收敛与一致收敛 开题报告

鞍山师范学院数学系12届学生毕业设计（论文）开题报告课题名称：关于含参量反常积分一致收敛性的研究学生姓名：孙冰专业：数学与应用数学班级：08、4学号：32号指导教师：赵艳英2012年2 月15 日论文开题报告论文题目:关于含参量反常积分一致收敛性的研究一、选题意义1.理论意义：含参量反常积分在微积分中占有重要的地位，含参量反常积分不仅是反常积分的延伸和推广，也是研究和表达函数（特别是非初等函数）的有力工具，并为研究多元函数的积分打下了坚实的基础。

一致收敛性以其特有的抽象性让初学者无可是从，难以掌握，也成为数学专业课程数学分析区别于工科课程高等数学的基本要素之一。

讨论含参量反常积分的一致收敛性，对以后的学习和研究有着深远的意义和影响。

2.现实意义：一致收敛性是数学分析课程中一个非常重要的概念，很多重要的结论要有一致收敛的性质作为前提条件。

例如，函数项级数的逐项求导、逐项求积、交换求导与积分运算顺序等等都要求函数项级数为一致收敛。

含参量的反常积分对于参数的连续性、可微性都要有含参量反常积分的一致收敛性作为前提。

一般而言，在非数学专业工科的各项课程，特别是高数则回避对一致收敛性的具体讨论。

本文将针对含参量反常积分的一致收敛性问题，分析一致收敛性的一些直观特征，以帮助读者加深对含参量反常积分一致收敛性这一抽象概念的理解与认识。

二、论文综述1．理论的渊源及演进过程含参量反常积分是数学分析中的一个重要分支，人们对含参量反常积分一致收敛性的认识经历了一个漫长的过程.1686年，莱布尼茨发表了一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分问题与微分问题的互逆关系。

到18世纪，欧拉发表了《积分学》，是微积分史上里程碑式的著作，此后很多数学家如狄尼、魏尔斯特拉斯、狄利克莱等人深入研究了一致收敛性问题，进而研究含参量反常积分一致收敛性问题，为此做了不懈努力，取得了一些有成效的成果，对含参量反常积分的发展做出了重要的贡献.2．国外有关研究的综述微积分由在莱布尼茨后者们的推动下蓬勃发展，此后魏尔斯特拉斯、狄利克莱，阿贝尔等人深入研究了一致收敛的问题，提出了魏尔斯特拉斯判别法，狄利克莱判别法，阿贝尔判别法来判断含参量反常积分的一致收敛性。

一些随机序列的收敛性质的开题报告
随机序列的收敛性质是概率论与数学分析领域中的一个重要研究课题。

这个课题的核心是如何定义随机数列的收敛性，并研究随机数列在
各种情况下的收敛性质，包括强收敛性、几乎处处收敛性、概率收敛性等。

随机序列的收敛性质对于研究概率论中的随机过程、随机场等问题
具有重要意义。

在金融工程、统计学、计算机科学等领域中都有广泛的
应用。

因此，随机序列收敛性质的研究是概率论和数学分析的重要课题
之一。

本文将介绍随机序列的收敛性质的研究现状和一些进展。

首先，我
们将介绍随机序列的收敛性的基本概念和定义，包括强收敛、几乎处处
收敛和概率收敛等。

然后，我们将介绍随机序列的收敛性质的一些研究
成果和重要结论，如强收敛定理、黎曼-勒贝格引理、伊藤等式等。

最后，我们将讨论随机序列收敛性质的一些应用，包括金融工程中的随机过程
建模、统计学中随机序列的估计等。

总之，随机序列的收敛性质是概率论和数学分析中一个重要的研究
课题。

对于在实际问题中的应用，我们需要在了解其基本概念和定义的
基础上，深入探究其研究成果并寻求实际问题中的应用。

收敛和一致收敛的关系收敛和一致收敛是微积分中重要的概念。

它们被广泛应用于分析函数和构造函数等领域。

本文旨在阐明收敛和一致收敛的概念及其关系，并探讨它们在实际中的应用。

一、概念1、收敛在函数序列$f_1(x),f_2(x),...,f_n(x),...$中，当$x$趋近于$c$时，如果存在一个函数$F(x)$，使得$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=F(x)$，那么我们称函数序列$f_n(x)$在$x$趋近于$c$时收敛于函数$F(x)$。

其中，$c$可以是实数或无穷远处。

2、一致收敛如果存在一个函数$F(x)$，使得当$n$趋近于无穷大时，函数序列$f_n(x)$在全体$x\in S$上一致收敛于$F(x)$，即$\lim\limits\sup_{n\rightarrow\infty}|f_n(x)-F(x)|=0$，我们称函数序列$f_n(x)$在$S$上一致收敛于函数$F(x)$。

二、比较从定义可以发现，一致收敛在某种程度上是强于收敛的，因为一致收敛要求在定义域的每个点上，函数序列必须以相同的速度收敛于极限函数。

而收敛只需要在大多数点上满足这个条件即可。

因此，我们可以认为收敛是一种局部性质，而一致收敛则是全局性质。

另外，在一致收敛中，极限函数$F(x)$必须在定义域上有一个上限和下限，而在收敛中并不一定要有这个性质。

因此，也可以说，一致收敛收敛更快，而且更稳定。

三、应用1、函数极限在函数极限中，一致收敛常常被用于证明极限存在。

因为一致收敛要求在全体$x\in S$上都有相同的速度收敛，因此，我们可以剔除函数序列中的一小部分，使得它们不会对极限产生影响。

这就让我们在判断极限存在时更加方便。

2、傅里叶级数在傅里叶分析中，一致收敛是极其重要的工具。

因为在傅里叶级数中，每一项都是一条正弦或余弦曲线，而这些曲线虽然是收敛的，但并不一定一致收敛。

因此，如果没有一致收敛这个概念，我们将很难正确地表示一个周期函数为一个级数。

逐点收敛与⼀致收敛作者：Abraham 转载请标明出处，谢谢！数学分析中的函数列的收敛性是⼀个很重要的概念。

Riemann空间（⼯科数学分析主要讨论的范围）上描述收敛性的两个概念是逐点收敛与⼀致收敛。

Pointwise ConvergenceDefinition.Let D be a subset of R and let {fn} be a sequence of functions defined on D. We say that {fn} converges pointwise on D if lim n→∞ fn(x) exists for each point x in D. This means that lim n→∞ fn(x) is a real number that depends only on x. If {fn} is pointwise convergent then the function defined by f(x) = lim n→∞ fn(x), for every x in D, is called the pointwise limit of the sequence {fn}.Formal Definition.Let D be a subset of R and let {fn} be a sequence of real valued functions defined on D. Then {fn} converges pointwise to f if given any x in D and given any ε > 0, there exists a natural number N = N(x, ε) such that |fn(x) − f(x)| < ε for every n > N.Uniform ConvergenceDefinition. Let D be a subset of R and let {fn} be a sequence of real valued functions defined on D. Then {fn} converges uniformly to f if given any ε > 0, there exists a natural number N = N(ε) such that |fn(x) − f(x)| < ε for every n > N and for every x in D.两者的关系是：⼀致收敛必逐点收敛，但反之则不然。

学士学位论文题目函数列一致收敛性判别法学生许月指导教师房维维讲师年级 2008级专业数学与应用数学系别数学系学院文理学院哈尔滨师范大学2012年4月目录摘要 (1)关键词 (1)引言 (1)一预备知识........................................................................................................ 错误！未定义书签。

1.1函数列一致收敛性定义 (1)1.2函数列一致收敛性柯西准则 (1)1.3函数列一致收敛性充要条件 (2)二函数列一致收敛性判别法的应用 (2)2.1利用函数列一致收敛性定义证明 (2)2.2利用函数列一致收敛性柯西准则 (3)2.3 利用函数列一致收敛性充要条件 (5)3. 结束语 (6)注释 (6)参考文献 (7)英文摘要 (8)函数列一致收敛性判别法许月摘要: 在高等数学中一致收敛是函数列的一个重要性质，有效的判别函数列一致收敛性的方法，对研究函数列的性质起着重要的作用。

其方法有定义法，柯西准则，充要条件等重要方法，通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力，并对各种方法加以系统总结，以便学者熟练并灵活运用.关键词： 函数列；一致收敛；判别法引言本文系统总结了有关函数列一致收敛性的若干证明方法与技巧，通过对例题的分析，回顾了几种常用的函数列一致收敛性判定方法，充分的分析各种判定方法的应用，并结合实例对不同方法进行具体应用，叙述了证明函数列一致收敛性判别方法，即函数列一致收敛性的定义，函数列一致收敛性的柯西准则，函数列一致收敛性的充要条件等方法证明函数列一致收敛性.这样对我们解题将会起到很大的作用.一 预备知识1.1函数列一致收敛的定义定义1：设函数列｛n f ｝与函数()f x 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在一正整数N ，使得当n N >时，对一切x D ∈，都有()()n f x f x ε-<，则称函数列 ｛n f ｝在D 上一致收敛于f ，记作()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈.1.2 函数列一致收敛性的柯西准则定理1（Cauchy ）函数列n f 在D 上一致收敛的充分必要条件上：对任意给定正数ε，总存在正数N ，使得当,n m N >时，对一切x D ∈，都有()()n m f x f x ε-<.1.3函数列一致收敛性的充要条件定理2 函数列｛n f ｝在D 上一致收敛的充要条件是：()()lim sup 0n n x Df x f x →∞∈-=. 二 函数列一致收敛性判别法的应用2.1利用函数列一致收敛性定义证明例1：定义在(),-∞+∞上的函数列()sin ,1,2...n nx f x n n==由于对任何实数x ，都有nn nx 1sin ≤ 故对任给的0ε>，只要1n N ε>=，就有sin 0,nx n ε-<所以函数列sin nx n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭收敛域为无限区间(),-∞+∞, 极限函数()0f x =.注：对于函数列，仅停留在谈论在那些点上收敛是远远不够的，重要的是研究极限函数与函数列所具有的解析性质的关系。

函数项级数的收敛和一致收敛的区别哎呀，今天咱们聊聊函数项级数的收敛和一致收敛这俩家伙。

听起来是不是有点晦涩？别担心，我会尽量把这话说得简单明了，让你轻松理解。

想象一下，你正在参加一个聚会，有两个小伙伴，一个是收敛，另一个是一致收敛。

他们俩虽然都挺靠谱，但性格上可是有不少区别哦。

收敛这位小伙伴，乍一看还真让人觉得亲切。

他就是那种比较随和的家伙，时不时就能让你心里觉得舒服。

他的主要特点就是，随着某个参数不断变化，他的表现会慢慢趋向一个特定的值。

比方说，你想让他表演个节目，他就会努力地调整自己的表演，直到最终达到你想要的效果，嘿，听起来不错吧？但问题来了，收敛有时候也挺慢吞吞的，尤其在某些情况下，可能需要耐心等待好久才能看到效果，真是有点让人抓狂。

而一致收敛就不同了，这小子可是行动迅速！他是那种一上场就能让你眼前一亮的角色。

他的特点就是不管参数怎么变，他始终能保持一致，给你一个稳定的表现。

就好像你在看一个魔术表演，无论观众坐在哪个位置，魔术师的表演总是一样精彩。

这种一致性让人觉得特别安心，就像一个老朋友，让你可以随时依赖。

要是收敛是个温柔的慢人，那么一致收敛就是个干脆利落的快手。

有意思的是，虽然这俩家伙都能让你看到最终的结果，但过程却大相径庭。

收敛就像在走一条蜿蜒的小路，时不时还有点坑坑洼洼的，需要你小心翼翼地迈步。

而一致收敛则像是在一条平坦的大道上，走起来畅通无阻，真是爽快！不过，得注意的是，收敛有时候会让你看到一些奇怪的现象，可能你明明在等着他趋向一个值，他却在某个点上停下来，让你有点摸不着头脑。

再说了，收敛和一致收敛之间的区别在于他们的“友情”。

收敛可能会和你保持一种“各自为政”的关系，在某个点上，你的结果和他们的行为可以有点距离。

而一致收敛则是“齐心协力”的完美配合，真是一拍即合。

想象一下，大家在一起玩游戏，一致收敛总是能让所有人同步快乐，而收敛就可能有些人跟不上节奏，变得有点尴尬。

还要提一句，这两位小伙伴在数学界可是非常重要的，大家都想和他们建立良好的关系。

逐点收敛和一致收敛的关系逐点收敛和一致收敛是数学分析中两个重要的概念，用于描述函数序列的收敛性质。

本文将从逐点收敛和一致收敛的定义、区别和联系以及它们在实际问题中的应用等方面进行阐述。

我们来看一下逐点收敛和一致收敛的定义。

设给定函数序列{f_n(x)}，其中n为正整数，x为定义域上的变量。

如果对于任意给定的x值，当n趋于无穷大时，函数序列中的每个函数f_n(x)都收敛于一个确定的极限值f(x)，则称函数序列{f_n(x)}逐点收敛于f(x)。

换句话说，逐点收敛是对于每一个x，函数序列中的每个函数都收敛到同一个极限值。

接下来，我们来看一下一致收敛的定义。

如果对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，当n>N时，函数序列中的每个函数f_n(x)都满足|f_n(x)-f(x)|<ε，其中f(x)是一个确定的函数，那么我们称函数序列{f_n(x)}一致收敛于f(x)。

换句话说，一致收敛是对于任意给定的精度，存在一个正整数N，使得函数序列中的每个函数在定义域上的误差都小于这个精度。

逐点收敛和一致收敛之间存在着一定的联系和区别。

首先，逐点收敛是一种逐点的收敛性质，即对于每一个x，函数序列中的函数都收敛到同一个极限值。

而一致收敛则是一种整体的收敛性质，即函数序列中的每个函数都在整个定义域上收敛到同一个极限值。

可以说，逐点收敛是一种局部的收敛性质，而一致收敛是一种全局的收敛性质。

逐点收敛和一致收敛之间的关系是逐点收敛蕴含一致收敛。

也就是说，如果一个函数序列逐点收敛于某个函数f(x)，那么它一定是一致收敛于f(x)。

这是因为逐点收敛意味着对于每一个x，函数序列中的函数都收敛到f(x)，而一致收敛则要求函数序列中的每个函数在整个定义域上都收敛到f(x)，因此逐点收敛必然蕴含一致收敛。

我们来看一下逐点收敛和一致收敛在实际问题中的应用。

一致收敛是逐点收敛的强化形式，它具有更强的收敛性质，因此在实际问题中更常用。

函数序列的收敛与一致收敛函数序列是指一组函数按照一定的规律排列组成的序列。

函数序列的收敛是指函数序列中的每一个函数都在特定点或特定区间上收敛于同一个函数。

而函数序列的一致收敛是指函数序列在特定区间上的收敛性不仅与特定点有关，还与整个区间的长度有关。

在数学分析中，函数序列的收敛与一致收敛是重要的概念。

收敛性是函数序列研究中的基本问题之一，而一致收敛则是收敛性的一种更强的要求。

一、函数序列的收敛对于函数序列{f_n(x)}而言，存在函数f(x)，当自变量x趋近于特定点a时，函数序列中的每一个函数f_n(x)都收敛于f(x)，则称函数序列{f_n(x)}收敛于函数f(x)，记作f_n(x)→f(x)，或lim f_n(x) = f(x) (n→∞)。

函数序列的收敛性可以通过函数的极限来判定。

如果函数序列中的每一个函数在特定点a处存在有限极限，且所有这些极限都相等，则函数序列收敛于这个极限值。

二、函数序列的一致收敛函数序列{f_n(x)}在区间I上一致收敛于函数f(x)，是指对于任意给定的ε>0，存在N，当n>N时，对于区间I上的任意x，都有|f_n(x)-f(x)|<ε成立。

与函数序列的收敛相比，函数序列的一致收敛更强，它要求不仅对于特定点，所有函数f_n(x)都要连续收敛于f(x)，而且在整个区间上的收敛性都要一致。

函数序列的一致收敛性可以通过序列的极限函数来判定。

如果函数序列的极限函数是一个连续函数，且序列中的每一个函数在整个区间上都逐点收敛于该极限函数，则函数序列在该区间上一致收敛于该极限函数。

三、收敛与一致收敛的关系函数序列的一致收敛是函数序列收敛性的一种更强要求，即一致收敛蕴含着收敛。

但是函数序列的收敛并不一定能推导出一致收敛。

一般来说，函数序列的收敛性可以通过函数的极限来判断，而一致收敛则需要更加严格的条件。

例如，如果函数序列在某个点x收敛，但在整个区间上并不一致收敛，那么序列可能只是逐点收敛于该点，而在其他点上并不收敛。

在数学中，一致收敛性（或称均匀收敛）是函数序列的一种收敛定义，它较逐点收敛更强，并能保持一些重要的分析性质（如连续性）。

定义：设为一集合，为一度量空间。

若对一函数序列，存在满足，对所有，存在，使得
，则称一致收敛到。

注意到，一致收敛和逐点收敛定义的区别在于，在一致收敛中仅与相关，而在逐点收敛中还与相关。

所以一致收敛必定逐点收敛，而反之则不然。

例子:
考虑区间上的函数序列，它逐点收敛到函数，
然而这并非一致收敛。

直观地想像：当愈靠近，使接近所需的便愈大。

可以依此想法循定义直接证明，也可以利用下节关于连续的性质证明，因为在此例中皆连续，而不连续。

性质：假设一致收敛到，此时有下述性质：
（1）连续性：若是集合的闭包中的一个元素，且每个都在上连续，则也在a 上连续。

若对集合I的每个紧子集，每个都在上连续，则在上连续。

（2）与积分的交换：令为中的开集，或。

若每个都是黎曼可
积，则也是黎曼可积，而且。

注：在勒贝格积分的框架下能得到更广的结果。

（3）与微分的交换：令为中的开集，或。

若每个皆可微，且一致收敛到函数，则亦可微，且。