题库-数学中考综合与实践探究

综合与实践专项练习类型1 实践操作型试题1.(2022江苏宿迁)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点,点A、B、C、D、M 均为格点.【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P，并给出部分说理过程.请你补充完整．．．．．．：解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC 和△CDE.在Rt△ABC中, tan∠BAC=BCAC =12,在Rt△CDE 中, ,所以tan∠BAC=tan∠DCE.所以∠BAC=∠DCE.因为∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°,所以∠ACP+∠BAC=90°.所以∠APC=90°,即AB⊥CD.【拓展应用】(1)图②是以格点O 为圆心，AB 为直径的圆，请你只用无刻度的直尺．．．．．．．．，在BM 上找出一点P,使PM=AM,写出作法,并给出证明;(2)图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺．．．．．．．．，在弦AB 上找出一点P，使AM²=AP⋅AB,写出作法，不用证明.2.(2022 黑龙江齐齐哈尔)综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学.数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣.转一转:如图①,在矩形ABCD 中,点E、F、G分别为边BC、AB、AD 的中点,连接EF、DF,H 为DF 的中点,连接GH.将△BEF绕点B 旋转,线段DF、GH 和CE 的位置和长度也随之变化.当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：(1)图②中,AB=BC,此时点E落在AB的延长线上，点F 落在线段BC上，连接AF，猜想GH 与CE 之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)图③中,AB=2,BC=3,则GHCE =¯;(3)当AB=m,BC=n时, GHCE =¯;剪一剪、折一折：(4)在(2)的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC(如图④).点M、N分别在AC、BC上,连接MN,将△CMN沿MN 翻折,使点C 的对应点P 落在AB 的延长线上,若PM 平分∠APN,,则CM的长为.类型2 探究迁移型试题3.(2022 山东泰安)问题探究(1) 在△ABC 中,BD,CE 分别是∠ABC 与∠BCA的平分线.①若∠A=60°,AB=AC,如图1,试证明:BC=CD+BE;②将①中的条件“AB=AC”去掉,其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立?并说明理由；迁移运用(2)若四边形ABCD 是圆的内接四边形，且∠ACB=2∠ACD,∠CAD=2∠CAB,如图3,试探究线段AD,BC,AC 之间的等量关系，并证明.4.(2022 甘肃武威)已知正方形ABCD,E为对角线AC上一点.【建立模型】如图1,连接BE,DE.求证:BE=DE;【模型应用】如图2，F 是DE 延长线上一点，FB⊥BE,EF交AB 于点G,连接AF.(1)判断△FBG的形状并说明理由；(2)若G为AB 的中点,且AB=4,求AF的长;【模型迁移】如图3,F 是DE 延长线上一点,FB⊥BE,EF 交AB 于点G,BE=BF.求证:GE= (√2−1)DE.类型3 综合应用型试题5.(2022山东潍坊)为落实“双减”政策，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点(-1，-1)，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式.【观察发现】请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象；【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧.”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方.”你认同他们的说法吗?若不认同，请举例说明；【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y=ax²+bx+c的图象与系数a，b，c 的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法.请你探究这个方法，写出探究过程.6.(2022湖南湘潭)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E.(1)特例体验:如图①,若直线l∥BC,AB=AC =√2,,分别求出线段BD、CE 和DE 的长;(2)规律探究:(i)如图②，若直线l从图①状态开始绕点A 旋转α(0°<α<45°),请探究线段BD、CE和DE 的数量关系并说明理由；(ii)如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α(45°<α<90°),与线段BC相交于点H,请再探究线段BD、CE 和DE的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F,若CE=3,DE=1,求S△BFC-。

综合与探究一、选择题(每小题3分，共30分)1．小明玩一种的游戏，每次挪动珠子的颗数与对应所得的分数如下表：挪动珠子数(颗)23456……对应所得分数(分)26122030……当对应所得分数为A. 8颗B. 12颗C. 15颗D. 20颗2．设二次函数y＝x2＋bx＋c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是(B)A. c＝3B. c≥3C. 1≤c≤3D. c≤33．在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的▱ABCD，点A的坐标是(0，2)．现将这张胶片平移，使点A落在点A′(5，－1)处，则此平移可以是(B)(第3题图)A. 先向右平移5个单位，再向下平移1个单位B. 先向右平移5个单位，再向下平移3个单位C. 先向右平移4个单位，再向下平移1个单位C. 先向右平移4个单位，再向下平移3个单位4．园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S(m2)与工作时间t(h)的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为(B)(第4题图)A. 40 m2B. 50 m2C. 80 m2D. 100 m2解：根据图象可得，休息后园林队2 h绿化面积为160－60＝100(m2)，∴每小时绿化面积为100÷2＝50(m2)．故选B.5．如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连结ED交AB于点F，AF＝x(0.2≤x≤0.8)，CE＝y.则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是(C)(第5题图)解：根据题意知，BF ＝1－x ，BE ＝y －1，且△EFB ∽△EDC ， 则BF CD ＝BE CE ，即1－x 1＝y －1y ， ∴y ＝1x(0.2≤x ≤0.8)，该函数图象是位于第一象限的反比例函数图象的一部分．选项A ，D 的图象都是直线的一部分，选项B 的图象是抛物线的一部分，选项C 的图象是反比例函数图象的一部分． 故选C.6．设min{x ，y }表示x ，y 两个数中的最小值，例如min{0，2}＝0，min{12，8}＝8，则y ＝min{2x ，x ＋2}可以表示为(A )A. y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （x ＜2），x ＋2（x ≥2）B. y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2（x ＜2），2x （x ≥2） C. y ＝2x D. y ＝x ＋2解：根据已知，在没有给出x 的取值范围时，不能确定2x 和x ＋2的大小，所以不能直接表示为C ：y ＝2x ，D ：y ＝x ＋2.当x ＜2时，可得x ＋x ＜x ＋2，即2x ＜x ＋2，可表示为y ＝2x . 当x ≥2时，可得x ＋x ≥x ＋2，即2x ≥x ＋2，可表示为y ＝x ＋2. 故选A.7．给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题： ①直线y ＝0是抛物线y ＝14x 2的切线；②直线x ＝－2与抛物线y ＝14x 2相切于点(－2，1)；③直线y ＝x ＋b 与抛物线y ＝14x 2相切，则相切于点(2，1)；④若直线y ＝kx －2与抛物线y ＝14x 2相切，则实数k ＝ 2.其中正确的命题是(B ) A. ①②④ B. ①③ C. ②③ D. ①③④解：∵直线y ＝0是x 轴，抛物线y ＝14x 2的顶点在x 轴上，∴直线y ＝0是抛物线y ＝14x 2的切线，故①正确；∵抛物线y ＝14x 2的顶点在x 轴上，开口向上，直线x ＝－2与y 轴平行，∴直线x ＝－2与抛物线y ＝14x 2相交，故②错误；∵直线y ＝x ＋b 与抛物线y ＝14x 2相切，∴14x 2－x －b ＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝1＋b ＝0，解得b ＝－1，把b ＝－1代入14x 2－x －b ＝0得x ＝2，把x ＝2代入抛物线表达式可知y ＝1，∴直线y ＝x ＋b 与抛物线y ＝14x 2相切，则相切于点(2，1)，故③正确；∵直线y ＝kx －2与抛物线y ＝14x 2 相切，∴14x 2＝kx －2，即14x 2－kx ＋2＝0有两个相等的实数根，Δ＝k2－2＝0，解得k ＝±2，故④错误．故选B.8．如图，在平面直角坐标系中，在x 轴、y 轴的正半轴上分别截取OA 、OB ，使OA ＝OB ；再分别以点A, B 为圆心，以大于12AB 长为半径作弧，两弧交于点C . 若点C 的坐标为(m －1，2n )，则m 与n 的关系为(B )(第8题图)A. m ＋2n ＝1B. m －2n ＝1C. 2n －m ＝1D. n －2m ＝19．如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标为(2，5)，底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A ′O ′B ，点A 的对应点A ′在x 轴上，则点O ′的坐标为(C )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫203，103B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫163，453C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫203，453 D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫163，43(第9题图) (第10题图)10．如图，已知AB ＝10，点C ，D 在线段AB 上且AC ＝DB ＝2.P 是线段CD 上的动点，分别以AP ，PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连结EF ，设EF 的中点为G ，当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长为(B ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图，双曲线y ＝k x(k >0)与⊙O 在第一象限内交于P ，Q 两点，分别过P ，Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 的坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为__4__．(第11题图)解：∵⊙O 在第一象限关于y ＝x 对称，y ＝k x(k >0)也关于y ＝x 对称，P 点坐标是(1，3)，∴点Q 的坐标是(3，1)，∴S 阴影＝1×3＋1×3－2×1×1＝4.12．对正方形ABCD 进行分割，如图①，其中E ，F 分别是BC ，CD 的中点，M ，N ，G 分别是OB ，OD ，EF 的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图②就是用其中6块拼出的“飞机”．若△GOM 的面积为1，则“飞机”的面积为__14__.(第12题图)解：由“飞机”的图形可知，“飞机”由2个面积为1的三角形，2个面积为4的三角形，1个面积为2的平行四边形，1个面积为2的正方形组成，故“飞机”的面积为1×2＋4×2＋2＋2＝14. 故答案为14.13．阅读下列方法：为了找出序列3，8，15，24，35，48，…的规律，我们有一种“因式分解法”．如下表：项 1 2 3 4 5 6 … n值3815243548…分解因式：1×3 1×8 1×15 1×24 1×35 1×48 2×4 3×5 2×12 5×7 2×24 4×6 3×16 4×12 6×8因此，我们得到第n 项是n (n ＋2)，请你利用上述方法，说出序列：0，5，12，21，32，45，…的第n 项是(n －1)(n ＋3)．14．老师给出一个y 关于x 的函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当x <2时，y 随x 的增大而减小；丁：当x <2时y >0.已知这四位同学叙述都正确．请写出满足上述所有性质的一个函数y ＝(x －2)2＋1．15．如图所示，在平面直角坐标系中，直线l 经过原点，且与y 轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A (0，1)作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1，以A 1B ，BA 为邻边作▱ABA 1C 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2，以A 2B 1，B 1A 1为邻边做▱A 1B 1A 2C 2，…；按此作法继续下去，则点C n 的坐标是(－4n －13，4n)．(第15题图)16．如图是装有三个小轮的手拉车在“爬”楼梯时的侧面示意图，定长的轮架杆OA ，OB ，OC 抽象为线段，有OA ＝OB ＝OC ，且∠AOB ＝120°，折线NG －GH －HE －EF 表示楼梯，GH ，EF 是水平线，NG ，HE 是铅直线，半径相等的小轮子⊙A ，⊙B 与楼梯两边都相切，且AO ∥GH . (1)如图①，若点H 在线段OB 上，则BH OH的值是__3__．(2)如果一级楼梯的高度HE ＝(83＋2) cm ，点H 到线段OB 的距离d 满足条件d ≤3 cm ，那么小轮子半径r 的取值范围是_(11－33)_cm ≤r ≤8_cm ．(第16题图)解：(1)如解图①，设⊙B 与HE 相切于点P ，连结BP 并延长，作OL ⊥BP 于点L ，交GH 于点M ，(第16题图解①)∴∠BPH ＝∠HPL ＝90°. ∵AO ∥GH ， ∴BL ∥AO ∥GH . ∵∠AOB ＝120°， ∴∠OBL ＝60°.在Rt △BPH 中，HP ＝3BP ＝3r ， ∴ML ＝HP ＝3r ， OM ＝r . ∵BL ∥GH . ∴BH OH ＝ML OM ＝3r r＝3， 故答案为 3.(2)作HD ⊥OB ，设P 为切点，连结BP ，PH 的延长线交BD 延长线为点L ，(第16题图解②)∴∠LDH ＝∠LPB ＝90°， ∴△LDH ∽△LPB ， ∴DL PL ＝DH PB. ∵AO ∥PB ，∠AOD ＝120°， ∴∠B ＝60°， ∴∠BLP ＝30°，∴DL ＝3DH ，LH ＝2DH . ∵HE ＝(83＋2) cm ∴HP ＝83＋2－r ，PL ＝HP ＋LH ＝83＋2－r ＋2DH ， ∴3DH2DH ＋83＋2－r ＝DHr，解得DH ＝3＋12r －43－1. ∵0 cm ≤DH ≤3 cm ， ∴0≤3＋12r －43－1≤3， 解得(11－33) cm ≤r ≤8 cm. 故答案为(11－33) cm ≤r ≤8 cm. 三、解答题(本题有8小题，共66分)17．(本题6分)游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水——清洗——灌水”中水量y (m 3)与时间t (min)之间的函数关系．(第17题图)(1)根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y (m 3)关于时间t (min)的函数表达式． (2)问：排水、清洗、灌水各花多少时间？ 解：(1)排水阶段：设表达式为y ＝kt ＋b ， 图象经过(0，1500)，(25，1000)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1500，25k ＋b ＝1000，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－20，b ＝1500. 故排水阶段表达式为y ＝－20t ＋1500.清洗阶段：y ＝0，灌水阶段：设表达式为y ＝at ＋c ， 图象经过(195，1000)，(95，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧195a ＋c ＝1000，95a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，c ＝－950， 故灌水阶段表达式为y ＝10t －950.(2)∵排水阶段表达式为y ＝－20t ＋1500； ∴y ＝0时，0＝－20t ＋1500，解得t ＝75， 则排水时间为75 min ，清洗时间为：95－75＝20(min)，∵根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500(m 3)， ∴1500＝10t －950，解得t ＝245，故灌水所用时间为：245－95＝150(min)．18．(本题6分)如图，长方形纸片ABCD 中，AB ＝8 cm ，AD ＝6 cm ，按下列步骤进行裁剪和拼图：(第18题图)第一步：如图①，在线段AD 上任意取一点E ，沿EB ，EC 剪下一个三角形纸片EBC (余下部分不再使用)． 第二步：如图②，沿三角形EBC 的中位线GH 将纸片剪成两部分，并在线段GH 上任意取一点M ，线段BC 上任意取一点N ，沿MN 将梯形纸片GBCH 剪成两部分；第三步：如图③，将MN 左侧纸片绕点G 按顺时针方向旋转180°，使线段GB 与GE 重合，将MN 右侧纸片绕点H 按逆时针方向旋转180°，使线段HC 与HE 重合，拼成一个与三角形纸片EBC 面积相等的四边形纸片．则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为多少？最大值为多少？ (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠．)解：通过操作，我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形，其上下两条边的长度等于原来矩形的边AD ＝6，左右两边的长等于线段MN 的长，当MN 垂直于BC 时，其长度最短，等于原来矩形的边AB 的一半，此时MN ＝4，于是这个平行四边形的周长的最小值为2×(6＋4)＝20；当点E 与点A 重合，点M 与点G 重合，点N 与点C 重合时，线段MN 最长，此时MN ＝42＋62＝213，此时，这个四边形的周长最大，其值为2×(6＋213)＝12＋413. 19．(本题6分)给出下列命题：命题1：点(1，1)是直线y ＝x 与双曲线y ＝1x的一个交点；命题2：点(2，4)是直线y ＝2x 与双曲线y ＝8x的一个交点；命题3：点(3，9)是直线y ＝3x 与双曲线y ＝27x的一个交点；……(1)请观察上面命题，猜想出命题n (n 是正整数)． (2)证明你猜想的命题n 是正确的．解：命题n: 点(n , n 2) 是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x的一个交点(是正整数)．(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n ，y ＝n2代入y ＝nx ，左边＝n 2，右边＝n ·n ＝n 2，∵左边＝右边， ∴点(n ，n 2)在直线y ＝nx 上．同理可证：点(n ，n 2)在双曲线y ＝n 3x上，∴点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x的一个交点，命题正确．20．(本题8分)在Rt △POQ 中，OP ＝OQ ＝4，M 是PQ 的中点，将一把三角尺的直角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点A ，B .(第20题图)(1)求证：MA ＝MB .(2)连结AB ，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB 的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：连结OM ，如解图．(第20题图解) ∵OP ＝OQ ，∴△OPQ 是等腰直角三角形． ∴OM ⊥PQ ，∠P ＝∠Q ＝45°. ∵M 是斜边PQ 的中点，∴MO ＝MQ ，∠MOA ＝∠MQB ＝45°.∵∠AMO ＋∠OMB ＝90°，∠OMB ＋∠BMQ ＝90°. ∴∠AMO ＝∠BMQ . 在△AMO 与△BMQ 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠MOA ＝∠MQB ，MO ＝MQ ，∠AMO ＝∠BMQ ，∴△AMO ≌△BMQ . ∴MA ＝MB .(2)由(1)知△AMO ≌△BMQ ，∴AO ＝BQ . 设AO ＝x ，则OB ＝4－x ，AO ＋OB ＝4.在Rt △OAB 中，AB ＝OA 2＋OB 2＝x 2＋（4－x ）2＝2（x －2）2＋8. ∴当x ＝2时，AB 最小，其最小值为22，∴△AOB 的周长的最小值为22＋4.21．(本题8分)对某一个函数，给出如下定义：若存在实数M >0，对于任意的函数值y ，都满足－M ≤y ≤M ，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1.(1)分别判断函数y ＝1x(x > 0)和y ＝x ＋1(－4 < x ≤ 2)是不是有界函数？若是有界函数，求边界值．(2)若函数y ＝－x ＋1(a ≤ x ≤ b ，b > a )的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围．(3)将函数y ＝x 2(－1≤x ≤m ，m ≥0)的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足34≤t ≤1?(第21题图)解：(1)y ＝1x(x >0)不是有界函数，y ＝x ＋1(－4＜x ≤2)是有界函数，边界值为3. (2)∵y ＝－x ＋1中y 随x 增大而减小， 当x ＝a 时，y ＝－a ＋1＝2，∴a ＝－1. 当x ＝b 时，y ＝－b ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－b ＋1≤2，b ＞a ， ∴－1＜b ≤3.(3)若m ＞1，函数向下平移m 个单位后，x ＝0时，函数值小于－1，此时函数的边界t ≥1，与题意不符，故m ≤1.当x ＝－1时，y ＝1，即过点(－1，1)． 当x ＝0时，y 最小＝0，即过原点(0，0)．将点(－1，1)，(0，0)都向下平移m 个单位，得 (－1，1－m )，(0，－m )， ∴34≤1－m ≤1或－1≤－m ≤－34， ∴0≤m ≤14或34≤m ≤1.22．(本题10分)我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图①所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图②，图③，…(第22题图)(1)观察以上图形并完成下表：图形的名称基本图的个数特征点的个数① 1 7 ② 2 12 ③ 3 17 ④ 4 __22__ ………猜想：在图中，特征点的个数为__5n ＋2__(用n 表示)；(2)如图，将图放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O 1的坐标为(x 1，2)，则x 1＝__3__；图的对称中心的横坐标为__20133__.(第22题图)解：(1)由题意，可知图①中特征点有7个； 图②中特征点有12个，12＝7＋5×1； 图③中特征点有17个，17＝7＋5×2； ∴图④中特征点有7＋5×3＝22个；由以上猜想：在图中，特征点的个数为：7＋5(n －1)＝5n ＋2.(第22题图解)(2)如解图，过点O 1作O 1M ⊥y 轴于点M ，又∵正六边形的中心角360°6＝60°，O 1C ＝O 1B ＝O 1A ＝2，∴∠BO 1M ＝30°，∴O 1M ＝O 1B ·cos∠BO 1M ＝2×32＝3， ∴x 1＝ 3.由题意，可得图②的对称中心的横坐标为12(23×2)＝23，图③的对称中心的横坐标为12(23×3)＝33，图④的对称中心的横坐标为12(23×4)＝43，… ∴图的对称中心的横坐标为12(23×2013)＝2013 3.故答案为22，5n ＋2；3，2013 3. 23．(本题10分)操作发现：(1)如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩行ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF ＝DF ，你同意吗？说明理由．(第23题图)问题解决：(2)保持(1)中的条件不变，若DC ＝2DF ，求AD AB 的值．类比探求：(3)保持(1)中条件不变，若DC ＝nDF ，求AD AB 的值．解：(1)同意．理由：连结EF ，则∠EGF ＝∠D ＝90°，EG ＝AE ＝ED ，EF ＝EF .∴Rt△EGF ≌Rt△EDF .∴GF ＝DF .(2)由(1)知，GF ＝DF .设DF ＝x ，BC ＝y ，则有GF ＝x ，AD ＝y .∵DC ＝2DF ，∴CF ＝x ，DC ＝AB ＝BG ＝2x .∴BF ＝BG ＋GF ＝3x . 在Rt△BCF 中，BC 2＋CF 2＝BF 2，即y 2＋x 2＝(3x )2.∴y ＝22x .∴AD AB ＝y 2x＝ 2. (3)由(1)知，GF ＝DF .设DF ＝x ，BC ＝y ，则有GF ＝x ，AD ＝y .∵DC ＝n ·DF ，∴DC ＝AB ＝BG ＝nx .∴CF ＝(n －1)x ，BF ＝BG ＋GF ＝(n ＋1)x .在Rt△BCF 中，BC 2＋CF 2＝BF 2，即y 2＋[(n －1)x ]2 ＝[(n ＋1)x ]2.∴y ＝2nx .∴AD AB ＝y nx ＝2n n (或2n)． 24．(本题12分)如图，抛物线y ＝ax 2＋c (a ≠0)与y 轴交于点A ，与x 轴交于B ，C 两点(点C 在x 轴正半轴上)，△ABC 为等腰直角三角形，且面积为4.现将抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线过点C 时，与x 轴的另一交点为E ，其顶点为F ，对称轴与x 轴的交点为H .(1)求a ，c 的值．(2)连结OF ，试判断△OEF 是否为等腰三角形，并说明理由．(3)现将一足够大的三角尺的直角顶点Q 放在射线AF 或射线HF 上，一直角边始终过点E ，另一直角边与y 轴相交于点P .是否存在这样的点Q ，使以点P ，Q ，E 为顶点的三角形与△POE 全等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．(第24题图)解：(1)∵△ABC 为等腰直角三角形，∴OA ＝12BC . 又∵△ABC 的面积＝12BC ·OA ＝4，即OA 2＝4， ∴OA ＝2(负值舍去)，∴点A (0，2)，B (－2，0)，C (2，0)，∴c ＝2，∴抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋2，有4a ＋2＝0，解得a ＝－12， ∴a ＝－12，c ＝2. (2)△OEF 是等腰三角形．理由如下：∵点A (0，2)，B (－2，0)，∴直线AB 的函数表达式为y ＝x ＋2.又∵平移后的抛物线顶点F 在射线BA 上，∴设顶点F 的坐标为(m ，m ＋2)，∴平移后的抛物线函数表达式为y ＝－12(x －m )2＋m ＋2. ∵抛物线过点C (2，0)，∴－12(2－m )2＋m ＋2＝0，解得m 1＝0(舍去)，m 2＝6， ∴平移后的抛物线函数表达式为y ＝－12(x －6)2＋8，即y ＝－12x 2＋6x －10. 当y ＝0时，－12x 2＋6x －10＝0，解得x 1＝2，x 2＝10， ∴点E (10，0)，OE ＝10，易得顶点F (6，8)，OH ＝6，FH ＝8，∴OF ＝OH 2＋FH 2＝62＋82＝10.又∵EF ＝FH 2＋HE 2＝82＋42＝45，∴OE ＝OF ，即△OEF 为等腰三角形．(3)点Q 的位置分两种情形．情形一、点Q 在射线HF 上．当点P 在x 轴上方时，如解图①.(第24题图解①)由于△PQE≌△POE，∴QE＝OE＝10.在Rt△QHE中，QH＝QE2－HE2＝102－42＝84＝221，∴点Q(6，221)．当点P在x轴下方时，如解图②，有PQ＝OE＝10，(第24题图解②)过点P作PK⊥HF于点K，则有PK＝6，在Rt△PQK中，QK＝PQ2－PK2＝102－62＝8.∵∠PQE＝90°，∴∠PQK＋∠HQE＝90°.∵∠HQE＋∠HEQ＝90°，∴∠PQK＝∠HEQ.又∵∠PKQ＝∠QHE＝90°，∴△PKQ∽△QHE，∴PKQH＝QKHE，即6QH＝错误!，解得QH＝3，∴点Q(6，3)．情形二、点Q在射线AF上．当PQ＝OE＝10时，如解图③，有QE＝PO，∴四边形POEQ为矩形，∴点Q的横坐标为10，当x＝10时，y＝x＋2＝12，∴点Q(10，12)．当QE＝OE＝10时，如解图④.过点Q作QM⊥y轴于点M，过点E作x轴的垂线交QM于点N.(第24题图解)设点Q的坐标为(x，x＋2)，∴MQ＝x，QN＝10－x，EN＝x＋2.在Rt△QEN中，有QE2＝QN2＋EN2，即102＝(10－x)2＋(x＋2)2，解得x＝4±14. 当x＝4＋14时，如解图④，y＝x＋2＝6＋14，∴点Q(4＋14，6＋14)，当x＝4－14时，如解图⑤，y＝x＋2＝6－14，∴Q(4－14，6－14)．(第24题图解⑤)综上所述，存在点Q1(6，221)，Q2(6，3)，Q3(10，12)，Q4(4＋14，6＋14)，Q5(4－14，6－14)，使以P，Q，E三点为顶点的三角形与△POE全等．。

河南数学中考题型汇总几何探究题题型练习含答案类型 1 实践操作类探究题角度1 折叠类1.[2022河南]综合与实践综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.(1)操作判断操作一:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠,使点A落在矩形内部点M处,把纸片展平,连接PM,BM.根据以上操作,当点M在EF上时,写出图(1)中一个30°的角:.(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片,继续探究,过程如下.将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作,并延长PM交CD于点Q,连接BQ.①如图(2),当点M在EF上时,∠MBQ= °,∠CBQ= °;②改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合),如图(3),判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系,并说明理由.(3)拓展应用在(2)的探究中,已知正方形纸片ABCD的边长为8 cm,当FQ=1 cm时,直接写出AP 的长.图(1)图(2)图(3)2.[2022河南省实验模拟]问题情境数学活动课上,同学们开展了以折叠为主题的探究活动,如图(1),已知矩形纸片ABCD(AD>AB),其中宽AB=8.动手实践(1)如图(1),威威同学将矩形纸片ABCD折叠,点A落在BC边上的点M处,折痕为BN,连接MN,然后将纸片展平,得到四边形ABMN,则折痕BN的长为;探究发现(2)如图(2),胜胜同学将图(1)中的四边形ABMN剪下,取AN边的中点E,将△ABE 沿BE折叠得到△A'BE,延长BA'交MN于点F.点Q为BM边的中点,点P是MN边上一动点,将△MQP沿PQ折叠,当点M的对应点M'落在线段BF上时,求此时tan∠PQM的值;反思提升(3)明明同学改变图(2)中点Q的位置,即点Q为BM边上一动点,点P仍是MN边上一动点,按照(2)中方式折叠△MQP,使点M'落在线段BF上,明明同学不断改变点Q 的位置,发现在某一位置∠QPM与(2)中的∠PQM相等,请直接写出此时BQ的长.图(1)图(2)备用图3.综合与实践——探究平行四边形折叠中的数学问题问题情境已知▱ABCD中,ÐA为锐角,AB<AD,点E,F分别是AB,CD边的中点,点G,H分别是AD,BC边上的点,分别沿EG和FH折叠▱ABCD,点A,C的对应点分别为点A',C'.操作分析(1)如图(1),点A'与点B重合,点C'与点D重合.①四边形BHDG 平行四边形(填“是”或“不是”).②当▱ABCD满足某个条件时,四边形BHDG能成为矩形.这个条件可以是.(2)点A',C'均落在▱ABCD内部(含边界),连接A'H,C'G,若AG=CH,则四边形A'HC'G是平行四边形吗?若是,请就图(2)进行证明;若不是,请说明理由.拓展探究(3)在(2)的条件下,若ÐA=60°,AD=2AB=8,且A'G与▱ABCD的一边平行,则此时四边形A'HC'G的面积为.图(1)图(2)备用图4.综合与实践数学活动课上,张老师找来若干张等宽的矩形纸条,让学生们进行折纸探究. (1)希望小组将如图(1)所示的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落在AB边上的点D'处,折痕为AE.填空:图(1)中四边形ADED'的形状是.(2)智慧小组准备了一张如图(2)所示的长、宽之比为3∶2的矩形纸片ABCD,用希望小组的方法折叠纸片,得到四边形ADED',接着沿过点B的直线折叠纸片,使点C落在ED'上的点M处,折痕为BF.求∠MBC的度数.(3)勤奋小组拿着一张如图(3)所示长为4,宽为2的矩形纸片ABCD,利用希望小组的方法折叠纸片,得到四边形ADED',在CE上取一点F(不与点C,E重合),沿BF 折叠△BCF,点C的对应点为N,射线FN交直线AB于点H.①HF与HB的数量关系为.②当射线FN经过△AED'的直角边的中点时,直接写出FC的长.图(1)图(2)图(3)5.综合与实践问题情境数学活动课上,老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题,开展数学活动,如图(1),在矩形ABCD中,AB=8,BC=4.观察发现(1)如图(2),智慧小组连接对角线BD,将矩形纸片ABCD沿直线BD折叠,使点A落在点P的位置,PB交CD于点Q,连接AP.直接写出图中所有的等腰三角形:.(不再添加字母)探究证明(2)求实小组在智慧小组的启发下,又对矩形纸片ABCD进行了如下操作,并对其中所产生的问题进行了探究:如图(3),沿过点A的直线折叠,使点B的对应点F 落在CD上,折痕交BC于点E,过点F作FG∥BC交AE于点G,连接BG.①小组成员发现四边形BEFG是特殊四边形.请你判断四边形BEFG的形状,并说明理由.②小组成员通过计算求得四边形BEFG的面积.请你直接写出这个面积:.探索拓广(3)参照上面的探究方式,对图(1)进行一次折叠操作,使点B的对应点B'落在BD 的三等分点上,设折痕与AB交于点N.请直接写出BN的长.图(1)图(2)图(3)角度2 旋转类6.综合与实践——图形变换中的数学问题问题情境数学活动课上,老师出示了一个问题:如图(1),已知正方形ABCD、矩形BCEF,点E,F分别在边CD,AB上,且BF=k(3<k<5),BC=5.将矩形BCEF绕点B顺时针旋转得到矩形BGHK,点G,H,K分别是点C,E,F的对应点,如图(2).图(1)图(2)图(3)图(4)同学们通过小组合作,提出下列数学问题,请你解答.(1)在图(2)中,连接BE,BH,EH,CG,得到图(3),可以发现在旋转过程中存在一个三角形始终与△BCG相似,这个三角形是,它与△BCG的相似比为(用含k的式子表示).(2)如图(4),矩形BGHK的顶点K恰好落在正方形ABCD的对角线AC上,KH交DC 的延长线于点T.求证:BK=KT.(3)在旋转过程中,连接CH,CK.若k=23,则当CH=CK时,直接写出CK的长.备用图(1)备用图(2)角度3 平移类7.综合与实践问题背景如图(1),在矩形ABCD中,AB=10,BC=8,点E为边BC上一点,沿直线DE将矩形折叠,使点C落在AB边上的点C'处.问题解决(1)填空:AC'的长为.(2)如图(2),展开后,将△DC'E沿线段AB向右平移,使点C'的对应点与点B重合,得到△D'BE',D'E'与BC交于点F,D'B与DE交于点G.求EF的长.拓展探究(3)如图(3),在△DC'E沿射线AB向右平移的过程中,设点C'的对应点为C″,则当△D'C″E'在线段BC上截得的线段PQ(D'E',折线D'C″E'分别与BC交于点P,Q)的长度为2时,直接写出平移的距离.图(1)图(2)图(3)角度4 尺规作图类8.[2022南阳宛城区一调]下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作线段AB的垂直平分线的讨论片段,请仔细阅读,并完成相应的任务.任务:(1)小明的作图依据是.(2)小军作图得到的直线CP是线段AB的垂直平分线吗?请判断并说明理由.(3)如图(3),已知△ABC中,CA=CB,∠ACB=30°,点D,E分别是射线CA,CB上的动点,且CD=CE,连接BD,AE,交点为P.当AB=6,∠PAB=45°时,请直接写出线段CD 的长.图(3)9.[2022开封二模]中华文明源远流长,图(1)是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形,人们称它为“赵爽弦图”.2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标,该图由4个全等的直角三角形围成一个大正方形和中间一个小正方形,巧妙地证明了勾股定理.问题发现如图(1),若直角三角形的直角边BC=3,斜边AB=5,则中间小正方形的边长CD= ,连接BD,△ABD的面积为.知识迁移如图(2),P是正方形ABCD内一点,连接PA,PB,PC,当∠BPC=90°,BP=10时,△PAB的面积为.拓展延伸如图(3),已知∠MBN=90°,以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交射线BM,BN 于点A,C.(1)已知D为线段AB上一动点,连接CD,过点B作BE⊥CD,垂足为点E,在线段CE 上取一点F,使EF=BE,过点F作GF⊥CD交BC于点G,试判断BE,DE,GF这三条线段之间的数量关系,并说明理由.(2)在(1)的条件下,若D为射线BM上一动点,F为射线EC上一点,当AB=10,CF=2时,直接写出线段DE的长.图(1)图(2)图(3)备用图类型 2 阅读理解类探究题10.[2022许昌二模]问题情境数学课上,王老师出示了这样一个问题:如图(1),在矩形ABCD中,AD=2AB,点E是AB延长线上一点,且BE=AB,连接DE,交BC于点M,以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG,连接AM.试判断线段AM与DE的位置关系.探究展示小明发现,AM垂直平分DE,并展示了如下的证明方法:证明:∵BE=AB,∴AE=2AB.又∵AD=2AB,∴AD=AE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴.(平行线分线段成比例)∵BE=AB,∴EM=1,∴EM=DM,DM即AM是△ADE的边DE上的中线.又∵AD=AE,∴.(等腰三角形的“三线合一”)∴AM垂直平分DE.反思交流(1)请将上述证明过程补充完整;(2)小颖受到小明的启发,继续进行探究,如图(2),连接CE,以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG,发现点G在线段BC的垂直平分线上,请你给出证明;图(1)图(2)拓展应用(3)如图(3),连接CE,以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG,分别以点B,C 为圆心,m为半径作弧,两弧交于点M,连接MF.若MF=AB=1,请直接写出m的值.图(3)11.[2022商丘二模]如下是小明复习全等三角形时遇到的一个问题及由此引发的思考,请帮助小明完成以下学习任务.如图(1),OC平分∠AOB,点P在OC上,点M,N分别是OA,OB上的点,且OM=ON.求证:PM=PN.小明的思考:要证明PM=PN,只需证明△MOP≌△NOP即可.证明:如图(1),∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC.又∵OP=OP,OM=ON,∴△MOP≌△NOP,∴PM=PN.请仔细阅读并完成以下任务.(1)小明得出△MOP≌△NOP的依据是(填序号).①SSS ②SAS ③AAS ④ASA⑤HL(2)如图(2),在四边形ABCD中,AB=AD+BC,∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于CD边上的点P.求证:PC=PD.,当△PBC有一个内角是45°时,△PAD(3)在(2)的条件下,若AB=10,tan∠PAB=12的面积是.图(1)图(2)备用图(1)备用图(2)类型 3 类比、拓展探究题12.[2021湖北仙桃]已知△ABC和△DEC都为等腰三角形,AB=AC,DE=DC,∠BAC=∠EDC=n°.(1)当n=60时:①如图(1),当点D在AC上时,请直接写出BE与AD的数量关系:;②如图(2),当点D不在AC上时,判断线段BE与AD的数量关系,并说明理由.(2)当n=90时:①如图(3),探究线段BE 与AD 的数量关系,并说明理由; ②当BE ∥AC ,AB=3√2,AD=1时,请直接写出DC 的长.图(1) 图(2) 图(3)答案：1.(1)∠ABP ,∠PBM ,∠MBC 或∠BME (注:任意写出一个即可) (2)①15 15②∠MBQ=∠CBQ. 理由如下:∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC ,∠A=∠C=90°. 由轴对称性质,得BM=AB ,∠BMP=∠A=90°,∴∠BMQ=90°=∠C ,BM=BC.又∵BQ 是公共边,∴Rt △MBQ ≌Rt △CBQ ,∴∠MBQ=∠CBQ.(3)4011 cm 或2413cm. 解法提示:由翻折的性质知AP=PM ,DF=CF=4. 由(2)可知,△MBQ ≌△CBQ ,∴MQ=CQ. 分两种情况讨论.①当点Q 在EF 下方时,如图(1),则MQ=CQ=4-1=3,DQ=4+1=5,PQ=AP+3,PD=8-AP. 由勾股定理,得PD 2+DQ 2=PQ 2,∴(8-AP )2+52=(AP+3)2,∴AP=4011.图(1)②当点Q 在EF 上方时,如图(2),则MQ=CQ=4+1=5,DQ=4-1=3,PQ=AP+5,PD=8-AP. 由勾股定理,得PD 2+DQ 2=PQ 2,∴(8-AP )2+32=(AP+5)2,∴AP=2413.图(2)综上所述,AP 的长为4011 cm 或2413cm. 2.(1)8√2(2)如图(1),连接MM'交PQ 于点O ,连接EF.图(1)由折叠的性质知,点O 为MM'的中点. 又∵点Q 为BM 边的中点,∴QO ∥BM',即QP ∥BF ,∴∠PQM=∠FBM.∵点E 是AN 边的中点,且将△ABE 沿BE 折叠得到△A'BE , ∴EN=EA',∠EA'F=∠N=90°. 又∵EF=EF ,∴Rt △NEF ≌Rt △A'EF. 设NF=x ,则A'F=x ,MF=8-x ,∴BF=BA'+A'F=BA+A'F=8+x.在Rt △BMF 中,由勾股定理,得BM 2+FM 2=BF 2, 即82+(8-x )2=(8+x )2,解得x=2,∴FM=6,∴tan ∠FBM=FM BM =68=34,∴tan ∠PQM=34. (3)BQ 的长为398. 解法提示:如图(2),连接MM'交PQ 于点G.图(2)由折叠的性质知,PQ 垂直平分MM',∴∠QPM+∠PMM'=90°.∵∠PMQ=90°,∴∠PMM'+∠M'MB=90°, ∴∠QPM=∠M'MB.由(2)知,(2)中∠PQM=∠M'BM. 又∵∠QPM 与(2)中的∠PQM 相等,∴∠M'BM=∠M'MB.过点M'作M'H ⊥BM 于点H ,则BH=MH=4,M'H BH =34, ∴M'H=3.设MQ=M'Q=a ,则HQ=4-a.在Rt △M'HQ 中,根据勾股定理,得M'H 2+HQ 2=M'Q 2, 即32+(4-a )2=a 2,解得a=258, ∴BQ=8-258=398. 3.(1)①是解法提示:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠A=∠C ,∠ABC=∠ADC ,AD ∥BC. 如图(1),由折叠可知,∠A=∠1,∠C=∠2,图(1)∴∠1=∠2,∴∠ABC-∠1=∠ADC-∠2,即∠3=∠4. ∵AD ∥BC ,∴∠4+∠5=180°,∴∠3+∠5=180°, ∴BG ∥DH ,∴四边形BHDG 是平行四边形. ②∠A=45°(答案不唯一,正确即可) 解法提示:∵四边形BHDG 是矩形,∴∠BGD=90°,∴∠AGB=90°, 又由折叠可知,AG=A'G ,∴∠A=45°. (2)四边形A'HC'G 是平行四边形. 证明:如图(2),连接GH.图(2)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠A=∠C ,AB=CD ,AD ∥BC. ∵点E ,F 分别是AB ,CD 的中点,∴AE=12AB ,CF=12CD ,∴AE=CF. ∵AG=CH ,∴△AEG ≌△CFH , ∴∠1=∠3.由折叠可知,∠1=∠2,∠3=∠4,AG=A'G ,CH=C'H ,∴∠1=∠2=∠3=∠4,A'G=C'H. ∵AD ∥BC ,∴∠AGH=∠CHG ,∴∠5=∠6, ∴A'G ∥C'H ,∴四边形A'HC'G 是平行四边形. (3)2√3或4√3解法提示:当A'G ∥BC 时,如图(3),点A'落在AD 上,EG ⊥AD ,则A'G=AG=12AE=1,∴S 四边形A'HC'G =A'G ·AB sin 60°=1×4×√32=2√3.图(3)当A'G ∥AB 时,如图(4),则∠AGA'=120°,∴∠AGE=∠A'GE=60°,图(4)从而易得△AEG ,△A'EG ,△CHF ,△C'HF 均是等边三角形,EA'∥BC ,C'F ∥AD ,∴S 四边形A'HC'G =S ▱ABCD -4S △AEG -2S 四边形A'EBH=8×4×√32-4×√34×22-2×12×(2+6)×2×√32=4√3. 综上可知,四边形A'HC'G 的面积为2√3或4√3. 4.(1)正方形(2)由题意可知,AB∶AD=3∶2,∴设AD=2a ,AB=3a , ∴BM=BC=AD'=2a ,∴BD'=a ,∴sin ∠BMD'=a 2a =12,∴∠BMD'=30°.又ED'∥AD ∥BC ,∴∠MBC=∠BMD'=30°. (3)①HF=HB②FC 的长为3-√5或23. 解法提示:①∵DC ∥AB ,∴∠CFB=∠ABF. 由折叠可知∠CFB=∠NFB ,∴∠ABF=∠NFB ,∴HF=HB.②设FC=NF=x ,分两种情况讨论.a.当射线FN 经过AD'的中点时,点H 即为AD'的中点,如图(1),则HF=HB=3,∴HN=3-x.在Rt △HBN 中,由勾股定理,得HN 2+BN 2=HB 2,∴(3-x )2+22=32,解得x=3-√5(不合题意的值已舍去),∴FC=3-√5.图(1)b.当射线FN 经过ED'的中点P 时,如图(2), 易证△HD'P ≌△FEP ,∴HD'=EF=2-x ,∴HF=HB=2-x+2=4-x , ∴HN=4-x-x=4-2x.在Rt △HBN 中,由勾股定理,得BN 2+HN 2=HB 2,∴22+(4-2x )2=(4-x )2,解得x=23(不合题意的值已舍去),∴FC=23.图(2)综上可知,当射线FN 经过△AED'的直角边的中点时,FC 的长为3-√5或23. 5.(1)△ADP ,△ABP ,△BDQ (2)①四边形BEFG 是菱形. 理由如下:由折叠知∠BEG=∠FEG.∵FG ∥BC ,∴∠EGF=∠BEG , ∴∠EGF=∠FEG ,∴FG=FE. 又∵FE=BE ,∴FG=BE ,∴四边形BEFG 是平行四边形. 又∵FE=BE ,∴四边形BEFG 是菱形.②224-128√3解法提示:由折叠的性质知AF=AB=8.在Rt △ADF 中,由勾股定理得DF=√AF 2-AD 2=√82-42=4√3,∴CF=8-4√3. 设BE=y ,则EF=y ,CE=4-y.在Rt △CEF 中,由勾股定理得EF 2=CF 2+CE 2, 即y 2=(8-4√3)2+(4-y )2,解得y=16-8√3,∴S 四边形BEFG =BE ·CF=(16-8√3)×(8-4√3)=128-64√3-64√3+96=224-128√3.(3)BN 的长为103或53. 解法提示:分两种情况讨论.①当点B'落在离点D 较近的三等分点上时,如图(1),过点B'作B'H ⊥AB 于点H ,易知B'H=83,BH=163,B'N=BN ,∴HN=163-BN. 根据勾股定理,得B'H 2+HN 2=B'N 2,即(83)2+(163-BN )2=BN 2,∴BN=103.图(1) 图(2)②当点B'落在离点B 较近的三等分点上时,如图(2),同理可求得BN=53. 综上可知,BN 的长为103或53. 6.(1)△BEH√k 2+255(2)证明:如图(1),过点K 分别作KN ⊥BC 于点N ,KM ⊥CD 于点M , 则KN=KM ,∠MKN=90°=∠BKH ,∴∠TKM=∠BKN.又∠TMK=∠BNK=90°,∴△TMK ≌△BNK ,∴BK=KT.图(1)(3)CK 的长为√7或√67.解法提示:分如图(2)、图(3)所示的两种情况讨论,连接CG ,过点K 作KP ⊥BC ,垂足为点P.图(2)图(3)∵CK=CH ,∴∠CKH=∠CHK ,∴∠CKB=∠CHG. 又KB=HG ,∴△CKB ≌△CHG ,∴CG=CB=BG ,∴△CBG 是等边三角形, ∴∠CBG=60°. 图(2)中∠KBC=30°,∴KP=12KB=√3,BP=√32KB=3, ∴CP=2,∴CK=√(√3)2+22=√7. 图(3)中∠KBP=30°,∴KP=12KB=√3,BP=√32KB=3, ∴CP=8,∴CK=√(√3)2+82=√67. 综上可知,CK 的长为√7或√67. 7.(1)6(2)由(1)得AC'=6,∴BC'=AB -AC'=10-6=4.在Rt △BEC'中,设BE=x ,则EC'=EC=8-x ,根据勾股定理,得(8-x )2=x 2+42, 解得x=3,即BE=3,∴EC'=EC=5.连接EE',由平移可知,EE'=C'B=4,EE'∥AB ∥CD ,DE ∥D'E',∴△FEE'∽△FCD'∽△ECD , ∴EF∶EE'=EC∶DC=5∶10=1∶2, 又EE'=4,∴EF=2.(3)平移的距离为85或385. 解法提示:设平移的距离为x. 分两种情况讨论.①当点C″在BC 左侧时,如图(1),则BC″=4-x ,D'C=10-x ,∴CP=D'C ·tan ∠CD'P=D'C ·tan ∠CDE=510(10-x )=12(10-x ),BQ=BC″·tan ∠QC″B=BC″·tan ∠ADC'=68(4-x )=34(4-x ). 又CP+PQ+BQ=8,PQ=2,∴12(10-x )+2+34(4-x )=8,解得x=85.图(1) 图(2)②当点C″在BC 右侧时,如图(2),则BC″=x -4,D'C=10-x ,∴CP=D'C ·tan ∠CD'P=12(10-x ),BQ=BC″·tan ∠QC″B=BC″·tan ∠AC'D=43(x-4). 又CP+PQ+BQ=8,PQ=2,∴12(10-x )+2+43(x-4)=8,解得x=385.综上可知,平移的距离为85或385. 8.(1)等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合 (2)是. 理由如下:由作图可知,CA=CB ,CD=CE. 又∵∠ACE=∠BCD ,∴△ACE ≌△BCD , ∴∠CAE=∠CBD. ∵CA=CB ,∴∠CAB=∠CBA , ∴∠PAB=∠PBA ,∴AP=BP ,∴直线CP 是线段AB 的垂直平分线. (3)线段CD 的长为√3+1或3√3+3. 解法提示:∵CD=CE ,∠C=∠C ,CA=CB ,∴△CAE ≌△CBD ,∴∠CAE=∠CBD. ∵CA=CB ,∠ACB=30°, ∴∠CAB=∠CBA=75°,∴∠PBA=∠PAB=45°,∴∠APB=90°, ∴PA=PB=√22AB=√3. 分两种情况讨论.①当点P 在AB 上方时,如图(1),图(1)则∠DAP=∠EBP=30°,∠APD=90°,∴DB=DC ,DP=√33AP=1,∴CD=DB=√3+1. ②当点P 在AB 下方时,如图(2), 则∠DAP=∠EBP=60°,∠APD=90°,∴∠ADP=30°,∴BD=BC,DP=√3AP=3,AD=2AP=2√3,∴BC=BD=√3+3,∴CD=CA+AD=CB+AD=√3+3+2√3=3√3+3.综上可知,线段CD的长为√3+1或3√3+3.图(2) 9.问题发现192知识迁移 5拓展延伸(1)BE=DE+GF.理由:如图(1),过点G作GH⊥BE于点H.图(1)∵BE⊥CD,GF⊥CD,∴∠HEF=∠EFG=∠EHG=90°,∴四边形EFGH为矩形,∴EH=GF,EF=GH.∵EF=BE,∴GH=BE.∵∠MBN=90°,∠BHG=90°,∴∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3.又∵∠BED=∠GHB=90°,BE=GH,∴△BDE≌△GBH(ASA),∴DE=BH,∴BE=BH+EH=DE+GF.(2)92或323. 解法提示:分两种情况讨论.①当点F 在线段EC 上时,如图(2).图(2)由(1)可得BE=DE+GF. 设BE=EF=m ,则EC=m+2.在Rt △BEC 中,根据勾股定理,得BE 2+CE 2=BC 2, 即m 2+(m+2)2=102,解得m=6(负值已舍),∴BE=EF=6.易证△CFG ∽△CEB ,∴CF CE =GF BE ,即22+6=GF 6, ∴GF=32,∴DE=BE -GF=6-32=92. ②当点F 在线段EC 的延长线上时,如图(3).图(3)同(1)中方法可得BE=DE-GF. 设BE=EF=n ,则EC=n-2.在Rt △BEC 中,根据勾股定理,得BE 2+CE 2=BC 2, 即n 2+(n-2)2=102,解得n=8(负值已舍),∴BE=EF=8.易证△CFG ∽△CEB ,∴CF CE =GF BE ,即28−2=GF 8, ∴GF=83,∴DE=BE+GF=8+83=323.10.(1)EM DM =EBAB AM ⊥DE(2)证明:如图(1),过点G 作GH ⊥BC 于点H.图(1)∵四边形ABCD 是矩形,点E 在AB 的延长线上, ∴∠CBE=∠GHC=90°,∴∠BCE+∠BEC=90°. ∵四边形CEFG 为正方形, ∴CG=CE ,∠GCE=90°,∴∠BCE+∠BCG=90°,∴∠BEC=∠BCG , ∴△GHC ≌△CBE ,∴HC=BE. ∵AD=BC=2AB ,BE=AB ,∴BC=2BE=2HC , ∴HC=BH ,∴GH 垂直平分BC , 即点G 在线段BC 的垂直平分线上. (3)√5或√17.解法提示:同(2)中思路可证得点F 在线段BC 的垂直平分线上.如图(2),过点F 作FN ⊥BC 于点N ,连接CF ,则CF=√2CE=√2×√22+12=√10,CN=1,∴NF=√(√10)2-12=3.图(2)由作图过程可知,点M 在线段BC 的垂直平分线上,故分两种情况讨论.①当点M 在点F 左侧时,如图(3),连接MC ,图(3)则NM=3-1=2,∴m=CM=√22+12=√5.②当点M在点F右侧时,如图(4),连接MC,图(4)则NM=3+1=4,∴m=CM=√42+12=√17.综上可知,m的值为√5或√17.11.(1)②(2)如图(1),在AB上取点E,使得AE=AD,连接PE.图(1)∵AP平分∠DAE,∴∠DAP=∠EAP.又∵AP=AP,AD=AE,∴△DAP≌△EAP,∴PD=PE.∵AD+BC=AB=AE+BE,AD=AE,∴BC=BE.∵BP平分∠CBE,∴∠CBP=∠EBP.又∵BP=BP,∴△EBP≌△CBP,∴PE=PC,∴PC=PD.(3)8或403解法提示:如图(1),由(2)可得△DAP ≌△EAP ,△EBP ≌△CBP ,∴∠DPA=∠EPA ,∠CPB=∠EPB ,∠D=∠AEP ,∠C=∠BEP. 又∵∠DPA+∠EPA+∠CPB+∠EPB=180°,∠AEP+∠BEP=180°,∴∠APB=∠EPA+∠EPB=90°,∠D+∠C=180°, ∴AD ∥BC.在Rt △PAB 中,tan ∠PAB=12,∠APB=90°, 故可设BP=x ,AP=2x ,∴AB=√x 2+(2x)2=√5x=10, 解得x=2√5,∴AP=4√5,sin ∠PAB=1√5. 易知∠PBC>45°,故分两种情况讨论.①当∠C=45°时,如图(2),图(2)过点P 作PM ⊥AD ,交AD 的延长线于点M ,则∠MDP=∠C=45°,∴MP=MD. 又∵tan ∠MAP=tan ∠PAB=12,∴AM=2MP , ∴AD=MD=MP=AP ·sin ∠MAP=4, ∴S △PAD =12×4×4=8. ②当∠BPC=45°时,如图(3),图(3)过点D 作DN ⊥AP 于点N ,则∠DPN=180°-45°-90°=45°,∴NP=ND.∵tan ∠DAP=tan ∠PAB=12,∴AN=2ND. 又∵AP=AN+NP ,∴4√5=2ND+ND ,∴ND=4√53,∴S △PAD =12×4√5×4√53=403. 综上可知,△PAD 的面积为8或403.12.(1)①BE=AD②BE=AD. 理由如下:当点D 不在AC 上时,∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=60°,∠DCE=∠BCE+∠DCB=60°,∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD 和△BCE中,{AC =BC,∠ACD =∠BCE,DC =EC,∴△ACD ≌△BCE ,∴AD=BE. (2)①BE=√2AD. 理由如下:当n=90时,在等腰直角三角形DEC 中,DC EC =sin 45°=√22, 在等腰直角三角形ABC 中,AC BC =sin 45°=√22.∵∠ACB=∠ACE+∠ECB=45°,∠DCE=∠ACE+∠DCA=45°,∴∠ECB=∠DCA. 在△DCA 和△ECB中,{DCEC=AC BC=√22,∠DCA =∠ECB,∴△DCA ∽△ECB ,∴AD BE =√22,∴BE=√2AD. ②5或√13.解法提示:当点D 在△ABC 外部时,设EC 与AB 交于点F ,如图(1)所示.图(1)∵AB=3√2,AD=1,由上可知:AC=AB=3√2,BE=√2AD=√2. 又∵BE ∥AC ,∴∠EBF=∠CAF=90°.而∠EFB=∠CFA ,∴△EFB ∽△CFA ,∴EF CF =BF AF =BE AC =√23√2=13,∴AF=3BF ,而AB=BF+AF=3√2,∴BF=14×3√2=3√24. 在Rt △EBF 中,EF=√EB 2+BF 2=(√2)2+(3√24)2=5√24. 又∵CF=3EF=3×5√24=15√24, ∴EC=EF+CF=5√24+15√24=5√2. 在等腰直角三角形DEC 中,DC=EC ·sin 45°=5√2×√22=5.当点D 在△ABC 内部时,设AB 延长线与CE 延长线交于点F ,如图(2),图(2)∵AB=3√2,AD=1,由上可知:AC=AB=3√2,BC=√2AB=6,BE=√2AD=√2. 又∵BE ∥AC ,∴△EFB ∽△CFA ,∴FB FA =BE AC =13, ∴BF=12AB=3√22,AF=AB+BF=3√2+3√22=9√22. 在Rt △ACF 中,CF=√AC 2+AF 2=3√262.CE=23CF=23×3√262=√26. 在等腰直角三角形DEC 中,DC=√22CE=√13. 综上所述,满足条件的CD 的值为5或√13.。

2013年南娄中学初三数学专题复习（4）四、实践操作探究类课 题 解 读近年来中考数学试题加强了对学生动手操作能力的考查，这类试题能够有效地考查学生的实践能力、创新意识和直觉思维能力，解决这类问题需要通过观察、操作、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等实践活动和思维过程，灵活运用所学知识和生活经验，探索和发现结论，从而解决问题。

因此，实践操作问题将成为今后中考的热点题型。

学习过程一、典例学习1、（2012浙江）如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为【 】 A ． 1B ．3C ． 2D ．3＋12、（2012江苏苏州）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E3、E4、C 3在x 轴上．若正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，则点A 3到x 轴的距离是【 】A.3+318 B. 3+118 C. 3+36 D.3+163、（2012福建三明）如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在x 轴上，若以P ，O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P 共有【 】 A ． 2个 B ． 3个 C ．4个D ．5个xy E 4C 3E 3C 2E 2E 1D 1C 1B 2A 3A 2A 1B 3B 1O4、（2012山东东营）如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数4y=x的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD．其中正确的结论是【】A．①②B．①②③C．①②③④ D．②③④5、（2012浙江衢州）如图，已知函数y=2x和函数ky=x的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是．6、（2012四川成都）如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC 与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．(注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为cm，最大值为cm．7、（2012湖北黄石）如图1所示：等边△ABC中，线段AD为其内角平分线，过D点的直线B 1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1.（1）请你探究：AC CDAB DB=，1111AC C DAB DB=是否成立?（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角平分线，请问AC CDAB DB=一定成立吗？并证明你的判断.（3）如图2所示Rt△ABC中，∠ACB=900，AC=8,AB403=，E为AB上一点且AE=5，CE交其内角角平分线AD与F.试求DFFA的值.8、（2012湖北武汉）已知△ABC中，AB＝25，AC＝45，BC＝6．(1)如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC 相似，求线段MN的长；(2)如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1与△ABC全等(画出一个即可，不需证明)；②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个(不需证明)．2013年南娄中学初三数学专题复习（4）四、实践操作探究类二、巩固提高1、（2012江苏徐州）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=14BC。

中考数学压轴大题冲刺专项训练综合探究类1．综合与实践问题背景：综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究．下面是创新小组在操作过程中研究的问题，如图一，△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．操作与发现：（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是，CF= ；（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是，CF= ．操作与探究：（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF，BF．经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论．2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C为格点，D为小正方形边的中点.（1）AC的长等于_________；取得最小值时，请在如图所示的网格中，用（2）点P，Q分别为线段BC，AC上的动点，当PD PQPQ，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（不要求证明）.无刻度．．．的直尺，画出线段PD，3．数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．探索研究：（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图3，请利用图3证明勾股定理；数学思考：（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．4．综合与探究（实践操作）三角尺中的数学数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C．（问题发现）（1）①填空：如图1，若∠ACB＝145°，则∠ACE的度数是，∠DCB的度数，∠ECD的度数是．②如图1，你发现∠ACE与∠DCB的大小有何关系？∠ACB与∠ECD的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．（类比探究）（2）如图2，当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．5．操作：将一把三角尺放在如图①的正方形ABCD中，使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q ，探究：(1)如图②，当点Q 在DC 上时，求证：PQ PB =.(2)如图③，当点Q 在DC 延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由.6．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处，得到折痕DE ，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD 沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，C F '交DE 于点N ，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，填空：四边形AEA D '的形状是_____________________；（2）如图2，线段MC '与ME 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由； （3）如图2，若2cm,'4cm AC DC '==，求:DN EN 的值． 7．综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验． 实践发现：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点N 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，把纸片展平，连接AN ，如图①．（1）折痕BM （填“是”或“不是”）线段AN 的垂直平分线；请判断图中△ABN 是什么特殊三角形？答： ；进一步计算出∠MNE ＝ °；（2）继续折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点H 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BG ，把纸片展平，如图②，则∠GBN ＝ °； 拓展延伸：（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD ，使点A 落在BC 边上的点A '处，并且折痕交BC 边于点T ，交AD 边于点S ，把纸片展平，连接AA '交ST 于点O ，连接AT ． 求证：四边形SATA '是菱形． 解决问题：（4）如图④，矩形纸片ABCD 中，AB ＝10，AD ＝26，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点A '处，并且折痕交AB 边于点T ，交AD 边于点S ，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT 的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值 ． 8．综合与实践 问题情境数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，ACD 和BCE 是两个等边三角形纸片，其中，52AC cm BC cm ==,．解决问题（1）勤奋小组将ACD 和BCE 按图1所示的方式摆放(点,,A C B 在同一条直线上) ，连接,AE BD ．发现AE DB ，请你给予证明；（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将BCE 绕着点C 逆时针方向旋转，当点E 恰好落在CD 边上时，求ABC 的面积；拓展延伸（3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题： “将BCE 沿CD 方向平移acm 得到''',B C E 连接''AB B C ,，当'AB C △恰好是以'AB 为斜边的直角三角形时，求a 的值．请你直接写出a 的值．9．动手做一做：某校教具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的塑料若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块恰好拼成一个矩形（如图1），后来又用它们拼出了XYZ 等字母模型（如图2、图3、图4），每个塑料板保持图1的标号不变，请你参与： （1）将图2中每块塑料板对应的标号填上去；（2）图3中，点画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板， 并填上标号； （3）在图4中，找出7块塑料板，并填上标号．10．已知：如图1，在O 中，弦2AB =，1CD =，AD BD ⊥．直线,AD BC 相交于点E ．（1）求E ∠的度数；（2）如果点,C D 在O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线,AD BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）． ①如图2，弦AB 与弦CD 交于点F ； ②如图3，弦AB 与弦CD 不相交： ③如图4，点B 与点C 重合．11．综合与实践：折纸中的数学 问题背景在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片ABCD 按如图①所示方式折叠，使点C 与点A 重合，点D 落到D ′处，折痕为EF ．这时同学们很快证得：△AEF 是等腰三角形．接下来各学习小组也动手操作起来，请你解决他们提出的问题． 操作发现(1) “争先”小组将矩形纸片ABCD 按上述方式折叠，如图②，发现重叠部分△AEF 恰好是等边三角形，求矩形ABCD 的长、宽之比是多少？ 实践探究(2)“励志”小组将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，如图③，使B 点落在AD 边上的B ′处；沿B ′G 折叠，使D 点落在D ′处，且B ′D ′过F 点．试探究四边形EFGB ′是什么特殊四边形？ (3)再探究：在图③中连接BB ′，试判断并证明△BB ′G 的形状．12．综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，在△ABC中，AB ＝AC＝10cm，BC＝16cm．将△ABC沿BC边上的中线AD剪开，得到△ABD和△ACD．操作发现：（1）乐学小组将图1中的△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得A'C'⊥AD，得到图2，A'C'与AB交于点E，则四边形BEC'D的形状是．（2）缜密小组将图1中的△ACD沿DB方向平移，A'D'与AB交于点M，A'C'与AD交于点N，得到图3，判断四边形MNDD'的形状，并说明理由．实践探究：（3）缜密小组又发现，当（2）中线段DD'的长为acm时，图3中的四边形MNDD'会成为正方形，求a的值．（4）创新小组又把图1中的△ACD放到如图4所示的位置，点A的对应点A'与点D重合，点D的对应点D'在BD的延长线上，再将△A'C'D'绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置，DD'交AB于点P，DC'交AB于点Q，DP＝DQ，此时线段AP的长是cm．参考答案与试题解析1．综合与实践问题背景：综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究．下面是创新小组在操作过程中研究的问题，如图一，△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．操作与发现：（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是，CF= ；（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是，CF= ．操作与探究：（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF，BF．经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论．【解析】（1）如图所示：△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，∴60,2∠=∠=︒==，ABC FED BC EF∴90∠=∠=∠=︒，∴四边形ACBF是矩形，AB=4∴，C F FAC∴AB=CF=4；故答案为：矩形，4 ；（2）如图所示：△ABC ≌△DEF ， 其中∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，∴60,2ABC FED BC EF ∠=∠=︒==，∴//BC EF ，∴四边形ECBF 是平行四边形，点E 与AB 的中点重合，∴CE=BE ，∴CBE △是等边三角形，∴EC=BC ，∴四边形ECBF 是菱形，∴CF 与EB 互相垂直且平分， ∴33OC EC ==，∴23CF =， 故答案为：菱形，23； （3）证明：如图所示：∵90,3060C A ABC ∠=︒∠=︒∴∠=︒ ∵//,DE BC DEF ABC ≌ ∴60DEB DEF ABC ∠=∠=∠=︒ ∴60AEF ∠=︒∵24,2AB BC AE ==∴= ∵2EF BC AE EF ==∴= ∴AEF ∆为等边三角形 ∴60FAE ABC ∠=︒=∠∴//BC AF ∵AE EF BC ==∴四边形ACBF 为平行四边形 ∵90C ∠=︒∴四边形ACBF 为矩形．2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A ，B ，C 为格点，D 为小正方形边的中点.（1）AC 的长等于_________；（2）点P ，Q 分别为线段BC ，AC 上的动点，当PD PQ +取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出线段PD ，PQ ，并简要说明点P 和点Q 的位置是如何找到的（不要求证明）. 【解析】解：（1）由图可得： 22345+=， 故答案为：5；（2）如图，BC 与网格线相交，得点P ；取格点E ，F ，连接EF ，与网格线相交，得点G ，取格点M ，N ，连接MN ，与网格线相交，得点H ，连接GH ，与AC 相交，得点Q .连接PD ，PQ .线段PD ，PQ即为所求.如图，延长DP ，交网格线于点T ，连接AB ，GH 与DP 交于点S ， 由计算可得：20，5AC=5， ∴△ABC 为直角三角形，∠ABC=90°， ∴tan ∠ACB=2， ∵tan ∠BCT=PT ：TC=2，∴∠ACB=∠BCT ，即BC 平分∠ACT ， 根据画图可知：GH ∥BC ，∴∠ACB=∠CQH ，∠BCT=∠GHC ， ∵∠BCT=∠BCA ，∴∠CQH=∠GHC，∴CQ=CH，由题意可得：BS=CH，∴BS=CQ，又∵BP=CP，∠PBS=∠PCQ，∴△BPS≌△CPQ，∴∠PSB=∠PHC=90°，即PQ⊥AC，∴PD+PQ的最小值即为PD+PT，∴所画图形符合要求.3．数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．探索研究：（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图3，请利用图3证明勾股定理；数学思考：（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．【解析】（1）解：如图3所示，图形的面积表示为：2222122a b ab a b ab ++⨯=++， 图形的面积也可表示：22122c ab c ab +⨯=+， ∴a 2+b 2+ab =c 2+ab ，∴a 2+b 2=c 2（2）解：如图4所示，大正方形的面积表示为：(a +b )2，大正方形的面积也可以表示为：221422c ab c ab +⨯=+， ∴22()2a b c ab +=+，∴a 2+b 2+2ab =c 2+2ab ，∴a 2+b 2=c 2；4．综合与探究（实践操作）三角尺中的数学数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C ．（问题发现）（1）①填空：如图1，若∠ACB ＝145°，则∠ACE 的度数是 ，∠DCB 的度数 ，∠ECD 的度数是 ．②如图1，你发现∠ACE 与∠DCB 的大小有何关系？∠ACB 与∠ECD 的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．（类比探究）（2）如图2，当△ACD 与△BCE 没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．【解析】解：（1）①1459055ACE DCB ∠=∠︒︒︒=﹣=，905535ECD BCE BCD ∠∠-∠︒︒=︒==﹣；②结论：ACE DCB ∠=∠，180ACB ECD ∠+∠︒=；证明：∵90ACE ACB BCE ACB ∠=∠-∠=∠-︒，90DCB ACB ACD ACB ∠=∠-∠=∠-︒ ∴ACE DCB ∠=∠∵9090180ACB ACD BCE ECD ECD ECD ∠=∠+∠-∠=︒+︒-∠=︒-∠∴180ACB ECD ∠+∠︒=（2）结论：当ACD 与BCE 没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立．理由：∵90ACD ECB ∠=∠=︒，∴ACD DCE ECB DCE ∠+∠=∠+∠，∴ACE DCB ∠=∠，∵90ACD ECB ∠=∠=︒，∴180ACD ECB ∠+∠︒=，∵360ACD ECD ECB ACB ∠+∠+∠+∠︒=，∴180ACB ECD ∠+∠︒=，∴ACE DCB ∠=∠，180ACB ECD ∠+∠︒=．∴上述②中发现的结论依然成立．故答案为：（1）①55°， 55°， 35°；②∠ACE ＝∠DCB ，∠ACB +∠ECD ＝180°；（2）当△ACD 与△BCE 没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立，理由详见解析5．操作：将一把三角尺放在如图①的正方形ABCD中，使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，探究：=.(1)如图②，当点Q在DC上时，求证：PQ PB(2)如图③，当点Q在DC延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由.MN，分别交AB于点M，交CD于点N，【解析】(1)证明：过点P作//BC则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形．∴NP=NC=MB∵∠BPQ=90°∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90°，∴∠QPN=∠PBM，又∠QNP=∠PMB=90°，在△QNP和△BMP中，∠QNP=∠PMB，MB=NP，∠QPN=∠PBM∴△QNP≌△PMB（ASA），∴PQ=BP．(2)成立.⊥于N,PN交CD于点M过点P作PN AB在正方形ABCD 中//AB CD ,45ACD ∠=∴90PMQ PNB CBN ∠=∠=∠=∴CBNM 是矩形，∴CM BN =，∴CMP ∆是等腰直角三角形，∴PM CM BN ==，∵90PBN BPN ∠+∠=，90BPN MPQ ∠+∠=∴MPQ PBN ∠=∠，在PMQ ∆和BNP ∆中，90MPQ PBN PNB PMQ BN PM ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴()PMQ BNP AAS ∆≅∆，∴BP QP =；6．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处，得到折痕DE ，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD 沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，C F '交DE 于点N ，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，填空：四边形AEA D '的形状是_____________________；（2）如图2，线段MC '与ME 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若2cm,'4cm AC DC '==，求:DN EN 的值．【解析】（1）解：∵ABCD 是平行四边形，∴'////AD BC EA ，'//AE DA∴四边形'AEA D 是平行四边形∵矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处∴'AED A ED ≌∴'AE A E =∵90A ∠=∴四边形AEA D '的形状是正方形故最后答案为：四边形AEA D '的形状是正方形；（2）MC ME '=理由如下：如图，连接EC '，由（1）知：AD AE =∵四边形ABCD 是矩形，∴90AD BC EAC B '=∠=∠=︒，由折叠知：B C BC B B '''=∠=∠，∴90AE B C EAC B ''''=∠=∠=︒，又EC C E ''=，∴Rt EC A Rt C EB '''≌∴C EA EC B '''∠=∠∴MC ME '=（3）∵Rt EC A Rt C EB '''≌，∴AC B E ''=由折叠知：B E BE '=，∴AC BE '=∵2(cm)4(cm)AC DC ''==，∴()2428cm AB CD ==++=设cm DF x =，则()8cm FC FC x '==-在Rt DC F '中，由勾股定理得：2224(8)x x +=-解得：3x =，即()3cm DF =如图，延长BA FC '，交于点G ，则AC G DC F ''∠=∠ ∴3tan tan 4AG DF AC G DC F AC DC ''∠=∠==='' ∴3(cm)2AG =∴3156(cm)22EG =+= ∵//DF EG ，∴DNF ENG ∽ ∴152::3:25DN EN DF EG === 7．综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点N 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，把纸片展平，连接AN ，如图①．（1）折痕BM（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：；进一步计算出∠MNE＝°；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝°；拓展延伸：（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA'是菱形．解决问题：（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值．【解析】解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，∴EF垂直平分AB，∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，∴AB＝BN，∴AB＝AN＝BN，∴△ABN是等边三角形，∴∠EBN＝60°，∴∠ENB＝30°，∴∠MNE＝60°，故答案为：是，等边三角形，60；（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，∴∠ABG＝∠HBG＝45°，∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，故答案为：15°；（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，∴ST垂直平分AA'，∴AO＝A'O，AA'⊥ST，∵AD∥BC，∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，∴△ASO≌△A'TO（AAS）∴SO＝TO，∴四边形ASA'T是平行四边形，又∵AA'⊥ST，∴边形SATA'是菱形；（4）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，∴AT＝A'T，在Rt△A'TB中，A'T＞BT，∴AT＞10﹣AT，∴AT＞5，∵点T在AB上，∴当点T与点B重合时，AT有最大值为10，∴5＜AT≤10，∴正确的数值为7，9，故答案为：7，9．8．综合与实践问题情境数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，ACD 和BCE 是两个等边三角形纸片，其中，52AC cm BC cm ==,．解决问题（1）勤奋小组将ACD 和BCE 按图1所示的方式摆放(点,,A C B 在同一条直线上) ，连接,AE BD ．发现AE DB =，请你给予证明；（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将BCE 绕着点C 逆时针方向旋转，当点E 恰好落在CD 边上时，求ABC 的面积；拓展延伸（3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：“将BCE 沿CD 方向平移acm 得到''',B C E 连接''AB B C ,，当'AB C △恰好是以'AB 为斜边的直角三角形时，求a 的值．请你直接写出a 的值．【解析】（1）∵ACD 和BCE 是两个等边三角形，∴AC=CD ，BC=CE ，∠ACD=∠ECB=60°，∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE,即∠ACE=∠DCB ，∴△ACE ≌△DCB ，∴AE=BD ；（2）由题意得∠ACD=∠ECB=60°，过点B 作BF ⊥AC ，交AC 的延长线于F ，∴∠BCF=180°-∠ACD-∠ECB=60°，∠F=90°，∴∠CBF=30°，∴CF=12BC=1cm ， ∴BF=223BC CF -=cm ，∴115322ABC S AC BF =⋅=⨯⨯=53；（3）由题意得∠ACD=E C B '''∠=60°，∵∠ACB '=90°，∴30C CB ''∠=,∵C CB C B C E C B '''''''∠+∠=∠,∴30C B C ''∠=,∴C C C B '''==2cm ，∴a=2.9．动手做一做：某校教具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的塑料若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块恰好拼成一个矩形（如图1），后来又用它们拼出了XYZ 等字母模型（如图2、图3、图4），每个塑料板保持图1的标号不变，请你参与：（1）将图2中每块塑料板对应的标号填上去；（2）图3中，点画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板， 并填上标号； （3）在图4中，找出7块塑料板，并填上标号．【解析】（1）如下图（2）如下图（3）如下图10．已知：如图1，在O 中，弦2AB =，1CD =，AD BD ⊥．直线,AD BC 相交于点E ．（1）求E ∠的度数； （2）如果点,C D 在O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线,AD BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）．①如图2，弦AB 与弦CD 交于点F ；②如图3，弦AB 与弦CD 不相交：③如图4，点B 与点C 重合．【解析】解：（1）连接OC 、OD ，如图：∵AD BD ⊥∴AB 是直径∴1OC OD CD ===∴OCD 是等边三角形∴60COD ∠=︒∴30DBE ∠=︒∴60E ∠=︒（2）①结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：连接OD 、OC 、AC ，如图：∵1OD OC CD ===∴OCD 为等边三角形∴60COD ∠=︒∴30DAC ∠=︒∵90ADB ∠=︒∴903060E ∠=︒-︒=︒②结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：连接OC 、OD ，如图：∵AD BD ⊥∴AB 是直径∴1OC OD CD ===∴OCD 是等边三角形∴60COD ∠=︒∴30DBE ∠=︒∴903060BED ∠=︒-︒=︒③结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：如图：∵当点B 与点C 重合时，则直线BE 与O 只有一个公共点 ∴EB 恰为O 的切线∴90ABE ∠=︒∵90ADB ∠=︒，1CD =，2AD =∴30A ∠=︒故答案是：（1）60E ∠=︒（2）①结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．②结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．③结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解． 11．综合与实践：折纸中的数学问题背景在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片ABCD 按如图①所示方式折叠，使点C 与点A 重合，点D 落到D ′处，折痕为EF ．这时同学们很快证得：△AEF 是等腰三角形．接下来各学习小组也动手操作起来，请你解决他们提出的问题．操作发现(1) “争先”小组将矩形纸片ABCD 按上述方式折叠，如图②，发现重叠部分△AEF 恰好是等边三角形，求矩形ABCD 的长、宽之比是多少？实践探究(2)“励志”小组将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，如图③，使B 点落在AD 边上的B ′处；沿B ′G 折叠，使D 点落在D ′处，且B ′D ′过F 点．试探究四边形EFGB ′是什么特殊四边形？(3)再探究：在图③中连接BB ′，试判断并证明△BB ′G 的形状．【解析】解：（1）矩形ABCD 3证明：设BE a =，AEF ∆等边三角形，60EAF ∴∠=︒，四边形ABCD 为矩形，90BAD ABE ∴∠=∠=︒，30BAE BAD EAF ∠=∠-∠=︒．在Rt ABE ∆中，90ABE ∠=︒，30BAE ∠=︒，BE a =，2sin BE AE a BAE ∴==∠，3tan BE AB a BAE==∠，AE EC =，3BC BE EC a ∴=+=， ∴33BC AB a==． （2）四边形B EFG '是平行四边形．证明：四边形ABCD 为矩形，//AD BC ∴，B EF BFE ∴∠'=∠，EB F GFB ∠'=∠'，DB G FGB ∠'=∠'． 由翻折的特性可知：BFE B FE ∠=∠'，DB G FB G ∠'=∠'，B EF B FE ∴∠'=∠'，FB G FGB ∠'=∠'，又EB F GFB ∠'=∠'，B FE FB G ∴∠'=∠'，//EF B G ∴'，又//B E FG '，∴四边形B EFG '是平行四边形．（3）△BB G '为直角三角形．证明：连接BB '交EF 于点M ，如图所示．//AD BC ，EB B FBB ∴∠'=∠'，BF B F ='，FBB FB B ∴∠'=∠'，EB B FB B ∴∠'=∠'．B EF B FE ∠'=∠'，∴△B EF '为等腰三角形，B M EF ∴'⊥，90∴∠=︒．BMFEF B G'，//∴∠'=∠=︒，BB G BMF90∴△BB G'为直角三角形．12．综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，在△ABC中，AB ＝AC＝10cm，BC＝16cm．将△ABC沿BC边上的中线AD剪开，得到△ABD和△ACD．操作发现：（1）乐学小组将图1中的△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得A'C'⊥AD，得到图2，A'C'与AB交于点E，则四边形BEC'D的形状是．（2）缜密小组将图1中的△ACD沿DB方向平移，A'D'与AB交于点M，A'C'与AD交于点N，得到图3，判断四边形MNDD'的形状，并说明理由．实践探究：（3）缜密小组又发现，当（2）中线段DD'的长为acm时，图3中的四边形MNDD'会成为正方形，求a的值．（4）创新小组又把图1中的△ACD放到如图4所示的位置，点A的对应点A'与点D重合，点D的对应点D'在BD的延长线上，再将△A'C'D'绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置，DD'交AB于点P，DC'交AB于点Q，DP＝DQ，此时线段AP的长是cm．【解析】解：操作发现：（1）如图1：∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．∴∠B＝∠C，BD＝CD＝8cm，∠BAD＝∠CAD，∵△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，∴C'D＝BD，∵AD⊥BD，A'C'⊥AD，∴A'C'∥BD，∠ADC'＝90°﹣∠C'，∴∠ADC'＝90°﹣∠B，且∠BAD＝90°﹣∠B，∴∠ADC'＝∠BAD，∴AB∥C'D，∴四边形BDC'E是平行四边形，∵BD＝C'D，∴四边形BEC'D是菱形，故答案为：菱形；（2）如图3，四边形MNDD'是矩形，理由如下：∵BD＝CD，∴BD'＝CD，且∠B＝∠C'，∠MD'B＝∠NDC'∴△MDB'≌△NDC'（ASA）∴MD'＝ND，∵△ACD沿DB方向平移，∴MD'∥DN，∴四边形MNDD'是平行四边形，∵∠BD'M＝90°，∴四边形MNDD'是矩形；（3）由图形（1）可得AB＝10cm，BD＝8cm，∴AD6cm，∵四边形MNDD'为正方形，∴D'M∥DN，D'M＝D'D＝acm，∴△BD'M∽△BDA，∴BD MD BD AD''=，∴886a a -=，∴a＝247；（4）如图5，过点D作DG⊥AB于点G，∵DP＝DQ，∴∠DQP＝∠DPQ，QG＝PG，又∵∠A＝∠PDQ，∴△DQP∽△AQD，∴∠ADQ＝∠DPQ，∴∠ADQ＝∠AQD，∴AQ＝AD＝6，∵∠A＝∠A，∠DGA＝∠BDA，∴△DGA∽△BDA，∴AG AD AD AB=，∴6 610 AG=，∴AG＝185，∴GQ＝AQ﹣AG＝6﹣185＝125，∴PG＝QG＝125，∴AP＝AG﹣PG＝185﹣125＝65，故答案为：65．。

综合与实践类型一 类比探究型（不含图形变化）★1.综合与实践问题背景如图①，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，作AD ⊥BC 于点D ，则D 为BC 的中点，∠BAD ＝12∠BAC ＝60°，于是BC AB ＝2BD AB ＝ 3.迁移应用(1)如图②，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接BD .①求证：△ADB ≌△AEC ；②请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式． 拓展延伸(2)如图③，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF .试判断△CEF 的形状；（3）如图③，若AE ＝5，CE ＝2，求BF 的长．第1题图(1)①证明：由题意可知：AD＝AE，AB＝AC，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，∴△ADB≌△AEC；②解：CD＝3AD＋BD；【解法提示】∵AD＝AE，∠DAE＝120°，∴DE＝3AD，∵DE＝DC－EC，∴DC－EC＝3AD，由①知，△ADB≌△AEC，∴EC＝DB，∴DC－DB＝3AD，即CD＝3 AD＋BD.（2）解：△EFC为等边三角形.理由如下：如解图，连接BE，作BG⊥AE于点G.设CE与BF相交于点N，第1题解图∵C 、E 关于BM 对称，∴BE ＝BC ，CF ＝EF ，∠3＝∠4，在菱形ABCD 中，∵∠ABC ＝120°，AB ＝BC ，∴AB ＝BC ＝BE ，又∵BG ⊥AE ，∴∠1＝∠2，∴∠GBF ＝∠2＋∠3＝12∠ABC ＝60°，∵在四边形GBNE 中，∠GEN ＝360°－∠EGB －∠ENB －∠GBN ＝120°，∴∠FEN ＝60°，又∵EF ＝FC ，∴∠EFC ＝60°，∴△EFC 为等边三角形；（3）解：∵AE ＝5，CE ＝2，∴EG ＝12AE ＝52，EF ＝CE ＝2，∴GF ＝EG ＋EF ＝92，∵∠BGF ＝90°，∠GFB ＝30°，∴BF ＝GF cos30°＝3 3.★2.综合与探究问题背景在综合实践课上，老师让同学们根据如下问题情境，写出两个教学结论：如图①，点C 在线段BD 上，点E 在线段AC 上．∠ACB = ∠ACD =90°，AC =BC ；DC =CE ，M ，N 分别是线段BE ，AD 上的点．“兴趣小组”写出的两个教学结论是：①△BCE ≌△ACD ；②当CM ，CN 分别是△BCE 和△ACD 的中线时，△MCN 是等腰直角三角形．解决问题（1）请证明“兴趣小组”所写的两个结论的正确性．类比探究受到“兴趣小组”的启发，“实践小组”的同学们写出如下结论：如图②，当∠BCM =∠ACN 时，△MCN 是等腰直角三角形．（2）“实践小组”所写的结论是否正确？请说明理由．感悟发现“奋进小组”认为：当点M ，N 分别是BE ，AD 的三等分点时，△MCN 仍然是等腰直角三角形请你思考：（3）“奋进小组”所提结论是否正确？答： ．（填“正确”、“不正确”或“不一定正确”．）（4）反思上面的探究过程，请你添加适当的条作，再写出使得△MCN 是等腰直角三角形的数学结论．（所写结论必须正确，写出1个即可，不要求证明）图① 图② 备用图第2题图（1）证明：在△BCE 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,CD CE ACD BCE AC BC∴△BCE ≌△ACD （SAS ），∴BE =AD ，∠EBC =∠DAC ，∵CM ，CN 分别是△BCE 和△ACD 的中线，∴BM =21BE ，AN =21AD ，∴BM =AN ，在△BCM 和△ACN 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,AN BM NAC MBC AC BC ∴△BCM ≌△ACN （SAS ），∴CM =CN ，∠BCM =∠ACN∵∠BCM +∠MCE =90°，∴∠ACN +∠MCE =90°，∴MC ⊥CN ．∴△MCN 是等腰直角三角形．（2）解：实践小组”所写的结论正确．理由：∵△BCE ≌△ACD ，∴∠EBC =∠DAC ，在△BCM 和△CAN 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,ACN BCM AC BC NAC MBC ∴△BCM ≌△ACN （ASA ），∴CM =CN ，∵∠BCM +∠MCE =∠ACB =90°，∴∠ACN +∠MCE =90°，∴MC ⊥CN ．∴△MCN 是等腰直角三角形．（3）解：不一定正确．【解法提示】当BM =31BE ，AN =31AD 时，△MCN 仍然是等腰直角三角形．当BM =31BE ，DN =31AD 时，△MCN 不是等腰直角三角形．（4）解：答案不唯一．比如：当CM ，CN 分别是△BCE ，△ACD 的高时，△MCN 是等腰直角三角形；当CM ，CN 分别是△BCE ，△ACD 的角平分线时，△MCN 是等腰直角三角形；理由：只要证明△BCM ≌△ACN （AAS ），即可推出∠BCM =∠ACN ，推出∠MCN =90°，∵CM=CN，∴△MCN是等腰直角三角形．类型二图形平移型★3.综合与实践问题情境：如图①，在纸片▱ABCD中，AD＝5，S▱ABCD＝15，过点A 作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D.独立思考：(1)试探究四边形AEE′D的形状；深入探究：(2)如图②，在(1)的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D，试探究四边形AFF′D的形状；拓展延伸：(3)在(2)的条件下，求出四边形AFF′D的两条对角线的长;(4)若四边形ABCD为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论.图① 图② 图③第3题图解：(1)四边形AEE ′D 是矩形；理由：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，且AD ＝BC ，∵BE ＝CE ′，∴EE ′＝BC ＝AD ，且AD ∥EE ′，∴四边形AEE ′D 是平行四边形，又∵AE ⊥BC ，∴四边形AEE ′D 是矩形．(2)四边形AFF ′D 是菱形，∵已知AD ＝5，S ▱ABCD ＝15，∴AE ＝S ▱ABCD AD ＝155＝3，∵将△AEF 平移至△DE ′F ′，∴AF ＝DF ′，AF ∥DF ′， ∴四边形AFF ′D 是平行四边形．在Rt △AEF 中，由勾股定理得AF ＝AE 2＋EF 2＝32＋42＝5.∴AF＝AD＝5，∴四边形AFF′D是菱形．(3)如解图①，连接AF′，DF，第3题解图①∵E′F＝EE′－EF＝5－4＝1，DE′＝3，在Rt△DE′F中，DF＝E′D2＋E′F2＝32＋12＝10，又EF′＝EF＋FF′＝4＋5＝9，AE＝3，在Rt△AEF′中，AF′＝AE2＋EF′2＝32＋92＝310.（4）答案不唯一.如解图②，在BC上取一点E，连接AE,然后将△ABE平移至△DCE´位置.结论：四边形AEE´D为平行四边形第3题解图②★4.综合与实践数学活动—移动中探究线段关系问题情境：数学课上，老师出示了一个问题：如图①，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝BC，点E，F分别在AC，BC上，∠EDF＝90°，求DE与DF的数量关系．独立思考：(1)①请根据以上信息，解答老师提出的问题；②若CF=1,CE=2,请直接写出CD的长.(3)探索求证：如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D，AC＝BC，延长BC到点F，沿CA方向平移线段CF 到EG，且点G在边BA的延长线上，求证：DE＝DF，DE⊥DF；(4)拓展延伸：如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D，∠B＝30°，延长BC到点F，沿CA方向平移线段CF 到EG，且点G在边BA的延长线上，直接写出线段DE与DF 之间的位置关系和数量关系．第4题图(1)①解：∵∠EDC ＋∠CDF ＝∠EDF ＝90°，∠CDF ＋∠FDB ＝90°，∴∠EDC ＝∠FDB .由题可知△ACB 是等腰直角三角形，CD 是AB 边上的中 线，∴∠ECD ＝∠B ＝45°，CD ＝BD ，在△EDC 和△FDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EDC ＝∠FDB ，CD ＝BD ，∠ECD ＝∠B ，∴△EDC ≌△FDB (ASA)．∴DE ＝DF ；【一题多解】∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD ⊥AB ，∴AD ＝CD ，∠A ＝∠DCF ＝45°，∵∠EDF ＝90°，∴∠ADE ＋∠CDE ＝∠CDF ＋∠CDE ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDF ，在△ADE 和△CDF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,CDF ADE CD AD DCF A ∴△ADE ≌△CDF (ASA)，∴DE ＝DF ；; 【解法提示】①知△ADE ≌△CDF ，∴BF =CE =2,∴BC =CF +BF =3,∵AC =BC ,∠ACB =90°，∴CD =223. (3)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD ⊥AB ，∴DA ＝DB ＝DC ，∠ABC ＝∠BAC ＝∠ACD ＝∠BCD ＝45°，∴∠DAE ＝∠DCF ＝135°，又∵∠GAE ＝45°，∠AEG ＝∠ACF ＝∠ACB ＝90°，∴△AEG 是等腰直角三角形，∴AE ＝EG ，由平移可知CF ＝EG ＝AE ，在△DAE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DA ＝DC ，∠DAE ＝∠DCF ，AE ＝CF ，∴△DAE ≌△DCF (SAS)，∴DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF ，∴∠ADE ＋∠ADF ＝∠CDF ＋∠ADF ，∴∠FDE ＝∠CDA ＝90°，∴DE ⊥DF ；(4)解：DE ⊥DF ，DF ＝3DE .【解法提示】由CD ⊥AB ，AC ⊥BC ，∠B ＝30°，可得∠ACD ＝30°，则有CD AD ＝3，由平移可知∠FGE ＝90°，FC ＝GE ，则有∠AGE ＝90°－60°＝30°，GE AE ＝CF AE ＝ 3.∴CF AE ＝CD AD ＝ 3.又∵∠FCD ＝∠EAD ＝∠CDB ＋∠B ＝120°，∴△CFD ∽△AED ，∴DF DE ＝3，即DF ＝3DE ，同(2)可证得DE ⊥DF .类型三 图形旋转型★5.综合与实践问题情境：综合实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题进行数学活动，如图①，在三角形纸片ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝∠C .操作发现：(1)创新小组将图①中的△ABC 以点B 为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到△DBE ，再将△ABC 以点A 为旋转中心，顺时针旋转角度α，得到△AFG ，连接DF ，得到图②，试判断四边形AFDE 的形状；(2)实践小组将图①中的△ABC 以点B 为旋转中心，逆时针旋转90°得到△DBE ，再将△ABC 以点A 为旋转中心，顺时针旋转90°得到△AFG ，连接DF ，DG ，AE ，得到图③，发现四边形AFDB 为正方形，①请你证明这个结论；②若AB=4,∠ABC=60°，求BE的长;拓展探究：(3)请你在实践小组操作的基础上，再写出图③中的一个特殊四边形，并证明你的结论．第5题图(1)解：四边形AFDE是平行四边形；理由：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转角度α得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转角度α得到的，∴DE＝AC＝AF，∠BAF＝α，∠DBE＝∠ABC＝α，∠DEB＝∠C＝α，∴∠DEB＝∠BAF，∴DE∥AF，∵DE＝AF，∴四边形AFDE是平行四边形；(2)①证明：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的，∴∠DBA＝∠F AB＝90°，DB＝AB＝AF，∴∠DBA＋∠F AB＝180°，∴DB∥AF，∴四边形AFDB是平行四边形，∵DB＝AF，∴四边形AFDB是菱形，∵∠DBA＝90°，∴菱形AFDB是正方形；②解：如解图，过点D作DH⊥BE于点H,由旋转知，△DBE≌△ABC,∴BD=DE=AB=AC,∠ABC=∠DBE=60°,∴在Rt△DBH中，BH=2，∴BE=2BH=4;第5题解图(3)解：四边形AEDG 是平行四边形．证明：∵四边形ABDF 是正方形，∴∠DF A ＝∠DBA ＝90°，AB ＝DF ，又∵∠DBE ＝∠AFG ，∴∠EBA ＝∠GFD ，在△ABE 和△DFG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DF ，∠EBA ＝∠GFD ，BE ＝GF ，∴△ABE ≌△DFG (SAS)；∴AE ＝DG ，又∵DE ＝AG ，∴四边形AEDG 是平行四边形．★6.综合与实践独立思考：(1)已知正方形ABCD，如图①，点E和F分别是边AB和AD边上的点，且AE＝AF，则线段DF与BE之间有怎样的关系？请直接写出结论；合作交流：（2）如图②，等腰直角三角形F AE绕直角顶点A顺时针旋转α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，等腰直角三角形F AE绕直角顶点A顺时针旋转α，当α＝90°时，连接BE、DF，若AE＝5，则当直线DF 垂直平分EB时，直接写出AD的值；(4)如图④，等腰直角三角形F AE绕直角顶点A顺时针旋转α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、FB，得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF的各边中点所组成的四边形是什么特殊的四边形？直接写出结论．第6题图解：(1)DF＝BE，且DF⊥BE.【解法提示】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，AD⊥AB，∵AE＝AF，∴DF＝BE，且DF⊥BE；(2)(1)中的结论成立．证明如下：第6题解图①如解图①，延长DF交AB于点H，交BE于点G，由题意可知∠DAF＝∠BAE，在△DAF与△BAE中，⎩⎪⎨⎪⎧DA ＝BA ∠DAF ＝∠BAE ，AF ＝AE∴△DAF ≌△BAE (SAS)，∴DF ＝BE ，∠ADF ＝∠ABE ，∵∠ADF ＋∠DHA ＋90°＝∠ABE ＋∠BHG ＋∠HGB ，且 ∠DHA ＝∠BHG ，∴∠HGB ＝90°，即∠DGB ＝90°，即DF ⊥BE ，∴DF ＝BE ，且DF ⊥BE ；(3)AD ＝52＋5.【解法提示】连接BD ，如解图②，∵直线DF 垂直平分BE ，∴AD ＋AE ＝BD ，BD ＝2AD ，∴AE ＝(2－1)AD ，∵AE ＝5，∴AD ＝52＋5.(图②图③第6题解图(4)正方形．【解法提示】连接BE、DF，如解图③，与(2)同理得出BE＝DF，BE⊥DF，结合中位线的性质可知，顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是正方形．类型四图形折叠型★7.综合与实践：数学活动：“标准纸”尺寸的研究问题情境：A4纸是我们学习、工作中最常用的纸张之一，小明通过网络搜索得到“A4纸是由国际标准化组织的ISO 216定义的，其长宽比是2∶1，规格为210 mm×297 mm，如图①所示，A0纸是面积为1 m2，长宽比为2∶1的纸张，接下来的A1，A2，A3等纸张尺寸，都是定义成将编号少一号的纸张沿着长边对折，然后保留最接近的毫米值．”于是，我们定义：长与宽之比为2∶1的矩形纸片称为“标准纸”．如图①所示A 组纸都是“标准纸”．第7题图操作判断：(1)如图②所示，矩形纸片ABCD(AD＝2AB)是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点B与点D重合，再展开，折痕EF交AD于点E，交BC于点F，交BD于点O，分别连接BE和DF，判断四边形BFDE是哪种特殊的四边形，并说明理由；探究发现：(2)如图③所示，在(1)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕MN交AD边于点M，交BC边于点N，交BD也是点O，然后将四边形ENFM剪下，探究纸片ENFM是否为“标准纸”，说明理由；第7题图③(3)通过以上操作探究，请你写出一个有关“标准纸”的结论，例如“标准纸”长和宽的比值为2∶1.解：(1)四边形BFDE 是菱形；证明：当点B 与点D 重合时，折痕EF 垂直平分BD ， ∴OB ＝OD ，∠BOF ＝∠DOE ＝90°.∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠OBF ＝∠ODE .在△BOF 和△DOE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OBF ＝∠ODE ，OB ＝OD ，∠BOF ＝∠DOE ，∴△BOF ≌△DOE (ASA)，∴OE ＝OF ，∵OB ＝OD ，∴四边形BFDE 是平行四边形．∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形；(2)纸片ENFM是“标准纸”；理由如下：由(1)可知，OE＝OF，同理可证，OM＝ON，∴四边形ENFM是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠DOE＝90°，∠ODE＝∠ADB，∴tan∠ODE＝OEOD＝ABAD.∵AD＝2AB，∴OE＝22OD，∴EF＝22BD，同理可得，MN＝22AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴EF＝MN.∴四边形ENFM是矩形，∴∠EMF＝90°.∴tan ∠FEM ＝MF ME ＝OD OE ＝2，∴MF ＝2ME ，∴纸片ENFM 是“标准纸”；(3)答案不唯一，例如：①所有的“标准纸”形状都相似；②图③中四边形ENFM 的面积是四边形ABCD 面积的一半；③A0纸与A1纸的面积之比为2∶1；④A3纸与A2纸的周长之比为1∶ 2.★8.综合与实践：折叠中的数学．已知在矩形纸片ABCD 中，AB ＝24 cm ，BC ＝10 cm.任务一：先将矩形纸片上下对折，然后左右对折，再沿对角线对折，展开得到图中的折痕四边形EFGH (如图①)，求菱形EFGH 的面积．任务二：如图②，将矩形纸片ABCD 先沿对角线AC 对折，再将纸片折叠使点A 与点C 重合得折痕EF ，则四边形AECF 必为菱形，请加以证明．任务三：请通过一定的操作，构造一个菱形EFGH (不同于任务一中的特殊图形)，使菱形的四个顶点分别落在矩形ABCD 的四条边上(即点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，且不与矩形ABCD 的顶点重合)．第8题图（1）请简述操作的方法，并在图③中画出菱形EFGH .(2)求菱形EFGH 的面积的取值范围．解：任务一：如解图①，由折叠性质可得：HF ＝AB ＝24 cm ，GE ＝BC ＝10 cm .∴S 菱形EFGH ＝12HF ·GE ＝12×24×10＝120 cm 2，∴菱形EFGH 的面积为120 cm 2.第8题解图① 第8题解图②任务二：证明：如解图②，设两折痕的交点为O ，由折叠性质可得：EF ⊥AC ，OA ＝OC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB .∴∠ECO ＝∠F AO .在△EOC 和△FOA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ECO ＝∠F AO OC ＝OA∠EOC ＝∠FOA， ∴△EOC ≌△FOA (ASA)．∴OE ＝OF ，∵OE ＝OF ，OC ＝OA ，∴四边形AECF 是平行四边形．又∵EF ⊥AC ，∴平行四边形AECF 是菱形．任务三：(1)如解图③，将矩形纸片分别沿着对角线AC ，BD 折叠，设两折痕的交点为O ，展开后沿经过点O 的直线FH 折叠，展开后再沿经过点O 且与FH 垂直的直线EG 折叠，而后展开得到的折痕四边形EFGH 就是符合要求的菱形．第8题解图③(2)∵四边形ABCD 是矩形，四边形EFGH 是菱形，∴∠GDH ＝∠GOH ＝90°，∴O ，G ，D ，H 四点共圆，∴∠GHO ＝∠GDO ，∴tan ∠GHO ＝tan ∠GDO ，∴OG OH ＝BC DC ＝1024＝512，设OG ＝5k ，则OH ＝12k ，∴FH ＝24k ，GE ＝10k ，∴S 菱形EFGH ＝12FH ·GE ＝120k 2，在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝242＋102＝26，∴OA ＝12AC ＝13.当OH ⊥AD 时，OH ＝12AB ＝12，∴12＜OH ＜13，∴12＜12k ＜13，∴1＜k ＜1312，∴1＜k 2＜169144，∴120＜120k 2＜8456，即菱形EFGH 的面积大于120 cm 2且小于8456 cm 2.拓展类型★9.如图，等边三角形ABC 中，点D 、E 、F 、分别为边AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（1）如图①，当点M 在点B 左侧时，请你判断EN 与MF 有怎样的数量关系？（2）如图②，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．图①图②图③第9题解图解：（1）EN与MF相等，证明：如解图①，连接DE、DF，∵△ABC和△DMN为等边三角形，∴DM =DN ，∠MDN =60°，∵点D 、E 、F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，∴△DEF 是等边三角形，∴∠MDF =∠NDE ，在△DMF 和△DNE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DE DF NDE MDF DN DM ， ∴△DMF ≌△DNE ，∴EN =MF ；第9题图解①（2）成立，证明：如解图②，连接DE ，DF ，EF ．第1题解图②∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC =BC ．∵D ，E ，F 是三边的中点，∴DE ，DF ，EF 为三角形ABC 的中位线．∴DE =DF =EF ，∠FDE =60°．又∠MDF +∠FDN =60°，∠NDE +∠FDN =60°，∴∠MDF =∠NDE ．在△DMF 和△DNE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,DN DM NDE MDF DE DF ， ∴△DMF ≌△DNE ，∴MF =NE ；（3）画出图形如解图③，MF 与EN 相等的结论仍然成立．由（2）得，△DMF ≌△DNE ，∴MF =NE .第9题解图③★10.综合与实践问题探究：(1)如图①，点A是线段BC外一动点，若AB＝a，BC＝b，求线段AC长的最大值(用含a，b的式子表示)；(2)如图②，点A是线段BC外一动点，且AB＝1，BC＝4，分别以AB、AC为边作等边△ABD、等边△ACE，连接CD、BE.①求证：CD＝BE；②求线段BE长的最大值；问题解决：(3)如图③，在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)、B(5，0)，点P、M是线段AB外的两个动点，且P A＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．第10题图(1)解：∵点A 是线段BC 外一动点，且AB ＝a ，BC ＝b ， 则AC ≤AB ＋BC ，且当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，此时AC 的长的最大值为：AB ＋BC ＝a ＋b ；(2)①证明：∵△ABD ，△ACE 都是等边三角形，∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠EAC ＝60°，∴∠DAC ＝∠BAE ，在△CAD 和△EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ∠CAD ＝∠EAB AC ＝AE，∴△CAD ≌△EAB (SAS)，∴CD ＝BE ；②解：∵CD ＝BE ，∴线段BE 长的值最大值即为线段CD长的最大值，此时BE的最大值为：BD＋BC＝AB＋BC＝5；(3)解：如解图①，连接BM，∵PB＝PM，∠MPB＝90°，第10题解图①∴可以将△APM绕点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝P A＝2，BN＝AM，∴线段AM的长的最大值即为线段BN长的最大值，由(1)的结论可知，当点N在线段BA的延长线上时，线段BN的值最大，且此时的最大值为AB＋AN的值．∵A(2，0)，B(5，0)，∴OA＝2，OB＝5，AB＝3，∴AN＝2AP＝22，∴最大值为22＋3；如解图②中，作PE⊥x轴于点E，第10题解图②∵△APN 是等腰直角三角形，∴PE ＝AE ＝12AN ＝2，∴OE ＝OA －AE ＝2－2，∴P (2－2，2)，即线段AM 的最大值为22＋3，此时P 的坐标为(2－2，2)．。

中考数学复习《综合实践题》经典题型及测试题（含答案）题型解读此类题考查形式多样，但都与实际问题结合，且解决实际问题时一般会用到前面的结论，解题时要多结合前面的问题，大胆猜想．综合性较强，入手简单，但要得满分较难，此类题型是今后中考命题的方向，应引起重视．1.如图①，△ABC 和△DEF 中，AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D. (1)求证：BC AB ＝EFDE；(2)由(1)中的结论可知，等腰三角形ABC 中，当顶角∠A 的大小确定时，它的对边(即底边BC)与邻边(即腰AB 或AC)的比值也就确定，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)＝∠A的对边（底边）∠A的邻边（腰）＝BCAB .如T(60°)＝1.①理解巩固：T(90°)＝________，T (120°)＝________，若α是等腰三角形的顶角，则T(α)的取值范围是________；②学以致用：如图②，圆锥的母线长为9，底面直径PQ ＝8，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长(精确到0.1)．(参考数据：T(160°)≈1.97，T (80°)≈1.29，T (40°)≈0.68)2. (1)如图①，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，请你完成图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，并证明：BE＝CD；(2)如图②，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；(3)运用(1)，(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图③，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的长(结果保留根号)．3.问题：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图①证明上述结论．【类比引申】如图②，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足__________关系时，仍有EF＝BE＋FD.【探究应用】如图③，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC ＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且A E⊥AD，DF＝40(3－1)米，现要在E、F 之间修一条笔直的道路，求这条道路EF的长．(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)4.理解：数学兴趣小组在探究如何求tan 15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路： 思路一 如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点D ，使BD ＝BA ，连接AD.图① 设AC ＝1，则BD ＝BA ＝2，BC ＝ 3.tan D ＝tan 15°＝12＋3＝2－3（2＋3）（2－3）＝2－ 3. 思路二 利用科普书上的和．(．差．)．角正切公式．．．．．：tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 假设α＝60°，β＝45°代入差角正切公式：tan 15°＝tan (60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝3－11＋3＝2－ 3.思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以… 思路四 …请解决下列问题(上述思路仅供参考)． (1)类比：求出tan 75°的值；(2)应用：如图②，某电视塔建在一座小山上，山高BC 为30米，在地平面上有一点A ，则得A 、C 两点间距离为60米，从A 测得电视塔的视角(∠CAD)为45°，求这座电视塔CD 的高度；(3)拓展：如图③，直线y ＝12x －1与双曲线y ＝4x 交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，将直线AB 绕点C 旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P 的坐标；若不能，请说明理由．图②图③备用图5.【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“ ”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1.【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k ，再加上常数b”的运算，有什么规律？ 【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程：也可用图象描述：如图①，在x 轴上表示出x 1，先在直线y ＝kx ＋b 上确定点(x 1，y 1)，再在直线y ＝x 上确定纵坐标为y 1的点(x 2，y 1)，然后在x 轴上确定对应的数x 2，…，依次类推． 【解决问题】研究输入实数x 1时，随着运算次数n 的不断增加，运算结果x n 怎样变化． (1)若k ＝2，b ＝－4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究； (2)若k>1，又得到什么结论？请说明理由；(3)①若k ＝－23，b ＝2，已在x 轴上表示出x 1(如图②所示)，请在x 轴上表示x 2，x 3，x 4，并写出研究结论；②若输入实数x 1时，运算结果x n 互不相等，且越来越接近常数m ，直接写出k 的取值范围及m 的值(用含k ，b 的代数式表示)．6.问题提出(1)如图①，已知△ABC.请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2.是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决(3)如图③，有一矩形板材ABCD，AB＝3米，AD＝6米．现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG＝90°，EF＝FG＝5米，∠EHG＝45°.经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件．试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．1. (1)证明：∵AB＝AC，DE＝DF，∴ABDE＝ACDF，又∵∠A ＝∠D ，∴△ABC ∽△DEF ，∴BC EF ＝ABDE ，∴BC AB ＝EF DE. (2)解：①2，3，0<T (α)<2.【解法提示】①如解图①，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°， ∴设AB ＝AC ＝x ，由勾股定理得BC ＝2x ， ∴T(90°)＝BC AB ＝2x x＝2；第1题解图①第1题解图②如解图②，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝AC ， 过点A 作AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝60°，BD ＝12BC ，设AD ＝y ，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝60°， ∴BD ＝AD·tan 60°＝3y ，AB ＝2AD ＝2y ， ∴BC ＝2BD ＝23y ， ∴T(120°)＝23y2y＝3； ∵∠A<180°，当∠A ＝180°时，此时AB ＝AC ＝12BC 即T(A)＝BC AB ＝BC 12BC ＝2，∵要构成三角形，∴T(A)<2， ∵T(A)＞0，∴0<T (α)<2.第1题解图②如解图，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，∵圆锥的底面圆周长＝圆锥展开图扇形的弧长，即2πr ＝n πl180，∴rl＝n360，∵r＝4，l＝9，∴n＝160.∵T(80°)≈1.29，∴蚂蚁爬行的最短距离＝T(80°)×l≈1.29×9≈11.6.2. 解：(1)作图如解图①，第2题解图①证明：∵△ABD和△ACE为等边三角形，则AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°，又∵∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE＝CD.(2)BE＝CD.理由如下：∵四边形ABFD和四边形ACGE为正方形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝90°，又∵∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE＝CD.(3)如解图②，以AB为边，作等腰直角三角形ABD，∠BAD＝90°，第2题解图②则AD＝AB＝100米，∠ABD＝45°，∴BD＝100 2 米，连接CD，则由(2)可得，BE＝CD，∵∠ABC＝45°，∴∠DBC＝90°，在Rt△DBC中，BC＝100米，BD＝100 2 米，由勾股定理得CD＝1002＋（1002）2＝100 3 米，则BE＝CD＝100 3 米．3. 【发现证明】证明：如解图①，将△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADG，则AB与AD重合，第3题解图①∴∠BAE ＝∠DAG ，∠B ＝∠ADG ，BE ＝GD ， AE ＝AG ，∴∠GAF ＝∠DAF ＋∠GAD ＝∠BAE ＋∠DAF ＝45°， 在正方形ABCD 中，∠B ＝∠ADC ＝90°， ∴∠ADG ＋∠ADF ＝180°，即G 、D 、F 在一条直线上， ∵∠EAF ＝45°，在△EAF 和△GAF 中，AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ＝45°，AF ＝AF ， ∴△EAF ≌△GAF(SAS )， ∴EF ＝GF ，∴EF ＝FG ＝FD ＋DG ＝FD ＋BE. 【类比引申】∠EAF ＝12∠BAD.【解法提示】如解图②，延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ， ∵∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ABC ＋∠ABM ＝180°， ∴∠D ＝∠ABM ， 在△ABM 和△ADF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABM ＝∠D BM ＝DF，第3题解图②∴△ABM ≌△ADF(SAS )，∴AF ＝AM ，∠DAF ＝∠BAM ， ∵∠BAD ＝2∠EAF ， ∴∠DAF ＋∠BAE ＝∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠EAB ＋∠BAM ＝∠EAM ＝∠EAF ， 在△FAE 和△MAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AE ∠FAE ＝∠MAE AF ＝AM， ∴△FAE ≌△MAE(SAS )， ∴EF ＝EM ，又∵EM ＝BE ＋BM ＝BE ＋DF ， ∴EF ＝BE ＋DF.【探究应用】解：如解图③，连接AF ，延长BA 、CD 交于点O ， ∵∠BAD ＝150°，∠ADC ＝120°， ∴∠OAD ＝30°，∠ODA ＝60°， ∴△OAD 是直角三角形． ∵AD ＝80，∴AO ＝403，OD ＝40，∵OF ＝OD ＋DF ＝40＋40(3－1)＝403， ∴AO ＝OF ，第3题解图③∴∠OAF ＝45°， ∵∠OAD ＝30°， ∴∠DAF ＝15°， ∵∠EAD ＝90°，∴∠EAF ＝∠EAD －∠DAF ＝75°＝12∠BAD ，又∠B ＋∠ADC ＝180°，由(2)知EF ＝BE ＋DF.∠BAE ＝∠BAD －∠EAD ＝150°－90°＝60°＝∠B ， ∴△ABE 为等边三角形， ∴BE ＝AB ＝80，∴EF ＝BE ＋DF ＝80＋40(3－1)≈109(米)． 4. 解：(1)如解图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点D ，使BD ＝BA ，连接AD.第4题解图①设AC ＝1，则BD ＝BA ＝2，BC ＝3，tan ∠DAC ＝tan 75°＝DC AC ＝BD ＋BC AC ＝2＋31＝2＋ 3.【一题多解】tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°·tan 30°＝1＋331－33＝3＋33－3＝2＋ 3.第4题解图②(2)如解图②，在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝602－302＝303， sin ∠BAC ＝BC AC ＝3060＝12，即∠BAC ＝30°，∵∠DAC ＝45°，∴∠DAB ＝45°＋30°＝75°.在Rt △ABD 中，tan ∠DAB ＝DBAB ＝2＋3，∴DB ＝AB·tan ∠DAB ＝303·(2＋3)＝603＋90， ∴DC ＝DB －BC ＝603＋90－30＝ 603＋60.(米)答：这座电视塔CD 的高度为(603＋60)米.第4题解图③(3)直线AB 能与双曲线相交， 点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)，理由如下：若直线AB 绕点C 逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P 1、P 2，如解图③，过点C 作CD ∥x 轴，过点P 1作P 1E ⊥CD 于点E ，过点A 作AF ⊥CD 于点F.解方程组⎩⎨⎧y ＝12x －1y ＝4x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－2， ∴点A(4，1)，点B(－2，－2)．对于y ＝12x －1，当x ＝0时，y ＝－1，则C(0，－1)，OC ＝1，∴CF ＝4，AF ＝1－(－1)＝2， ∴tan ∠ACF ＝AF CF ＝24＝12， ∴tan ∠P 1CE ＝tan (∠ACP 1＋∠ACF)＝tan (45°＋∠ACF)＝tan 45°＋tan ∠ACF 1－tan 45°·tan ∠ACF＝1＋121－12＝3，即P 1ECE ＝3.设点P 的坐标为(a ，b)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4b ＋1a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43b ＝3， ∴点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)；(ii )若直线AB 绕点C 顺时针旋转45°后，与x 轴相交于点G ，如解图④. 由(i )可知∠ACP ＝45°，P(43，3)，则CP ⊥CG .过点P 作PH ⊥y 轴于H ， 则∠GOC ＝∠CHP ＝90°，∠GCO ＝90°－∠HCP ＝∠CPH ，第4题解图④∴△GOC ∽△CHP ， ∴GO CH ＝OCHP. ∵CH ＝3－(－1)＝4，PH ＝43，OC ＝1，∴GO 4＝143＝34， ∴GO ＝3，G(－3，0)．设直线CG 的解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13b ＝－1，∴直线CG 的解析式为y ＝－13x －1.联立⎩⎨⎧y ＝－13x －1y ＝4x，消去y ，得4x ＝－13x －1，整理得x 2＋3x ＋12＝0，∵b 2－4ac ＝32－4×1×12＝－39<0， ∴方程没有实数根，∴直线绕点C 顺时针旋转45°，与双曲线无交点．(综上所述，直线AB 绕点C 逆时针旋转45°后，能与双曲线相交，交点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)．5. 解：(1)若k ＝2, b ＝－4，①x 1＝3时，x 2＝2×3－4＝2，x 3＝2×2－4＝0，x 4＝2×0－4＝－4，x 5＝2×(－4)－4＝－12； ②x 1＝4时，x 2＝2×4－4＝4，x 3＝2×4－4＝4，x 4＝2×4－4＝4，x 5＝2×4－4＝4； ③x 1＝5时，x 2＝2×5－4＝6，x 3＝2×6－4＝8，x 4＝2×8－4＝12，x 5＝2×12－4＝20， 由上面的特殊值可得，y ＝2x －4与y ＝x 交点的横坐标为4， 所以当输入的值x>4时，x n 的值会随着运算次数的增大而增大； 当输入的值x ＝4时，x n 的值不变；当输入的值x<4时，x n 的值会随着运算次数的增大而减小．(2)当k>1时，y ＝kx ＋b 与y ＝x 的交点坐标横坐标为x ＝－bk －1，所以当输入的值x>－bk －1时，x n 的值会随着运算次数的增大而增大；当输入的值x ＝－bk －1时，x n 的值不变；当输入的值x<－bk －1时，x n 的值会随着运算次数的增大而减小．理由如下：直线y ＝kx ＋b 与直线y ＝x 的交点坐标为(b 1－k ，b 1－k )，当x ＞b 1－k时，对于同一个x 的值，kx ＋b ＞x ，∴y 1＞x 1，∵y 1＝x 2，∴x 1＜x 2，同理x 2＜x 3＜…＜x n ，∴当x 1＞b1－k 时，随着运算次数n的增加，x n 越来越大，同理，当x 1＜b 1－k 时，随着运算次数n 的增加，x n 越来越小，当x ＝b1－k 时，随着运算次数n 的增加，x n 保持不变．(3)①画如解图，第5题解图结论：通过画图可得，x n 的值越来越靠近两个函数图象交点的横坐标即65；②|k|<1且k ≠0时，m ＝－bk －1.即－1＜k ＜1且k ≠0， 【解法提示】两个函数图象的交点的横坐标满足kx ＋b ＝x ，解得x ＝－bk －1，且k ≠0，由(1)得|k|＜1.6. (1)【思路分析】要作对称图形，先要考虑对称的性质，即对应点关于对称轴对称，只需作出点B 关于直线AC 的对称点D ，连接AD ，CD 即可．第6题解图①解：如解图①，△ADC 即为所求作三角形．【作法提示】(1)过点B 作直线AC 的垂线，垂足为点O ；(2)在垂线上截取OD ＝OB ，连接AD ，CD ，则△ADC 即为所要求作的三角形．(2)【思路分析】四边形EFGH 的周长＝EF ＋FG ＋GH ＋HE ，由题意可知AF 和AE 的长均为定值，利用勾股定理可求得EF 的长为定值，所以要求四边形周长的最小值，只需令FG ＋GH ＋HE 最小即可，利用作对称线段将所求线段和转化到三角形中进行求解，进而利用直角三角形三边关系求出线段和最小值．第6题解图②解：存在．理由如下：如解图②，作点E 关于CD 的对称点E′，作点F 关于BC 的对称点F′，连接E′F′，交BC 于点G ，交CD 于点H ，连接FG 、EH ，则F ′G ＝FG ，E ′H ＝EH ，所以此时四边形EFGH 的周长最小．这是因为：在BC 上任取一点G′，在CD 上任取一点H′，则FG′＋G′H′＋H′E ＝F′G′＋G′H′＋H ′E ′≥E ′F ′.由题意得：BF′＝BF ＝AF ＝2，DE ′＝DE ＝2，∠A ＝90°， ∴AF ′＝6，AE ′＝8.∴E ′F ′＝10，EF ＝2 5.∴四边形EFGH 周长的最小值为EF ＋FG ＋GH ＋HE ＝EF ＋E ′F ′＝25＋10.∴在BC、CD上分别存在满足条件的点G、H，使四边形EFGH的周长最小，最小值是25＋10.(3)【思路分析】要使四边形EFGH面积最大，因为E、F、G的位置确定，即△EFG的面积是固定的，只要求以EG为底边的△EGH最大面积即可，且∠EHG为45°，作△EFG关于EG的对称图形，以点F 的对称点O为圆心，作以EG为弦的圆，根据圆的基本性质，即EG的中垂线与圆的交点即为所求的点H′，然后再由对称的性质和勾股定理求解即可．解：能裁得．∵∠EFG＝∠A＝90°，∴∠2＋∠AFE＝∠1＋∠AFE＝90°，∴∠1＝∠2，∵EF＝FG＝5，∴△AEF≌△BFG(AAS)，∴AF＝BG，AE＝BF.设AF＝x，则AE＝BF＝3－x，∴x2＋(3－x)2＝(5)2解得x1＝1或x2＝2，∵AF＜BF，∴x2＝2舍去，∴AF＝BG＝1，AE＝BF＝2，∴DE＝4，CG＝5.如解图③，连接EG，作△EFG关于EG的对称图形△EOG，则四边形EFGO为正方形，∠EOG＝90°.以点O为圆心，OE长为半径作⊙O，则∠EHG＝45°的点H在⊙O上．连接FO，并延长交⊙O于点H，则点H在EG中垂线上．第6题解图③连接EH、GH，则∠EHG＝45°.此时，四边形EFGH就是想要裁得的四边形EFGH中面积最大的．连接CE，则CE＝CG＝DE2＋CD2＝5.∴点C在线段EG的中垂线上，连接HC，∴点F、O、H、C在一条直线上，又∵EG＝EF2＋FG2＝10，∴FO＝EG＝10.又∵CF＝BF2＋BC2＝210，∴OC＝10.又∵OH＝OE＝FG＝5，∴OH＜OC，∴点H 在矩形ABCD 的内部，∴可以在矩形板材ABCD 中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH 部件，这个部件的面积即S 四边形EFGH＝12EG·FH ＝12×10×(10＋5)＝(5＋522)m 2. ∴所裁得的四边形部件EFGH 是符合条件的面积最大的部件，这个部件的面积为(5＋522) m 2.难点突破本题的难点在于第(3)问点H 位置的确定，题中已知点E 、F 、G 的位置，即解决本题的实质是求以EG 为底边的△EGH 的面积最大时点H 的位置，由于∠EHG ＝45°，想到作直角△EFG 关于EG 的对称图形，则以点F 的对称点为圆心、EG 为弦的圆在矩形ABCD 内的点H 满足题意，根据圆的基本性质，则点H 为EG 的中垂线与所作圆的交点．。

【精彩三年】中考数学新中考热点问题32图形与几何的综合与实践问题1．例【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌的两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A'D'C，∠ADB=∠A'D'C=90°，∠B=∠C=30°，设AB=2．【操作探究】如图1，先将△ADB和△A'D'C的边AD，A'D'重合，再将△A'D'C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α（o°≤a≤360°），旋转过程中△ADB保持不动，连结BC．（1）当α=60°时，BC= ﹔当BC=22时，α= （2）当α=90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积．（3）如图2，取BC的中点F，将△A'D'C 绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为 2．综合实践课上﹐嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．图1~图3是其作图过程．（1）作BD的垂真平分线交BD于点O；（2）连结AO，在O的延长线上截取OC=AO；（3）连结DC，BC，则四边形ABCD即为所求．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等C．对角线互相平分﹒D．一组对边平行且相等3．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠” 为主题开展数学活动，有一位同学的操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连结PM，BM，延长PM交CD于点Q，连结BQ．（1）如图1，当点M在EF上时，∠EMB= 度．（2）改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．4．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF的中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE=2BE，QB=3，求邻余线AB的长．答案解析部分1．【答案】（1）2；；30或210；（2）解：如图所示：∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝2，∴AD＝1，∵α＝90°，∴∠BAC＝60°＋60°−90°＝30°，∴∠QAD＝∠BAD−∠BAC＝30°，∴DQ＝AD3=33，∴S△ADQ＝12×1×33=36，∵∠D'＝∠D'AD＝∠D＝90°，AD＝AD'，∴四边形ADPD'是正方形，∴DP＝AD＝1，∴S△APD＝12×1×1＝12，∴S△APQ＝12−36，同理S△AD'R＝12−36，∴两块三角板重叠部分图形的面积为1−33；（3）2π【知识点】旋转的性质；三角形的综合；圆-动点问题【解析】【解答】解：（1）如图所示：∵∠ADB＝∠A'D'C＝90°，∠ABD＝∠A'CD'＝30°，∴∠BAD＝∠D'AC＝60°，∴当α＝60°时，A，D'，B共线，A，D，C共线，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝2；当BC＝22时，过A作AH⊥BC于H，如图所示：∵AB＝AC，∴BH＝CH＝12BC＝2，∴sin∠BAH＝BHAB=22，∴∠BAH＝45°，∴∠BAC＝2∠BAH＝90°，∴α＝120°−90°＝30°；如图所示：同理可得∠BAC＝90°，∴α＝60°＋90°＋60°＝210°，∴当BC＝22时，α＝30°或210°；故答案为：2，30或210；（3）连接AF，如图所示：∵AB ＝AC ，F 为BC 中点，∴∠AFB ＝90°，∴F 的运动轨迹是以AB 为直径的圆，∴点F 的运动路径长为2π×AB 2＝2π．故答案为：2π．【分析】（1）先证出△ABC 是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得BC 的长；分类讨论，先分别画出图形并利用角的运算求出 α 的度数即可；（2）先利用三角形的面积公式求出S △APQ ＝12−36，S △AD'R ＝12−36，再计算出阴影部分的面积即可；（3）连接AF ，先证出F 的运动轨迹是以AB 为直径的圆，再利用弧长公式求解即可.2．【答案】C【知识点】平行四边形的判定【解析】【解答】解：根据作图步骤及痕迹，可得：DO=BO ，AO=CO ，∴利用对角线互相平分的四边形是平行四边形的判断方法可得答案；故答案为：C.【分析】先根据作出痕迹和步骤证出DO=BO ，AO=CO ，再利用平行四边形的判定方法分析求解即可.3．【答案】（1）30（2）解：∠MBQ ＝∠CBQ ，理由如下：∵在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在正方形内部点M 处，∴AB ＝BM ，∠A ＝∠BMP ＝90°，∴BC ＝AB ＝BM ，∠BMQ ＝∠C ＝90°，∵BQ ＝BQ ，∴Rt △BMQ ≌Rt △BCQ （HL ）；∴∠MBQ ＝∠CBQ ．【知识点】直角三角形全等的判定-HL ；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：（1）由折叠可得：AE ＝BE ＝12AB ，∠AEM ＝∠BEM ＝90°，AB ＝BM ，∴BE ＝12BM ，∴∠EMB ＝30°；故答案为：30；【分析】（1）利用折叠的性质可得AE ＝BE ＝12AB ，AB ＝BM ，利用等量代换可得BE ＝12BM ，再证出∠EMB ＝30°即可；（2）先利用“HL”证出Rt △BMQ ≌Rt △BCQ ，再利用全等三角形的性质可得∠MBQ ＝∠CBQ ．4．【答案】（1）证明：∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∴∠DAB ＋∠DBA ＝90°，∴∠FAB 与∠EBA 互余，∴四边形ABEF 是邻余四边形；（2）解：如图所示. (答案不唯一)（3）解：∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴BD ＝CD ，∵DE ＝4BE ，∴BD ＝CD ＝5BE ，∴CE ＝CD ＋DE ＝9BE ，∵∠EDF ＝90°，点M 是EF 的中点，∴DM ＝ME ，∴∠MDE ＝∠MED ，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴△DBQ ∽△ECN ，∴QB NC =BD CE =59，∵QB ＝6，∴NC ＝545，∵AN ＝CN ，∴AC ＝2CN ＝1085，∴AB ＝AC ＝1085．【知识点】相似三角形的判定-AA ；相似三角形的性质-对应边。

九年级数学折叠中的数学问题数学推理试题（13分）综合与实践：动手操作：第一步，如图，将一长方形纸片ABCD沿AB、DC边中点H、K所在直线对折，再沿AD、BC边中点M、N所在直线对折后展开，两次折痕交点记作O.第二步：再沿过点A（B）的直线折叠，使点D（C）恰好落在点O上，折痕记作AE(BG)第三步：将纸块展开铺平，折痕AE与MN交于点F，图中虚线为折痕，连接AO、BO、EO、GO。

猜想与证明：（1）试猜想AD与AB的数量关系，并加以证明；（2）如图⑥：试判断四边形EFOG的形状，并说明理由；问题解决：（3）如果AD=3,点P是DC边上不与点D重合的一点，连接PO、PB，请直接写出POB周长的最小值。

D H C M N A K B D(C)HM(N)OA(B)KD(C)HM(N)OA(B)K①②③D(C)E(G)HM(N)O（D）A(B)K④D E H G C M F O N AK B D E H G CM F O NA K B⑤⑥参考答案：【解析】（1）由轴对称性质及矩形的性质可以得出DAO ∆是等边三角形，︒=∠=∠=∠30EAO DAE KAO ，从而得到OK=2AD,再在直角三角形中由勾股定理求出AK=23，进一步得出AB 与AD 的数量关系：ADAB 3=（2）利用(1)中结论、折叠轴对称性质、三角形中位线可证得FO=2EH,再由轴对称性质得出EG=2EH,从而得出EG=FO,证得四边形EFOG 是平行四边形，再通过利用中位线性质计算可得EG=EF,从而证得四边形EFOG 是菱形。

（3）由题可知AE 与KH 的延长线交于点S，点S 就是点O 关于DC 的对称点，连接SB 与DC 交于点P，可知，此时POB ∆周长最小，再利用轴对称性质、勾股定理求得线段OB、SB 的长度。

则OB+SB 的值就是POB ∆周长的最小值。

DE H G C RMFO N AK B DE H G (P)CRM F O NA KBS解：（1）ADAB 3=………………………………1分如图连接DO 交AE 于点R。

综合与实践、圆、二次函数有关重难点题型题型一综合与实践1.综合与实践问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形”为主题开展数学活动，并提出如下问题：如题2-1图，将等腰Rt△ABC的直角边AC与等腰Rt△ADC的斜边AC 重合，∠BAC=∠ADC=90°,试判断线段BC 与CD之间的数量关系，并加以证明.(1)数学思考：请你解答老师提出的问题；(2)猜想证明：如题2-2图，点 E 是线段AD上的一个动点(不与A，D重合)，连接CE，过点 E作EF⊥CE,分别交AB,AC于F,G两点,连接FC,试判断△CEF的形状，并说明理由.2.综合与实践【阅读理解】如题1-1图，在△ABC中，AM是BC边上的高线，由勾股定理得AM²=AB²−BM²,AM²= AC²−CM²,故AB²−BM²=AC²−CM².【知识迁移】如题1-2 图,在矩形ABCD中,当点P在矩形ABCD内任意位置时,连接AP,BP,CP,DP.求证: AP²+ CP²=BP²+DP².【探索发现】如题1-3 图，若点 P在矩形ABCD 的外部时，上述结论是否仍然成立?请加以判断，并说明理由.【尝试应用】如题1-4图，在△ABC中, AB=3,AC=4,Q为平面内一点，且AQ=1,∠BQC=90°,求 BC 的最大值.3.如题1-1图,正方形ABCD的边AB上有一点E,连接DE.(1)若AD=3AE,则sin∠ADE= ;(2)如题1-2图，将边 CB绕点 C顺时针旋转，旋转角为α，使得点 B 的对应点 F 落在DE上(点F不与点D 重合),连接BF,求∠BFE的度数;(3)如题1-3图,在(2)的条件下,若E为AB的中点,DF=n,正方形ABCD的面积为S,求S关于n的函数关系式.4.小颖在学习了摩擦力的相关知识后，准备在水平面上探究滑动摩擦力与压力之间的关系，探究步骤如下：第一步：如题3-1图，在一水平放置的木板上放置一个质量为1kg的木块(压力大小=重力大小)，用弹簧测力计沿水平方向拉动木块，使木块做匀速直线运动(滑动摩擦力的大小可以由弹簧测力计读出)；第二步：在木块上增加质量不同的砝码，使木块做匀速直线运动；当在木块上增加质量不同的砝码后，设弹簧测力计所拉物体的质量为m(kg)，弹簧测力计的示数为F(N)，通过多次测量，得到如下数据：(1)把表中的图的坐标系中，描点，连线，画出弹簧测力计拉力F关于物体质量m的图象；(2)观察所画的图象，猜测F和m之间的函数关系，求出函数表达式；(3)小颖将水平拉动木块实验变成在斜面拉动木块实验，如题3-3图，用弹簧测力计拉着木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动.经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力 F(N)是高度h(m)的一次函数.当斜面水平放置在地面上时，弹簧测力计的读数为2N，高度h每增加0.1m，弹簧测力计的读数增加0.8N，若弹簧测力计的最大量程是8N，求装置高度h的取值范围.5.综合与实践某数学实验小组在学习了电阻的知识后，计划通过实验探究铂电阻在0∼100°C范围内的温度特性，具体过程如下：【知识背景】电阻温度计是根据导体电阻随温度而变化的规律来测量温度的温度计，铂电阻温度计是最精确的温度计.【实验过程】如题2-1图，将电阻温度计接入电路，开始使导体温度升温，控制温度在( 0°C−100°C范围内，每升温20°C记录一次指示仪表输出的电阻值(单位：Ω)，实验完毕后，关闭所有电源.【收集数据】记录的数据如下表：(1)如题2-2图，建立平面直角坐标系，横轴表示温度( (°C),纵轴表示电阻值(Ω)，描出以上表中的数据为坐标的各点，并进行连线；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，若在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出解析式，若不在同一条直线上，请说明理由；(3)当温度为50°C时，求铂电阻的电阻值.题型二圆的综合题1. 如题1图, △ABC内接于⊙O,AB是⊙O 的直径,分别过点 C 作⊙O 的切线，过点 O作AB的垂线，两线相交于点 D.(1)求证: ∠D=2∠A;(2)请用无刻度的直尺和圆规过点O 作AC 的垂线交AC 于点 E(保留作图痕迹，不写作法)；(3)在(2)的条件下,若AB=8,CD=3,求OE的长.2. 如题2图, △ABC内接于⊙O,延长BA至点D,连接DC,使DB=DC,过点A作AE⊥AB交DC于点E,连接B E,BE 与AC相交于点F，且满足∠ADE=2∠EAC.(1)求证:CA=CB;(2)若AD:AB=1:4,求tan∠ABC的值；的值.(3)在(2)的条件下,求AFFC3.如题1-1图, △ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,CD是∠ACB的平分线,交⊙O 于点D,连接OD,交AB于点E.(1)求证:OD∥AC;,求直线AF与⊙O的位关系.(2)如题1-2图,延长OD至点 F,连接AF,使得AF=BC,且tanB=12在△ABC中,AB=AC,点O是AB边上一动点,以点O为圆心,OB长为半径作圆,交BC于点 D.过点 D作DE⊥AC,垂足为E.(1)如题2-1图,若点O为AB的中点,求证:BD=CD;(2)如题2-2图,当点O为AB 上任意一点时,求证:DE 与⊙O 相切;(3)如题2-3图,若⊙O与AC相切于点F,且⊙O的半径为3,CE=1,求AF的长.如题4图,四边形ABCE内接于⊙O, AB=AC,CE⊥BC,，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点 D.(1)求证:AD是⊙O的切线;(2)若DE=2,AE平分∠CAD,求⊙O的半径；(3)新考法探究线段数量关系若( CE=m,DE=n,⊙O的直径为d，探究m，n与d的数量关系，并说明理由.题型三二次函数综合题1. 已知抛物线y₁=ax²−4ax+c经过点(3,−2),与x轴交于点A(x₁,0),B两点.(1)若抛物线过点(−1,2),求抛物线的解析式；(2)若−1<x₁<0,点P(5,n)(n⟩0))在该抛物线上，求a的取值范围；(3)若抛物线y₁向上平移两个单位长度后得到抛物线y₂，抛物y₁与直线y₁=kx+b(k≠0)交于点(x₁,0)(x₁<2),且函数y=y₁+y₁的图象与x轴仅有一个交点.求证：k=2a.2.如题2图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x²+bx+c交x轴于A,B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),连接AC,BC.(1)求抛物线的解析式；(2)N是线段AC上一点，过点N作NN′⊥x轴于点N′,若△ABC的面积被 NN'分为1∶2的两部分，求点N 的坐标；(3)将抛物线向左平移m(m⟩0))个单位长度，与原抛物线的交点为点 D,连接 AD,BD,AC 与 BD 相交于点 E,若△ADE与△BCE的面积差为1，求m的值.3.已知抛物线y=25x2+bx+c的顶点坐标为(−2,185),与x轴交于点A,B(点A在点 B左侧),与y轴交于点C.(1)求b,c的值;(2)点M(-4，2)，N是抛物线上两点，若点N到对称轴的距离等于点M到对称轴距离的2倍，求点 N的坐标；(3)若点 P是第二象限内抛物线上一点，连接PB交AC于点D,求PDBD的最大值.x−3与x轴，y轴交于A，B两点，抛物线y=x²+bx+c经过A，B两点，M是射线4.如题2图,直线y=34BA上一动点，过点 M作MN∥y轴交抛物线于点 N.(1)求抛物线的解析式；(2)当M在线段BA上时,连接AN,BN,若S∆ABN=S∆ABO,求此时点M的坐标；(3)新考法与点的运动结合点M从点 B 出发，沿射线BA方向以每秒5个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，MB=MN?请直接写出所有符合条件的t值.5.如题3图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx−2(a≠0)与x轴交于点A(−1,0),B(0)，与y 轴交于点 C，点P为直线BC下方抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式；(2)过点P作PE⊥x轴于点 E，连接OP，是否存在点 P 使得. ∠OPE=∠ABC?若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由；(3) 将抛物线沿着x轴翻折，点P 的对应点为P′,连接P'B,求△P′CB面积的最大值及此时点 P的坐标.。