高考数学一轮复习 第6讲 函数的性质(二) 奇偶性课件 理 (浙江专版)

5.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并且满足 f(x＋ 2)＝－f1x，当 2≤x≤3 时，f(x)＝x，则 f(105.5)＝ 2.5 .
【解析】因为 f(x＋2)＝－f1x， 所以 f(x＋4)＝－fx＋1 2＝－－1f1x＝f(x)， 所以 f(x)是周期为 4 的周期函数，又 f(x)是偶函数， 所以 f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)＝2.5.
4．函数的对称性 如果函数 f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)或 f(x)＝ f(2a－x)，则函数 f(x)的图象关于直线⑮______对 称．一般的，若 f(a＋x)＝f(b－x)，则函数 f(x)的对 称轴方程是⑯______.
5．函数的周期性 函数的周期性的定义：设函数 y＝f(x)，x∈D， 若存在非零常数 T，使得对任意的 x∈D 都有⑰ ________，则函数 f(x)为周期函数，T 为 y＝f(x) 的一个周期．若函数 f(x)对定义域中任意 x 满足 f(x ＋a)＝－f(x)或 f(x＋a)＝－f1x(a≠0)，则函数 f(x) 是周期函数，它的一个周期是⑱________.
B．f(2)>f(5)
C．f(3)>f(5)
D．f(3)>f(6)
【解析】由已知，y＝f(x)的图象的对称轴为 x＝4， 又 y＝f(x)在(4，＋∞)上递减，所以 f(3)＝f(5)>f(6)， 故选 D.
3.已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶
函数，那么 a＋b 的值是( )
f 0＝⑥ ______；偶函数的图象是关于⑦ _____
成⑧ _______ 对称图形，对于定义域的任意x的值， 则必有⑨ __________________.
3．定义域在数轴上关于原点对称是函数f x为奇
函数或偶函数的⑩ ____________ 条件；在定义域
的公共部分内11，当f x，g x均为奇函数1时2 ，有 f x g x是 _______，f x g x是 ____1_3_； 当f x，g x均为偶函数时，有f x g x是 ___， f x g x是14 ________ .
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已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 x≤0 时，f(x) ＝x2－x，则 f(3)＝ 12 ；当 x>0 时，f(x)＝ x2＋x .
【解析】 因为 f(x)是偶函数， 所以 f(3)＝f(－3)＝(－3)2－(－3)＝12， 当 x>0 时，－x<0， 所以 f(x)＝f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x.
A．－13
B.
1 3
1 C. 2
D．－21
【解析】由已知，f(－x)＝f(x)，所以 ax2－bx＝ax2＋bx， 即 bx＝0 对定义域内一切 x 均成立，故 b＝0.
4.已知函数 f(x)＝a－2x＋1 1，若 f(x)是奇函数，则 a＝
1 2
.
【解析】因为 f(x)＝a－2x＋1 1是奇函数， 所以 f(－x)＋f(x)＝0， 所以 a－2－x1＋1＋a－2x＋1 1＝2a－(2x2＋x 1＋2x＋1 1) ＝2a－1＝0，故 a＝12.
(2)
所以函数 f(x)的定义域是{－1,1}，此时 f(x)＝0， 所以 f(x)＝ 1－x2＋ x2－1既是奇函数又是偶函数．
(3)
，解得－1≤x<0 或 0<x≤1，它
关于原点对称，且此时|x＋2|－2＝x＋2－2＝x，
从而 f(x)＝ 1－x x2，
从而 f(－x)＝ 1－－－x x2＝－ 1－x x2＝－f(x)，
一 函数奇偶性的判定
【例 1】判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x＋1) 11－＋xx； (2)f(x)＝ x2－1＋ 1－x2； (3)f(x)＝|x＋12－|－x22；
【解析】(1)由11＋－xx≥0，得－1<x≤1， 所以函数 f(x)＝(x＋1)· 11－＋xx的定义 域是(－1,1]，不关于原点对称，所以函数 f(x)是非奇非偶函数．
理解函数奇偶性的概念，掌握函数奇偶性 的判定方法及图象特征，并能运用这些知识分 析、解决问题．
1．一般的，如果① _______________________，
1都有② _______，那么函数f x就叫做奇函数； 2都有③ _______，那么函数f x就叫做偶函数．
2．奇函数的图象是关于④ _______ 成⑤ _______ 对称图形．若奇函数的定义域含有数0，则必有
【要点指南】①对于函数定义域内任意一个 x；②f(－ x)＝－f(x)；③f(－x)＝f(x)；④原点；⑤中心；⑥0；⑦ y 轴；⑧轴；⑨f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；⑩必要不充分；⑪ 奇函数；⑫偶函数；⑬偶函数；⑭偶函数；⑮x＝a； ⑯x＝a＋2 b；⑰f(x＋T)＝f(x)；⑱2a
1.下列函数中，所有奇函数的序号是 (2)(3)(4) .
【点评】判断函数的奇偶性，首先必须检验函数的定义域 是否关于原点对称，然后检验对定义域内任意的 x，是否 有 f(－x)＝f(x)或 f(－x)＝－f(x)成立，必要时，应对函数作 一些变形化简，而对于较复杂的函数，可以变式计算 f(－ x)±f(x)的值．若 f(－x)＋f(x)＝0，则 f(x)是奇函数；若 f(－ x)－f(x)＝0，则 f(x)是偶函数．
(1)f(x)＝2x4＋3x2;
(2)f(x)＝x3－2x；
(3)f(x)＝lg11－＋xx；
(4)y＝sinx＋tanx.
【解析】 利用奇函数定义判断，易知(2)(3)(4)是奇函数．
2.若函数 f(x)在(4，＋∞)上是减函数，且对任意 x∈R，
有 f(4＋x)＝f(4－x)，则( )
A．f(2)>f(3)
所以 f(x)＝|x＋1>0 时，－x<0， 则 f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)； 当 x<0 时，－x>0， 则 f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)； 当 x＝0 时，f(x)＝0＝－f(－x)． 综上有，对一切实数 x，f(－x)＝－f(x)恒成立，