广东省广雅中学2020-2021学年高三上学期期中数学(理)试题

揭阳市2020—2021学年度高中三年级教学质量测试数学试题参考答案与评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

12345678ABDCABBD1.A本题考查集合的基本运算.解一元二次不等式求出集合}032|{2<--=x x x A ，再与集合}42|{≤≤=x x B 取交集，最后得出答案.因为}31|{}032|{2<<-=<--=x x x x x A ，所以}32|{<≤=x x B A .故选A.2.B本题考查复数的基本运算和复数的基本概念.根据复数的除法运算把复数化成)i(R ,∈+=b a b a z 的形式，再根据虚部定义得出答案.因为i 25i10i 21)(i 21()i 21)(i 24(i 21i 24-=-=-+--=+-=）z ，所以z 的虚部为-2.故选B.3.D本题考查计数原理的应用，完成该事情分两步：先分别确定学生进入校园的方式和教师进入校园的方式；再用分步乘法原理求得答案.因为学生只能从东门或西门进入校园，所以3名学生进入校园的方式共823=种.因为教师只可以从南门或北门进入校园，所以2名教师进入校园的方式共有422=种.所以2名教师和3名学生要进入校园的方式共有3248=⨯种情况.故选D.4.C本题考查等比数列通项公式的应用，根据题目提供的条件列出曲线长度组成的数列{}n a 的前4项，本题所求的结果为4a .依题意得11a =，243a =，3169a =，46427a =.所以当进行三次操作后形成图3的曲线时，曲线的长度46427a =.故选C.5.A本题考查古典概型概率、组合数的应用.根据题目条件求出从八味药中任取四味共有多少种情况，再利用古典概型概率公式求得答案.记取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”为事件M .依题意得351C 2)(48==M P .故选A.6.B本题考查对数函数的运算和应用.根据函数图象求出1.0≥t 时的函数解析式，即求出a 的值，再解不等式求得答案.把点)1,1.0(代入ta y -=10中，1.0101-=a ，解得1.0=a .所以当1.0≥t 时，2.0101.0<=-ty ，解得8.02lg 1.1≈->t .至少需要经过48608.0=⨯分钟后，学生才能回到教室.故选B.7.B本题考查平面向量的坐标运算和基本不等式的应用.如图，建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量性质得到y x +的关系式，再利用基本不等式求最小值.如图，建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,4(B ，)3,4(C ，)3,0(D ，设)0,(m M ，),0(n N ，因为12=+AN AM ，所以12=+n m ，210<<m ，10<<n .因为AN y AM x AC +=，所以m x 4=，n y 3=，所以()492425188252989832=+≥++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+nm m n n m n m n m y x .当且仅当n m m n 188=，即72=m ，73=n 时取等号.故选B.8.D本题考查函数的综合应用.根据()(2)f x f x =-得到函数()f x 关于直线1x =对称，对任意121x x ≤<均有1212()[()()]0x x f x f x --<成立得函数()f x 在[1,)+∞上单调递减.再利用函数的单调性解不等式求得答案.因为函数()f x 满足()(2)f x f x =-，所以函数()f x 关于直线1x =对称，因为对任意121x x ≤<均有1212()[()()]0x x f x f x --<成立，所以函数()f x 在[1,)+∞上单调递减.由对称性可知()f x 在(,1]-∞上单调递增.因为(21(30))f x f x ---≥，即(21(3))f x f x ≥--，所以|211||31|x x ≤----，即|22||2|x x ≤--，解得403x ≤≤.故选D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省广雅中学等四校2020届高三8月开学联考（理）数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题1．已知全集为R ，集合{}1,0,1,2,3A =-，201x B xx ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，则A B 元素个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．若复数z 满足()1i 1z +=+，则复数z 的共轭复数的模为（ ）A ．1 BC ．2D ．3．某校有高一、高二、高三3个年级，其人数之比为2:2:1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，现从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．344．如图是2018年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）A ．2018年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省B ．与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP 总量实现了增长C ．2017年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元D ．2018年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个5．P 是双曲线22:12x C y -=右支上一点, 直线l 是双曲线C 的一条渐近线.P 在l 上的射影为Q ,1F 是双曲线C 的左焦点, 则1PF PQ +的最小值为（ ）A ．1B ．25+C ．45+D ．16．已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若120x x >，且()()120f x f x +=，则12x x +的最小值为（ ）A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π 7．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的1.5s =（单位：升），则输入的k 的值为（ ） A ．4.5B ．6C ．7.5D ．98．函数ln ||cos x y x x x=+的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．9．在ABC △中，1CA =，2CB =，23ACB π∠=，点M 满足2CM CB CA =+，则MA MB ⋅= （ ）A ．0B ．2C ．D ．410．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点C 关于平面1BDC 的对称点为M ，则AM 与平面ABCD 所成角的正切值为（ ）A ．2BCD ．211．已知函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线为():l y g x =，若函数()f x 满足x I ∀∈（其中I 为函数()f x 的定义域，当0x x ≠时，()()()00f x g x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则称0x 为函数()f x 的“转折点”，已知函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上存在一个“转折点”，则a 的取值范围是（ ） A ．[]0,e B ．[]1,e C ．[]1,+∞ D ．(],e -∞ 12．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推，若该数列前n 项和N 满足：①80N> ②N 是2的整数次幂，则满足条件的最小的n 为（ ） A ．21 B ．91 C ．95 D ．10第II 卷（非选择题）二、填空题13．()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为________． 14．若5,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 45πα⎛⎫ ⎪⎝=⎭-，则cos2α=________． 15．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为,F O 为坐标原点，点,M N 为抛物线准线上相异的两点，且,M N 两点的纵坐标之积为-4，直线OM ，ON 分别交抛物线于A ，B 两点，若A ，B ，F 三点共线，则p =__________．16．如图所示，在平面四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，ACD 是以D 为顶点的等腰直角三角形，则BCD 面积的最大值为_________．三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()*12n n a S n +=+∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令()()11211n n n n b a a-+=--，求数列{}n b 的前n 项和n T ，求证：12n T <．18．已知三棱锥P ABC -的展开图如图二，其中四边形ABCD的正方形，ABE △和BCF 均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 是PA 的中点，求二面角P BC M --的余弦值．19．设斜率不为0的直线l 与抛物线24x y =交于A ，B 两点，与椭圆22164x y +=交于C ，D 两点，记直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ．（1）若直线l 过()0,4，证明：OA OB ⊥；（2）求证：1234k k k k ++的值与直线l 的斜率的大小无关．20．某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种水果只能在9月份销售，且该种水果只能当天食用口感最好，隔天食用口感较差。

2023-2024学年广东省四校联考高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．已知集合A ＝{x |lgx ≤0}，B ＝{x ||x ﹣1|≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．AB ．BC ．∁R AD ．∁R B2．已知向量a →=（﹣3，m ），b →=（1，﹣2），若b →∥（a →−b →），则m 的值为（ ） A ．﹣6B ．﹣4C ．0D ．63．若函数f （x ）={a x−3，x ≥4−ax +4，x ＜4（a ＞0，a ≠1）是定义在R 上的单调函数，则a 的取值范围为（ ）A ．(0，1)∪(1，54]B ．(1，54]C ．(0，45]D ．[45，1)4．若复数z 满足（1+i ）z ＝|1+i |，则z 的虚部为（ ） A ．−√2iB ．−√22C ．√22i D ．√225．数列{a n }满足a 1＝2019，且对∀n ∈N *，恒有a n+3=a n +2n ，则a 7＝（ ） A ．2021B ．2023C ．2035D ．20376．如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB ∥α，设α与SM 交于点N ，则SM SN的值为（ ）A ．43B ．32C ．23D ．347．已知函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的定义域均为R ，且f （x ）为偶函数，f(π6)=−2，3f （x ）cos x +f '（x ）sin x ＞0，则不等式f(x +π2)cos 3x +12＞0的解集为（ ）A ．(−π3，+∞)B ．(−2π3，+∞) C ．(−2π3，π3) D ．(π3，+∞)8．已知函数f(x)=√3sin 2ωx 2+12sinωx −√32(ω＞0)，若f （x ）在(π2，3π2)上无零点，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，29]∪[89，+∞)B ．(0，29]∪[23，89]C ．(0，29]∪[89，1]D ．(29，89]∪[1，+∞)二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年广东省广州市广雅中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是A. (－1,+∞)B. [－1,1)C. (－∞,1)D. (－1,1]参考答案：D2. 设集合，则（）A． B．C．D．参考答案：A3. 设实数满足约束条件目标函数的取值范围为( )A． B． C． D．参考答案：D略4. 下列命题中，正确的个数是（）①②已知m为直线，为平面，若“”是“”的充分不必要条件.③.④对于两个分类变量X，Y，随机变量K2的观测值k越大，则认为这两个变量有关系的把握越大.A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：B【分析】对每个选项逐一进行判断,得到答案【详解】①中,则无意义③中应为.故选B【点睛】本题考查了命题的判断,充分必要条件,命题的否定以及相关性,综合性比较大.5. 将函数f（x）=cos2ωx的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在上为减函数，则正实数ω的最大值为（）A．B．1 C．D．3参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用诱导公式，正弦函数的单调性，求得实数ω的最大值．【解答】解：将函数f（x）=cos2ωx的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）=cos2ω（x﹣）=cos（2ωx﹣）=﹣sin2ωx的图象，若y=g（x）在上为减函数，则sin2ωx在上为增函数，∴2ω?（﹣）≥﹣，且2ω?≤，求得ω≤1，故正实数ω的最大值为1，故选：B6. 在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是( )A．B．C．D．参考答案：A考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；转化思想；直线与圆．分析：化圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，求出圆心与半径，由题意，只需（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx+2的距离为d，则d=≤2，即3k2≤﹣4k，∴﹣≤k≤0．∴k的最小值是．故选A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，是中档题．7. 已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值………（）．.恒为正数恒为负数.恒为0 .可正可负参考答案：AT T T同理，，，…，，又T，以上各式相加，得. 选A.8. 已知等比数列满足，且，则当时，（）A. B. C.D.参考答案：C略9. 若不重合的四点，满足，，则实数的值为A. B. C.D.参考答案：B，，，所以m-2=1,所以m=310. 某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为（）A． B．C．D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则的值为．参考答案：12. 对于，以点为中点的弦所在的直线方程是_____．参考答案：试题分析：，圆心为（1,0），故所求直线的斜率为，直线方程为即考点：直线方程13. 已知不等式的解集为,不等式的解集为,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是_______________参考答案：略14. 直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，2），则b﹣a= ．参考答案：5【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先根据曲线y=x3+ax+b过点（1，2）得出a、b的关系式，再根据切线过点（1，2）求出k，然后求出x=1处的导数并求出a，从而得到b，即可得到b﹣a的值．【解答】解：∵y=x3+ax+b过点（1，2），∴a+b=1，∵直线y=kx+1过点（1，2），∴k+1=2，即k=1，又∵y′=3x2+a，∴k=y′|x=1=3+a=1，即a=﹣2，∴b=1﹣a=3，∴b﹣a=3+2=5．故答案为：5．15. 已知函数的图象过点（1,1）,那的反函数的图象一定经过点_____参考答案：（1，3）16. 的展开式中含x2项的系数是参考答案：5略17. 如图，设，且．当时，定义平面坐标系为–仿射坐标系，在–仿射坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：，分别为与轴、轴正向相同的单位向量，若，则记为，那么在以下的结论中，正确的序号有．①设，则；②、，若，则；③、，若的夹角为，则；④、，若，则．参考答案：②、③试题分析：对于①，，，①错误；对于②，由，故②正确；对于③，，的夹角为，根据夹角公式得故即则；③正确对于④，∴④错误；所以正确的是②、③．考点：命题真假的判断及应用和向量坐标运算.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020届广东省华附、省实、深中、广雅高三四校联考数学（理）试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页， 满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2．答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4. 保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破，考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.第一部分 选择题 (共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合1,24k M x x k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（***） A ．=M N B ．M ⊂≠ N C ．N ⊂≠ M D ．M N =∅2. 原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，其逆命题，否命题，逆否命题真假性依次为（***）A ．真，假，真B ．真，真，假C ．假，假，真D ．假，假，假3. 已知平面向量a ，b 是非零向量，2=a ，()2⊥+a a b ，则向量b 在向量a 方向上的投影为（***） A.1- B. 1 C. 2-D. 24. 平面∥α平面β的一个充分条件是（***） A ．存在一条直线a a a αβ，∥，∥ B ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥C ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥D ．存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ 5. 函数2()log 3sin()2π=-f x x x 零点的个数是（***）A ．2B ．3C ．4D ．56. 已知函数()sin 2cos2=-f x a x b x （a ，b 为常数，0≠a ，∈x R ）在12π=x 处取得最大值，则函数3π⎛⎫=+⎪⎝⎭y f x 是（***） A. 奇函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B. 偶函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 奇函数且它的图象关于π=x 对称 D. 偶函数且它的图象关于π=x 对称 7. 已知函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调，又函数()2=+y f x 的图象关于y 轴对称， 若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016=f a f a ，则{}n a 的前2019项之和为（***） A ．0B ．2019C ．4038D ．40408．函数()2sin cos2=+f x x x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调减区间为（***） A ．,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9. 函数()2112---=x x x f 的值域是（***）A. 44,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. []0,1D. 40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦10. 已知圆221x y +=，点(1,0)A ，△ABC 内接于圆，且60∠=BAC ，当B ，C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是（***）A ．2212x y +=B ．2214x y +=C ．221122⎛⎫+=< ⎪⎝⎭x y x D. 221144⎛⎫+=< ⎪⎝⎭x y x 11. 已知双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF FN =，则双曲线的离心率（***）A ．3 B ．3C D. 2 12. 若正四面体SABC 的面ABC 内有一动点P 到平面SAB ，平面SBC ，平面SCA 的距离依次成等差数列，则点P 在平面ABC 内的轨迹是（***）A ．一条线段B ．一个点C ．一段圆弧D ．抛物线的一段第二部分 非选择题 (共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置上. 13. 在区间[]0,2上分别任取两个数m ，n ，若向量(),=a m n ，()1,1=b ，则满足1-≤a b 的概率是***．14. 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且311+=+n n A n B n ，则25837++=+a a a b b ***． 15. 已知随机变量X~B (2，p )，Y~N (2，σ2)，若P (X ≥1)=0.64，P (0<Y<2)=p ，则P (Y>4)=***．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22222=+b a c ，当()tan -B A 取最大值时，角A 的值为***．三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个 试题考生都必须做答，第22、23题为选考题，考生根据要求做答. （一）必考题：共60分. 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：21=a ，241-=+-n a a n n （2≥n ）. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：n nb b b b )12(73321-++++ =n a ，求数列{}n b 的通项公式.18. （本小题满分12分）某花店根据过往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示，将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立. （Ⅰ）求在未来的4天中，有2天的日销售量低于100枝 且另外2天不低于150枝的概率；（Ⅱ）用ξ表示在未来的4天日销售量不低于100枝的天 数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直 线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与 平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设2PC AB =，求二面角E l C --大小的取值范围.20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1+=x y C a b（0a b >>）2，过左焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 为C 上一个动点，过点M 与椭圆C 只有一个公共点的直线为1l ，过点F 与MF 垂直的直线为2l ，求证：1l 与2l 的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．21. （本小题满分12分）已知函数()f x =ln ,x a x a +∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）试问过点(1,3)P 可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．（二）选考题：共10分. 请考生从给出的第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数，0)απ≤<，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线θϕ=，4πθϕ=+，4πθϕ=-，分别与曲线C 交于,,A B C 三点(不包括极点O )，其中(,)44ππϕ∈-．（Ⅰ）求证：OB OC OA +=； （Ⅱ）当12πϕ=时，若,B C 两点在直线l 上，求m 与α的值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()222f x x a x a =+-+-．（Ⅰ）若()13<f ，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若关于x 的不等式()2≥f x 恒成立，求实数a 的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.4π 14. 215 15. 0.1 16. 6π 三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由241-=+-n a a n n （2≥n ）可化为()()12220--+-+=n n a n a n . 令2=-n n c a n ，则10-+=n n c c ，即1-=-n n c c . 因为12=a ，所以1120=-=c a ， 所以0=n c ，即20-=n a n ，故2.=n a n ……6分 （若用不完全归纳，没有证明，可给4分） （Ⅱ）由()1233721++++-=n n n b b b b a ，可知()()11231137212---++++-=≥n n n b b b b a n ，两式作差得()()12122--=-=≥n n n n b a a n ， 即()2221=≥-n nb n . ……10分 又当1=n 时，也112==b a 满足上式， ……11分 故221=-n n b . ……12分18. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设日销售量为x ，“有2天日销售低于100枝，另外2天不低于150枝”为事件A. 则()1000.002500.006500.4Px ≤=⨯+⨯=，……1分()1500.005500.25P x ≥=⨯=，……2分()22240.40.250.06.P A C ∴=⨯⨯=……4分（Ⅱ）日销售量不低于100枝的概率0.6=P ，则()~4,0.6B ξ.……6分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A D B A CBCDAA于是()()440.60.40,1,2,3,4.k k k Pk C k ξ-==⨯⨯=……8分则分布列为ξ1234P16625 96625 216625 216625 81625……10分()16962162168101234 2.4.625625625625625E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……12分19. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）//平面l PAC . ……………1分证明如下：//EF AC ，AC ABC ⊂平面，EF ABC ⊄平面，//平面∴EF ABC . ……………2分又EF BEF ⊂平面，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，//∴EF l ． ……………3分而,l PAC EF PAC ⊄⊂平面平面，//平面∴l PAC ． ……………………4分（Ⅱ）解法一：设直线l 与圆O 的另一个交点为D ，连结D E ，FB ．由（Ⅰ）知，//BD AC ，而,AC BC BD BC ⊥∴⊥．PC ⊥平面ABC ，PC BD ∴⊥．而PC BC C =，,BD PBC ∴⊥平面又FB PBC ⊂平面，BD BF ∴⊥，FBC ∴∠是二面角E l C --的平面角． ………………8分1tan cos FC AB FBC BC BC ABC∠===∠． 注意到0,0cos 12ABC ABC π<∠<∴<∠<，tan 1FBC ∴∠>．02FBC π<∠<，(,)42FBC ππ∴∠∈，即二面角E l C --的取值范围是(,)42ππ．………………12分解法二：由题意，AC ⊥BC ，以CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，设AB =2，BC =t (02)t <<，则2(0,,0),(0,0,2),(4,,0)B t F D t t -，2(0,,2),(4,0,0)BF t BD t =-=-. …………6分设平面DBF 的法向量为(,,)m x y z =，则由00m BF m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22040ty z t x -+=⎧-=，取2y =得(0,2,)m t =．易知平面BCD 的法向量(0,0,1)n =， …………8分 设二面角E l C --的大小为θ，易知θ为锐角．22||2cos (0,2||||441m n m n tt θ⋅===⋅++， …………11分42ππθ∴<<，即二面角E l C --的取值范围是(,)42ππ． …………12分20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可知(,0)-F c ，直线AB 的斜率存在.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由于点A ，B 都在椭圆上，所以2211221+=x y a b ①，2222221+=x y a b②①—②，化简得2221222212--=-y y b a x x ③ 2，所以2212=b a . …………2分又因为直线AB 过焦点F ，线段AB 的中点为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以1243+=-x x ，1223+=y y ，12121323-=--+y y x x c ，代入③式，得1213324233⨯-=⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭c ，解得1=c . …………5分再结合222-=a b c ，解得22=a ，21=b ，故所求椭圆的方程为2212+=x y . …………6分（Ⅱ）证明：设00(,)M x y ，由对称性，设00>y ，由2212+=x y，得椭圆上半部分的方程为=y'()=-=y x ，又1l 过点M且与椭圆只有一个公共点，所以12==-l x k y ， 所以01000:()2-=--x l y y x x y ， ④ 因为2l 过点F 且与MF 垂直，所以0201:(1)+=-+x l y x y ， ⑤………10分 联立④⑤，消去y ，得220000122+=----x x x y x x ，又220012+=x y ，所以002202+⋅++=x x x ，从而可得2=-x ，所以1l 与2l 的交点在定直线2=-x 上． …………12分21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >，()1a x af x x x+'=+=．…………………1分 （1）当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）当0a <时， 令()0f x '=，得x a =-．当0x a <<-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当x a >-时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．…………………2分 综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -，单调递增区间为(,+)-∞a ．……………………………………………………………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以在区间[]1,2上，min ()(1)1f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零； (4)分（2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1a -，上为减函数，在(],2a - 上为增函数，所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-．依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->，解得>-a e ，所以21a -<<-．………………5分 （3）当2a -≥时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数， 所以min ()(2)2ln 2==+f x f a ．依题意有min ()2ln 20=+>f x a ，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-． …………6分 综上所述，当2ln 2a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零．………………7分（Ⅱ）另解：当1x =时，显然ln 10x a x +=>恒成立. …………4分当(1,2]x ∈时，ln 0+>x a x 恒成立ln ⇔>-x a x 恒成立ln x a x⇔>-的最大值. 令()ln =-x m x x ，则21ln '()0ln -=>x m x x ，易知()ln =-xm x x在(1,2]上单调递增， 所以()m x 最大值为2(2)ln 2m =-，此时应有2ln 2>-a . …………6分综上，a 的取值范围是2(,)ln 2-+∞. …………7分（Ⅲ）设切点为000,ln )x x a x +（，则切线斜率01ak x =+， 切线方程为0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-． 因为切线过点(1,3)P ，则00003(ln )(1)(1)ax a x x x -+=+-． 即001(ln 1)20a x x +--=．………………① ………………8分令1()(ln 1)2g x a x x =+--(0)x >，则2211(1)()()a x g x a x x x -'=-=． （1）当0a <时，在区间(0,1)上，()0g x '>，()g x 单调递增；在区间(1,)+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<． 故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式．因此当0a <时，切线的条数为0． ………………9分（2）当0a >时, 在区间(0,1)上，()0g x '<，()g x 单调递减，在区间(1,)+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增，所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<．取211+=>ax ee ，则221112()(11)20----=++--=>a a g x a e ae a．故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点．取2121--=<ax ee ，则221122()(11)224++=--+--=--aa g x a e ae a a212[2(1)]+=-+a a e a ．设21(1)t t a=+>，()2=-t u t e t ，则()2'=-t u t e ． 当1t >时，()220'=->->tu t e e 恒成立．所以()u t 在(1,)+∞单调递增，()(1)20>=->u t u e 恒成立． 所以2()0g x >．故()g x 在(0,1)上存在唯一零点．因此当0a >时，过点P (1,3)存在两条切线． ………………11分（3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点P (1,3)的切线．综上所述，当0a >时，过点P (1,3)存在两条切线；当0a ≤时，不存在过点P (1,3)的切线．………………………………12分（Ⅲ）另解：设切点为000,ln )x x a x +（，则切线斜率01a k x =+， 切线方程为0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-．因为切线过点(1,3)P ，则00003(ln )(1)(1)a x a x x x -+=+-， 即001(ln 1)20a x x +--=． ………………8分 当0a =时，020-=无解. ………………9分当0a ≠时，12ln 1x x a +-=-， 令1()ln 1g x x x =+-，则21'()-=x g x x， 易知当01<<x 时，21'()0-=<x g x x ；当1>x 时，21'()0-=>x g x x， 所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. ………………10分 又(1)0g =，且0lim ()lim ()x x g x g x →→+∞==+∞， 故当20a ->时有两条切线，当20a-<时无切线， 即当0a <时有两条切线，当0a >时无切线. ………………11分综上所述，0a <时有两条切线，0a ≥时无切线. ………………12分22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 证明：（Ⅰ）依题意，4cos ϕ=OA ，………………………………………………1分 4cos 4πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭OB ，4cos 4πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭OC ，……………3分 则4cos 4cos 44ππϕϕ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OB OC 8cos cos 4πϕ=ϕ=.=OA …………5分 解：（Ⅱ）当12πϕ=时，,B C 两点的极坐标分别为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，6π⎛⎫- ⎪⎝⎭，…………6分化成直角坐标为(B，(3,C . ……………………………7分 经过点,B C的直线方程为)2=-y x ，……………………………8分 又直线l 经过点(),0m ，倾斜角为α，且0απ≤<，故2=m ，23πα=. ………………10分23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵()13<f ，∴123+-<a a . …………………………………1分① 当0≤a 时，得()123-+-<a a ，即23>-a ，∴203-<≤a ；…………2分② 当102<<a 时，得()123+-<a a ，即2>-a ，∴102<<a ； …………3分 ③ 当12≥a 时，得()123--<a a ，即43<a ，∴1423≤<a . …………4分 综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． ……………………………………5分 （Ⅱ）∵()222f x x a x a =+-+-2122=+-+-a x x a 11+222=+-++--a a x x x a 51122≥+-+-a a x 512≥-a ， 当12=-a x 时，等号成立， ∴()f x 的值最小为512-a . …………8分 ∴5122-≥a ， 解得25≤-a 或65≥a ．……………………………………9分 ∴ 实数a 的取值范围是26,,55⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. …………10分。

广东省广州市广东实验中学2020-2021学年高三第三次阶段考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合{}2|60A x x x =--<，集合{}2|lo 1g B x x =<，则A B =（ ）A ．()2,3-B ．(),3-∞C ．()2,2-D ．()0,2 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足1z i z =-，则z 的模是( ) A ．1 B ．12CD3．若2,a ln =125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a << 4．若2sin cos 12x x π⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则cos2x =（ ） A ．89- B ．79- C ．79 D ．-15．(,2)m ∈-∞-是方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条D ．既不充分也不必要条件 6．点P 是ABC 所在平面上一点，若2355A AP B AC =+，则ABP △与ACP △的面积之比是（ ）A ．35B ．52C ．32D ．23 7．已知()121sin 221x x f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，则函数()y f x =的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．8．某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24 B ．16C ．8D ．12 9．已知函数22()2sin cos sin (0)24x f x x x ωπωωω⎛⎫=⋅--> ⎪⎝⎭在区间25,56ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．设变量y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则z ＝|x －3y |的最大值为( )A ．8B ．4C ．2 D11．AOB 中，OA a OB b ==，，满足||2a b a b ⋅=-=，则AOB ∆的面积的最大值为（ ）AB ．2 C．D．12．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点P ，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点Q 在线段2PF 的延长线上，且1,QF QP ⊥15sin 13F PQ ∠=，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） A．⎫⎪⎪⎝⎭B．15⎛ ⎝⎭ C．1,52⎛ ⎝⎭ D．2⎝⎭二、填空题 13．设函数()3ln 2f x x x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是___________．14．()422x x --的展开式中，3x 的系数为 ． （用数字填写答案）15．已知函数sin ()x x a f x e-=有极值，则实数a 的取值范围为_____________ 16．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，5,AC =4,BC =将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使B DC '∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后AB '的最小值是_______．三、解答题17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比是正数的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知．1122331,3,8,15a b a b T S ==+=-=(Ⅰ)求{}{},n n a b 的通项公式；(Ⅱ)若数列{}n c 满足11211222n n n n a c a c a c n +--+++=--对任意*n N ∈都成立；求证：数列{}n c 是等比数列．18．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ，BF ＝1.(1)求证：AD ⊥平面BFED ；(2)点P 在线段EF 上运动，设平面P AB 与平面ADE 所成锐二面角为θ，试求θ的最小值． 19．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()12,0F -，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N .（1）求椭圆C 的方程；（2）以MN 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．20．某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布())2,N μσ，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50．用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.参考数据：若随机变量服从正态分布()2N μσ，，则()0.6827P μσξμσ-<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券3万元．已知硬币出现正、反面的概率都是0.5方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次．若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k 到1k +）若掷出反面遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第1(1)9n n 格的概率为P 试证明{}1n n P P --是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值． 21．已知函数sin ()()cos sin x f x g x x x x x==⋅-，. （1）判断函数()g x 在区间(0)3π，上零点的个数； （2）函数()f x 在区间(0)+∞，上的极值点从小到大分别为1234n x x x x x ，，，，，证明：（Ⅰ）()()120f x f x +<；（Ⅱ）对一切()()()()*1230n n N f x f x f x f x ∈++++<，成立.22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=，[)0,2θ∈π. （1）求1C 的直角坐标方程；（2）曲线2C 的参数方程为cos 6sin 6x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求1C 与2C 的公共点的极坐标. 23．设()f x x 1x 1=-++ .(1)求()f x x 2≤+ 的解集;(2)若不等式()a 12a 1f x a +--≥,对任意实数a 0≠恒成立,求实数x 的取值范围.参考答案1．A【分析】先由二次不等式的解法得{}|23A x x =-<<，由对数不等式的解法得{}|02B x x =<<，再结合集合并集的运算即可得解.【详解】解不等式260x x --<,解得23x -<<,则{}|23A x x =-<<,解不等式2log 1x <,解得02x <<,即{}|02B x x =<<,即A B =()2,3-,故选:A.【点睛】本题考查了二次不等式的解法及对数不等式的解法，重点考查了集合并集的运算，属基础题. 2．C【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．【详解】1z z=-i ， ∴z ＝i -zi ，∴z 1(1)11222i i i i i ===++-，∴|z |2==， 故选：C ．【点睛】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．3．D【分析】 利用对数函数的性质，以及微积分定理与12比较即可. 【详解】12ln,2a ln=>=121,25b-=<==()2111cos sin2222c xdx xππ=⎰=⨯=，故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的性质，微积分定理，考查利用中间量比较大小，属于常考题型.4．C【分析】利用诱导公式化简得到sin x，再结合二倍角的余弦公式即可求解.【详解】2sin sin1x x+=，即1sin3x=所以22cos212sin1799x x=-=-=故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，属于基础题.5．A【分析】方程表示双曲线，可得()()()5320m m m--+<，解得m范围即可判断出结论，解得m 范围即可判断出结论．【详解】由方程222156x ym m m+=---表示的图形为双曲线，可得()()2560m m m---<，即()()()5320m m m--+<即2m<-，或35m<<，∴ (,2)m ∈-∞-是方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线的充分不必要条件， 故选：A【点睛】本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．C【分析】 由向量的线性运算可得32=BP PC ，即点P 在线段AB 上，且32=BP PC ,由三角形面积公式可得:ABP S ∆APC S ∆:3:2BP PC ==，得解.【详解】解：因为点P 是ABC 所在平面上一点，又2355AP AB AC =+， 所以2233-=-5555AP AB AC AP ,即23=55BP PC ,即32=BP PC ， 则点P 在线段BC 上，且32=BP PC , 又1sin 2APC S AP PC APC ∆=∠，1sin 2ABP S AP BP APB ∆=∠, 又APB APC π∠+∠=，即sin sin APC APB ∠=∠，所以点P 在线段BC 上，且32=BP PC , :ABP S ∆APCS ∆1sin :2AP BP APB =∠1sin 2AP PC APC ∠:3:2BP PC ==， 故选：C.【点睛】 本题考查了向量的线性运算及三角形的面积公式，重点考查了运算能力，属中档题. 7．D【分析】由函数解析式可得()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，再取特殊变量4π得04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，即可得在()0,∞+存在变量使得()0f x <，再观察图像即可. 【详解】解：因为()121sin 221x x f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭， 则()121sin 221x x f x x x ---⎛⎫-=-+⋅ ⎪+⎝⎭=121sin 221x x x x -⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭， 即()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称， 不妨取4x π=，则 ()4421(0821f x πππ-=<+， 即在()0,∞+存在变量使得()0f x <，故选D.【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断及函数的图像，重点考查了函数的思想，属中档题.8．B【分析】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解．【详解】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有222A =种情况；（2）将这个整体与英语全排列，有222A =中顺序，排好后，有3个空位； （3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2中情况，则数学、物理的安排方法有224⨯=种，所以不同的排课方法的种数是22416⨯⨯=种，故选B ．【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答红注意特殊问题和相邻问题与不能相邻问题的处理方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题． 9．D 【分析】将函数()f x 用三角恒等变换化简成正弦型函数，根据整体代换与正弦函数的性质，结合已知建立ω的不等量关系，即可求解. 【详解】22()2sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭2sin [1cos()]sin sin 2x x x x πωωωω=⋅+--=，()f x 在区间25,56ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 250,56x ωπωωπω>-≤≤，53,0625ππωω∴≤∴<≤. 当22(),()22k x k k Z x k Z πππωπωω=+∈=+∈时，()f x 取得最大值， 而()f x 在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，222ππωπππωω⎧≤⎪⎪∴⎨⎪+>⎪⎩，解得1522ω≤<，综上，1325ω≤≤. 故选:D. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换、正弦函数的性质，整体代换是解题的关键，属于中档题. 10．A 【解析】由题意作出满足条件的可行域如图中阴影部分，则对于目标函数z=|x ﹣3y |，平移直线y=13x 可知，当直线经过点A （﹣2，2）时，z=|x ﹣3y |取得最大值， 代值计算可得z max =|﹣2﹣3×2|=8． 故选：A ．11．A 【分析】利用数量积公式以及平方关系计算得到sin AOB ∠，利用模长公式以及基本不等式得到||||4a b ≤，结合三角形面积公式化简即可求解.【详解】||||cos 2a b a b AOB ⋅=∠=,即2cos ||||AOB a b ∠=2(||||)4sin |||||||a b AOB a b a b -∴∠==⎪⎭22||||2||2a b a a b b -=-⋅+= ，即228||||2||||a b a b =+≥所以||||4a b ≤ 所以22(||||)41111||||sin ||||=(||||)4164=32222||||AOBa b S a b AOB a b a b a b ∆-=∠=-≤-故选：A 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.12．C 【分析】首先满足QF 1⊥QP ，点Q 在椭圆的内部，故点Q 轨迹在以F 1F 2为直径，原点为圆心的圆上，且圆在椭圆的内部,得到2e <；根据Q 在线段2PF 的延长线上，考虑极端情况，得到15e >，得到答案. 【详解】∵QF 1⊥QP ，∴点Q 在以F 1F 2为直径，原点为圆心的圆上， ∵点Q 在椭圆的内部，∴以F 1F 2为直径的圆在椭圆内，∴c ＜b ；∴c 2＜a 2﹣c 2，∴212e ＜，故0＜e ； 当Q 点与2F 重合时，此时不妨设113PF =，则125F F =，故212PF =. 即252a =，52c =，此时15e =. Q 在线段2PF 的延长线上，故212PF F π>∠，故15e >.综上可得：1,52e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C ．【点睛】本题考查了椭圆的性质、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 13．750x y --= 【分析】先求函数()f x 的导函数()'fx ，再由导数的几何意义，求()'17f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为7，再由直线的点斜式方程求解即可. 【详解】解：因为()3ln 2f x x x x =+，所以()'2ln 16fx x x =++，则()'21ln11617f =++⨯=，即曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是27(1)y x -=-，即750x y --=， 故答案为750x y --=. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线的点斜式方程，重点考查了导数的应用及运算能力，属基础题. 14．40- 【解析】试题分析：()422x x --()422x x ⎡⎤=-+⎣⎦展开后只有()42x +与()33242C x x -+中含3x 项其系数和为133124432240C C C ⨯-⨯⨯=-，故答案为40-.考点：二项展开式定理.15．( 【分析】求出函数的导函数，则cos sin ()xx x af x e -+'=有可变零点，求三角函数的值域得到结果.【详解】由sin ()x x a f x e -=可得：cos sin ()x x x af x e -+'=，∵函数sin ()xx af x e-=有极值， ∴cos sin ()xx x af x e -+'=有可变零点，∴cos sin 0x x a -+=，即sin cos 4a x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴(a ∈故答案为：( 【点睛】本题考查函数存在极值的条件，考查三角函数的值域问题，考查转化思想，属于中档题.16【分析】过点B ′作B ′E ⊥CD 于E ，连结BE ，AE ，设∠BCD ＝∠B ′CD ＝α，则有B ′E ＝4sin α，CE ＝4cos α，2ACE πα∠=-，由此利用余弦定理、勾股定理能求出当4πα=时，AB ′取【详解】解：过点B ′作B ′E ⊥CD 于E ，连结BE ，AE ， 设∠BCD ＝∠B ′CD ＝α，则有B ′E ＝4sin α，CE ＝4cos α，2ACE πα∠=-，在△AEC 中，由余弦定理得：222516402AE cos cos cos πααα⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭＝25+16cos 2α﹣40sin αcos α， 在Rt △AEB ′中，由勾股定理得：AB '2＝AE 2+B ′E 2＝25+16cos 2α﹣40sin αcos α+16sin 2α＝41﹣20sin2α，∴当4πα=时，AB ．【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查余弦定理、勾股定理、直二面角等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17．（1）1,32n n n a n b -==⋅；（2）证明见解析．【解析】(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为(0)q q >2375d q q q d +=+-=由题意得……………………………………………………………2分2375d q q q d +=+-=解得………………………………………………………5分(Ⅱ)由知两式相减：………………………………8分…………………………………………………………………10分当时，，适合上式即是等比数列…………………………18．（1）证明见解析 （2）θ最小值为60° 【分析】（1）在梯形ABCD 中，利用勾股定理，得到AD ⊥BD ，再结合面面垂直的判定，证得DE ⊥平面ABCD ，即可证得AD ⊥平面BFED ；（2）以D 为原点，直线DA ，DB ，DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面P AB 与平面ADE 法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。

2020届广东省华南师大附中、实验中学、广雅中学、深圳中学高三上学期期末联考数学（理）试题一、单选题1．集合1|,24k M x x k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．M N = B ．MN C ．N M D ．M N ⋂=∅【答案】B【解析】首先求出集合M 、N 中的元素，由集合的包含关系即可求解. 【详解】121|,,244k k M x x k Z x x k Z ⎧⎫-⎧⎫==-∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，12|,,424k k N x x k Z x k Z ⎧⎫+⎧⎫==+∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，2k Z +∈Q 可表示全体整数，21k -表示全体奇数，∴MN ，故选：B 【点睛】本题考查了集合与集合之间的关系，解题的关键是确定集合中的元素，属于基础题. 2．原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12=z z ”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ） A ．真，假，真 B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【答案】B【解析】试题分析：设复数1z a bi =+，则21z z a bi ==-，所以2212z z a b ==+，故原命题为真；逆命题：若12z z =，则12,z z 互为共轭复数；如134z i =+，243z i =+，且125z z ==，但此时12,z z 不互为共轭复，故逆命题为假；否命题：若12,z z 不互为共轭复数，则12z z ≠；如134z i =+，243z i =+，此时12,z z 不互为共轭复，但125z z ==，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，所以逆否命题为真；故选B.【考点】命题以及命题的真假.3．已知平面向量a r ,b r 是非零向量,|a r |=2,a r ⊥(a r +2b r ),则向量b r 在向量a r方向上的投影为( ) A ．1 B ．-1C ．2D ．-2【答案】B【解析】先根据向量垂直得到a r g (a r +2b r ),=0，化简得到a r g b r=﹣2，再根据投影的定义即可求出． 【详解】∵平面向量a r ,b r 是非零向量,|a r |=2,a r ⊥(a r +2b r), ∴a r g (a r +2b r),=0，即()2·20a a b +=vv v即a r g b r=﹣2∴向量b r 在向量a r 方向上的投影为·22a b a -=vv v =﹣1，故选：B ． 【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．4．平面α∥β平面的一个充分条件是（ ） A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α 【答案】D【解析】试题分析：对于A ，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A 不对；对于B ，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B 不对；对于C ，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C 不对；对于D ，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D 正确【考点】空间线面平行的判定与性质 5．函数2()log 3sin()2f x x x π=-零点的个数是 （ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】试题分析：令2()log 3sin()2f x x x π=-=0，可得2()log 3sin()2f x x x π=-=， 因为2()log 3sin()2f x x x π=-[3,3]∈-，所以在同一平面直角坐标系内，画出y=2()log 3sin()2f x x x π=-,y=2()log 3sin()2f x x x π=-在[0,8]的图象，观察交点个数即得，选C 。

广雅中学2020学年高一上学期期中考试试卷数学考试时间：120分钟试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题）一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,4,5A =，{}2,3,6B =，则()U B A =（ ）A ．{}6 B.{}1,6 C. {}2,3,6 D. {}1,2,3,62. 已知集合{}2,1A =-，{}|2B x ax ==，若A B B =，则实数a 值的集合为（）A ．{}6B.{}1,6C. {}2,3,6D. {}1,2,3,63. 已知实数01a <<，则（） A. 21a a a a >>>- B.21a a a a >>>- C. 21a a a a >>>- D. 21a a a a>>>- 4. 若函数33log 2,0()2,0x x x f x x +->⎧⎪=⎨<⎪⎩，则()()3f f -=（） A. -3 B. -2 C. -1 D. 05. 下列函数既是增函数，图像又关于原点对称是（）A.2log y x =B.x y e =C. 1y x=- D. ||y x x = 6. 已知12log 3a =,132b =,32c -=,则,,a b c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b <<C. b a c <<D. c a b <<7. 明清时期，古镇河口因水运而繁华。

若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途 中因故障停留一段时间，到达河口后，逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不 变，水流速度不变，若该穿从食堂出发后所用的时间为x （小时）、货船距石塘的距离为y （千米），则下列各图中，能反映y 与x 之间函数关系的大致图像是（）ABCD8. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。

2020-2021广州市中大附中高中必修三数学上期中模拟试卷(含答案)一、选择题1．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则（ ）A ．e m =0m =xB ．e m =0m <xC ．e m <0m <xD ．0m <e m <x2．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联3．一组数据如下表所示：x1 2 3 4y e3e 4e 6e已知变量y 关于x 的回归方程为+0.5ˆbx ye =，若5x =，则预测y 的值可能为( ) A ．5eB ．112eC ．132eD ．7e4．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6?D ．k ＞7?5．我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ( ) A ．45,75,15B ．45,45,45C ．45,60,30D ．30,90,156．如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x ＋1问题”．执行该程序框图，若输入的N ＝3，则输出的i ＝A ．9B ．8C ．7D ．67．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④8．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( )A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”9．为计算11111123499100S=-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A．1i i=+B．2i i=+C．3i i=+D．4i i=+10．某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( )A．15B．24125C．48125D．9612511．已知平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，直线2y mx m =+和曲线24y x =-有两个不的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ．若01m ≤≤，则()P M 的取值范围为（ ）A ．202,π-⎛⎤⎥π⎝⎦B ．202,π+⎛⎤⎥π⎝⎦C ．212,π+⎡⎤⎢⎥π⎣⎦D ．212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦12．同时掷三枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（ ） A ．78B ．58C ．38D ．18二、填空题13．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为___________． 14．变量X 与Y 相对应的5组数据和变量U 与V 相对应的5组数据统计如表： X 10 11.3 11.8 12.5 13 U 10 11.3 11.8 12.5 13 Y12345V54321用b 1表示变量Y 与X 之间的回归系数，b 2表示变量V 与U 之间的回归系数，则b 1与b 2的大小关系是___．15．如图所示，正六边形ABCDEF 中，线段AD 与线段BE 交于点G ，圆O 1，O 2分别是△ABG 与△DEG 的内切圆，圆O 3，O 4分别是四边形BCDG 与四边形AGEF 的内切圆，则往六边形ABCDEF 中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为_________．16．某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温（如表），并求得线性回归方程ˆ360yx =-为: x c9 14 -1y 184830d不小心丢失表中数据c ，d ，那么由现有数据知3c d -____________． 17．以下说法正确的是_____________ .①类比推理属于演绎推理.②设有一个回归方程ˆ23yx =- ，当变量每增加1个单位，y 平均增加3个单位. ③样本相关系数r 满足以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱.④对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅.18．为了在运行下面的程序之后得到输出y ＝25，键盘输入x 应该是____________. INPUT x IF x<0 THEN y=(x+1)*(x+1) ELSE y=(x-1)*(x-1) END IF PRINT y END19．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示：若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为________20．已知方程0.85 2.1ˆ87yx =-是根据女大学生的身高预报其体重的回归方程， ˆ,x y 的单位是cm 和kg ，则针对某个体()160,53的残差是__________．三、解答题21． 2.5PM 的值表示空气中某种颗粒物的浓度，通常用来代表空气的污染情况，这个值越高，空气污染越严重，下表是某城市开展“绿色出行，健康生活”活动，居民每天采用“绿色出行”的人数与 2.5PM 值的一组数据：2.5PM 的值y90 70 50 40 30 20 “绿色出行”的人数x （单位：万人） 124689（1）已知“绿色出行”的人数x 和 2.5PM 值y 有线性相关性，求y 关于x 的线性回归方程；（计算结果保留两位小数）（2）若某日“绿色出行”的人数为10万人，请预测该市 2.5PM 的值.（计算结果保留一位小数）参考公式：1221ˆˆ,ni ii nii x y nx yba y bxxnx ==-⋅==--∑∑ 22．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题： （1）79.589.5:这一组的频数、频率分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）和平均数?23．甲与乙午觉醒来后，发现自己的手表因故停止转动，于是他们想借助收音机，利用电台整点报时确认时间．(1)求甲等待的时间不多于10分钟的概率； (2)求甲比乙多等待10分钟以上的概率．24．某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m 、13、n ，己知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m n >.（1）求m 与n 的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率． 25．2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.(1)若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率； (2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由； (3)甲同学发现，其物理考试成绩y (分)与班级平均分x (分)具有线性相关关系，统计数据如下表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩.参考数据: 72134840ii x ==∑，72150767ii y ==∑，7141964i i i x y ==∑，71()()314iii x x y y =--=∑.参考公式：y bx a =+$$$，1122211()()()n niii ii i nni i i i x x y y x y n x yb x x x n x====---⋅⋅==--⋅∑∑∑∑$，$a y bx =-⋅$(计算$a b$，时精确到0.01). 26．为了了解某省各景区在大众中的熟知度，随机从本省1565:岁的人群中抽取了n 人，得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，现让他们回答问题“该省有哪几个国家AAAAA 级旅游景区？”，统计结果如下表所示： 组号 分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组 [)1525， a0.5第2组 [)2535， 18x第3组 [)3545， b 0.9 第4组 [)4555， 9 0.36第5组[)5565，3y（1）分别求出,,,a b x y 的值；（2）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组抽取的人数；（3）在（2）中抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有年龄段在[)3545，的概率【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】试题分析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即e m ＝5.5,5出现的次数最多，故0m ＝5，23341056637282921030x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈5.97于是得0m <e m <x . 考点：统计初步.2．C解析：C 【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214a a a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式． 3．C解析：C【分析】令ln z y $=，求得,x z 之间的数据对照表，结合样本中心点的坐标满足回归直线方程，即可求得b ；再令5x =，即可求得预测值y . 【详解】将式子两边取对数，得到$ln 0.5y bx =+，令ln z y $=，得到0.5z bx =+， 根据已知表格数据，得到,x z 的取值对照表如下：12342.54x +++==，1346 3.54z +++==， 利用回归直线过样本中心点，即可得3.5 2.50.5b =+， 求得 1.2b =，则 1.20.5z x =+， 进而得到$ 1.2+0.5x y e =，将5x =代入， 解得136.52y e e ==.故选：C .【点睛】本题考查利用样本中心点坐标满足回归直线方程求参数值，以及由回归方程进行预测值得求解，属中档题.4．A解析：A 【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=，第二次运行213,8311k S =+==+=，第三次运行314,22426k S =+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C.考点：程序框图.5．C解析：C 【解析】因为共有学生2700，抽取135，所以抽样比为1352700，故各年级分别应抽取135900452700⨯=，1351200602700⨯=，135600302700⨯=，故选C. 6．B解析：B模拟执行程序，当3,1n i == ，n 是奇数，得10,2n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，5,3n i == ，不满足条件1n =，满足条件n 是奇数，16,4n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，8,5n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，4,6n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，2,7n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，1,8n i ==，满足条件1n =，输出8i =，选B.点睛：本题主要考查的知识点是循环结构的程序框图，当循环的次数不多或有规律时，常常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．7．B解析：B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得10(0.0200.0160.0160.0110.006)1m +++++=，解得0.031m =.故①正确；因为不低于140分的频率为0.011100.11⨯=，所以11010000.11n ==，故②错误； 由100分以下的频率为0.00610=0.06⨯，所以100分以下的人数为10000.06=60⨯，故③正确；分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=，占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③. 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8．A解析：A 【解析】 【分析】根据不能同时发生的两个事件，叫互斥事件，依次判断． 【详解】根据互斥事件不能同时发生，判断A 是互斥事件；B 、C 、D 中两事件能同时发生，故不是互斥事件； 故选A ． 【点睛】本题考查了互斥事件的定义．是基础题．9．B解析：B 【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10．C解析：C 【解析】五所学生自由录取五名学生,共有55种不同的录取情况其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的情况的录取情况有：213554C C A 种，则：则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率：2135545485125C C A p == 本题选择C 选项.11．D解析：D 【解析】 【分析】判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，即可求解相应概率的范围，得到答案． 【详解】由题意知，平面区域()0,y x y y ⎧⎫≥⎧⎪⎪Ω=⎨⎨≤⎪⎪⎩⎩，表示的图形是半圆是半圆以及内部点的集合，如图所示，又由直线2y mx m =+过半圆y =(2,0)-，当0m =时直线与x 轴重合，此时()1P M =，故可排除,A B ， 若1m =，如图所示，可求得2()2P M ππ-=， 所以()P M 的取值范围为212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦．【点睛】本题主要考查了集合概型的应用，其中解答中判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，求解相应概率的范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．12．A解析：A【解析】【分析】先根据古典概型概率公式求没有正面向上的概率，再根据对立事件概率关系求结果.【详解】因为没有正面向上的概率为112228=⨯⨯，所以至少有1枚正面向上的概率是1-1788=，选A.【点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.二、填空题13．【解析】从分别写有12345的5张卡片中随机抽取1张放回后再随机抽取1张基本事件总数n=5×5=25抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（21）（31）（32）（41）解析：2 5【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=2.5故答案为25. 14．【解析】分析：根据回归系数几何意义得详解：因为Y 与X 之间正增长所以因为V 与U 之间负增长所以因此点睛：函数关系是一种确定的关系相关关系是一种非确定的关系事实上函数关系是两个非随机变量的关系而相关关系是解析：12b b >. 【解析】分析：根据回归系数几何意义得120b b >> 详解：因为Y 与X 之间正增长，所以10b > 因为V 与U 之间负增长，所以20b < 因此120b b >>，点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求$,a b$，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .b $的正负，决定正相关与负相关.15．【解析】【分析】不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相切大圆直径是菱形的高也等于正三角形的高圆半径为由几何概型概率公式可得结果【详解】依题意不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相【解析】 【分析】不妨设2AB =AB =，大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，圆半径为1222AB ⨯=，由几何概型概率公式可得结果. 【详解】依题意，不妨设2AB =，小圆与正三角形相切，小圆的半径为63AB =， 大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，可得大圆半径为12AB =由几何概型概率公式可得该点落在图中阴影区域内的概率为：2222108P ππ⨯⨯+⨯⨯==. 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.16．【解析】分析：由题意首先确定样本中心点然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：整理可得：故答案为：270点睛：(1)正确理解计算的公式和准确解析：【解析】分析：由题意首先确定样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：91412244c c x ++-+==，1848309644d dy ++++==， 回归方程过样本中心点，则：962236044d c ++=⨯-， 即：()96322240d c +=+-， 整理可得：3270c d -=. 故答案为：270．点睛：(1)正确理解计算$,ba $的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+$$$必过样本点中心(),x y ．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．17．③④【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式即可判断；③利用线性相关指数的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断详解：对于①类比推理是合情推理的重要形式则不解析：③④ 【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式，即可判断；③利用线性相关指数r 的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断. 详解：对于①，类比推理是合情推理的重要形式，则不属于演绎推理，故①错误；对于②，根据回归方程为ˆ23yx =-，可得当变量每增加1个单位，y 平均减少3个单位，故②错误；对于③，在回归分析中，r 具有以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱，故③正确；对于④，根据复数的乘法运算律，对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅，故④正确.故答案为③④.点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，考查相关关系及复数的运算，是一个考查的知识点比较多的题目，解题本题的关键是理解概念及掌握运算公式，如在回归分析中，r 具有的性质，复数遵循的运算律等．18．-6或6【解析】当x ＜0时25=（x+1）2解得：x=﹣6或x=4（舍去）当x≥0时25=（x ﹣1）2解得：x=6或x=﹣4（舍去）即输入的x 值为±6故答案为：﹣6或6点睛：根据流程图（或伪代码）写解析：-6或6 【解析】当x ＜0时，25=（x+1）2，解得：x=﹣6，或x=4（舍去） 当x ≥0时，25=（x ﹣1）2，解得：x=6，或x=﹣4（舍去） 即输入的x 值为±6 故答案为：﹣6或6．点睛：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．19．20【解析】试题分析：根据频率分布直方图得视力在09以上的频率为（100+075+025）×02=04∴该班学生中能报A 专业的人数为50×04=20考点：频率分布直方图解析：20 【解析】试题分析：根据频率分布直方图，得视力在0.9以上的频率为（1.00+0.75+0.25）×0.2=0.4，∴该班学生中能报A 专业的人数为50×0.4=20. 考点：频率分布直方图.20．-029【解析】所以残差是解析：-0.29【解析】0.8516082.71ˆ53.29y=⨯-= ,所以残差是5353.290.29.-=- 三、解答题21．（1）^7.8889.42y x =-+；（2）10.6 . 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别求出,x y ，利用参考公式，求出^b 和^a ，即可得出y 关于x 的回归方程；（2）根据回归方程，可预测出当10x =时，该市 2.5PM 的值. 【详解】 解：（1）1246899070504030205,5066x y ++++++++++====，^222222219027045064083092065504107.881246896552b ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==-≈-+++++-⨯， ^41050()589.4252a =--⨯≈ ， 所以线性回归方程为^7.8889.42y x =-+， （2）当10x =时，代入^7.8889.42y x =-+，^7.881089.4210.6y =-⨯+≈，所以某日“绿色出行”的人数为10万人时，该市 2.5PM 的估计值为10.6 . 【点睛】本题考查线性回归方程以及由线性回归方程估计其他值. 22．(1)见解析;(2)0.75;70.5. 【解析】 【分析】 【详解】（1）利用频率分布直方图中，纵坐标与组距的乘积是相应的频率，而频数=频率⨯组距，可得结论，频率为：0.025⨯10=0.25，频数为：0.25⨯60=15. (2)纵坐标与组距的乘积是相应的频率，再求和，即可得到结论，（1）及格率为：0.015⨯10+0.03⨯10+0.025⨯10+0.005⨯10=0.15+0.3+0.25+0.05=0.75 (2)平均数为：44.5⨯0.01⨯10+54.5⨯0.015⨯10+64.5⨯0.015⨯10+74.5⨯0.03⨯10+84.5⨯0.025⨯10+94.5⨯0.005⨯10=4.45+8.175+9.675+22.35+21.125+4.75=70.523．(1) 16(2)2572P=【解析】【分析】（1）直接由几何概型中的长度型概率计算公式求解．（2）设甲需要等待的时间为x，乙需要等待的时间为y，由已知列不等式组，利用几何概型中的面积型概率计算公式求解．【详解】解：（1）因为电台每隔1小时报时一次，甲在[)0,60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，符合几何概型的条件.设事件A为“甲等待的时间不多于10分钟”，则事件A恰好是打开收音机的时刻位于[)50,60时间段内，因此由几何概型的概率公式得()60501606P A-==，所以“甲等待的时间不多于10分钟“的概率为16.（2）因为甲、乙两人起床的时间是任意的，所以所求事件是一个与两个变量相关的几何概型，且为面积型.设甲需要等待的时间为x，乙需要等待的时间为y（10分钟为一个长度单位）.则由已知可得，对应的基本事件空间为()06,06xx yy⎧⎫≤<⎧⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤<⎩⎪⎪⎩⎭.甲比乙多等待10分钟以上对应的事件为()06,061xM x y yx y⎧⎫≤<⎧⎪⎪⎪=≤<⎨⎨⎬⎪⎪⎪->⎩⎩⎭.在平面直角坐标系中作出两个不等式组所表示的平面区域，如图所示.显然Ω表示一个边长为6的正方形OQRS 的内部及线段OQ ，OS ，其面积21636S ==.M 表示的是腰长为5的等腰直角三角形QDE 的内部及线段DQ ，其面积22125522S =⨯=，故所求事件的概率为252523672P ==. 【点睛】本题主要考查了几何概型概率计算，考查转化能力，属于中档题． 24．（1）11,24m n == ； （2）16.【解析】 【分析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m 、13、n ，已知三个社团都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m n >，利用相关公式建立方程组，即可求得m 与n 的值； （2）根据题意，可知不低于4分包括了得分为4分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得结果. 【详解】（1）依题()()1132413111134mn m n m n⎧=⎪⎪⎪⎛⎫----=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，解得1214m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为i X ， 获得本选修课学分分数不低于4分为事件A ， 则()4121123412P X =⨯⨯=；()5111123424P X =⨯⨯=；()6111123424P X =⨯⨯=. 故()11111224246P A =++=. 【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有相互独立事件同时发生的概率，互斥事件有一个发生的概率，注意对公式的正确应用是解题的关键. 25．（1）14；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】(1)列出基本事件的所有情况，然后再列出满足条件的所有情况，利用古典概率公式即可得到答案.(2)计算平均值和方差，从而比较甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科；（3）先计算x 和y ，然后通过公式计算出线性回归方程，然后代入平均值50即可得到答案. 【详解】(1)记物理、历史分别为12,A A ，思想政治、地理、化学、生物分别为1234,,,B B B B ， 由题意可知考生选择的情形有{}112,,A B B ，{}113,,A B B ，{}114,,A B B ，{}123,,A B B ，{}124,,A B B ，{}134,,A B B ，{}212,,A B B ，{}213,,A B B ，{}214,,A B B ，{}223,,A B B ，{}224,,A B B ，{}234,,A B B ，共12种 他选到物理、地理两门功课的满情形有{}{}{}112123124,,,,,,A B B A B B A B B ，共3种∴甲同学选到物理、地理两门功课的概率为31124P == (2)物理成绩的平均分为76828285879093857x ++++++==物理历史成绩的平均分为69768082949698857x ++++++==历史由茎叶图可知物理成绩的方差2s<物理历史成绩的方差2s 物理故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从最高分的情况来看，应选择历史学科(答对一点即可) (3)57+61+65+72+74+77+84707x ==，85y =,7172221741964770853140.5834840770540ˆ7i i i i i x y x y bx x==-⋅⋅-⨯⨯∴===≈-⨯-⋅∑∑850.587044.ˆ0ˆ4ay b x =-⋅=-⨯≈ y ∴关于x 的回归方程为0.58+44.40y x =当50x =时，0.5850+44.4073y =⨯≈,当班级平均分为50分时，其物理考试成绩为73分 【点睛】本题主要考查古典概型，统计数的相关含义，线性回归方程的计算，意在考查学生的阅读理解能力，计算能力和分析能力，难度不大.26．（1）5a =，27b =，0.9x =，0.2y =；（2）分边抽取2,3,1人；（3）15. 【解析】 【分析】（1）根据数据表和频率分布直方图可计算得到第4组的人数和频率，从而可得总人数；根据总数、频率和频数的关系，可分别计算得到所求结果；（2）首先确定第2,3,4组的总人数，根据分层抽样原则计算即可得到结果；（3）首先计算得到基本事件总数；再计算出恰好没有年龄段在[)3545，包含的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】（1）第4组的人数为：9250.36=人，第4组的频率为：0.025100.25⨯＝ 251000.25n ∴== Q 第一组的频率为0.010100.1⨯= ∴第一组的人数为：0.110010⨯=100.55a ∴=⨯=Q 第二组的频率为0.020100.2⨯= ∴第二组的人数为：0.210020⨯=180.920x ∴== Q 第三组的频率为0.030100.3⨯= ∴第三组的人数为：0.310030⨯=300.927b ∴=⨯=Q 第五组的频率为0.015100.15⨯= ∴第五组的人数为：0.1510015⨯=30.215y ∴== （2）第2,3,4组的总人数为：1827954++=人∴第2组抽取的人数为：186254⨯=人；第3组抽取的人数为：276354⨯=人；第4组抽取的人数为：96154⨯=人 （3）在（2）中抽取的6人中随机抽取2人，基本事件总数为：2615n C ==所抽取的人中恰好没有年龄段在[)3545，包含的基本事件个数为：233m C == ∴所抽取的人中恰好没有年龄段在[)3545，的概率：31155m p n === 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算总数、频数和频率、分层抽样基本方法的应用、古典概型计算概率问题；关键是熟练掌握频率分布直方图的相关知识，能够通过频率分布直方图准确计算出各组数据对应的频率.。

2020-2021学年广东省广州市广雅中学高三化学模拟试卷含解析一、单选题（本大题共15个小题，每小题4分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，共60分。

）1. 已知常温下反应， ①NH 3 + H + NH 4+ （平衡常数为K 1）②Ag+ + Cl—AgCl （平衡常数为K 2）③Ag + + 2NH 3Ag(NH 3)2+（平衡常数为K 3）①、②、③的平衡常数关系为 K 1＞ K 3＞K 2 , 据此所做的以下推测合理的是：A ．氯化银不溶于氨水B ．银氨溶液中加入少量氯化钠有白色沉淀C ．银氨溶液中加入盐酸有白色沉淀D ．银氨溶液可在酸性条件下稳定存在 参考答案： C 略2. 下列实验操作中不正确的是A ．分液时，分液漏斗中下层液体从下口放出，上层液体从上口倒出B ．蒸馏时，应使温度计水银球靠近蒸馏烧瓶支管口处C ．滴定时，左手控制滴定管活塞，右手握持锥形瓶，边滴边振荡，眼睛注视滴定管中的液面D ．配制氯化铁溶液时，将一定量氯化铁溶解在较浓的盐酸中，再用水稀释到所需浓度参考答案：C试题分析：C 中错误是在做滴定实验时，眼睛需注视锥形瓶中液体颜色变化，不应注视滴定管中液面，故C 错误。

考点：实验基本操作3. 2011年2月15日，备受全球关注的苹果股份有限公司，首次承认此前发生中毒事件的联建科技和运恒五金是其供应商，以及这两家工厂违规使用有毒原料对工人造成的危害的事实。

据了解此次中毒事件的“杀手”是一种分子式为C 6H 14的有机物。

已知C 6H 14有多种同分异构体，其同分异构体中沸点最高的分子的一氯取代物的种数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5参考答案： B 略4. 亮菌甲素为利胆解痉药适用于急性胆囊炎治疗等，其结构简式如图7。

下列有关叙述正确的是A ．亮菌甲素分子式为C 12H 11O 5B ．亮菌甲素能与三氯化铁溶液发生显色反应C ．1mol 亮菌甲素在一定条件下与NaOH 溶液完全反应最多能消耗2mol NaOHD ．每个亮菌甲素分子在一定条件下与足量H 2反应后的产物有3个手性碳原子 参考答案： B 略5. 模拟铁的电化学防护的实验装置如图所示，下列说法正确的是A. 若X 为碳棒，开关K 置于B 处可减缓铁的腐蚀B. 若X 为锌棒，开关K 置于A 或B 处均可减缓铁的腐蚀C. 若X为锌棒，开关K置于B处时，铁电极上发生的反应为2H++2e—=H2↑D. 若X为碳棒，开关K置于A处时，铁电极上发生的反应为2H++2e—=H2↑参考答案：BD略6. 下列叙述合理的是A．苯、汽油、植物油和聚乙烯塑料都是碳氢化合物B．葡萄糖、果糖的分子式均为C6H12O6，二者互为同分异构体C．水电站把机械能转化成电能，而核电站是把化学能转化成电能D．糖类、油脂、蛋白质都是高分子化合物，都能发生水解反应参考答案：B略7. 下图为元素周期表中短周期的一部分，四种元素均为非稀有气体元素。

2020-2021学年广州二中高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=30°且b=√3a，则角C等于()A. 30°B. 60°C. 90°D. 30°或90°2.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为()A. 2B. 2−2C. −1D. 2(−1)3.椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线x2=8√3y的焦点，则椭圆C的标准方程为()A. x24+y22=1 B. x24+y23=1 C. x212+y29=1 D. x216+y212=14.如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1与C2在第二、四象限的公共点，若AF1⊥BF1，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则8e1+e2的最小值为()A. 6+3√22B. 4√3+√62C. 5√102D. 5√525.3、的内角的对边分别是，若，，，则A. B. 2 C. D. 16.设等差数列{a n}的前n和为S n，若已知a3+3a5−a6的值，则下列可求的是()A. S5B. S6C. S7D. S87.设无穷数列{a n}，如果存在常数A，对于任意给定的正数ɛ(无论多小)，总存在正整数N，使得n>N时，恒有|a n−A|<ɛ成立，就称数列{a n}的极限为A，则四个无穷数列：①{(−1)n×2}；②{11×3+13×5+15×7+⋯+1(2n−1)(2n+1)}；③{1+12+122+123+⋯+12n−1}；④{1×2+2×22+3×23+⋯+n×2n}，其极限为2共有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个8.数列{3n2−28n}中，各项中最小的项是()A. 第4项B. 第5项C. 第6项D. 第7项9.已知点(x,y)在如图所示的阴影部分内(含边界)运动，则z=x+2y的最大值是()A. 0B. 2C. 3D. 510.已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若S n=S13−n(n∈N∗且n<13)，有以下结论：①S l3=0；②a7=0；③{a n}为递增数列；④a I3=0．则正确的结论的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 411.双曲线y 2−x 2=2的渐近线方程是()A. y=±xB. y=±√2xC. y=±√3xD. y=±2x12.双曲线x24−y212=1的焦点到渐近线的距离为)A. 2B. √3C. 3D. 2√3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在等差数列{a n}中，a10<0，a11>0，且a11>|a10|，则{a n}的前n项和S n中最大的负数为前______项的和．14.在平面直角坐标系中，已知三角形顶点和，顶点在椭圆上，则．15.下面四个命题：①有一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然错误，是因为大前提错误；②在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，它们的相关指数R2分别为：(1)0.976；(2)0.776，(3)0.076；(4)0.351，其中拟合效果最好的模型是(1)；③设a，b，c∈(−∞,0)，则a+1b ，b+1c，c+1a至少有一个不大于−2；④如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值是5．其中所有正确命题的序号是______ ．16.数列32,53,74,95，…的一个通项公式为a n=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.锐角中，角所对应的边长分别为.已知，，且.又．(1)求证：(2)求的大小及的面积的最大值；18. 已知椭圆，为其左右顶点，是椭圆上异于一点，直线与直线交于点，的斜率乘积为．(Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)当点纵坐标为时，，求椭圆的方程；(Ⅲ)若，过作直线的垂线，问直线是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．19. 已知△ABC是边长为2的正三角形，P，Q依次是AB，AC边上的点，且线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分，设AP=x，AQ=t，PQ=y．(1)求t关于x的函数关系式；(2)求y的最值，并写出取得最值得条件．20. 设二次函数y=f(x)的图象过点(0,0)，且满足3x2+1≥f(x)≥−6x−2恒成立．(I)求f(x)的解析式；)，不等式p⋅f(sinx)f(cosx)+cos4x−1<0恒成立，求实数p的取值范围．(II)若对任意的x∈(0,π221. 已知椭圆C：x2+y2=1(m>1)的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，且|AB|=4m(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P为直线x=4在第一象限内的一点，连接PA交椭圆于点M，连接PB并延长交椭圆于点N.若直线MN的斜率为1，求P点的坐标．22. 数列满足，且．(1)求(2)是否存在实数t，使得，且{}为等差数列⋅若存在，求出t的值;若不存在，说明理由．。

广雅中学20212021高三数学10月月考试卷（理）广雅中学20212021高三数学10月月考试卷（理）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

【注意事项】1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2.选择题的答案一律做在答题卡上，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 , ,则A. B. C. D.2.若复数，，则A. B. C. D.3.下列函数中，在区间上为增函数的是A. B. C. D.4. 已知，则A. B. C. D.5.设是两条不同的直线，是两个不同的平面,下列命题中错误的是A. 若 , , ,则B.若 , , ,则C.若 , ,则D.若 , , ,则6.巳知双曲线的中心在坐标原点，实轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之差为12，则双曲线的方程为A. B. C. D.7.在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定.若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为A. B. C. D.38.若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：① 属于，属于;② 中任意多个元素的并集属于;③ 中任意多个元素的交集属于 .则称是集合上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合：其中是集合上的拓扑的集合的序号是A. ①B. ②C. ②③D. ②④二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.(一)必做题(913题)9. 计算 .10.函数的单调递增区间是 .11.执行如图所示的程序框图,若输入的值为 ,则输出的值为______.12.曲线过点的切线方程为 .13.某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形和，点是边上的一个动点，设，则 . 请你参考这些信息，推知函数的值域是 .(二)选做题(1415题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的方程为，则曲线和交点的直角坐标为_________ .15. (几何证明选讲选做题)如图所示，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，过作的垂线，垂足为，则线段的长为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数 ( , , )的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和 .(1)求函数的解析式;(2)若锐角满足，求的值.17.(本小题满分12分)每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.(1) 求某两人选择同一套餐的概率;(2) 若用随机变量表示某两人所获优惠金额的总和，求的分布列和数学期望.18.(本小题满分14分)如图，在四棱柱中，侧面底面，，底面为直角梯形，其中，，为中点.(1)求证：平面(2)求锐二面角的余弦值.19.(本小题满分14分)已知数列满足，(1)设试用表示 (即求数列的通项公式);(2)求使得数列递增的所有的值.20.(本题满分14分)已知椭圆经过点，且椭圆的离心率 .(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点及，设线段，的中点分别为 .求证：直线恒过一个定点.21. (本题满分14分)已知函数 .(1)若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围;(2)在(1)的条件下，且，，，求的极小值;(3)设 ( )，若函数存在两个零点，且满足，问：函数在处的切线能否平行于轴?若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.广东广雅中学20212021学上学期高三10月月考数学(理科)试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 题号12345678答案A C AADBCD二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.9. 10. (或 ) 11. 15 12. 13. 14. 15.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1.A.【解析】易得 , ,所以 ,故选A.2.C.【解析】3.A.【解析】B、C为减函数，D为双钩函数，双钩函数在上先减后增.4.A.解析：，即，5.D.解析】ABC是正确命题,选D.6.B.【解析】，，，，则所求双曲线方程为 .7.C.作出可行域，由图像知，当点的坐标为或时，的最大值为 .8.D. 解析：①不是拓扑，因为，，但;②是拓扑，可以逐一验证三条性质都满足;③不是拓扑，因为全集;④是拓扑，可以逐一验证三条性质也都满足.二、填空题：9. .解：10.【解析】 . ，即，，即 .11. 15.解析：第一次循环后: ;第二次循环后: ;第三次循环后: ;第四次循环后: ;故输出15.12. ，解析：设切点为，则切线为，把代入上式，得，故切线方程为13. 解析：根据图形可知，当时(点P在BC中间)，，当或时(点P在B点或C点)，，的值域是 .14. .考查极坐标方程. ，联立方程很快得出结果15. .解：在中，，故，故，.由是圆的切线知，，故， .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. 解：(1)由题意可得，即， 3分，由且，得 5分函数 . 6分(2)由于，即且为锐角，所以 8分10分.即的值为 12分17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过分布列的计算，考查学生的数据处理能力.解：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为. 4分(2) 由题意知某两人可获得优惠金额的可能取值为400，500，600，700，800，1000.， 8分综上可得的分布列为：4800100010分即的数学期望为775. 12分18.(1)证明：如图，连接，则四边形为正方形，所以，且，2分故四边形为平行四边形，所以 .4分又平面，平面，所以平面 . 6分(2)因为为的中点，所以，又侧面底面，交线为，故底面。

广东省广州市新市中学2020-2021学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形,则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是（A）（B）1 （C）（D）参考答案：A由题意在平面内的射影为的中点，平面，，，在面内作的垂直平分线，则为的外接球球心．，，，，即为到平面的距离，故选A．2. 定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数的“新驻点”分别为，则的大小关系为A. B. C. D.参考答案：A略3. 已知，其中是虚数单位，则( )A. B. C.2D.1参考答案：B 4. 设x，y满足约束条件，且的最小值为2，则a=（）A. -1B. -1C.D.参考答案：B【分析】根据不等式组画出可行域，结合图像得到最值以及参数值.【详解】作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分表示：其中，作直线，平移直线，当其经过点时，取得最小值，即，解得.故选B.【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

5. 已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的余弦值为（）A. B. C.D.参考答案：C.试题分析：由题意得，，故选C.考点：平面向量数量积.6. 己知椭圆直线l过左焦点且倾斜角为，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】假设直线方程，求得圆心到直线的距离，利用弦长等于可构造关于的齐次方程，从而求得离心率.【详解】由题意知，椭圆左焦点为，长轴长为，焦距为设直线方程为：，即则以椭圆长轴为直径的圆的圆心为，半径为圆心到直线的距离，整理得：椭圆的离心率为本题正确选项：【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，关键是能够利用直线被圆截得的弦长构造出关于的齐次方程.7. 在△ABC中，tanC=2，BC边上的高为AD，D为垂足，且BD=2DC，则cosA=（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据三角形的边角的关系以及余弦定理即可求出．【解答】解：设DC=a，则BD=2a，tanC==2，∴AD=2DC=2a，∴AC==a，∴AB==2a，且BC=BD+CD=3a，由余弦定理可得cosA====，故选：B8. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为A. B. C. D.参考答案：C9. 已知点，O是坐标原点，点P（x，y）的坐标满足，设z为在上的投影，则z的取值范围是( )A．B．[﹣3，3] C．D．参考答案：B考点：简单线性规划．专题：常规题型．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求范围，只需求出向量和的夹角的余弦值的取值范围即可，从而得到z值即可．解答：解：==，∵，∴当时，=3，当时，=﹣3，∴z的取值范围是[﹣3，3]．∴故选B．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．10. 设集合，则满足的集合B的个数是（A） (B) (C) (D)参考答案：C因为，所以,所以共有4个，选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，，则。