中考数学专题复习---动手实践操作题

中考数学专题：动手操作题（含答案）操作型问题是指通过动手测量、作图（象）、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、 合情猜想和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯， 符合新课程标准特别强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进行“微科 研”活动，培养学生乐于动手、 勤于实践的意识和习惯， 切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想. 类型之一折叠剪切问题折叠中所蕴含着丰富的数学知识，解决该类问题的基本方法就是，根据“折叠后的图形再展开，则所得的整个图形应该是轴对称图形”，求解特殊四边形的翻折问题应注意图形在变换前后的形状、大小都不发生改变，折痕是它们的对称轴.折叠问题不但能使有利于培养我 们的动手能力，而且还更有利于培养我们的观察分析和解决问题的能力.1. 将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形. 将纸片展开，得到的图形是3. 如下左图：矩形纸片 ABCD AB=2,点E 在BC 上，且AE=EC 若将纸片沿 AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是.4. 如上右图，在正方形纸片 ABCD 中，对角线 AC BD 交于点0,折叠正方形纸片 ABCD 使AD落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后，折痕 DE 分别交AB AC 于点E 、G.连接GF.下列结论：①/ AGD=112.5 :②tan△ 0GD ④四边形 AEFG 是菱形；⑤BE=20G 其中正确结论的序号是类型之二 分割图形问题分割问题通常是先给出一个图形（这个图形可能是规则的，也有可能不规则）你用直线、线段等把该图形分割成面积相同、形状相同的几部分。

解决这类问题的时 候可以借助对称的性质、面积公式等进行分割。

5.如图所示的方角铁皮， 要求用一条直线将其分成面积相等的两部分，请你设计两种不同的分割方案（用铅笔画图，不写画法，保留作图痕迹或简要的文 字说明）.6. 如图1 , △ ABC 中，/ C =90 ,请用直尺和圆规作一条直线， 把厶ABC 分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）A C D匚口-0-H2.如图，把一张长方形纸片对折，折痕为-----------AB 再以AB 的中点0为顶点把平角/ AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠 A ----------------后的图形剪出一个以 0为顶点的等腰三角 后得到的平面图形- -定是 A.正三角形 B .正方形 C .正五边形 D .正六边形/ AED=2(2)已知内角度数的两个三角形如图 2、图3所示•请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数.示，在6X 6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点， 以格点为顶点的图形称为格点图 形，如图①中的三角形是格点三角形.(1) 请你在图①中画一条直线将格点三角形分割成两部分，将这两部分重新拼成两个不同图① 图② 图③类型之二 拼合图形问题拼图是几个图形按一定的规则拼接在一起的一种智 力游戏，此类试题不仅可以考查学生的观察能力、空间想象能力、判断能力和综合分析能力,通过拼图也能加强同学们对图形的直观认识，能更好地判定所求图形的具体特征7.如图，将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形， 这个新的图形可以是下列图形中的()A.三角形 B .平行四边形 C.矩形D .正方形8.如图(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图形.对于图(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边 长度之间关系的一个正确结论：9. 从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为.(只填写拼图板的代码)10. 如图，方格纸中有一透明等腰三角形纸片，按图中裁剪线将这个纸片裁剪成三部分.请你将这三部分小纸片重新分别拼接成； (1) 一个非矩形的平行四边形；(2 )一个等腰梯形；(3) 一个正方形.请 在图中画出拼接后的三个图形，要求每张三角形纸片的顶点与小方 格顶点重合.11.如的格点四边形，并将这两个格点四边形分别画在图②，图③中; (2 )直接写出这两个格点四边形的周长.图I 图2 E3(2)所示的一个菱非矩形的平行四边形等緩梯形正方形」一- 一 T Mln类型之四探索性问题此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系•此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理念.12•小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线CA剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中/ ACB=z，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，△ EFD纸片的直角顶点D 落在△ ACB纸片的斜边AC上，直角边DF落在AC所在的直线上.（1 ）若ED与BC相交于点G 取AG的中点M连接MB MD当厶EFD纸片沿CA方向平移时（如图3），请你观察、测量MB MD的长度，猜想并写出MB与MD的数量关系，然后证明你的猜想；（2）在（1）的条件下，求出/ BMD的大小（用含a的式子表示），并说明当a =45°时，△ BMD是什么三角形？（3）在图3的基础上，将△ EFD纸片绕点C逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90°）,此时△ CGD变成A CHD同样取AH的中点M,连接MB MD（如图4）,请继续探究MB与MD 的数量关系和/ BMD的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明a为何值时，△ BMD为等边三角形•【答案】①④⑤.5.【解析】通过计算可以得知整个图形的面积为 可以把图形面积一分为二。

中考数学“动手操作”专题训练试题江苏 文页一、选择题1，如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于（ ）A.25°B.30°C.45°D.60°2，如图，小亮拿一张矩形纸图（1），沿虚线对折一次得图（2），下将对角两顶点重合折叠得图（3）.按图（4）沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是（ ）A ．都是等腰梯形B ．都是等边三角形C ．两个直角三角形，一个等腰三角形3，Rt △ABC 中，斜边AB =4，∠B=60º，将△ABC 绕点B 旋转60º，顶点C 运动的路线长是（ ）A．3π B ．3π2 C ．π D ．3π4 4，用一把带有刻度尺的直角尺, ①可以画出两条平行的直线a 和b, 如图(1); ②可以画出∠AOB 的平分线OP, 如图(2); ③可以检验工件的凹面是否为半圆, 如图(3); ④可以量出一个圆的半径, 如图(4). 这四种说法正确的有（ ）图(1) 图(2) 图(3) 图(4)A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个5，如图1所示，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成图2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ）A ．234cmB ．236cmC ．238cmD ．240cm6，当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形ABCD ，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A 所（4）（3）沿虚线剪开对角顶点重合折叠（2）（1）图1 图2A B CD在直线为折痕，折叠纸片，使点B 落在AD 上，折痕与BC 交于E ；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E 所在直线为折痕，使点A 落在BC 上，折痕EF 交AD 于F ．则∠AFE ＝（ ）A ．60︒B ．67.5︒C ．72︒D ．75︒7，如图，把矩形纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B ，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH ＝90°，PF ＝8，PH ＝6，则矩形ABCD 的边BC 长为（ ）A.20B.22C.248，如图，把边长为2的正方形的局部进行图①～图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（ ）A.18B.16C.12D.89，把一张正方形纸片按如图.对折两次后，再挖去一个小圆孔，那么展开后的图形应为10，如图，将n 个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A 1、 A 2、…、A n分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ）A ．41cm 2 B ．4n cm 2 C ．41-n cm 2D ．n )41( cm 2 二、填空题11，在同一平面内，用两个边长为a 的等边三角形纸片(纸片不能裁剪)可以拼成的四边形是＿＿＿.① ② ③ ④ ⑤A ．B ．C ．D ．12，如图，是用形状、大小完全相同的等腰提梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指锐角）是 度.13，用等腰直角三角板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为＿＿＿°.14，如图，正方形ABCD 的边长为4，MN BC ∥分别交AB CD ，于点M N ，，在MN 上任取两点P Q ，，那么图中阴影部分的面积是 ．15，如图，一宽为2cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位：cm )，则该圆的半径为 cm.16，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝ 度.17，如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB 的高为 0.3米，踏板DE 长为1.6米，支撑点A 到踏脚D 的距离为0.6米，现在踏脚着地，则捣头点E 上升了 __米.A图 （2）图（1）DM N18，小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为_____________；同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n 次后所得到的等腰直角三角形（如图n+1）的一条腰长为_________．三、解答题19，如图是一个食品包装盒的侧面展开图。

１8.5 动手操作一、选择题1. (2015 江苏省常州市) 将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（ ） A ．cm 2 B ．8cm 2 C ．cm 2 D ．16cm 22. (2015 内蒙古呼和浩特市) 如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB =8，AD =6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为（ ）A . 12B . 98 C . 2 D . 43. (2015 四川省绵阳市) 如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB=1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF=（ ） A ． B ． C ． D ．4. (2014 广东省佛山市) 把24个边长为1的小正方体木块拼成一个长方体（要全部用完），则不同的拼法（不考虑放置的位置，形状和大小一样的拼法即为相同的拼法）的种数是（ ）２A.5B.6C.7D.85. (2015 浙江省丽水市) 如图，在方格纸中，线段a，b，c，d的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有（）A．3种B．6种C．8种D．12种6. (2016 浙江省丽水市) 用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（）7. (2018 浙江省舟山市)将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）A．B．C．D．二、填空题8. (2013 吉林省) 如图，在矩形纸片ABCD中，AB的长度为a，BC的长度为b，其中2.3b a b<<将此矩形纸片按下列顺序折叠，则C D''的长度为（用含有a，b的代数式表示）．abcd３9. (2013 安徽省) 已知矩形纸片ABCD 中，AB =1，BC =2，将该纸片叠成一个平面图形，折痕EF 不经过A 点（E 、F 是该矩形边界上的点），折叠后点A 落在A '处，给出以下判断：（1）当四边形A CDF '为正方形时，EF =2;（2）当EF =2时，四边形A CDF '为正方形;（3）当EF =5时，四边形BA CD '为等腰梯形；（4）当四边形BA CD '为等腰梯形时，EF =5.其中正确的是 （把所有正确结论序号都填在横线上）.10. (2013 上海市) 如图，在△ABC 中，AB AC =，8BC =， tan C = 32 ，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为__________．11. (2013 四川省绵阳市) 对正方形ABCD 进行分割，如图1，其中E 、F 分别是BC 、CD 的中点，M 、N 、G 分别是OB 、OD 、EF 的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”。

中考数学专题复习——动手操作问题一、知识网络梳理在近几年的中考试题中，为了体现教育部关于中考命题改革的精神，出现了动手操作题．动手操作题是让学生在通过实际操作的基础上设计有关的问题．这类题对学生的能力有更高的要求，有利于培养学生的创新能力和实践能力，体现新课程理念．操作型问题是指通过动手测量、作图（象）、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合情猜想和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯，符合新课程标准特别强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进行“微科研”活动，提倡要积极引导学生从事实验活动和实践活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想．因此．实验操作问题将成为今后中考的热点题型．题型1动手问题此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起．题型2证明问题动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明．题型3探索性问题此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系．此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理论。

二、知识运用举例（一）动手问题例1、将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，•得到的图形是（）例2．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是（）A．85°B．90°C．95°D．100°例3、如图（1）所示，用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图（2）所示的四边形ABCD，若AE＝4，CE＝3BE，•那么这个四边形的面积是___________（二）证明问题例4、如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）（图1）（图2）（图3）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH ﹦DH（图4）（图5）（图6）（三）探索性问题例6、在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）．图1 图2 图3 请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论．（2）在图2中，若AB＝a，BC＝b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？（3）设矩形ABCD的边AB＝2，BC＝4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM'为y kx=，当M BC'∠＝60°时，求k的值.此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？为什么？三、知识巩固训练1、如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是。

近年来，各地的中考试卷中涌现出了一类考查学生实践操作能力的好题——实践操作题，这类试题能较好体现数学课程标准所强调的“倡导学生主动参与、勤于动手、乐于探究”的新理念，为考生创设了动手实验、操作探究的空间，有效地考查了实践、创新能力，为考生提供了展示个体思维及发散创新的平台，是中考命题改革的一道亮丽风景线。

在中考中，实践操作问题主要包括剪纸、折叠、展开、拼图、作图（不包括统计图表的制作）、称重、测量、空间想像等，这类试题题目灵活、新颖。

解答操作性试题，关键是审清题意，学会运用图形的平移变换、翻折变换和旋转变换、位似变换，注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法，在平时的学习中，要注重操作习题解题训练，提高思维的开放性，培养创新能力，要学会运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题。

在中考压轴题中，动态几何多形式变化问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。

原创模拟预测题1.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．①作∠DAC的平分线AM．②连接BE并延长交AM于点F．（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析（2）AF=BC 证明过程见解析【解析】解：（1）如下图所示；（1）根据题意画出图形即可；（2）首先根据等腰三角形的性质与三角形内角与外角的性质证明∠ACB=∠FAC，进而可得AF∥BC；然后再证明△AEF≌△CE B，即可得到AF=BC．原创模拟预测题2.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E在AC上，且AE=12 CE。

（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）。

①作∠DAC的平分线AM。

动手操作问题新课标明确指出，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，中考操作探究型试题集知识的可操作性、探究性、趣味性、创新性于一体，倡导同学们在多解化的操作活动中体验数学的发现过程，感悟数学思想方法及其本质。

【重点题型讲析】例1、如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为____________。

例2、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，线段AB为半圆O的直径，将Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，DF与BC交于点H。

(1）求BE的长； (2）求Rt△ ABC与△DEF重叠部分的面积。

例3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，那么旋转的角度等于________。

【课堂练习】1、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A ′B ′C ，则点B 转过的路径长为__________。

2、如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE=31AB ，将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q ，对于下列结论:①EF=2BE ②PF=2PE③FQ=4EQ ④△PBF 是等边三角形。

其中正确的是_____________。

3、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B ′重合，AE 为折痕，则EB ′=__________。

4、如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，⊙O 是ABC 的内切圆，现将矩形ABCD 按如图所示的方法折叠，使点D 与点O 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AD 、BC 上，连接OG 、DG ，若OG ⊥DG ，且⊙O 的半径长为1，则下列结论不成立的是_______________。

实验操作专题实验操作型试题是近几年中考数学的热点试题，这类试题就是让同学们在通过实际操作的基础上设计的问题，需要动手操作（包括裁剪、折叠、拼图等），合情猜想和验证，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，不但有利于培养同学们的创新能力和实践能力，更有助于养成实验研究的习惯，体现新课程理念.，符合新课程标准强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习，因此，实验与操作问题将成为今后中考的热点题型. 一、折叠类例1 如图1，小娟将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（图①），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（图②），再将图②的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（图③），则图③中的等腰直角三角形的一条腰长为________；同上操作，若小娟连续将图①的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形（图n+1）的一条腰长为_______.分析：已知图①的等腰直角三角形的直角边长为1，即112-⎛⎝⎭，则可以利用勾股定理求出其斜边的长为，通过第一次折叠后，图①的等腰直角三角形的斜边的一半即变成图②的直角边，即图②的直角边长为2，即212-⎛⎫⎪⎪⎝⎭，同理，可以得到图③的直角边长为12，即312-⎛⎫⎪⎪⎝⎭，图④的直角边长为4，即412-⎛⎝⎭，由此可以猜想第n个图形中的等腰直角三角形的腰长为12n-⎛⎫⎪⎪⎝⎭，折叠n次后所得到的等腰直角三角形，即如图n+1的一条腰长为11n+-⎝⎭，即n⎝⎭.解：图③中的等腰直角三角形的一条腰长为12；将图①的等腰直角三角形折叠n次后所得到的第n+1个等腰直角三角形的一条腰长为n⎝⎭.①②③n+1图1１２评注：求解本题时，一定要动手操作，经过大胆地猜想、归纳与验证，即可获得正确的结果.跟踪训练:1. 如图，将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（直角三角形的中位线）剪去上面的小直角三角形.将留下的纸片展开，得到的图形是（ ）2. 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．10 cm 2B ．20 cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm 2第2题图二、裁剪类例2 如图2，有一块边长为1米的正方形钢板，被裁去长为14米、宽为16米的矩形两角，现要将剩余部分重新裁成一正方形，使其四个顶点在原钢板边缘上，且P 点在裁下的正方形一边上，问：如何剪裁使得该正方形面积最大？最大面积是多少？图2 图3分析：本题是一道与正方形裁剪有关的操作型问题，解决问题首先要画出草图，然后从A B CD 第1题图 A B C D３图形中寻找解决问题的模型．如何剪裁使得该正方形面积最大，实际上是确定正方形顶点的位置，可借助相似三角形的性质构造方程解决．解：如图3，设原正方形为ABCD ，正方形EFGH 是要裁下的正方形，且EH 过点P ．设AH=x ，则BE=AH=x ，AE=1-x ．∵MP∥AH，∴△EMP∽△EAH．∴111641x x x--=-．整理，得12x 2-11x+2=0．解得114x =，223x =． 当14x =时，221151448EFGH S ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正方形．当23x =时，22225513398EFGH S ⎛⎫⎛⎫=+-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正方形．∴当BE ＝DG ＝14米，BF ＝DH ＝34米时，裁下的正方形面积最大，最大面积为58米2． 评注：解决问题利用相似三角形的性质构造方程，并借助一元二次方程的知识解决，既体现数形结合思想，又体现了方程思想．例3 如图4，将正方形沿图中虚线（其中x ＜y ）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个．．．．．．矩形（非正方形）． （1） 画出拼成的矩形的简图； （2） （2）求xy的值．分析：拼接时抓住相等的边进行拼接（重合），再利用面积相等写出等式，合理整理就可求出（2）的值.解：（1）如图4.（2）解法一：由拼图前后的面积相等，得[(x+y)+y]y=(x+y)2.∵y ≠0，整理,得01)(2=-+yx yx .解得215-=yx （负值不合题意，舍去）.解法二：由拼成的矩形可知yxy y x y x =+++)(.以下同解法一． 跟踪训练：3.如图，△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90°,AC=BC=2.图4 ②④① ③４（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图①），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.（2）图①中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S 1；按照甲种剪法，在余下的△ADE 和△BDF 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形的面积和为S 2 (如图②)，则S 2= ；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方第3题图形的面积和为S 3 (如图③)；继续操作下去…则第10次剪取时，S 10= . （3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.三、探究类例4 如图6，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图②），量得他们的斜边长为10 cm ，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图③的形状，但点B ，C ，F ，D 在同一条直线上，且点C 与点F 重合（在图③至图④中统一用F 表示）. 小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.（1）将图③中的△ABF 沿BD 向右平移到图④的位置，使点B 与点F 重合，请你求出平移的距离；（2）将图③中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图⑤的位置，A 1F 交DE 于点G ，请你求出线段FG 的长度；（3）将图③中的△ABF 沿直线AF 翻折到图⑥的位置，AB 1交DE 于点H ，请说明AH ＝DH.图6分析：（1）根据题意，由对图形的操作过程可知图形平移的距离就是线段BC 的长. （2）依题意运用勾股定理求解.EBQ④ ⑥ ⑤ ③ ②①５（3）要说明AH ＝DH ，由于∠FAB 1＝∠EDF ＝30°，可知FD ＝FA ，EF ＝FB ＝FB 1，从而得到AE ＝DB 1，可以说明△AHE ≌△DHB 1，问题得解.解：（1）图形平移的距离就是线段BC 的长.∵在Rt△ABC 中，斜边长为10cm ，∠BAC＝30°，∴BC ＝5cm ，即平移的距离为5cm.（2）∵∠A 1FA ＝30°，∴∠GFD＝60°，∠D＝30°.∴∠FGD ＝90°.在Rt △EFD 中，ED ＝10 cm ，∵FD ＝，∴FGcm. （3）在△AHE 与△DHB 1中，∵∠FAB 1＝∠EDF ＝30°，∴FD ＝FA ，EF ＝FB ＝FB 1， ∴FD －FB 1＝FA －FE ，即AE ＝DB 1.又∵∠AHE ＝∠DHB 1，∴△AHE ≌△DHB 1，∴AH ＝DH.评注：动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明，同时，从动手操作中学到知识，从操作中得到结论，这些都是借助图形的平移、旋转，读者应注意多加体会.跟踪训练： 4.，我们把这样的矩形叫做黄金矩形．（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD （AB >AD ）中，以短边AD 为一边作正方形AEFD ； （2）探究：在（1）中的四边形EBCF 是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）．第4题图参考答案1. 此题我们可以用一张纸按图示过程动手剪一剪，选A.2. 剪下来的图形展开前是一个直角三角形，它的面积是所求菱形面积的四分之一；易知直角三角形的两直角边分别为2，25，∴菱形面积为4S △=4×21×2×25=10，故选A.3.解： (1)如图甲，由题意，得AE=DE=EC.因为AC=2,所以EC=1,S 正方形CFDE=1.如图乙，设MN=x ，则由题意，得AM=MQ=PN=NB=MN=x.33x x ∴==解得，28(39PNMQ S ∴==正方形.６又819>∴甲种剪法所得的正方形的面积更大 注：图甲可另解为：由题意得点D ，E ，F 分别为AB,AC,BC 的中点，112ABCCFDE S S ==正方形.(2)212S =，10912S =. (3)探索规律可知112n n S -=,剩余三角形的面积和为()12109911112212422S S S ⎛⎫-+++=-++++= ⎪⎝⎭. 4．解：（1）如图所示．第4题图（2）四边形EBCF 是黄金矩形．证明：由题意知，215-=AB AD ,所以AD=215-AB ．因为四边形ADFE是正方形，所以AD=AE.所以在四边形EBCF中215215215-=---=-=AB ABAB ADAFAB BC BF ，所以四边形EBCF 是黄金矩形. （3）在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后，所得到的另外一个四边形是矩形，而且是黄金矩形．。

专题复习5 操作与实践◆考点链接操作与实践是近几年出现在中考试卷中的一种新题，考查学生的实践操作能力、测量技能、图形设计能力，以及创造能力和创新思想，是新课程理念的具体体现，是中考应用问题的发展趋势．◆典例精析【例题1】（安徽）如图①，正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如下：①②③仿上用图示的方法，解答下列问题：操作设计：（1）如图②，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积．．．的矩形．（2）如图③，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再接成一个与原三角形等面积．．．的矩形．解题思路：利用三角形中位线性质，制造三角形等积问题，分割剪拼而成．解：本题有多种拼法，下面提供图中几例作为参考：(1)方法1: 方法2:(2)方法1: 方法2:方法3:评析：过三角形中点作平行线，转化成三角形的等积问题，是解此类题的关键．【例题2】（河北）操作示例对于边长均为a的两个正方形ABCD和EFGH，•按图9－5－5所示的方式摆放，再沿虚线BD、EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图9－5－6中的四边形BNED．从拼接的过程容易得到结论：1．四边形BNED是正方形；2．S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED．（1）对于边长分别为a、b（a>b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，连结DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M与MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N．①证明四边形MNED是正方形，并用含a、b的代数式表示正方形MNED的面积；②在图2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，•能够拼接为正方形MNED．请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）．（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接为一个正方形？请简要说明你的理由．(1) (2) (3)解题思路：（1）①证DM=DE；②分割拼接；（2）用推理法说明．解：（1）①易证Rt△ADM≌Rt△CDE，有DM=DE．四边形MNED是正方形，由DE2=a2+b2，•知正方形MNED面积为a2+b2．②过点N作NP⊥BE，垂足为P，如图3，可以证明图中6与5位置的两个直角三角形全等，4与3位置的两个直角三角形全等，2与1位置的两个直角三角形也全等．•所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形MNED．（2）答：能．理由是：由上述的拼接过程可以看出：•对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，•而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形再拼接为一个正方形，…依此类推．由此可知：对于n个任意的正方形，可以通过（n－1）次拼接，•得到一个正方形．评析：本题重点考查学生的动手操作能力、转化能力、观察能力、培养学生探究问题的习惯．◆探究实践【问题】如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C•三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测倾器．（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，•设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案，具体要求如下：①测量数据尽可能少．．．．；②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示，如果测角，用α、β、γ等表示．测倾器高度不计）．（2）根据你的测量数据，计算塔顶端到地面的高度HG．（用字母表示）解题思路：应测数据要能确保通过解三角形求出高HG．解法一：（1）如图a（测三个数据）．（2）设HG=x，CG=tan ,,,tan tan tan tan tan tanx x n x x n nDM xββαβαβα--===-则．解法二：（1）如图b（测四个数据）（2）设HM=x，AM=tan tan tan tan ,,,,tan tan tan tan tan tan tan tanx x x x m mDM m x HGγααγγαγααγαγ==+==--．解法三：（1）如图c（测五个数据）（2）略评析：此题避免了学生将公式、定理死记硬背，促使学生通过实践获得知识，设计观点新颖，突出了对学生创新精神和能力的考查．◆中考演练一、填空题1．（河北）小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图①的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按图②的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是________cm．2．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，E为BC边上的点，将直角梯形ABCD沿对角线BD折叠，使△ABD与△EBD重合，若∠A=120°，AB=4，则CD长为_______．二、选择题1．（福州）如图，小亮拿一矩形纸图①，沿虚线对折一次得图②，•再将对角两顶点重合折叠得图③．按图④沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，•这三个图形分别是（）．A．都是等腰三角形B．都是等边三角形C．两个直角三角形，一个等腰三角形D．两个直角三角形，一个等腰梯形2．将五边形纸片ABCDE按如图方式折叠，折痕为AF．点E、D分别落在E′、D′．已知∠AFC=76°，则CFD′等于（）．A．31°B．28°C．24°D．22°三、解答题1．（长春）如图①是一张画有小方格的等腰直角三角形纸片，•将图①中按箭头方向折叠成图②，再将图②按箭头方向折叠成图③．（1）请把上述两次折叠的折痕用实线画在图④中；（2）在折叠后的图形③中，沿直线L剪掉有A的部分，把剩余部分展开，将所得到的图形在图⑤中用阴影表示出来．2．（呼和浩特）如图，把矩形ABCD折叠，使点C落在AB上的C′处（不与A、•B 重合），点D落在D′处，此时，C′D′交AD于E，折痕为MN．（1）如果AB=1，BC=43，当点C′在什么位置时，可使△NBC′≌△C′AE？（2）如果AB=BC=1，使△NBC′≌△C′AE的C′还存在吗？若存在，请求出C ′的位置；若不存在，请说明理由．◆实战模拟一、填空题1．（四川）如图1，在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6cm ，•把△ABC 以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线上的点C′处，那么AC•边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是_______cm 2．（不取近似值）(1) (2) (3)2．（深圳）如图2，ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，•点A 正好落在CD 上的F 点，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为_______．3．（大连）如图3是由8个一样大小的小长方形拼成的．且图②中的小正方形（阴影部分）的面积为1cm 2．则小长方形的周长为_______．二、选择题1．小明在一次登山活动中捡到一块矿石．回家后，他使用一把刻度尺，•一只圆柱形的玻璃杯和足量的水，就测出这块矿石的体积，如果他量出玻璃杯的内直径d ，把矿石完全浸没在水中，测出杯中水面上升了高度h ，则小明的这块矿石体积是（ ）．A ．2.42d hB ππd 2h C ．πd 2h D ．4πd 2h 2．如图9－5－19，将半径为2的圆形纸片，沿半径OA 、OB 裁成1：3两部分，•用所得的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（ ）．A ．12B ．1C ．1和3D ．12和32(4) (5)3．（黄冈）将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线L向右滚动（不滑动），•当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是（）cm．A．（82+16）πB．（82+12）πC．（42+16）πD．（42+12）π三、解答题1．（陕西）王师傅有两块板材边角料，其中30cm，下底为一块是边长为60cm的正方形板子；另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子（如图①）．王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材．他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，•两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②）．由于受材料纹理的限制，•要求裁出的矩形要以点B为一个顶点．（1）求FC的长；（2）利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积y（cm2）最大？最大面积是多少？（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长．2．（武汉）已知：将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点，将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°<α<90°），在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N•作直线AB的垂线，垂足为G、H．（1）当α=30°时（如图②），求证：AG=DH；（2）当α=60°时（如图③），（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由．• （3）当0°<α<90°，（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，•并根据图④说明理由．答案:中考演练一、1．1cm 2．23二、1．C 2．B三、1．（1）见图1 （2）见图22．（1）设AC′=x，x2+（1－x）2=（43－x）2，x12122122x-+--=（2）不存在，∵当△NBC′≌△C′AE时⇒BC′=NC′与∠B=90°矛盾．实战模拟一、1．9π2．7 3．16cm二、1．A 2．D 3．A三、1．（1）由题意，得△DEF∽△CGF，∴6030,60DF DE FCFC CG FC-=∴=，∴FC=40（cm）．（2）如图，设矩形顶点B所对顶点为P，则①当顶点P在AE上时，x=60，y的最大值为60×30=1 800（cm2）．②当顶点P在EF上时，过点P分别作PN⊥BG于点N，PM⊥AB于点M．根据题意，得△GFC∽△GPN．∴PN FCNG CG=．∴NG=32x，∴BN=120－32x．∴y=x（120－32x）=－32（x－40）2+2 400．∴当x=40时，y的最大值为2 400（cm2）．③当顶点P在FC上时，y的最大值为60×40=2 400（cm2）．综合①②③，得x=40cm时，矩形的面积最大，最大面积为2 400cm2．（3）根据题意，正方形的面积y（cm2）与边长x（cm）满足的函数表达式为：y=－32x2+120x．当y=x2时，正方形的面积最大．∴x2=－32x2+120x．解之，得x1=0（舍去），x2=48（cm）．∴面积最大的正方形的边长为48cm．2．（1）证明：∵∠A=∠ADM=30°，∴AM=MD．∵∠BDC=90°－∠ADM=60°=∠B，∴CB=CD．∵MG⊥AD，NH⊥BD，∴AG=12AD，DH=12BD．∵AD=BD，∴AG=DH．（2）结论成立．∵∠ADM=60°，∴∠BDN=30°．在△AMD和△DNB中，∵∠ADM=∠B，AD=DB，∠A=∠BDN．∴△AMD≌△DNB，∴AM=DN．∵MG⊥AD，NH⊥BD，∴△AMG≌△DNH，∴AG=DN．（3）结论成立．∵Rt △AGM ≌Rt △NHB ，Rt △DGM ∽Rt △NHD ．,,.AGNH MG DHMG BH DG NHAG DHAG DHDG BH AD DB ∴==∴=∴=∴AG=DH ．。