高中数学第五章第3课时导数在函数有关问题及实际生活中的应用含解析新人教A版选择性必修第二册

第五章 5.3 5.3.2 第3课时A 级——基础过关练1．将8分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为( ) A ．2和6 B ．4和4 C ．3和5 D ．以上都不对【答案】B2．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(140－x )件，要使利润最大每件定价为( )A ．80元B ．85元C ．90元D ．95元 【答案】B3．(2021年合肥期末)设正三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A ．12V B ．4V C ．23VD ．34V【答案】D 【解析】设底面边长为x ，则高为h ＝4V 3x2，S 表＝3×4V 3x2·x ＋2×34x 2＝43V x ＋32x 2，所以S ′表＝－43V x 2＋3x ，令S ′表＝0，得x ＝34V ，经检验得，当x ＝34V时，S 表取得最小值．4．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x (x ∈N *)满足y ＝－x 2＋12x －25，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】由题意得，年平均利润为f (x )＝－x 2＋12x －25x ＝－x ＋12－25x(x >0)，f ′(x )＝－1＋25x2，令f ′(x )＝0，得x ＝5，经检验得，当x ＝5时，年平均利润最大．5．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．设该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，且Q 与p 有如下关系：Q ＝8300－170p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28000元D ．23000元【答案】D 【解析】由题意知，毛利润等于销售额减去成本，即L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8300－170p －p 2)(p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，所以L ′(p )＝－3p2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．此时，L (30)＝23 000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )＞0，右侧L ′(p )＜0.所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值．6．现要做一个容积为256m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( ) A ．6m B ．8m C ．4mD ．2m【答案】C 【解析】设底边长为x (x ＞0)，由题意可得，高h ＝256x2，用料y ＝x 2＋4xh＝x 2＋4×256x ＝x 2＋512x ＋512x ≥335122＝192，当且仅当x 2＝512x即x ＝8时，取等号，故它的底边长为8，高为4时最省材料．故选C ．7．(多选)一艘船的燃料费y (单位：元/时)与船速x (单位：千米/时)的关系是y ＝1100x 3＋x .若该船航行时其他费用为540元/时，航程为100千米，设航行总费用为L (x )，则下列说法正确的是( )A ．L (x )＝x 2＋540x＋100(x ＞0)B ．L (x )＝x 2＋54000x＋100(x ＞0)C ．要使得航行的总费用最少，航速应为20千米/时D ．要使得航行的总费用最少，航速应为30千米/时 【答案】BD 【解析】由题意可得，航行的总费用L (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1100x 3＋x ＋540100x＝x 2＋54 000x ＋100(x ＞0)，故A 错误，B 正确；L ′(x )＝2x －54 000x2，令L ′(x )＝0，得x ＝30，当0＜x ＜30时，L ′(x )＜0，L (x )单调递减，当x ＞30时，L ′(x )＞0，L (x )单调递增，所以当x ＝30时，L (x )取得极小值，也是最小值，所以要使得航行的总费用最小，航速应为30千米/时，故C 错误，D 正确．故选BD ．8．用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面一边比高长出0.5m ，则当高为__________m 时，容器的容积最大．【答案】1 【解析】由题意列出函数表达式，再用导数求最值，设高为x m ，则体积V ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )，V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，解得x ＝1或x ＝－415(舍去)．9．某车间要盖一间长方形小屋，其中一边利用已有的墙壁，另三边新砌，现有存砖只够砌20m 长的墙壁，问应围成长为________m ，宽为________m 的长方形才能使小屋面积最大．【答案】10 5 【解析】要使长方形的小屋面积最大，已有的墙壁一定是小屋的长，设小屋宽为x m ，则长为(20－2x )m ，小屋面积S ＝x (20－2x )，S ′＝－4x ＋20，令S ′＝0，解得x ＝5，∴20－2x ＝10，∴当小屋长为10 m ，宽为5 m 时，面积最大．10．已知某工厂生产x 件产品的成本(单位：元)为C (x )＝25000＋200x ＋140x 2.(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 解：(1)设平均成本为y 元，则y ＝25 000＋200x ＋140x2x ＝25 000x ＋200＋x 40，所以y ′＝－25 000x 2＋140.令y ′＝0，得x ＝1000.当在x ＝1000附近左侧时，y ′<0，在x ＝1000附近右侧时y ′>0， 故当x ＝1000时，y 取极小值也是最小值， 所以要使平均成本最低，应生产1000件产品． (2)利润函数为S ＝500x －⎝⎛⎭⎪⎫25 000＋200x ＋x 240＝300x －25 000－x 240.令S ′＝300－x20＝0，得x ＝6000.当在x ＝6000附近左侧时，S ′>0，在x ＝6000附近右侧时S ′<0，故当x ＝6000时，S 取极大值也是最大值，所以要使利润最大，应生产6000件产品．B 级——能力提升练11．(2021年长沙期末)一个帐篷，它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为( )A ．32m B ．1m C ．3mD ．2m【答案】D 【解析】设OO 1为x m(1<x <4)，底面正六边形的面积为S m 2，帐篷的体积为V m 3.由题设得正六棱锥底面边长为32－(x －1)2＝8＋2x －x 2(m)，所以底面正六边形的面积为S ＝6×34(8＋2x －x 2)2＝332(8＋2x －x 2)．帐篷的体积V ＝13×332(8＋2x －x 2)(x －1)＋332(8＋2x －x 2)＝32(8＋2x －x 2)[(x －1)＋3]＝32(16＋12x －x 3)，V ′＝32(12－3x 2)．令V ′＝0，解得x ＝2或x ＝－2(不合题意，舍去)．当1＜x ＜2时，V ′＞0；当2＜x ＜4时，V ′＜0，所以当x ＝2时，V 最大．12．(多选)(2021年北京期中)将一个边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，做成一个无盖方盒．设方盒的容积为V (x )，则下列结论正确的是( )A ．V (x )＝(a －2x )2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2B ．V ′(x )＝12x 2－8ax ＋a 2C ．V (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，a 4上单调递增D ．V (x )在x ＝a6时取得最大值【答案】ABD 【解析】依题意，折成无盖盒子的底面是边长为a －2x 的正方形，高为x ，则V (x )＝(a －2x )2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜a 2，选项A 正确；由V (x )＝4x 3－4ax 2＋a 2x ，得V ′(x )＝12x 2－8ax ＋a 2，选项B 正确；令V ′(x )＞0，解得0＜x ＜a 6，令V ′(x )＜0，解得a 6＜x ＜a2，故V (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 6单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，a 2单调递减，且在x ＝a 6处取得最大值，选项C 错误，选项D正确．故选ABD ．13．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件的收益为200元，对于多于150件的订购合同，每超过1件，则每件的收益比原来减少1元，那么订购________件的合同会使公司的收益最大．【答案】175 【解析】设订购x 件商品，则单件商品的收益为P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧200(0≤x ≤150)，200－(x －150)(x ＞150)，故总收益R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧200x (0≤x ≤150)，350x －x 2(x ＞150).当0≤x ≤150时，x ＝150，R (x )取得最大值30 000；当x ＞150时，x ＝175，R (x )取得最大值30 625.故订购175件的合同会使总收益最大．14．(2022年湖南模拟)中国最早的化妆水是1896年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效．已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成(其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中)，容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为12cm ，则当圆柱的底面半径r ＝________时，该容器的容积最大，最大值为________．【答案】8π＋2cm 128π(π＋2)2cm 3【解析】设圆柱的底面半径为r cm ，圆柱的高为h cm ，则由题意可得πr ＋2h ＋2r ＝12，∴h ＝12－(π＋2)r 2＝6－π＋22r ，由h ＞0，得r ＜12π＋2，故容器的容积V ＝πr 2h ＝πr 2⎝ ⎛⎭⎪⎫6－π＋22·r ＝6πr 2－(π＋2)π2·r 3，其中0＜r ＜12π＋2，V ′(r )＝12πr －3π(π＋2)2·r 2，令V ′(r )＝0，得r ＝0(舍)或r ＝8π＋2，当r ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，8π＋2时，V ′(r )＞0，函数单调递增；当r ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋2，12π＋2时，V ′(r )＜0，函数单调递减，∴当r ＝8π＋2时，V 有最大值为128π(π＋2)2 cm 3. 15．水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t 的近似函数关系式为V (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧(－t 2＋14t －40)e 14t ＋50，0<t ≤10，4(t －10)(3t －41)＋50，10<t ≤12.(1)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i －1<t <i 表示第i 月份(i ＝1，2，…，12)，问一年内哪几个月份是枯水期？(2)求一年内该水库的最大蓄水量(取e ≈2.7计算)． 解：(1)根据t 的范围分段求解． ①当0<t ≤10时，V (t )＝(－t 2＋14t －40)e 14t ＋50<50，化简得t 2－14t ＋40>0，解得t <4或t >10. 又∵0<t ≤10，故0<t <4.②当10<t ≤12时，V (t )＝4(t －10)(3t －41)＋50<50， 化简得(t －10)(3t －41)<0，解得10<t <413.又∵10<t ≤12，故10<t ≤12. 综上，0<t <4或10<t ≤12.∴枯水期为1月，2月，3月，11月，12月，共5个月． (2)由(1)知V (t )的最大值只能在(4，10)内达到．V ′(t )＝e 14t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14t 2＋32t ＋4＝－14e 14t (t ＋2)(t －8)．令V ′(t )＝0，解得t ＝8(t ＝－2舍去)． 当t 变化时，V ′(t )与V (t )的变化情况如下表，∴V (t )在t ＝8时取得最大值V (8)＝8e 2＋50≈108.32(亿立方米)． ∴一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米． 函数的极值与最大(小)值综合练习A 级——基础过关练1．函数y ＝(x ＋1)e x ＋1，x ∈[－3，4]的最大值为( )A ．2e －2B ．5e 5C ．4e 5D ．－e －1【答案】B 【解析】由y ＝f (x )＝(x ＋1)e x ＋1，得y ′＝ex ＋1＋(x ＋1)ex ＋1＝(x ＋2)ex ＋1，当－3<x <－2时，y ′<0，当－2<x <4时，y ′>0，所以函数y ＝(x ＋1)ex ＋1在(－3，－2)上单调递减，在(－2，4)上单调递增，因为f (－3)＝－2e －2<f (4)＝5e 5，所以函数y ＝(x ＋1)ex＋1，x ∈[－3，4]的最大值为5e 5.故选B ．2．如图是函数y ＝f (x )的导数y ＝f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在(－3，1)内f (x )是增函数B ．在(4，5)内f (x )是减函数C ．在x ＝1时f (x )取得极大值D ．在x ＝2时f (x )取得极大值【答案】D 【解析】由图可知，f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32，(2，4)上f ′(x )<0，f (x )单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2，(4，5)上f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以x ＝1不是f (x )的极值点，x ＝2是f (x )的极大值点，所以A 、B 、C 选项错误，D 选项正确．故选D ．3．已知函数f (x )＝(x 2＋a )e x有最小值，则函数y ＝f ′(x )的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．不确定【答案】C 【解析】由题意，f ′(x )＝(x 2＋2x ＋a )e x，因为函数f (x )有最小值，且e x>0，所以函数存在单调递减区间，即f ′(x )<0有解，所以x 2＋2x ＋a ＝0有两个不等实根，所以函数y ＝f ′(x )的零点个数为2.故选C ．4．(2021年河南三模)设函数f (x )＝e xx ＋a ，若f (x )的极小值为e ，则a ＝( )A ．－12B ．12C ．32D ．2【答案】B 【解析】由已知得f ′(x )＝e x (x ＋a －1)(x ＋a )2(x ≠－a )，令f ′(x )＝0，有x ＝1－a ，且x <1－a 上单调递减，x >1－a 上单调递增，∴f (x )的极小值为f (1－a )＝e 1－a＝e ，即1－a ＝12，解得a ＝12.故选B ．5．现需建造一个容积为V 的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的3倍．要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径r 与高h 的比值为( )A ．12 B ．13 C ．23D ．14【答案】D 【解析】设单位面积铁的价格为a ，h ＝Vπr2，则造价w (r )＝πr 2·a ＋2πrh ·a ＋πr 2·3a ＝4a πr 2＋2aV r ，w ′(r )＝8a πr －2aV r 2，取w ′(r )＝8a πr －2aVr2＝0，得到r＝3V4π，当0<r <3V4π时，函数单调递减，当r >3V4π时，函数单调递增，故r ＝3V4π时，造价最小，此时h ＝V πr 2＝4πr3πr2＝4r .6．(多选)(2022年保定开学)已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋2，下列说法中正确的有( )A ．函数f (x )的极大值为223，极小值为－103B ．当x ∈[3，4]时，函数f (x )的最大值为223，最小值为－103C ．函数f (x )的单调减区间为[－2，2]D ．曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线方程为y ＝－4x ＋2【答案】ACD 【解析】因为f (x )＝13x 3－4x ＋2，所以f ′(x )＝x 2－4，由f ′(x )>0，得x <－2或x >2，由f ′(x )<0，得－2<x <2，所以函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，故选项C 正确；当x ＝－2时，f (x )取得极大值f (－2)＝13×(－2)3－4×(－2)＋2＝223，在x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝13×23－4×2＋2＝－103，故选项A 正确；当x ∈[3，4]时，f (x )为单调递增函数，所以当x ＝3时，f (x )取得最小值f (3)＝13×33－4×3＋2＝－1，当x ＝4时，f (x )取得最大值f (4)＝13×43－4×4＋2＝223，故选项B 不正确；因为f ′(0)＝－4，所以曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线方程为y －2＝－4(x －0)，即y ＝－4x ＋2，故选项D 正确．故选ACD ．7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3【答案】C 【解析】因为不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，所以a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，所以a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.又因为f (x )＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝52，所以a ≥－52，所以a 的最小值为－52.8．函数f (x )＝x sin x ＋cos x －3x 2的极值点为________．【答案】0 【解析】依题意，f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x －6x ＝x cos x －6x ，令f ′(x )＝x (cos x －6)＝0，解得x ＝0，符合题意，∴函数f (x )的极值点为0.9．已知函数f (x )＝exx，g (x )＝a －|x －1|，若∃x 1，x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[e ，＋∞) 【解析】∃x 1，x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)≤g (x 2)成立⇔当x ∈(0，＋∞)时，f (x )min ≤g (x )max .由题意得f ′(x )＝e x(x －1)x2，当x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )＝exx在(0，＋∞)上的最小值为f (1)＝e.又因为函数g (x )在(0，＋∞)上的最大值为g (1)＝a ，故a ≥e.10．(2022年浦江月考)已知函数f (x )＝x 3＋x 2＋ax ， (1)若a ＝－1，求f (x )的极值；(2)当－83<a <0时，f (x )在[0，2]上的最大值为10，求f (x )在该区间上的最小值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 3＋x 2－x ，f ′(x )＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝13，则x ，f ′(x )，f (x )变化情况如下表，∴f (x )的极大值为f (－1)＝1，极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝127＋19－13＝－527.(2)∵f ′(x )＝3x 2＋2x ＋a ，∴Δ＝4－12a . 又－83<a <0，∴Δ>0.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1－1－3a 3，x 2＝－1＋1－3a3，则x ，f ′(x )，f (x )变化情况如下表，∴f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减． ∵－83<a <0，x 1<0<x 2<2，∴f (x )min ＝f (x 2)．又∵f (0)＝0，f (2)＝12＋2a >0，∴f (x )在[0，2]上的最大值为f (2)＝12＋2a ＝10，解得a ＝－1， ∴f (x )min ＝f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝－527. B 级——能力提升练11．(多选)(2022年重庆月考)定义在[－1，5]上的函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，函数f (x )的部分对应值如下表．下列关于函数f (x )的结论正确的是( )A ．函数f (x )的极大值点的个数为2B ．函数f (x )的单调递增区间为(－1，0)∪(2，4)C ．当x ∈[－1，t ]时，若f (x )的最小值为1，则t 的最大值为2D ．若方程f (x )＝a 有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是(1，2)【答案】AD 【解析】由图知函数f (x )在区间[－1，0]上单调递增，在区间[0，2]上单调递减，在区间[2，4]上单调递增，在区间[4，5]上单调递减，所以在x ＝0，x ＝4处有极大值，故A 正确；单调区间不能写成并集，故B 错误；因为函数f (2)＝1，f (4)＝3，且f (x )在区间[2，4]上单调递增，所以存在x 0∈[2，4]使得f (x 0)＝2，易知，当t ＝x 0时，f (x )在区间[－1，t ]的最小值为1，故C 不正确；由函数值表结合单调性作出函数草图可知D 正确．故选AD ．12．(2022年咸阳月考)已知函数y ＝f (x )在R 上可导且f (0)＝1，其导函数f ′(x )满足(x ＋1)[f ′(x )－f (x )]>0，对于函数g (x )＝f (x )ex，下列结论正确的是( )A ．函数g (x )在(－∞，－1)上为增函数B ．x ＝－1是函数g (x )的极大值点C ．函数g (x )必有2个零点D ．e 2f (e)>e ef (2)【答案】D 【解析】因为g (x )＝f (x )ex，所以g ′(x )＝f ′(x )－f (x )ex.因为(x ＋1)[f ′(x )－f (x )]>0，所以当x <－1时，f ′(x )－f (x )<0，当x >－1时，f ′(x )－f (x )>0，所以当x <－1时，g ′(x )<0，当x >－1时，g ′(x )>0，所以g (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，故A 错误；x ＝－1是g (x )的极小值点，故B 错误；当g (－1)>0时，g (x )无零点，故C 错误；由g (x )在(－1，＋∞)递增，得g (2)<g (e)，即f (2)e2<f (e)ee ，所以e ef (2)<e 2f (e)，故D 正确．故选D ．13．(2022年遵义开学)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|2x |－m ，x <12x 3ln x －m ，x ≥12恰有3个零点，则m 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤－13e ，－ln28∪(0，1) 【解析】设函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|2x |，x <12，x 3ln x ，x ≥12，根据题意函数f (x )恰有3个零点，即为函数g (x )的图象与直线y ＝m 有3个公共点，当x ≥12时，可得g ′(x )＝x 2(3ln x ＋1)，令g ′(x )＝0，得x ＝e －13 >12，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，e －13 时，函数g (x )单调递减；当x ∈(e －13 ，＋∞)时，函数g (x )单调递增，所以当x ＝e －13 时，函数g (x )取得极小值，极小值为g (e －13 )＝－13e ，又由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－18ln2<0，作出g (x )的图象，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－13e ，－ln 28∪(0，1)．14．传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的．这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12cm 且以每秒1cm 的速率缩短，而长度以每秒20cm 的速率增长．已知神针的底面半径只能从12cm 缩到4cm 为止，已知在这段变形过程中，当底面半径为10cm 时其体积最大．该定海神针原来的长度为__________cm ；假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为________cm.【答案】60 4 【解析】设定海神针原来的长度为x cm ，则t 秒后其长度变为(x ＋20t )cm ，其底面半径变为(12－t )cm ，∴t 秒后定海神针的体积V ＝πR 2h ＝π(12－t )2(x ＋20t )，0≤t ≤8，又V ′＝π[(2t －24)(x ＋20t )＋20(12－t )2]＝π(t －12)(2x ＋60t －240)，令V ′＝0，可得t ＝12(舍去)或t ＝4－x30，变形过程中，当底面半径为10 cm 时其体积最大，即t ＝2时体积最大，∴4－x30＝2，解得x ＝60，∴V ′＝60π(t －12)(t －2)．当0≤t <2时，V ′>0，函数V ＝20π(12－t )2(3＋t )单调递增，当2<t ≤8时，V ′<0，函数V ＝20π(12－t )2(3＋t )单调递减，又t ＝0时，V ＝8640π，t ＝8时，V ＝3520π，∴t ＝8时，定海神针的体积最小，即t ＝8时形成金箍棒，此时底面半径为4 cm.15．已知函数f (x )＝x ln x －ax ＋2(a 为实数) (1)若a ＝2，求f (x )在[1，e 2]的最值； (2)若f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2 时，f (x ) ＝x ln x －2x ＋2，f ′(x )＝ln x －1.由f ′(x )<0得0<x <e ，由f ′(x )>0得x >e ，所以f (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，且f (e) ＝eln e －2e ＋2 ＝2－e ，f (1)＝1ln 1－2＋2＝0，f (e 2)＝e 2ln e 2－2e 2＋2 ＝2，则函数f (x )在区间[1，e 2]上的最小值为 2－e ，最大值为2.(2)由题意得函数的定义域为(0，＋∞)，若f (x )≥0恒成立，则x ln x －ax ＋2≥0，即ln x ＋2x≥a 恒成立．令g (x )＝ln x ＋2x，x ∈(0，＋∞)则g ′(x )＝1x －2x 2＝x －2x2.当 0<x <2时，g ′(x )<0； 当x >2时，g ′(x )>0，所以g (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 则g (x )min ＝g (2)＝1＋ln 2，所以a ≤1＋ln 2 ，故a 的取值范围为(－∞，1＋ln 2]．。

第五章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义..................................................................................................... - 1 -5.1.1变化率问题 ......................................................................................................... - 1 -5.1.2导数的概念及其几何意义.................................................................................. - 6 -5.2导数的运算 .................................................................................................................. - 11 -5.2.1基本初等函数的导数........................................................................................ - 11 -5.2.2导数的四则运算法则........................................................................................ - 11 -5.2.3简单复合函数的导数........................................................................................ - 15 -5.3导数在研究函数中的应用........................................................................................... - 20 -5.3.1函数的单调性 ................................................................................................... - 20 -5.3.2函数的极值与最大(小)值 ................................................................................. - 26 - 5.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题1．平均变化率对于函数y＝f (x)，从x1到x2的平均变化率：(1)自变量的改变量：Δx＝x2－x1.(2)函数值的改变量：Δy＝f (x2)－f (x1)．(3)平均变化率ΔyΔx＝f x2－f x1x2－x1＝f x1＋Δx－f x1Δx.思考：Δx，Δy以及平均变化率一定为正值吗？[提示]Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零，平均变化率ΔyΔx可正可负可为零．2．瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx.3．曲线的切线斜率(1)设P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线y＝f (x)上任意不同两点，则平均变化率f x －f x 0x －x 0＝f x 0＋Δx －f x 0Δx为割线P 0P 的斜率．(2)当P 点逐渐靠近P 0点，即Δx 逐渐变小，当Δx →0时，瞬时变化率lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx就是y ＝f (x )在x 0处的切线的斜率即k ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx .求平均变化率【例1】 (1)如图，函数y ＝f (x )在[1，5]上的平均变化率为( )A ．12B ．－12C ．2D ．－2 (2)函数y ＝－2x 2＋1在区间[1，1＋Δx ]内的平均变化率为________． (1)B (2)－4－2Δx [(1)Δy Δx＝f5－f 15－1＝1－35－1＝－12.故选B. (2)Δy ＝－2(1＋Δx )2＋1－(－2×12＋1)＝－2Δx (2＋Δx )， 所以平均变化率为Δy Δx ＝－2Δx 2＋ΔxΔx＝－4－2Δx .]1．求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； 第二步，求函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； 第三步，求平均变化率Δy Δx ＝fx 2－f x 1x 2－x 1.2．求平均变化率的一个关注点 求点x 0附近的平均变化率，可用f x 0＋Δx －f x 0Δx的形式．求瞬时速度[探究问题]1．物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2，如何计算物体在[1，1＋Δt ]这段时间内的平均速度？[提示] Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝10＋5Δt . 2．当Δt 趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ [提示] 当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 趋近于10，这时的平均速度即为当t ＝1时的瞬时速度．【例2】 某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．[思路探究] 计算物体在[1，1＋Δt ]内的平均速度ΔsΔt――――→令Δt →0计算lim Δt →0 Δs Δt ―→得t ＝1 s 时的瞬时速度[解] ∵Δs Δt＝s 1＋Δt －s1Δt＝1＋Δt 2＋1＋Δt ＋1－12＋1＋1Δt＝3＋Δt ，∴lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(3＋Δt )＝3. ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s.1．(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度． [解] 求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵Δs Δt ＝s 0＋Δt －sΔt＝0＋Δt2＋0＋Δt ＋1－1Δt＝1＋Δt ，∴limΔt→0(1＋Δt)＝1.∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.[解]设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.又ΔsΔt＝s t＋Δt－s t0Δt＝(2t0＋1)＋Δt.lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.则2t0＋1＝9，∴t0＝4.则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.求运动物体瞬时速度的三个步骤设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s t，则求物体在t＝t时刻的瞬时速度的步骤如下：1写出时间改变量Δt，位移改变量ΔsΔs＝s t0＋Δt－s t0.2求平均速度：v＝Δs Δt.3求瞬时速度v：当Δt→0时，ΔsΔt→v常数.求函数在某点的切线斜率及方程【例3】(1)已知函数y＝x－x，则该函数在点x＝1处的切线斜率为________．(2)求曲线f (x)＝x2＋1在点P(1，2)处的切线的斜率，并求出切线方程．[思路探究](1)x＝1处的瞬时变化率即为斜率．(2)求x＝1时瞬时变化率―→切线斜率―→切线的方程(1)2[∵Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－⎝⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx＋1－11＋Δx＝Δx＋Δx1＋Δx，∴ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx，∴斜率k＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0⎝⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx＝1＋1＝2.](2)[解]显然点P(1，2)在曲线上，根据导数的几何意义，可知切线的斜率为k＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→01＋Δx2＋1－12＋1Δx＝limΔx→0Δx2＋2ΔxΔx＝limΔx→0(Δx＋2)＝2.故切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.求函数y＝f (x)在点x0处的导数的三个步骤5.1.2导数的概念及其几何意义1．导数的概念如果当Δx→0时，平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx有极限，则称y＝f (x)在x＝x处可导，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或y′|x＝x0，即f ′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx.思考：f ′(x0)＞0和f ′(x0)＜0反映了怎样的意义？[提示] f ′(x0)＞0反映了瞬时变化率呈增长趋势，f ′(x0)＜0反映了瞬时变化率呈下降趋势．2．导数的几何意义(1)导数的几何意义如图，割线P0P的斜率k＝f x－f xx－x.记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f (x)无限趋近于点P时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f (x)在x＝x处的导数，因此，函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是切线P0T的斜率k，即k0＝limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx＝f ′(x0)．(2)切线方程曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．3．导函数对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个唯一确定的数，当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为y ＝f (x )的导函数(简称为导数)，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx.求函数在某点处的导数【例1】 (1)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，则lim h →0f x 0＋h －f x 0－hh等于( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0 (2)求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数． (1)B [∵Δx ＝(x 0＋h )－(x 0－h )＝2h . ∴lim h →0f x 0＋h －f x 0－hh＝2lim h →0f x 0＋h －f x 0－h2h＝2f ′(x 0)．故选B.](2)解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )2－3＝6Δx ＋3(Δx )2，∴ΔyΔx＝6＋3Δx ，∴f ′(1)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(6＋3Δx )＝6.利用导数定义求导数 1取极限前，要注意化简ΔyΔx，保证使Δx →0时分母不为0. 2函数在x 0处的导数f ′x 0只与x 0有关，与Δx 无关.3导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛.导数几何意义的应用的图象可能是( )A B C D(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t 的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( )A B C D[思路探究](1)切线斜率大于零，则f ′(x)＞0；切线斜率小于零，则f ′(x)＜0；(2)要明确运输效率的含义，题设中已经给出运输效率即单位时间内的运输量，因此，运输效率逐步提高就是指Q′(t)不断增大．(1)B(2)B[(1)由y＝f (x)的图象及导数的几何意义可知，当x＜0时，f ′(x)＞0；当x＝0时，f ′(x)＝0；当x＞0时，f ′(x)＜0，故B符合．(2)从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B 项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．故选B.]导数几何意义理解中的两个关键关键点一：y＝f x在点x＝x0处的切线斜率为k，则k＞0⇔f ′x0＞0；k＜0⇔f ′x＜0；k＝0⇔f ′x0＝0.关键点二：|f ′x0|越大⇔在x0处瞬时变化越快；|f ′x0|越小⇔在x处瞬时变化越慢.求切线方程[探究问题]1．如何求曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程？[提示]y－y0＝k(x－x0)．即根据导数的几何意义，求出函数y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．2．曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？[提示]曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线，点(x0，f (x0))一定是切点，只要求出k＝f ′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f (x)过某点(x0，y)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．3．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？[提示]不一定．曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f (x)的交点个数不一定只有一个，如图所示．【例3】已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；(2)求曲线C过点(1，1)的切线方程．[思路探究](1)求y′|x＝1―→求切点―→点斜式方程求切线(2)设切点x0，y0―→求y′|x＝x―→由y′|x＝x＝y－1x－1求x0，y0―→写切线方程[解](1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1，1)．y′|x＝1＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01＋Δx3－1Δx＝limΔx→0[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.∴k＝y′|x＝1＝3.∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知y′|x＝x0＝3x2，由题意可知k PQ＝y′|x＝x，即y－1x－1＝3x2，又y0＝x3，所以x3－1x－1＝3x2，即2x3－3x2＋1＝0，解得x0＝1或x 0＝－12.①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0.②当x0＝－12时，切点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－12，－18，相应的切线方程为y＋18＝34⎝⎛⎭⎪⎫x＋12，即3x－4y＋1＝0.1．(变条件)把题中条件“y＝x3”改成“y＝x2”，求曲线在x＝1点处的切线方程[解]把x＝1代入y＝x2得y＝12＝1.即切点P(1，1)，y′|x＝1＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01＋Δx2－1Δx＝limΔx→0(Δx＋2)＝2，∴k＝y′|x＝1＝2.∴曲线y＝x2在P(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.2．(变条件、变结论)求曲线y＝x2＋1过点P(1，0)的切线方程．[解]设切点为Q()a，a2＋1，k＝limΔx→0f a＋Δx－f aΔx＝limΔx→0(2a＋Δx)＝2a.∴在Q点处的切线方程为y－(a2＋1)＝2a(x－a)．(*)把点(1，0)代入(*)式得－(a2＋1)＝2a(1－a)．解的a＝1± 2.再把a＝1±2代入到(*)式中．即得y＝(2＋22)x－(2＋22)或y＝(2－22)x－(2－22)．这就是所求的切线方程．利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f (x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f ′(x)(x－x0)．(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数5.2.2导数的四则运算法则1．几个常用函数的导数(1)f (x)＝c(常数)，则f ′(x)＝0；(2)f (x)＝x，则f ′(x)＝1；(3)f (x)＝x2，则f ′(x)＝2x；(4)f (x)＝x3，则f ′(x)＝3x2；(5)f (x)＝1x，则f ′(x)＝－1x2；(6)f (x)＝x，则f ′(x)＝12x.2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0 f (x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f ′(x)＝αxα－1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos xf ′(x )＝－sin xf (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a (a ＞0，且a ≠1)f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln a(a ＞0，且a ≠1) f (x )＝ln xf ′(x )＝1x3．导数的运算法则 (1)和差的导数[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)积的导数①[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； ②[cf (x )]′＝cf ′(x )． (3)商的导数 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ](g (x )≠0)．利用导数公式求函数的导数(1)y ＝cos π6；(2)y ＝1x 5；(3)y ＝x 2x ；(4)y ＝lg x ；(5)y ＝5x；(6)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .[解] (1)∵y ＝cosπ6＝32，∴y ′＝0. (2)∵y ＝1x5＝x －5，∴y ′＝－5x －6.(3)∵y ＝x 2x ＝x 2x 12＝x 32，∴y ′＝32x 12.(4)∵y ＝lg x ，∴y ′＝1x ln 10. (5)∵y ＝5x ，∴y ′＝5x ln 5.(6)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ，∴y ′＝cos x .1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“1x与ln x ”，“a x 与log a x ”，“sin x 与cos x ”的导数区别．利用导数的运算法则求导数1．如何求函数y ＝tan x 的导数？ [提示] y ＝tan x ＝sin xcos x， 故y ′＝sin x′cos x －cos x′sin xcos x 2＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x.2．如何求函数y ＝12sin 2x 的导数？[提示] y ＝12sin 2x ＝sin x cos x∴y ′＝(sin x )′cos x ＋sin x (cos x )′＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x . 【例2】 求下列函数的导数：(1)y ＝x 3＋sin x ；(2)y ＝3x 2＋x cos x ；(3)y ＝x ＋1x －1. [解] (1)y ′＝(x 3＋sin x )′＝(x 3)′＋(sin x )′＝3x 2＋cos x . (2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝(3x 2)′＋(x cos x )′ ＝3×2x ＋x ′cos x ＋x (cos x )′ ＝6x ＋cos x －x sin x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1′＝x ＋1′x －1－x ＋1x －1′x －12＝－2x －12.1．(变条件)把例2(2)的函数换成“y ＝x 2－sin x 2cos x2”，求其导数．[解] ∵y ＝x 2－sin x 2 cos x 2＝x 2－12sin x∴y ′＝2x －12cos x .2．(变条件)把例2(3)的函数换成“y ＝x tan x ”，求其导数． [解] y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′＝x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2xcos 2x＝sin x cos x ＋xcos 2x.仔细观察和分析函数的结构特征，紧扣求导运算法则，联系基本初等函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形.另外，对较复杂的函数求导时，可先化简再求导，特别地，对于对数函数的真数是根式或分式时，可先根据对数函数的性质将真数转化为有理式或整式，然后求导.导数计算的综合应用【例3】 (1)已知函数f (x )＝x 2＋3，若f ′(1)＝2，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8(2)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的图象过点(1，5)，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．[思路探究] (1)先求导，列方程求解．(2)先求导，由条件可知1，2是导函数的两个零点． (1)B (2)f (x )＝2x 3－9x 2＋12x [(1)∵f (x )＝ax x 2＋3，∴f ′(x )＝a x 2＋3－2ax 2x 2＋32＝3a －ax 2x 2＋32.∵f ′(1)＝12，∴3a －a 42＝12，解得a ＝4.故选B.(2)因为f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，f (1)＝5，所以⎩⎨⎧3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－9，c ＝12.故函数f (x )的解析式是f (x )＝2x 3－9x 2＋12x .]三次函数求导问题由于三次函数的导数是二次函数，因此将导数的计算与二次函数的图象和性质结合起来就很容易理解了.这类题目比较受学生的青睐，解题时应回顾二次函数的单调性、最值、图象的对称轴、二次项系数对图象的影响等.5.2.3 简单复合函数的导数1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．2．复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．复合函数的导数【例1】求下列函数的导数：(1)y＝e2x＋1；(2)y＝12x－13；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝ln 3xe x.[解](1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝e u和u＝2x＋1的复合函数，∴y′x＝y′u·u x′＝(e u)′(2x＋1)′＝2e u＝2e2x＋1.(2)函数y＝12x－13可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，∴y′x＝y′u·u x′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－62x－14.(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝－5u ln 2＝5x－1ln 2.(4)∵(ln 3x)′＝13x×(3x)′＝1x.∴y′＝ln 3x′e x－ln 3x e x′e x2＝1x－ln 3xe x＝1－x ln 3xx e x.1．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．2．复合函数求导的步骤三角函数型函数的导数【例2】求下列函数的导数：(1)y＝cos x2⎝⎛⎭⎪⎫sinx2－cosx2；(2)y＝x2＋tan x.[思路探究]先将给出的解析式化简整理，再求导．[解](1)∵y＝cos x2⎝⎛⎭⎪⎫sinx2－cosx2＝cosx2sinx2－cos2x2＝12sin x－12(1＋cos x)＝12(sin x－cos x)－12，∴y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin x－cos x－12′＝12(sin x－cos x)′＝12(cos x＋sin x)．(2)因为y＝x2＋sin xcos x，所以y′＝(x2)′＋⎝⎛⎭⎪⎫sin xcos x′＝2x＋cos2x－sin x－sin xcos2x＝2x＋1cos2x.三角函数型函数的求导要求对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导.复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导.导数运算法则的综合应用1．若直线y＝x＋b与曲线y＝e x相切于点P，你能求出切点坐标及b的值吗？[提示]设P(x0，y0)，由题意可知y′|x＝x0＝ex，所以e x＝1，即x0＝0，∴点P(0，1)．由点P(0，1)在直线y＝x＋b上可知b＝1.2．曲线y＝a e x＋x ln x在点(1，a e)处的切线方程为y＝2x＋b，你能求出a，b的值吗？[提示]∵y′＝a e x＋ln x＋1，∴y′|x＝1＝a e＋1，∴2＝a e＋1，∴a＝e－1.∴切点为(1，1)，将(1，1)代入y＝2x＋b，得1＝2＋b，∴b＝－1，故a＝1e，b＝－1.【例3】(1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )A． 5 B．2 5C．3 5 D．0(2)设曲线y＝e ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.[思路探究](1)设P x0，y0―→由y′|x＝x＝2求P x0，y0―→点到直线的距离求最小值(2)求y′|x＝0―→由y′|x＝0＝2求a的值(1)A(2)2[(1)设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．∵y′＝22x－1，∴y′|x＝x＝22x0－1＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)．∴切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝|2－0＋3|4＋1＝5，即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是 5.(2)令y＝f (x)，则曲线y＝e ax在点(0，1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x)＝e ax，所以f ′(x)＝(e ax)′＝e ax·(ax)′＝a e ax，所以f ′(0)＝a e0＝a，故a＝2.]1．(变条件)本例(1)的条件变为“曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋m ＝0的最小距离为25”，求m的值．[解]由题意可知，设切点P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝22x0－1＝2，∴x0＝1，即切点P(1，0)，∴|2－0＋m|5＝25，解得m＝8或－12.即实数m的值为8或－12.2．(变条件、变结论)把本例(1)条件变为“若直线y＝kx＋b是y＝ln x＋2的切线，也是y＝ln(x＋1)的切线”，求b的值．[解]函数y＝ln x＋2的导函数为y′＝1x，函数y＝ln(x＋1)的导函数为y′＝1x＋1.设曲线y＝ln x＋2和曲线y＝ln(x＋1)上的切点横坐标分别为m，n，则该直线方程可以写成y＝1m·(x－m)＋ln m＋2，也可以写成y＝1n＋1(x－n)＋ln(n＋1)．整理后对比得⎩⎪⎨⎪⎧1m ＝1n ＋1，ln m ＋1＝ln n ＋1－n n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝－12，因此b ＝1－ln 2.利用导数的几何意义解题时的注意点 1求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出.2切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组.3如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件.4与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.5.3 导数在研究函数中的应用5.3.1 函数的单调性1．函数f (x )的单调性与导函数f ′(x )正负的关系 定义在区间(a ，b )内的函数y ＝f (x )：f ′(x )的正负 f (x )的单调性 f ′(x )＞0 单调递增 f ′(x )＜0单调递减[提示] f (x )是常数函数．2．判断函数y＝f (x)的单调性第1步：确定函数的定义域；第2步：求出导数f ′(x)的零点；第3步：用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．3．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f (x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)导函数与原函数的关联图象数f ′(x)的图象可能为( )(2)已知函数y＝f (x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )(1)D(2)B[(1)由f (x)的图象可知，y＝f (x)在(－∞，0)上是增函数，因此在x＜0时，有f ′(x)＞0(即全部在x轴上方)，故排除A，C.从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数是增函数，f ′(x)＞0；在区间(x1，x2)上原函数是减函数，f ′(x)＜0；在区间(x2，＋∞)上原函数是增函数，f ′(x)＞0，故排除B.故选D.(2)法一：由函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象自左到右先增后减，可知函数y＝f (x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小．法二：由于f ′(x)＞0恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，f (x)单调递增，即图象从左至右上升．四个图象都满足．由于当x＞0时，f ′(x)＞0且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象呈现上凸状；当x＜0时，f ′(x)＞0且越来越大，故函数值增加得越来越快，图象呈现下凸状，可以判断B正确．故选B.]研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素.对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.利用导数求函数的单调区间(1)f (x )＝3x 2－2ln x ；(2)f (x )＝x 2e －x .[思路探究] 先求定义域，再对原函数求导，结合导数f ′(x )的正负确定函数的单调区间．[解] (1)f (x )＝3x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝6x －2x＝23x 2－1x＝23x －13x ＋1x，由x ＞0，f ′(x )＞0，解得x ＞33.由x ＞0，f ′(x )＜0，解得0＜x ＜33.∴函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，33.(2)函数的定义域为D ＝(－∞，＋∞)．∵f ′(x )＝(x 2)′e －x ＋x 2(e －x )′＝2x e－x－x 2e －x ＝e －x (2x －x 2)，令f ′(x )＝0，由于e －x ＞0，∴x 1＝0，x 2＝2，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表：x (－∞，0)0 (0，2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) － 0＋ 0－f (x )↘f (0)＝0 ↗f (2)＝4e2↘∴f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0，2)．用解不等式法求单调区间的步骤 1确定函数f x 的定义域； 2求导函数f ′x ；3解不等式f ′x ＞0或f ′x ＜0，并写出解集；4根据3的结果确定函数fx 的单调区间.含有参数的函数单调性的讨论[思路探究] 先对原函数求导得g ′(x )＝－ax ＋12x －1x(x ＞0)，再对a 分类讨论得函数g (x )的单调性．[解] 由题意可知g ′(x )＝1x－2ax ＋a －2＝－ax ＋12x －1x(x ＞0)．∵a ＜0，g ′(x )＝－a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a 2x －1x(x ＞0)，(1)当a ＜－2时，∵－1a ＜12，∴g ′(x )＝－a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a 2x －1x ＞0等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a (2x －1)＞0，易得函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，同理可得在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，12上单调递减； (2)当a ＝－2时，g ′(x )＝2x －12x≥0恒成立，∴函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；(3)当－2＜a ＜0时，∵－1a ＞12，∴g ′(x )＝－a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a 2x －1x ＞0等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a (2x －1)＞0，易得函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递增，同理可得在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1a 上单调递减．利用导数研究含参函数f x 的单调区间的一般步骤1确定函数f x 的定义域； 2求导数f ′x ；3分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；4在不同的参数范围内，解不等式f ′x ＞0和f ′x ＜0，确定函数fx 的单调区间.已知函数的单调性求参数的范围1．在区间(a ，b )内，若f ′(x )＞0，则f (x )在此区间上单调递增，反之也成立吗？[提示] 不一定成立．比如y ＝x 3在R 上为增函数，但其在x ＝0处的导数等于零．也就是说f ′(x )＞0是y ＝f (x )在某个区间上单调递增的充分不必要条件．2．若函数f (x )为可导函数，且在区间(a ，b )上是单调递增(或递减)函数，则f ′(x )满足什么条件？[提示] f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)．【例4】 已知函数f (x )＝x 3－ax －1为单调递增函数，求实数a 的取值范围．[思路探究] fx 单调递增―→f ′x ≥0恒成立―→分离参数求a 的范围[解] 由已知得f ′(x )＝3x 2－a ，因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立，因为3x 2≥0，所以只需a ≤0. 又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0.1．(变条件)若函数f (x )＝x 3－ax －1的单调减区间为(－1，1)，求a 的取值范围．[解] 由f ′(x )＝3x 2－a ，①当a ≤0时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3， 当－3a 3＜x ＜3a3时，f ′(x )＜0. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数， ∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3，∴3a3＝1，即a ＝3. 2．(变条件)若函数f (x )＝x 3－ax －1在(－1，1)上单调递减，求a 的取值范围．[解] 由题意可知 f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1，1)上恒成立，∴⎩⎨⎧f ′－1≤0，f ′1≤0，，即⎩⎨⎧3－a ≤0，3－a ≤0，∴a ≥3.即a 的取值范围是[3，＋∞)．3．(变条件)若函数f (x )＝x 3－ax －1在(－1，1)上不单调，求a 的取值范围． [解] ∵f (x )＝x 3－ax －1，∴f ′(x )＝3x 2－a ， 由f ′(x )＝0，得x ＝±3a3(a ≥0)， ∵f (x )在区间(－1，1)上不单调， ∴0＜3a3＜1，即0＜a ＜3.故a 的取值范围为(0，3)．1．已知f (x )在区间(a ，b )上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的问题，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理 f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的问题，则f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在(a ，b )内恒成立，注意验证等号是否成立．2．解答本题注意：可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(或单调递减)的充要条件是f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在(a ，b )上恒成立，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于0.5.3.2 函数的极值与最大(小)值第1课时 函数的极值与导数1．极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．(2)极大值点与极大值若函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．思考：导数为0的点一定是极值点吗？[提示]不一定，如f (x)＝x3，f ′(0)＝0，但x＝0不是f (x)＝x3的极值点．所以，当f ′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f (x)的极值点，还要看f ′(x)在x0两侧的符号是否相反．2．求可导函数y＝f (x)的极值的方法解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f (x0)是极小值．不含参数的函数求极值(1)y＝x3－3x2－9x＋5；(2)y＝x3(x－5)2.[解](1)∵y′＝3x2－6x－9，令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)y′＋0－0＋y ↗极大值↘极小值↗当x＝3时，函数y＝f (x)有极小值，且f (3)＝－22.(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5)．令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x变化时，y′与y的变化情况如下表：x (－∞，0)0(0，3)3(3，5)5(5，＋∞) y′＋0＋0－0＋y ↗无极值↗极大值108↘极小值0↗x＝3是y的极大值点，y极大值＝f (3)＝108；x＝5是y的极小值点，y极小值＝f (5)＝0.一般地，求函数y＝f x的极值的步骤1求出函数的定义域及导数f′x；2解方程f′x＝0，得方程的根x0可能不止一个；3用方程f′x＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′x，f x在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；4由f′x在各个开区间内的符号，判断f x在f′x＝0的各个根处的极值情况：如果左正右负，那么函数f x在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数f x在这个根处取得极小值；如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点.含参数的函数求极值极值．[思路探究] 求导―→解f ′x ＝0―→比较极值点大小―→进行讨论求极值[解] ∵f (x )＝16x 3－20ax 2＋8a 2x －a 3，其中a ≠0，∴f ′(x )＝48x 2－40ax ＋8a 2＝8(6x 2－5ax ＋a 2)＝8(2x －a )(3x －a )， 令f ′(x )＝0，得x 1＝a 2，x 2＝a3.①当a ＞0时，a 3＜a2，则随着x 的变化，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a 3a 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 2 a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝3时，函数f (x )取得极大值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＝27；当x ＝a2时，函数f (x )取得极小值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0.②当a ＜0时，a 2＜a3，则随着x 的变化，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a 2a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 3 a 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝2时，函数f (x )取得极大值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＝0；当x ＝a3时，函数f (x )取得极小值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a327.综上，当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 3处取得极大值a 327，在x ＝a2处取得极小值0；当a ＜0时，函数f (x )在x ＝a 2处取得极大值0，在x ＝a 3处取得极小值a 327.函数极值的注意点 1求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点.2求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题.讨论的依据有两种：一是看参数是否对f ′x 的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f ′x 在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论.由极值求参数的值或取值范围f x x 3ax 2bx a 2x a ( )A ．4或－3B ．4或－11C ．4D ．－3(2)若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 没有极值，则( )A ．a ＝－1B ．a ≥0C ．a ＜－1D ．－1＜a ＜0[思路探究] (1)由f ′(1)＝0且f (1)＝10.求解a ，b ，注意检验极值的存在条件．(2)求导分解因式主要对参数分类讨论．(按根的大小)(1)C (2)A [(1)∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 由题意得⎩⎨⎧f ′1＝3＋2a ＋b ＝0，f 1＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，即⎩⎨⎧2a ＋b ＝－3，a ＋b ＋a 2＝9，解得⎩⎨⎧ a ＝－3b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－11，当⎩⎨⎧a ＝－3b ＝3，时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故函数f (x )单调递增，无极值，不符合题意．∴a ＝4.故选C.(2)f ′(x )＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋1，x ＞0，当a ≥0时，a x＋1＞0，令f ′(x )＜0，得0＜x ＜1； 令f ′(x )＞0，得x ＞1.f (x )在x ＝1处取极小值． 当a ＜0时，方程a x＋1＝0必有一个正数解x ＝－a ，①若a ＝－1，此正数解为x ＝1，此时f ′(x )＝x －12x ≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值．②若a ≠－1，此正数解为x ≠1，f ′(x )＝0必有2个不同的正数解，f (x )存在2个极值．综上，a ＝－1.故选A.]已知函数极值求参数的方法对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号.1已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：①求函数的导数f ′x ；②由极值点的导数值为0，列出方程组，求解参数.注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件. 2对于函数无极值的问题，往往转化为f ′x ≥0或f ′x ≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.极值问题的综合应用1．如何画出函数f (x )＝2x 3－3x 2－36x ＋16的大致图象．[提示] f ′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2)．由f ′(x)＞0得x＜－2或x＞3，∴函数f (x)的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞)．由f ′(x)＜0得－2＜x＜3，∴函数f (x)的递减区间是(－2，3)．由已知得f (－2)＝60，f (3)＝－65，f (0)＝16.∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f (x)大致图象如图所示．2．当a变化时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有几解？[提示]方程2x3－3x2－36x＋16＝a解的个数问题可转化为函数y＝a与y＝2x3－3x2－36x＋16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：(1)当a＞60或a＜－65时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有且只有一解；(2)当a＝60或a＝－65时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有两解；(3)当－65＜a＜60时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有三解．【例4】已知函数f (x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f (x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．[思路探究]求出函数的极值，要使f (x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．[解]令f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，f ′(x)>0；当－1<x<1时，f ′(x)<0；当x>1时，f ′(x)>0.所以当x＝－1时，f (x)有极大值f (－1)＝2＋a；当x＝1时，f (x)有极小值f (1)＝－2＋a.因为方程f (x)＝0有三个不同实根，所以y＝f (x)的图象与x轴有三个交点，如图．由已知应有⎩⎨⎧2＋a >0，－2＋a <0，解得－2<a <2，故实数a 的取值范围是(－2，2)．1．(改变条件)本例中，若方程f (x )＝0恰有两个根，则实数a 的值如何求解？[解] 由例题知，函数的极大值f (－1)＝2＋a ，极小值f (1)＝－2＋a ， 若f (x )＝0恰有两个根，则有2＋a ＝0，或－2＋a ＝0， 所以a ＝－2或a ＝2.2．(改变条件)本例中，若方程f (x )＝0有且只有一个实根，求实数a 的范围．[解] 由例题可知，要使方程f (x )＝0有且只有一个实根， 只需2＋a ＜0或－2＋a ＞0， 即a ＜－2或a ＞2.3．(变条件、变结论)讨论方程ln xx＝a 的根的情况．[解] 令f (x )＝ln xx，则定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ln xx 2.令f ′(x )＝0，得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x (0，e) e (e ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － f (x )↗1e↘因此，x ＝e 是函数f (x )的极大值点，极大值为f (e)＝e ，函数f (x )没有极小值点．其图象如图．∴当0＜a＜1e时，ln xx＝a有两个不同的根；当a＝1e或a≤0时，ln xx＝a只有一个根；当a＞1e时，ln xx＝a没有实数根．利用导数求函数零点的个数1利用导数可以判断函数的单调性；2研究函数的极值情况；3在上述研究的基础上突出函数的大致图象；4直观上判断函数的图象与x轴的交点或两个图象的交点的个数.若含有参数，则需要讨论极值的正负.第2课时函数的最大(小)值与导数1．函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．思考：函数的极值与最值的区别是什么？[提示]函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．。

第五章一元函数的导数及其应用导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数性质的基本工具．本章通过具体情境，引导学生直观理解导数概念，感悟极限思想，知道极限思想是人类深刻认识和表达现实世界必备的思维品质；理解导数是一种借助极限的运算，掌握导数的基本运算规则，能求简单函数和简单复合函数的导数；能够运用导数研究简单函数的性质和变化规律，能够利用导数解决简单的实际问题．通过本章的学习，提升学生的数学抽象、数学运算、直观想象和逻辑推理素养．一、本章内容安排本章通过丰富的实际背景和典型实例，引导学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，抽象出导数的概念及其几何意义，通过这些过程让学生了解导数是如何刻画瞬时变化率的，体会导数的内涵，感悟极限思想．本章还学习基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则和简单复合函数的导数，并从中进一步感悟极限思想；在此基础上，引导学生通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，认识导数是研究函数单调性、最大（小）值等性质的基本方法，体会导数的意义．本章知识结构如下：“51导数的概念及其意义”按照概念教学的基本环节展开．首先通过高台跳水运动员的速度、抛物线的切线的斜率两个典型变化率实例，引导学生两次完整经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，进而概括这两个实例在解决问题的思想方法和结果形式上的共同特征，并用这种思想方法研究一般函数＝f（）从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，抽象出导数的概念——导数是瞬时变化率的数学表达．在此基础上，通过研究从曲线的割线过渡到切线、从割线斜率过渡到切线斜率的过程，得到导数的几何意义，让学生又一次经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．在介绍两个典型实例、导数的概念及其几何意义的过程中，教科书不断渗透“用运动变化的观点研究问题”“逼近”“以直代曲”等微积分的重要思想，不断让学生体会极限的思想和方法，提升学生的数学抽象和直观想象素养．高中阶段研究的函数是由基本初等函数通过有限次四则运算和复合得到的，因此，引入导数的概念之后，“52导数的运算”先研究基本初等函数的导数、导数的四则运算法则以及复合函数的导数，再解决计算简单初等函数导数的问题．本节首先根据导数的定义求6个常用的具体函数的导数，进而从特殊到一般直接给出基本初等函数的导数公式．接着，通过具体实例让学生直观感知两个函数和、差的导数与它们的导数的和、差之间的关系．在此基础上，直接给出导数的四则运算法则．最后，通过具体实例，在让学生直观感知求复合函数导数的方法的基础上，直接给出复合函数的求导法则．在本节相关内容的展开过程中，着重引导学生利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，求简单函数及简单的复合函数（限于形如f （ab ））的导数，并从中进一步体会极限思想，提升学生的数学运算素养．导数定量地刻画了函数的局部变化，“53 导数在研究函数中的应用”利用导数研究函数的性质，主要研究函数的单调性、极值与最大（小）值等重要性质．“531 函数的单调性”首先就高台跳水运动问题，考察运动员的重心距离水面的高度函数h （t ）的单调性，与h （t ）的导数v （t ）=h ′（t ）的正负之间的关系；接着，通过更多的具体函数的图象，探讨函数导数的正负与这个函数单调性的关系；进而，从具体到抽象、从特殊到一般，概括出它们的共性规律，给出一般可导函数f （）的单调性与其导函数()f x '的正负之间关系；最后利用这个关系，用导数研究函数的单调性，求简单函数的单调区间，并讨论一些函数的增长快慢问题．“532 函数的极值与最大（小）值”仍然采用从具体到抽象、从特殊到一般的方法，从导数的角度给出可导函数极值点的特征（极值的必要条件），并利用可导函数的单调性与函数导数的正负之间的关系，用导数求函数的极值、最大（小）值以及实际问题的最大（小）值，并利用导数研究函数图象和性质的综合性问题．通过本节的学习，让学生认识导数是研究函数性质的基本工具，也是解决优化问题的一种通法，提升学生的逻辑推理、直观想象和数学运算素养．导数的概念是微积分学的最重要的概念之一，在微积分学中具有基础性地位，也是本章最为核心的内容．利用导数的基本运算法则求简单函数和简单复合函数的导数，是运用导数研究函数性质的基础和必备技能．对很多运动变化问题的研究最后都会归结为对各种函数的研究，其中函数的增减，以及增减的范围、增减的快慢等是最基本的问题．导数简明地回答了这些问题：由()f x '的符号可知函数f （）是增还是减，由f '（）绝对值的大小可知函数变化的快慢．不仅如此，导数也是研究函数极值问题、解决优化问题的一种通法．导数定量地刻画了函数的局部变化规律，是研究函数性质的基本工具．因此本章的重点是：导数的概念，利用基本初等函数的导数公式和导数法则求简单函数和简单复合函数的导数，运用导数研究简单函数的性质．导数是瞬时变化率的数学表达，学生对导数的内涵——瞬时变化率的认识有一定难度；同时，从平均变化率过渡到瞬时变化率得到导数概念的过程，蕴含着“用运动变化的观点研究问题”“逼近（极限）”“以直代曲”等微积分的重要思想，需要学生不断感悟．因此，导数的概念是本章的一个教学难点．在导数概念及其几何意义的得出过程中，让学生充分经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，不断渗透解决问题的思想方法，并借助具体数值和几何直观体会极限思想是突破难点的关键．由于复合函数的求导是“从外往内”分两层求导，需要准确分析复合函数的结构，而学生对复合函数的复合过程的认识存在一定的困难．因此，求简单复合函数的导数是本章的另一个教学难点．加强对复合函数的复合过程的分析，厘清复合函数中的自变量、中间变量、因变量，是突破这一难点的关键．二、本章编写思考1．在导数概念抽象过程中凸显导数的内涵与思想导数概念的本质是瞬时变化率，它高度抽象，为使学生初步理解导数的内涵与思想，教科书以两个典型的变化率问题为载体，以导数概念的本质及其反映的思想方法为指引，引导学生充分经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，展开观察、分析各实例的属性的数学活动，并挖掘其中所蕴含重要思想方法，进而析出各实例中蕴含的导数的本质属性．具体地，对于“问题1高台跳水远动员的速度”，教科书通过探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：）存在函数关系2(t) 4.9 4.811.h t t =-++如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？设置情境并提出问题，然后引导学生从已有经验出发，通过层层递进的问题，使学生感受用平均速度无法精确描述运动员的运动状况（在0≤t ≤4948这段时间内的平均速度为0，但运动员几乎一直处于运动状态），体会研究瞬时速度必要性的同时，自然地提出问题：如何求运动员的瞬时速度？瞬时速度与平均速度有什么关系？为了解决抽象导数概念过程中的这个关键问题，教科书构建了一个运动员在t 0时刻附近某一时间段内的平均速度v 趋近于t 0时刻的瞬时速度的过程，并以t 0＝1为例，借助技术工具，引导学生直观感受当Δt →0时平均速度v 无限趋近于一个确定的数，即t 0＝1时刻的瞬时速度．在此过程中，使学生理解解决瞬时速度问题的方法，也使学生感受其中蕴含的极限思想．接着，教科书让学生模仿上述求瞬时速度的过程和方法，解决运动员在其他时刻的瞬时速度，形成抽象导数概念的更多具体经验，然后再将上述过程与方法一般化，形成瞬时速度的一般形式化表示，从感性到理性，提升对解决问题的思想与方法的认识．对于“问题2抛物线的切线的斜率”，教科书类比解决问题1的过程与方法，引导学生探究“如何定义抛物线f （）＝2在点P 0（1，1）处的切线？”“如何求抛物线f （）＝2在点P 0（1，1）处的切线PT 的斜率0”让学生充分经历从割线到切线、从割线斜率到切线斜。

３.４生活中的优化问题举例学习目标核心素养１．了解导数在解决实际问题中的作用.２．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．（重、难点）借助导数解决实际问题，提升数学建模、数学运算的素养.１．生活中的优化问题（１）生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．（２）用导数解决优化问题的实质是求函数的最值．２．用导数解决优化问题的基本思路１．已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y＝—错误! x３＋8１x—２３４，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（）Ａ．7万件Ｂ．9万件Ｃ．１１万件Ｄ．１３万件B[设y＝f（x），即f（x）＝—错误!x３＋8１x—２３４，故f′（x）＝—x２＋8１．令f′（x）＝0，即—x２＋8１＝0，解得x＝9或x＝—9（舍去）．当0<x<9时，f′（x）>0，函数y＝f（x）单调递增；当x>9时，f′（x）<0，函数y＝f（x）单调递减．因此，当x＝9时，y＝f（x）取最大值．故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]２．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度（单位：℃）为f（x）＝错误!x３—x２＋8（0≤x≤５），那么原油温度的瞬时变化率的最小值是（）Ａ．8 Ｂ．错误!Ｃ．—１Ｄ．—8C[由题意，f′（x）＝x２—２x＝（x—１）２—１，∵0≤x≤５，∴x＝１时，f′（x）的最小值为—１，即原油温度的瞬时变化率的最小值是—１．]３．电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y＝错误!x３—错误!x２—４0x（x>0）．为使耗电量最小，则速度应定为__________．４0 [y′＝x２—３9x—４0，令y′＝0，即x２—３9x—４0＝0，解得x＝４0或x＝—１（舍）．当0<x<４0时，y′<0，当x>４0时，y′>0，所以当x＝４0时，函数y＝错误!x３—错误!x２—４0x有最小值．]面积、体积的最值问题小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图所示）．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？[思路点拨] 错误!―→错误!―→错误!―→错误![解] 设容器的高为x cm，容器的容积为V（x）cm３，则V（x）＝x（90—２x）（４8—２x）＝４x３—２76x２＋４３２0x（0＜x＜２４）．所以V′（x）＝１２x２—５５２x＋４３２0＝１２（x２—４6x＋３60）＝１２（x—１0）（x—３6）．令V′（x）＝0，得x＝１0或x＝３6（舍去）．当0＜x＜１0时，V′（x）＞0，即V（x）单调递增；当１0＜x＜２４时，V′（x）＜0，即V（x）单调递减．因此，在定义域（0,２４）内，函数V（x）只有当x＝１0时取得最大值，其最大值为V（１0）＝１9 600（cm３）．因此当容器的高为１0 cm时，容器的容积最大，最大容积为１9 600 cm３.１．求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值．２．实际问题中函数定义域确定的方法（１）根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零；（２）根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等．错误!１．已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．错误![设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底＝２πr２，S圆柱侧＝２πrh，∴圆柱的表面积S＝２πr２＋２πrh.∴h＝错误!.又圆柱的体积V＝πr２h，＝错误!（S—２πr２）＝错误!，V′（r）＝错误!，令V′（r）＝0得S＝6πr２，∴h＝２r，因为V′（r）只有一个极值点，故当h＝２r时圆柱的容积最大．此时，S＝２π×错误!＋πh２，∴h＝错误!.]用料（费用）最省问题筑物要建造可使用２0年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝错误!（0≤x≤１0），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与２0年的能源消耗费用之和．（１）求k的值及f（x）的函数解析式；（２）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．[思路点拨] 代入数据求k的值⇒建造费用加上每年能源消耗费用总和得出总费用f（x）⇒利用导数求最值．[解] （１）设隔热层厚度为x cm，由题设可知，每年能源消耗费用为C（x）＝错误!，再由C（0）＝8，得k＝４0，因此C（x）＝错误!，而建造费用为C１（x）＝6x.最后得隔热层建造费用与２0年的能源消耗费用之和为f（x）＝２0C（x）＋C１（x）＝２0×错误!＋6x＝错误!＋6x（0≤x≤１0）．（２）f′（x）＝6—错误!，令f′（x）＝0，即错误!＝6，解得x＝５，x＝—错误!（舍去），当0<x<５时，f′（x）<0，当５<x<１0时，f′（x）>0，故x＝５时，为f（x）的最小值点，对应的最小值为f（５）＝6×５＋错误!＝70．当隔热层修建５cm厚时，总费用达到最小值70万元．解决优化问题时应注意的问题１列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域.２一般地，通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数f x在给定区间内只有一个极值点或函数f x在开区间上只有一个点使f′x＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较.错误!２．已知A，B两地相距２00千米，一只船从A地逆水而行到B地，水速为8千米/小时，船在静水中的速度为v千米/时（8<v≤v0）．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比．当v＝１２千米/时时，每小时的燃料费为7２0元，为了使全程燃料费最省，船的静水速度为多少？[解] 设每小时的燃料费为y１，比例系数为k，则y１＝kv２.当v＝１２时，y１＝7２0，∴7２0＝k·１２２，解得k＝５，∴y１＝５v２.∴全程的燃料费y＝y１·错误!＝错误!（8<v≤v0）．y′＝错误!＝错误!.令y′＝0得v＝１6或v＝0（舍去）．所以函数在v＝１6时取得极值，并且是极小值．当v0≥１6时，v＝１6使y最小，即全程燃料费最省．当8<v0<１6时，可得y＝错误!在（8，v0]上递减，即当v＝v0时，y min＝错误!.综合上述得：若v0≥１6，则当v＝１6千米/时时，全程燃料费最省；若8<v0<１6千米/时，则当v＝v0时，全程燃料费最省．利润最大（成本最低）问题１．在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．２．你能列举几个有关利润的等量关系吗？提示：（１）利润＝收入—成本．（２）利润＝每件产品的利润×销售件数．【例３】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y＝错误!＋１0（x—6）２，其中３<x<6，a为常数，已知销售价格为５元/千克时，每日可售出该商品１１千克．（１）求a的值；（２）若该商品的成本为３元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[思路点拨] （１）根据x＝５时，y＝１１，求a的值．（２）把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．[解] （１）因为x＝５时，y＝１１，所以错误!＋１0＝１１，a＝２．（２）由（１）知，该商品每日的销售量y＝错误!＋１0（x—6）２，所以商场每日销售该商品所获得的利润f（x）＝（x—３）错误!＝２＋１0（x—３）（x—6）２,３<x<6，从而，f′（x）＝１0[（x—6）２＋２（x—３）（x—6）]＝３0（x—４）（x—6），于是，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （３,４）４（４,6）f′（x）＋0f（x）↗极大值４２↘由上表可得，x所以，当x＝４时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于４２．故当销售价格为４元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．１．利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入—成本”或“利润＝每件产品利润×销售件数”建立函数关系式，再用导数求最大值．２．解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误．错误!３．某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（6<x<１１），年销售为u万件，若已知错误!—u 与错误!错误!成正比，且售价为１0元时，年销量为２8万件．（１）求年销售利润y关于售价x的函数表达式；（２）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．[解] （１）设错误!—u＝k错误!错误!，∵售价为１0元时，年销量为２8万件，∴错误!—２8＝k错误!错误!，解得k＝２．∴u＝—２错误!错误!＋错误!＝—２x２＋２１x＋１8．∴y＝（—２x２＋２１x＋１8）（x—6）＝—２x３＋３３x２—１08x—１08（6<x<１１）．（２）y′＝—6x２＋66x—１08＝—6（x２—１１x＋１8）＝—6（x—２）（x—9）．令y′＝0，得x＝２（舍去）或x＝9，显然，当x∈（6,9）时，y′>0；当x∈（9,１１）时，y′<0．∴函数y＝—２x３＋３３x２—１08x—１08在（6,9）上单调递增，在（9,１１）上单调递减．∴当x＝9时，y取最大值，且y max＝１３５，即售价为9元时，年利润最大，最大年利润为１３５万元.１．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤（１）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）．（２）求函数的导函数f′（x），解方程f′（x）＝0．（３）比较函数在区间端点和使f′（x）＝0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值．２．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：（１）合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；（２）与实际问题相联系；（３）必要时注意分类讨论思想的应用．１．判断正误（１）生活中的优化问题的实质就是函数的最值问题．（）（２）生活中的优化问题必须运用导数解决．（）（３）广告牌的面积最小问题是生活中的优化问题．（）[答案] （１）√（２）×（３）√２．做一个容积为２５6 m３的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为（）Ａ．6 m Ｂ．8 mＣ．４m Ｄ．２mC[设底面边长为x m，高为h m，则有x２h＝２５6，所以h＝错误!.所用材料的面积设为S m２，则有S＝４x·h＋x２＝４x·错误!＋x２＝错误!＋x２，S′＝２x—错误!，令S′＝0，得x＝8，因此h＝错误!＝４（m）．]３．某件商品的成本为３0元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（２00—x）件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．１１５[利润为S（x）＝（x—３0）（２00—x）＝—x２＋２３0x—6 000（３0<x<２00），S′（x）＝—２x＋２３0，由S′（x）＝0，得x＝１１５，这时利润达到最大．]４．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为１8 000 cm２，四周空白的宽度为１0 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为５cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？[解] 设广告的高和宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为（x—２0）cm，错误!cm，其中x>２0，y>２５．两栏面积之和为２（x—２0）·错误!＝１8 000，由此得y＝错误!＋２５．广告的面积S＝xy＝x错误!＝错误!＋２５x，∴S′＝错误!＋２５＝错误!＋２５．令S′>0得x>１４0，令S′<0得２0<x<１４0．∴函数在（１４0，＋∞）上单调递增，在（２0,１４0）上单调递减，∴S（x）的最小值为S（１４0）．当x＝１４0时，y＝１7５，即当x＝１４0，y＝１7５时，S取得最小值２４５00，故当广告的高为１４0 cm，宽为１7５cm时，可使广告的面积最小．。

１.３导数在研究函数中的应用１.３．１函数的单调性与导数学习目标核心素养１．理解导数与函数的单调性的关系．（易混点）２．掌握利用导数判断函数单调性的方法．（重点）３．会用导数求函数的单调区间．（重点、难点）１．通过函数的单调性与其导数正负关系的学习，培养学生的逻辑推理、直观想象的核心素养．２．借助利用导数研究函数的单调性问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.１．函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间（a，b）内的函数y＝f （x）：f ′（x）的正负 f （x）的单调性f ′（x）＞0单调递增f ′（x）＜0单调递减[提示] f （x）是常数函数．２．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f （x），在区间（a，b）上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”（向上或向下）越小慢比较“平缓”（向上或向下）１．函数f （x）＝x＋ln x在（0,6）上是（）Ａ．单调增函数Ｂ．单调减函数Ｃ．在错误!上是减函数，在错误!上是增函数Ｄ．在错误!上是增函数，在错误!上是减函数A[∵x∈（0,6）时，f ′（x）＝１＋错误!＞0，∴函数f （x）在（0,6）上单调递增．]２．函数y＝f （x）的图象如图所示，则导函数y＝f ′（x）的图象可能是（）D[∵函数f （x）在（0，＋∞），（—∞，0）上都是减函数，∴当x＞0时，f ′（x）＜0，当x＜0时，f ′（x）＜0．]３．函数f （x）＝e x—x的单调递增区间为________．（0，＋∞）[∵f （x）＝e x—x，∴f ′（x）＝e x—１．由f ′（x）＞0得，e x—１＞0，即x＞0．∴f （x）的单调递增区间为（0，＋∞）．]函数与导函数图象间的关系的图象可能为（）（２）已知f ′（x）是f （x）的导函数，f ′（x）的图象如图所示，则f （x）的图象只可能是（）（１）D（２）D[（１）由函数的图象可知：当x＜0时，函数单调递增，导数始终为正；当x ＞0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选Ｄ．（２）从f ′（x）的图象可以看出，在区间错误!内，导数单调递增；在区间错误!内，导数单调递减．即函数f （x）的图象在错误!内越来越陡，在错误!内越来越平缓，由此可知，只有选项D符合．]研究函数与导函数图象之间关系的方法研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．[跟进训练]１．已知y＝xf ′（x）的图象如图所示（其中f ′（x）是函数f （x）的导函数）下面四个图象中，y ＝f （x）的图象大致是（）C[当0＜x＜１时，xf ′（x）＜0，∴f ′（x）＜0，故f （x）在（0,１）上为减函数；当x＞１时，xf ′（x）＞0，∴f ′（x）＞0，故y＝f （x）在（１，＋∞）上为增函数．故选Ｃ．]利用导数求函数的单调区间【例２】求下列函数的单调区间．（１）f （x）＝３x２—２ln x；（２）f （x）＝x２·e—x；（３）f （x）＝x＋错误!.[解] （１）函数的定义域为D＝（0，＋∞）．∵f ′（x）＝6x—错误!，令f ′（x）＝0，得x１＝错误!，x２＝—错误!（舍去），用x１分割定义域D，得下表：x错误!错误!错误!f ′（x）—0＋∴函数（２）函数的定义域为D＝（—∞，＋∞）．∵f ′（x）＝（x２）′e—x＋x２（e—x）′＝２x e—x—x２e—x ＝e—x（２x—x２），令f ′（x）＝0，由于e—x＞0，∴x１＝0，x２＝２，用x１，x２分割定义域D，得下表：∴f（３）函数的定义域为D＝（—∞，0）∪（0，＋∞）．∵f ′（x）＝１—错误!，令f ′（x）＝0，得x１＝—１，x２＝１，用x１，x２分割定义域D，得下表：∞）．角度２含参数的函数的单调区间【例３】讨论函数f （x）＝错误!ax２＋x—（a＋１）ln x（a≥0）的单调性．思路探究：错误!―→错误!错误!错误!―→错误![解] 函数f （x）的定义域为（0，＋∞），f ′（x）＝ax＋１—错误!＝错误!.（１）当a＝0时，f ′（x）＝错误!，由f ′（x）＞0，得x＞１，由f ′（x）＜0，得0＜x＜１．∴f （x）在（0,１）内为减函数，在（１，＋∞）内为增函数．（２）当a＞0时，f ′（x）＝错误!，∵a＞0，∴—错误!＜0．由f ′（x）＞0，得x＞１，由f ′（x）＜0，得0＜x＜１．∴f （x）在（0,１）内为减函数，在（１，＋∞）内为增函数．综上所述，当a≥0时，f （x）在（0,１）内为减函数，在（１，＋∞）内为增函数.利用导数求函数单调区间的步骤（１）确定函数f （x）的定义域．（２）求导数f ′（x）．（３）由f ′（x）>0（或f ′（x）<0），解出相应的x的范围．当f ′（x）>0时，f （x）在相应的区间上是增函数；当f ′（x）<0时，f （x）在相应区间上是减函数．（４）结合定义域写出单调区间．[跟进训练]２．设f （x）＝e x—ax—２，求f （x）的单调区间．[解] f （x）的定义域为（—∞，＋∞），f ′（x）＝e x—a.若a≤0，则f ′（x）＞0，所以f （x）在（—∞，＋∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈（—∞，ln a）时，f ′（x）＜0；当x∈（ln a，＋∞）时，f ′（x）＞0．所以f （x）在（—∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f （x）在（—∞，＋∞）上单调递增；当a＞0时，f （x）在（—∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增.已知函数的单调性求参数的范围１．在区间（a，b）内，若f ′（x）＞0，则f （x）在此区间上单调递增，反之也成立吗？[提示] 不一定成立．比如y＝x３在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f ′（x）＞0是y＝f （x）在某个区间上单调递增的充分不必要条件．２．若函数f （x）为可导函数，且在区间（a，b）上是单调递增（或递减）函数，则f ′（x）满足什么条件？[提示] f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0）．【例４】已知函数f （x）＝x３—ax—１为单调递增函数，求实数a的取值范围．思路探究：错误!―→错误!―→错误![解] 由已知得f ′（x）＝３x２—a，因为f （x）在（—∞，＋∞）上是单调增函数，所以f ′（x）＝３x２—a≥0在（—∞，＋∞）上恒成立，即a≤３x２对x∈R恒成立，因为３x２≥0，所以只需a≤0．又因为a＝0时，f ′（x）＝３x２≥0，f （x）＝x３—１在R上是增函数，所以a≤0．１．（变条件）若函数f （x）＝x３—ax—１的单调减区间为（—１,１），求a的取值范围．[解] 由f ′（x）＝３x２—a，１当a≤0时，f ′（x）≥0，∴f （x）在（—∞，＋∞）上为增函数．２当a＞0时，令３x２—a＝0，得x＝±错误!，当—错误!＜x＜错误!时，f ′（x）＜0．∴f （x）在错误!上为减函数，∴f （x）的单调递减区间为错误!，∴错误!＝１，即a＝３．２．（变条件）若函数f （x）＝x３—ax—１在（—１,１）上单调递减，求a的范围．[解] 由题意可知f ′（x）＝３x２—a≤0在（—１,１）上恒成立，∴错误!，即错误!，∴a≥３．即a的取值范围是[３，＋∞）．３．（变条件）若函数f （x）＝x３—ax—１在（—１,１）上不单调，求a的范围．[解] ∵f （x）＝x３—ax—１，∴f ′（x）＝３x２—a，由f ′（x）＝0，得x＝±错误!（a≥0），∵f （x）在区间（—１,１）上不单调，∴0＜错误!＜１，即0＜a＜３．故a的取值范围为（0,３）．１．解答本题注意：可导函数f （x）在（a，b）上单调递增（或单调递减）的充要条件是f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0）在（a，b）上恒成立，且f ′（x）在（a，b）的任何子区间内都不恒等于0．２．已知f （x）在区间（a，b）上的单调性，求参数范围的方法（１）利用集合的包含关系处理f （x）在（a，b）上单调递增（减）的问题，则区间（a，b）是相应单调区间的子集；（２）利用不等式的恒成立处理f （x）在（a，b）上单调递增（减）的问题，则f ′（x）≥0（f ′（x）≤0）在（a，b）内恒成立，注意验证等号是否成立．１．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．２．利用导数求函数f （x）的单调区间的一般步骤：（１）确定函数f （x）的定义域；（２）求导数f （x）；（３）在函数f （x）的定义域内解不等式f ′（x）>0和f ′（x）<0；（４）根据（３）的结果确定函数f （x）的单调区间．１．设函数f （x）的图象如图所示，则导函数f ′（x）的图象可能为（）C[∵f （x）在（—∞，１），（４，＋∞）上是减函数，在（１,４）上为增函数，∴当x＜１或x＞４时，f ′（x）＜0；当１＜x＜４时，f ′（x）＞0．故选Ｃ．]２．函数f （x）＝（x—３）e x的单调递增区间是（）Ａ．（—∞，２）Ｂ．（0,３）Ｃ．（１,４）Ｄ．（２，＋∞）D[∵f ′（x）＝e x＋（x—３）e x＝（x—２）e x，由f ′（x）＞0得（x—２）e x＞0，∴x＞２．∴f （x）的单调递增区间为（２，＋∞）．]３．函数y＝错误!x２—ln x的单调递减区间为（）Ａ．（—１,１] Ｂ．（0,１]Ｃ．[１，＋∞）Ｄ．（0，＋∞）B[函数y＝错误!x２—ln x的定义域为（0，＋∞），y′＝x—错误!＝错误!，令y′≤0，则可得0＜x≤１．]４．若函数f （x）＝x３—ax２—x＋6在（0, １）内单调递减，则实数a的取值范围是（）Ａ．[１，＋∞）Ｂ．a＝１Ｃ．（—∞，１] Ｄ．（0,１）A[∵f ′（x）＝３x２—２ax—１，且f （x）在（0,１）内单调递减，∴不等式３x２—２ax—１≤0在（0,１）内恒成立，∴f ′（0）≤0，且f ′（１）≤0，∴a≥１．]５．求函数y＝x２—４x＋a的单调区间．[解] y′＝２x—４，令y′＞0，得x＞２；令y′＜0，得x＜２，所以y＝x２—４x＋a的增区间为（２，＋∞），减区间为（—∞，２）．。