．已知向量与满足()2,a b a b b ==-⊥，则a 与b 的夹角为_________.12．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有______种.13．直线1ax =与圆221x y +=相交于B A ,两点（其中a ，b 是实数），且AOB ∆是直角三角形（O 是坐标原点），则点(),P a b 与点（1，0）之间距离的最小值为_______. 14．已知()()0sin n f n nx dx π=⎰，若对于()()(),1231R f f f n x x ∀∈++⋅⋅⋅+<++-恒成立，则正整数n的最大值为___________.15．已知点D C B A ,,,均在球O的球面上，1,AB BC AC ==，若三棱锥D ABC -体积的最大值是14，则球O 的表面积为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知函数()2cos sin 6f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为(),,1,sin 2sin a b c f C B A ==，若，且ABC ∆的面积为求c 的值.17．（本小题满分12分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[]0,100，样本数据分组为[)[)0,20,20,40，[)[)[]40,60,60,80,80,100.（1）求直方图中x 的值；（2）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率） 18．（本小题满分12分）一个楔子形状几何体的直观图如图所示，其底面ABCD 为一个矩形，其中4,6==AD AB ，顶部线段EF //平面ABCD ，棱FC FB ED EA ====二面角F BC A --.设N M ,分别是BC AD ,的中点.（1）证明：平面EFNM ⊥平面ABCD ；（2）求直线BF 与平面EFCD 所成角的正弦值. 19．（本小题满分12分）已知{}n a 满足()()121n n na n a n N *+=+∈，且13,1,4a a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 满足()sin n n n b a S π=，为数列{}n b 的前n 项和， 求证：对任意,2n n N S π*∈<+. 20．（本小题满分13分） 已知函数()()2ln 1f x ax x =++.（1）当14a =-时，求函数()f x 的极值； （2）当[)0,x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在0,x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围. 21．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x2x =的焦点. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线2x =与椭圆交于Q P ,两点，P 点位于第一象限，B A ,是椭圆上位于直线2x =两侧的动点. （i ）若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值； （ii ）当点B A ,运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由.。
江西省重点中学协作体2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣4x＞0}，N={x|m＜x＜8}，若M∩N={x|6＜x＜n}，则m+n=（）A．10 B．12 C．14 D．162．（5分）设i是虚数单位，则|（1+i）﹣|=（）A．B．2C．3D．3．（5分）已知等比数列{a n}的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则=（）A．1B．3C．6D．94．（5分）给出下列结论：①命题“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”；②命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；③数列{a n}满足“a n+1=3a n”是“数列{a n}为等比数列”的充分必要条件．其中正确的是（）A．.①②B．.①③C．.②③D．．①②③5．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+4，数列{a n}是公差为d的等差数列，若a1=f（d﹣1），a3=f （d+1），则{a n}的通项公式为（）A．2n﹣2 B．2n+1 C．2n+3 D．n+26．（5分）若实数x，y满足，则z=的最小值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣57．（5分）已知直角△ABC中，斜边AB=6，D为线段AB的中点，P为线段CD上任意一点，则（+）•的最小值为（）A．﹣B．C．﹣2 D．28．（5分）甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的方差S甲2、S乙2、S丙2的大小关系是（）A．S丙2＞S乙2＞S甲2B．S甲2＞S丙2＞S乙2C．S丙2＞S甲2＞S乙2D．S乙2＞S丙2＞S甲29．（5分）如图所示程序框图，则满足|x|+|y|≤2的输出的有序实数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知圆x2+y2=4，点A（，0），动点M在圆上运动，O为坐标原点，则∠OMA 的最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且•的最小值为2，则a=（）A．﹣2 B．﹣1 C．2D．112．（5分）已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（2﹣）6展开式中常数项是．14．（5分）已知数列{a n}满足a n+1=（n∈N+），若a1=，则a2015=．15．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为．16．（5分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是．三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）角A，B，C为△ABC的三个内角，且f（+）=，f（+）=，求sinC的值．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面APC⊥平面ABC，且PA=PB=PC=4，AB=BC=2．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．19．（12分）4月15日，亚投行意向创始成员国已经截止，意向创始成员国敲定57个，其中，亚洲国家34个，欧洲国家18个，非洲和大洋洲各2个；南美洲1个．18个欧洲国家中G8国家有5个（英法德意俄）．亚投行将设立理事会、董事会和管理层三层管理架构．假设理事会由9人组成，其中3人由欧洲国家等可能产生．（1）这3人中恰有2人来自于G8国家的概率；（2）设X表示这3人来自于G8国家的人数，求X的分布列和期望．20．（12分）已知点F（，0），圆E：（x+）2+y2=16，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（1）求动点Q的轨迹方程；（2）若直线l与圆O：x2+y2=1相切，并与（1）中轨迹交于不同的两点A、B．当•=λ，且满足≤λ≤时，求△AOB面积S的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣ae x（a为实常数）．（1）若函数f（x）在x=0的切线与x轴平行，求a的值；（2）若f（x）有两个零点x1、x2，求证：x1+x2＞2．一、选修4-1：几何证明选讲：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并写上所做题的题号.注意所做题目的题号必须和所写的题号一致.22．（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，半径OB⊥OP，AB交PO于点C．（1）求证：PA=PC；（2）若圆O的半径为3，PO=5，求线段AC的长度．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中，直l线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=10cosθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，6），求|PA|+|PB|．一、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．江西省重点中学协作体2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣4x＞0}，N={x|m＜x＜8}，若M∩N={x|6＜x＜n}，则m+n=（）A．10 B．12 C．14 D．16考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中不等式的解集确定出M，根据N及两集合的交集，确定出m与n的值，即可求出m+n的值．解答：解：由M中不等式解得：x＜0或x＞4，∴M={x|x＜0或x＞4}，∵N={x|m＜x＜8}，且M∩N={x|6＜x＜n}，∴m=6，n=8，则m+n=6+8=14，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）设i是虚数单位，则|（1+i）﹣|=（）A．B．2C．3D．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解答：解：∵=1+i+=1+3i，∴|（1+i）﹣|==．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．3．（5分）已知等比数列{a n}的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则=（）A．1B．3C．6D．9考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，（q＞0），由题意可得关于q的式子，解之可得q，而所求的式子等于q2，计算可得．解答：解：设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，（q＞0）由题意可得2×a3=3a1+2a2，即q2﹣2q﹣3=0，解得q=﹣1（舍去），或q=3，故==q2=9．故选：D．点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．4．（5分）给出下列结论：①命题“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”；②命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；③数列{a n}满足“a n+1=3a n”是“数列{a n}为等比数列”的充分必要条件．其中正确的是（）A．.①②B．.①③C．.②③D．．①②③考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用命题的否定判断①的正误；充要条件判断②的正误；等比数列的定义判断③的正误．解答：解：对于①，命题“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”；满足命题的否定形式，所以①正确．对于②，命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；前者能够说明后者成立，sinα=成立则α=不一定成立，所以②正确；对于③，数列{a n}满足“a n+1=3a n”是“数列{a n}为等比数列”的充分必要条件错误．例如：数列是常数列{0}，则满足“a n+1=3a n”，数列不是等比数列，所以③不正确；故选：A．点评：本题考查命题的真假的判断，充要条件以及命题的否定，等比数列的基本知识的应用，考查基本知识的掌握情况．5．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+4，数列{a n}是公差为d的等差数列，若a1=f（d﹣1），a3=f （d+1），则{a n}的通项公式为（）A．2n﹣2 B．2n+1 C．2n+3 D．n+2考点：数列与函数的综合．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：根据f（x）求出a1、a3，再利用等差数列的定义求出d与a1的值，即得通项公式a n．解答：解：∵f（x）=x2﹣2x+4，∴a1=f（d﹣1）=（d﹣1）2﹣2（d﹣1）+4=d2﹣4d+7，a3=f（d+1）=（d+1）2﹣2（d+1）+4=d2+3；∴a3﹣a1=4d﹣4，即2d=4d﹣4，解得d=2；∴a1=3，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．故选：B．点评：本题考查了根据函数的解析式求函数值的应用问题，也考查了等差数列的通项公式的应用问题，是基础题目．6．（5分）若实数x，y满足，则z=的最小值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域．，利用分式函数的意义以及直线的斜率进行求解即可解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z===1+，设k=，则k的几何意义为区域内的点到定点D（2，﹣2）的斜率，由图象知AD的斜率最小，由得，即A（1，2），此时AD的斜率k=，则z=1+k=1﹣4=﹣3，即z=的最小值为﹣3，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率以及数形结合是解决本题的关键．7．（5分）已知直角△ABC中，斜边AB=6，D为线段AB的中点，P为线段CD上任意一点，则（+）•的最小值为（）A．﹣B．C．﹣2 D．2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据图形判断设|PC|=3﹣x，e则|PD|=x，与的夹角为π，0≤x≤3，运用数量积的运算得出函数式子（+）•=﹣2x•（3﹣x），再利用基本不等式求解即可．解答：解：∵直角△ABC中，斜边AB=6，D为线段AB的中点，∴|CD|=3，+=2，∵P为线段CD上任意一点，∴设|PC|=3﹣x，则|PD|=x，与的夹角为π，0≤x≤3，∴（+）•=﹣2x•（3﹣x），∵x•（3﹣x）≤，∴﹣2x•（3﹣x）≥﹣2×=﹣．故选：A．点评：本题考查了平面向量的数量积，转化为函数求解，关键是根据图形得出向量的关系，属于容易题．8．（5分）甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的方差S甲2、S乙2、S丙2的大小关系是（）A．S丙2＞S乙2＞S甲2B．S甲2＞S丙2＞S乙2C．S丙2＞S甲2＞S乙2D．S乙2＞S丙2＞S甲2考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：由于方差为表示数据离散程度的量，且数据越小越集中，观察数据即可得到结论．解答：解：由于方差为表示数据离散程度的量，且数据越小越集中，由条形图知，乙图最集中，丙图最分散，故s乙2＜s乙2＜s丙2，故选：C点评：本题主要考查了频率分布条形图，以及平均数、方差和标准差，属于基础题9．（5分）如图所示程序框图，则满足|x|+|y|≤2的输出的有序实数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：函数的性质及应用；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，由y=x3是奇函数可求阴影部分的面积与正方形的面积之比，从而得解．解答：解：程序框图的含义是，阴影部分的面积与正方形的面积之比，因为y=x3是奇函数，所以面积之比为：．故选：D．点评：本题主要考查了程序框图和函数的性质及应用，属于基本知识的考查．10．（5分）已知圆x2+y2=4，点A（，0），动点M在圆上运动，O为坐标原点，则∠OMA 的最大值为（）A．B．C．D．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题；直线与圆．分析：设|MA|=x，则可求得|OM|，|AO|的值，进而利用余弦定理得到cos∠OMA的表达式，利用均值不等式求得cos∠OMA的最小值，进而求得∠OMA的最大值．解答：解：设|MA|=x，则|OM|=2，|AO|=由余弦定理可知cos∠OMA==（x+）≥×2=（当且仅当x=1时等号成立）∴∠OMA≤．故选：C．点评：本题主要考查了点与圆的位置关系，余弦定理的应用，均值不等式求最值．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．11．（5分）已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且•的最小值为2，则a=（）A．﹣2 B．﹣1 C．2D．1考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：运用对数函数的图象特点可得B（1，0），设P（x，alnx），运用向量的数量积的坐标表示，可得f（x）=•=x﹣alnx（0，+∞）+1，再由导数，求得极值点即为最值点，对a讨论通过单调性即可判断．解答：解：曲线C：y=alnx恒过点B，则令x=1，可得y=0，即B（1，0），又点A（0，1），设P（x，alnx），则•=f（x）=x﹣alnx+1，由于f（x）=x﹣alnx+1在（0，+∞）上有最小值2，且f（1）=2，故x=1是f（x）的极值点，即最小值点．f′（x）=1﹣=，a＜0，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；当a＞0，x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，a）是减函数，在（a，+∞）是增函数，有最小值为f（a）=2，即a﹣alna+1=2，解得a=1；故选D．点评：本题考查了利用导数求函数的最值；关键是将数量积表示为关于x的函数，通过求导，判断单调性，得到最值求参数a．12．（5分）已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别求出e1、e2（e1＞e2），利用基本不等式求出e1+2e2的最小值．解答：解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==故选：A．点评：本题考查了两圆相切的性质、双曲线的离心率，属于难题．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（2﹣）6展开式中常数项是﹣160．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项式定理展开式，直接求出常数项的值即可．解答：解：因为=20×8×（﹣1）=﹣160．所以展开式中常数项是﹣160．故答案为：﹣160．点评：本题考查二项式定理展开式的应用，特定项的求法，考查计算能力．14．（5分）已知数列{a n}满足a n+1=（n∈N+），若a1=，则a2015=﹣2．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过求出数列的前几项，找出其周期即可．解答：解：∵a n+1=（n∈N+）、a1=，∴a2==3，a3==﹣2，a4==﹣，a5==，a6==3，∴数列{a n}满足：a n=a n+4，∵2015=503×4+3，∴a2015=a3=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题考查求数列的通项，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．15．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为8π．考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体的形状，根据他的几何性质得出AD⊥面BDC，DC=1，AD=1，BE⊥CD与E，DE=，BE=，利用三角形判断得出三角形BDC外接圆的半径r=1，根据球的几何性质得出：R2=r2+d2，求解R即得出面积．解答：解：根据三视图得出几何体为三棱锥，AD⊥面BDC，DC=1，AD=1，BE⊥CD与E，DE=，BE=，∴∠BED=60°，BD=1，∵在三角形BDC中，BD=DC=1，∠BDC=120°，∴根据余弦定理得出：BC=，∵利用正弦定理得出：=2r∴三角形BDC外接圆的半径r=1，∵三棱锥的外接球的半径R，d=AD=1，利用球的几何性质得出：R2=r2+d2，∴R=，∴它的外接球的表面积为4×π×（）2=8π，故答案为：8π．点评：本题考查了空间几何体的外接球的问题，充分利用几何性质，把立体问题转化为平面问题求解，考查了三角的定理的运用综合性较强，属于中档题．16．（5分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6．考点：集合的相等．专题：计算题；集合．分析：利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论．解答：解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．点评：本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）角A，B，C为△ABC的三个内角，且f（+）=，f（+）=，求sinC的值．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先利用倍角公式化简解析式为一个角的一个三角函数的形式，然后求单调区间和sinC．解答：解：由题意可得f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）（1）令2kπ≤2x﹣≤2kπ+所以增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．…（6分）（2）由f（+）=得sinA=；…（7分）f（）=得cosB=，sinB=；…（8分）由于sinA=＜sinB=，则a＜b⇒cosA=…（10分）所以sinC=sin（A+B）=．…（12分）点评：本题考查了倍角公式的运用化简三角函数，然后求单调区间以及解三角形；关键是正确化简三角函数解析式为一个角的一个三角函数的形式．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面APC⊥平面ABC，且PA=PB=PC=4，AB=BC=2．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取AC中点O，连结PO，BO，证明OP⊥平面ABC，利用三棱锥的体积公式，即可求三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC；（2）建立如图所示的空间直角坐标系．求出平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．解答：解：（1）取AC中点O，连结PO，BO，∵PA=PC，AB=BC，∴OP⊥AC，OB⊥AC，又∵平面APC⊥平面ABC，∴OP⊥平面ABC…（2分），∴OP⊥OB，∴OP2+OB2=PB2，即16﹣OC2+4﹣OC2=16，得OC=，则OA=，OB=，OP=，AC=2，…（4分）∴S△ABC==2．∴V P﹣ABC==．…（6分）（2）建立如图所示的空间直角坐标系．得O（0，0，0），A（0，﹣，0），B（，0，0），C（0，，0），P（0，0，），…（8分）∴=（﹣），=（﹣，0，），设平面PBC的法向量=（x，y，z）．则，取z=1，得=（，，1）．（10分）∵=（），∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．…（12分）点评：本题考查线面垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，考查线面角，正确运用向量方法是关键．19．（12分）4月15日，亚投行意向创始成员国已经截止，意向创始成员国敲定57个，其中，亚洲国家34个，欧洲国家18个，非洲和大洋洲各2个；南美洲1个．18个欧洲国家中G8国家有5个（英法德意俄）．亚投行将设立理事会、董事会和管理层三层管理架构．假设理事会由9人组成，其中3人由欧洲国家等可能产生．（1）这3人中恰有2人来自于G8国家的概率；（2）设X表示这3人来自于G8国家的人数，求X的分布列和期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）直接利用古典概型的概率求解这3人中恰有2人来自于G8国家的概率；（2）设X表示这3人来自于G8国家的人数，求出概率得到分布列，然后求解X的期望．解答：解：（1）这3人中恰有2人来自于G8国家的概率：P==…（5分）（2）X可能的取值为0、1、2、3P（X=0）==，P（X=1）==P（X=2）==P（X=3）==X 0 1 2 3P…（10分）EX=0×+1×+2×+3×=…（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．20．（12分）已知点F（，0），圆E：（x+）2+y2=16，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（1）求动点Q的轨迹方程；（2）若直线l与圆O：x2+y2=1相切，并与（1）中轨迹交于不同的两点A、B．当•=λ，且满足≤λ≤时，求△AOB面积S的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）连接QF，结合圆的定义和垂直平分线的性质，以及椭圆的定义，可得Q的轨迹方程；（2）设直线l的方程为x=my+n（m∈R），由直线和圆相切的条件：d=r，可得m，n的关系，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求得△AOB的面积，结合向量的数量积的坐标表示和基本不等式，即可得到所求范围．解答：解：（1）连接QF，∵|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|PE|=4＞|EF|=2，∴动点Q的轨迹是以E（﹣，0）、F（，0）为焦点，长轴长2a=4的椭圆，即动点Q的轨迹方程为：+y2=1；（2）依题结合图形知直线l的斜率不为零，所以设直线l的方程为x=my+n（m∈R）．∵直线L即x﹣my﹣n=0与圆O：x2+y2=1相切，∴=1得n2=m2+1．又∵点A，B的坐标满足：，消去x整理得（m2+4）y2+2mny+n2﹣4=0，由韦达定理得y1+y2=﹣，y1y2=，又|AB|=•|y1﹣y2|，点O到直线l的距离d==1，∴S△AOB=d•|AB|=•|y1﹣y2|=|n|•|y1﹣y2|=2•=2•，∵λ==x1x2+y1y2=（my1+n）（my2+n）+y1y2=（m2+1）y1y2+mn（y1+y2）+n2==∵，令t=1+m2，则λ=∈[，]，即有t∈[3，6]∴S△AOB=2•=2•=2•=∵t+∈[6，]，t++6∈[12，]，∈[，]，∴S△AOB∈[，1]，∴S△AOB的取值范围为[，1]．点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，弦长公式和基本不等式，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣ae x（a为实常数）．（1）若函数f（x）在x=0的切线与x轴平行，求a的值；（2）若f（x）有两个零点x1、x2，求证：x1+x2＞2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，即可得到结论．（2）由题意可求出0＜a＜；则a=的两个不同根为x1，x2，作出y=的图象，利用数形结合证明．解答：解：（1）函数的导数f′（x）=1﹣ae x，∵f（x）在x=0的切线与x轴平行，∴f′（0）=0，即f′（0）=1﹣a=0，解得a=1．（2）由f（x）=x﹣ae x=0得a=，设g（x）=，则g′（x）==，由g′（x）＜0得x＞1，由g′（x）＞0得x＜1，即函数g（x）在x=1时，取得极大值g（1）=，则要使f（x）有两个零点x1、x2，则满足0＜a＜，则x1=ae x1，x2=ae x2；∵g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；又∵当x∈（﹣∞，0]时，g（x）≤0，故不妨设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意a1，a2∈（0，），设a1＞a2，若g（m1）=g（m2）=a1，g（n1）=g（n2）=a2，其中0＜m1＜1＜m2，0＜n1＜1＜n2，∵g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；又∵g（m1）＞g（n1），g（m2）＞g（n2）；∴m1＞n1，m2＜n2；∴；故随着a的减小而增大，令=t，x1=ae x1，x2=ae x2，可化为x2﹣x1=lnt；t＞1；则x1=，x2=；则x2+x1=，令h（t）=，则可证明h（t）在（1，+∞）上单调递增；故x2+x1随着t的增大而增大，即x2+x1随着的增大而增大，故x2+x1随着a的减小而增大，而当a=时，x2+x1=2；故x1+x2＞2．点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了数形结合的思想应用，属于难题一、选修4-1：几何证明选讲：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并写上所做题的题号.注意所做题目的题号必须和所写的题号一致.22．（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，半径OB⊥OP，AB交PO于点C．（1）求证：PA=PC；（2）若圆O的半径为3，PO=5，求线段AC的长度．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：（1）根据弦切角定理，可得∠PAB=∠ACB，根据圆周角定理可得∠BAC=90°，结合BC⊥OP，根据同角的余角相等及对顶角相等可得∠PDA=∠PAB，即△PAD为等腰三角形；（2）利用切割线定理求出PA，再求出cos∠AOP，利用余弦定理，即可得出结论．解答：（1）证明：∵PA与圆O相切于点A，∴∠PAB=∠ADB∵BD为圆O的直径，∴∠BAD=90°∴∠ADB=90°﹣∠B∵BD⊥OP，∴∠BCO=90°﹣∠B∴∠BCO=∠PCA=∠PAB即△PAC为等腰三角形∴PA=PC；…（5分）（2）解：假设PO与圆O相交于点M，延长PO交圆O于点N．∵PA与圆O相切于点A，PMN是圆O的割线，∴PA2=PM•PN=（PO﹣OM）（PO+ON）．∵PO=5，OM=ON=3，∴PA=4．由（1）知PC=PA=4，∴OC=1．在Rt△OAP中，cos∠AOP==．∴AC2=9+1﹣2×3×1×=．∴AC=．…（10分）点评：本题考查的知识点是弦切角定理，圆周角定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，属于中档题．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中，直l线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=10cosθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，6），求|PA|+|PB|．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由ρ=10cosθ得ρ2=10ρcosθ，把代入即可得出．（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，化为=0，可设t1，t2是上述方程的两个实根．利用|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=﹣（t1+t2）即可得出．解答：解：（1）由ρ=10cosθ得ρ2=10ρcosθ，∴直角坐标方程为：x2+y2=10x，配方为：（x﹣5）2+y2=25．（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，化为=0，由于△=﹣4×20=82＞0，可设t1，t2是上述方程的两个实根．∴t1+t2=﹣，t1t2=20，又直线l过点P（2，6），可得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=﹣（t1+t2）=9．点评：本题考查了参数方程的应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．一、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．考点：带绝对值的函数；其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）不等式等价于①，或②，或③．分别求出这3个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值等于4，故有|a﹣1|＞4，解此不等式求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，∴①，或②，或③．解①得﹣1≤x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x≤2．故由不等式可得，即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，∴|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
江西省南昌市2015届高三数学第二次模拟考试试题（扫描版）理2015 年 高 三 测 试 卷数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．13．214．13π 15．1316． 2212x y -=三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由点,C B 的坐标可以得到34AOC π∠=，23AOB π∠=，…………………2分 所以cos cos()COB AOC AOB ∠=∠+∠1()2222=---4=-；……6分 （Ⅱ）因为c =23AOB π∠=，所以3C π=，所以2sin sin a b A B ===，………8分所以22sin 2sin()3a b A A π+=+-2sin()6A π=+，2(0)3A π<<， (11)分所以当3A π=时，a b +最大，最大值是．………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是2713P =．…………………………………6分 （Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0,1,2,3；………………………………………………7分(0)P ξ==113，(1)P ξ==613，(2)P ξ==613，(3)P ξ==113，……………………9分 所以随机变量ξ的分布列是：……………………10分随机变量ξ的数学期望是1661012313131313E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=2113． (12)分 19．（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为2AD DC CB ===，4AB =，4212cos 22CBA -∠==，所以60,ABC ∠=︒由余弦定理求得AC =90ACB ∠=︒即BC⊥又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面所以BC AG ⊥，………………………………………3分 在矩形AEFC 中，tan 1AE AGE EG ∠==，4AGE π∴∠=tan 1CF CGF GF ∠==，4CGF π∠=， 所以2CGF AGE π∠+∠=，即AG CG ⊥，所以AG ⊥平面BCG ；……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）FC AC ⊥，平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以FC ⊥平面ABCD ，以点C 为原点，,,CA CB CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则)(0,0,0),(0,2,0),1,0)C A B D -,G ，…………………………8分平面BCG 的法向量(3,0,GA =，设平面GCD 的法向量(,,)n x y z =，则00n CG n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而00x z y +=⎧⎪-=，令1x =则(1,3,1)n =-，…………………………………………………………………………10分所以cos ,n GA <>==，…………………………………………………11分而二面角D —GCB为钝角，故所求二面角的余弦值为5-． (12)分 20．解：（Ⅰ）当l 垂直于OD 时||AB最小，因为||2OD ==，所以2r ==，…………………………………2分因为圆1C 222:(0)x y r r +=>的一条直径是椭圆2C 的长轴，所以2a =， 又点D 在椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>上，所以291414b b +=⇒=， 所以圆1C 的方程为224x y +=，椭圆2C 的方程为22143x y +=；………………………5分（Ⅱ）椭圆2C 的右焦点F 的坐标是(1,0)，当直线m 垂直于x 轴时，||PQ = ||4MN =，四边形PMQN 的面积S = 当直线m 垂直于y 轴时，||4PQ =，||3MN =，四边形PMQN 的面积6S =， (6)分当直线m 不垂直于坐标轴时，设n 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠，此时直线m 的方程为1(1)y x k =--，圆心O到直线m 的距离为：d=，所以||PQ ==8分将直线n 的方程代入椭圆2C 的方程得到：()22224384120k x k x k +-+-=，||MN = 所以：四边形PMQN 的面积1||||2S PQ MN =⋅===∈， 综上：四边形PMQN的面积的取值范围是．…………………………………………12分21．解：（Ⅰ）21221'()22x ax f x x a x x -+=+-=(0)x >，记2()221g x x a x =-+………1分（一）当0a ≤时，因为0x >，所以()10g x >>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；……2分（二）当0a <≤24(2)0a =-≤△，所以()0g x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；…………………………………………………………………………………………………3分（三）当a >0()0x g x >⎧⎨>⎩，解得x ∈，所以函数()f x在区间(,)22a a +上单调递减，在区间)+∞上单调递增．…………………………5分（Ⅱ）由（1）知道当(1a ∈时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增，所以(0,1]x ∈时，函数()f x 的最大值是(1)22f a =-，对任意的(1a ∈，都存在0(0,1]x ∈使得不等式20()ln ()f x a m a a +>-成立，等价于对任意的(1a ∈，不等式222ln ()a a m a a -+>-都成立，……………………………………6分即对任意的(1a ∈，不等式2ln (2)20a ma m a +-++>都成立， 记2()ln (2)2h a a ma m a =+-++，则(1)0h =， 1(21)(1)'()2(2)a ma h a ma m a a --=+-+=，因为(1a ∈，所以210a a ->，当1m ≥时，对任意(1a ∈，10ma ->，所以'()0h a >，即()h a在区间上单调递增，()(1)0h a h >=成立；…………………………………………………………………………9分当1m <时，存在0(1a ∈使得当0(1,)a a ∈时，10ma -<，'()0h a <，()h a 单调递减，从而()(1)0h a h <=，所以(1a ∈时，()0h a >不能恒成立．综上：实数m 的取值范围是[1,)+∞．……………………………………………………………12分22．解：AF 是圆的切线，且18,15AF BC ==，∴由切割线定理得到2218(15)12AF FB FC FB FB FB =⋅⇒=⋅+⇒=， (3)分,AB AD ABD ADB =∴∠=∠，则,//FAB ABD AF BD ∠=∠∴，…………………………………………………………………6分又//AD FC ，∴四边形ADBF 为平行四边形．12,,18AD FB ACF ADB F AC AF ==∠=∠=∠∴==，//,18AE AD AD FC AE BC ∴=-，解得8AE =。
2015 年 高 三 测 试 卷数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．214．13π 15．1316．2212x y -= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由点,C B 的坐标可以得到34AOC π∠=，23AOB π∠=，…………………2分 所以cos cos()COB AOC AOB ∠=∠+∠1()2222=-⨯--4=-；……6分 （Ⅱ）因为c =23AOB π∠=，所以3C π=，所以2sin sin a b A B ===，………8分所以22sin 2sin()3a b A A π+=+-2sin()6A π=+，2(0)3A π<<，……………………11分 所以当3A π=时，a b +最大，最大值是12分18．解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是2713P =．…………………………………6分（Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0,1,2,3；………………………………………………7分(0)P ξ==113，(1)P ξ==613，(2)P ξ==613，(3)P ξ==113，……………………9分所以随机变量ξ的分布列是：随机变量ξ的数学期望是1661012313131313E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=2113．……………………12分 19．（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为2AD DC CB ===，4AB =，4212cos 22CBA -∠==，所以60,ABC ∠=︒由余弦定理求得AC=90ACB ∠=︒即BC⊥又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面所以BC AG ⊥，………………………………………3分 在矩形AEFC 中，tan 1AE AGE EG ∠==，4AGE π∴∠=tan 1CF CGF GF ∠==，4CGF π∠=，所以2CGF AGE π∠+∠=，即AG CG ⊥，所以AG ⊥平面BCG ；……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）FC AC ⊥，平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以FC ⊥平面ABCD ， 以点C 为原点，,,CA CB CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则)(0,0,0),(0,2,0),1,0)C A B D-,G ，…………………………8分平面BCG 的法向量(3,0,GA =，设平面GCD 的法向量(,,)n x y z =，则0n CG n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而00x z y +=⎧⎪-=，令1x =则(1,3,1)n =-，…………………………………………………………………………10分 所以cos ,n GA <>==，…………………………………………………11分 而二面角D —GCB 为钝角， 故所求二面角的余弦值为．………………………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）当l 垂直于OD 时||AB 最小，因为||OD =2r ==，…………………………………2分因为圆1C 222:(0)x y r r +=>的一条直径是椭圆2C 的长轴，所以2a =，又点D 在椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>上，所以291414b b+=⇒=， 所以圆1C 的方程为224x y +=，椭圆2C 的方程为22143x y +=；………………………5分 （Ⅱ）椭圆2C 的右焦点F 的坐标是(1,0)，当直线m 垂直于x 轴时，||PQ = ||4MN =，四边形PMQN 的面积S =当直线m 垂直于y 轴时，||4PQ =，||3MN =，四边形PMQN 的面积6S =，…………6分……………………10分当直线m 不垂直于坐标轴时，设n 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠，此时直线m 的方程为1(1)y x k=--， 圆心O 到直线m的距离为：d =，所以||PQ ==，…………8分 将直线n 的方程代入椭圆2C 的方程得到：()22224384120k x k x k +-+-=，||MN =所以：四边形PMQN 的面积1||||2S PQ MN =⋅===∈，综上：四边形PMQN的面积的取值范围是．…………………………………………12分21．解：（Ⅰ）21221'()22x ax f x x a x x-+=+-=(0)x >，记2()221g x x ax =-+………1分 （一）当0a ≤时，因为0x >，所以()10g x >>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；……2分（二）当0a <≤时，因为24(2)0a =-≤△，所以()0g x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；…………………………………………………………………………………………………3分（三）当a >0()0x g x >⎧⎨>，解得x∈，所以函数()f x 在区间上单调递减，在区间(0,),()2a a +∞上单调递增．…………………………5分（Ⅱ）由（1）知道当(1a ∈时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增， 所以(0,1]x ∈时，函数()f x的最大值是(1)22f a =-，对任意的a ∈，都存在0(0,1]x ∈使得不等式20()ln()f x a m a a +>-成立，等价于对任意的(1a ∈，不等式222ln ()a a m a a -+>-都成立，……………………………………6分即对任意的(1a ∈，不等式2ln (2)20a ma m a +-++>都成立， 记2()ln (2)2h a ama m a =+-++，则(1)0h =，1(21)(1)'()2(2)a ma h a ma m a a --=+-+=，因为(1a ∈，所以210a a->， 当1m ≥时，对任意(1a ∈，10ma ->，所以'()0h a >，即()h a 在区间上单调递增，()(1)0h a h >=成立；…………………………………………………………………………9分 当1m <时，存在0(1a ∈使得当0(1,)a a ∈时，10ma -<，'()0h a <，()h a 单调递减，从而()(1)0h a h <=，所以(1a ∈时，()0h a >不能恒成立．综上：实数m 的取值范围是[1,)+∞．……………………………………………………………12分 22．解：AF 是圆的切线，且18,15AF BC ==，∴由切割线定理得到2218(15)12AF FB FC FB FB FB =⋅⇒=⋅+⇒=，…………………3分 ,AB AD ABD ADB =∴∠=∠，则,//FAB ABD AF BD ∠=∠∴，…………………………………………………………………6分 又//AD FC ，∴四边形ADBF 为平行四边形．12,,18AD FB ACF ADB F ACAF ==∠=∠=∠∴==，//,18AE ADAD FC AE BC∴=-，解得8AE =。
江西省重点中学十校联考2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一项符合题目要求）1．（5分）设集合A={x|y=ln（1﹣x）}，集合B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．[0，1] B．[0，1）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）2．（5分）“≤﹣2”是“a＜0且b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知等差数列{a n}前n项和为S n，a4=2，S10=10，则a7的值为（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）已知平面向量，满足||=||=1，（+2）•（﹣）=﹣，则与的夹角为（）A．B．C．D．5．（5分）a的值由如图程序框图算出，则二项式（﹣）9展开式的常数项为（）A．T4=53×B．T6=﹣55×C．T5=74×D．T4=﹣73×6．（5分）在小语种自主招生考试中，某学校获得4个推荐名额，其中韩语2名，日语1名，俄语1名，并且韩语要求必须有女生参加，学校通过选拔定下2女2男共4个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A．8种B．10种C．12种D．14种7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为4，则函数f（x）图象的一条对称轴的方程为（）A．x=B．x=C．x=4 D．x=29．（5分）线段AB是圆C1：x2+y2+2x﹣6y=0的一条直径，离心率为的双曲线C2以A，B为焦点．若P是圆C1与双曲线C2的一个公共点，则|PA|+|PB|=（）A．B．4C．4D．610．（5分）由不等式组确定的平面区域为M，由不等式组确定的平面区域为N，在N内随机的取一点P，则点P落在区域M内的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知数列{a n}共有9项，其中，a1=a9=1，且对每个i∈{1，2，…，8}，均有∈{2，1，﹣}，记S=++…+，则S的最小值为（）A．5 B．5C．6 D．612．（5分）若存在x0∈N+，n∈N+，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”．已知函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，则使函数y=g（x）与x轴无交点的a的取值范围是（）A．0＜α＜B．＜α＜C．α＜D．0＜α＜或α＞二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）设i为虚数单位，复数z=（1+i）（cosθ﹣i•sinθ）∈R（0＜θ＜π），则tanθ=．14．（5分）记直线x﹣3y﹣1=0的倾斜角为α，曲线y=lnx在（2，ln2）处切线的倾斜角为β．则α﹣β=．15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，底面ABCD的对角线BD在平面α内，则正方体在平面α内的影射构成的图形面积的取值范围是．16．（5分）关于函数f（x）=x2（lnx﹣a）+a，给出以下4个结论：①∃a＞0，∀x＞0，f（x）≥0；②∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0；③∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0；④∀a＞0，∃x＞0，f（x）≤0．其中正确结论的个数是．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知=（cosx，sin2x），=（cosx，），f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的取值范围；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，若函数g（x）=bf（x）+c在x=A处取最大值6，求△ABC面积的最大值．18．（12分）某校从参加2014-2015学年高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（I）估计这次测试数学成绩的平均分；（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E、F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆F：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左焦点为F1，点F1到直线ax+by=0的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线角椭圆于P，Q两点，求证：|PF1|+|QF1|﹣|PQ|为定值．21．（12分）已知函数f（x）=x+﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.71828…为自然对数的底数）上存在一点x0，使得f（x0）≤0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）当a＞0时，设函数g（x）=f（ax）﹣，若g（x）有两个不同的零点x1，x2，且0＜x1＜x2，求证：＜lna．【选修4—1】几何证明选讲22．（10分）如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°（1）求AF的长；（2）求证：AD=3ED．【选修4—4】坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【选修4—5】不等式选讲24．已知a+b=1，a＞0，b＞0．（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）若不等式+≥|2x﹣1|﹣|x+1|对任意a，b恒成立，求x的取值范围．江西省重点中学十校联考2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一项符合题目要求）1．（5分）设集合A={x|y=ln（1﹣x）}，集合B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．[0，1] B．[0，1）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）考点：交集及其运算；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：由集合A={x|y=ln（1﹣x）}，表示函数y=ln（1﹣x）的定义域，集合B={y|y=x2}，表示y=x2的值域，我们不难求出集合A，B，再根据集合交集的定义，不难得到答案．解答：解：∵A={x|y=ln（1﹣x）}={x|x＜1}，B={y|y=x2}={y|y≥0}，∴A∩B=[0，1）．故选B点评：遇到两个连续数集的运算，其步骤一般是：①求出M和N；②借助数轴分析集合运算结果，方法是：并集求覆盖的最大范围，交集求覆盖的公共范围．2．（5分）“≤﹣2”是“a＜0且b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：可以通过移项求出不等式的解集，再根据充分必要条件进行判断．解答：解：≤﹣2可得+2=≤0，即ab＜0，即a＞0，b＜0，或a ＜0，b＞0，∴“≤﹣2”是“a＜0且b＞0”的必要不充分条件．故选：B．点评：此题主要考查充分必要条件的定义，以及不等式的求解，是一道基础题．3．（5分）已知等差数列{a n}前n项和为S n，a4=2，S10=10，则a7的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的首项和公差，由已知列方程组求得首项和公差，代入等差数列的前n 项和得答案．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a4=2，S10=10，得，解得．∴．故选：A．点评：本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．4．（5分）已知平面向量，满足||=||=1，（+2）•（﹣）=﹣，则与的夹角为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：直接把等式左边展开多项式乘多项式，然后代入数量积公式求得与的夹角．解答：解：由||=||=1，（+2）•（﹣）=﹣，得，即1+1×1×cos＜＞﹣2=﹣，∴=，则与的夹角为．故选：B．点评：本题考查平面向量的数量积运算，关键是对数量积公式的记忆与运用，是基础题．5．（5分）a的值由如图程序框图算出，则二项式（﹣）9展开式的常数项为（）A．T4=53×B．T6=﹣55×C．T5=74×D．T4=﹣73×考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：第一次执行循环体后，S=3，不满足输出条件，a=5，再次执行循环体后，S=15，不满足输出条件，a=7再次执行循环体后，S=105，满足输出条件，故a=7，故二项式（﹣）9展开式的常数项，即T4=﹣73×，故选：D．点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6．（5分）在小语种自主招生考试中，某学校获得4个推荐名额，其中韩语2名，日语1名，俄语1名，并且韩语要求必须有女生参加，学校通过选拔定下2女2男共4个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A．8种B．10种C．12种D．14种考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：韩语要求必须有女生参加．先从2个女生中选一个考韩语，剩下的三个考生在三个位置排列，去掉重复部分，即当考韩语的有两个女生，即可得到答案．解答：解：∵由题意知韩语都要求必须有女生参加考试，∴先从2个女生中选一个考韩语有C21=2种结果，剩下的三个考生在三个位置排列A33种结果，其2015届中考韩语为两个女生的情况重复共有A22种结果，∴共有C21A33﹣A22=10种结果．故选：B点评：本题考查了分类和分步计数原理，分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到“步骤完整”﹣﹣完成了所有步骤，恰好完成任务7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可又分析出该几何由一个底面半径为1，高为的半圆锥，和一个底面为边长为2的正方形，高为的四棱锥组合而成，分别代入圆锥的体积公式和棱锥的体积公式，可得该几何体的体积．解答：解：由已知中的三视图可得该几何体是一个组合体，由一个底面半径为1，高为的半圆锥和一个底面为边长为2的正方形，高为的四棱锥组合而成故这个几何体的体积V=+=故选A点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状及底面半径，底面棱长，高等几何量是解答的关键．8．（5分）函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为4，则函数f（x）图象的一条对称轴的方程为（）A．x=B．x=C．x=4 D．x=2考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：根据题意可求得ω、φ的值，从而可得f（x）的解析式及其对称轴方程，继而可得答案．解答：解：∵f（x）=2cos（ωx+φ）为奇函数，∴f（0）=2cosφ=0，∴cosφ=0，又0＜φ＜π，∴φ=；∴f（x）=2cos（ωx+）=﹣2sinωx=2sin（ωx+π），又ω＞0，∴其周期T=；设A（x1，2），B（x2，﹣2），则|AB|==4，∴|x1﹣x2|=x1﹣x2=4．即T=4，∴T==8，∴ω=．∴f（x）=2sin（x+π），∴其对称轴方程由x+π=kπ+（k∈Z）得：x=4k﹣2．当k=1时，x=2．故选D．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得ω是难点，考查分析与运算能力，属于中档题．9．（5分）线段AB是圆C1：x2+y2+2x﹣6y=0的一条直径，离心率为的双曲线C2以A，B为焦点．若P是圆C1与双曲线C2的一个公共点，则|PA|+|PB|=（）A．B．4C．4D．6考点：直线与圆的位置关系；圆与圆锥曲线的综合．专题：综合题；直线与圆．分析：由题设知双曲线C2的焦距2c=|AB|=2，双曲线的实半轴a=，由P是圆C1与双曲线C2的公共点，知||PA|﹣|PB||=2，|PA|2+|PB|2=40，由此能求出|PA|+|PB|．解答：解：∵圆C1：x2+y2+2x﹣6y=0的半径r==，线段AB是圆C1：x2+y2+2x﹣6y=0的一条直径，离心率为的双曲线C2以A，B为焦点，∴双曲线C2的焦距2c=|AB|=2，∵P是圆C1与双曲线C2的一个公共点，∴||PA|﹣|PB||=2a，|PA|2+|PB|2=40，∴|PA|2+|PB|2﹣2|PA||PB|=4a2，∵c=，e==，∴a=，∴2|PA||PB|=32，∴∴|PA|2+|PB|2+2|PA||PB|=（|PA|+|PB|）2=72，∴|PA|+|PB|=6．故选D．点评：本题考查|PA|+|PB|的值的求法，具体涉及到圆的简单性质，双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．10．（5分）由不等式组确定的平面区域为M，由不等式组确定的平面区域为N，在N内随机的取一点P，则点P落在区域M内的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：画出区域，分别求出区域M，N的面积，利用几何概型的公式解答解答：解：不等式确定的平面区域为M如图中黑色阴影部分，其面积等于红色部分面积，所以===1，区域N的面积为2（e﹣1）=2e﹣2，由几何概型公式可得在N内随机的取一点P，则点P落在区域M内的概率为：；故选：A．点评：本题考查了几何概型的概率求法，关键是分别求出区域M，N的面积，利用几何概型公式解答．11．（5分）已知数列{a n}共有9项，其中，a1=a9=1，且对每个i∈{1，2，…，8}，均有∈{2，1，﹣}，记S=++…+，则S的最小值为（）A．5 B．5C．6 D．6考点：数列的求和．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：令b i=（1≤i≤8），根据数列比值的关系，结合S的表达式进行推导即可．解答：解：令b i=（1≤i≤8），则对每个符合条件的数列{a n}满足b i===1，且b i∈{2，1，﹣}，1≤i≤8．反之，由符合上述条件的八项数列{b n}可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{a n}．记符合条件的数列{b n}的个数为N，由题意知b i（1≤i≤8）中有2k个﹣，2k个2，8﹣4k个1，且k的所有可能取值为0，1，2．对于三种情况，当k=2时，S取到最小值6．故选：C．点评：本题考查数列的相邻两项比值之和的最小值的求法，考查满足条件的数列的个数的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．12．（5分）若存在x0∈N+，n∈N+，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”．已知函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，则使函数y=g（x）与x轴无交点的a的取值范围是（）A．0＜α＜B．＜α＜C．α＜D．0＜α＜或α＞考点：进行简单的合情推理．专题：函数的性质及应用．分析：根据“生成点“的定义，求出（9，2），（1，6）为函数f（x）的一个“生成点”．根据函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，可求出a，b，c的关系，进而根据函数y=g（x）与x轴无交点，△＜0，求出a的取值范围．解答：解：∵f（x）=2x+1，x∈N，满足：f（9）+f（10）+f（11）=63，故（9，2）为函数f（x）的一个“生成点”．f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=63，故（1，6）为函数f（x）的一个“生成点”．又∵函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，∴81a+9b+c=2，a+b+c=6，解得：b=﹣﹣10a，c=9a+，若函数y=g（x）与x轴无交点，则△=b2﹣4ac=（）2﹣4a（9a+）＜0，解得：，故选：B点评：本题考查的知识点是合情推理，二次函数的图象和性质，正确理解“生成点“的定义，是解答的关键．二、填空题（每小题5分，共20分）（cosθ﹣i•sinθ）∈R（0＜θ＜π），则tanθ=．（5分）设i为虚数单位，复数z=（1+i）13．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：首先化简复数为a+bi的形式，然后根据复数为实数，得到θ的值求之．解答：解：因为复数z=（1+i）（cosθ﹣i•sinθ）=（cosθ+sinθ）+（cosθ﹣sinθ）i∈R，所以cosθ﹣sinθ=0，即sin（）=0，0＜θ＜π，所以，所以tanθ=；故答案为：．点评：本题考查了复数的性质；若复数a+bi∈R（a，b∈R）则b=0．14．（5分）记直线x﹣3y﹣1=0的倾斜角为α，曲线y=lnx在（2，ln2）处切线的倾斜角为β．则α﹣β=﹣arctan．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的综合应用．分析：求出曲线y=1nx在（2，1n2）处切线斜率，从而可得tanα=，tanβ=，利用差角的正切公式，即可求出α﹣β．解答：解：∵y=1nx，∴y′=，x=2时，y′=，∵直线x﹣3y﹣l=0的倾斜角为α，曲线y=1nx在（2，1n2）处切线的倾斜角为β，∴tanα=，tanβ=，∴tan（α﹣β）==﹣，∵0＜α＜β＜，∴α﹣β=﹣arctan．故答案为：﹣arctan．点评：本题考查导数的几何意义，考查斜率与倾斜角之间的关系，考查和角的正切公式，确定tanα=，tanβ=，是解题的关键．15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，底面ABCD的对角线BD在平面α内，则正方体在平面α内的影射构成的图形面积的取值范围是．考点：二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：设矩形BDD1B1与α所成锐二面角为θ，面积记为S1，推出正方形A1B1C1D1与α所成锐二面角为．面积记为S2，求出阴影部分的面积的表达式，利用两角和与差的三角函数求解最值即可．解答：解：设矩形BDD1B1与α所成锐二面角为θ，面积记为S1，则正方形A1B1C1D1与α所成锐二面角为．面积记为S2，所求阴影部分的面积S==S1cosθ+S2sinθ=cosθ+sinθ=sin（θ+β）其中sinβ=，cosβ=．故S∈．故答案为：．点评：本题考查二面角的应用，空间想象能力以及转化思想的应用，难度比较大．16．（5分）关于函数f（x）=x2（lnx﹣a）+a，给出以下4个结论：①∃a＞0，∀x＞0，f（x）≥0；②∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0；③∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0；④∀a＞0，∃x＞0，f（x）≤0．其中正确结论的个数是3．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：①令a=，进行验证即可；②令a=5，通过验证结论成立；③当a=5时，举反例x=5时，不满足条件；④求函数的导数，判断函数存在极值进行判断．解答：解：①当a=，则f（x）=x2（lnx﹣）+，函数的定义域为（0，+∞），此时函数的导数f′（x）=2x（lnx﹣）+x2•=2xlnx﹣x+x=2xlnx，由f′（x）=0得，x=1，则当x＞1时，则f′（x）＞0，此时函数递增，当0＜x＜1时，则f′（x）＜0，此时函数递减，故当x=1时，函数f（x）取得极小值同时也是最小值f（1）=﹣+=0，则对∀x＞0，f（x）≥f（1）=0；故①正确②当a=5，则f（x）=x2（lnx﹣5）+5，则f（e）=e2（lne﹣5）+5=﹣4e2+5＜0，故②∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0，成立．③由②知当a=5时，∃x=e，满足e＞0，但f（e）＜0，故③∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0不成立，故③错误．④函数的导数f′（x）=2x（lnx﹣a）+x2•=2x（lnx﹣a）+x=x（2lnx﹣2a+1）=2x（lnx+﹣a）．由f′（x）=0，则lnx+﹣a=0，即lnx=a﹣，即∀a＞0，函数f（x）都存在极值点，即∃x＞0，f（x）≤0成立，故④正确，综上正确是有①②④，共3个故答案为：3点评：本题主要考查命题的真假判断，利用特殊值法和排除法是解决本题的关键．难度较大．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知=（cosx，sin2x），=（cosx，），f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的取值范围；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，若函数g（x）=bf（x）+c在x=A处取最大值6，求△ABC面积的最大值．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）利用向量数量积的运算性质及辅助角公式计算可得f（x）=sin（2x+）+，结合三角函数的有界性即得结论；（Ⅱ）通过函数g（x）在x=A处取最大值6，可知，进而可得A=，利用基本不等式计算即得结论．解答：解：（Ⅰ）由题可知：f（x）=•=（cosx，sin2x）•（cosx，）=cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+=sin（2x+）+，∵sin（2x+）∈[﹣1，1]，∴f（x）∈[﹣，]；（Ⅱ）∵f（x）=sin（2x+）+，∴g（x）=bf（x）+c=bsin（2x+）+b+c，∵函数g（x）=bsin（2x+）+b+c在x=A处取最大值6，∴，又∵0＜A＜π，∴A=，∴6=b+c≥2，即bc≤9（当且仅当b=c时等号成立），∵S△ABC=bcsinA=•（bc），∴S△ABC≤•9=，即△ABC面积的最大值为．点评：本题考查平面向量数量积的运算，考查三角函数恒等变换及最值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（12分）某校从参加2014-2015学年高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（I）估计这次测试数学成绩的平均分；（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（I）利用分组两端的数据中值估算抽样学生的平均分，类似于加权平均数的算法，让每一段的中值乘以这一段对应的频率，得到平均数，利用样本的平均数来估计总体的平均数．（II）根据等可能事件的概率公式得到两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率，随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，且变量符合二项分布，根据符合二项分布写出分布列和期望，也可以用一般求期望的方法来解．解答：解：（I）利用中值估算抽样学生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．∴估计这次考试的平均分是72分．（II）从95，96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是C62=15，有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是C42=6，两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率．随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，且变量符合二项分布，∴∴变量ξ的分布列为：ξ0 1 2 3p∴（或Eξ=）点评：本题考查读频率分步直方图，考查用样本估计总体，考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查二项分布，是一个综合题．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E、F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．考点：棱锥的结构特征；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（I）利用中位线，直线平面的平行问题得出l∥BC，根据直线平面的垂直问题得出BC⊥平面PAC，即可得出直线l⊥平面PAC．（II）建立坐标系得出平面AEF的法向量，cos＜，＞，cos＜，＞，直线平面，直线的夹角的关系求解即可，sinα=||，cosβ=||，sinα=cosβ．解答：（I）证明：∵E，F分别为PB，PC中点，∴BC∥EF，又EF⊆平面EFA，BC⊊平面EFA，∴BC∥平面EFA又BC⊆平面ABC，平面EFA∩平面ABC=l，∴l∥BC．∵AC⊥BC，∴EF⊥BC，∵PA=PC=AC=2，∴AE⊥PC，∵AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，∴BC⊥平面PAC，∵l∥BC∴直线l⊥平面PAC，（II）如图建立坐标系得出：C（0，0，0），A（2，0，0），E（，0，），F（0，2，），P（1，0，），Q（2，y，0）∴=（1，0，）为平面AEF的法向量，=（﹣，2，0），=（1，y，﹣）∴cos＜，＞==，cos＜，＞==，设直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角分别为α，β，α+β=，∴sinα=||，cosβ=||，sinα=cosβ，即1=|﹣1+4y|，求解y=，y=0，A（2，0，0），存在Q（2，0，0）或Q（2，，0），|AQ|=或|AQ|=0．点评：本题综合考查了空间直线，平面的位置关系，判断方法，空间向量解决存在性问题，运用代数方法求解几何问题，考查了学生的计算能力．20．（12分）已知椭圆F：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左焦点为F1，点F1到直线ax+by=0的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线角椭圆于P，Q两点，求证：|PF1|+|QF1|﹣|PQ|为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）左焦点设为（﹣c，0），则（﹣c，0）到直线ax+by=0的距离为d=，求得椭圆方程．（Ⅱ）在圆中，M是切点，，得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0，则x1+x2=，，求出：|PF1|，|QF1|，|PQ|的值，继而得到答案．解答：解：（Ⅰ）∵①，左焦点设为（﹣c，0），则（﹣c，0）到直线ax+by=0的距离为d=，∴②，b2+c2=a2③由①②③得：a2=9，b2=8，∴椭圆方程为：；（Ⅱ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则∴，∵0＜x1＜3，|PF2|=3﹣，同理|QF2|=3﹣在圆中，M是切点，，得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，∴==∵PQ与圆相切，∴即m=，∴所以：|PF1|+|QF1|﹣|PQ|=6﹣．即：|PF1|+|QF1|﹣|PQ|为定值．点评：本题主要考查了椭圆方程得求法和直线与圆锥曲线的位置关系，属于难度较大的题型．21．（12分）已知函数f（x）=x+﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.71828…为自然对数的底数）上存在一点x0，使得f（x0）≤0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）当a＞0时，设函数g（x）=f（ax）﹣，若g（x）有两个不同的零点x1，x2，且0＜x1＜x2，求证：＜lna．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=1时，求得函数的导数，求出切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线的方程；（Ⅱ）转化已知条件为函数f（x）在[1，e]上的最小值[f（x）]min≤0，利用单调性，①a≥e ﹣1时，②a≤0时，③0＜a＜e﹣1时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围；（Ⅲ）化简g（x）=f（ax）﹣=ax﹣alnax，（a＞0），求出导数，求得单调区间和极小值，令它小于0，求得a＞e，再由x1=lnax1，x2=lnax2，相加，构造函数，求出最值，再由不等式的性质，即可得证．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x+﹣lnx的导数为f′（x）=1﹣﹣，曲线f（x）在x=1处的切线斜率为f′（1）=﹣2，切点为（1，3），即有切线方程为y﹣3=﹣2（x﹣1），即为2x+y﹣5=0；（Ⅱ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤0，即函数f（x）=x+﹣alnx在[1，e]上的最小值[f（x）]min≤0．由f（x）的导数f′（x）=1﹣﹣=，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，f（x）在[1，e]上单调递减，∴[f（x）]min=f（e）=e+﹣a，∴a≥，∵＞e﹣1，∴a≥；②当a+1≤1，即a≤0时，f（x）在[1，e]上单调递增，∴[f（x）]min=f（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2；③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[f（x）]min=f（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）≤0成立．综上可得所求a的范围是：a≥，或a≤﹣2．（Ⅲ）函数g（x）=f（ax）﹣=ax﹣alnax，（a＞0），g′（x）=a﹣a•，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有x=1处g（x）取得极小值，也为最小值，且为a﹣alna，g（x）有两个不同的零点，则有a﹣alna＜0，解得a＞e，g（x）有两个不同的零点x1，x2，且0＜x1＜x2，即x1=lnax1，x2=lnax2，相加可得x1+x2=lnax1+lnax2=ln（a2x1x2），x1x2=，即有=，令t=x1+x2，则h（t）=的导数为，当t＞1时，h（t）递增，当0＜t＜1时，h（t）递减，即有t=1时，h（t）取得最小值，且为e，有＜•e=＜1，lna＞1，则有＜lna．点评：本题考查函数的导数的综合应用，曲线的切线方程、函数的单调性以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题得到能力．【选修4—1】几何证明选讲22．（10分）如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°（1）求AF的长；（2）求证：AD=3ED．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（1）延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，由已知条件求出AB，AC，再由切割线定理能求出AF．（2）过E作EH⊥BC于H，得到EDH∽△ADF，由此入手能够证明AD=3ED．解答：（1）解：延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，∵BM=2BE=4，∠EBC=30°，∴，又∵，∴，∴，根据切割线定理得，即AF=3（2）证明：过E作EH⊥BC于H，∵∠EOH=∠ADF，∠EHD=∠AFD，∴△EDH∽△ADF，∴，又由题意知CH=，EB=2，∴EH=1，∴，∴AD=3ED．点评：本题考查与圆有关的线段的求法，考查两条线段间数量关系的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．【选修4—4】坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，利用可得直角坐标方程．直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y代入+m消去参数t即可得出．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|•|PB|=t1t2，即可得出．解答：解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|•|PB|=1=t1t2，∴m2﹣2m=1，解得．又满足△＞0．∴实数m=1．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4—5】不等式选讲24．已知a+b=1，a＞0，b＞0．（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）若不等式+≥|2x﹣1|﹣|x+1|对任意a，b恒成立，求x的取值范围．考点：基本不等式；绝对值三角不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由题意可得+=（+）（a+b）=5++，由基本不等式可得；（Ⅱ）问题转化为|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，去绝对值化为不等式组，解不等式组可得．解答：解：（Ⅰ）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴+=（+）（a+b）=5++≥5+2=9，当且仅当=即a=且b=时取等号，∴+的最小值为9；（Ⅱ）若不等式+≥|2x﹣1|﹣|x+1|对任意a，b恒成立，则需|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，可转化为，或或，分别解不等式组可得﹣7≤x≤﹣1，≤x≤11，﹣1＜x＜综合可得x的取值范围为[﹣7，11]点评：本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立和绝对值不等式，属中档题．。
2015年江西省南昌市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.i为虚数单位，=（）A.3+4iB.4+3iC.-iD.+i【答案】D【解析】解：===．故选：D．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2.已知集合A={x|x2-2x＞0}，B={x|log2（x+1）＜1}，则A∩B等于（）A.（-∞，0）B.（2，+∞）C.（0，1）D.（-1，0）【答案】D【解析】解：由A中不等式变形得：x（x-2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即A=（-∞，0）∪（2，+∞），由B中不等式变形得：log2（x+1）＜1=log22，即0＜x+1＜2，解得：-1＜x＜1，即B=（-1，1），则A∩B=（-1，0），故选：D．求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.下列结论错误的是（）A.命题：“若x2-3x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x≠2，则x2-3x+2≠0”B.“a＞b”是“ac2＞bc2”的充分不必要条件C.命题“∃x∈R，x2-x＞0”的否定是“∀x∈R，x2-x≤0”D.若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题【答案】B【解析】解：A．命题：“若x2-3x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x≠2，则x2-3x+2≠0”，正确；B．“a＞b”是“ac2＞bc2”必要不充分条件，不正确；C．“∃x∈R，x2-x＞0”的否定是“∀x∈R，x2-x≤0”，正确；D．若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题，正确．故选：B．A．利用逆否命题的定义即可判断出真假；B．利用不等式的性质、充要条件定义，即可判断出真假；C．利用命题的否定定义，即可判断出真假；D．利用复合命题真假的判定方法，即可判断出真假．本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．4.将函数y=sin（2x-）的图象向左移动个单位，得到函数y=f（x）的图象，则函数y=f （x）的一个单调递增区间是（）A.[-，]B.[-，0]C.[-，]D.[，]【答案】C【解析】解：将函数y=sin（2x-）的图象向左移动个单位，得到函数y=f（x）=sin（2x+-）=sin（2x+）的图象．故由2k≤2x+≤2kπ，k∈Z可解得函数y=f（x）的单调递增区间是：k≤x≤kπ，k∈Z．故当k=0时，x∈[-，]．故选：C．根据函数y=sin（2x-）的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的图象，确定函数f（x）的解析式，从而可得函数f（x）的一个单调递增区间．本题考查图象的变换，考查三角函数的性质，解题的关键是熟悉变换的方法，确定函数的解析式，属于基本知识的考查．5.若实数x，y满足条件，则z=x-3y的最小值为（）A.-5B.-3C.1D.4【答案】A【解析】解：作出约束条件所对应的可行域（如图），变形目标函数可得y=x-z，平移直线y=x可知，当直线经过点A（1，2）时，截距-z取最大值，z取最小值，代值计算可得z的最小值为z=1-3×2=-5故选：A作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x可得当直线经过点A（1，2）时，截距-z取最大值，z取最小值，代值计算可得．本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．6.已知{a n}是等差数列，a3=5，a9=17，数列{b n}的前n项和S n=3n，若a m=b1+b4，则正整数m等于（）A.29B.28C.27D.26【答案】A【解析】解：假设a n=a0+（n-1）d，可知a9-a3=6d=12，则d=2，而a3=5，则a0=1．所以b1=S1=3，b4=S4-S3=54，则b1+b4=57，因此a m=a0+（m-1）d=1+2（m-1）=57=b1+b4，从而可得m=29．故选：A．利用{a n}是等差数列，a3=5，a9=17，求出a0=1，d=2，求出b1+b4=57，即可求出m．本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．7.下列程序图中，输出的B是（）A.-B.-C.0D.【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得A=，i=1A=，B=-，i=2，满足条件i≤2015，A=π，B=0，i=3，满足条件i≤2015，A=，B=，i=4，满足条件i≤2015，A=，B=-，i=5，满足条件i≤2015，A=2π，B=0，i=6，满足条件i≤2015，…观察规律可知，B的取值以3为周期，由2015=3×671+2，故有B=-，i=2015，满足条件i≤2015，B=0，i=2016，不满足条件i≤2015，退出循环，输出B的值为0．故选：C．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的A，B，i的值，观察规律可知B的取值以3为周期，故当i=2015时，B=0，当i=2016时不满足条件i≤2015，退出循环，输出B的值为0．本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的A，B，i的值，观察规律可知B的取值以3为周期是解题的关键，属于基本知识的考查．8.安排A、B、C、D、E、F六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，安排方法有（）种．A.30B.40C.42D.48【答案】C【解析】解：当A照顾老人乙时，共有种不同方法；当A不照顾老人乙时，共有种不同方法．∴安排方法有24+18=42种．故选：C．根据义工A，B有条件限制，可分A照顾老人乙和A不照顾老人乙两类分析，A照顾老人乙时，再从除B外的4人中选1人，则甲和丙为；A不照顾老人乙时，老人乙需从除A、B外的4人中选2人，甲从除A外的剩余3人中选2人．本题考查有条件限制排列组合问题，关键是正确分类，是基础的计算题．9.已知函数f（x）=，，＞，函数g（x）是周期为2的偶函数，且当x∈[0，1]时，g（x）=2x-1，则函数y=f（x）-g（x）的零点个数是（）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】解：函数y=f（x）-g（x）的零点就是函数y=f（x）与y=g（x）图象的交点．在同一坐标系中画出这两个函数的图象：由图可得这两个函数的交点为A，O，B，C，D，E，共6个点．所以原函数共有6个零点．故选：B．函数y=f（x）-g（x）的零点就是函数y=f（x）与y=g（x）图象的交点，因此分别作出这两个函数的图象，然后据图判断即可．本题考查了利用数形结合的思想解决函数零点个数的判断问题，同时考查了函数的零点，方程的根以及函数图象的交点之间关系的理解．10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.2B.C.4D.【答案】B【解析】解：由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，ABCD的面积为2×=2，△SAD中，SD=AD=，SA=2，∴cos∠SDA==，∴sin∠SDA=，∴S△SAD==2设S到平面ABCD的距离为h，则=2，∴h=所以几何体的体积是=，故选：B．由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，求出相应数据即可求出几何体的体积．本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．11.已知函数f（x）=+sinx（e为自然对数的底），则函数y=f（x）在区间[-，]上的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由函数f（x）=+sinx（e为自然对数的底），x∈[-，]，可得y′=+cosx≥+=≥=0，而上述式子中的两个等号不能同时成立，故有y′＞0，故函数y在区间[-，]上单调递增，故选：A．求得函数的导数y′的解析式，再利用基本不等式求得在区间[-，]上，y′＞0，可得函数y在区间[-，]上单调递增，结合所给的选项，得出结论．本题主要考查导数公式，利用导数研究函数的单调性，基本不等式的应用，函数的图象特征，属于中档题．12.已知数列{a n}满足a1=1，|a n-a n-1|=（n∈N，n≥2），且{a2n-1}是递减数列，{a2n}是递增数列，则12a10=（）A.6-B.6-C.11-D.11-【答案】D【解析】解：由|a n-a n-1|=，则|a2n-a2n-1|=，|a2n+2-a2n+1|=，∵数列{a2n-1}是递减数列，且{a2n}是递增数列，∴a2n+1-a2n-1＜0，且a2n+2-a2n＞0，则-（a2n+2-a2n）＜0，两不等式相加得a2n+1-a2n-1-（a2n+2-a2n）＜0，即a2n-a2n-1＜a2n+2-a2n+1，又∵|a2n-a2n-1|=＞|a2n+2-a2n+1|=，∴a2n-a2n-1＜0，即，同理可得：a2n+3-a2n+2＜a2n+1-a2n，又|a2n+3-a2n+2|＜|a2n+1-a2n|，则a2n+1-a2n=，当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），，，…，，，这2m-1个等式相加可得，a2m-a1=-（）+（），∴=．∴12a10=．故选：D．根据数列的单调性和|a n-a n-1|=，由不等式的可加性，求出a2n-a2n-1=和a2n+1-a2n=，再对数列{a n}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{a n}的偶数项对应的通项公式，则12a10可求．本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知向量=（1，），向量，的夹角是，•=2，则||等于______ ．【答案】2【解析】解：∵||=又∵即：∴故答案为：2由向量的坐标可求的向量的模再由向量数量积的定义即可得出答案．本题考察了向量的坐标以及向量数量积的定义，求出的模是关键，属于基础题．14.若在圆C ：x 2+y 2=4内任取一点P （x ，y ），则满足 ＜ ＞ 的概率= ______ ．【答案】【解析】解：满足＜ ＞的区域如图面积为=（x -x 3）| =， 由几何概型公式可得在圆C ：x 2+y 2=4内任取一点P （x ，y ），则满足＜ ＞的概率为 ； 故答案为：．分别求出圆的面积以及满足不等式组的区域面积，利用几何概型公式解答．本题考查了几何概型的公式运用；关键是利用定积分求出区域的面积．利用几何概型公式解答．15.观察下面数表：设1027是该表第m 行的第n 个数，则m +n 等于 ______ ． 【答案】 13【解析】解：根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数， 第一行1个数，第二行2=21个数，且第1个数是3=22-1第三行4=22个数，且第1个数是7=23-1第四行8=23个数，且第1个数是15=24-1…第10行有29个数，且第1个数是210-1=1023，第2个数为1025，第三个数为1027；所以1027是第10行的第3个数，所以m =10，n =3，所以m +n =13； 故答案为：13．根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数，第一行1个数，第二行2个数，第三行4个数，第四行8个数，…第10行有29个数，分别求出左起第1个数的规律，按照此规律，问题解决 本题主要考查归纳推理的问题，关键是根据数表，认真分析，找到规律，然后进行计算，即可解决问题．16.过原点的直线l与双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左右两支分别相交于A，B两点，F（-，0）是双曲线C的左焦点，若|FA|+|FB|=4，=0．则双曲线C的方程= ______ ．【答案】【解析】解：设|FB|=x，则|FA|=4-x，∵过原点的直线l与双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左右两支分别相交于A，B两点，F（-，0）是双曲线C的左焦点，∴|AB|=2，∵=0，∴x2+（4-x）2=12，∴x2-4x+2=0，∴x=2±，∴|FB|=2+，|FA|=2-，∴2a=|FB|-|FA|=2，∴a=，∴b=1，∴双曲线C的方程为．故答案为：．设|FB|=x，则|FA|=4-x，利用勾股定理，建立方程，求出|FB|=2+，|FA|=2-，可得a，b，即可得出结论．本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，确定几何量是关键．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知△ABC是圆O（O为坐标原点）的内接三角形，其中A（1，0），B（-，-），角A，B，C的对边分别为A，B，C．（Ⅰ）若点C的坐标是（-，），求cos∠COB；（Ⅱ）若点C在优弧上运动，求a+b的最大值．【答案】解：（Ⅰ）由点C，B的坐标可以得到∠AOC=，∠AOB=，…（2分）所以cos∠COB=cos（∠AOC+∠AOB）=-×=-；…（6分）（Ⅱ）因为c=，∠AOB=，所以C=，所以，…（8分）所以a+b=2sin A+2sin（-A）=2sin（A+），（0＜A＜），…（11分）所以当A=时，a+b最大，最大值是2．…（12分）【解析】（Ⅰ）由点C，B的坐标可以得到∠AOC，∠AOB，即可由cos∠COB=cos（∠AOC+∠AOB）得解．（Ⅱ）由正弦定理可得a+b=2sin A+2sin（-A）=2sin（A+），由题意求得角C可得A的范围，从而可求a+b的最大值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18.如图是某市11月1日至15日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200，表示空气质量重度污染，该市某校准备举行为期3天（连续3天）的运动会，在11月1日至11月13日任选一天开幕（Ⅰ）求运动会期间至少两天空气质量优良的概率；（Ⅱ）记运动会期间，空气质量优良的天数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望【答案】解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是P2=．…（6分）（Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0，1，2，3；…（7分）P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，…（9分）．所以随机变量ξ的分布列是：随机变量ξ的数学期望是E ξ=0×+1×+2×+3×=．…（12分） 【解析】（Ⅰ）说明该校运动会开幕日共有13种选择，列出运动会期间至少两天空气质量优良的数目，然后求解概率．（Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0，1，2，3，求出概率，得到ξ的分布列，然后求解期望．本题考查古典概型的概率的求法，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．19.如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD=DC=CB=2，AB=4，矩形AEFC 中，AE= ，平面AEFC ⊥平面ABCD ，点G 是线段EF 的中点（Ⅰ）求证：AG ⊥平面BCG（Ⅱ）求二面角D-GC-B 的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为AD=DC=CB=2，AB=4，所以∠ABC=60°， 由余弦定理求得AC=2 ， 从而∠ACB=90°， 即BC ⊥AC ，又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ， 所以BC ⊥平面AEFC ， 所以BC ⊥AG ，在矩形AEFC 中，tan ∠AGE=， 则∠AGE=，tan ∠CGF=，则∠CGF=， 所以∠CGF+∠AGE=，即AG ⊥CG ，所以AG ⊥平面BCG ；（Ⅱ）FC ⊥AC ，平面AEFC ⊥平面ABCD ， 所以FC ⊥平面ABCD ，以点C 为原点，CA ，CB ，CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则C （0，0，0），A （2 ，0，0），B （0，2，0），D （ ，-1，0），G （ ，0， ），平面BCG 的法向量 =（ ，0，- ）， 设平面GCD 的法向量 =（x ，y ，z ），则，从而，令x=1，则y=，z=-1，则=（1，，-1），所以cos＜，＞==，而二面角D-GCB为钝角，故所求二面角的余弦值为-．【解析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理证明AG⊥CG，即可证明AG⊥平面BCG（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角D-GC-B的余弦值．本题主要考查空间线面垂直的判定，以及二面角的求解，利用向量法是解决二面角的常用方法．20.已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）的一条直径是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的长轴，过椭圆C2上一点D（1，）的动直线l与圆C1相交于点A、B，弦AB长的最小值是（1）圆C1和椭圆C2的方程；（2）椭圆C2的右焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线m、n，设直线m交圆C1于点P、Q，直线n与椭圆C2于点M、N，求四边形PMQN面积的取值范围．【答案】解：（1）由题意可得a=r，点D在圆内，当AB⊥C1D时，直线AB被圆截得的弦长最短，且为2=2=，解得r=2，即a=2，点D代入椭圆方程，有+=1，解得b=，则有圆C1的方程为x2+y2=4，椭圆C2的方程为+=1；（2）设过点F（1，0）作两条互相垂直的直线m：y=k（x-1），直线n：y=-（x-1），圆心C1到直线m的距离为d=，则|PQ|=2=2，由y=-（x-1）和椭圆+=1，可得（3k2+4）y2-6ky-9=0，判别式显然大于0，y1+y2=，y1y2=-，则|MN|=•=，则有四边形PMQN面积为S=|PQ|•|MN|=•2•=12•=12•，由于k2＞0，即有1+k2＞1，S＞12×=6，且S＜12×=4，则四边形PMQN面积的取值范围是（6，4）．【解析】（1）由题意可得a=r，点D在圆内，当AB⊥C1D时，直线AB被圆截得的弦长最短，由弦长公式计算即可得到r=2，再将D的坐标代入椭圆方程，即可求得b，进而得到圆和椭圆的方程；（2）设出直线m，n的方程，运用圆和直线相交的弦长公式和直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，分别求得|PQ|，|MN|，再由四边形的面积公式，化简整理计算即可得到取值范围．本题考查直线和圆、椭圆的位置关系，同时考查直线被圆、椭圆截得弦长的问题，运用圆的垂径定理和弦长公式，以及韦达定理是解题的关键．21.已知函数f（x）=lnx+x2-2ax+1（a为常数）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若对任意的a∈（1，），都存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a-a2）成立，求实数m的取值范围．【答案】解：函数f（x）=lnx+x2-2ax+1（a为常数）（1）f′（x）=+2x-2a=，x＞0，①当a≤0时，f′（x）＞0成立，若f′（x）≥0，则2x2-2ax+10≥0，△=4a2-8，当-时，f′（x）≥0恒成立，所以当a时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a＞时，∵2x2-2ax+10≥0，x＞或0＜＜2x2-2ax+10＜0，＜＜，∴f（x）在（0，），（）上单调递增，在（，）单调递减，（2）∵a∈（1，），+2x-2a＞0，∴f′（x）＞0，f（x）在（0，1]单调递增，f（x）max=f（1）=2-2a，存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a-a2）成立，即2-2a+lna＞m（a-a2），∵任意的a∈（1，），∴a-a2＜0，即m＞恒成立，令g（a）=，∵m＞恒成立最后化简为g′（a）==∵任意的a∈（1，），＞0，∴g（a）=，a∈（1，）是增函数．∴g（x）＜g（）=+=∴实数m的取值范围m≥【解析】（1）求解f′（x）=+2x-2a=，x＞0，判断2x2-2ax+10的符号，分类得出①当a≤0时，f′（x）＞0成立，当-时，f′（x）≥0恒成立，即可得出当a时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a＞时，求解不等式2x2-2ax+10≥0，2x2-2ax+10＜0，得出f（x）在（0，），（）上单调递增，在（，）单调递减，（2）f（x）max=f（1）=2-2a，存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a-a2）成立，即2-2a+lna＞m（a-a2），m＞恒成立，构造函数g（a）=，利用导数求解即可转化为最值即可判断．利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法，同学们在做题的同时，可以根据单调性，结合函数的草图来加深对题意的理解．22.在圆内接四边形ABCD中，AC与BD交于点E，过点A作圆的切线交CB的延长线于点F．若AB=AD，AF=18，BC=15，求AE的长．【答案】解：∵AF是圆的切线，且AF=18，BC=15，∴由切割线定理可得AF2=FB•FC，∴182=FB（FB+15），∴FB=12，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵AF是圆的切线，∴∠FAB=∠ADB，∴∠FAB=∠ABD，∴AF∥BD，∵AD∥FC，∴四边形ADBF为平行四边形，∴AD=FB=12，∵∠ACF=∠ADB=∠F，∴AC=AF=18，∵，∴，∴AE=8．故答案为：8．【解析】由切割线定理，求出FB，再证明四边形ADBF为平行四边形，求出AD=AB，利用，可求AE的长．本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于中档题．23.以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆O 的参数方程是和直线l的极坐标方程是ρsin（θ-）=．（Ⅰ）求圆O和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求直线l与圆O公共点的一个极坐标．【答案】解：（Ⅰ）圆O的参数方程可以化为：，所以圆O的直角坐标方程是：．转化为：x2+y2-x-y=0直线l的极坐标方程可以化为：，所以直线l的直角坐标方程为：x-y+1=0；（Ⅱ）由，解得：，故直线l与圆O公共点为（0，1），该点的一个极坐标为（1，）．【解析】（Ⅰ）首先把圆的参数方程转化为直角坐标方程，进一步把标准形式转化为一般式，再把直线的极坐标形式转化为直角坐标的形式．（Ⅱ）利用两个方程建立方程组，解出交点坐标，最后把直角坐标形式转化为极坐标的形式．本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，解方程组的应用，点的直角坐标和极坐标的互化，主要考查学生的应用能力．24.设函数f（x）=|2x+1|-|x-3|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）已知关于x的不等式a-3|x-3|＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）＞0等价于|2x+1|＞|x-3|，两边平方得：4x2+4x+1＞x2-6x+9，即3x2-10x-8＞0，解得x＜-或x＞4，所以原不等式的解集是：（-∞，-）∪（4，+∞）；（Ⅱ）不等式a-3|x-3|＜f（x）等价于a＜|2x+1|+2|x-3|，因为|2x+1|+2|x-3|≥|（2x+1）-2（x-3）|=7，即有a＜7．所以a的取值范围是（-∞，7）．【解析】（Ⅰ）运用两边平方法，去绝对值，再由二次不等式的解法，即可得到所求解集；（Ⅱ）运用参数分离和不等式恒成立思想方法，由绝对值不等式的性质，求得右边的最大值，即可得到所求a的范围．本题考查绝对值不等式的解法，主要考查绝对值不等式的性质和平方法解绝对值的方法，考查运算能力，属于中档题．。
2015年江西省高考理科数学试题与答案（word 版）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设复数z 满足1+z1z -=i ，则|z|=（A ）1 （B（C（D ）2（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A） （B） （C ）12- （D ）12 （3）设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为（A ）∀n ∈N, 2n >2n （B ）∃ n ∈N, 2n ≤2n（C ）∀n ∈N, 2n ≤2n （D ）∃ n ∈N, 2n =2n（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312（5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF •2MF ＜0，则y 0的取值范围是（A ）（-3，3） （B ）（-6，6） （C ）（3-，3） （D ）（3-，3）（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）设D 为所在平面内一点ABC ∆，CD BC 3=，则 （A ）AC AB AD 3431+-= （B ）AC AB AD 3431－=- （C ） AC AB AD 3134+= （D ）AC AB AD 3134－= (8)函数)cos()(ϕω+=x x f 的部分图像如图所示，则f （x ）的单调递减区间为(A)（）,k(B)（）,k(C)（）,k(D)（）,k（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（10）52）（y x x ++的展开式中，25y x 的系数为 （A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。
江西省萍乡市数学高三理数第二次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·荆州期中) 集合A={x|（x﹣3）（x﹣a）=0，a∈R}，B={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则集合A∪B，A∩B中元素的个数不可能是（）A . 4和1B . 4和0C . 3和1D . 3和02. （2分）(2017·白山模拟) 已知复数z的实部为﹣1，虚部为2，则对应的点位于（）A . 第四象限B . 第一象限C . 第三象限D . 第二象限3. （2分）等比数列中，已知对任意自然数，，则等于（）A .B .C .D .4. （2分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为， D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A . 3B .C . 1D .5. （2分）若向量=(1,1)，=(2,5),=(2,x)满足条件(8-)=30，则x=（）A . 6B . 5C . 4D . 36. （2分）(2018·河北模拟) 已知一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .7. （2分）下列关系式中正确的是（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高三上·泸县期末) 某家庭去年收入的各种用途占比统计如下面的折线图，今年收入的各种用途占比统计如下面的条形图.已知今年的“旅行”费用比去年增加了3500元，则该家庭今年“衣食住”费用比去年增加了（）A . 2000元B . 2500元C . 3000元D . 3500元9. （2分）(2020·随县模拟) 圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示.早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年.生活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计的值：在区间内随机取个数，构成个数对，设，能与1构成钝角三角形三边的数对有对，则通过随机模拟的方法得到的的近似值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2015高一下·沈阳开学考) 设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（2）=（）A . 6B . ﹣6C . 10D . ﹣1011. （2分） (2017高二上·牡丹江月考) 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·宁波期末) 设函数f（x）=log2x+ax+b（a＞0），若存在实数b，使得对任意的x∈[t，t+2]（t＞0）都有|f（x）|≤1+a，则t的最小值是（）A . 2B . 1C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2013·四川理) 二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是________（用数字作答）．14. （1分） (2016高二上·湖州期末) 设不等式组表示的平面区域为M，则M的面积是________，目标函数z=x+y的最大值是________．15. （1分）椭圆x2+4y2=16被直线y= x+1截得的弦长为________．16. （1分） (2017高二上·泰州开学考) 已知函数f（x）=sinx，若存在x1 ， x2 ，，xm满足0≤x1＜x2＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|=12，（m≥2，m∈N*），则m的最小值为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2018高二上·通辽月考) 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A＝，sin B＝ cos C．（1）求tan C的值；（2）若a＝，求△ABC的面积．18. （10分） (2017高二下·桂林期末) 某企业招聘中，依次进行A科、B科考试，当A科合格时，才可考B 科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过．甲参加招聘，已知他每次考A科合格的概率均为，每次考B科合格的概率均为．假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响．（I）求甲恰好3次考试通过的概率；（II）记甲参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望．19. （10分） (2016高二下·惠阳期中) 如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，且∠DAB=90°，∠ABC=45°，CB= ，AB=2，PA=1．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若M是PC的中点，求二面角M﹣AD﹣C的大小．20. （10分）(2018·绵阳模拟) 如图，椭圆的左、右焦点分别为，轴，直线交轴于点，，为椭圆上的动点，的面积的最大值为1.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条直线与椭圆分别交于，且使轴，如图，问四边形的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.21. （10分） (2019高三上·宁德月考) 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）已知且，若函数没有零点，求证：．22. （10分）(2020·安阳模拟) 以直角坐标系xOy的原点为极坐标系的极点，x轴的正半轴为极轴.已知曲线的极坐标方程为，P是上一动点，，Q的轨迹为 .（1）求曲线的极坐标方程，并化为直角坐标方程，（2）若点，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线的交点为A，B，当取最小值时，求直线l的普通方程.23. （10分） (2018高二下·辽宁期末) 设不等式的解集为 , . （1）求集合；（2）比较与的大小, 并说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
AB江西省萍乡市高三毕业班数学理科第二次调研测试卷 人教版理科数学（必修＋选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷 本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）． 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）．如果事件A 在1次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k kn k n n P k C P P -=-．球的表面积公式 S 球＝4πR 2其中R 表示球的半径．球的体积公式 V 球＝43πR 3其中R 表示球的半径．一、选择题：1．已知集合P ＝｛0，m ｝，Q ＝｛x │2x 2－5x ＜0，x ∈Z ｝，若P ∩Q ≠∅，则m 等于（A ）1 （B ）2 （C ）1或2 （D ）1或522．圆x 2＋y 2＝4与直线l ：x ＝a 相切，则a 等于 （A ）2 （B ）2或－2 （C ）－2 （D ）4 3．函数y ＝f （x ）的图象与直线x ＝1的公共点数目是 （A ）0或1（B ）1或2（C ）1（D ）04．在△ABC 中，若·AB AC ＜0，则△ABC 为 （A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形（D ）以上均有可能5．若双曲线x28 － y2m 2 ＝1（m ＞0）的一条准线与抛物线y 2＝－8x 的准线重合，则m 的值为（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）4 2 6．定义运算a b c d ＝ad －bc ，则符合条件11z zi -＝4＋2i 的复数z 为（A ）3－i （B ）1＋3i （C ）3＋i （D ）1－3i7．如图所示，断开一些开关使A 到B 的电路不通的不同方法共有 （A ）6种 （B ）8种 （C ）11种（D ）15种8．若x ≥0，y ≥0且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 的最大值为（A ）0 （B ）23 （C ）34（D ）29．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是对角线A 1C 上的点，且PQ ＝a2，则三棱锥P－BDQ 的体积为（A 33 （B 33 （C 33 （D ）不确定10．已知命题p ：函数y ＝log 0．5（x 2＋2x ＋a ）的值域为R ，命题q ：函数y ＝－（5－2a ）x是减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是 （A ）a ≤1 （B ）a ＜2 （C ）1＜a ＜2 （D ）a ≤1或a ≥211．设随机变量ξ的概率分布为P （ξ＝k ）＝2k C，k ＝1，2，3，其中C 为常数，则E ξ的值为（A ）117 （B ）711 （C ）118 （D ）81112．已知二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，若M ＝｜a －b ＋c ｜＋｜2a ＋b ｜，N＝｜a ＋b ＋c ｜＋｜2a －b ｜，则M 与N 的大小关系是 （A ）M ≥N （B ）M ≤N （C ）M ＜N（D ）M ＞N第Ⅱ卷本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，则ab ＝ ▲ ．14．已知函数f （x ）＝x 5－5x 4＋10x 3－10x 2＋5x －1，则f （x ）的反函数为 ▲ ．15．正方形ABCD 的边AB 在直线y ＝x ＋4上，C 、D 两点在抛物线y 2＝x 上，则正方形ABCD 的面积为 ▲ ．16．设x ，y ，z 是空间中不同直线或不同平面，且直线不在平面内，则下列结论中能保证“若x ⊥z ，且y ⊥z ，则x ∥y ．”为真命题．．．的是 ▲ （请把你认为所有正确．．的结论的代号都填上）．① x 为直线，y ，z 为平面 ② x ，y ，z 为平面 ③ x ，y 为直线，z 为平面 ④ x ，y 为平面，z 为直线⑤ x ，y ，z 为直线三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知二次函数f （x ）＝x 2－2x －3的图象为曲线C ．（1）求过点P （0，－3）且与曲线C 相切的直线的斜率；（2）求函数g （x ）＝f （x 2）的单调递增区间．••11-O xy18（本小题满分12分）如图，函数f 1（x ）＝A sin （ωx ＋ϕ）（A ＞0，ω＞0，｜ϕ｜＜π2）的一段图象，过点（0，1）．（1）求函数f 1（x ）的解析式；（2）将函数y ＝f 1（x ）的图象按向量a ＝π,04⎛⎫⎪⎝⎭平移，得到函数y ＝f 2（x ），求y ＝f 1（x ）＋f 2（x ）的最大值，并求此时自变量x 的集合．19（本小题满分12分）某基本系统是由四个整流二极管（串、并）联结而成．已知每个二极管的可靠度为0．8（即正常工作时），若要求系统的可靠度大于0．85，请你设计两种二极管的联结方式，并通过计算加以说明．20（本小题满分12分）如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点．（1）试判断直线PB 与平面EAC 的关系，并加以证明；（2）求证：AE ⊥平面PCD ；（3）若AD ＝AB ，试求二面角A －PC －D 的正切值.得 分 评卷人π12-5π1211π121x y O P ABCDE21（本小题满分13分）已知平面上一个定点C （－1，0）和一条定直线l ：x ＝－4，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，（PQ ＋2PC ）（PQ －2PC ）＝0.（1）求点P 的轨迹方程； （2）求PQ ·PC 的取值范围．22（本小题满分13分）已知数列｛b n ｝是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145． （1）求数列｛b n ｝的通项b n ；（2）设数列｛a n ｝的通项a n ＝log a 11n b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，记Sn 是数列｛a n ｝的前n 项和．证明：S n ＞1log 3a nb +（其中a ＞1）.参考答案及评分标准一、选择题：（每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A B B A C D B C A C 解答提示：二、填空题：（每小题4分，共16分）13．8 14．f－1（x）＝5x＋1（x∈R）15．18或50 16．①③④三、解答题：17．解：（1）∵f（x）＝x2－2x－3，∴f′（x）＝2x－2．···················2分∵点P坐标是（0，－3），∴点P在曲线C上．∴f′（0）＝－2．·········5分∴过点P且与曲线C相切的直线的斜率是－2；················6分（2）∵g（x）＝f（x2）＝x4－2x2－3，∴g′（x）＝4x3－4x＝4x（x＋1）（x－1）···················8分令g′（x）＝0，得x＝－1，或x＝0，或x＝1．···············10分列表：x（－∞，－1）－1 （－1，0）0 （0，1） 1 （1，＋∞）g′（x）－0 ＋0 －0 ＋g（x）↘↗↘↗由表可得：函数g（x）的单调递增区间为（－1，0），（1，＋∞）．……………12分18．解：（1）由图知：T＝11π12―（―π12）＝π，于是ω＝2πT＝2．·············2分设f1（x）＝A sin（2x＋ϕ），将函数f（x）＝A sin2x的图象向左平移π12，得f1（x）＝A sin（2x＋ϕ）的图象，····················3分则ϕ＝2×π12＝π6，∴f1（x）＝A sin（2x＋π6）．··············4分将（0，1）代入f1（x）＝A sin（2x＋π6），易得A＝2．············6分故f1（x）＝2sin（2x＋π6）；·······················7分（2）依题意：f2（x）＝2sinππ246x⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝－2cosπ26x⎛⎫+⎪⎝⎭，·········8分∴y＝2sinπ26x⎛⎫+⎪⎝⎭－2cosπ26x⎛⎫+⎪⎝⎭＝22sinπ212x⎛⎫-⎪⎝⎭．·······10分当2x－π12＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋7π24，k∈Z时，y max＝22．此时，x的取值集合为7π,Z24x x k kπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．············12分19. 解：（1）见下图（1）全是并联，可靠1－0. 24＝0. 9984＞0. 85；（2）见下图（2）两个、两个串联后再并联，可靠度为1－（1－0. 82）2＝0. 8704＞0. 85；（3）见下图（3）两个、两个并联后再串联，可靠度为（1－0. 22）2＝0. 9216＞0. 85；（4）见下图（4）三个串联后，再与第四个并联，可靠度为1－0. 2（1－0. 83）＝0. 9024＞0. 85.评分标准：正确画出图形，一个给3分，最多6分；能就图形计算可靠度大于0．85的，正确判断一个给3分，最多6分，满分12分. 20．解法一：（1）PB ∥平面EAC ．证明如下： ··························· 1分连结BD 交AC 于点O ，连结EO ，则O 为BD 的中点， ················ 2分 又∵E 为PD 的中点，∴EO ∥PB ，∴PB ∥平面EAC ． ················· 4分 （2）∵CD ⊥AD ，侧面PAD ⊥底面ABCD ＝AD ，∴CD ⊥侧面PAD ，∴CD ⊥AE ． ··············· 5分∵侧面PAD 是正三角形，E 为侧棱PD 的中点，∴AE ⊥PD ，∴AE ⊥平面PCD ； ··············· 7分（3）过E 作EM ⊥PC 于M ，连结AM ，由（1）知AM ⊥PC ．∴∠AME 为二面角A －PC －D 的平面角． ·········· 8分由正三角形PAD 及矩形ABCD ，且AD ＝AB ，∴PD ＝AD ＝AB ＝DC ， ······························9分 ∴在等腰直角三角形DPC 中，设AB ＝a ，则AE 3a ，PC 2，EM ＝122a ． ·················· 10分 在Rt △AEM 中，tan ∠AME ＝AE ME 3212a ⨯6 ·············· 11分 即二面角A －PC －D 6． ······················ 12分解法二：（1）同解法一； ···················· 4分 （2）设N 为AD 中点，Q 为BC 中点，则因为△PAD 是正三角形，底面ABCD是矩形，所以，PN ⊥AD ，QN ⊥AD ，又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，所以，PN ⊥面ABCD ，QN ⊥面PAD ，以N 为坐标原点，NA 、NQ 、NP 所在直线分别为x ，y ，z 轴如图建立空间直角坐标系．设AD ＝1，AB ＝a ，则3P ⎛ ⎝⎭，1,,02B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，1,,02C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,0,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，134E ⎛- ⎝⎭．5分 ∴334AE ⎛=- ⎝⎭，13,0,2PD ⎛=- ⎝⎭，()0,,0DC a =. ∴3133042AE PD ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0AE DC ⋅=. ∴,AE PD AE DC ⊥⊥． 又PDDC D =，PD ，DC ⊂面PDC ，∴ AE ⊥平面PCD ；7分（3）当a ＝1时，由（2）可知：334AE ⎛=-⎝⎭是平面PDC 的法向量， 设平面PAC 的法向量为()1,,n x y z =，则1n PA ⊥，1n AC ⊥， ············ 8分 即13020x x y ⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩，取x ＝1，可得：y ＝1，z 3．所以，13n ⎛= ⎝⎭． ······ 9分 PA BC D Ex yzNQPA B CD EMNFO向量AE 与1n 所成角θ的余弦值为：1131744cos 3723n AE n ACθ-+⋅===⋅⨯ ····· 10分∴tan θ＝ 6 ． ·································· 11分 又由图可知，二面角A －PC －D 的平面角为锐角，所以二面角A －PC －D 的平面角就是向量AE 与1n 所成角θ的补角．其正切值等于 6 . ································ 12分 21．解：（1）由（PQ ＋2PC ）（PQ －2PC ）＝0，∴｜PQ ｜2＝4｜PC ｜2． ······· 2分设P （x ，y ），得｜x ＋4｜2＝4［（x ＋1）2＋y 2］，∴3x 2＋4y 2＝12.∴点P 的轨迹方程为24x ＋23y ＝１； ···················· 6分（2）设P （x ，y ），∴PQ ＝（－4－x ，0），PC ＝（－1－x ，－y ）． ········· 8分PQ ·PC ＝（－4－x ，0）·（－1－x ，－y ）＝x 2＋5x ＋4＝252x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－94． ················· 11分由x ∈［－2，2］，故有PQ ·PC ∈［－2，18］． ·············· 13分22．解：（1）设数列｛b n ｝的公差为d ，由题意得111,10(10-1)10145.2b d b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得11,3.b d =⎧⎨=⎩ ∴b n ＝3n －2； ··········· 5分 （2）由b n ＝3n －2知，S n ＝log a （1＋1）＋log a 114⎛⎫+⎪⎝⎭＋…＋log a 1132n ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭ ＝log a 11(11)11432n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦． ··········6分 又∵31log log (31)3a n ab n +=+ 要证明Sn ＞1log 3a nb +，（其中a ＞1），只需证明311(11)11432n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦＞3n ＋1，①············ 7分 下面用数学归纳法来证明①式成立．1° 当n ＝1时，（1＋1）3＞3·1＋1，所以①式成立； ··············· 8分 2° 假设当n ＝k （k ≥1）时①式成立，即311(11)11432k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦＞3k ＋1．当n ＝k ＋1时，3111(11)11143231k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＞（3k ＋1）31131k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭．＞（3k ＋1）3131k ⎛⎫+⎪+⎝⎭＝3k ＋4．所以①式当n ＝k ＋1时成立， ······················ 11分 由1°，2°可知①式对任何正整数n 都成立． ··············· 12分 又因为a ＞1，所以Sn ＞1log 3a nb +． ··················· 13分。
江西省萍乡市数学高三理数第二次教学质量监测试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有 30 名，参加乙项 的学生有 25 名，则仅参加了一项活动的学生人数为（ ）A . 50B . 45C . 40D . 352. （2 分） 已知复数 z1=3-bi,z2=1-2i，若 是实数，则实数 b 的值为（ ） A.0B. C.6 D . -6 3. （2 分） 已知函数 f（x）=ax3﹣x2+x﹣5 在（﹣∞，+∞）上既有极大值，也有极小值，则实数 a 的取值范 围为（ ）A . a＞B . a≥C . a＜ 且 a≠0D . a≤ 且 a≠0 4. （2 分） 从 5 名学生中选 2 名学生参加周日社会实验活动，学生甲被选中而学生乙没有被选中的方法种数第 1 页 共 14 页是（ ） A . 10 B.6 C.4 D.3 5. （2 分） 已知正三角形 OAB 中，点 O 为原点，点 B 的坐标是(-3,4)，点 A 在第一象限，向量向量 与向量 的夹角为 ， 则 的值为（ ）A. B. C. D. 6. （2 分） 如图所示,程序据图(算法流程图)的输出结果为（ ），记A. B. C.第 2 页 共 14 页D.7. （2 分） (2016 高二上·襄阳开学考) 已知函数 f（x）=sin（π﹣2x），g（x）=2cos2x，则下列结论正确 的是（ ）A . 函数 f（x）在区间[]上为增函数B . 函数 y=f（x）+g（x）的最小正周期为 2πC . 函数 y=f（x）+g（x）的图象关于直线 x= 对称D . 将函数 f（x）的图象向右平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 g（x）的图象 8. （2 分） 设 a、b、c 分别是△ABC 的三边长，且 a=4，b=5，c=7，则△ABC 是（ ） A . 直角三角形 B . 锐角三角形 C . 钝角三角形 D . 无法确定9. （2 分） 设 两直线斜率A. B. C. D.分别为双曲线的左，右顶点，若双曲线上存在点 使得，则双曲线 的离心率的取值范围为（ ）10. （2 分） 在梯形 ABCD 中，∠ABC= ， AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周 而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）第 3 页 共 14 页A.B.C. D . 2π11. （2 分） 二项式（ ﹣ ）10 展开式中的常数项是（ ） A . 360 B . 180 C . 90 D . 45 12. （2 分） 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形， 若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A. B. C. D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)第 4 页 共 14 页13. （1 分） (2018 高二下·临汾期末) 已知实数 ， 满足约束条件小值为 3，则常数________．14. （1 分） (2020·榆林模拟) 在 的平分线交 于点 D ， 且中，角所对的边分别为，则的最小值为________．15. （1 分） (2019 高三上·烟台期中) 已知函数在则在上的最大值与最小值的和为________.，且 ，的最 ，内有且只有一个零点，16. （1 分） (2018·银川模拟) 已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为在第一象限中的任意一点，过 作面积的最小值为________.，试运用该性质解决以下问题：椭圆 的切线 ， 分别与 轴和 轴的正半轴交于，点 为 两点，则三、 解答题 (共 7 题；共 75 分)17. （10 分） (2017 高一下·宜春期末) 在等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15．（1） 求数列{an}的通项公式；（2） 设，求 b1+b2+b3++b10 的值．18. （10 分） (2019 高三上·金台月考) 如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，，， 为棱 的中点， 为棱 的动点.（1） 求证：平面；第 5 页 共 14 页（2） 若二面角的余弦值为，求点 的位置.19. （10 分） (2012·浙江理) 如图，椭圆 C：=1（a＞b＞0）的离心率为 ，其左焦点到点 P（2，1）的距离为，不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，且线段 AB 被直线 OP 平分．（1） 求椭圆 C 的方程；（2） 求△APB 面积取最大值时直线 l 的方程．20. （15 分） (2017·福州模拟) 某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定： 第一阶段知识测试成绩不小于 160 分的学生进入第二阶段比赛．现有 200 名学生参加知识测试，并将所有测试成绩 绘制成如下所示的频率分布直方图．（Ⅰ）估算这 200 名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；（Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得 120 分，进入最后抢答阶 段．抢答规则：抢到的队每次需猜 3 条谜语，猜对 1 条得 20 分，猜错 1 条扣 20 分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为 ，乙队猜对前两条的概率均为 ，猜对第 3 条的概率为 做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？．若这两队抢到答题的机会均等，您第 6 页 共 14 页21. （10 分） 已知函数 f（x）= ． （Ⅰ）求函数 f（x）极值； （Ⅱ）若直线 y=ax+b 是函数 f（x）的切线，求 a﹣b 的最大值； （Ⅲ）若方程 f（x）=m 存在两个实数根 x1 ， x2 ， 且 x1+x2=2x0 ． ①求证：0＜m＜1； ②问：函数 f（x）图象上在点（x0 ， f（x0））处的切线是否能平行 x 轴？若存在，求出该切线；若不存在说 明理由．22. （10 分） (2018 高二上·辽源期末) 已知直线 的参数方程为 极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为（1） 求直线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程；（2） 设直线 与曲线 交于两点，求 .（ 为参数），以原点为 .23. （10 分） (2018·银川模拟) 已知向量，，（1） 求函数的最小正周期及取得最大值时对应的 x 的值；（2） 在锐角三角形 ABC 中，角 A、B、C 的对边为 a、b、c，若 此时该三角形的形状.,求三角形 ABC 面积的最大值并说明第 7 页 共 14 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 14 页16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 75 分)17-1、 17-2、18-1、18-2、第 9 页 共 14 页19-1、第 10 页 共 14 页19-2、20-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
