高考二轮培优专题二 第6讲 三角函数的图象与性质

【高考数学复习讲义】第6讲 三角函数的图象与性质[考情分析] 1.高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下． 考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 核心提炼1．同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1 (1)已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.11π6 C.5π3 D.2π3 答案 C解析 角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，即为点⎝⎛⎭⎫12，－32，在第四象限，且满足cos α＝12，sin α＝－32，故α的最小正值为5π3，故选C.(2)(2020·山东师范大学附中模拟)若sin θ＝5cos(2π－θ)，则tan 2θ等于( )A ．－53 B.53 C ．－52 D.52答案 C解析 ∵sin θ＝5cos(2π－θ)， ∴sin θ＝5cos θ，得tan θ＝5，∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝251－(5)2＝－52.二级结论 (1)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin α<α<tan α. (2)由(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可知一求二．跟踪演练1 (1)(2020·全国Ⅲ)已知2tan θ－tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝7，则tan θ等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 D解析 2tan θ－tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2tan θ－1＋tan θ1－tan θ＝7， 解得tan θ＝2.(2)已知α∈(0，π)，且cos α＝－1517，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan(π＋α)等于( ) A ．－1517 B.1517 C ．－817 D.817答案 D解析 sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan(π＋α)＝cos α·tan α＝sin α， 因为α∈(0，π)，且cos α＝－1517，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－15172＝817. 即sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan(π＋α)＝817.故选D.考点二 三角函数的图象与解析式 核心提炼三角函数图象的变换例2 (1)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f (x )的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g ⎝⎛⎭⎫π4＝2，则f ⎝⎛⎭⎫3π8等于( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．2 答案 C解析 ∵f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2. 又f (x )＝A sin(2x ＋φ)是奇函数， ∴φ＝k π(k ∈Z )，∵|φ|<π，∴φ＝0， ∴f (x )＝A sin 2x ，则g (x )＝A sin x ， ∵g ⎝⎛⎭⎫π4＝2，即A sin π4＝2，∴A ＝2. ∴f (x )＝2sin 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫3π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×3π8＝ 2.故选C.(2)设函数g (x )＝sin ωx (ω>0)向左平移π5ω个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0,2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是________．①f (x )在(0,2π)上有且只有3个极大值点，2个极小值点； ②f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10上单调递增； ③ω的取值范围是⎣⎡⎭⎫125，2910. 答案 ②③解析 依题意得f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋π5ω＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5， T ＝2πω，如图：对于①，根据图象可知，x A ≤2π<x B ，f (x )在(0,2π)上有3个极大值点，f (x )在(0,2π)上有2个或3个极小值点，故①不正确；对于③，因为x A ＝－π5ω＋52T ＝－π5ω＋52×2πω＝24π5ω，x B ＝－π5ω＋3T ＝－π5ω＋3×2πω＝29π5ω，所以24π5ω≤2π<29π5ω，解得125≤ω<2910，所以③正确； 对于②，因为－π5ω＋14T ＝－π5ω＋14×2πω＝3π10ω，由图可知f (x )在⎝⎛⎭⎫0，3π10ω上单调递增，因为ω<2910<3，所以π10－3π10ω＝π10⎝⎛⎭⎫1－3ω<0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10上单调递增，故②正确．故②③正确．易错提醒 (1)根据零点求φ值时注意是在增区间上还是在减区间上． (2)注意变换时“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”的区别．跟踪演练2 (1)(2020·全国Ⅰ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在[－π，π]上的图象大致如图，则f (x )的最小正周期为( )A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2 答案 C解析 由图象知π<T <2π， 即π<2π|ω|<2π，所以1<|ω|<2.因为图象过点⎝⎛⎭⎫－4π9，0， 所以cos ⎝⎛⎭⎫－4π9ω＋π6＝0， 所以－4π9ω＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以ω＝－94k －34，k ∈Z .因为1<|ω|<2，故k ＝－1，得ω＝32.故f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝4π3.(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，ω>0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为P ⎝⎛⎭⎫π6，1，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝⎛⎭⎫5π12，0，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为( ) A ．1 B.12 C.22 D.32答案 B 解析T 4＝|P x －Q x |＝π4(P x ，Q x 分别为P ，Q 的横坐标)，T ＝π＝2πω，ω＝2；点P 为最高点，代入P 的坐标得π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又|φ|<π2，则φ＝π6，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π6＝sin 5π6＝12，故选B.考点三 三角函数的性质 核心提炼函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx＋φ)为偶函数．(2)三角函数的周期性：f (x )＝A sin(ωx ＋φ)和f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2πω；y ＝A tan(ωx＋φ)的最小正周期为πω.(3)根据y ＝sin t 的性质研究y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的性质：由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )可得增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )可得减区间；由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )可得对称中心；由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )可得对称轴．例3 (1)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x ，把y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则下列说法正确的是( ) A ．g ⎝⎛⎭⎫π3＝32B ．g (x )的图象关于直线x ＝π2对称C ．g (x )的一个零点为⎝⎛⎭⎫π3，0D ．g (x )的一个单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12，5π12 答案 D解析 因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，所以g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以g ⎝⎛⎭⎫π3＝cos 5π6＝－32，故A 错误； 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，得对称轴方程为x ＝k π2－π12，k ∈Z ，故B 错误；令2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得对称中心的横坐标为x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，故C 错误；因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，5π12，故μ＝2x ＋π6∈[0，π]，因为y ＝cos μ在[0，π]上是减函数，故g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在⎣⎡⎦⎤－π12，5π12上是减函数，故D 正确． (2)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内，且f (x )的最小正周期大于π，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[1,2) 答案 C解析 由题意得f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)．令ωx ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π3ω＋k πω，k ∈Z ，因为f (x )的图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内，所以π6<π3ω＋k πω<π3，所以3k ＋1<ω<6k ＋2，k ∈Z .又f (x )的最小正周期大于π，所以2πω>π，解得0<ω<2，所以ω的取值范围是(1,2)．故选C.规律方法 已知三角函数的单调区间求参数取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．(3)周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14个周期列不等式(组)求解．跟踪演练3 (1)(多选)(2020·武汉模拟)已知函数f (x )＝|cos x |－|sin|x ||，下列说法正确的是( ) A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是周期为π的函数 C ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π，3π2上单调递减 D ．f (x )的最大值为2 答案 ABC解析 函数f (x )的定义域为R ，由f (－x )＝|cos(－x )|－|sin|－x ||＝|cos x |－|sin|x ||＝f (x )，知f (x )是偶函数，故A 正确；f (x ＋π)＝|cos(x ＋π)|－|sin|x ＋π||＝|cos x |－|sin|x ||＝f (x )，所以f (x )是周期为π的函数，故B 正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2时，f (x )＝－cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π，3π2上单调递减，故C 正确；当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4∈[－1,1]，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，f (x )＝－cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈(－1,1)．又f (x )是周期为π的函数，所以f (x )的值域为[－1,1]，故D 不正确．(2)(2020·北京海淀区模拟)已知函数f (x )＝2sin ωx ，g (x )＝2cos ωx ，其中ω>0，A ，B ，C 是这两个函数图象的交点，且不共线．①当ω＝1时，△ABC 的面积的最小值为________；②若存在△ABC 是等腰直角三角形，则ω的最小值为________． 答案 ①2π ②π2解析 函数f (x )＝2sin ωx ，g (x )＝2cos ωx ，其中ω>0，A ，B ，C 是这两个函数图象的交点． ①当ω＝1时，f (x )＝2sin x ，g (x )＝2cos x ，如图所示，所以AB ＝2π，高为2·22＋22·2＝2，所以S △ABC ＝12·2π·2＝2π.②若存在△ABC 是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则2πω＝2⎝⎛⎭⎫2·22＋2·22，解得ω的最小值为π2. 专题强化练一、单项选择题1．已知角α的终边过点P (－3,8m )，且sin α＝－45，则m 的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32答案 A解析 因为角α的终边过点P ()－3，8m ， 所以sin α＝8m 9＋(8m )2＝－45<0，解得m ＝－12.2．已知直线3x －y －1＝0的倾斜角为α，则cos α－2sin αsin α＋cos α的值为( )A ．－1110B ．－12C ．－114D ．－54答案 D解析 由3x －y －1＝0得，y ＝3x －1，∴tan α＝3， ∴cos α－2sin a sin α＋cos α＝cos α－2sin αcos αsin α＋cos αcos α＝1－2tan αtan α＋1＝1－2×33＋1＝－54.3．若f (x )＝sin x ＋3cos x 在[－m ，m ](m >0)上是增函数，则m 的最大值为( )A.5π6B.2π3C.π6D.π3 答案 C解析 ∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在[－m ，m ](m >0)上是增函数， ∴－m ＋π3≥－π2，且m ＋π3≤π2.求得 m ≤5π6，且 m ≤π6，∴m ≤π6，∴0<m ≤π6.故m 的最大值为π6.4．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 2 答案 C解析 C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －7π12＋π2，C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2， 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2，故选C.5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2，f ()x 1＝1，f ()x 2＝0，若||x 1－x 2min ＝12，且f ⎝⎛⎭⎫12＝12，则f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤－16＋2k ，56＋2k ，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤－56＋2k π，16＋2k π，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤16＋2k ，76＋2k ，k ∈Z 答案 B解析 设f (x )的周期为T ，由f ()x 1＝1，f ()x 2＝0，||x 1－x 2min ＝12，得T 4＝12⇒T ＝2⇒ω＝2π2＝π，由f ⎝⎛⎭⎫12＝12，得sin ⎝⎛⎭⎫12π＋φ＝12，即cos φ＝12， 又0<φ<π2，∴φ＝π3，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3. 由－π2＋2k π≤πx ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－56＋2k ≤x ≤16＋2k ，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈Z . 6．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R )的图象关于x ＝π4对称，则函数y＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是( )A ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π2，0对称C ．奇函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π2，0对称D ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称 答案 D解析 ∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝22(a －b )＝±a 2＋b 2， 平方得a 2＋2ab ＋b 2＝0，即(a ＋b )2＝0， 则a ＋b ＝0，b ＝－a ，则f (x )＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 又a ≠0，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＋π4 ＝2a sin(π－x )＝2a sin x 为奇函数，且图象关于点(π，0)对称．7．已知函数f (x )＝12cos ωx －32sin ωx ()ω>0在[0，π]内的值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则ω的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤23，43 B.⎝⎛⎦⎤0，43 C.⎝⎛⎦⎤0，23 D.(]0，1答案 A解析 函数f (x )＝12cos ωx －32sin ωx＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)， 当x ∈[]0，π时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，12， ∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3≤12，则π≤ωπ＋π3≤5π3， 解得23≤ω≤43，故ω的取值范围为⎣⎡⎦⎤23，43. 8．已知函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的相邻两个对称中心的距离为32，且f (1)＝－3，则函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝1x －2(－5<x <9且x ≠2)的图象所有交点的横坐标之和为( )A ．16B ．4C ．8D ．12 答案 D解析 依题意得，函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为3，即πω＝3，得ω＝π3，则f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ， 又f (1)＝－3，即tan ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝－3， 所以π3＋φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，因为0<φ<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π3， 又因为f (2)＝tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝0， 所以y ＝f (x )关于点(2,0)对称， 而y ＝1x －2也关于点(2,0)对称， 作出两个函数的图象(图略)，可知两函数共有6个交点，且都关于点(2,0)对称， 则易知6个交点的横坐标之和为12. 二、多项选择题9．(2020·新高考全国Ⅰ)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)等于( )A ．sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3B ．sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x C ．cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2x答案 BC解析 由图象知T 2＝2π3－π6＝π2，得T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.又图象过点⎝⎛⎭⎫π6，0，由“五点法”，结合图象可得φ＋π3＝π，即φ＝2π3，所以sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，故A 错误； 由sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 知B 正确； 由sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6知C 正确； 由sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫2x －5π6 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2x 知D 错误．10．(2020·河北衡水中学考试)已知向量a ＝(2sin x ，－1)，b ＝(sin x ＋3cos x,1)，且函数f (x )＝a ·b ，则下列说法正确的是( )A ．若x 1，x 2是方程f (x )＝1的两根，则x 1－x 2是π的整数倍B ．当x ＝π6时，f (x )取得最大值C.⎣⎡⎦⎤－π6，π3是函数f (x )的一个单调递增区间 D ．将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度后得到一个偶函数的图象答案 CD解析 由题意得f (x )＝a ·b ＝2sin x (sin x ＋3cos x )－1＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.若x 1，x 2是方程f (x )＝1的两根，则2x －π6＝2k π＋π6(k ∈Z )或2x －π6＝2k π＋5π6(k ∈Z )，解得x ＝π6＋k π(k ∈Z )或x ＝π2＋k π(k ∈Z )，则x 1，x 2关于直线x ＝π3＋k π2(k ∈Z )对称或x 1－x 2是π3的整数倍，故A 错误；f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6＝1，而f (x )的最大值为2，故B 错误；令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π(k ∈Z )，令k ＝0，则⎣⎡⎦⎤－π6，π3是函数f (x )的一个单调递增区间，故C 正确；将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度后得函数y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x 的图象，而函数y ＝2cos 2x 为偶函数，故D 正确． 11．(2020·佛山模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋sin πx ，下列结论正确的是( ) A ．f (x )是奇函数 B ．f (x )是周期函数C ．f (x )在区间(0，π)上有三个零点D ．f (x )的最大值为2 答案 AC解析 ∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－x )＋sin(－πx )＝－sin x －sin πx ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，故A 正确；y 1＝sin x 的周期T 1＝2k π，k ∈Z ，y 2＝sin πx 的周期T 2＝2n ，n ∈Z ，∵{T 1|T 1＝2k π，k ∈Z }∩{T 2|T 2＝2n ，n ∈Z }＝∅，∴f (x )不是周期函数，故B 错误；令f (x )＝sin x ＋sin πx ＝0，得sin πx ＝－sin x ＝sin(－x )，∴πx ＝－x ＋2k π，k ∈Z 或πx －x ＝2k π＋π，k ∈Z ，解得x ＝2k ππ＋1，k ∈Z 或x ＝(2k ＋1)ππ－1，k ∈Z .又x ∈(0，π)，∴x ＝2ππ＋1或x ＝4ππ＋1或ππ－1，∴f (x )在区间(0，π)上有三个零点，故C 正确；当sin x ＝1时，x ＝2k π＋π2，k ∈Z .当sin πx ＝1时，x ＝2k ＋12，k ∈Z ，∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝2k π＋π2，k ∈Z ∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k ＋12，k ∈Z ＝∅，∴y ＝sin x 与y ＝sin πx 不可能同时取得最大值1，故D 错误．12．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，已知f (x )在[0,2π]上有且仅有3个极小值点，则( ) A ．f (x )在(0,2π)上有且仅有5个零点 B ．f (x )在(0,2π)上有且仅有2个极大值点 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π6上单调递减 D ．ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤73，103 答案 CD解析 因为x ∈[0,2π]，所以ωx ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，2πω＋π3.设t ＝ωx ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，2πω＋π3，画出y ＝cos t 的图象如图所示．由图象可知，若f (x )在[0,2π]上有且仅有3个极小值点，则5π<2πω＋π3≤7π，故f (x )在(0,2π)上可能有5,6或7个零点，故A 错误；f (x )在(0,2π)上可能有2或3个极大值点，故B 错误；由5π<2πω＋π3≤7π，可得73<ω≤103，故D 正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π6时，ωx ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，π6ω＋π3.因为73<ω≤103，所以13π18<π6ω＋π3≤8π9，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π6上单调递减，故C 正确． 三、填空题13．(2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]， ∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )取得最大值，最大值为1. 14．已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋12cos 2x ，若将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得的图象关于原点对称，则φ的最小值为________． 答案π12解析 ∵f (x )＝3sin x cos x ＋12cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得的图象的函数解析式为g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ＋π6，由于函数y ＝g (x )的图象关于原点对称．则g (0)＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2φ＝0，∴π6－2φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝π12－k π2(k ∈Z )，由于φ>0，当k ＝0时，φ取得最小值π12.15. (2020·北京市八一中学调研)已知函数f (x )＝1sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.答案 2 －π3解析 由题图知函数的周期是7π6－π6＝π＝2πω，ω＝2，又知 f ⎝⎛⎭⎫5π12＝1sin ⎝⎛⎭⎫5π12×2＋φ＝1， 所以φ＋5π6＝2k π＋π2(k ∈Z )．又|φ|<π2，故k ＝0时，φ＝－π3.16．(2020·济南模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中ω>0，|φ|<π2，f ⎝⎛⎭⎫－π8＝0，f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫3π8恒成立，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，π24上单调，则下列说法正确的是________．(填序号) ①存在φ，使得f (x )是偶函数；②f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫3π4； ③ω是奇数；④ω的最大值为3. 答案 ②③④解析 f ⎝⎛⎭⎫－π8＝0，f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫3π8， 则3π8－⎝⎛⎭⎫－π8＝π2＝⎝⎛⎭⎫14＋k 2T ，k ∈N ， 故T ＝2π2k ＋1，ω＝2k ＋1，k ∈N ， 由f ⎝⎛⎭⎫－π8＝0，得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－π8ω＋φ＝0， 故－π8ω＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝π8ω＋k π，k ∈Z ，当x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π24时，ωx ＋φ∈⎝⎛⎭⎫ωπ24＋k π，ωπ6＋k π，k ∈Z ， f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，π24上单调，故π24－⎝⎛⎭⎫－π12＝π8≤T 2，故T ≥π4， 即ω≤8,0<ωπ24≤π3，故ωπ6≤π2，故ω≤3，综上所述，ω＝1或ω＝3，故③④正确；ω＝1或ω＝3，故φ＝π8＋k π或φ＝3π8＋k π，k ∈Z ，f (x )不可能为偶函数，①错误；又f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫3π8恒成立，所以x ＝3π8为函数的一个对称轴，而3π4－3π8＝3π8－0，f (0)，f ⎝⎛⎭⎫3π4是关于x ＝3π8对称的两点的函数值，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫3π4.。

高三数学三角函数-图像与性质学生姓名授课日期教师姓名授课时长本讲义目的在于让同学从根本上了解三角函数的图像与性质，了解图像变换与解析式变换之间的对应关系，利用图像解决与三角函数有关的问题，并在此基础上发散思维，解决三角函数与其他知识融合的综合问题。

知识点一：由图像写解析式，突破识图难点；由性质写解析式，达到对条件的全面理解。

知识点二：通过解决图象与性质融合的新题目，既积累解题经验，又消除“怕新”“怕繁”的心理，提升思维品质与解题能力，适应各种变化。

知识点三：通过结合图象解决与三角函数有关的问题（如方程、不等式），发展用图象思考问题的能力。

知识点四：通过建立三角函数模型，体验建模的程序，发展应用意识和能力。

知识点五：通过解决三角函数与其他知识融合的综合问题，感悟知识之间的联系，体验解题过程的复杂性，发展综合运用能力。

【题目来源】【题目】已知定义域为R的函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=cos3x，h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）的单调递增区间．【答案】【解析】：【知识点】由图像写解析式，突破识图难点；由性质写解析式，达到对条件的全面理解。

【适用场合】 当堂例题 【难度系数】3【题目来源】【题目】 求下列函数的最小正周期(1))23πsin(x y -=；(2))4π2πtan(+=x y ；x y 2cos )3(2=； (4)y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ；(5)y ＝｜sin x ｜．【答案】π,2, 2π=T ,π,π 【解析】： (1)π|2|π2=-=T ．(2)22ππ==T ．(3)214cos 2124cos 1+=+=x x y ，所以2π=T . (4)1)4π2sin(212cos 2sin 2sin 22cos 12+-=+-=+-⨯=x x x x x y ，所以T ＝π．(5)y＝｜sin x｜的图象为下图，可得，T＝π．【知识点】三角函数的周期性【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目来源】【题目】（2000全国，5）函数y＝－xc os x的部分图象是（）【答案】D【解析】：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，2π）时，y＝－xcosx＜0。

三角函数二轮复习建议三角函数内容主要有两块；一是三角函数的图象和性质，二是三角恒等变换．近三年高考中基本上是一个小题（三角函数的图象与性质）、一个大题（三角恒等变换），大都是容易题和中等题，难度不大，容易得分，也是必须要得分的．第1~2课时 三角函数的图象和性质基本题型一：求三角函数的周期例 1 函数f (x )＝3sin(2x ＋π3)的最小正周期为 ；图象的对称中心是 ；对称轴方程是 ；当x ∈[0，π2]时，函数的值域是 ． 说明：1．函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的图像与参数A ，w ，ϕ的关系；通过换元可将y ＝A sin(wx ＋ϕ)的图象转化为对y ＝A sin x 的图象的研究．2．对于三角函数的图象与性质，周期性是最本质的内容，周期与一个最高点就可决定决定整个三角函数的图象．3．此类问题呈现的形式有三种：①正面呈现，象例1的形式；②给出函数的一部分性质，如已知直线y ＝a (0＜a ＜A )与函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的图象的三个相邻交点的横坐标为2，4，8，写出函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的一个单调增区间；③以图象形式呈现，给出函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的一部分图象．例2 若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的图象(部分)如图所示，则ω＝_________，φ＝_________．说明：方法一 由图知T ＝4×[2π3－(－π3)]＝2π，所以ω＝1，从而2π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝2k π－π6，k ∈Z ．因为0≤φ＜2π，所以φ＝11π6． 方法二 由图知T ＝4×[2π3－(－π3)]＝2π，所以ω＝1，所以f (x )的图像可以看作是sin x 的图像向右移了π6个单位，即向左移了11π6个单位，．因为0≤φ＜2π，所以φ＝11π6． 基本策略：根据函数的图像先确定振幅A ，再确定周期T ．利用周期求出角速度ω，最后利用峰(谷)点的坐标求出φ的值．一般不用平衡点(零点)来确定．三角函数图像的变换，每一次变换前，应先将“已知”函数一般化，写成f (x )的形式，再分别按照f (x )→f (x －a )，f (x )→f (ωx )，f (x )→f (x )＋k ，f (x )→Af (x )的变化特征写出变换后的函数解析式．例3 如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ．问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？说明：对于此类以图形为背景的应用题，重点应放在变量的选择上．例4 已知函数f (x )＝2sin x (sin x －cos x )＋2，x ∈R ．（1）求函数f (x )的最小正周期；（2）求函数在区间[π8，3π4]上的最大值和最小值； （3）若f (α)＝3－425，0＜α＜π2，求cos2α的值． 说明：此类题型的考查要求虽然不高，不要深挖，但在二轮复习中还要涉及一点．基本策略：利用恒等变形，化为“一个角的一个三角函数的一次式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (ω＞0，0≤φ＜2π)”是研究复杂三角函数式性质的基本方法．其中，对于函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的单调性，要用整体化的观点，将ωx ＋φ看作是一个角的大小，结合y ＝sin x 的单调区间和ωx ＋φ关于x 的单调性进行判断．第3~4课时 三角恒等变换例1 cos(－600°)＝ ．说明：利用诱导公式将其转化为特殊角的三角函数值，也可根据三角函数定义利用数形结合直接求值．例2 若3cosα＋4sinα＝5(0＜α＜π)，求tan(α＋π4)的值． 说明：1．重视最基本方法的运用，即把cosα，sinα当成未知数，通过解方程组求得cosα，Csinα；2．在三角函数求值中要注意两点：①根据角之间的关系选择适当的三角变换；②根据角所在象限确定三角函数值的符号，要加以说明（题目条件中已经给定，角的范围太大，需要由几个条件或解题过程中得到的结论共同确定）．例3 当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x的最小值为 ． 说明：利用二倍角公式对f (x )进行化简，转化为用基本不等式求解的最值问题．例4 已知tan(π4＋α)＝12． (1)求tan α的值；(2)求sin2α－cos 2α1＋cos2α的值．基本策略：在化简过程中，通过变角、变名、变次，换元等将其转化为最简单的三角函数或简单的初等函数．第5~6课时 解三角形 例1 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3．（1）求△ABC 的面积；（2）若c ＝1，求a 的值．例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝3． （1）求sin C 的值；（2）求△ABC 的面积．说明：1．根据条件，结合图形灵活选择正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．2．向量中有关概念的理解，公式的正确使用．例3 在平面四边形ABCD 中，∠A ＝60°，AD ⊥CD ，∠DBC ＝60°，AB ＝23，BD ＝4，求CD 的长．说明：这种以图形为载体的三角函数求值问题（与解三角形联系）在高考中也是一种常见题型，其关键是要弄清图中各种量（边、角）之间的关系，合理选择正弦定理、余弦定理、三角恒等变换进行求解．例4 (08上海)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120o 的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．说明基本策略：条件中给出了三角形中的边角关系，应利用正弦定理或余弦定理将条件统一到边或统一到角．在三角应用题中，应根据已知条件构造确定的三角形，构造的依据是全等三角形的条件．在二轮复习过程中，对于三角函数的复习应突出以下重点：1．三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性等性质以及图像的对称性，充分体现数形结合的思想．2．三角函数与代数、几何、向量的综合联系，尤其是以图形为背景的一类数学问题．3．三角恒等变换的核心是根据角之间的关系，选择适当的三角公式，在求值时应强调三角函数值的符号由角所在象限确定．4．上述一些例题仅供参考，教学中应适当增加一些相似题、变式题，同时还需选择一定量的练习加以巩固．5．本单元二轮专题和课时建议：AO D B C H A O D B C A O D B C。

三角函数的图像与性质一、知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π3.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.(3).对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2解析 最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 答案 A3.函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________.解析 由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )， 得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2解析 由题意T ＝2π2＝π. 答案 C5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65. 答案 A6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.解析 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 答案 －π6考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ） D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 解析 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56 π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.解析 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________. (3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.解析 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. (2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2 .所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π. 答案 (1)B(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. 解析 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c解析 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 答案 A角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.答案 A【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( )A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增 C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增(2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32.答案 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( ) A.－π6 B.π6 C.－π3 D.π3解析 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3， 由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ). ∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6. 答案 (1)B (2)A角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称 C.关于直线x ＝π3对称 D.关于直线x ＝π6对称解析 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. 规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .f (x )＝sin x cos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确.C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.答案 (1)C (2)D三、课后练习1.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 解析 因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ). 答案 D2.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A.ω＝23，φ＝π12 B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )， 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.答案 A3.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________.解析 因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z )4.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23.5.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.解析 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2. 答案 π26.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π解析 ∵y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.答案 C7.(2019·石家庄检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8解析 因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.答案 C8.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2 D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 B9.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2解析 依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2.答案 C10.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.解析 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 答案 2311.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π， ∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ). 注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8； 同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.。

《三角函数的图象与性质》讲义一、引言三角函数是数学中的重要概念，其图象和性质在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

掌握三角函数的图象与性质，对于理解和解决相关问题具有关键意义。

二、三角函数的定义在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）分别定义为：正弦（sin）：对边与斜边的比值。

余弦（cos）：邻边与斜边的比值。

正切（tan）：对边与邻边的比值。

用角度θ表示，即：sinθ ＝对边／斜边cosθ ＝邻边／斜边tanθ ＝对边／邻边三、常见的三角函数1、正弦函数：y ＝ sin x定义域：R（全体实数）值域：－1, 1周期性：周期为2π，即 sin(x ＋2π) ＝ sin x奇偶性：奇函数，即 sin(x) ＝ sin x图象特点：图象是一条波浪线，在 x ＝kπ ＋π/2 （k∈Z）处取得最大值 1，在 x ＝kπ π/2 （k∈Z）处取得最小值－1。

2、余弦函数：y ＝ cos x定义域：R值域：－1, 1周期性：周期为2π，即 cos(x ＋2π) ＝ cos x奇偶性：偶函数，即 cos(x) ＝ cos x图象特点：图象也是一条波浪线，在 x ＝kπ（k∈Z）处取得最大值 1，在 x ＝kπ ＋π（k∈Z）处取得最小值－1。

3、正切函数：y ＝ tan x定义域：｛x ｜x ≠ kπ ＋π/2，k∈Z}值域：R周期性：周期为π，即 tan(x ＋π) ＝ tan x奇偶性：奇函数，即 tan(x) ＝ tan x图象特点：图象是由一系列不连续的曲线组成，在每个周期内，在x ＝kπ ＋π/2 （k∈Z）处有垂直渐近线。

四、三角函数图象的变换1、平移变换对于正弦函数 y ＝ sin(x ＋φ)，当φ ＞ 0 时，图象向左平移φ个单位；当φ ＜ 0 时，图象向右平移|φ|个单位。

对于余弦函数 y ＝ cos(x ＋φ)，规律与正弦函数相同。

2、伸缩变换对于正弦函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)，A 决定了图象的振幅，ω决定了图象的周期。