高斯求积公式
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一、 引言介绍高斯型求积公式,并使用其求积分⎰=1sin I xdx 。
要求:数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化。
我们知道,求积公式⎰∑=≈bani i ix f Adx x f 0)()( (1.1)含有22+n 个待定常数i x 及),,2,1,0(n i A i =,如果它具有n 次代数精确度,则它应使1+m 个方程mk dx x x A bakni ki i ,,2,1,0,==⎰∑= (1.2)精确成立。
作为插值型求积公式(1.1)它至少具有n 次代数精确度;另一方面,令)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω,则对22+n 次多项式)()(21x x f n +=ω而言,(7.5.1)右端为零,而左端严格大于零,即(7.5.1)式对22+n 次多项式)(21x n +ω不准确成立。
但要确定方程组(7.5.2)中的22+n 个待定常数i x 与i A ,最多需要给出22+n 个独立条件,所以m最大取12+n 。
因此,插值型求积公式(1.1)的代数精确度最小是n ,最大是12+n .由此可见,高斯公式的代数精度比牛顿-科特斯公式高,求解高斯求积公式的关键就是解出上述2n+2个待定常数。
为解决上述问题,首先要先给出三个定理:定理一:以n x x x ,,,10 为节点的插值型求积公式(7.5.1)具有12+n 次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω与任意次数不超过n 的多项式)(x P 均在区间],[b a 上正交,即⎰=+ban dx x x P 0)()(1ω (1.3)定理二:高斯公式(1.1)的求积系数k A 全为正,且nk dx x l dx x l A bak bak k ,1,0,)()(2===⎰⎰(1.4)定理三:对于高斯公式(1.1),其余项为dxx fn f R ban n ⎰+++=)()()!22(1)(21)22(ωη (1.5)其中).())(()(],,[101n n x x x x x x x b a ---=∈+ ωη证明 以n x x x ,,,10 为节点构造)(x f 的埃尔米特插值多项式)(x H),()(i i x f x H = ni x f x H i i ,1,0),()(='='因为)(x H 是12+n 次多项式,而它的余项是)()()!22(1)()(21)22(x fn x H x f n n +++=-ωξ所以高斯公式(7.5.1)对)(x H 能准确成立,即∑∑⎰====ni i in i iibax f Ax H A dx x H 0)()()(从而dxx fn dxx H dx x f x f A dx x f f R n ban babani i i ba)()()!22(1)()()()()(21)22(0++=⎰⎰⎰∑⎰+=-=-=ωξ若)()22(x fn +在区间],[b a 上连续,由于)(21x n +ω在],[b a 上不变号,故应用积分中值定理可得],[,)()()!22(1)(21)22(b a dx x fn f R ban n ∈+=⎰++ηωη上述定理说明,与牛顿—科兹公式进行比较,高斯公式不但具有高精度,而且它还是数值稳定的,但是节点和求积系数的计算比较麻烦。
高斯求积公式范文高斯求积公式,也称为高斯–勒让德求积公式(Gauss-Legendre Quadrature),是数值计算中一种常见的数值积分方法。
它通过选择适当的节点和权重来近似计算一个确定积分的值。
高斯求积公式的基本思想是通过选取合适的节点,使得积分节点上的函数值和求积公式的节点值与相应的权重值的乘积之和等于被积函数的积分。
要了解高斯求积公式,首先需要了解勒让德多项式(Legendre Polynomials)。
勒让德多项式是定义在区间[-1,1]上的一个连续函数系列,它们具有许多重要的性质。
其中最为重要的性质是勒让德多项式是在[-1,1]上正交的,即在区间[-1,1]上的积分为0,除非两个不同的多项式相乘。
高斯求积公式可以通过使用勒让德多项式的正交性质来推导。
假设我们要计算函数f(x)在区间[-1,1]上的积分,可以通过勒让德多项式来近似这个积分。
具体的做法是,首先选择一个适当的正整数n,计算n个勒让德多项式。
然后,在区间[-1,1]上选择n个互不相同的节点x_i,通过求解勒让德多项式的根来得到这些节点。
接下来,计算n个权重w_i,使得求积公式的节点值与权重值之积的和等于被积函数在区间[-1,1]上的积分。
对于一个给定的n,高斯求积公式的节点和权重可以通过一系列的计算得到。
首先,通过求解勒让德多项式的根来得到节点。
勒让德多项式的根是对应于勒让德多项式的零点的x值。
然后,通过求解勒让德多项式的导数来得到权重。
通过这些计算,我们可以得到一组称为高斯节点和权重的数值。
利用高斯节点和权重,我们可以将原始的积分问题转化为一组简单的加权求和问题。
具体地,我们可以将被积函数f(x)展开为勒让德多项式的级数形式,然后将这个级数代入原始积分的公式中,使用高斯节点和权重来计算每一项的值,最后将这些值相加得到积分的数值近似值。
1.高准确性:高斯求积公式可以提供非常精确的数值积分结果。
2.高效性:高斯求积公式可以通过选择适当的节点和权重,使计算量最小化。
高斯-勒让德(gauss-legendre)求积公式的证明高斯-勒让德(Gauss-Legendre)求积公式是一种用于数值积分的方法,通过对积分区间上的权重和节点进行适当选择,可以实现高精度的数值积分。
下面是高斯-勒让德求积公式的概要证明:1.首先,我们需要选择积分区间和节点数。
高斯-勒让德求积公式要求积分区间为[-1, 1],且节点数与权重数相同。
2.接下来,我们需要在[-1, 1]之间确定节点和相应的权重。
节点是使得关联的勒让德多项式在该点上取得零值的点。
权重则反映了在积分计算中节点的重要性。
3.对于高斯-勒让德求积公式的n阶,我们需要找到n个根(即节点)x1, x2, ..., xn,并确定相应的权重w1, w2, ..., wn。
4.使用勒让德多项式进行重写。
勒让德多项式Pn(x)可以表示为(n阶勒让德多项式的归一化形式):Pn(x) = (1 / (2^n * n!)) * d^n/dx^n [(x^2 - 1)^n]5.根据正交性质,勒让德多项式在区间[-1, 1]上相互正交。
即对于i ≠ j,有:∫[-1, 1] P_i(x) * P_j(x) dx = 0根据这一性质,我们可以确定节点和权重。
6.使用节点和权重构建高斯-勒让德求积公式。
积分的近似值可以表示为:∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) / 2 * ∑[i=1 to n] wi * f((b - a) * xi / 2 + (b + a) /2)其中wi是权重,xi是节点。
7.在实际计算中,节点和权重需要通过数值方法来求解,如Jacobi矩阵或递推关系式等。
一种常用的数值求解方法是利用Jacobi矩阵的特征值与特征向量,通过迭代过程求解。
需要注意的是,上述证明提供了高斯-勒让德求积公式的概要,具体的证明过程可能会涉及更多数学推导和定理。