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第三章-流体动力学基础-终-1

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流体力学基础-第三章-一维流体动力学基础

流体力学基础-第三章-一维流体动力学基础

1Q1dt 2Q2dt
1. 微小流束连续性方程
1Q1 2Q2 11dA1 22dA2
对不可压缩流体：
1 2 , Q1 Q2 1dA1 2dA2
1. 微小流束连续性方程 推而广之，在全部流动的各个断面上：
Q1 Q2 ~ Q
拉格朗日法(Lagrange method)—“跟踪”法
拉格朗日法是将流场中每一流体质点作为研究对象， 研究每一个流体质点在运动过程中的位置、速度、加 速度及密度、重度、压强等物理量随时间的变化规律。 然后将所有质点的这些资料综合起来，便得到了整 个流体的运动规律。即将整个流体的运动看作许多流 体质点运动的总和。
d 2 4A d 4R d x
非圆形截面管道的当量直径 x
D 4A 4R x
R
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
五、一维流动模型
一维流动： 流动参数是一个坐标的函数； 二维流动： 流动参数是两个坐标的函数； 三维流动： 流动参数是三个坐标的函数。
二维流动→一维流动
（1）（a,b,c）=const ，t 为变数，可以 得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。 （2）（a,b,c）为变数，t =const，可以得 出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。
流体质点速度为： x a，b，c，t
流体质点加速度为：
v x x a，b，c，t a x t t 2 v y 2 y a，b，c，t a y 2 t t vz 2 z a，b，c，t a z t 2 t
动方向的横断面, 如图中的 1-1，2-2 断面。又称为有效 截面，在流束中与各流线相垂直，在每一个微元流束的过 水断面上，各点的速度可认为是相同的。

第三章 流体力学基本方程组-1

第三章 流体力学基本方程组-1

2017/1/14
图 3-1 流场中的微元平行六面体
4
一、直角坐标系下连续性微分方程式
先分析x轴方向，已知u和ρ都是坐标和时间的连续函数，即u=u (x，y，z，t)和ρ = ρ (x，y，z，t)。根据泰勒级数展开式，略去
高于一阶的无穷小量，得在dt时间内，沿轴方向从左边微元面积 dydz流入的流体质量为
(3-2)
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8
同理可得，在dt时间内沿y轴和z轴方向流体质量的变化分别 为：
( v ) d xd yd z d t y
( w)dxdydzdt z
因此，在dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为
u v w dxdydzdt y z x
图 3-1 流场中的微元平行六面体
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图 3-1 流场中的微元平行六面体
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dx dx x , y, z , t u x , y, z , t dydzdt 2 2
dx u dx ( x, y , z , t ) u ( x, y , z , t ) dydzdt t 2 t 2 dx u dx u dydzdt t 2 t 2
(3-6)
式（3-6）为可压缩流体定常三维流动的连续性方程。
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对不可压缩均质流体， ρ为常数，故式(3-6)成为
u v w 0 x y z
divV 0
(3-7)
式（3-7）为不可压缩流体定常三维流动的连续性的方程。它的 物理意义是：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量 等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积 流量相等。

流体力学 第三章 流体动力学

流体力学 第三章 流体动力学
按周界性质： ①总流四周全部被固体边界限制——有压流。如 自来水管、矿井排水管、液压管道。 ②总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接 触——无压流。如河流、明渠。 ③总流四周不与固体接触——射流。如孔口、管 嘴出流。
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点

三章一元流体动力学基础

三章一元流体动力学基础
例如：水从管中以怎样旳速度流出，风经过门窗等等，只 要懂得一定地点（水龙头处）一定断面（门窗洞口断面）， 而不需要了解某一质点， 或某一流体集团旳全部流动过程
第三节、流线与迹线
1、迹线(path line)：运动中旳某一流体质点，在连续时间
内所占据空间点旳连线，即质点运动旳轨迹 例如：在流动旳水面上洒上某些木屑，木屑随水流漂流旳途径
欧拉法与拉格朗日法区别：
欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 旳流动情况
拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程
▪在流场中，因为辨认空间比辨认某一种质点轻易。所
以，欧拉法在流体力学中被广泛采用。
▪在流动旳流体中有无数个流体质点，要用拉格朗日法描述
每个质点旳运动是很困难甚至不可能,极难实现，在流体力 学中不常采用。一般在稀薄气体动力学和数值计算中用得 较多。
三元流动旳连续性方程
利用质量守恒定律还能够导出空间流动旳连续性方 程，其体现式为
ux uy uz 0 x y z
该方程合用于不可压缩流体，对于恒定流和非恒定流均合用。
例题：P56
第六节 理想流体旳运动微分方程
（Euler’s Equation of Motion)
一、推导过程
在某一给定旳瞬间，从流动旳不可压缩性理想流体中任取一微
图3--6 连续性方程推导
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
（质量守恒）
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
u dA (udA (u) ds dA u (dA) ds (u) ds (dA) ds) 0
而合速度u与三个座标轴上旳分速度之间旳关系是：

流体力学 第三章

流体力学 第三章
无数微元流束的总和称为总流。自然界和工程中所遇到 的管流或渠流都是总流。根据总流的边界情况，可以把总流 流动分为三类：
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。

华中科技大学 流体力学第三章_1

华中科技大学 流体力学第三章_1

y x
M
ln x t ln y t ln c
x t y t c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1 流线是双曲线。
流管 -- 由流线组成的管状曲面。 流束 -- 流管内的流体。 总流 -- 多个流束的集合。
质点加速度 = 局部加速度 + 对流加速度 质点加速度包括两个部分：
（1）局部加速度（时变加速度）— 特定空间点上速度 对时间的变化率；
（2）对流加速度 — 对应于质点空间位置改变所产生的 速度变化。
t
t+Δt
u x. t t u x x. t t u x. t
在定常流动中，通 过同一空间点的所有流 体质点具有相同的运动 轨迹，而且它们沿着流 线行进，所以染色液体 线或者烟线同时也是流 线和迹线。
在非定常流动中，是否可以演示流线？
v2 v1
v3
v4
设 ds =dxi+dyj+dzk 为流线上 A 点的一微元弧长，
v = ui+vj+wk 为流体质点在 A 点的流速。
对于三元定常流动，
连续性方程
u x

v y

w z
0
对于不可压缩流体的流动( = const.)，
u v w 0 x y z
柱坐标形式：
1 rvr v rvz 0 t r r z
v 1 x x, y y, z z, t t
v 0 ( x, y, z, t )
质点加速度
a lim
v 1 v 0

《流体力学》第三章一元流体动力学基础

《流体力学》第三章一元流体动力学基础

02
能源领域
风力发电机的设计和优化需要考虑风力湍流对风能转换效率的影响；核
能和火力发电厂的冷却塔设计也需要考虑湍流流动的传热和传质特性。
03
环境工程领域
大气污染物的扩散和传输、城市空气质量等环境问题与湍流流动密切相
关，需要利用湍流模型和方法进行模拟和分析。
06
一元流体动力学的实验研 究方法
实验设备与测量技术
一元流体动力学
研究一元流体运动规律和特性的学科。
研究内容
包括流体运动的基本方程、流体的物理性质、流动状态和流动特 性等。
02
一元流体动力学基本概念
流体静力学基础
静止流体
流体处于静止状态，没有相对运动，只有由于重力引起的势能变 化。
平衡状态
流体内部各部分之间没有相对运动，且作用于流体的外力平衡。
流体静压力
总结词
求解无旋流动的方法主要包括拉普拉斯方程和泊松方程。
详细描述
拉普拉斯方程是描述无旋流动的偏微分方程，它可以通过求 解偏微分方程得到流场的速度分布。泊松方程是另一种求解 无旋流动的方法，它通过求解泊松方程得到流场的速度分布 。
无旋流动的应用实例
总结词
无旋流动在许多工程领域中都有应用，如航 空航天、气象学、环境工程等。
能量方程
• 总结词：能量方程是一元流体动力学的基本方程之一，用于描述流体能量的传递和转化规律。
• 详细描述：能量方程基于热力学第一定律，表示流体能量的变化率等于流入流体的净热流量和外力对流体所做的功。在直角坐标系下，能量方程可以表示为：$\frac{\partial}{\partial t}(\rho E) + \frac{\partial}{\partial x_j}(\rho u_j E + p u_j) = \frac{\partial}{\partial x_j}(k \frac{\partial T}{\partial x_j}) + \frac{\partial}{\partial xj}(\tau{ij} u_i)$，其中$E$为流体 的总能，$T$为温度，$k$为热导率。

第三章流体动力学基础(1)

第三章流体动力学基础(1)

A Control Volume is a region in space, mass can cross its boundary 8
2019/3/27
流体力学基础
第三章 流体动力学基础
§2 流体运动中的几个基本概念
一、物理量的质点导数（全导数） • 运动中的流体质点所具有的物理量N（例如速度、压强、 密度、温度、质量、动量、动能等）对时间的变化率称 为物理量N的质点导数。 • 流体质点处于静止状态，则不存在质点导数概念； • 质点导数是针对某一物理量； • 质点导数必然是数学上多元复合函数对独立自变量t的 导数
流体微团的标识：通常取 t0 时刻该流体微团的初始空间坐标 （a, b, c ）作为该流体微团的标识 （a, b, c ）可以是直角坐标系下，也可以任选，只要能把所 研究的流体微团彼此区别开即可
2019/3/27
流体力学基础
2
第三章 流体动力学基础
• 拉格朗日变数 ： ( a, b, c ) 和 t • 任一时刻流体微团(a, b, c )的运动空间坐标（x， y，z）
r t
(2)
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流体力学基础
16
第三章 流体动力学基础
• 欧拉参数转换为拉格朗日参数
若已知欧拉法表示的速度场为 v = v (r, t) = v (x, y, z, t ) 利用流体质点的速度关系式： dr/dt = v(r, t) 或分量形式： dx/dt = u(x, y, z, t) dy/dt = v(x, y, z, t) dz/dt = w(x, y, z, t) 设此组常微分方程组的解为： x = x(c1, c2, c3, t) y = y(c1, c2, c3, t) z = z(c1, c2, c3, t) 由起始条件确定积分常数，t=t0时有： a = x(c1, c2, c3, t0) b = y(c1, c2, c3, t0) c = z(c1, c2, c3, t0) 积分常数由拉格朗日参数（a, b, c）表示，获得拉氏与欧氏 参数关系：x=x (a, b, c, t), y=y (a, b, c, t), z=z (a, b, c, t), 原速度场：v = v [x(a,b,c,t), y(a,b,c,t), z(a,b,c,t), t] = v (a,b,c,t) 完成欧氏参数向拉氏参数转换 流体力学基础 17

流体力学第三章简(安徽工业大学)

流体力学第三章简(安徽工业大学)

直角坐标系中，流线微分方程为 质点瞬时速度: 微元线段矢量（切线方向）： ds dxi dyj dzk 根据流线定义 v d s 0 得
v vx i v y j vz k
dx dy dz vx vy vz
3.流线性质 a.流线是光滑的连续曲线，一般不能突然折转； b.流线是假想的瞬时线； c.定常流动中流线形状不随时间变化，流线与迹 线重合；非定常流动二者不重合； d.实际流场中除驻点(v=0)或奇点(v无穷大)外， 流线不能相交、不能突然转折（速度唯一性）。
第三章 流体动力学基础 §3-1 描述流体运动的两种方法
一、拉格朗日法与质点系 跟踪每个流体质点随时间的运动变化规律， 不同质点规律不同，再综合所有流体质点的运动， 得到整个流场的运动规律。 研究对象是每个流体质点。 用拉格朗日变数（a，b，c，t）描述流体 运动，（a，b，c）为质点初始坐标，t为时间变 量，变数各自独立。
二、迹线与流线 1.迹线 流体质点的运动轨迹，是拉格朗日法描述 流体运动的几何基础。
•迹线的拉格朗日表示式
迹线的拉格朗日表示式
r r a, b, c, t
2.流线 流线是欧拉法描述流体运动的几何基础， 是某一瞬时不同流体质点组成的光滑曲线。 流线上任一质点的瞬时速度方向与该点的 切线方向一致。
三、流管、流束、总流、过流断面
1.流管：流过任意封闭曲线的流线围成的管状 假想表面。 2.流束：流管内部的全部流体。
流线和流管只有几何形状，没有体积和质 量；流束具有体积、质量、动量、动能。
3.总流：封闭曲线取在管道内壁周线上，充满 管道内部的全部流体。 4.过流断面：与速度方向垂直的断面。
四、流量与净通量 1.流量：单位时间内流过某一控制面的流体体积， 为标量。 d qv v d A 在微元流束上 qv v d A 在平面控制面上 A qv vdA 在曲面控制面上

流体动力学理论基础第三章解析

流体动力学理论基础第三章解析

az= x
uy
ux y
uz
ux z
ay
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
az
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
式中第一项叫时变加速度或当地加速度 (Local Acceleration)，流动过程中流体由于速度 随时间变化而引起的加速度；第二项叫位变速度 ，流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的 加速度(Connective Acceleration)。
uz uz (x、y、z、t)
（x,y,z,t）—欧拉变量
考察不同时刻液体质点通过流场中固定空间点 的运动情况，综合足够多的固定空间点的运动情 况，得到整个液流的运动规律。——流场法
欧拉法不直接追究质点的运动过程，而是研究各时 刻质点在流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程 置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空 间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够 多的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
显然，在欧拉描述中，各空间点上的物理量（实际上是通 过此点的流体质点所具有的物理量）是随时间变化的。因此， 流体的运动参数应该是空间坐标和时间的函数。如流体的速 度、压强和密度可以表示为
z
t时刻
M （x，y，z） O
x
y
ux ux (x, y, z,t) uy uy (x, y, z,t) uz uz (x, y, z,t)
算子
全质 导点 数导
数
d dt
=
t
+ (u )
时变导数 当地导数 局部导数
位变导数 迁移导数 对流导数

第三章 理想流体动力学基本方程(1)

第三章 理想流体动力学基本方程(1)
t=0 即 流动恒定, 或流动定常, 对 等截面(A与B), 位变导数为
H A B C D
零, 对非等截面(C与D), 位 变导数一般不为零
若H是变化的, 则∂/∂t不为零 即流动非恒定, 或流动非定常 而对于位变导数, 与上述结论 相同
例
质点沿直线以速度
V=3 x2 + y2 (m/s)运动, 求质点在(8,6) y (8,6) α 0 点的加速度 解: u=Vcosα=3 x v=3y
质点导数亦称随体导数亦称物质导数等
作业
2---30
2---31
预习 第三章理想流体动力学基 本方程 §3-2 流线和流管 §3-3 连续性方程
休息一下！
质点导数概念: 质点导数概念
以量 u(x,y,z,t)为代表 为代表
u(x + ∆x, y +∆y, z +∆z, t +∆t) − u(x, y, z, t) ax = lim ∆t →0 ∆t
du Du ∂u ∂u ∆ x ∂u ∆ y ∂u ∆ z ax = = = + + + dt Dt ∂t ∂x ∆ t ∂y ∆ t ∂z ∆ t
质点导数概念可扩展到质点所携带 的其它物理量, 的其它物理量, 如密度如压强等
d ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ = +u +v +w dt ∂t ∂x ∂y ∂z dp ∂p ∂p ∂p ∂p = +u +v + w dt ∂t ∂x ∂y ∂z 用一个通式表示为 d ∂ ∂ ∂ ∂ = +u +v +w dt ∂t ∂x ∂y ∂z
box-walk_320x240.avi
质点导数概念: 质点导数概念 以质点所携带的物理量u为代表

流体力学讲义 第三章 流体动力学基础

流体力学讲义 第三章 流体动力学基础

第三章流体动力学基础本章是流体动力学的基础。

主要阐述了流体运动的两种描述方法,运动流体的基本类别与基本概念，用欧拉法解决运动流体的连续性微分方程、欧拉运动微分方程及N-S方程。

此外，还阐述了无旋流与有旋流的判别，引出了流函数与势函数的概念，并且说明利用流网与势流叠加原理可解决流体的诸多复杂问题。

第一节流体流动的基本概念1.流线（1）流线的定义流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。

图3-1为流线谱中显示的流线形状。

（2）流线的作法：在流场中任取一点（如图3-2），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。

流线是欧拉法分析流动的重要概念。

图3-1 图3-2（3）流线的性质（图3-3）a.同一时刻的不同流线，不能相交。

图3-3因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。

b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。

因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。

c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。

因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。

（4）流线的方程（图3-4）根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：图3-4设d s为流线上A处的一微元弧长:u为流体质点在A点的流速:因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和d s重合。

所以即展开后得到：——流线方程（3-1）（或用它们余弦相等推得)2.迹线(1)迹线的定义迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动轨迹线。

图3-5中烟火的轨迹为迹线。

(2)迹线的微分方程（3-2）式中，u x,u y,u z均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。

西南交大流体力学流体动力学理论基础

西南交大流体力学流体动力学理论基础

第三章 流体动力学理论基础8 学时通过讲课使学生熟练掌握恒定总流的连续性方程、伯努利方程和动量方程及其综合应用；理解研究流体运动的若干基本概念、流体的连续性微分方程与理想流体的欧拉运动微分方程及其沿流线的积分；了解描述流体运动的两种方法。

恒定总流的连续性方程、伯努利方程和动量方程及其综合应用。

用欧拉法描述流体运动的概念、从不同角度对流体流动的划分以及伯努利方程和动量方程在应用时，如何正确的选择过流断面和控制体。

以传统教学方式为主要手段，以多媒体教学为辅助教学手段，即将教学中所需图表及与课程相关的工程实例等内容，采用多媒体形式展示。

讲课为主，提问、课堂讨论为辅。

回顾上次课堂教学所讲的重点内容；导引本次课堂教学的主要内容及进行讲解，在讲解过程中，针对具体问题对学生进行提问或作为问题让学生课后思考；对本次课堂教学内容进行小结。

转讲稿页。

zy x xu x x u u x x x x u u x x m x xx xx x d d d )(d 21)(d 21(d 21)(d 21(∂∂−=∂∂+∂∂+−∂∂−∂∂−=Δρρρρρ方向: 方向： 据质量守恒定律得0)()(=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u t zy x ρρρ 上式即为流体运动的连续性微分方程的一般形式。

zy x yu m y y d d d )(∂∂−=Δρz y x zu m z zd d d )(∂∂−=Δρ因控制体不随时间变化，故式中第一项∫∫∂∂=∂∂V V dV dV ρρt t 据数学分析中的高斯定理，式中第二项∫∫=⋅∇Vd dV )(An A u ρρu故连续性积分方程的一般形式：0d dV V =+∂∂∫∫A n A u t ρρ三．恒定不可压缩总流的连续性方程对于恒定不可压缩（ρ＝常数）总流，连续性积分方程可简化为：∫=AnA u 0d总流控制体，在其侧面上u n =0，故有∫∫=+−120d d 2211A AA u A u 应用积分中值定理，可得Q A v A v ==2211[解] 据1→2建立总流的伯努利方程，有W h gv H +++=++200002α得 ()W h H gv −=α2()W h H gd Av Q −==απ242讨论：在理想流体情况下，h W =0，则gH d Q 242π=、d 不变情况下，若欲使Q 增加，可采取什么措施？时刻系统的动量[]tV∫dV u ρ时刻系统的动量]∫Δ+Δ−Δ+t A u t n A tt d dV1u u ρρ]∫Δ+Δ+A u t n A tt d dVVu u ρρ（讲稿页）第 13 页[解] 取图示控制体，并进行受力分析建立xoy 坐标系在x 方向建立动量方程（取0.121==ββ）()1221v v Q F P P −=′−−ρ式中： kN bh h P 5.292111=⋅⋅=γ。

流体力学第三章流体动力学(1)

流体力学第三章流体动力学(1)

（2）流线的作法
流线的作法如下：在流速场中任取一点1（如下图），绘出
在某时刻通过该点的质点的流速矢量u1，再在该矢量上取距
点1很近的点2处，标出同一时刻通过该处的另一质点的流速
矢量u2……如此继续下去，得一折线1 2 3 4 5 6……，若
折线上相邻各点的间距无限接近，其极限就是某时刻流速场 中经过点1的流线。
(b)非恒定流
mt1 流线 mt2
迹线 mt3
且与迹线重合。
3. 均匀流和非均匀流 划分依据：按流速的大小和方向是否沿程变化
（1）均匀流
流速沿程不变的流动称为均匀流
在均匀流时不存在迁移加速度，即 auuo s
其流线为彼此平行的直线
例：等直径直管中的液流或者断面形状和水深不变的长直渠道中的水流 都是均匀流。
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
质点的加速度由两部分组成：
auuu t s
欧拉加速度
ax
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
az
uz t
ux
பைடு நூலகம்
uz x
uy
uz y
uz
uz z
①时变加速度（当地加速度）——流动过程中液体由于速度 随时间变化而引起的加速度； ——等号右边第一项是时变 加速度 ②位变加速度（迁移加速度）——流动过程中液体由于速度 随位置变化而引起的加速度。 ——后三项是位变加速度
（1） （a,b,c）=Const , t为变数，可以得出某个指定质点在任意时刻 所处的位置。 （2） （a,b,c）为变数, t =Const ，可以得出某一瞬间不同质点在空 间的分布情况。

水力学：第三章 流体动力学理论基础

水力学：第三章 流体动力学理论基础

若过水断面为渐变流，则在断面上 得
g
积分可
p

(z
p
Q
g
) gdQ ( z
p
g
) g dQ ( z
u x t p t 0 u y t 0 t u z
非恒定流：流场中任何点上有任何一个运动要素是随 时间而变化的。
6
二、 迹线与流线
拉格朗日法研究个别流体质点在不同时刻的运动情况 ，引出了迹线的概念。 欧拉法考察同一时刻流体质点在不同空间位置的运动 情况引出了流线的概念。
u x x
t
0

0

u y y
常数
u z z 0
22

二、 恒定不可压缩总流的连续性方程
液流的连续性方程是质量守恒定律的一种特殊方式。 取恒定流中微小流束如图所示: 因液体为不可压缩的连续介质，有

1 2
根据质量守恒定律在dt时段内
流入的质量应与流出的质量
）于1738年首先推导出来的。
28
二、实际流体恒定元流的能量方程
理想流体没有粘滞性无须克服内摩擦力而消耗能量，
其机械能保持不变。
对实际流体，令单位重量流体从断面1-1流至断面2-2
所失的能量为
hw
'
。则1-1断面和2-2断面能量方程为：
p1
z1
g

u1
2
2g
z2
p2
g

u2
2
2g
hw
相等。
u 1 dA 1 dt u 2 dA 2 dt u 1 dA 1 u 2 dA 2

第三章流体运动学与动力学基础主要内容基本概念欧拉运动微分方程

第三章流体运动学与动力学基础主要内容基本概念欧拉运动微分方程

第三章流体运动学与动力学基础主要内容z基本概念z欧拉运动微分方程z连续性方程——质量守恒*z伯努利方程——能量守恒** 重点z动量方程——动量守恒** 难点z方程的应用第一节研究流体运动的两种方法z流体质点：物理点。

是构成连续介质的流体的基本单位，宏观上无穷小（体积非常微小，其几何尺寸可忽略），微观上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子的统计学特性）。

z空间点：几何点，表示空间位置。

流体质点是流体的组成部分，在运动时，一个质点在某一瞬时占据一定的空间点（x，y，z）上，具有一定的速度、压力、密度、温度等标志其状态的运动参数。

拉格朗日法以流体质点为研究对象，而欧拉法以空间点为研究对象。

一、拉格朗日法（跟踪法、质点法）Lagrangian method1、定义：以运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律。

2、拉格朗日变数：取t=t0时，以每个质点的空间坐标位置为（a，b，c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。

3、方程：设任意时刻t，质点坐标为(x，y，z) ，则：x = x(a,b,c,t)y = y(a,b,c,t)z = z(a,b,c,t)4、适用情况：流体的振动和波动问题。

5、优点：可以描述各个质点在不同时间参量变化，研究流体运动轨迹上各流动参量的变化。

缺点：不便于研究整个流场的特性。

二、欧拉法（站岗法、流场法）Eulerian method1、定义：以流场内的空间点为研究对象，研究质点经过空间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多的空间点综合起来得出整个流场的运动规律。

2、欧拉变数：空间坐标（x ，y ，z ）称为欧拉变数。

3、方程：因为欧拉法是描写流场内不同位置的质点的流动参量随时间的变化，则流动参量应是空间坐标和时间的函数。

位置： x = x(x,y,z,t) y = y(x,y,z,t) z = z(x,y,z,t) 速度： u x =u x （x,y,z,t ） u y =u y （x,y,z,t ） u z =u z （x,y,z,t ）同理： p =p （x,y,z,t ） ，ρ=ρ(x,y,z,t) 说明： x 、y 、z 也是时间t 的函数。

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点作某一瞬时的流线，由这些流线所构成的管状曲面称为流管。
由流线定义可知，位于流管表面上的各流体质点的速度与流管表 面相切，没有其法向速度分量，因而流体质点不穿越流管壁。
元流： 当封闭曲线c所包围的面积无限小时，充满微小流管内的流
体称为元流或微小流束。
2015/11/19 9
流管： 流线围成的管子 流束： 流管内的流体 缓变流流束：流线平行或接近平行 微元流束：有限截面无限小的流束 总流：微元流束的总和 在有效截面上取平均值，按一维流动处理
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
2015/11/19 4
加速度可表示为：
dv x v x v x v x v x a v v v x y z x t t x y z dv y v y v y v y v y vx vy vz a y t t x y z dvz v z vz v z v z vx vy vz a z t t x y z
v x v y vz ， ， 式中右端第一项 t t t
称为时变加速度，表示某空间定点
处流体质点速度变化率；右端的后三项称为位变加速度，表示由于流体质
点所在的空间位置变化而引起的速度变化率。
2015/11/19
5
B2 流动分析基础
描述流体运动的数学方法
1.分类
随体法
描述方法 当地法 2.比较 拉格朗日法
于是，单位时间内在x方向流出与流入控制体的质量差为
1 v x 1 v x v x v x dx dydz v x dx dydz dxdydz 2 x 2 x x
同理可得在单位时间内沿y，z方向流出与流入控制体的质量差为
2015/11/19 2
流体质点速度为：
x a，b，c，t v x t y a，b，c，t v y t z a，b，c，t v z t
v x 2 x a，b，c，t a x t t 2 v y 2 y a，b，c，t a y 2 t t vz 2 z a，b，c，t a z t t 2
适合描述流体元的运动变形特性
流体力学最常用的解析方法
6
§3.2 流体运动中的几个的基本概念
一、定常流动和非定常流动
流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化， 则称此流动为定常流动，反之为非定常流动。
二、均匀流动和非均匀流动
流体运动过程中，若所有物理量皆不随空间点坐标而变，则称 此流动为均匀流动，反之为非均匀流动。
qv 体积、质量和重量表示，其相应的流量分别是体积流量
由于
体积流量使用较多，故简写为q） 、质量流量 qm 和重量流 量 。 对于元流，由于过流断面dA非常小，可以近似认为元流过流 断面上各点的流速在同一时刻是相同的，因此元流的流量
qG
为 dq vdA 。式中v为点流速。
总流的流量则为：q
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2.合流
q1 q2 q3 v1 A1 v2 A2 v3 A3
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20
§3.6 伯努利能量方程式及其应用
一、流线上的伯努力方程式
特定条件下：
定常流
v x v y vz p 0 t t t t p p p dx dy dz dp x y z
x y z t t
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整理得:
v x v y vz 0 t x y z
此式即为连续性微分方程的一般形式。适用于定常流及非定常流。 对于定常流：
0 ，上式成为 t
v x v y vz 0 x y z
R
A

13
2015/11/19
§3.3 连续性方程
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体表达式。
一、三维流动连续性方程
假定流体连续地充满整个
流场，从中任取出以
ox，y，z
点为中心的微小
六面体空间作为控制体如右图。
控制体的边长为dx，dy，dz，
分别平行于直角坐标轴x，
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8
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即：
dx dy dz v x v y vz
上式即为流线微分方程。因为流体中一点不能同时有两个速度方
向，流线除在绕流中的驻点等特殊情况外，流线不能相交，也不能转 折，只能是光滑曲线。
五、流管、过流断面、流量、断面平均流速和水力半径流管： 1. 流管、流束与总流
在流场中任取一条非流线的封闭曲线c，通过此封闭曲线上的每一
程及描述运动过程中各质点、各物理量随时间变化的规律。又称轨 迹法。通常以流体质点的初始坐标点作为区别不同的流体质点的标
志。设t=t0时，流体质点的坐标值是（a，b，c）。
流体质点的空间位置、密度、压强和温度可表示为：
r r a，b，c，t ＝ a，b，c，t p p a，b，c，t T T a，b，c，t
又： v ds v y dz vz dy i vz dx v x dz j v x dy v y dx k ＝0
所以：
v y dz v z dy＝0 v z dx v x dz＝0 v dy v dx＝0 y x
Q Q 0.3 4.24m / s 1 1 A1 d12 0.32 4 4
Q Q 0.3 9.55m / s 1 1 A2 2 2 d 2 0.2 4 4
19
V2
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三、三通管分流与合流的连续性方程 1.分流
q1 q2 q3 v1 A1 v2 A2 v3 A3
总流是流场中所有元流的总和， 所以由上式可总流连续性方程:
v1 A1 v2 A2
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1 d1 1
2 2
d2
例 管道中水的质量流量为Qm=300kg/s, 若d1=300mm, d2=200mm, 求流量和过流断面 1-1, 2-2 的平均流速 解:
Q
V1
Qm


300 0.3m3 / s 1000
分别描述有限质点的轨迹
表达式复杂
拉格朗日法
欧拉法
质点轨迹： r r (a,b,c,t ) 参数分布：B = B（x, y, z, t）
欧拉法
同时描述所有质点的瞬时参数
表达式简单 直接反映参数的空间分布
不能直接反映参数的空间分布
不适合描述流体元的运动变形特性
拉格朗日观点是重要的
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1 v x vx dx 2 x
因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分布。 所以单位时间内沿x轴方向流入控制体的质量为
1 v x v x dx dydz 2 x
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流出控制体的质量为
1 v x v x dx dydz 2 x
流体质点加速度为：
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3
二、欧拉法
欧拉法的着眼点不是流体质点，而是空间点。欧拉法是设法在空间
的每一点上描述出流体运动参数随时间的变化情况。观测先后流过各
空间点的各个质点的物理量变化情况，便能了解整个或部分流场的运 动情况，故又称空间点法或流场法。例如在气象观测中广泛使用欧拉
法。
由欧拉法特点可知，各物理量是空间点x，y，z，t的函数。所以 速度、密度、压强和温度可表示为：
t作为参量(常数)处理
得 C = -5
x2 – y2 –4y +5 =0
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总流：当封闭曲线c取在运动流体的边界上时，则充满流管内的流
体称为总流。
过流断面：与流束或总流的流线相垂直的断面称为过流断面。当流
线是平行的直线时，过流断面是平面，否则它是不同形式的曲面。
流量：单位时间内通过过流断面的流体量称为流量。流体量可以用
14
y，z。设控制体中心点处流速的三个分量为 v x，v y，vz ,液体密度 为 。将各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶微量，可得到该时 刻通过控制体六个表面中心点的流体质点的运动速度。例如：通过控制 体前表面中心点M的质点在x方向的分速度为：
1 v x vx dx 2 x
通过控制体后表面中心点N的质点在x方向的分速度为
v y y
dxdydz
和
vz dxdydz z
由连续介质假设，并根据质量守恒原理知：单位时间内流出与 流入控制体的质量差的总和应等于六面体在单位时间内所减少的质量。 所以 v x v y vz dxdydz dxdydz dxdydz
三、一维、二维、三维流动
在设定坐标系中，有关物理量依赖于一个坐标，称为一维流动， 依赖于二个坐标，称为二维流动，依赖于三个坐标，则称为三 维流动。平面运动和轴对称运动是典型的二维运动。
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7
四、迹线与流线
迹线是流体质点在空间运动时描绘的轨迹。它给出了同一流体质点 在不同时刻的空间位置。 流线是指某一瞬时流场中一组假想的曲线，曲线上每一点的切线 都与速度矢量相重合。 由流线定义可推出流线的微分方程：空间点的速度与流线相切， 即空间点的速度矢量v与流线上微元弧矢量ds的矢量积为零 v ds 0
vdA
A
12
断面平均流速：作为一维流动，常采用断面平均速度值代替各点的
实际流速，称为断面平均流速。断面平均流速是体积流量与过流