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第九章 扭转变形

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工程力学.第九章 扭 转

工程力学.第九章 扭 转
上海应用技术学院
二、极惯性矩与抗扭截面系数
I p A dA
2
10
d
Wp
Ip R

1、实心圆截面
O
D
I p A dA 0 2 d
2 R 3
1 2
R
4
D
4
32
∴ I p
Wp
D
Ip R
4
单位：m4，cm4，mm4。
Ip
32

D
3
单位：m3，cm3，mm3。
上海应用技术学院
1
T1 MC
2
2
T3
B MB
3
D
T2
B
C
(3) 绘制扭矩图
6
MB
T1 = –4.775 kN· m T2 = –9.55 kN· m
MC
MA
MD
T3 = 6.336 kN· m
B
C
A
6.336
D
T
C B 4.775 9.55 CA 段为危险截面：
上海应用技术学院
+
-
A
D
x
| T |max = 9.55 kN· m
Ti li GI p
i
15
(rad/m)
在工程上限制 ，使其不超过许用扭转角 [ ]：
max
Tmax GI p
∵ ：rad/m， [ ]：º /m ∴
max
T GI p 180


(/m)
对一般传动轴： [ ] = (0.5~1.0) º /m 对精密机械的轴： [ ] = (0.25~0.50) º /m

工程力学第9章(扭转)

工程力学第9章(扭转)
例：图示传动轴，主动轮B 输入的功率 B=10kW，若不计 图示传动轴，主动轮 输入的功率P ， 轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为P 轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为 A=4kW， ， PC=6kW，轴的转速 = 500r/min，试作轴的扭矩图。 ，轴的转速n ，试作轴的扭矩图。
壁厚 由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布 由于管壁很薄，
2 2 T = ∫ τδ R0 dθ = 2π R0τδ 0 2π
T ∴ τ= 2 2π R0 δ
二、纯剪切与切应力互等定理
1. 切应力互等定理
∑ M (F ) = 0 :
z
(τδ dy )dx = (τ ′δ dx )dy
∴ τ =τ′
∑M ∑M
x
(F ) = 0 : (F ) = 0 :
T1 − M A = 0
解得： 解得： T1 = 76.4N ⋅ m 2-2： ：
x
−T2 − M C = 0
解得： 解得： T2 = −114.6N ⋅ m ⑶ 绘制扭矩图
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
一、薄壁圆管的扭转应力
试验现象： 试验现象： 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相 各圆周绕轴线相对转动 邻两圆周线之间的距离不变， 邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应 力。 2.在小变形下 各纵向线倾斜相同的小角度， 在小变形下， 2.在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形， 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形，说明横截 面上有切应力
[τ ] =
τU
n
二、圆轴的扭转强度条件
τ max

09圆轴扭转时的变形、应变能

09圆轴扭转时的变形、应变能
位置是?（其中ab∥AB∥ce）
B
b
e
A
a
c
d
ae. 因各条纵向纤维的应变相等，所以上边纤维长，伸长量也大。
2、图示直杆，其抗拉刚度为EA，试 求杆件的轴向变形△L，B点的位移
δB和C点的位移δC
A L
F
F
δB
=
∆LAB
=
FL EA
B
C
L
δC
=
δB
=
FL EA
3、塑性材料冷作硬化后，材料的力学性能 发生了变化。试判断以下结论哪一个是正确 的： （A）屈服应力提高，弹性模量降低； （B）屈服应力提高，塑性降低； （C）屈服应力不变，弹性模量不变； （D）屈服应力不变，塑性不变。 正确答案是（ B ）
lAB
A
lAC
ϕCA C
纯剪切应力状态下的应变能密度( τ ≤ τ p )
y
τ
dz γ dτ'
aτ
τ
dy
τp
O
b
τ' c
x
z
dx
O
γ
dW = 1 (τ d y d z)(γ d x)= 1τγ (d x d y d z)
vε
=
dVε dV2 = dWdV=1τγ2
(d
x
d
y
d
z
2
)
=
1
τγ
dxd ydz 2
例题4-4
例题4-5
传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率 P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。 已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。

工程力学—第九章 扭转

工程力学—第九章 扭转
{n}—轴的转速，单位为r/min（转／ 分），或r/s（也可表示为s-1）（转／ 秒）。
第二节 动力传递与扭矩
扭矩与扭矩图 扭转变形的内
力： —扭矩。 扭矩 ：即n－n
截面处的内力偶 矩。
第二节 动力传递与扭矩
扭矩的正负号规定：采用右手螺旋法则。
指向截 面外侧 为正
指向截 面内侧 为负
kW。试作轴的扭矩图。
解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
M1

(9.55103

500)N 300

m

15.9 103
N

m

15.9
kN
m
M2

M3

(9.55103
150) 300
N
m

4.78103
Nm

4.78
kN m
M4

(9.55103

200) 300
Nm
横截面的扭矩T即为：
T
2 0
Ro2
d

2Ro2
薄壁圆管扭转的切应力为：
＝ T 2Ro2
当 Ro /10 时，该公式足够精确。
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
纯剪切与切应力互等定理： 切应力互等定理：在微体的两个相互垂直
的截面上，切应力总是同时存在，且大小 相等，方向则共同指向或共同背离两截面 的交线。
工程力学
彭雅轩 2019年9月16日
第九章 扭 转
基本概念 动力传递与扭矩 切应力互等定理与剪切虎克定律 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度条件
第一节 引 言

第九章 扭转

第九章 扭转
力偶在单位时间内所作之功即功率P，等于力偶之矩M与相应角速度的乘积。
输入功率：N(kW)
m
转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
W W'
W 60N1000 60000 N
W m m 2n1 2nm
m 9550 N Nm 单位
n
二、功率、转速和外力偶矩之间的关系
外力偶矩正负号的规定
和所有外力的规定一样， 与坐标轴同向为正，反向为负
指向截面 离开截面
外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
2.扭矩和扭矩图 用截面法研究横 截面上的内力
T = Me
外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩正负规定
右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
工程中作用于传动轴上的外力偶矩往往不是直接给出的， 而是给出轴所传递的功率和轴的转速，它们间的换算关系如下
m 9549 P kW n
Nm
r / min
三、扭矩和扭矩图
截面法： T m
T为圆轴扭转时截面上的内力--扭矩 扭矩正负的规定：按右手螺旋法则
扭矩图：表示扭矩沿轴线的变化
⊕
情况图。
圆轴扭转时的内力及内力图

9.55
200 300

6.37
(kN m)
n D
②求扭矩（扭矩按正方向设）
mC 0 , T1 m2 0 m2 1
m3 2 m1 3 m4
T1 m2 4.78kN m
T2 m2 m3 0 ,
A1
B 2C
n 3D
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m

【正式版】结构力学第九章 薄壁杆件扭转PPT

【正式版】结构力学第九章 薄壁杆件扭转PPT

§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
如果薄壁杆件受到扭矩作用，由于存在支座或其他 约束，扭转时不能自由变形，则这种扭转称为约束扭 转。薄壁杆件约束扭转时，各横截面的翘曲程度是不 相同的，这将引起相邻两截面间纵向纤维的长度改变， 于是横截面上除了有扭转而引起的剪应力之外，还有 因翘曲而产生的正应力。由于翘曲正应力在横截面上 分布不均匀，就会导致薄壁杆件发生弯曲，并伴随产 生弯曲剪应力。这样，薄壁杆件约束扭转时，截面上 就存在二次剪应力。二次剪应力又将在截面上形成一 个附加扭矩，称之为二次扭矩，于是杆件截面上的扭 矩就等于自由扭转扭矩与二次扭矩之和。由此可见， 薄壁杆件约束扭转是比较复杂的。
两类。闭口截面又分为单闭室(图9-1d,e)和多闭室
（图9-1f）两种。
§9－1 概述
除薄壁圆管外，薄壁杆件通常是非圆截面杆件。材 料力学中已经指出，非圆截面杆件在扭转变形后，杆 件的截面已不再保持为平面，而是变为曲面，这种现 象称为翘曲。
薄壁杆件扭转分为自由扭转和约束扭转两种。
如果一根等截面杆件仅在两端受到扭矩作用，并不 受任何约束，扭转时可以自由变形，则这种扭转就称 为自由扭转。非圆截面薄壁杆件自由扭转时，其横截 面虽将发生翘曲，但由于扭转不受阻碍，所以各横截 面的翘曲程度都相同。因此，杆件上平行于杆轴的直 线在变形后长度不变且仍为直线；杆件各横截面上没 有正应力而只有扭转引起的剪应力。
于图9-4所示的每一闭室，应用环流方程式(9-11)，
例如对于第2室，有
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
q2a bd t sq2q 3b cd t sq2q4d cd t sq2q 1d ad t s2 G2 A

工程力学第9章圆轴的扭转

工程力学第9章圆轴的扭转

τ ′d x d z
d
τ
c
τ d yd z
x
∑F = 0 ∑F = 0 ∑M = 0
y x z
自动满足 存在τ'
(τ d y d z ) d x = (τ ′ d x d z ) d y
得
τ′ =τ
y
τ'
a dy b z
切应力互等定理 d
在相互垂直的两个面上， 在相互垂直的两个面上，切 应力总是成对出现，并且大小相 应力总是成对出现，并且大小相 等，方向同时指向或同时背离两 个面的交线。 个面的交线。
一、圆轴扭转时横截面上的应力 1、几何关系：由实验找出变形规律 应变的变化规律 几何关系 由实验找出变形规律→应变的变化规律 1）实验： 实验：
2）观察变形规律： 观察变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 形状、大小、间距不变， 圆周线 形状 了一个不同的角度。 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 纵向线 倾斜了同一个角度 扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面， 扭转平面假设 变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大 小 以及间距不变，半径仍为直线。 以及间距不变，半径仍为直线。
3
) 16T 3 16(1.5×103N⋅m = = 0.0535 m d ≥ 6 π(50×10 Pa) π[τ ]
m 取： d = 54 m
2. 确定空心圆轴内、外径 确定空心圆轴内、
Wp =
3
πD3 16
(1−α )
4
16T π 3 D (1−α 4) 16
结论： 结论：
横截面上

结构力学第九章 薄壁杆件扭转

结构力学第九章 薄壁杆件扭转

§9－2 薄壁杆件的自由扭转
沿整个截面积分可得总扭矩为：
M s 2qA
式中A——闭口截面壁厚中心线所围的总面积。从 而沿截面的剪流为：
Ms q t 2A
（9-8）
再来推导扭率和扭矩常数计算公式。若从薄壁杆 件中取出长度为dx的微段，其受扭矩Ms作用产生的扭 角为dφ,则扭矩所做的功为：求扭转惯性矩 剪流300400
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
作业2、3、5
考试
考试题型： （1）选择填空 （2）判断题（不要解释理由，只要判断对错） 以上两项共54分，可能会增加题量，减小每题的分值 （3）计算题（基本运算）46分 计算题比作业题目简单，运算量小 重点在后面章节，与材料力学重复率低的章节 试验报告＋作业＝平时分 考试时计算题先把关键公式写下
q t
（9-6）
称q为剪流。现在来确定q沿截面的变化规律。图 9-3b所示的为一个变厚度单元，由于自由扭转时截面 上无正应力，即轴向力为零，所以有： y a (图9-3) a b ta ds h a b qds tb dA o x b ds
dx
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
btb a ta dx 0
薄壁截面视其壁厚中心线是否封闭而分为开口薄 壁截面（图9-1a,b,c）和闭口薄壁截面（图9-1d,e,f） 两类。闭口截面又分为单闭室(图9-1d,e)和多闭室 （图9-1f）两种。
§9－1 概述
除薄壁圆管外，薄壁杆件通常是非圆截面杆件。 材料力学中已经指出，非圆截面杆件在扭转变形后， 杆件的截面已不再保持为平面，而是变为曲面，这种 现象称为翘曲。 薄壁杆件扭转分为自由扭转和约束扭转两种。 如果一根等截面杆件仅在两端受到扭矩作用，并 不受任何约束，扭转时可以自由变形，则这种扭转就 称为自由扭转。非圆截面薄壁杆件自由扭转时，其横 截面虽将发生翘曲，但由于扭转不受阻碍，所以各横 截面的翘曲程度都相同。因此，杆件上平行于杆轴的 直线在变形后长度不变且仍为直线；杆件各横截面上 没有正应力而只有扭转引起的剪应力。

第九章扭转杆件的强度与刚度计算

第九章扭转杆件的强度与刚度计算

max
Tmax GIp
180
Tmax
180
G ( D4 / 32)
[]
D4
32Tmax 180
G 2 []
0.0297 m
D 30 mm
作业： 9-1； 9-2； 9-7； 9-8
BA
M x(CB)l GJp
M x(BA)l GJp
0.5 32
8.21010 0.14 (5000 2000)
1.86103弧度 1.86103 180
0.107
9-2 圆轴扭转时的强度和刚度计算
圆轴扭转强度条件
强度条件:
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件:
max
Tmax GIp
3．计算相对扭转角
根据dϕ/dx=Tx/(GIp)，这是单位长度的扭转角，相距 dx的两个截面的扭转角为dϕ=Txdx/(GIp)。在AB和
BC中扭矩沿长度方向无变化，因此两个端截面（A和
B，B和C）的相对扭转角为ϕ=Tx/(GIp)。但二者是反
向的。于是C截面相对于A截面的相对扭转角为
C A
CB
G
G
G
d
dx
切应力沿半 径呈线性分 布。
3 静力关系 横截面上内 力系对圆心 的矩应等于 扭矩T。
A
d
A
T
即: T A d A
G d d A G d
A
dx
dx
2 d A
A
记
Ip
2d A
A
T
GIp
d
dx
横截面对圆心O的极惯性矩。
d T
d x GIp
记
Ip
2d A
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第九章 扭 转
§9-1 引 言
工程问题中，有很多杆件是受扭转的。
自行车的中轴受扭转。
齿轮传动示意图
受力特点：
圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面 垂直于杆的轴线外力偶作用（矢量与轴线一致）
Me
Me
变形特点：圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动
工程中主要承受扭转的构件称为“轴”，实际构件 工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉 压等其他变形形式。
在剪切弹性范围内，切应力与切应变成正比
对于各向同性材料，弹性模量E、泊松比μ与切变模量G
之间存在如下关系
G= E
2(1+ μ)
§9-4 圆轴扭转横截面上的应力
A、几何关系
几何关系 物理方面 静力学方面
根据平面假设
ab O1 O2 a dx b
Me
Me
γ
a
b
T
T
ρ
A
E O1 γρ γD
G O2
dϕ
G'
D'
a
dx
b
γ ≈ tan γ = DD' = R × dϕ
AD d x
d
dx
ρ E O1 γρ G O2
Aγ
D
dϕ
G'
D'
γρ
≈
tan γ ρ
=
GG′ EG
=
ρ dϕ
dx
a
b
T
T
ρ
A
E O1 γρ γD
G O2
dϕ
G'
D'
a
dx
b
d
dx
ρ
A
E O1
γ
γρ
D
G O2
dϕ
G'
D'
γρ
=
ρ
dϕ
dx
=
πd 3 16
∫ ( ) Ip =
ρ 2 d A= πD4
A
32
1−α 4
( ) Wp
=
Ip D /2
=
πD 3 16
1−α 4
§9-5 极惯性矩与抗扭截面系数
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp —几何性质
薄壁圆截面（了解）
dA = δ R0dθ
dθ
R0
θ
∫ ∫ Ip = A ρ 2 d A ≈ R02 A d A = 2π R03δ
γρ ∝ρ
dϕ 相对扭转角沿杆长的变化率，对于给
d x 定的横截面为常量
B、物理方面
γρ
=
ρ
dϕ
dx
剪切胡克定律：（在弹性范围内，切应力与切应
变成正比。
τ = Gγ τ ρ
=
Gρ
？dϕ
dx
横截面上各点的
τρ ∝ ρ
剪应力与点到截 面中心的间距成
正比，即切应力
沿截面的半径呈
线性分布。
O
d
C、静力学方面
Me A
Me A
T
1
Me
1 1
T
1 1
T
1
Me
+
B
x
T = Me
Me
B
T图 x
例1: 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输入 的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。
解： 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩
一、扭转失效
[τ ] = τ u
n
对于塑性材料： 对于脆性材料：
τu =τs τu =τb
对于塑性材料： [τ ] = (0.5 − 0.577)[σ ] 对于脆性材料： [τ ] = (0.8 −1.0)[σ t ]
二、强度条件 τ max ≤ [τ ] 材料的许用切应力
工作应力
等直圆轴 Tmax ≤ [τ ]
选择d2 = 75mm
§9-8 扭转静不定问题 （了解）
扭转静不定问题的解法，同样是综合考虑静力、
几何、物理三方面。其主要难点仍是由变形协调条
件建立补充方程。
例 两端固定的圆截面杆 AB ，在截面 C 处受一扭转
力偶矩 Me 作用如图。已知杆的扭转刚度为GIp，试
求杆两端的支反力偶矩。
解： 一次超静定
I
Me
II
设想解除固定端
A
C
a
B
b
B处的约束，代之
MA A
l
以约束力偶矩MB.
I
Me
II
MB
CA
I
Me
C
II
MB
B
x
列出平衡方程：
ΣM x = 0 , M A + M B − M e = 0
变形协调条件：根据原静不定杆的约束情况，B端 的扭转角应等于零, 即补充方程为
T 图(kN·m) 在CA段内
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
一、扭转试验与假设： 表面变形特点：
拉压杆：正应力
1、相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小 、形状、间距都未变；（各横截面如同刚性圆片）
2、纵向线倾斜了同一个角度γ ，表面上所有矩形均
变成平行四边形。
平面假设：圆轴受扭转时其横截面如同刚性平面一 样绕杆的轴线转动。
ϕAB = 0
按叠加原理：
ϕAB ϕ = B ,MB ϕ − B ,Me = 0
ϕB, MB、ϕB, Me分别为MB、
Me引起的在杆端B的扭转
角。
∫Aρτ ρ d A= T
τρ
=
Gρ
dϕ
dx
∫ G dϕ ρ 2 d A = T
dx A
∫ 令
Ip =
ρ2 d A
A
称为横截面 的极惯性矩
得
dϕ = T
d x GIp
T
Oρ τρdA
r
dϕ = T
d x GIp
τρ
=
Gρ
dϕ
dx
τρ
=
Gρ
⎜⎜⎝⎛
T GI
p
⎟⎟⎠⎞
=
Tρ
Ip
圆轴扭转时横截面上切应力计算公式：
径。
解： 1）计算外力偶矩
mA
=
7024
N1 n
=
7024Nm
mB
= 7024
N2 n
=
2809.6Nm
mC
= 7024
N3 n
=
4214.4Nm
2）计算直径
AB段：由强度条件
[ ] τ max
=T Wp
=
16T
π d13
≤
τ
由刚度条件
d1 ≥ 3
16T
π [τ ]
=
3
16 × 7024
π × 70 ×106
扭转角 ⎯⎯ 两个横截面绕轴线的相对转角。
微段的扭转角
a
b
dϕ = T
T
dϕ = T d x O1
T O2
d x GIp
GI p A γ D dϕ
整体的扭转角
D' a dx b
∫ ϕ = l T d x
0 GI p
整体的扭转角
∫ ϕ = l T d x
0 GI p
等直圆轴且扭矩不变时
扭力偶：使杆产生扭转变形的外力偶Me 扭转角：轴的变形以横截面间绕轴变形的相对角位移。
§9-2 动力传递与扭矩
Ⅰ、传动轴的外力偶矩 Me
A
Me B
已知：
传动轴的转速 n ；所传递的 功率P (kW)
求： 作用在该轮上的外力偶矩Me。
传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩Me之
间的关系：
P = Mω
WP
=
π ⋅D3
16
(1 − α
4)
由
τ max
=
Tmax WP
得
D=3
16Tmax
π ⋅ (1 − α 4 ) ⋅τ max
= 157mm
d=0.9D=141mm
V空 V实
=
A空 A实
=
π (D2 − d2) / 4 π ⋅ d12 / 4
=
0.235
§9-7 圆轴扭转时的变形与刚度条件
一、圆轴的扭转变形
τmax
=
Tmax Wp
= 60.8 MPa
>
[τ]
∴强度不符合要求。
扭矩合理分配： 使轴上的Tmax最小
例4（同例2）若BD轴改用内外径之比为9:10的空心轴，在 保证同样强度条件下，试确定空心轴的内外径d与D；并计算 空心与实心轴的材料消耗之比。
解： τ max = 36.6MPa
Tmax = 9.56kN ⋅ m
θ max
=
Tmax GIP
⋅ 180o
π
= 0.48o
< [θ ]
所以刚度符合要求。
例7 如图传动轴，n=500r/min，N1=500马力， N2=300
马力， N3=200马力，已知[τ ] = 40MPa ，许可单位长 度扭转角[θ ]=1 °/m ，G=80GPa。求：确定AB和BC段直
Me
=
9549
P(kW ) n(r / min)
M=P
ω
Me
=
7024
P n
(N
⋅ m)
(P —马力)
Ⅱ、扭矩及扭矩图 利用截面法来确定. 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，
用符号T表示。
1
T = Me