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387第十三讲 含参量积分§13.1 含参量正常积分一、知识结构 1、含参积分 定义含参积分 ⎰=dcdy y x f x I ),()(和⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F .含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分. （1）含参积分的连续性 定理1 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续.定理2 若函数),(y x f 在矩形域{}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=),()( ),(上连续, 函数)(x c 和)(x d 在] , [b a 上连续,则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F 在] , [b a 上连续.（2）含参积分的可微性定理3 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导, 且⎰⎰=dcdcx dy y x f dy y x f dxd ),(),(.即积分和求导次序可换.定理4 设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [q p b a D ⨯=上连续, 函数)(x c 和)(x d 定义在] , [b a 上其值域含于] , [q p 上的可微函数, 则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F 在] , [b a 上可微, 且 ()())()(,)()(,),()()()(x c x c x f x d x d x f dy y x f x F x d x c x '-'+='⎰.(3) 含参积分的可积性定理5 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数388⎰=dcdy y x f x I ),()(和⎰=badx y x f y J ),()(分别在] , [b a 上和] , [ d c 上可积.定理6 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则⎰⎰⎰⎰=badcdcbadx y x f dy dy y x f dx ),(),(.即在连续的情况下累次积分可交换求积分的次序. 二、解证题方法例1 求⎰+→++αααα122.1limx dx例2 计算积分 dx xx I ⎰++=121)1ln(.例3 设函数)(x f 在点0=x 的某邻域内连续. 验证当||x 充分小时, 函数⎰---=xn dt t f t x n x 01)()()!1(1)(φ的1-n 阶导数存在, 且 )()()(x f x n =φ.§13.2 含参量反常积分一、知识结构 1、含参无穷积分含参无穷积分: 函数),(y x f 定义在) , [] , [∞+⨯c b a 上 (] , [b a 可以是无穷区间) .以⎰+∞=cdy y x f x I ),()(为例介绍含参无穷积分表示的函数)(x I .2. 含参无穷积分的一致收敛性逐点收敛(或称点态收敛)的定义:∈∀x ] , [b a ,c M >∃>∀ , 0ε,使得ε<⎰+∞Mdy y x f ),(.定义 1 (一致收敛性)设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上有定义.若对389c N >∃>∀ , 0ε, 使得当N M >,∈∀x ] , [b a 都有ε<-⎰Mcx I dy y x f )(),(即ε<⎰+∞Mdy y x f ),( 成立, 则称含参无穷积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 上(关于x )一致收敛.定理1(Cauchy 收敛准则) 积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛⇔,0>∀εM A A M >∀>∃21, , 0 , ∈∀x ] , [b a⇒ε<⎰21),(A A dy y x f 成立 .3、含参无穷积分与函数项级数的关系 定理2 积分⎰+∞=c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛⇔对任一数列}{n A )(1c A =,n A ↗∞+, 函数项级数∑⎰∑∞=∞=+=111)(),(n A A n nn nx udy y x f 在] , [b a 上一致收敛.4、含参无穷积分一致收敛判别法定理3（Weierstrass M 判别法）设有函数)(y g ,使得在) , [] , [∞+⨯c b a 上有)(|),(|y g y x f ≤.若积分∞+<⎰+∞)( cdy y g , 则积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 一致收敛.定理4（Dirichlet 判别法） 设⑴对一切实数,c N >含参量积分⎰Ncdy y x f ),(对参量x在] , [b a 上一致有界; ⑵对每个x ∈] , [b a ,函数),(y x g 关于y 是单调递减且当+∞→y 时,对参量x ,),(y x g 一致地收敛于0,则含参量反常积分⎰+∞),(),(dy y x g y x f 在] , [b a 上一致收敛.定理5（Abel 判别法） 设⑴含参量积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 上一致收敛; ⑵对每个x ∈] , [b a ,函数),(y x g 为y 的单调函数且对参量x ,),(y x g 在] , [b a 上一致有界,则含390参量反常积分⎰+∞),(),(dy y x g y x f 在] , [b a 上一致收敛.5、含参无穷积分的解析性质含参无穷积分的解析性质实指由其所表达的函数的解析性质. （1）连续性定理6 设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛, 则函数)(x I 在] , [b a 上连续. (化为级数进行证明或直接证明)推论 在定理6的条件下, 对∈∀0x ] , [b a , 有 ⎰⎰⎰∞+∞+∞+→→⎪⎭⎫ ⎝⎛==cccx x x x dy y x f dy y x f dy y x f .),(lim ),(),(lim000 （2）可微性定理7 设函数f 和x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上收敛,积分⎰+∞cx dy y x f ),(在] , [b a 一致收敛.则函数)(x I 在] , [b a 上可微,且⎰+∞='cx dy y x f x I ),()(.（3）可积性定理8 设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛, 则函数)(x I 在] , [b a 上可积, 且有⎰⎰⎰⎰+∞+∞=baccbady y x f dy dy y x f dx ),(),(.定理9 设函数),(y x f 在) , []) , [∞+⨯∞+c a 上连续.若⑴⎰+∞adx y x f ),(关于y 在任何闭区间] , [d c 上一致收敛,⎰+∞cdy y x f ),(在任何闭区间] , [b a 上一致收敛;⑵积分⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ),(与⎰⎰+∞+∞cadx y x f dy ),(中有一个收敛,则另一个也收敛,且391⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=accady y x f dy dy y x f dx ),(),(.6、含参瑕积分简介（略）二、解证题方法例1 证明含参量非正常积分⎰+∞sin dy yxy 在) , [∞+δ上一致收敛,其中0>δ.但在区间) , 0 (∞+内非一致收敛.例2 证明含参无穷积分⎰∞++021cos dx xxy 在+∞<<∞-y 内一致收敛.例3 证明含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xx exy在] , 0 [d 上一致收敛.例4 证明:若函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续,又⎰+∞cdy y x f ),(在) , [b a 上收敛,但在b x =处发散,则⎰+∞cdy y x f ),(在) , [b a 上不一致收敛.例5 计算积分⎰+∞->>-=) , 0 ( , sin sin a b p dx xaxbx eI px例6 计算积分.sin 0dx xax ⎰+∞例7 计算积分⎰+∞-=0.cos )(2rxdx er xϕ例8（北京理工大学2008年）请分别用两种不同方法求()dx xx xI cos 1cos 1lncos 12αααπ-+⋅=⎰，1<α。
函数列一致收敛性的充要条件例1 设() ,2,1,==n x x f n n 为定义在()∞∞-,上的函数列，证明它的收敛域是(—1，1]，且有极限函数()⎩⎨⎧=<=.1,1,1,0x x x f （3） 证 任给0>ε (不妨设1<ε)，当10<<x 时，由于()(),nn x x f x f =- 只要取(),ln ln ,xx N εε=当()x N n ,ε>时，就有 ()().ε<-x f x f n当0=x 和1=x 时，则对任何正整数n ，都有()()()().011,000εε<=-<=-f f f f n n这就证得{}n f 在(]1,1-上收敛，且有(3)式所表示的极限函数． 当1>x 时，则有(),∞→+∞→n x n ，当1-=x 时，对应的数列为.,1,1,1,1 --它显然是发散的．所以函数列{}n x叫区间(]1,1-外都是发散的． 例 2 定义在()+∞∞-,上的函数列().2,1,sin ==n nnx x f n 由于对任何实数x ，都有 ,1sin nn nx ≤ 故对任给的,0>ε，只要,1ε=>N n 就有.0sin ε<-nnx 所以函数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n nx sin 的收敛域为无限区间()+∞∞-,，极限函数().0=x f 对于函数列，我们不仅要讨论它在哪些点上收敛，而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质．比如能否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连续性．又如极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限．对这些问题的讨论，只要求函数列在数集D 上的收敛是不够的，必须对它在D 上的收敛性提出更高的要求才行，这就是以下所要讨论的一致收敛性问题．定义1 设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当n>N 时，对一切,D x ∈都有()(),ε<-x f x f n则称函数列{}n f 在D 上一致收敛于f ，记作()()x f x f n →→ (),∞→n .D x ∈ 由定义看到，如果函数列{}n f 在D 上一致收敛，那么对于所给的ε，不管D 上哪一点x ，总存在公共的()εN (即N 的选取仅与ε有关，与x 的取值无关)，只要n>N ，都有()().ε<-x f x f n由此看到函数列{}n f 在D 上一致收敛，必在D 上每一点都收敛．反之，在D 上每一点都收敛的函数列{}n f ，在D 上不一定一致收敛．如上述例2中函数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n nx sin ，对任给正数ε，不管x 取()∞∞+-,上什么值，都可取ε1=N （它仅依赖于ε的值），当n>N 时，恒有,sin ε<n nx 所以函数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n nx sin ，在()+∞∞-,上一致收敛于函数()0=x f ．函数列{}n f 在D 上不一致收敛于函数f ，是指它们不满足定义1的条件．但也可以根据定义1对不一致收敛给予正面的陈述．即函数列(1)在D 上不一致收敛于f 的充要条件是：存在某正数o ε，对任何正数N ，都有D 上某一点'x 与正整数N n >'（注意：'x 与'n 的取值与N 有关），使得()().''ε≥-x f x f n从前面例1中知道，函数列{}nx 在(0，1)上收敛于()0=x f 。
《数学分析中的一致收敛及其应用-初稿》摘要：由（ⅰ），任给，存在某正整数，使得当及任何正整数，对一切，有又由（ⅰ），（ⅱ）及阿贝尔引理得到 . 于是根据函数项级数一致收敛性的柯西准则就得到本定理的结论. 例16 证明函数项级数在上一致收敛，由（ⅰ），存在正数，对一切，有.因此当为任何正整数时， . 对任何一个，再由（ⅱ）及阿贝尔引理，得到 . 再由（ⅲ），对任给的，存在正数，当时，对一切，有，所以， . 于是由一致收敛性的柯西准则，级数（4）在上一致收敛. 例18 试判别的一致收敛性，因为，，所以 =，．例25 求的值. 解因为，，所以 . 4.4 一致收敛在求导中的应用例26 求在处的阶导数. 解:因为函数在处的泰勒级数为，所以可先将用间接方法展成的幂级数，然后从的系数中解出，进行两次积分：则，即 . 4.5 一致收敛在概率组合计算中的应用定理：设是一个数列，若存在一个函数，使得成立，则称为数列的生成函数. 例27 将一枚硬币不间断扔10次，求出现20的概率是多少目录 1.函数列级数和函数项级数及其一致性 3 1.1函数列级数及其一致收敛性 3 1.2函数项级数一致收敛性 4 2. 函数项级数一致收敛性的基本判别法 6 2.1 定义判别法 6 2.2 M判别法 6 2.3 莱布尼兹判别法 6 2.4 余项判别法 7 2.5 柯西准则 8 2.6 类数项级数判别法的函数项级数判别法 10 2.6.1 比式判别法 10 2.6.2 根式判别法 12 2.6.3 对数判别法 13 2.9 导数判别法 13 2.10 连续性判别法 14 2.11 迫敛性判别法 15 2.12 M判别法的推论 15 3. 关于函数项级数一致收敛的三个重要判别法 16 3.1 阿贝尔判别法 16 3.2 狄利克雷判别法 17 3.3 积分判别法 19 4. 一致收敛的应用 20 4.1 一致收敛在证明等式中的应用 20 4.2 一致收敛在证明不等式中的应用 20 4.3 一致收敛在计算极限中的应用 22 4.4 一致收敛在求导中的应用 22 4.5 一致收敛在概率组合计算中的应用 23 4.6 一致收敛在近似计算中的应用 24 4.7 一致收敛在计算积分中的应用 24 总结 26 参考文献 27 致谢 28 数学分析中的一致收敛及其应用摘要对函数列和函数项级数一致收敛性的研究，是为了解决函数列的极限函数和函数项级数的和函数的分析性质。
