安徽中考数学专题复习-实践操作

中考数学专题复习《设计方案》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一选择题1．（2023九上·菏泽月考）在数学活动课上老师让同学们判断一个由四根木条组成的四边形是否为矩形下面是一个学习小组拟定的方案其中正确的方案是（）A．测量四边形的三个角是否为直角B．测量四边形的两组对边是否相等C．测量四边形的对角线是否互相平分D．测量四边形的其中一组邻边是否相等2．（2023九上·安徽期中）某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜班长买回来10米长的围栏准备围成两边靠墙（两墙垂直且足够长）的菜园为了让菜园面积尽可能大同学们提出了围成矩形等腰直角三角形（两直角边靠墙）扇形这三种方案如图所示．最佳方案是（）A．方案1B．方案2C．方案1或方案2D．方案33．（2022·自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜班长买回来8米长的围栏准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园为了让菜园面积尽可能大同学们提出了围成矩形等腰三角形（底边靠墙）半圆形这三种方案最佳方案是（）A．方案1B．方案2C．方案3D．方案1或方案24．（2023·衡水模拟）要得知某一池塘两端A B的距离发现其无法直接测量两同学提供了如下间接测量方案．方案Ⅰ：如图1 先过点B作BF⊥AB再在BF上取C D两点使BC=CD接着过点D作BD的垂线DE交AC的延长线于点E 则测量DE的长即可方案Ⅱ：如图2 过点B作BD⊥AB再由点D观测用测角仪在AB的延长线上取一点C 使∠BDC=∠BDA则测量BC的长即可．对于方案ⅠⅡ说法正确的是（）A．只有方案Ⅰ可行B．只有方案Ⅱ可行C．方案Ⅰ和Ⅱ都可行D．方案Ⅰ和Ⅱ都不可行5．（2023·北京市模拟）某产品的盈利额（即产品的销售价格与固定成本之差）记为y 购买人数记为x 其函数图象如图1所示．由于日前该产品盈利未达到预期相关人员提出了两种调整方案图2 图3中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法其中正确说法的序号是（）①图2对应的方案是：保持销售价格不变并降低成本②图2对应的方案是：提高销售价格并提高成本③图3对应的方案是：提高销售价格并降低成本④图3对应的方案是：提高销售价格并保持成本不变A．①③B．②③C．①④D．②④二填空题6．（2022·瓯海模拟）小芳和小林为了研究图中“跑到画板外面去的两直线a b所成的角（锐角）”问题设计出如下两个方案：小林的方案小芳的方案测αβ的度数．测∠1 ∠ACB的度数．已知小林测得∠β＝115°小芳作了AB＝BC 并测得∠1＝80°则直线a b所成的角为．7．（2023九上·港南期中）生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量设计了如下方案：先捕捉50只雀鸟给它们做上标记后放回山林一段时间后再从山林中随机捕捉80只其中有标记的雀鸟有2只请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量为只．8．（2021·东城模拟）数学课上李老师提出如下问题：已知：如图AB是⊙O的直径射线AC交⊙O于C．求作：弧BC的中点D．同学们分享了如下四种方案：①如图1 连接BC作BC的垂直平分线交⊙O于点D．②如图2 过点O作AC的平行线交⊙O于点D．③如图3 作∠BAC的平分线交⊙O于点D．④如图4 在射线AC上截取AE使AE=AB连接BE交⊙O于点D．上述四种方案中正确的方案的序号是．9．（2022·房山模拟）为确定传染病的感染者医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是2m（m为正整数）．将这2m个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次）如果检测结果是阴性可确定这些人都未感染 如果检测结果是阳性 可确实其中感染者 则将这些人平均分成两组 每组2m−1个人的样本混合在一起做第2轮检测 每组检测1次．依此类推：每轮检测后 排除结果为阴性的组 而将每个结果为阳性的组再平均分成两组 做下轮检测 直至确定所有的感染者． 例如 当待检测的总人数为8 且标记为“x ”的人是唯一感染者时 “二分检测方案”可用如图所示．从图中可以看出 需要经过4轮共n 次检测后 才能确定标记为“x ”的人是唯一感染者．（1）n 的值为（2）若待检测的总人数为8 采用“二分检测方案” 经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者 写出感染者人数的所有可能值三 实践探究题10．（2024·镇海区月考）根据以下素材 探索完成任务．如何确定木板分配方案？素材1我校开展爱心义卖活动 小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板 每块木板长和宽分别为80cm 40cm.素材2现将部分木板按图1虚线裁剪 剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒 使其底面长与宽之比为3：1．其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料） 给部分盒子配上盖子．素材3义卖时的售价如标签所示：问题解决任计算盒子高度求出长方体收纳盒的高度．务1 任务2 确定分配方案1若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒 但不到无盖收纳盒个数的2倍 木板该如何分配？请给出分配方案．任务3确定分配方案2为了提高利润 小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来 一张矩形余料可以制成一把小木剑 并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案 使销售后获得最大利润．11．（2023九上·鹿城月考）某校准备在校园里利用围墙（墙可用最大长度为25.2m ）和48m 长的篱笆墙围成Ⅰ Ⅱ两块矩形开心农场．某数学兴趣小组设计了三种方案（除围墙外 实线部分为篱笆墙 且不浪费篱笆墙） 请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图① 全部利用围墙的长度 但要在Ⅰ区中留一个宽度AE =2m 的矩形水池 且需保证总种植面积为185.52m 2 试确定CG 的长（2）方案二：如图② 使围成的两块矩形总种植面积最大 请问BC 应设计为多长？此时最大面积为多少？（3）方案三：如图③ 在图中所示三处位置各留1m 宽的门 且使围成的两块矩形总种植面积最大 请问BC 应设计为多长？此时最大面积为多少？12．【综合与实践】有言道：“杆秤一头称起人间生计 一头称起天地良心”.某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案 然后动手制作 再结合实际进行调试 请完成下列方案设计中的任务. 【知识背景】如图 称重物时 移动秤砣可使杆秤平衡 根据杠杆原理推导得：(m 0+m)⋅l =M ⋅(a +y).其中秤盘质量m 0克 重物质量m 克 秤砣质量M 克 秤纽与秤盘的水平距离为l 厘米 科纽与零刻线的水平距离为a 厘米 秤砣与零刻线的水平距离为y 厘米. 【方案设计】目标：设计简易杆秤.设定m0=10，M=50最大可称重物质量为1000克零刻线与末刻线的距离定为50厘米.（1）当秤盘不放重物秤砣在零刻线时杆秤平衡请列出关于l a的方程（2）当秤盘放入质量为1000克的重物秤砣从零刻度线移至末刻线时杠杆平衡请列出关于l a的方程（3）根据(1)和(2)所列方程求出l和a的值（4）根据（1）-（3）求y关于m的函数解析式（5）从零刻线开始每隔100克在科杆上找到对应刻线请写出相邻刻线间的距离. 13．（2023九上·长清期中）某校项目式学习小组开展项目活动过程如下：项目主题：测量旗杆高度问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？组内探究：由于旗杆较高需要借助一些工具来测量比如自制的直角三角形硬纸板标杆镜子甚至还可以利用无人机…确定方法后先画出测量示意图然后实地进行测量并得到具体数据从而计算旗杆的高度．成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案：方案一方案二…测量标杆皮尺自制直角三角板硬纸板皮尺…工具测量示意图说明：线段AB 表示学校旗杆 小明的眼睛到地面的距离CD ＝1.7m 测点F 与B D 在同一水平直线上 D F B 之间的距离都可以直接测得 且A B C D E F 都在同一竖直平面内 点A C E 三点在同一直线上．说明：线段AB 表示旗杆 小明的身高CD ＝1.7m 测点D 与B 在同一水平直线上 D B 之间的距离可以直接测得 且A B CD E F G 都在同一竖直平面内 点A C E 三点在同一直线上 点C F G 三点在同一直线上．测量数据B D 之间的距离 16.8m B D 之间的距离 16.8m … D F 之间的距离 1.35mEF 的长度0.50m…EF 的长度2.60mCE 的长度0.75m… … …根据上述方案及数据 请你选择一个方案 求出学校旗杆AB 的高度．（结果精确到0.1m ）14．（2024九上·杭州月考）根据以下素材 探索完成任务．如何设计喷泉喷头的升降方案？素材1如图 有一个可垂直升降的喷泉 喷出的水柱呈抛物线．记水柱上某一点到喷头的水平距离为x 米 到湖面的垂直高度为y 米．当喷头位于起始位置时 测量得x 与y 的四组数据如下： x （米） 0 2 3 4 y （米）121.751素材2公园想设立新的游玩项目 通过升降喷头 使游船能从水柱下方通过 如图 为避免游船被喷泉淋到 要求游船从水柱下方中间通过时 顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.4米．已知游船顶棚宽度为2.8米 顶棚到湖面的高度为2米．问题解决 任务确定喷泉形状 结合素材1 求y 关于x 的表达式．1任务2探究喷头升降方案为使游船按素材2要求顺利通过求喷头距离湖面高度的最小值．15．（2023九上·温州期末）根据素材解决问题．设计货船通过圆形拱桥的方案素材1图1中有一座圆拱石桥图2是其圆形桥拱的示意图测得水面宽AB=16m 拱顶离水面的距离CD=4m．素材2如图3 一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH 测得EF=3m EH=10m．因水深足够货船可以根据需要运载货物．据调查船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x (吨)满足函数关系式y=1100x．问题解决任务1确定桥拱半径求圆形桥拱的半径．任务2拟定设计方案根据图3状态货船能否通过圆形桥拱？若能 最多还能卸载多少吨货物？若不能 至少要增加多少吨货物才能通过？16．（2024九下·宁波月考）根据以下素材 探索完成任务．如何确定拍照打卡板素材一 设计师小聪为某商场设计拍照打卡板（如图1） 图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形 由长方形DEFG 和等腰三角形ABC 组成 且点B F G C 四点共线．其中 点A 到BC 的距离为1.2米 FG =0.8米 DG =1.5米．素材二因考虑牢固耐用 小聪打算选用甲 乙两种材料分别制作长方形DEFG 与等腰三角形ABC （两种图形无缝隙拼接） 且甲材料的单价为85元/平方米 乙材料的单价为100元/平方米．问题解决任务一推理最大高度小聪说：“如果我设计的方案中CB长与C D 两点间的距离相等 那么最高点B 到地面的距离就是线段DG 长” 他的说法对吗？请判断并说明理由．任务二 探究等腰三角形ABC 面积 假设CG 长度为x 米 等腰三角形ABC 的面积为S 求S 关于x 的函数表达式．任务三确定拍照打卡板 小聪发现他设计的方案中 制作拍照打卡板的总费用不超过180元 请你确定CG 长度的最大值．17．（2024九上·杭州月考）根据以下素材 探索完成任务如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案?素材1图1是一座抛物线形拱桥 以抛物线两个水平最低点连线为x 轴 抛物线离地面的最高点的铅垂线为y 轴建立平面直角坐标系 如图2所示． 某时测得水面宽20m 拱顶离水面最大距离为10m 抛物线拱形最高点与x 轴的距离为5m ．据调查 该河段水位在此基础上再涨1m 达到最高．素材2为方便救助溺水者 拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈 如图3 救生圈悬挂点为了方便悬挂 救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m 且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m ．为美观 放置后救生圈关于y 轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）任务1确定桥拱形状 根据图2 求抛物线的函数表达式．任务2拟定设计方案求符合悬挂条件的救生圈个数 并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．任务3探究救生绳长度 当水位达到最高时 上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间 若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边 求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计 结果保留整数）问题解决（1）任务1 确定桥拱形状 根据图2 求抛物线的函数表达式． （2）任务2 拟定设计方案求符合悬挂条件的救生圈个数 并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标． （3）任务3 探究救生绳长度当水位达到最高时 上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间 若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边 求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计 结果保留整数）18．（2023九上·浙江期中）根据以下素材 探索完成任务．绿化带灌溉车的操作方案素材1辆绿化带灌溉车正在作业 水从喷水口喷出 水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米 上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米 高出|喷水口0.9米 下边缘水流形状与上边缘相同 且喷水口是最高点。

一、选择题（10×3=30分）1.如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（）A．B． C． D．【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来，也可仔细观察图形特点，利用对称性与排除法求解．2.（扬州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（）A、6B、3C、2.5D、2【解答】解：如图以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小=4×6﹣×4×4﹣×3×6﹣×3×3=2.5．故选C．3.（2018•嘉兴•3分）将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（）A. （A）B.（B）C. （C）D. （D）4.（2016•曲靖）如图，C，E是直线l两侧的点，以C为圆心，CE长为半径画弧交l于A，B两点，又分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，下列结论不一定正确的是（）A 、CD ⊥lB 、点A ，B 关于直线CD 对称C 、点C ，D 关于直线l 对称 D 、CD 平分∠ACB5. （2018•海南•3分）如图1，分别沿长方形纸片ABCD 和正方形纸片EFGH 的对角线AC ，EG 剪开，拼成如图2所示的▱KLMN ，若中间空白部分四边形OPQR 恰好是正方形，且▱KLMN 的面 积为50，则正方形EFGH 的面积为（ ）A ．24B ．25C ．26D ．27【分析】如图，设PM=PL=NR=AR=a ，正方形ORQP 的边长为b ，构建方程即可解决问题； 【解答】解：如图，设PM=PL=NR=AR=a ，正方形ORQP 的边长为b ．由题意：a 2+∴a 2=25， ∴正方形EFGH 的面积=a 2=25， 故选：B ． 6. 有若干张面积分别为a 2、b 2、ab 的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了1张面积为a 2的正方形纸片，4张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为b2的正方形纸片（）A．2张B．4张C．6张D．8张7.如图，在一张△ABC纸片中，∠C=90°，∠B=60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有两个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】将该三角形剪成两部分，拼图使得△ADE和直角梯形BCDE不同的边重合，即可解题．【解答】解：①使得BE与AE重合，即可构成邻边不等的矩形，如图：∵∠B=60°，∴AC=BC，∴CD≠BC．学科&网②使得CD与AD重合，即可构成等腰梯形，如图：③使得AD 与DC 重合，能构成有两个角为锐角的是菱形，如图：故计划可拼出①②③． 故选C8. 如图，在一张三角形纸片ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，DE 是中位线，现把纸片沿中位线DE 剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有两个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼出的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4②把△ADE 以AD 为对称轴作轴对称变换，再向下平移DC 的长度，即可构成等腰梯形，如解图②.③把△ADE 绕点D 旋转180°，即可构成有两个角为锐角的菱形，如解图③.④正方形无法拼成．9. 如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且AE ＝13AB ，将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连结BP 交EF 于点Q ，有下列结论：①EF ＝2BE ；②PF ＝2PE ；③FQ ＝4EQ ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是(D )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④∴BE＝2EQ.∵EF＝2BE，EQ＋FQ＝4EQ，∴FQ＝3EQ，故③错误；由翻折的性质，得∠EFP＝∠EFB＝30°，∴∠BFP＝30°＋30°＝60°.又∵∠PBF＝90°－∠EBQ＝90°－30°＝60°，∴△PBF是等边三角形，故④正确．综上所述，正确的结论是①④.10.如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设P n﹣1D n﹣2的中点为D n﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点D n﹣1重合，折痕与AD交于点P n（n＞2），则AP6的长为（）A．B．C．D．【分析】先写出AD、AD1、AD2、AD3的长度，然后可发现规律推出AD n的表达式，继而根据AP n=AD n即可得出AP n的表达式，也可得出AP6的长．二、填空题（6×4=24分）.11.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，∠B＝50°.现将△ADE沿DE折叠，使点A落在三角形所在平面内的点A1处，则∠BDA1的度数为°．【解析】∵DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠ADE＝50°.由折叠的性质，得∠A1DE＝∠ADE＝50°.∴∠BDA1＝180°－∠ADE－∠A1DE＝180°－50°－50°＝80°.12.如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为2m+4 ．【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．【解答】解：设拼成的矩形的另一边长为x，则4x=（m+4）2﹣m2=（m+4+m）（m+4﹣m），解得x=2m+4．故答案为：2m+4．学科&网13. （山东省东营市·4分）如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知折痕AE ＝55cm ， 且tan ∠EFC ＝34，那么矩形ABCD 的周长_____________cm ．14. 在Rt△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3 cm ，AC ＝4 cm ，以斜边BC 上距离B 点3 cm 的点P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△DEF ，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为 cm 2.【解析】设DF 与AC ，BC 分别交于点R ，Q ，过点P 作PM ⊥QR 于点M ，作PN ⊥AC 于点N ，易得四边形PMRN 为正方形，重叠部分的面积和正方形PMRN 的面积相等，易得△CPN ∽△CBA ，∴PN BA ＝CP CB ，即PN 3＝25，∴PN ＝65(cm)，∴正方形PMRN 的面积为3625 cm 2，故重叠部分的面积为3625cm 2.15. 如图①所示，用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图②所示的四边形ABCD ，如果AE ＝4，CE ＝3BE ，那么这个四边形的面积是 ．16.（2018·辽宁大连·3分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E为AD上一点，且∠ABE=30°，将△AB E 沿BE翻折，得到△A′BE，连接CA′并延长，与AD相交于点F，则DF的长为．解：如图作A′H⊥BC于H．∵∠ABC=90°，∠ABE=∠EBA′=30°，∴∠A′BH=30°，∴A′H=BA′=1，BH=A′H=，∴CH=3﹣．∵△CDF∽△A′HC，∴ =，∴ =，∴DF=6﹣2．故答案为：6﹣2．三、解答题（共46分）.17.某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是▱ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在▱ABCD的四条边上，请你设计两种方案：方案(1)：如图(1)所示，两个出入口E、F已确定，请在图(1)上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；方案(2)：如图(2)所示，一个出入口M 已确定，请在图(2)上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法.【分析】 本题属于开放性试题，不管哪种方案都离不开所设计的四边形的面积是▱ABCD 面积的一半，作平行线是解题的关键，因为平行线间的距离处处相等．画法3：如图3(1)在AD 上取一点H ，使DH ＝CF ；(2)在CD 上任取一点G 连接EF 、FG 、GH 、HE ，则四边形EFGH 就是所要画的四边形．方案(2)画法：如图4：(1)过M 点作MP ∥AB 交AD 于点P ，(2)在AB 上取一点Q ，连接PQ ，(3)过M 作MN ∥PQ 交DC 于点N ，连接QM 、PN 、MN 则四边形QMNP 就是所要画的四边形．(本题答案不唯一，符合要求即可)18. （2018•江苏无（1）请用直尺（不带刻度（21）中这样的直线AC 是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出 所有这样的直线AC ，并写出与之对应的函数表达式．【解答】（1）解：如图△ABC即为所求；（2）解：这样的直线不唯一．①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，此时直线的解析式为y=﹣32x+132②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件，此时直线A′C′的解析式为y=﹣23x+4．学科&网19.（2018济宁）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒 EF；③T 型尺（CD 所在的直线垂直平分线段 AB）．（1）在图 1 中，请你画出用 T 形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；（2）如图 2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点 M，N 之间的距离，就可求出环形花坛的面积”如果测得 MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积．【解答】解：（1）如图点 O 即为所求；20.（2018黑龙江龙东）（8.00分）如图，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：BC﹣DE=DF．（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段BC、DE与DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．【解答】（1）证明：如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．∵BC=AB=BD，BE=BH，∴AH=ED，∵∠AEF=∠ABE=90°，∴∠AEB+∠FED=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠FED=∠HAE，∵∠BHE=∠CDB=45°，∴∠AHE=∠EDF=135°，∴△AHE≌△EDF，∴HE=DF，∴BC﹣DE=BD﹣DE=BE=EH=DF．∴BC﹣DE=DF．（2）解：如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证：DF=EH．可得：DE﹣BC=DF．如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可证：DF=HE，可得BC+DE=DF．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．21. （2018山东日照）（13分）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC=AB．探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．（1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE=AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为．（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论．拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．【解答】解：探究结论（1）如图1中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∵AC=AB=AE=EB，∴△ACE是等边三角形，∴EC=AE=EB，故答案为EC=EB．（2）如图2中，结论：ED=EB．理由：连接PE．（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，同法可证：ED=EB，故答案为ED=EB．拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA．∵A（﹣，1），∴∠AOH=30°，由（2）可知，CO=CB，∵CF⊥OB，∴OF=FB=1，∴可以假设C（1，n），∵OC=BC=AB，∴1+n2=1+（+2）2，∴n=2+，∴C（1，2+）．学科&网。

中考数学“动手操作”专题训练试题江苏 文页一、选择题1，如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于（ ）A.25°B.30°C.45°D.60°2，如图，小亮拿一张矩形纸图（1），沿虚线对折一次得图（2），下将对角两顶点重合折叠得图（3）.按图（4）沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是（ ）A ．都是等腰梯形B ．都是等边三角形C ．两个直角三角形，一个等腰三角形3，Rt △ABC 中，斜边AB =4，∠B=60º，将△ABC 绕点B 旋转60º，顶点C 运动的路线长是（ ）A．3π B ．3π2 C ．π D ．3π4 4，用一把带有刻度尺的直角尺, ①可以画出两条平行的直线a 和b, 如图(1); ②可以画出∠AOB 的平分线OP, 如图(2); ③可以检验工件的凹面是否为半圆, 如图(3); ④可以量出一个圆的半径, 如图(4). 这四种说法正确的有（ ）图(1) 图(2) 图(3) 图(4)A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个5，如图1所示，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成图2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ）A ．234cmB ．236cmC ．238cmD ．240cm6，当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形ABCD ，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A 所（4）（3）沿虚线剪开对角顶点重合折叠（2）（1）图1 图2A B CD在直线为折痕，折叠纸片，使点B 落在AD 上，折痕与BC 交于E ；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E 所在直线为折痕，使点A 落在BC 上，折痕EF 交AD 于F ．则∠AFE ＝（ ）A ．60︒B ．67.5︒C ．72︒D ．75︒7，如图，把矩形纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B ，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH ＝90°，PF ＝8，PH ＝6，则矩形ABCD 的边BC 长为（ ）A.20B.22C.248，如图，把边长为2的正方形的局部进行图①～图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（ ）A.18B.16C.12D.89，把一张正方形纸片按如图.对折两次后，再挖去一个小圆孔，那么展开后的图形应为10，如图，将n 个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A 1、 A 2、…、A n分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ）A ．41cm 2 B ．4n cm 2 C ．41-n cm 2D ．n )41( cm 2 二、填空题11，在同一平面内，用两个边长为a 的等边三角形纸片(纸片不能裁剪)可以拼成的四边形是＿＿＿.① ② ③ ④ ⑤A ．B ．C ．D ．12，如图，是用形状、大小完全相同的等腰提梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指锐角）是 度.13，用等腰直角三角板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为＿＿＿°.14，如图，正方形ABCD 的边长为4，MN BC ∥分别交AB CD ，于点M N ，，在MN 上任取两点P Q ，，那么图中阴影部分的面积是 ．15，如图，一宽为2cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位：cm )，则该圆的半径为 cm.16，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝ 度.17，如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB 的高为 0.3米，踏板DE 长为1.6米，支撑点A 到踏脚D 的距离为0.6米，现在踏脚着地，则捣头点E 上升了 __米.A图 （2）图（1）DM N18，小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为_____________；同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n 次后所得到的等腰直角三角形（如图n+1）的一条腰长为_________．三、解答题19，如图是一个食品包装盒的侧面展开图。

考向5.7 相似三角形压轴训练专题例题：（2021·安徽·中考真题）如图1，在四边形ABCD 中，ABC BCD ∠=∠，点E 在边BC 上，且//AE CD ，//DE AB ，作CF //AD 交线段AE 于点F ，连接BF ．（1）求证：ABF EAD △≌△；（2）如图2，若9AB =，5CD =，ECF AED ∠=∠，求BE 的长；（3）如图3，若BF 的延长线经过AD 的中点M ，求BE EC的值．（1）证明：//AE CD ，AEB DCE ∴∠=∠；//DE AB ，ABE DEC ∴∠=∠，12∠=∠，ABC BCD ∠=∠ ，ABE AEB ∴∠=∠，DCE DEC ∠=∠，AB AE =∴，DE DC =，//AF CD ，//AD CF ，∴四边形AFCD 是平行四边形AF CD∴=AF DE∴=在ABF 与EAD 中．12AB EA AF ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABF EAD SAS ∴△≌△（2）ABF EAD △≌△，BF AD ∴=，在AFCD □中，AD CF =，BF CF ∴=，FBC FCB ∴∠=∠，又2FCB ∠=∠ ，21∠=∠，1FBC ∴∠=∠，在EBF △与EAB 中．1EBF BEF AEB ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，EBF EAB ∴△∽△；EBEFEA EB ∴=；9AB = ，9AE ∴=；5CD = ，5AF ∴=；4EF ∴=，49EBEB ∴=，6BE ∴=或6-（舍）；（3）延长BM 、ED 交于点G ．ABE 与DCE 均为等腰三角形，ABC DCE ∠=∠，ABE DCE ∴△∽△，AB AE BE DC DE CE∴==，设1CE =，BE x =，DC DE a ==，则AB AE ax ==，AF CD a ==，(1)EF a x ∴=-，//AB DG ，3G ∴∠=∠；在MAB △与MDG 中，345G MA MD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MAB MDG AAS ∴△≌△；DG AB ax ∴==．(1)EG a x ∴=+；//AB EG ，FAB FEG ∴△∽△，FA AB FE EG∴=，(1)(1)a ax a x a x ∴=-+，(1)1x x x -∴=+，2210x x ∴--=，2(1)2x ∴-=，1x ∴=11x ∴=，21x =+，1BE EC∴=一、单选题1．（2018·山东聊城·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为（ ）A ．（﹣91255，）B ．（﹣12955，）C ．（﹣161255，）D ．（﹣121655，）2．（2020·四川遂宁·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，连接AE 、DE ，分别交BD 、AC 于点P 、Q ，过点P 作PF ⊥AE 交CB 的延长线于F ，下列结论：①∠AED +∠EAC +∠EDB ＝90°，②AP ＝FP ，③AE ，④若四边形OPEQ 的面积为4，则该正方形ABCD 的面积为36，⑤CE •EF ＝EQ •DE ．其中正确的结论有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个3．（2018·广西桂林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，M 、N 、C 三点的坐标分别为（12，1），（3，1），（3，0），点A 为线段MN 上的一个动点，连接AC ，过点A 作AB AC ⊥交y 轴于点B ，当点A 从M 运动到N 时，点B 随之运动，设点B 的坐标为（0，b ），则b 的取值范围是（ ）A ．114b -≤≤B ．514b -≤≤C ．9142b -≤≤D ．914b -≤≤二、填空题4．（2017·贵州黔南·中考真题）如图，在ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到A B C ''△，使CB '∥AB ，分别延长AB ，CA '相交于点D ，则线段BD 的长为__．5．（2016·四川资阳·中考真题）如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，CO ⊥AB 于点O ，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且AD=CE ，连结DE 交CO 于点P ，给出以下结论：①△DOE 是等腰直角三角形；②∠CDE=∠COE ；③若AC=1，则四边形CEOD 的面积为14；④22222AD BE OP DP PE +-=⋅，其中所有正确结论的序号是___________．三、解答题6．（2019·广西梧州·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，AF 平分DAC ∠，分别交,DC BC 的延长线于点,E F ；连接DF ，过点A 作AH DF ∕∕，分别交,BD BF 于点,G H ．（1）求DE 的长；（2）求证：1DFC ∠=∠．7．（2012·浙江金华·中考真题）在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．（1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数；（2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△ABA 1的面积为4，求△CBC 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P 1，求线段EP 1长度的最大值与最小值．8．（2013·江苏盐城·中考真题）阅读材料：如图①，△ABC 与△DEF 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D 在AB 边上，AB 、EF 的中点均为O,连结BF 、CD 、CO ，显然点C 、F 、O 在同一条直线上，可以证明△BOF ≌△COD ，则BF=CD解决问题：（1）将图①中的Rt △DEF 绕点O 旋转得到图②，猜想此时线段BF 与CD 的数量关系，并证明你的结论；（2）如图③，若△ABC 与△DEF 都是等边三角形，AB 、EF 的中点均为O,上述（1）中结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出BF 与CD 之间的数量关系；（3）如图④，若△ABC 与△DEF 都是等腰三角形，AB 、EF 的中点均为O,且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出BF CD的值（用含α的式子表示出来）．9．（2018·浙江舟山·中考真题）已知，ABC ∆中，B C ∠=∠，P 是BC 边上一点，作CPE BPF ∠=∠，分别交边AC ，AB 于点E ，F .（1）若CPE C ∠=∠（如图1），求证：PE PF AB +=.（2）若CPE C ∠≠∠，过点B 作CBD CPE ∠=∠，交CA （或CA 的延长线）于点D .试猜想：线段PE ，PF 和BD 之间的数量关系，并就CPE C ∠>∠情形（如图2）说明理由.（3）若点F 与A 重合（如图3），27C ∠= ，且PA AE =.①求CPE ∠的度数；②设PB a =，PA b =，AB c =，试证明：22a cb c-=.10．（2015·四川成都·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB 的延长线相交于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交于点H，连接BD、FH．（1）求证：△ABC≌△EBF；（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=1，求HG•HB的值．一、单选题BC＝2，M为1．（2021·广西百色·中考真题）如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S．设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．2．（2019·辽宁鞍山·中考真题）如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点C ，D ，E 在同一条直线上，顶点B ，C ，G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG于点M ，连接OH ．以下四个结论：①GH ⊥BE ；②△EHM ∽△GHF ；③BC CG1；④HOM HOG S S △△＝2，其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④3．（2015·广西贵港·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC 于点F ，连接DF ，分析下列五个结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF=2AF ；③DF=DC ；④tan ∠⑤S 四边形CDEF =52S △ABF ，其中正确的结论有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个二、填空题4．（2017·湖北十堰·中考真题）如图，正方形ABCD 中，BE=EF=FC ，CG=2GD ，BG 分别交AE ，AF 于M ，N ．下列结论：①AF ⊥BG ；②BN=NF ；③38MB MG =；④S 四边形CGNF =S 四边形ANGD ．其中正确的结论的序号是_______．5．（2015·四川南充·中考真题）如图，正方形ABCD 边长为1，以AB 为直径作半圆，点P 是CD 中点，BP 与半圆交于点Q ，连结DQ ．给出如下结论：①DQ ＝1；②；③S △PDQ ＝；④cos ∠ADQ=．其中正确结论是_________．（填写序号）三、解答题6．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，有这样一道探究题．如图，已知ABC 中，AB =AC =m ，BC =n ，()0180BAC αα∠=︒<<︒，点P 为平面内不与点A 、C 重合的任意一点，将线段CP 绕点P 顺时针旋转a ，得线段PD ，E 、F 分别是CB 、CD 的中点，设直线AP 与直线EF 相交所成的较小角为β，探究EF AP 的值和β的度数与m 、n 、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：（1）填空：【问题发现】小明研究了60α=︒时，如图1，求出了EF PA =___________，β=___________；小红研究了90α=︒时，如图2，求出了EF PA =___________，β=___________；【类比探究】他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了EF PA ；【归纳总结】最后他们终于共同探究得出规律：EF PA =__________(用含m 、n 的式子表示)；β=___________ (用含α的式子表示)．（2）求出120α=︒时EF PA的值和β的度数．7．（2021·湖南岳阳·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，点D 为AB 的中点，连接CD ，将线段CD 绕点D 顺时针旋转()60120αα︒<<︒得到线段ED ，且ED 交线段BC 于点G ，CDE ∠的平分线DM 交BC 于点H ．（1）如图1，若90α=︒，则线段ED 与BD 的数量关系是________，GD CD=________；（2）如图2，在（1）的条件下，过点C 作//CF DE 交DM 于点F ，连接EF ，BE ．①试判断四边形CDEF 的形状，并说明理由；②求证：BE FH =；（3）如图3，若2AC =，()tan 60m α-︒=，过点C 作//CF DE 交DM 于点F ，连接EF ，BE ，请直接写出BE FH的值（用含m 的式子表示）．8．（2021·四川乐山·中考真题）在等腰ABC 中，AB AC =，点D 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），连结AD ．（1）如图1，若60C ∠=°，点D 关于直线AB 的对称点为点E ，结AE ，DE ，则BDE ∠=________；（2）若60C ∠=°，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AE ，连结BE ．①在图2中补全图形；②探究CD 与BE 的数量关系，并证明；（3）如图3，若AB AD k BC DE==，且ADE C ∠=∠，试探究BE 、BD 、AC 之间满足的数量关系，并证明．9．（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处，得到折痕DE ，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD 沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，C F '交DE 于点N ，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，填空：四边形AEA D '的形状是_____________________；（2）如图2，线段MC '与ME 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若2cm,'4cm AC DC '==，求:DN EN 的值．10．（2020·四川内江·中考真题）如图，正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（不与A 、C 重合），连结BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90︒到BQ ，连结QP 交BC 于点E ，QP 延长线与边AD 交于点F ．（1）连结CQ ，求证：AP CQ =；（2）若14AP AC =，求:CE BC 的值；（3）求证：PF EQ =．11．（2021·湖北十堰·中考真题）已知抛物线25y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -和()5,0B -，与y轴交于点C ，顶点为P ，点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方，连AN 交抛物线于M ，连AC 、CM ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan 2ACM ∠=时，求M 点的横坐标；（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线l ，过M 作MD l ⊥于D ，若MD =，求N 点的坐标．1．A【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△ONC1三边关系，再利用勾股定理得出答案．【详解】过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M，由题意可得：∠C1NO=∠A1MO=90°，∠1=∠2=∠3，则△A1OM∽△OC1N，∵OA=5，OC=3，∴OA1=5，A1M=3，∴OM=4，∴设NO=3x，则NC1=4x，OC1=3，则（3x）2+（4x）2=9，解得：x=±35（负数舍去），则NO=95，NC1=125，故点C的对应点C1的坐标为：（-95，125）．故选A．【点拨】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出△A1OM∽△OC1N是解题关键．2．B【解析】【分析】①正确:证明∠EOB=∠EOC=45°，再利用三角形的外角的性质即可得出答案；②正确：利用四点共圆证明∠AFP=∠ABP=45°即可；③正确：设BE=EC=a，求出AE，OA即可解决问题；④错误：通过计算正方形ABCD的面积为48；⑤正确：利用相似三角形的性质证明即可.【详解】①正确：如图，连接OE，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA=OC=OB=OD，∴∠BOC=90°，∵BE=EC，∴∠EOB=∠EOC=45°，∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC=∠EAC+∠AEO，∴∠AED+∠EAC+∠EDO=∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB=90°，故①正确；②正确：如图，连接AF，∵PF⊥AE，∴∠APF=∠ABF=90°，∴A，P，B，F四点共圆，∴∠AFP=∠ABP＝45°，∴∠PAF=∠PFA＝45°，∴PA=PF，故②正确；③正确：设BE=EC=a，则AE，OA＝OC＝OB＝OD a，∴AE AO AE ，故③正确；④错误：根据对称性可知，OPE OQE ≅△△，∴OEQ S △=12OPEQ S 四边形=2，∵OB =OD ，BE =EC ，∴CD =2OE ，OE ⊥CD ，∴ EQ OE 1==DQ CD 2， OEQ CDQ △△，∴ODQ S =4△， CDQ S =8△，∴CDO S =12△，∴ABCD S =48正方形，故④错误；⑤正确：∵∠EPF =∠DCE =90°，∠PEF =∠DEC ，∴EPF ECD △△，∴EF PE =ED EC，∴EQ =PE ，∴CE•EF =EQ•DE ，故⑤正确；综上所诉一共有4个正确，故选：B ．【点拨】本题主要考查了三角形外角性质、四点共圆问题、全等与相似三角形的综合运用，熟练掌握相关概念与方法是解题关键.3．B【解析】【分析】延长NM 交y 轴于P 点，则MN ⊥y 轴．连接CN ．证明△PAB ∽△NCA ，得出PB PA NA NC=，设PA=x ，则NA=PN-PA=3-x ，设PB=y ，代入整理得到22393()24y x x x =-=--+，根据二次函数的性质以及12≤x≤3，求出y 的最大与最小值，进而求出b 的取值范围．【详解】解：如图，延长NM 交y 轴于P 点，则MN ⊥y 轴．连接CN ．在△PAB 与△NCA 中，9090APB CNA PAB NCA CAN ∠∠︒⎧⎨∠∠︒-∠⎩＝＝＝＝，∴△PAB ∽△NCA ，∴PB PA NA NC=，设PA=x ，则NA=PN-PA=3-x ，设PB=y ，∴31y x x =-，∴22393()24y x x x =-=--+，∵-1＜0，12≤x≤3，∴x=32时，y 有最大值94，此时b=1-94=-54，x=3时，y 有最小值0，此时b=1，∴b 的取值范围是-54≤b≤1．故选：B ．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y 与x 之间的函数解析式是解题的关键．4．6.【解析】【详解】试题分析：∵将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A′B′C ，AB ＝2，AC ＝4，∴A′B′＝AB ＝2，AC′＝AC ＝4，∠CA′B′＝∠A.又∵CB′∥AB ，∴∠A′CB′＝∠A. ∴△A′CB′∽△DAC.∴CA A B AD AC'''=，即4284AD AD =⇒=. ∴BD=6.考点：1.旋转的性质；2.平行的性质；3.相似三角形的判定和性质.5．①②③④．【解析】【详解】试题分析：①正确．如图，∵∠ACB=90°，AC=BC ，CO ⊥AB∴AO=OB=OC ，∠A=∠B=∠ACO=∠BCO=45°，在△ADO 和△CEO 中，∵OA=OC ，∠A=∠ECO ，AD=CE ，∴△ADO ≌△CEO ，∴DO=OE ，∠AOD=∠COE ，∴∠AOC=∠DOE=90°，∴△DOE 是等腰直角三角形．故①正确．②正确．∵∠DCE+∠DOE=180°，∴D 、C 、E 、O 四点共圆，∴∠CDE=∠COE ，故②正确．③正确．∵AC=BC=1，∴S △ABC =12×1×1=12，S 四边形DCEO =S △DOC +S △CEO =S △CDO +S △ADO =S △AOC =12S △ABC =14，故③正确．④正确．∵D 、C 、E 、O 四点共圆，∴OP•PC=DP•PE ，∴22OP +2DP•PE=22OP +2OP•PC=2OP （OP+PC ）=2OP•OC ，∵∠OEP=∠DCO=∠OCE=45°，∠POE=∠COE ，∴△OPE ∽△OEC ，∴OP OE OE OC =，∴OP•OC=2OE ，∴22OP +2DP•PE=22OE =2DE =22CD CE +，∵CD=BE ，CE=AD ，∴22222AD BE OP DP PE +=+⋅，∴22222AD BE OP DP PE +-=⋅．故④正确．考点：勾股定理；四点共圆．6．（1）32=DE ；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由AD CF ∕∕，AF 平分DAC ∠，可得FAC AFC ∠=∠，得出5AC CF ==，可证出ADE FCE ∆∆∽，则AD DE CF CE =，可求出DE 长；（2）由ADG HBG ∆∆∽，可求出DG ，则DE DC DG DB=，可得EG BC ∕∕，则1AHC ∠=∠，根据DF AH ∕∕，可得AHC DFC ∠=∠，结论得证．【详解】（1）解：∵矩形ABCD 中， AD CF ∕∕，∴DAF ACF ∠=∠，∵AF 平分DAC ∠，∴DAF CAF ∠=∠，∴FAC AFC ∠=∠，∴AC CF =，∵4,3AB BC ==，∴5AC ==，∴5CF =，∵AD CF ∕∕，∴ADE FCE ∆∆∽，∴AD DECF CE =，设DE x =，则354xx =-，解得32x =∴32=DE ；（2）∵,AD FH AF DH ∕∕∕∕，∴四边形ADFH 是平行四边形，∴3AD FH ==，∴2,5CH BH ==∵AD BH ∕∕，∴ADG HBG ∆∆∽，∴DGADBG BH =，∴355DGDG =-，∴158DG =，∵32=DE ，∴45DE DCDG DB ==，∴EG BC ∕∕，∴1AHC ∠=∠，又∵DF AH ∕∕，∴AHC DFC ∠=∠，1DFC ∠=∠．【点拨】考核知识点：相似三角形综合运用.证明相似三角形，运用相似三角形性质是关键.7．（1）∠CC 1A 1=90°．（2）S △CBC1=254．（3）最小值为：EP 12．最大值为：EP 1= 7．【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得：∠A 1C 1B=∠ACB=45°，BC=BC 1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC 1A 1的度数．（2）由旋转的性质可得：△ABC ≌△A 1BC 1，易证得△ABA 1∽△CBC 1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC 1的面积．（3）由①当P 在AC 上运动至垂足点D ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 上时，EP 1最小；②当P 在AC 上运动至点C ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 的延长线上时，EP 1最大，即可求得线段EP 1长度的最大值与最小值．【详解】解：（1）∵由旋转的性质可得：∠A 1C 1B=∠ACB=45°，BC=BC 1，∴∠CC 1B=∠C 1CB=45°．∴∠CC 1A 1=∠CC 1B+∠A 1C 1B=45°+45°=90°．（2）∵由旋转的性质可得：△ABC ≌△A 1BC 1，∴BA=BA 1，BC=BC 1，∠ABC=∠A 1BC 1．∴11BA BA BC BC =，∠ABC+∠ABC 1=∠A 1BC 1+∠ABC 1∴∠ABA 1=∠CBC 1．∴△ABA 1∽△CBC 1∴1122ABA CBC S AB 416S CB 525∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=254．（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上．在Rt△BCD中，①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小．最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣2．②如图2，当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大．最大值为：EP1=BC+BE=5+2=7．8．（1）根据等腰直角三角形和旋转的性质，由SAS证出△BOF≌△COD，即可得出结论.（2）不成立.根据等边三角形和旋转的性质，证出△BOF∽△COD，即可得出结论.（3）BFtan CD2α=.【解析】【详解】分析：（1）根据等腰直角三角形和旋转的性质，由SAS证出△BOF≌△COD，即可得出结论.（2）根据等边三角形和旋转的性质，证出△BOF∽△COD，即可得出结论.（3）如图，连接CO、DO，仿（2）可证△BOF∽△COD，从而BF BO CD CO=.由点O是AB的中点，可得CO⊥AB，∴BOtan2COα=.∴BFtanCD2α=.解：（1）相等.证明如下：如图，连接CO、DO，∵△ABC是等腰直角三角形，点O是AB的中点，∴BO=CO，CO⊥AB.∴∠BOC=900.同理，FO=DO，∠DOF=900.∴∠BOF=900＋∠COF，∠COD=900＋∠COF.∴∠BOF=∠COD.∴△BOF≌△COD（SAS）.∴BF=CD.（2）不成立.如图，连接CO、DO，∵△ABC 是等边三角形，∴∠CBO=600.∵点O 是AB 的中点，∴CO ⊥AB ，即∠BOC=900.∴在Rt △BOC 中，CO tan CBO BO ∠==同理，∠DOF=900，DO FO =.∴CO DO BO FO=.又∵∠BOF=900＋∠COF ，∠COD=900＋∠COF.∴∠BOF=∠COD.∴△BOF ∽△COD.∴CD CO BF BO==∴CD =.（3）BF tan CD 2α=.9．（1）证明见解析；（2）猜想：BD PE PF =+，理由见解析；（3）①51CPE ∠= ；②证明见解析.【解析】【详解】【分析】（1）根据平行线的判定，得到//PE AF ，//PF AE ，证明PE AF =.即可证明PE PF AB +=. （2）过点B 作DC 的平行线交EP 的延长线于点G ，证明FBP ∆≌()GBP ASA ∆，得到PF PG =.证明四边形BGED 是平行四边形，即可得到BD EG PG PE PE PF ==+=+.（3）①设CPE BPF x ∠=∠=，27APE PEA C CPE x ∠=∠=∠+∠=+ ，根据三角形的内角和列出方程，求解即可.②延长BA 至M ，使AM AP =，连结MP ,证明 ABP PBM ∆~∆.根据相似三角形的性质得到BP BM AB BP=，即可证明.【解答】（1）∵B C ∠=∠，CPE BPF ∠=∠，CPE C ∠=∠，∴B BPF CPE ∠=∠=∠，BPF C ∠=∠，∴PF BF =，//PE AF ，//PF AE ，∴PE AF =.∴PE PF AF BF AB +=+=.（2）猜想：BD PE PF =+，理由如下：过点B 作DC 的平行线交EP 的延长线于点G ，则ABC C CBG ∠=∠=∠，∵CPE BPF ∠=∠，∴BPF CPE BPG ∠=∠=∠，又BP BP =，∴FBP ∆≌()GBP ASA ∆，∴PF PG =.∵CBD CPE ∠=∠，∴//PE BD ，∴四边形BGED 是平行四边形，∴BD EG PG PE PE PF ==+=+.（3）①设CPE BPF x ∠=∠=，∵27C ∠= ，PA AE =，∴27APE PEA C CPE x ∠=∠=∠+∠=+ ，又180BPA APE CPE ∠+∠+∠= ，即27180x x x +++= ，∴51x = ，即51CPE ∠= .②延长BA 至M ，使AM AP =，连结MP ，∵27C ∠= ，51BPA CPE ∠=∠= .∴180BAP B BPA ∠=-∠-∠ 102M MPA ==∠+∠ ，∵AM AP =，∴1512M MPA BAP ∠=∠=∠= ，∴M BPA ∠=∠，而B B ∠=∠，∴ABP PBM ∆~∆.∴BP BM AB BP=，∴2BP AB BM =⋅.∵PB a =，PA AM b ==，AB c =，∴()2a c b c =+，∴22a cb c-=.【点评】考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质， 综合性比较强，对学生综合能力要求较高.10．（1）证明见试题解析；（2）相切，理由见试题解析；（3）2．【解析】【分析】（1）由∠ABC=90°和FD ⊥AC ，得到∠ABF=∠EBF ，由∠DEC=∠BEF ，得到∠DCE=∠EFB ，从而得到△ABC ≌△EBF （ASA ）；（2）BD 与⊙O 相切．连接OB ，只需证明∠DBE+∠OBE=90°，即可得到OB ⊥BD ，从而有BD 与⊙O 相切；（3）连接EA ，EH ，由DF 为线段AC 的垂直平分线，得到AE=CE ，由△ABC ≌△EBF ，得到AB=BE=1，进而得到=故1BF BC ==即可得出结论24EF =+又因为BH 为角平分线，易证△EHF 为等腰直角三角形，故222EF HF =，得到22122HF EF ==△GHF ∽△FHB ，得到2HG HB HF ⋅=．【详解】解：（1）∵∠ABC=90°，∴∠CBF=90°，∵FD ⊥AC ，∴∠CDE=90°，∴∠ABF=∠EBF ，∵∠DEC=∠BEF ，∴∠DCE=∠EFB ，∵BC=BF ，∴△ABC ≌△EBF （ASA ）；（2）BD 与⊙O 相切．理由：连接OB ，∵DF 是AC 的垂直平分线，∴AD=DC ，∴BD=CD ，∴∠DCE=∠DBE ，∵OB=OF ，∴∠OBF=∠OFB ，∵∠DCE=∠EFB ，∴∠DBE=∠OBF ，∵∠OBF+∠OBE=90°，∴∠DBE+∠OBE=90°，∴OB ⊥BD ，∴BD 与⊙O 相切；（3）连接EA ，EH ，∵DF 为线段AC 的垂直平分线，∴AE=CE ，∵△ABC ≌△EBF ，∴AB=BE=1，∴=，∴1BF BC ==+∴(2222114EF BE BF =+=+=+，又∵BH 为角平分线，∴∠EBH=∠EFH=45°，∴∠HEF=∠HBF=45°，∠HFG=∠EBG=45°，∴△EHF 为等腰直角三角形，∴222EF HF =，∴22122HF EF ==∵∠HFG=∠FBG=45°，∠GHF=∠GHF ，∴△GHF ∽△FHB ，∴HF HGHB HF =，∴2HG HB HF ⋅=，∴22HG HB HF ⋅==．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．1．D【解析】【分析】把M 点的运动过程分为AE 段（0x ≤≤）和BE x ≤≤可知在AE 段HAE GHD EOM GPS S S S S S =+--△△△△，分别表示出四个三角形的面积即可用x 表示出S ；同理当在BE 段时1111HAE GHD EO M GP S S S S S S =+++△△△△，分别表示出四个三角形的面积即可用x 表示出S ；最后根据x与S 的函数关系式对图像进行判断即可【详解】解：如下图所示，当M 点的运动过程在AE 段则由题意可知HAE GHD EOM GPSS S S S S =+--△△△△∵四边形ABCD 是矩形，直线l ⊥AB ，H 、E 、F 、G 为AD 、AB 、BC 、CD 的中点∴=HAE GHD S S △△，=EOM GPSS S △△∴22HAE EOMS S S =-△△∵1=2HAE S AE AH △，11122AH AD BC ===，12AE AB ==∴1=2HAE S AE AH △∵直线l ⊥AB∴∠OME =∠A =90°∴△HAE ∽△OME ∴AH OM AE ME=∴OM =又∵ME AE AM x=-=∴)OM x ==∴)212EOM S OM ME x ==- △∴)222HAE EOM S S S x =-=△△如下图所示，当M 点的运动过程在BE 段同理当在BE 段时1111HAE GHD EO M GP S S S S S S =+++△△△△即1122HAE EO M S S S =+△△同理可以得到111O M E =11M E AM AE x =-=∴111O M E x ==∴11211112EO M S O M M E x ==- △∴11222HAE EO MS S S x=+=△△综上所述当M点的运动过程在AE段时)222HAE EOMS S S x=-=--△△，二次函数开口向下；当M 点的运动过程在BE段时2S x=，二次函数开口向上故选D.【点拨】本题主要考查了二次函数图像，矩形的性质，相似三角形等等知识点，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算.2．A【解析】【分析】由四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE=90°，从而得GH⊥BE；由GH是∠EGC的平分线，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中点，利用中位线定理，得HO∥BG 且HO=12BG；由△EHG是直角三角形，因为O为EG的中点，所以OH=OG=OE，得出点H在正方形CGFE 的外接圆上，根据圆周角定理得出∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°，∠HEG=∠HFG，从而证得△EHM∽△GHF；设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，由HO∥BG，得出△DHN∽△DGC，即可得出DN HNDC CG=，得到b2a a2a2b-=，即a2+2ab-b2=0，从而求得BC1CG-，设正方形ECGF的边长是2b，则，得到，通过证得△MHO∽△MFE，得到OM OHEM EF===1OMOE===，进一步得到1HOM HOMHOE HOGS SS S∆∆∆∆==.【详解】解：如图，∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，∴BC ＝CD ，CE ＝CG ，∠BCE ＝∠DCG ，在△BCE 和△DCG 中，BC CD BCE DCGCE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△DCG （SAS ），∴∠BEC ＝∠BGH ，∵∠BGH+∠CDG ＝90°，∠CDG ＝∠HDE ，∴∠BEC+∠HDE ＝90°，∴GH ⊥BE ．故①正确；∵△EHG 是直角三角形，O 为EG 的中点，∴OH ＝OG ＝OE ，∴点H 在正方形CGFE 的外接圆上，∵EF ＝FG ，∴∠FHG ＝∠EHF ＝∠EGF ＝45°，∠HEG ＝∠HFG ，∴△EHM ∽△GHF ，故②正确；∵△BGH ≌△EGH ，∴BH ＝EH ，又∵O 是EG 的中点，∴HO ∥BG ，∴△DHN ∽△DGC ，DN HN DC CG∴=设EC 和OH 相交于点N ．设HN ＝a ，则BC ＝2a ，设正方形ECGF 的边长是2b ，则NC ＝b ，CD ＝2a ，222b a a a b-∴=即a 2+2ab ﹣b 2＝0，解得：a ＝b ＝（﹣b ，或a ＝（﹣1b （舍去），212ab ∴=1BCCG ∴=故③正确；∵△BGH ≌△EGH ，∴EG ＝BG ，∵HO 是△EBG 的中位线，∴HO ＝12BG ，∴HO ＝12EG ，设正方形ECGF 的边长是2b ，∴EG ＝，∴HOb ，∵OH ∥BG ，CG ∥EF ，∴OH ∥EF ，∴△MHO △MFE ，∴OM OH EM EF ===∴EMOM ，∴1OMOE ===，∴1HOMHOES S ∆∆=-∵EO ＝GO ，∴S △HOE ＝S △HOG ，∴1HOMHOGS S ∆∆=-故④错误，故选A ．【点拨】本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键．3．B【解析】【详解】过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠ABC=90°，AD=BC ，∵BE ⊥AC 于点F ，∴∠EAC=∠ACB ，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF ∽△CAB ，故①正确；∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴AE AF BC CF =，∵AE=12AD=12BC ，∴12AF CF =，∴CF=2AF ，故②正确，∵DE ∥BM ，BE ∥DM ，∴四边形BMDE 是平行四边形，∴BM=DE=12BC ，∴BM=CM ，∴CN=NF ，∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ，∴DN ⊥CF ，∴DF=DC ，故③正确；设AD=a ，AB=b ，易知△BAE ∽△ADC ，有A D AD B AE C =，即2a b a b=∵tan ∠CAD==CD b AD a ，∴tan ∠④错误；∵△AEF ∽△CBF ，∴12EF AE BF BC ==，∴S △AEF =12S △ABF ，S △ABF =16S 矩形ABCD ，∵S △ABE =14S 矩形ABCD ，S △ACD =12S 矩形ABCD ，∴S △AEF =112S 四边形ABCD ，又∵S 四边形CDEF =S △ACD ﹣S △AEF =12S 矩形ABCD ﹣112S 矩形ABCD =512S 矩形ABCD ，∴S 四边形CDEF =52S △ABF ，故⑤正确；故选B ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．矩形的性质；3．综合题．4．①③.【解析】【详解】试题分析：①易证△ABF ≌△BCG ，即可解题；②易证△BNF ∽△BCG ，即可求得的值，即可解题；③作EH⊥AF，令AB=3，即可求得MN，BM的值，即可解题；④连接AG，FG，根据③中结论即可求得S四边形CGNF和S四边形ANGD，即可解题．①∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD，∵BE=EF=FC，CG=2GD，∴BF=CG，∵在△ABF和△BCG中，，∴△ABF≌△BCG，∴∠BAF=∠CBG，∵∠BAF+∠BFA=90°，∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF⊥BG；①正确；②∵在△BNF和△BCG中，，∴△BNF∽△BCG，∴,∴BN=NF；②错误；③作EH⊥AF，令AB=3，则BF=2，BE=EF=CF=1，AF=，∵S△ABF=AFBN=ABBF，∴BN=，NF=BN=，∴AN=AF﹣NF=，∵E是BF中点，∴EH是△BFN的中位线，∴EH=，NH=，BN∥EH，∴AH=，，解得：MN=，∴BM=BN﹣MN=，MG=BG﹣BM=，∴,③正确；④连接AG，FG，根据③中结论，则NG=BG﹣BN=，∵S四边形CGNF=S△CFG+S△GNF=CGCF+NFNG=1+，S四边形ANGD=S△ANG+S△ADG=ANGN+ADDG=,∴S四边形CGNF≠S四边形ANGD，④错误；故答案为①③．考点：全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质.5．①②④【解析】【分析】①连接OQ，OD，如图1．易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．结合OQ=OB，可证到∠AOD=∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，则有DQ=DA=1；②连接AQ，如图2，根据勾股定理可求出BP．易证Rt△AQB∽Rt△BCP，运用相似三角形的性质可求出BQ，从而求出PQ的值，就可得到PQBQ的值；③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．易证△PHQ∽△PCB，运用相似三角形的性质可求出QH，从而可求出S△DPQ的值；④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．易得DP∥NQ∥AB，根据平行线分线段成比例可得32DN PQAN BQ==，把AN=1-DN代入，即可求出DN，然后在Rt△DNQ中运用三角函数的定义，就可求出cos∠ADQ的值．【详解】解：①连接OQ，OD，如图1．易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．结合OQ=OB，可证到∠AOD=∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，则有DQ=DA=1．故①正确；②连接AQ，如图2．则有CP=12，=．易证Rt△AQB∽Rt△BCP，运用相似三角形的性质可求得则=，∴32 PQBQ=．故②正确；③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．易证△PHQ∽△PCB，运用相似三角形的性质可求得QH=35，∴S△DPQ=12DP•QH=12×12×35=320．故③错误；④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．易得DP ∥NQ ∥AB ，根据平行线分线段成比例可得32DN PQ AN BQ ==，则有312DN DN =-，解得：DN=35．由DQ=1，得cos ∠ADQ=35DN DQ =．故④正确．综上所述：正确结论是①②④．故答案为：①②④．【点拨】本题主要考查了圆周角定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质、平行线的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理等知识，综合性比较强，常用相似三角形的性质、勾股定理、三角函数的定义来建立等量关系，应灵活运用．6．（1）【问题发现】12，60°，45°；【类比探究】见（2）题的解析；【归纳总结】2n m ，1802a ︒-；（2），30°【解析】【分析】（1）当60α=︒时，△ABC 和△PDC 都是等边三角形，可证△ACP ∽△ECF ，从而有12EF AP =，∠Q ＝β＝∠ACB ＝60°；当90α=︒时，△ABC 和△PDC 都是等腰直角三角形，同理可证△ACP ∽△ECF 即可解决，依此可得出规律；（2）当120α=︒，可证CE AC =，CF CP =CE CA CF CP =，由∠ECF ＝∠ACP ，可得△PCA ∽△FCE 即可解决问题．【详解】（1）【问题发现】如图1，连接AE ，PF ，延长EF 、AP 交于点Q ，当60α=︒时，△ABC 和△PDC 都是等边三角形，∴∠PCD ＝∠ACB ＝60°，PC ＝CD ，AC ＝CB ，∵F 、E 分别是CD 、BC 的中点，∴12CF PC =，12CE AC =，∴CF CE PC AC=，又∵∠ACP ＝∠ECF ，∴△ACP ∽△ECF ，∴12EF AP =，∠CEF ＝∠CAP ，∴∠Q ＝β＝∠ACB ＝60°，当90α=︒时，△ABC 和△PDC 都是等腰直角三角形，如图2，连接AE ，PF ，延长EF 、AP 交于点Q ，∴∠PCD ＝∠ACB ＝45°，PC CD ，AC ，∵F 、E 分别是CD 、BC 的中点，∴CE AC =，CF PC =∴CF CE PC AC=，又∵∠ACP＝∠ECF，∴△ACP∽△ECF，∴EFAP==，∠CEF＝∠CAP，∴∠Q＝β＝∠ACB＝45°，【归纳总结】由此，可归纳出22nEF CE nAP AC m m===，β＝∠ACB＝1802a︒-；（2）当120α=︒，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，∵AB＝AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，∠CAE＝60°∴sin60°＝CEAC=，同理可得：CFCP=∴CE CFAC CP=，∴CE CACF CP=，又∵∠ECF＝∠ACP，∴△PCA∽△FCE，∴EF ECAP AC==∠CEF＝∠CAP，∴∠Q＝β＝∠ACB＝30°．【点拨】本题主要考查了三角形相似的判定与性质，通过解决本题感受到：图形在变化但解决问题的方法不变，体会“变中不变”的思想．7．（1）ED BD =（2）①正方形，理由见解析；②见解析；（3【解析】【分析】（1）根据“斜中半”定理可得CD AD BD ==，然后根据旋转的性质可得CD ED =，从而得出ED BD =，再结合题意推出30B DCG ∠=∠=︒，从而根据正切函数的定义求出GD CD即可；（2）①通过证明CDF EDF △≌△，并综合条件//CF DE ，推出四边形CDEF 是正方形；②首先根据CFH DGH △△∽推出DH DG FH CD ==GBE GDH △≌△得到BE DH =，即可得出结论；（3）根据题意可首先证明四边形CDEF 是菱形，然后证明出EBG HFC △△∽，即可推出结论BE BG FH FC =，再作DK CG ⊥，通过解直角三角形，求出BG 的长度，从而得出结论．【详解】（1）∵点D 为Rt ABC 中斜边AB 的中点，∴CD AD BD ==，∵线段CD 绕点D 顺时针旋转得到线段ED ，∴CD ED =，∴ED BD =，∵Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，∴30B ∠=︒，∵CD BD =，∴30B DCG ∠=∠=︒，∴在Rt DCG 中，tan tan 30GD DCG CD =∠=︒=故答案为：ED BD =（2）①正方形，理由如下：∵90α=︒，DM 平分CDE ∠，∴90CDE ∠=︒，CDF EDF ∠=∠，∵CD ED =，DF DF =，∴()CDF EDF SAS △≌△，∴DCF DEF ∠=∠，∵//CF DE ，∴180FCD CDE ∠+∠=︒，∴90FCD ∠=︒，∴90DCF DEF CDE ∠=∠=∠=︒，∴四边形CDEF 为矩形，又∵CD ED =，∴四边形CDEF 为正方形；②显然，在正方形CDEF 中，CFH GDH △△∽，∴DH DG FH CF=，又∵CD CF =，∴DH DG FH CD ==由（1）得：60,,A CD AD ∠=︒=则ACD △为等边三角形，∴60ADC ∠=︒，∵90CDE ∠=︒，∴30GDB ∠=︒，∴GDB GBD ∠=∠，GD GB =，又∵DE DB =，∴()1180752DBE DEB GDB ∠=∠=︒-∠=︒，∴753045GBE ∠=︒-︒=︒，∵45GDH ∠=︒，∴GBE GDH∠=∠在GBE 与GDH 中，GDH GBE GD GBDGH BGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()GBE GDH ASA △≌△，∴BE DH =，∴BE DH DG FH FH CD ===（3）同（2）中①理，CDF EDF △≌△，∴CDF EDF ∠=∠，CFD EFD ∠=∠，∵//CF DE ，∴CFD EDF ∠=∠，∴CFD CDF ∠=∠，EDF EFD ∠=∠，∴CF CD =，ED EF =，∴四边形CDEF 为菱形，∵ACD △为等边三角形，∴2AC CD AD BD ====，菱形的边长也为2，由题意，2HDG α∠=，13022DEB DBE ADE α∠=∠=∠=︒+，∵30DBG ∠=︒，∴2EBG α∠=，即：HDG EBG ∠=∠，∴EBG HDG △△∽，∵在菱形CDEF 中，HFC HDG △△∽，∴EBG HFC △△∽，∴BE BG FH FC=，如图，作DK CG ⊥，∵30DCK ∠=︒，∴60CDK ∠=︒，60KDG α∠=-︒，∵2CD =，∴1DK =，CK =在Rt KDG △中，()tan tan 60GK KDG m DKα=∠=-︒=，∴GK m =，∴CG m =，在Rt ABC 中，BC ==∴BG BC CG m m =-==，∵2CF CD ==，∴BE BG FH FC ==．【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，特殊平行四边形的判定与性质，以及锐角三角函数等，综合性较强，掌握基本图形的性质，灵活运用相似三角形以及锐角三角函数是解题关键．8．（1）30°；（2）①见解析；②CD BE =；见解析；（3）()AC k BD BE =+，见解析【解析】【分析】（1）先根据题意得出△ABC 是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可（2）①按要求补全图即可②先根据已知条件证明△ABC 是等边三角形，再证明AEB ADC △≌△，即可得出CD BE=（3）先证明AC BC AD DE=，再证明ACB ADE △∽△，得出BAC EAD ∠=∠，从而证明AEB ADC △≌△，得出BD BE BC +=，从而证明()AC k BD BE =+【详解】解：（1）∵AB AC =，60C ∠=°∴△ABC 是等边三角形∴∠B =60°∵点D 关于直线AB 的对称点为点E∴AB ⊥DE ，∴BDE ∠=30︒故答案为：30︒；（2）①补全图如图2所示；②CD 与BE 的数量关系为：CD BE =；证明：∵AB AC =，60BAC ∠=︒．∴ABC 为正三角形，又∵AD 绕点A 顺时针旋转60︒，∴AD AE =，60EAD ∠=︒，∵60BAD DAC ∠+∠=︒，60BAD BAE ∠+∠=︒，∴BAE DAC ∠=∠，∴AEB ADC △≌△，∴CD BE =．（3）连接AE ．∵AB AD k BC DE ==，AB AC =，∴AC AD BC DE =．∴AC BC AD DE=．又∵ADE C ∠=∠，∴ACB ADE △∽△，∴BAC EAD ∠=∠．∵AB AC =，∴AE AD =，∴BAD DAC BAD BAE ∠+∠=∠+∠，∴DAC BAE ∠=∠，∴AEB ADC △≌△，CD BE =．∵BD DC BC +=，∴BD BE BC +=．又∵AC k BC=，∴()AC k BD BE =+．【点拨】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称，熟练进行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点9．（1）正方形；（2）MC ME '=，见解析；（3）25【解析】【分析】（1）有一组邻边相等且一个角为直角的平行四边形是正方形；（2）连接EC '，由（1）问的结论可知，90AD BC EAC B '=∠=∠=︒，，又因为矩形纸片ABCD 沿过点E 的直线折叠，可知折叠前后对应角以及对应边相等，有B B '∠=∠，B C BC ''=，90AE B C EAC B ''''=∠=∠=︒，，可以证明Rt EC A ' 和Rt C EB '' 全等，得到C EA EC B '''∠=∠，从而有MC ME '=；（3）由Rt EC A Rt C EB ''' ≌，有AC B E ''=；由折叠知，AC BE '=，可以计算出()8cm AB =；用勾股定理计算出DF 的长度，再证明DNF ENG ∽得出等量关系，从而得到:DN EN 的值．【详解】（1）解：∵ABCD 是平行四边形，∴'////AD BC EA ，'//AE DA ∴四边形'AEA D 是平行四边形∵矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处∴'AED A ED≌∴'AE A E=∵90A ∠=∴四边形AEA D '的形状是正方形故最后答案为：四边形AEA D '的形状是正方形；（2）MC ME'=理由如下：如图，连接EC '，由（1）知：AD AE=∵四边形ABCD 是矩形，∴90AD BC EAC B '=∠=∠=︒，由折叠知：B C BC B B'''=∠=∠，∴90AE B C EAC B ''''=∠=∠=︒，。

安徽省2023年中考数学一轮复习专题训练：锐角三角函数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)1. (2020•中山市模拟)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90o,BC=4,cosB=,点M 是AB 的中点,则CM 的长为( )A.2B.3C.4D.62. 如图,在菱形ABCD 中,DE ⊥AB,3cos A 5,BE=2,则tan ∠DBE 的值是( )A.123. (2021·西安模拟)如图,在△ABC 中,AB ＝10,cos ∠ABC ＝35,D 为BC 边上一点,且AD ＝AC,若DC ＝4,则BD 的值为( )A.2B.3C.4D.54. (2022安徽合肥市第四十五中学)如图,已知O 的两条弦AC,BD 相交于点E,∠BAC=70o ,∠ACD=50o ,连接OE,若E 为AC 中点,那么sin ∠OEB 的值为( )A.12 5. (2020•邢台一模)如图,已知点C 从点B 出发,沿射线BD 方向运动,运动到点D 后停止,则在这个过程中,从A 观测点C 的俯角将( )A.增大B.减小C.先增大后减小D.先减小后增大6. (2020•重庆)如图,在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡,山坡CD 的坡度(或坡比)i ＝1:0.75,山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离CD ＝45m,在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28°,居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内,则居民楼AB 的高度约为(参考数据:sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53)( )A.76.9mB.82.1mC.94.8mD.112.6m7. (2021九上·历下期末)我国航天事业捷报频传,天舟二号于2021年5月29日成功发射,震撼人心.当天舟二号从地面到达点A 处时,在P 处测得A 点的仰角∠DPA 为30°,A 与P 两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B 处时,此时在P 处测得B 点的仰角∠DPB 为45°,则天舟二号从A 处到B 处的距离AB 的长为( )(参考数据:,)A.2.0千米B.1.5千米C.2.5千米D.3.5千米8. (2020•九龙坡区校级二模)小华同学在数学实践活动课中测量自己学校门口前路灯的高度.如图,校门E 处,有一些斜坡EB,斜坡EB 的坡度i=1:2.4:从E 点沿斜坡行走了4.16米到达坡顶的B 处,在B 处看路灯顶端O 的仰角为35o ,再往前走3米在D 处,看路灯顶端O 的仰角为65o ,则路灯顶端O 到地面的距离约为( )(已知sin350.6︒≈,cos350.8︒≈,tan350.7︒≈,sin650.9︒≈,cos650.4︒≈,tan 65 2.1)︒≈A.5.5米B.4.8米C.4.0米D.3.2米9. (2020•江津区校级模拟)我校小伟同学酷爱健身,一天去爬山锻炼,在出发点C 处测得山顶部A 的仰角为30度,在爬山过程中,每一段平路CD 、EF 、GH 与水平线平行,每一段上坡路(DE 、FG 、HA 与水平线的夹角都是45度,在山的另一边有一点B(B 、C 、D 同一水平线上),斜坡AB 的坡度为2:1,且AB 长为900,其中小伟走平路的速度为65.7米/分,走上坡路的速度为42.3米/分.则小伟从C 出发到坡顶A 的时间为( )(图中所有点在同一平面内2 1.41≈,3 1.73)≈A.60分钟B.70分钟C.80分钟D.90分钟10. (2020•广元)规定:sin(﹣x)＝﹣sinx,cos(﹣x)＝cosx,cos(x+y)＝cosxcosy ﹣sinxsiny,给出以下四个结论:(1)sin(﹣30°);(2)cos2x ＝cos 2x ﹣sin 2x;(3)cos(x ﹣y)＝cosxcosy+sinxsiny;(4)cos15°. 其中正确的结论的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个11. (2021·武汉模拟)如图,把n 个边长为1的正方形拼接成一排,求得tan ∠BA 1C ＝1,tan ∠BA 2C ＝13,tan ∠BA 3C ＝17 ,…,依此规律写出tan ∠BA 7C ＝1n,则n ＝( )A.40B.41C.42D.4312. (2020•沙坪坝区校级一模)小林在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“重庆--行千里,致广大”竖直标语牌CD.他在A 点测得标语牌顶端D 处的仰角为42o ,由A 点沿斜坡AB 下到隧道底端B 处(B,C,D 在同一条直线上),AB=10m,坡度为i=1:,隧道高6.5m(即BC=6.5m,则标语牌CD 的长为( )m(结果保留小数点后一位).(参考数据:sin420.67︒≈,cos420.74︒≈,tan420.90︒≈,3 1.73)≈A.4.3B.4.5C.6.3D.7.8二、填空题(本大共8小题，每小题5分，满分40分)13. (2021·长春)如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图.已知A,B 两点间的距离为30米,∠A ＝α,则缆车从A 点到达B 点,上升的高度(BC 的长)为( )A.30sin α米B.30sin α米C.30cos α米D.30cos α米 14. (2022安徽淮南)如图,已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上,则sin α=______.15. (2020•金华)如图是小明画的卡通图形,每个正六边形的边长都相等,相邻两正六边形的边重合,点A,B,C均为正六边形的顶点,AB 与地面BC 所成的锐角为β.则tan β的值是 .16. (2020•宝安区二模)如图,从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部D 处的俯角α为30o ,又从A 处测得乙楼底部C 处的俯角β为60o .已知两楼之间的距离BC 为18米,则乙楼CD 的高度为 .(结果保留根号)17. (2021·长沙模拟)如图,Rt △ABC 中,∠C ＝90°,sin ∠A ＝35,O 是AC 边上一点,以OA 为半径的⊙O 交AB 于点D,若BD ＝2,AD ＝AC,则线段OB 的长为____.18. (2020•东莞市校级一模)如图所示,在山脚C 处测得山项A 仰角为30o ,沿着水平地面向前300米到达点D,在D 点测得山顶A 的仰角为60o ,则山高AB 为 米(结果保留根号).19. (2020•哈尔滨模拟)如图,在四边形ABCD 中,tan ∠ABC=,BD 为对角线,∠ABD+∠BDC=90o,过点A 作AE ⊥BD 于点E,连接CE,若AE=DE,EC=DC=5,则△ABC 的面积为 .20. (2020•鹿城区校级二模)图1是我校闻澜阁前楼梯原设计稿的侧面图,AD//BC,∠C=90o ,楼梯AB 的坡比为1:2,为了增加楼梯的舒适度,将其改造成如图2,测量得BD=2AB=18m,M 为BD 的中点,过点M 分别作MN//BC 交∠ABD 的角平分线于点N,MP//BN 交AD 于点P,其中BN 和MP 为楼梯,MN 为平地,则平地MN 的长度为________.三、解答题(本大题共6道小题,每小题6-12分)21. (6分)(2020•盐城)如图,在△ABC中,∠C＝90°,tanA,∠ABC的平分线BD交AC于点D,CD=,求AB的长？22. (6分)(2020•随州)如图,某楼房AB顶部有一根天线BE,为了测量天线的高度,在地面上取同一条直线上的三点C,D,A,在点C处测得天线顶端E的仰角为60°,从点C走到点D,测得CD＝5米,从点D测得天线底端B的仰角为45°,已知A,B,E在同一条垂直于地面的直线上,AB＝25米.(1)求A与C之间的距离;(2)求天线BE的高度.(参考数据: 1.73,结果保留整数)23. (6分)(2020年湖北省枣阳市太平一中中考数学模拟题)已知:如图,一艘渔船正在港口A的正东方向40海里的B处进行捕鱼作业,突然接到通知,要该船前往C岛运送一批物资到A港,已知C岛在A港的北偏东60°方向,且在B的北偏西45°方向.问该船从B处出发,以平均每小时20海里的速度行驶,需要多少时间才能把这批物资送到A港(精确到1小时)(该船在C岛停留半个小时)?1.411.732.45)324. (8分)(2020武汉五调)如图,四边形ABCD 是矩形,E,F 分别是AD,CD 上的点,BF ⊥CE,垂足为G,连接AG(1)求证:BCCD BF CF (2)若G 为CE 的中点,求证:sin ∠AGB ＝BFCF25. (12分)(2020•临沂)如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α般要满足60°≤α≤75°,现有一架长5.5m 的梯子.(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙(结果保留小数点后一位)?(2)当梯子底端距离墙面2.2m 时,α等于多少度(结果保留小数点后一位)?此时人是否能够安全使用这架梯子?(参考数据:sin75o ≈0.97,cos75o ≈0.26,tan75o ≈3.73,sin23.6o ≈0.40,cos66.4o ≈0.40,tan21.8o ≈0.40)26. (12分)(2022·慈溪模拟)图1为科研小组研制的智能机器,水平操作台为l,底座AB 固定,高AB 为50cm,始终与平台l 垂直,连杆BC 长度为60cm,机械臂CD 长度为40cm,点B,C 是转动点,AB,BC 与CD 始终在同一平面内,张角∠ABC 可在60°与120°之间(可以达到60°和120°)变化,CD 可以绕点C 任意转动.FDA B CEG(1)转动连杆BC,机械臂CD,使张角∠ABC最大,且CD∥AB,如图2,求机械臂臂端D到操作台l的距离DE的长.(2)转动连杆BC,机械臂CD,要使机械臂端D能碰到操作台l上的物体M,则物体M离底座A的最远距离和最近距离分别是多少？。

一、选择题1.（2013年山东德州3分）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为【】A．（1，4）B．（5，0）C．（6，4）D．（8，3）2. （2013年浙江宁波3分）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足【】A．a=52b B．a=3b C．a=72b D．a=4b3. （2013年江苏镇江3分）如图，A、B、C是反比例函数ky(k<0)x图象上三点，作直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l共有【】A．4条B．3条C．2条D．1条【答案】A。

【考点】反比例函数综合题，点到直线的距离，平行线的性质，全等、相似三角形的判定和性质，分类讨思想的应用。

【分析】如解答图所示，满足条件的直线有两种可能：一种是与直线BC平行，符合条件的有两条，如图中的直线a、b；一种是过线段BC的中点，符合条件的有两条，如图中的直线c、d。

∴满足条件的直线有4条。

故选A 。

4. （2012安徽省4分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是【 】A .10B .54C . 10或54D .10或1725. （2012福建三明4分）如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在x 轴上，若以P ，O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P 共有【 】A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C。

【考点】等腰三角形的判定。

【分析】如图，分OP=AP（1点），OA=AP（1点），OA=OP（2点）三种情况讨论。

中考数学复习《综合实践题》经典题型及测试题（含答案）题型解读此类题考查形式多样，但都与实际问题结合，且解决实际问题时一般会用到前面的结论，解题时要多结合前面的问题，大胆猜想．综合性较强，入手简单，但要得满分较难，此类题型是今后中考命题的方向，应引起重视．1.如图①，△ABC 和△DEF 中，AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D. (1)求证：BC AB ＝EFDE；(2)由(1)中的结论可知，等腰三角形ABC 中，当顶角∠A 的大小确定时，它的对边(即底边BC)与邻边(即腰AB 或AC)的比值也就确定，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)＝∠A的对边（底边）∠A的邻边（腰）＝BCAB .如T(60°)＝1.①理解巩固：T(90°)＝________，T (120°)＝________，若α是等腰三角形的顶角，则T(α)的取值范围是________；②学以致用：如图②，圆锥的母线长为9，底面直径PQ ＝8，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长(精确到0.1)．(参考数据：T(160°)≈1.97，T (80°)≈1.29，T (40°)≈0.68)2. (1)如图①，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，请你完成图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，并证明：BE＝CD；(2)如图②，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；(3)运用(1)，(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图③，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的长(结果保留根号)．3.问题：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图①证明上述结论．【类比引申】如图②，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足__________关系时，仍有EF＝BE＋FD.【探究应用】如图③，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC ＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且A E⊥AD，DF＝40(3－1)米，现要在E、F 之间修一条笔直的道路，求这条道路EF的长．(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)4.理解：数学兴趣小组在探究如何求tan 15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路： 思路一 如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点D ，使BD ＝BA ，连接AD.图① 设AC ＝1，则BD ＝BA ＝2，BC ＝ 3.tan D ＝tan 15°＝12＋3＝2－3（2＋3）（2－3）＝2－ 3. 思路二 利用科普书上的和．(．差．)．角正切公式．．．．．：tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 假设α＝60°，β＝45°代入差角正切公式：tan 15°＝tan (60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝3－11＋3＝2－ 3.思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以… 思路四 …请解决下列问题(上述思路仅供参考)． (1)类比：求出tan 75°的值；(2)应用：如图②，某电视塔建在一座小山上，山高BC 为30米，在地平面上有一点A ，则得A 、C 两点间距离为60米，从A 测得电视塔的视角(∠CAD)为45°，求这座电视塔CD 的高度；(3)拓展：如图③，直线y ＝12x －1与双曲线y ＝4x 交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，将直线AB 绕点C 旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P 的坐标；若不能，请说明理由．图②图③备用图5.【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“ ”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1.【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k ，再加上常数b”的运算，有什么规律？ 【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程：也可用图象描述：如图①，在x 轴上表示出x 1，先在直线y ＝kx ＋b 上确定点(x 1，y 1)，再在直线y ＝x 上确定纵坐标为y 1的点(x 2，y 1)，然后在x 轴上确定对应的数x 2，…，依次类推． 【解决问题】研究输入实数x 1时，随着运算次数n 的不断增加，运算结果x n 怎样变化． (1)若k ＝2，b ＝－4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究； (2)若k>1，又得到什么结论？请说明理由；(3)①若k ＝－23，b ＝2，已在x 轴上表示出x 1(如图②所示)，请在x 轴上表示x 2，x 3，x 4，并写出研究结论；②若输入实数x 1时，运算结果x n 互不相等，且越来越接近常数m ，直接写出k 的取值范围及m 的值(用含k ，b 的代数式表示)．6.问题提出(1)如图①，已知△ABC.请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2.是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决(3)如图③，有一矩形板材ABCD，AB＝3米，AD＝6米．现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG＝90°，EF＝FG＝5米，∠EHG＝45°.经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件．试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．1. (1)证明：∵AB＝AC，DE＝DF，∴ABDE＝ACDF，又∵∠A ＝∠D ，∴△ABC ∽△DEF ，∴BC EF ＝ABDE ，∴BC AB ＝EF DE. (2)解：①2，3，0<T (α)<2.【解法提示】①如解图①，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°， ∴设AB ＝AC ＝x ，由勾股定理得BC ＝2x ， ∴T(90°)＝BC AB ＝2x x＝2；第1题解图①第1题解图②如解图②，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝AC ， 过点A 作AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝60°，BD ＝12BC ，设AD ＝y ，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝60°， ∴BD ＝AD·tan 60°＝3y ，AB ＝2AD ＝2y ， ∴BC ＝2BD ＝23y ， ∴T(120°)＝23y2y＝3； ∵∠A<180°，当∠A ＝180°时，此时AB ＝AC ＝12BC 即T(A)＝BC AB ＝BC 12BC ＝2，∵要构成三角形，∴T(A)<2， ∵T(A)＞0，∴0<T (α)<2.第1题解图②如解图，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，∵圆锥的底面圆周长＝圆锥展开图扇形的弧长，即2πr ＝n πl180，∴rl＝n360，∵r＝4，l＝9，∴n＝160.∵T(80°)≈1.29，∴蚂蚁爬行的最短距离＝T(80°)×l≈1.29×9≈11.6.2. 解：(1)作图如解图①，第2题解图①证明：∵△ABD和△ACE为等边三角形，则AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°，又∵∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE＝CD.(2)BE＝CD.理由如下：∵四边形ABFD和四边形ACGE为正方形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝90°，又∵∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE＝CD.(3)如解图②，以AB为边，作等腰直角三角形ABD，∠BAD＝90°，第2题解图②则AD＝AB＝100米，∠ABD＝45°，∴BD＝100 2 米，连接CD，则由(2)可得，BE＝CD，∵∠ABC＝45°，∴∠DBC＝90°，在Rt△DBC中，BC＝100米，BD＝100 2 米，由勾股定理得CD＝1002＋（1002）2＝100 3 米，则BE＝CD＝100 3 米．3. 【发现证明】证明：如解图①，将△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADG，则AB与AD重合，第3题解图①∴∠BAE ＝∠DAG ，∠B ＝∠ADG ，BE ＝GD ， AE ＝AG ，∴∠GAF ＝∠DAF ＋∠GAD ＝∠BAE ＋∠DAF ＝45°， 在正方形ABCD 中，∠B ＝∠ADC ＝90°， ∴∠ADG ＋∠ADF ＝180°，即G 、D 、F 在一条直线上， ∵∠EAF ＝45°，在△EAF 和△GAF 中，AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ＝45°，AF ＝AF ， ∴△EAF ≌△GAF(SAS )， ∴EF ＝GF ，∴EF ＝FG ＝FD ＋DG ＝FD ＋BE. 【类比引申】∠EAF ＝12∠BAD.【解法提示】如解图②，延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ， ∵∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ABC ＋∠ABM ＝180°， ∴∠D ＝∠ABM ， 在△ABM 和△ADF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABM ＝∠D BM ＝DF，第3题解图②∴△ABM ≌△ADF(SAS )，∴AF ＝AM ，∠DAF ＝∠BAM ， ∵∠BAD ＝2∠EAF ， ∴∠DAF ＋∠BAE ＝∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠EAB ＋∠BAM ＝∠EAM ＝∠EAF ， 在△FAE 和△MAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AE ∠FAE ＝∠MAE AF ＝AM， ∴△FAE ≌△MAE(SAS )， ∴EF ＝EM ，又∵EM ＝BE ＋BM ＝BE ＋DF ， ∴EF ＝BE ＋DF.【探究应用】解：如解图③，连接AF ，延长BA 、CD 交于点O ， ∵∠BAD ＝150°，∠ADC ＝120°， ∴∠OAD ＝30°，∠ODA ＝60°， ∴△OAD 是直角三角形． ∵AD ＝80，∴AO ＝403，OD ＝40，∵OF ＝OD ＋DF ＝40＋40(3－1)＝403， ∴AO ＝OF ，第3题解图③∴∠OAF ＝45°， ∵∠OAD ＝30°， ∴∠DAF ＝15°， ∵∠EAD ＝90°，∴∠EAF ＝∠EAD －∠DAF ＝75°＝12∠BAD ，又∠B ＋∠ADC ＝180°，由(2)知EF ＝BE ＋DF.∠BAE ＝∠BAD －∠EAD ＝150°－90°＝60°＝∠B ， ∴△ABE 为等边三角形， ∴BE ＝AB ＝80，∴EF ＝BE ＋DF ＝80＋40(3－1)≈109(米)． 4. 解：(1)如解图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点D ，使BD ＝BA ，连接AD.第4题解图①设AC ＝1，则BD ＝BA ＝2，BC ＝3，tan ∠DAC ＝tan 75°＝DC AC ＝BD ＋BC AC ＝2＋31＝2＋ 3.【一题多解】tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°·tan 30°＝1＋331－33＝3＋33－3＝2＋ 3.第4题解图②(2)如解图②，在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝602－302＝303， sin ∠BAC ＝BC AC ＝3060＝12，即∠BAC ＝30°，∵∠DAC ＝45°，∴∠DAB ＝45°＋30°＝75°.在Rt △ABD 中，tan ∠DAB ＝DBAB ＝2＋3，∴DB ＝AB·tan ∠DAB ＝303·(2＋3)＝603＋90， ∴DC ＝DB －BC ＝603＋90－30＝ 603＋60.(米)答：这座电视塔CD 的高度为(603＋60)米.第4题解图③(3)直线AB 能与双曲线相交， 点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)，理由如下：若直线AB 绕点C 逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P 1、P 2，如解图③，过点C 作CD ∥x 轴，过点P 1作P 1E ⊥CD 于点E ，过点A 作AF ⊥CD 于点F.解方程组⎩⎨⎧y ＝12x －1y ＝4x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－2， ∴点A(4，1)，点B(－2，－2)．对于y ＝12x －1，当x ＝0时，y ＝－1，则C(0，－1)，OC ＝1，∴CF ＝4，AF ＝1－(－1)＝2， ∴tan ∠ACF ＝AF CF ＝24＝12， ∴tan ∠P 1CE ＝tan (∠ACP 1＋∠ACF)＝tan (45°＋∠ACF)＝tan 45°＋tan ∠ACF 1－tan 45°·tan ∠ACF＝1＋121－12＝3，即P 1ECE ＝3.设点P 的坐标为(a ，b)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4b ＋1a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43b ＝3， ∴点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)；(ii )若直线AB 绕点C 顺时针旋转45°后，与x 轴相交于点G ，如解图④. 由(i )可知∠ACP ＝45°，P(43，3)，则CP ⊥CG .过点P 作PH ⊥y 轴于H ， 则∠GOC ＝∠CHP ＝90°，∠GCO ＝90°－∠HCP ＝∠CPH ，第4题解图④∴△GOC ∽△CHP ， ∴GO CH ＝OCHP. ∵CH ＝3－(－1)＝4，PH ＝43，OC ＝1，∴GO 4＝143＝34， ∴GO ＝3，G(－3，0)．设直线CG 的解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13b ＝－1，∴直线CG 的解析式为y ＝－13x －1.联立⎩⎨⎧y ＝－13x －1y ＝4x，消去y ，得4x ＝－13x －1，整理得x 2＋3x ＋12＝0，∵b 2－4ac ＝32－4×1×12＝－39<0， ∴方程没有实数根，∴直线绕点C 顺时针旋转45°，与双曲线无交点．(综上所述，直线AB 绕点C 逆时针旋转45°后，能与双曲线相交，交点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)．5. 解：(1)若k ＝2, b ＝－4，①x 1＝3时，x 2＝2×3－4＝2，x 3＝2×2－4＝0，x 4＝2×0－4＝－4，x 5＝2×(－4)－4＝－12； ②x 1＝4时，x 2＝2×4－4＝4，x 3＝2×4－4＝4，x 4＝2×4－4＝4，x 5＝2×4－4＝4； ③x 1＝5时，x 2＝2×5－4＝6，x 3＝2×6－4＝8，x 4＝2×8－4＝12，x 5＝2×12－4＝20， 由上面的特殊值可得，y ＝2x －4与y ＝x 交点的横坐标为4， 所以当输入的值x>4时，x n 的值会随着运算次数的增大而增大； 当输入的值x ＝4时，x n 的值不变；当输入的值x<4时，x n 的值会随着运算次数的增大而减小．(2)当k>1时，y ＝kx ＋b 与y ＝x 的交点坐标横坐标为x ＝－bk －1，所以当输入的值x>－bk －1时，x n 的值会随着运算次数的增大而增大；当输入的值x ＝－bk －1时，x n 的值不变；当输入的值x<－bk －1时，x n 的值会随着运算次数的增大而减小．理由如下：直线y ＝kx ＋b 与直线y ＝x 的交点坐标为(b 1－k ，b 1－k )，当x ＞b 1－k时，对于同一个x 的值，kx ＋b ＞x ，∴y 1＞x 1，∵y 1＝x 2，∴x 1＜x 2，同理x 2＜x 3＜…＜x n ，∴当x 1＞b1－k 时，随着运算次数n的增加，x n 越来越大，同理，当x 1＜b 1－k 时，随着运算次数n 的增加，x n 越来越小，当x ＝b1－k 时，随着运算次数n 的增加，x n 保持不变．(3)①画如解图，第5题解图结论：通过画图可得，x n 的值越来越靠近两个函数图象交点的横坐标即65；②|k|<1且k ≠0时，m ＝－bk －1.即－1＜k ＜1且k ≠0， 【解法提示】两个函数图象的交点的横坐标满足kx ＋b ＝x ，解得x ＝－bk －1，且k ≠0，由(1)得|k|＜1.6. (1)【思路分析】要作对称图形，先要考虑对称的性质，即对应点关于对称轴对称，只需作出点B 关于直线AC 的对称点D ，连接AD ，CD 即可．第6题解图①解：如解图①，△ADC 即为所求作三角形．【作法提示】(1)过点B 作直线AC 的垂线，垂足为点O ；(2)在垂线上截取OD ＝OB ，连接AD ，CD ，则△ADC 即为所要求作的三角形．(2)【思路分析】四边形EFGH 的周长＝EF ＋FG ＋GH ＋HE ，由题意可知AF 和AE 的长均为定值，利用勾股定理可求得EF 的长为定值，所以要求四边形周长的最小值，只需令FG ＋GH ＋HE 最小即可，利用作对称线段将所求线段和转化到三角形中进行求解，进而利用直角三角形三边关系求出线段和最小值．第6题解图②解：存在．理由如下：如解图②，作点E 关于CD 的对称点E′，作点F 关于BC 的对称点F′，连接E′F′，交BC 于点G ，交CD 于点H ，连接FG 、EH ，则F ′G ＝FG ，E ′H ＝EH ，所以此时四边形EFGH 的周长最小．这是因为：在BC 上任取一点G′，在CD 上任取一点H′，则FG′＋G′H′＋H′E ＝F′G′＋G′H′＋H ′E ′≥E ′F ′.由题意得：BF′＝BF ＝AF ＝2，DE ′＝DE ＝2，∠A ＝90°， ∴AF ′＝6，AE ′＝8.∴E ′F ′＝10，EF ＝2 5.∴四边形EFGH 周长的最小值为EF ＋FG ＋GH ＋HE ＝EF ＋E ′F ′＝25＋10.∴在BC、CD上分别存在满足条件的点G、H，使四边形EFGH的周长最小，最小值是25＋10.(3)【思路分析】要使四边形EFGH面积最大，因为E、F、G的位置确定，即△EFG的面积是固定的，只要求以EG为底边的△EGH最大面积即可，且∠EHG为45°，作△EFG关于EG的对称图形，以点F 的对称点O为圆心，作以EG为弦的圆，根据圆的基本性质，即EG的中垂线与圆的交点即为所求的点H′，然后再由对称的性质和勾股定理求解即可．解：能裁得．∵∠EFG＝∠A＝90°，∴∠2＋∠AFE＝∠1＋∠AFE＝90°，∴∠1＝∠2，∵EF＝FG＝5，∴△AEF≌△BFG(AAS)，∴AF＝BG，AE＝BF.设AF＝x，则AE＝BF＝3－x，∴x2＋(3－x)2＝(5)2解得x1＝1或x2＝2，∵AF＜BF，∴x2＝2舍去，∴AF＝BG＝1，AE＝BF＝2，∴DE＝4，CG＝5.如解图③，连接EG，作△EFG关于EG的对称图形△EOG，则四边形EFGO为正方形，∠EOG＝90°.以点O为圆心，OE长为半径作⊙O，则∠EHG＝45°的点H在⊙O上．连接FO，并延长交⊙O于点H，则点H在EG中垂线上．第6题解图③连接EH、GH，则∠EHG＝45°.此时，四边形EFGH就是想要裁得的四边形EFGH中面积最大的．连接CE，则CE＝CG＝DE2＋CD2＝5.∴点C在线段EG的中垂线上，连接HC，∴点F、O、H、C在一条直线上，又∵EG＝EF2＋FG2＝10，∴FO＝EG＝10.又∵CF＝BF2＋BC2＝210，∴OC＝10.又∵OH＝OE＝FG＝5，∴OH＜OC，∴点H 在矩形ABCD 的内部，∴可以在矩形板材ABCD 中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH 部件，这个部件的面积即S 四边形EFGH＝12EG·FH ＝12×10×(10＋5)＝(5＋522)m 2. ∴所裁得的四边形部件EFGH 是符合条件的面积最大的部件，这个部件的面积为(5＋522) m 2.难点突破本题的难点在于第(3)问点H 位置的确定，题中已知点E 、F 、G 的位置，即解决本题的实质是求以EG 为底边的△EGH 的面积最大时点H 的位置，由于∠EHG ＝45°，想到作直角△EFG 关于EG 的对称图形，则以点F 的对称点为圆心、EG 为弦的圆在矩形ABCD 内的点H 满足题意，根据圆的基本性质，则点H 为EG 的中垂线与所作圆的交点．。

综合与实践专项练习类型1 实践操作型试题1.(2022江苏宿迁)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点,点A、B、C、D、M 均为格点.【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P，并给出部分说理过程.请你补充完整．．．．．．：解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC 和△CDE.在Rt△ABC中, tan∠BAC=BCAC =12,在Rt△CDE 中, ,所以tan∠BAC=tan∠DCE.所以∠BAC=∠DCE.因为∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°,所以∠ACP+∠BAC=90°.所以∠APC=90°,即AB⊥CD.【拓展应用】(1)图②是以格点O 为圆心，AB 为直径的圆，请你只用无刻度的直尺．．．．．．．．，在BM 上找出一点P,使PM=AM,写出作法,并给出证明;(2)图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺．．．．．．．．，在弦AB 上找出一点P，使AM²=AP⋅AB,写出作法，不用证明.2.(2022 黑龙江齐齐哈尔)综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学.数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣.转一转:如图①,在矩形ABCD 中,点E、F、G分别为边BC、AB、AD 的中点,连接EF、DF,H 为DF 的中点,连接GH.将△BEF绕点B 旋转,线段DF、GH 和CE 的位置和长度也随之变化.当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：(1)图②中,AB=BC,此时点E落在AB的延长线上，点F 落在线段BC上，连接AF，猜想GH 与CE 之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)图③中,AB=2,BC=3,则GHCE =¯;(3)当AB=m,BC=n时, GHCE =¯;剪一剪、折一折：(4)在(2)的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC(如图④).点M、N分别在AC、BC上,连接MN,将△CMN沿MN 翻折,使点C 的对应点P 落在AB 的延长线上,若PM 平分∠APN,,则CM的长为.类型2 探究迁移型试题3.(2022 山东泰安)问题探究(1) 在△ABC 中,BD,CE 分别是∠ABC 与∠BCA的平分线.①若∠A=60°,AB=AC,如图1,试证明:BC=CD+BE;②将①中的条件“AB=AC”去掉,其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立?并说明理由；迁移运用(2)若四边形ABCD 是圆的内接四边形，且∠ACB=2∠ACD,∠CAD=2∠CAB,如图3,试探究线段AD,BC,AC 之间的等量关系，并证明.4.(2022 甘肃武威)已知正方形ABCD,E为对角线AC上一点.【建立模型】如图1,连接BE,DE.求证:BE=DE;【模型应用】如图2，F 是DE 延长线上一点，FB⊥BE,EF交AB 于点G,连接AF.(1)判断△FBG的形状并说明理由；(2)若G为AB 的中点,且AB=4,求AF的长;【模型迁移】如图3,F 是DE 延长线上一点,FB⊥BE,EF 交AB 于点G,BE=BF.求证:GE= (√2−1)DE.类型3 综合应用型试题5.(2022山东潍坊)为落实“双减”政策，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点(-1，-1)，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式.【观察发现】请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象；【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧.”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方.”你认同他们的说法吗?若不认同，请举例说明；【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y=ax²+bx+c的图象与系数a，b，c 的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法.请你探究这个方法，写出探究过程.6.(2022湖南湘潭)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E.(1)特例体验:如图①,若直线l∥BC,AB=AC =√2,,分别求出线段BD、CE 和DE 的长;(2)规律探究:(i)如图②，若直线l从图①状态开始绕点A 旋转α(0°<α<45°),请探究线段BD、CE和DE 的数量关系并说明理由；(ii)如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α(45°<α<90°),与线段BC相交于点H,请再探究线段BD、CE 和DE的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F,若CE=3,DE=1,求S△BFC-。