【一致收敛与收敛】

一致收敛通俗解释解释说明1. 引言1.1 概述在数学和应用领域中，一致收敛是一个重要概念。

它与函数序列或级数的性质有关，经常被用于分析和解释各种问题。

然而，对于非专业人士来说，一致收敛可能是一个陌生而抽象的概念。

因此，本文旨在通俗地解释一致收敛，帮助读者理解其含义及其在数学和应用领域的重要性。

1.2 文章结构本文将首先给出一般的定义和解释，并介绍为什么我们需要关注一致收敛。

随后，我们将详细探讨一致收敛的重要性，并通过实例分析来进一步说明其应用领域。

最后，在结论部分对文章进行总结，并展望未来研究方向。

1.3 目的本文的目标是以通俗易懂的方式解释一致收敛这个概念，并说明它在数学和应用领域中所扮演的角色。

通过阐明一致收敛的定义、重要性以及实例分析，读者将能够更好地理解该概念并认识到它的广泛应用价值。

同时，本文将为未来研究提供展望，希望激发更多人对一致收敛及其相关领域的兴趣和研究。

2. 正文正文部分将深入探讨一致收敛的概念、原理和相关内容。

我们将从数学领域中的一致收敛概念开始，然后转向应用领域中对一致收敛的解释与说明，并通过实例分析和案例说明来加深理解。

在正文部分，我们将全面介绍一致收敛的概念及其意义。

首先，我们将阐述一致收敛的定义和基本思想，解释它与其他收敛性概念之间的区别。

接下来，我们将讨论为什么要关注一致收敛以及在不同领域中对它的重视程度。

随后，我们将从数学领域出发，详细解释一致收敛在数学问题中的作用和应用。

这包括使用极限理论进行函数序列或级数求和时的一致收敛条件、使用一致收敛可以交换极限操作符次序等方面。

我们还会探讨一些经典定理如Weierstrass 定理等与一致收敛相关的研究成果。

接着，我们将深入探究应用领域中对于一致收敛解释与说明。

例如，在计算机科学领域，我们将探讨一致收敛在数值计算和算法设计中的应用，以及如何利用一致收敛来优化算法的性能。

在物理学、经济学等其他领域中，我们将探讨一致收敛的重要意义和实际应用。

收敛和一致收敛的关系收敛和一致收敛是微积分中重要的概念。

它们被广泛应用于分析函数和构造函数等领域。

本文旨在阐明收敛和一致收敛的概念及其关系，并探讨它们在实际中的应用。

一、概念1、收敛在函数序列$f_1(x),f_2(x),...,f_n(x),...$中，当$x$趋近于$c$时，如果存在一个函数$F(x)$，使得$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=F(x)$，那么我们称函数序列$f_n(x)$在$x$趋近于$c$时收敛于函数$F(x)$。

其中，$c$可以是实数或无穷远处。

2、一致收敛如果存在一个函数$F(x)$，使得当$n$趋近于无穷大时，函数序列$f_n(x)$在全体$x\in S$上一致收敛于$F(x)$，即$\lim\limits\sup_{n\rightarrow\infty}|f_n(x)-F(x)|=0$，我们称函数序列$f_n(x)$在$S$上一致收敛于函数$F(x)$。

二、比较从定义可以发现，一致收敛在某种程度上是强于收敛的，因为一致收敛要求在定义域的每个点上，函数序列必须以相同的速度收敛于极限函数。

而收敛只需要在大多数点上满足这个条件即可。

因此，我们可以认为收敛是一种局部性质，而一致收敛则是全局性质。

另外，在一致收敛中，极限函数$F(x)$必须在定义域上有一个上限和下限，而在收敛中并不一定要有这个性质。

因此，也可以说，一致收敛收敛更快，而且更稳定。

三、应用1、函数极限在函数极限中，一致收敛常常被用于证明极限存在。

因为一致收敛要求在全体$x\in S$上都有相同的速度收敛，因此，我们可以剔除函数序列中的一小部分，使得它们不会对极限产生影响。

这就让我们在判断极限存在时更加方便。

2、傅里叶级数在傅里叶分析中，一致收敛是极其重要的工具。

因为在傅里叶级数中，每一项都是一条正弦或余弦曲线，而这些曲线虽然是收敛的，但并不一定一致收敛。

因此，如果没有一致收敛这个概念，我们将很难正确地表示一个周期函数为一个级数。

逐点收敛与⼀致收敛作者：Abraham 转载请标明出处，谢谢！数学分析中的函数列的收敛性是⼀个很重要的概念。

Riemann空间（⼯科数学分析主要讨论的范围）上描述收敛性的两个概念是逐点收敛与⼀致收敛。

Pointwise ConvergenceDefinition.Let D be a subset of R and let {fn} be a sequence of functions defined on D. We say that {fn} converges pointwise on D if lim n→∞ fn(x) exists for each point x in D. This means that lim n→∞ fn(x) is a real number that depends only on x. If {fn} is pointwise convergent then the function defined by f(x) = lim n→∞ fn(x), for every x in D, is called the pointwise limit of the sequence {fn}.Formal Definition.Let D be a subset of R and let {fn} be a sequence of real valued functions defined on D. Then {fn} converges pointwise to f if given any x in D and given any ε > 0, there exists a natural number N = N(x, ε) such that |fn(x) − f(x)| < ε for every n > N.Uniform ConvergenceDefinition. Let D be a subset of R and let {fn} be a sequence of real valued functions defined on D. Then {fn} converges uniformly to f if given any ε > 0, there exists a natural number N = N(ε) such that |fn(x) − f(x)| < ε for every n > N and for every x in D.两者的关系是：⼀致收敛必逐点收敛，但反之则不然。

一致收敛定义和收敛的关系
一致收敛和收敛是数学分析中两个重要的概念，它们描述了函数序列在不同方式下的极限行为。

下面将详细解释这两个概念以及它们之间的关系。

一致收敛是指对于给定的函数序列，如果存在一个函数，使得对于任意的正数ε（无论多么小），都可以找到一个正整数N，当函数序列中的函数序号n大于N时，函数序列中的每一个函数与极限函数之间的最大差值都小于ε，则称该函数序列一致收敛于极限函数。

一致收敛强调了函数序列在整个定义域上以某种一致的方式趋近于极限函数，而不依赖于特定的x值。

而收敛则是指对于给定的函数序列和某个特定的x值，如果存在一个函数，使得当函数序列中的函数序号n趋于无穷大时，函数序列在该x值处的函数值趋近于极限函数在该x 值处的函数值，则称该函数序列在该x值处收敛于极限函数。

收敛关注的是函数序列在特定点上的极限行为。

一致收敛和收敛之间的关系可以从以下几个方面来理解：
一致收敛是一种更强的收敛方式。

如果函数序列一致收敛于极限函数，则它必然在定义域上的每一个点都收敛于该极限函数。

但反之则不一定成立，即函数序列在定义域上的每一个点都收敛于极限函数，并不意味着它一定一致收敛于该极限函数。

一致收敛保持了更多的性质。

一致收敛的函数序列可以保持很多重要的性质，如连续性、可积性等，而逐点收敛则不一定能够保持这些性质。

综上所述，一致收敛和收敛是两种不同的极限行为描述方式，它们之间存在密切的联系但也有明显的区别。

在实际应用中，我们需要根据具体的问题和条件选择合适的收敛方式来进行分析和证明。

可测函数列常见的几种收敛摘 要：本文介绍了可测函数列常见的几种收敛：一致收敛、几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等以及它们之间的关系．关键字：可测函数列；一致收敛；几乎一致收敛；几乎处处收敛；依测度收敛前言在数学分析中我们知道一致收敛是函数列很重要的性质，比如它能保证函数列的极限过程和(R)积分过程可交换次序等．可是一般而言函数列的一致收敛性是不方便证明的，而且有些函数列在其收敛域内也不一定是一致收敛的，如文中所给的例2函数()f x 在收敛域[0,1]内不一致收敛，但对于一个0δ>当0δ→时在[0,]δ内一致收敛，这不见说明了一致收敛的特殊性，也验证了我们平时常说的“矛盾的同一性和矛盾的斗争性是相了解的、相辅相成的”[1]1 可测函数列几种收敛的定义1.1 一致收敛[3]设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集E 上的实值函数．若对于0,ε∀>存在,K N +∈使得对于,k K x E ∀≥∀∈都有()()k f x f x ε-<则称}{()k f x 在E 上一致收敛到()f x ．记作： u k f f −−→(其中u 表示一致uniform)．1.2 点点收敛若函数列12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 在点集D E ⊂上每一点都收敛，则称它在D 上点点收敛．例1 定义在[0,1]E =上的函数列1(),1k f x kx =+则()k f x 在E 上点点收敛到函数 1,0,()0,0 1.x f x x =⎧=⎨<≤⎩而且还能看出{()}k f x 在[]0,1上不一致收敛到()f x ，但对于0,{()}k f x δ∀>在[,1]δ上一致收敛到()f x ．1.3 几乎一致收敛[3]设E 是可测集，若0,,E E δδ∀>∃⊂使得(\),m E E δδ<在E δ上有u k f f−−→则称{()}k f x 在E 上几乎一致收敛与()f x ，并记作...a u k f f −−→(其中a.u ．表示几乎一致almost uniform) ．例2 定义在[]0,1E =上的函数()k k f x x =在[]0,1上收敛却不一致收敛．但是只要从[]0,1的右端点去掉任一小的一段使之成为[]()0,10,0δδδ->→则{()}k f x 在此区间上就一致收敛，像这样的收敛我们就可以称之为在[]0,1E =上几乎一致收敛与0．1.4 几乎处处收敛[3]设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集n E R ⊂上的广义实值函数．若存在E 中点集Z ，有()0,m Z =及对于每一个元素\x E Z ∈，有lim ()()k x f x f x →∞= 则称{()}k f x 在E 上几乎处处收敛与()f x ，并简记为,.[]k f f a e E →或..a e k f f −−→若上文的例1也可以称之为在[]0,1上几乎处处收敛与()f x ．1.5 依测度收敛例3在[0,1)上构造函数列{()}k f x 如下：对于k N +∈，存在唯一的自然数i 和j ，使得2,i k j =+其中02,i j ≤≤令1[,)22()(),1,2,,[0,1).i i k j j f x x k x χ+==∈任意给定的0[0,1),x ∈对于每一个自然数i ，有且仅有一个j ，使得01[,)22i i j j x +∈．数列0{()}f x 中有无穷多项为1，有无穷多项为0．由此可知，函数列{()}k f x 在[0,1)上点点不收敛．因此仅考虑点收敛将得不到任何信息．然而仔细观察数列0{()}k f x 虽然有无穷多个1出现，但是在“频率”意义下，0却也大量出现．这一事实可以用点集测度语言来刻画．只要k 足够大，对于01,ε<≤点集{[0,1)()0}{[0,1)()1}1[,)22k k i i x f x x f x j j ε∈-≥=∈=+= 的测度非常小．事实上 1({[0,1)()0})2k i m x f x ε∈-≥=． 这样对于任给的0,δ>总可以取到0,k 也就是取到0,i 使得当0k k >时，有({[0,1)()0})1k m x f x εδ∈-<>-其中02i δ-<．这个不等式说明，对于充分大的h ，出现0的“频率”接近1．我们将把这样一种现象称为函数列{()}k f x 在区间[0,1)上依测度收敛到零函数，并将抽象出以下定义[3]：设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是可测集E 上几乎处处有限的可测函数．若对于任意给定的0,ε>有lim (())0,k x m E f f ε→∞->= 则称{()}k f x 在E 上依测度收敛到函数()f x ，记为.m k f f −−→2 可测函数列几种收敛的关系2.1 点点收敛与一致收敛的关系由上述定义我们可以知道u k f f −−→，必有{()}k f x 点点收敛于()f x ．如例1． 反之则不一定成立，如例2．而且还可以得到若{()}k f x 是可测集E 上的可测函数列，则()f x 也是可测函数．2.2 几乎处处收敛与一致收敛的关系由定义可知有一致收敛必几乎处处收敛....()a u a e k k f f f f −−→⇒−−→．反之则不然，如例2．而且还可以得到若{()}k f x 是可测集E 上的可测函数列，则极限函数()f x 也是可测函数．应用：从数学分析我们知道一致收敛的函数列对于求极限运算和(R)积分运算、微分运算与(R)积分运算等可以交换次序．2.3 几乎处处收敛与一致收敛的关系叶果洛夫(E ΓopoB )定理[5]：设(),{}n m E f <∞是E 上一列 a.e ．收敛于一个a.e ．有限的函数f 的可测函数，则对于任意的0δ>，存在子集E E δ⊂，使{}n f 在E δ上一致收敛，且(\)m E E δδ<．注 定理中“()m E <∞”不可去掉如：例4定义在(0,)E =+∞的函数列1,(0,]()(1,2,).0,(,)m x m x m x m f ∈⎧==⎨∈+∞⎩则m f 在(0,)+∞上处处收敛于1，但对于任何正数δ及任何可测集E δ，当时(\)m E E δδ<时，m f 在E δ上不一致收敛于1．这是因为，当时(\)m E E δδ<时，E δ不能全部含于(0,]m 中，必有(,)m E m x δ∈+∞，于是有()0m m x f =．sup ()1()11m m m x E f x f x δ∈-≥-=所以()m x f 在E δ上不一致收敛与1，也即定理中“()m E <∞”不可去掉[4]．由定义我们知道一致收敛必是几乎处处收敛的，反之则不成立．但它们又有密切的关系，即使上述定理告诉我们几乎处处收敛“基本上”是一致收敛的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)．应用 由上述定理我们还可以得到“鲁津定理”：设()f x 是E 上 a.e ．有限的可测函数，则对于任意的0δ>，存在闭子集E F δ⊂，使()f x 在F δ上是连续函数，且(\)m E F δδ<．也就是说：在E 上a.e ．有限的可测函数“基本上”是连续的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)．也即我们可以用连续函数来逼近a.e ．有限的可测函数．2.4几乎处处收敛与依测度收敛的关系例5 取(0,1]E =，将E 等分，定义两个函数：(1)111,(0,]2()10,(,1]2x x x f ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩， (1)210,(0,]2()11,(,1]2x x x f ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩． 然后将(0,1]四等分、八等分等等．一般的，对于每个n ，作2n 个函数：()11,(,]22()1,2,,2.10,(,]22n n n n j n j j x x j j j x f -⎧∈⎪⎪==⎨-⎪∉⎪⎩．我们把(),1,2,,2{}n j x j f =，先n 按后按j 的顺序逐个的排成一列：(1)(1)()()()12122(),(),,(),(),,(),n n n n x f x f x f x f x f (1)()()n j x f 在这个序列中是第22n j N -+=个函数．可以证明这个函数列是依测度收敛于零的．这是因为对于任何的0σ>，()0[]n j f E σ-≥或是空集(当1σ>)，或是1,22(]n nj j - (当01σ<≤)，所以 ()102([])n j n f m E σ-≥≤ (当时1σ>时，左端为0)．由于当2(1,2,,2.)2n n j j N -+==趋于∞时n →∞，由此可见()([0])0lim n j N m E f σ→∞-≥=， 也即()()0m n j x f −−→．但是函数列(1)在上的任何一点都不收敛．事实上，对于任何点0(0,1]x ∈，无论n多么大，总存在j ，使01(,]22n n j j x -∈，因而()0()1n j x f =，然而()10()0n j x f +=或()10()0n j x f -=，换言之，对于任何0(0,1]x ∈，在()0(){}n j x f 中必有两子列，一个恒为1，另一个恒为0．所以序列(1)在(0,1]上任何点都是发散的．这也就说明依测度收敛的函数列不一定处处收敛，也就是说依测度收敛不能包含几乎处处收敛，但仍有：黎斯(F ．Riesz) [5] 设在E 上{}n f 测度收敛于f ，则存在子列{}i n f 在E 上a.e ．收敛于f ．例6 如例4，当()1()m x n f →→∞当x E ∈．但是当01σ<<时，1[](,)m f E m σ-≥=+∞且(,)m m +∞=∞．这说明}{n f 不依测度收敛于1．这个例子又说明了几乎处处收敛也不包含依测度收敛，但是有下述关系： 勒贝格(Lebesgue) [5] 设mE <∞，{}n f 是E 上a.e ．有限的可测函数列， {}n f 在E 上a.e ．收敛于a.e ．有限的函数f ，则()()m n x f x f −−→．此定理中的“mE <∞”不可去掉，原因参看例1．定理也说明在的在的条件mE <∞下，依测度收敛弱于几乎处处收敛．有以上定理黎斯又给出了一个用几乎处处收敛来判断依测度收敛的充要条件：设mE <∞，{}n f 是E 上的可测函数列，那么{}n f 依测度收敛于f 的充要条件是：{}n f 的任何子列{}k n f 中必可找到一个几乎处处收敛于f 的子序列．证明（必要性） 由于{}n f 依测度收敛于f ，由定义知道这时{}n f 的的任何子序列{}k n f 必也依测度收敛于f ，由黎斯定理可知{}k n f 中必存在几乎处处收敛于f 的子序列．（充分性） 如果{}n f 不依测度收敛于f ，即存在一个0σ>，使得()n f f m E σ-≥不趋于0．因此必有子序列{}k n f ，使得(())0.lim kn k m E f f a σ→∞-≥=> 这样{}k n f 就不可能再有子序列几乎处处收敛于f 了，否则由勒贝格定理知将有{}kn f 依测度收敛于f ，即 (())0.lim kn k m E f f σ→∞-≥= 这与上式矛盾，所以{}n f 依测度收敛于f ．应用 依测度收敛在概率统计中有重要的意义，如例3；它也是证明中心极限定理的重要依据，由中心极限定理我们可以知道用一个正态分布来模拟一个样本容量较大的样本的概率分布， 从而简化了大样本概率分布的处理和计算[7]． 结束语：上述定义中的各种收敛的极限函数都是唯一的，而且从本文还可以知道一致收敛是最强的收敛，它蕴含了点点收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等上述几种收敛．各种收敛都有不同的意义，在各种实践中作用也各不同．参考文献：[1]马克思主义基本原理概论教材编写课题组．马克思主义基本原理概论[M]．高等教育出版社，2009,7[2] 华东师范大学数学系．数学分析(第三版)[M]．高等教育出版社，2001,6．[3] 郭懋正．实变函数与泛函分析[M]．北京大学出版社，2005,2[4] 柳藩，钱佩玲．实变函数论与泛函分析[M]．北京师范大学出版社，1987．[5] 程其襄，张奠宙，魏国强等．实变函数与泛函分析既基础[M]．高等教育出版社，2003,7．[6] 夏道行，严绍宗等复旦大学数学系主编．实变函数与应用泛函分析基础[M]．上海科学技术出版社．1987．[7] 茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程[M]．高等教育出版社，2004,7．[文档可能无法思考全面，请浏览后下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意!]。

函数序列的收敛与一致收敛函数序列是指一组函数按照一定的规律排列组成的序列。

函数序列的收敛是指函数序列中的每一个函数都在特定点或特定区间上收敛于同一个函数。

而函数序列的一致收敛是指函数序列在特定区间上的收敛性不仅与特定点有关，还与整个区间的长度有关。

在数学分析中，函数序列的收敛与一致收敛是重要的概念。

收敛性是函数序列研究中的基本问题之一，而一致收敛则是收敛性的一种更强的要求。

一、函数序列的收敛对于函数序列{f_n(x)}而言，存在函数f(x)，当自变量x趋近于特定点a时，函数序列中的每一个函数f_n(x)都收敛于f(x)，则称函数序列{f_n(x)}收敛于函数f(x)，记作f_n(x)→f(x)，或lim f_n(x) = f(x) (n→∞)。

函数序列的收敛性可以通过函数的极限来判定。

如果函数序列中的每一个函数在特定点a处存在有限极限，且所有这些极限都相等，则函数序列收敛于这个极限值。

二、函数序列的一致收敛函数序列{f_n(x)}在区间I上一致收敛于函数f(x)，是指对于任意给定的ε>0，存在N，当n>N时，对于区间I上的任意x，都有|f_n(x)-f(x)|<ε成立。

与函数序列的收敛相比，函数序列的一致收敛更强，它要求不仅对于特定点，所有函数f_n(x)都要连续收敛于f(x)，而且在整个区间上的收敛性都要一致。

函数序列的一致收敛性可以通过序列的极限函数来判定。

如果函数序列的极限函数是一个连续函数，且序列中的每一个函数在整个区间上都逐点收敛于该极限函数，则函数序列在该区间上一致收敛于该极限函数。

三、收敛与一致收敛的关系函数序列的一致收敛是函数序列收敛性的一种更强要求，即一致收敛蕴含着收敛。

但是函数序列的收敛并不一定能推导出一致收敛。

一般来说，函数序列的收敛性可以通过函数的极限来判断，而一致收敛则需要更加严格的条件。

例如，如果函数序列在某个点x收敛，但在整个区间上并不一致收敛，那么序列可能只是逐点收敛于该点，而在其他点上并不收敛。

函数列的收敛与一致收敛作者：时杰来源：《新课程·教师》2016年第01期摘要：从收敛和一致收敛的概念出发，讨论数学分析中函数列的收敛与一致收敛的关系，这为如何掌握并进一步研究函数列的收敛与一致收敛问题提供了方法。

关键词：函数列；收敛；一致收敛函数列收敛与一致收敛理论是数学分析中的重要概念之一，同时也是教与学的难点。

但是学生往往对定义理解不透彻，生搬硬套“？着-N”语言，加之各种版本的数学分析教科书将函数列的收敛问题与函数项级数的收敛问题放在一起，使得教与学更为困难。

本文从实数数列的收敛问题中引出函数列的收敛，进而引出一致收敛，逐步推进，使得这部分内容更易学习并掌握。

实数序列的收敛问题是定义在实数集上的，其实函数序列的收敛性也是如此，函数序列的收敛性反映的是函数列在点集上的局部性质，也就是说，函数列在点集上的收敛性就是实数序列的收敛问题。

下面就从这个角度讨论函数列的收敛与一致收敛问题。

一、收敛的几个定义实数列的收敛性定义定义1：设xn是实数序列，a是实数，若对任意给定的正数？着，都存在相应的正整数N，使得当n>N时，恒有xn-a几何上，xn→a的意思是：数轴上跳动的点xn与定点a之间的距离，随着n的无限变大而无限变小，无论？着是怎样小的数，做点a的？着邻域（a-？着，a+？着），跳动的点迟早有一次将跳进去，再也跳不出来，这个次数便可作为N。

但是例如序列：（1+ ），（1+ ）2，（1+ ）3，…，（1+ ）n，…有极限ex，这个序列的特点是每一项都是函数，极限也是x的函数，这样构成的序列就不是实数序列了，而是函数序列，可以记为：fn（x），收敛定义如下：定义2：设函数列fn（x）每一项fn（x）及函数f（x）均在数集E上有定义，若？坌x∈E，函数列fn（x）收敛于f（x），则称函数列fn（x）在E上收敛于f（x），并称函数f （x）是函数列fn（x）的极限函数。

定义2也可以用“？着-N”语言描述：设函数列fn（x）每一项fn（x）及函数f（x）均在数集E上有定义，对？坌x∈E，？坌？着>0存在正数N，使得当n>N时，总有fn（x）-f（x）我们发现，函数列fn（x）的收敛问题不仅要考虑fn（x）的趋向，还要考虑极限函数f （x），但是我们也发现取定x0∈E时，代入fn（x）即得实数序列：f1（x0），f2（x0），…，fn（x0）…，这时就是实数序列的收敛性问题了。

㊀㊀㊀㊀㊀１５６㊀浅析收敛与一致收敛性浅析收敛与一致收敛性Һ岳红云㊀（河南工业大学理学院，河南㊀郑州㊀４５０００１）㊀㊀ʌ摘要ɔ函数项级数是研究函数的重要工具，收敛与一致收敛性是数学分析中函数的重要性质之一，本文主要通过定义和例题浅析函数项级数的收敛与一致收敛性的联系与不同，从而应用函数项级数的一致收敛性，解释和函数与函数项分析性质的一致性问题，举例说明具有重要的实际应用．ʌ关键词ɔ收敛性；一致收敛性；比较；应用ʌ基金项目ɔ１．河南工业大学２０１９年本科教育教学改革研究与实践项目：基于信息化教学环境下 高等数学Ｂ（二） 课程的混合式教学研究与实践．项目号：ＪＸＹＪ－Ｋ２０１９４５；２．高等学校大学数学教学与研究发展中心２０２０年教学改革项目：以学为中心的高等数学课程混合式教学模式改革的研究与实践．项目号：ＣＭＣ２０２００２０３．一㊁引言在数学分析中，收敛性是函数的重要性质之一，收敛与一致收敛性在数学中的应用极为广泛，函数表达的一种方法是用函数项级数表示，这种方法是表示非初等函数的重要方法．函数项级数不仅可以表示函数，还是研究函数性质以及进行数值计算的重要工具，想要通过函数项级数研究它所表示的函数的重要性质：和函数的连续㊁可积和可微性，就不能只考虑其收敛性，还要考虑更强的收敛性 一致收敛性，一致收敛是确保和函数连续的重要条件，同时也是保障和函数可积和可微不可或缺的条件．下面将从函数项级数的收敛与一致收敛性的定义研究它们的联系与不同．二㊁收敛与一致收敛性的定义１．函数项级数收敛的定义若对∀ｘɪＸ，ｌｉｍｎңɕＳｎ（ｘ）＝Ｓ（ｘ）成立，其中Ｓｎ（ｘ）为ðɕｎ＝１Ｕｎ（ｘ）的前ｎ项和函数，则称函数项级数ðɕｎ＝１Ｕｎ（ｘ）在区间Ｘ上收敛于Ｓ（ｘ），并称Ｓ（ｘ）为其和函数．我们知道，有限个连续函数的和仍为连续函数，对于可导和可积也有类似的性质．如果遇到的是无穷多个函数之和，也就是函数项级数，当函数项级数的每一项在某区间上连续㊁可导㊁可积时，它的和函数在该区间上是否连续㊁可导㊁可积？那么在什么条件下，才有其和在该区间上连续㊁可导㊁可积？要回答这些问题，需要引入一致收敛．２．函数项级数一致收敛的定义设函数项级数ðɕｎ＝１Ｕｎ（ｘ）在区间Ｘ上收敛于和函数Ｓ（ｘ），前ｎ项和函数为Ｓｎ（ｘ）．如果对任意的ε＞０，有正整数Ｎ＝Ｎε()，满足当ｎ＞Ｎ时，∀ｘɪＸ，有Ｓ（ｘ）－Ｓｎ（ｘ）＜ε，则称函数项级数ðɕｎ＝１Ｕｎ（ｘ）在区间Ｘ上一致收敛于和函数Ｓ（ｘ），或称ðɕｎ＝１Ｕｎ（ｘ）在Ｘ上一致收敛．注记：函数项级数非一致收敛的定义设函数项级数ðɕｎ＝１Ｕｎ（ｘ）在区间Ｘ上收敛于和函数Ｓ（ｘ），前ｎ项和函数为Ｓｎ（ｘ）．如果对某个ε０＞０，对于任意正整数Ｎ＝Ｎ（ε），总存在正整数ｎ０满足当ｎ０＞Ｎ时，∃ｘ０ɪＸ，有Ｓ（ｘ０）－Ｓｎ（ｘ０）ȡε０，则称函数项级数ðɕｎ＝１Ｕｎ（ｘ）在区间Ｘ上非一致收敛．三㊁例题例１㊀讨论ðɕｎ＝０ｘｎ在［－ｒ，ｒ］（０＜ｒ＜１）上的收敛性与一致收敛性．解㊀由题知ðɕｎ＝０ｘｎ是几何级数，公比为ｘ，其前ｎ项和函数Ｓｎ（ｘ）＝１＋ｘ＋ｘ２＋ ＋ｘｎ－１＝１－ｘｎ１－ｘ，则当－１＜ｘ＜１时，ｌｉｍｎңɕＳｎ（ｘ）＝１１－ｘ，故函数项级数在［－ｒ，ｒ］（０＜ｒ＜１）上收敛于１１－ｘ．对任给的ε＞０，要使１１－ｘ－ðｎ－１ｋ＝０ｘｋ＝ｘｎ１－ｘ＜ε（－ｒɤｘɤｒ（０＜ｒ＜１）），只要ｒｎ１－ｒ＜ε，即只要ｎ＞ｌｎ（１－ｒ）εｌｎｒ，故可取Ｎ＝ｌｎ（１－ｒ）εｌｎｒ[]，则对任给的ε＞０，当ｎ＞Ｎ时，Ｎ为正整数，－ｒɤｘɤｒ（０＜ｒ＜１）时，有１１－ｘ－ðｎ－１ｋ＝０ｘｋ＜ε，㊀㊀㊀１５７㊀㊀根据定义，得级数ðɕｎ＝０ｘｎ在［－ｒ，ｒ］上一致收敛于１１－ｘ．例２㊀讨论ðɕｎ＝０ｘｎ在（－１，１）上的收敛性与一致收敛性．解㊀由等比级数的求和公式及函数项级数收敛性的定义可知，函数项级数ðɕｎ＝０ｘｎ在（－１，１）上收敛于１１－ｘ．取ε０＝１ｅ，对任意的正整数Ｎ，总存在ｎ０＝Ｎ＋１＞Ｎ及ｘ０＝ＮＮ＋１ɪ（－１，１），总有１１－ｘ０－ðｎ０－１ｋ＝０ｘｋ＝｜ｘ０｜ｎ０１－ｘ０＝Ｎ１＋１Ｎ()Ｎ＞ε０成立，由定义可知，ðɕｎ＝０ｘｎ在（－１，１）上非一致收敛．注记：①通过上例可以发现，函数项级数ðɕｎ＝０ｘｎ在［－ｒ，ｒ］（０＜ｒ＜１）上一致收敛，而在（－１，１）上却非一致收敛，原因是在［－ｒ，ｒ］（０＜ｒ＜１）之外的（－１，１）上找不到通用的自然数Ｎ，使得函数项级数与其和函数的距离可以任意小，从而函数项级数在此区间上非一致收敛．②利用定义判定一致收敛性时，需要求出和函数，如果和函数不易求得，此时要判别函数项级数在某区间上的一致收敛性就需要根据函数项级数自身的特点，换用其他方法，比如柯西一致收敛准则㊁维尔斯塔拉斯判别法等．四㊁结论通过收敛与一致收敛的定义和例题可以发现，函数项级数ðɕｎ＝０ｘｎ在（－１，１）上收敛，而在（－１，１）上非一致收敛，原因就是逐点收敛与均匀收敛的差别：函数项级数在（－１，１）上每一点处与某个常数的距离都可以任意小，所以每一点都是收敛的，而在（－１，１）上找不到通用的自然数Ｎ，使得在区间（－１，１）上每一点处函数项级数与其和函数的距离可以任意小（尽管它在［－ｒ，ｒ］（０＜ｒ＜１）上是一致收敛的，但在［－ｒ，ｒ］（０＜ｒ＜１）之外的（－１，１）上找不到通用的自然数Ｎ），也就是不存在共同的收敛速度，从而函数项级数在区间（－１，１）上非一致收敛．这说明虽然同为收敛，但一致收敛的要求更高，它要求级数在某个范围内有共同的㊁一致的收敛速度．所以对函数项级数来说，收敛只要求对其定义域内的某一个点，函数项级数的部分和与和函数从某个正整数开始，以后的各项是无限接近的，在不同收敛点选取的正整数可以不相同，也就是收敛速度可以不同，所以收敛点与收敛点之间没有必然的联系，此时收敛性只是数列的收敛性，不涉及函数的分析性质，所以在收敛的条件下，函数项的性质与其和函数的性质之间没有必然的联系；一致收敛是指函数项级数在某个范围内有共同的收敛速度，收敛点与收敛点之间相互关联㊁相互制约，保证收敛速度的一致性是函数项级数在一个区间上收敛的整体体现，涉及函数的分析性质，所以在一致收敛的条件下，考查函数项性质与其和函数性质之间的关系时，就会得到 如果函数项级数在某个点集上一致收敛，并且函数项各项在点集上连续，那么和函数也在该点集上连续 的结论，所以在较高的一致收敛条件下，应用函数项级数的一致收敛性就可以利用函数项的性质得到和函数的分析性质．五㊁应用应用函数项级数的一致收敛性，可以研究和函数的连续性，比如，说明函数ｆ（ｘ）＝ðɕｎ＝１１ｎ２ｅ－ｘ２ｎ２在［０，＋ɕ）上连续时，根据函数项级数的每一项都在［０，＋ɕ）上连续，函数项级数又在［０，＋ɕ）上一致收敛，所以和函数就在［０，＋ɕ）上连续．应用函数项级数的一致收敛性，还可以求幂级数的和函数，从而可以产生很多应用，比如近似计算函数值㊁定义初等超越函数，还是表示非初等函数的重要方法．例如，函数ｆ（ｘ）＝ｅ－ｘ２在Ｒ上连续，它在Ｒ上存在原函数，但它的原函数是非初等函数，所以无法表示成有限形式，又因为函数可以展开成幂级数，所以它的原函数就可以表示为幂级数的和函数．ｅ－ｘ２＝１－ｘ２１！＋ｘ４２！－ ＋（－１）ｎｘ２ｎｎ！＋ ＝ðɕｎ＝０（－１）ｎｘ２ｎｎ！，因为它在任意闭区间上都一致收敛，于是，∀ｘɪＲ，它的原函数可表示为Ｆ（ｘ）＝ʏｘ０ｅ－ｔ２ｄｔ＝ʏｘ０ðɕｎ＝０（－１）ｎｔ２ｎｎ！{}ｄｔ＝ðɕｎ＝０（－１）ｎʏｘ０ｔ２ｎｎ！ｄｔ＝ðɕｎ＝０（－１）ｎｘ２ｎ＋１ｎ！（２ｎ＋１）．ʌ参考文献ɔ［１］刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义：第三版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．［２］段会卿．函数项级数一致收敛的几个判别法［Ｊ］．科技资讯，２０１１（１８）：１７６．［３］武忠祥．工科数学分析基础教学辅导书［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００６，９．。